复合函数和初等函数 ppt课件
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1.3复合函数和初等函数
1.3 复合函数、初等函数
第1页，共22页。
基本初等函数
课前复习
1、常数函数
2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
第2页，共22页。
5、三角函数
6、反三角函数
y sin x y tan x
x x0
而
y
|
x
|
0
x 0 是初等函数，因为 y | x | x2 .
x x 0
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果分
段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
第15页，共22页。
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的Ｂ． y x 2
Ｃ． y x3 2x2 1 Ｄ． y 1 sin x
y u , u lg v , v sinw , w x2
的复合。
第8页，共22页。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本
初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
例 指出下列各函数的复合过程：
(1) y sin x
(2) y e 1x2
u (x) 称为内层。
例如： y arcsin x2 可看作由 y arcsinu 和 u x2 复合而成。
其中， y arcsinu 为外层， u x2 为内层。
第5页，共22页。
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 y f (u) arcsinu , u 2 x2 不能复合。
3. 分段函数
第1页，共22页。
基本初等函数
课前复习
1、常数函数
2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
第2页，共22页。
5、三角函数
6、反三角函数
y sin x y tan x
x x0
而
y
|
x
|
0
x 0 是初等函数，因为 y | x | x2 .
x x 0
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果分
段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
第15页，共22页。
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的Ｂ． y x 2
Ｃ． y x3 2x2 1 Ｄ． y 1 sin x
y u , u lg v , v sinw , w x2
的复合。
第8页，共22页。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本
初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
例 指出下列各函数的复合过程：
(1) y sin x
(2) y e 1x2
u (x) 称为内层。
例如： y arcsin x2 可看作由 y arcsinu 和 u x2 复合而成。
其中， y arcsinu 为外层， u x2 为内层。
第5页，共22页。
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 y f (u) arcsinu , u 2 x2 不能复合。
3. 分段函数
1.3 复合函数和初等函数
练习题答案
[e , e 3 ] ； 一、1 、基本初等函数； 2 、 x2 3、 y e ； 4、 y sin u, u ln v , v 2 x ； 5 、[-1,1],[ 2k , 2k ],[ a ,1 a ] , 1 [a ,1 a ] 0 a 2 . 1 a 2 e , x 1 1, x 0 f [ g ( x )] 0 , x 0 三、 ； g[ f ( x )] 1, x 1 . 1, x 0 1 , x 1 e
三、分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不 同的式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
一般来说，分段函数不是初等函数，但也有例外 .
x, 例如 y x ,
复合而成.
练习：习题1.3 第2题
（ 1）y u , u 1 x 2 （2）y eu , u x 1 3x （3）y sin u, u 2 （4）y u 2 , u cos v, v 3 x 1 （5）y ln u, u v , v 1 x (6) y arccos u, u 1 x 2
二、应用图形的“叠加 ”作函数 y x sin x 的图形 .
1，x 1 三、设 f ( x ) 0，x 1 ，g ( x ) e x ， 1，x 1 求 f [ g( x )] ，g[ f ( x )] ，并作出它们的图形 .
四、火车站行李收费规定如下： 20 千克以下不计费， 20～50 千克每千克收费 0.20 元，超出 50 千克超 出部分每千克 0.30 元，试建立行李收费 f ( x ) (元 ) 于行李重量 x (千克) 之间的函数关系，并作出图 形.
复合函数课件
2 常见求导法则
根据复合函数中各个函数的性质和运算规则， 可以推导出常见的复合函数的求导法则。
复合函数的逆运算与逆函数的求解
逆运算
复合函数的逆运算可以通过将复合函数的内外 函数交换位要解方程f(g(x))=x，找 到使得等式成立的函数g(x)。
复合函数的性质和运算规则
结合律
复合函数满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
分布律
复合函数满足分布律，即f∘(g+h) = (f∘g)+(f∘h)。
单位元
单位元函数是指f(x)=x，它与任何函数的复合都 不改变原函数。
逆元素
逆元函数是指f(g(x))=x，即复合函数和原函数相 互抵消。
复合函数ppt课件
本课件将详细介绍复合函数的定义、例子、性质和运算规则，以及复合函数 在实际问题中的应用。还将探索复合函数与反函数的关系，介绍复合函数的 求导法则和逆运算求解。
复合函数的定义和例子
定义
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数， 其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
例子
例如，如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函 数为f(g(x))。
复合函数可以用来模拟经济变量之间的 相互关系，帮助经济学家预测市场走势。
工程学
复合函数可以用来优化工程设计，提高 系统的性能和效率。
复合函数与反函数的关系
反函数
反函数是指复合函数的逆运算，将一个函数的输出作为输入，返回原来的输入。
复合函数的求导法则
1 链式法则
复合函数求导的链式法则是将外函数的导数 与内函数的导数相乘。
复合函数的图像和图像变换
图像
复合函数的图像是由两个函数的图像组合而成的。
第一章第4节 复合函数与初等函数
作 业
• 习题一的第16、17题（交） • 课外作业，习题一的1-20题中没做过的。
常见的经济函数
1、成本函数 某商品的成本是指生产一定数量的产品所需的全
部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用
总额，它由固定成本与可变成本组成． 平均成本是生产一定数量的产品，平均每单位产 品的成本． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条 件下，产品的成本与平均成本都是产量的函数． 成本函数 平均成本函数
3x 2 例如 函数 y ax bx c， y ， 4x 6
2
x 1 x 2 x , x 0 而y x , y 1 x x2 xn e , x ≥ 0
5
y ln
( x 2 1) cos 2 x
等都是初等函数；
是非初等函数。 大部分分段函数不是初等函数。
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
3、复合函数的中间变量可以不止一个，也就是可以由两个以上 的函数经过复合而成。
x 例如 y cot , 2
y u,
u cot v ,
v
x . 2
例 1：下列函数能否构成复合函数？若能，写出 y=f[g(x)]，并求 其定义域： （ 1） y u ,
（2）幂函数：y=x （常数
x
x
)
a
(特别地，常用对数 y=lgx，自然对数 y=lnx) （5）三角函数：y=sinx， y=cosx， y=tanx， y=cotx， y=secx， y=cscx （6）反三角函数：y=arcsinx， y=arccosx， y=arctanx， y=arccotx，
复合函数课件-高一上学期数学人教A版
新授课 课时10 复合函数
学习目标
学习活动
学习总结
1.了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域； 2.掌握复合函数单调性的判断方法； 3.学会复合函数奇偶性的判断方法.
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域
任务1：观察下列函数，归纳复合函数的概念. 设y是u的函数，且满足关系式 y f (u) 1 ，同时u是x的函数，且u=g（x）
u =2x+1.那么y与x的函数关系是什么，如何表示呢？
解： y f (u) f [g(x)] 1 .
2x 1
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
复合函数定义：
如果y是u的函数，记为 y f (u) ，又u是x的函数，记为 u g(x) ， 且 g(x) 的值域与f（u）的定义域交集不为空集，则确定了一个y关于 x的函数 y f [g(x)] ，这时y叫做x的复合函数，其中u叫中间变量， y f (u) 叫外层函数，u g(x) 叫内层函数.
2.已知复合函数 f (x) 的定义域为A，求函数 f [g(x)] 的定义
域 解不等式 g(x) A .
学习目标
学习活动
学习总结
目标二：掌握复合函数单调性的判断方法
任务：判断复合函数单调性，归纳复合函数单调性的判断方法.
1.已知函数 f (u) 在区间A上单调递增，函数 u g(x) 在区间B上单调递增 ，判断函数f [g(x)] 在区间B上的单调性.
解：1.因为函数 f (u) 在区间A上是奇函数，所以 f (u) f (u) ，函数 g(x) 在区间B上是奇函数，所以 g(x) g(x) ，则对于在区间B上， ，所以f [g函(数x)]在 区f [间g(Bx上)] 是 奇f [函g(x数)].
学习目标
学习活动
学习总结
1.了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域； 2.掌握复合函数单调性的判断方法； 3.学会复合函数奇偶性的判断方法.
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域
任务1：观察下列函数，归纳复合函数的概念. 设y是u的函数，且满足关系式 y f (u) 1 ，同时u是x的函数，且u=g（x）
u =2x+1.那么y与x的函数关系是什么，如何表示呢？
解： y f (u) f [g(x)] 1 .
2x 1
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
复合函数定义：
如果y是u的函数，记为 y f (u) ，又u是x的函数，记为 u g(x) ， 且 g(x) 的值域与f（u）的定义域交集不为空集，则确定了一个y关于 x的函数 y f [g(x)] ，这时y叫做x的复合函数，其中u叫中间变量， y f (u) 叫外层函数，u g(x) 叫内层函数.
2.已知复合函数 f (x) 的定义域为A，求函数 f [g(x)] 的定义
域 解不等式 g(x) A .
学习目标
学习活动
学习总结
目标二：掌握复合函数单调性的判断方法
任务：判断复合函数单调性，归纳复合函数单调性的判断方法.
1.已知函数 f (u) 在区间A上单调递增，函数 u g(x) 在区间B上单调递增 ，判断函数f [g(x)] 在区间B上的单调性.
解：1.因为函数 f (u) 在区间A上是奇函数，所以 f (u) f (u) ，函数 g(x) 在区间B上是奇函数，所以 g(x) g(x) ，则对于在区间B上， ，所以f [g函(数x)]在 区f [间g(Bx上)] 是 奇f [函g(x数)].
复合函数和初等函数
w z3, z ln t, t 1 x 复合而成
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
§3 函数概念教学内容：函数的定义与表示法;复合函数与反函数;初等
7、函数的实际背景．
3、函数的表示法 解析法（公式法）、列表法、图象法等．
4、几个重要函数（分段函数） 符号函数、狄雷克利（Dirichlet）函数，黎曼（Riemann）函
数． 5、函数的图象 函数 y f (x) 的图象定义为有序数对集合：
G (x,y)y f (x),x D
3
二、由已知函数“制作”新函数 方法1 函数的四则运算法 方法2 复合函数法 实际背景． 定义（解析式法、映射观点解释，有关名词）．
例1 求y f (u) u 与 u g(x) 1 x2的复合函数。 注：不可复合的问题． 方法3 反函数法
定义 设有
y f (x), x D
( 3)
如果对值域 f(D)中的每个 y 仅有一个 x D, 使 y f (x)，则按此对应
法则所得f(D)上的函数称为函数y f (x)的反函数，记为
§3 函数概念
教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数。 教学重点：函数概念，复合函数。 教学要求：掌握函数的概念与表示法；理解复合函数与反函数；理解
初等函数的定义。
函数是数学分析研究的对象，本节主要讨论函数的概念． 一、函数的定义
1、关于函数 中学已给出并讨论了函数，现在为我们研究顺利开展，需重新给 出函数的定义． 2、函数的定义
y
1 2
x
y log1 x
2
0 a 1的情形
10
1 的情形
11
5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx , arccosx 图像
asin (x )
1.5 3
1 2.5
0.5 2
0 1.5
-0.5 1
-1 0.5
-1.5 0
3、函数的表示法 解析法（公式法）、列表法、图象法等．
4、几个重要函数（分段函数） 符号函数、狄雷克利（Dirichlet）函数，黎曼（Riemann）函
数． 5、函数的图象 函数 y f (x) 的图象定义为有序数对集合：
G (x,y)y f (x),x D
3
二、由已知函数“制作”新函数 方法1 函数的四则运算法 方法2 复合函数法 实际背景． 定义（解析式法、映射观点解释，有关名词）．
例1 求y f (u) u 与 u g(x) 1 x2的复合函数。 注：不可复合的问题． 方法3 反函数法
定义 设有
y f (x), x D
( 3)
如果对值域 f(D)中的每个 y 仅有一个 x D, 使 y f (x)，则按此对应
法则所得f(D)上的函数称为函数y f (x)的反函数，记为
§3 函数概念
教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数。 教学重点：函数概念，复合函数。 教学要求：掌握函数的概念与表示法；理解复合函数与反函数；理解
初等函数的定义。
函数是数学分析研究的对象，本节主要讨论函数的概念． 一、函数的定义
1、关于函数 中学已给出并讨论了函数，现在为我们研究顺利开展，需重新给 出函数的定义． 2、函数的定义
y
1 2
x
y log1 x
2
0 a 1的情形
10
1 的情形
11
5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx , arccosx 图像
asin (x )
1.5 3
1 2.5
0.5 2
0 1.5
-0.5 1
-1 0.5
-1.5 0
反函数复合函数初等函数课件
三角函数的图像
三角函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=sin x$和$y=cos x$的图 像。
对数函数的图像
对数函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=log_a x$（$a>0$且 $aneq1$）的图像。
Part
04
反函数与复合函数的应用
在数学中的应用
解决方程问题
通过反函数，可以将一个方程问 题转化为另一个方程问题，从而 简化求解过程。
在某些情况下，反函数和初等函数可以是同一个函数，例如对于线性函数y=ax+b ，其反函数也是初等函数。
反函数与初等函数在数学中的地位
反函数和初等函数在数学中都具有重要的地位，是数学研究和应用的基础。反函 数的概念有助于深入理解函数的性质和图像，而初等函数则是数学分析、微积分 等课程中的基本工具。
在解决实际问题时，常常需要将实际问题转化为数学模型，而反函数和初等函数 是构建这些数学模型的重要工具。
初等函数的性质
有界性
初等函数在其定义域内都 1
是有一定界限的，即其值 域是有限的。
可微性
4
在定义域内，初等函数可 以求导数，即具有可微性 。
单调性
根据不同的定义域和对应
2
法则，初等函数在其定义
域内可以是单调增函数或
单调减函数。
周期性
3 有些初等函数具有周期性
，例如正弦函数和余弦函 数。
初等函数的图像
复合函数的奇偶性
复合函数的值域
复合函数的值域由外层函数的值域和 内层函数的值域共同决定。
如果一个复合函数的内层函数和外层 函数都是奇函数或偶函数，那么这个 复合函数可能是奇函数或偶函数。
复合函数的求法
高数上1.2.1反函数、复合函数、初等函数
2ex1, 1 x 2
y
解: 当1 x 0 时, y x2 (0,1] ,
2e
则 x y , y (0,1]
当0 x 1 时, y ln x ( , 0] , 则 x ey , y(, 0]
当1 x 2 时, y 2ex1( 2, 2e] ,
则
x
1
ln
y 2
,
y(2, 2e]
x 2
四、初等函数
以下函数称为基本初等函数
1.幂函数： y x （ 是常数）
2.指数函数： y a x （ a是常数 , a 0, a 1）
3.对数函数：y loga x （ a是常数，a 0, a 1）
特别当ae时, 记为yln x;
4.三角函数： y sin x, y cos x, y tan x, y cot x
1 o1 x
g 2 (x) 1 0 x 1或x ln 2
ln g(x)
x 1或 ln 2 x 0
(x3 1)2 1
(2ex ln(
1)2 x3 1)
1
ln(2ex 1)
0 x 1 x ln 2
x 1 ln 2 x 0
六个函数复合在而成.
分段函数的复合运算
例5
设
f
(
x)
ex, x 1
,
x, x 1
(
x)
x 2, x 0
x2
1,
x
, 0
求 f [( x)].
解
e(x),( x) 1 f [( x)] ( x),( x) 1
(1) 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1
或 x 0, ( x) x2 1 1 0 x 2;
1.5基本初等函数、初等函数、复合函数PPT
求arccos x
在[0, ]内确定一点 使cos x 则arccos x
例 如 求 a 1 r ) ccos(
2
因 为 c 2 o 1 所 s 以 a r 1 ) 2 c cos
3 2
2 3
《微积分》(第三版) 电子教案
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二、复合函数
设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中 得到的表达式 f[g(x)]是有意义的 则yf[g(x)]是一个以x为自变量 y为因变量 的新函数 称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数
( 1 ) y 3 x 1 ; ( 2 ) y ( 1 l g x ) 5 ; ( 3 ) y e e x 2
答案：1.y 2cos2 x
2.(1)y u,u3x1
(2)yu5,u1v,vlgx
(3)yeu,uev,vx2
《微积分束
例1.15
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
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(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
复合函数与反函数 初等函数
复合函数的分解分解原则分解以后的各函数为基本初等函数或简单函数简单函数是指由基本初等函数通过四则运算而得到的一个数学关系例6
第3节 复合函数与反函数 初等函数
一、复合函数 二、反函数 三、初等函数 四、小结与习题
一、复合函数 映射—函数 复合映射—复合函数
g (D)
1.复合函数定义 定义：设有两个函数
y f (u),u D1
u g ( x), x D
如果 g (x) 的值域 Rg 与 f (u ) 的定义域 D f 满足
Rg D f
则称由函数 u g (x) 与函数 y f (u ) 构成一个
( 复合函数， 记作：f g 即 ( f g）x) f ( g ( x)), x D
f ( g ( x))
与 g ( f ( x)) 不是同一个函数；
第三，函数的复合可由多个函数构成。
2 y (u) lg u (u (0,), u ( x) - x ( x R) 例2．设
由于 故
R( ) (-,0],
R( ) D( ) (-,0) (0,)
2 x
是初等函数。 注：分段函数一般不是初等函数，如符号函数 y sgn x不是初等函数，绝对值函数 y x 虽然可
x x2 分段表示，但由于
，故仍是初等函数。
四、小结与习题
1.复合函数的复合与分解 2.反函数及其求法 3.基本初等函数、初等函数的形式以及相关 图像与性质 4.习题1-3分析 1、3、4双数，7、8、9
性质（单调性、奇偶性）
x (3)指数函数—— y a（a 0，且a 1），x (-,)
分a 1和0 a 1 两种情况，讨论指数函数的图像
第3节 复合函数与反函数 初等函数
一、复合函数 二、反函数 三、初等函数 四、小结与习题
一、复合函数 映射—函数 复合映射—复合函数
g (D)
1.复合函数定义 定义：设有两个函数
y f (u),u D1
u g ( x), x D
如果 g (x) 的值域 Rg 与 f (u ) 的定义域 D f 满足
Rg D f
则称由函数 u g (x) 与函数 y f (u ) 构成一个
( 复合函数， 记作：f g 即 ( f g）x) f ( g ( x)), x D
f ( g ( x))
与 g ( f ( x)) 不是同一个函数；
第三，函数的复合可由多个函数构成。
2 y (u) lg u (u (0,), u ( x) - x ( x R) 例2．设
由于 故
R( ) (-,0],
R( ) D( ) (-,0) (0,)
2 x
是初等函数。 注：分段函数一般不是初等函数，如符号函数 y sgn x不是初等函数，绝对值函数 y x 虽然可
x x2 分段表示，但由于
，故仍是初等函数。
四、小结与习题
1.复合函数的复合与分解 2.反函数及其求法 3.基本初等函数、初等函数的形式以及相关 图像与性质 4.习题1-3分析 1、3、4双数，7、8、9
性质（单调性、奇偶性）
x (3)指数函数—— y a（a 0，且a 1），x (-,)
分a 1和0 a 1 两种情况，讨论指数函数的图像
2021高中数学课件复合函数ppt课件优选PPT
拓 展 2 ： 判 断 函 数 f ( x ) l o g x 2 4 x 3 的 单 调 性 。 a
五.练习：
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
练习2.求函数 y 3x2x6的单调递减区间。
练3： 习求 y函 lo26 g 数 xx2的单调递
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
yax(a1)
O
x
图象的解析y式a是 x(a： 0且a0)。此函数是指数函
当a1时，函数 在 ,上是增函数； 当0a1时，函数 在 ,上是减函数。
y O
yloag x(a1)
x
yloaxg (0a1)
图象的解析y式 lo是 agx(： a0且a1)。此函数是对数
当a1时，函数 0， 在 上是增函数； 当0a1时，函数 0， 在 上是减函数。
（2）掌握复合函数单调性的判断方法。
QQ群：17556963故 2 函 数 y x 2 4 x 3 的 单 调 递 减 区 间 为 2 ,3 。
苏州大学：P73 复习题。
(问：函y数 x24x3的单调递增区间？是）什么
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。
例 3.求 函 数 y 1 2 x24x3的 单 调 递 减 区 间 。
上是增函数。
2
cQQQoQQQm群群:/1t3m：：1x811k277_455d155o166c899i9n66；33；22 又tx122123在3,12上是增函数。
com/tmxk_docin ；
小QQ结:1:3在18求24解11函89数；单 调区函 间时必须y数 注 意单l调o区间2g是6定 义域x的 某个x区2间的 。 单调递增 3， 区 1 2。 间为
五.练习：
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
练习2.求函数 y 3x2x6的单调递减区间。
练3： 习求 y函 lo26 g 数 xx2的单调递
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
yax(a1)
O
x
图象的解析y式a是 x(a： 0且a0)。此函数是指数函
当a1时，函数 在 ,上是增函数； 当0a1时，函数 在 ,上是减函数。
y O
yloag x(a1)
x
yloaxg (0a1)
图象的解析y式 lo是 agx(： a0且a1)。此函数是对数
当a1时，函数 0， 在 上是增函数； 当0a1时，函数 0， 在 上是减函数。
（2）掌握复合函数单调性的判断方法。
QQ群：17556963故 2 函 数 y x 2 4 x 3 的 单 调 递 减 区 间 为 2 ,3 。
苏州大学：P73 复习题。
(问：函y数 x24x3的单调递增区间？是）什么
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。
例 3.求 函 数 y 1 2 x24x3的 单 调 递 减 区 间 。
上是增函数。
2
cQQQoQQQm群群:/1t3m：：1x811k277_455d155o166c899i9n66；33；22 又tx122123在3,12上是增函数。
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小QQ结:1:3在18求24解11函89数；单 调区函 间时必须y数 注 意单l调o区间2g是6定 义域x的 某个x区2间的 。 单调递增 3， 区 1 2。 间为
复合函数课件
复合函数图像的绘制方法
步骤四：绘制图像
根据得到的点，使用平滑的曲线连接这些点，绘制出复合函数的图像。
复合函数图像的变换
平移变换
当复合函数的内部函数在自变量上加减一个常数时，图像会沿x轴方向平移。
复合函数图像的变换
01
伸缩变换
02
当复合函数的内部函数在自变量 上乘以或除以一个常数时，图像 会沿x轴或y轴方向伸缩。
如果存在一个常数T，对于定义域内 的所有x，都有f(x+T)=f(x)，则函数 为周期函数。复合函数的周期性由内 外函数共同决定。
复合函数的对称性
总结词
对称性描述了函数图像的对称性质。
详细描述
复合函数的对称性与内外函数的对称性和对应关系有关。例如，如果内外函数都是轴对称的，那么复合函数可能 是轴对称的；如果内外函数都是中心对称的，那么复合函数可能是中心对称的。
的角色。
深化理解
通过研究复合函数，可以深入理 解函数的性质和变化规律，进一
步加深对函数概念的理解。
拓展思维
复合函数可以拓展人们的思维方 式和解题思路，对于提高数学素
养和思维能力有很大的帮助。
02
复合函数的性质
复合函数的单调性
总结词
单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。
详细描述
复合函数的单调性取决于内外函数的单调性以及它们的对应关系。如果内外函 数单调性相同，则复合函数为增函数；如果单调性相反，则复合函数为减函数 。
分部积分法
换元积分法
换元积分法是通过引入新的变量来简 化定积分的计算方法。
分部积分法是一种通过将两个函数的 乘积进行求导来计算定积分的方法。
积分在复合函数中的应用
复合函数求导法则
复合函数,反函数,初等函数
四、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
e x ex 双曲正弦 sinh x 2
D : ( , ),
奇函数.
x x
e e 双曲余弦 cosh x 2
D : ( , ),
偶函数.
sinh x e x e x 双曲正切 tanh x x x cosh x e e
。
1
y
反函数y f 1 ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作 为函数，习惯上我们还是把反函数记 1 y f ( x) . 为
这样直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
严格单调函数是1-1对应的，所以严格单 调函数有反函数。 但 1-1 对应的函数（有反函 数）不一定是严格单调的，看下面例子
思 下列函数能否复合为函数 y f [ g( x )]， 考 若能，写出其解析式、定义域、值域． 题 (1) y f (u) u, u g( x ) x x 2
( 2) y f ( u) ln u, u g( x ) sin x 1
1 [ f ( x)] 2 , f ( x) 1;
求 f [ f ( x)].
f [ f ( x)]
f ( x) 1 0 x 1 f ( x) 1 x 1或x 0
[ f ( x)] 1, f ( x) 1.
2
当0 x 1时，
1 [ 1 x ] , 0 x 1;
解
10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
基本初等函数--复合函数
一、复合函数函数y=log2x是对数函数，那么函数y=log2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log2u，u=2x-1，因此函数y=log2(2x-1)是由对数函数y=log2u和一次函数u=2x-1经过复合而成的。
一般地，如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。
二、复合函数。
定理：设y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在[a，b]上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间[g(a)，g(b)](或[g(b)，g(a)]上是单调增(减)函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上一定是单调函数，并有以下结论：同增异减判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。
例1.讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。
解：函数定义域为R。
令u=x2-4x+3，y=0.8u。
指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。
这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。
例2.讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。
解：显然函数定义域为(0，+∞)。
令 u=log2x，y=u2+u∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，y=u2+u在(-∞，- ]上是减函数，在[- ，+∞)上是增函数(注意(-∞，-]及[-，+∞)是u的取值范围)因为u≤- log2x≤- 0＜x≤，(u≥- log2x≥-x≥)所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。
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们称这样的函数 y 为 y f (u) 和 u (x) 的复合函数， 记作 y f [(x)]，其中 u 称为中间变量．
注意：
1、复合函数并不是一种新函数，复合函数的特征是 函数“套”函数。
2、可以把 y f [(x)]中的 y f (u) 称为外层，
u (x) 称为内层。 例如： yarcsixn2 可看作由 yarcsiun 和
注意:
(1) 分段函数是用几个解析式合起来表示的一个函 数，不能理解为几个函数;
(2) 它的定义域是各部分的自变量取值集合的并集;
(3) 求分段函数的函数值 f (x0 )时，要根据 x0所在的 范围选用相应的解析式，其图象要分段作出.
x2 , 2 x 0; 例 7 设函数 f (x) 2, x 0;
6、反三角函数
yarcsixn
yarccxos
yarctaxn
yarccoxt
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
y f (u) 的定义域内，则通过变量 u ，y 也是 x 的函数．我
y 3 u , u xw, w t , t 1 x2.
*例6 (1)yln3ln2ln(1x)
(2)ylnln2ln3(1x)
解：（1）原函数由 y u 3 , u ln v, v w 2 ,
w ln z, z ln t, t 1 x 复合而成 （2）原函数由 y ln u, u v 2 , v ln w,
（3）
y
4
y x2
2
1
-2
Ｏ
y1x
3x
思考：分段函数是初等函数吗？
1
符号函数
y
sgn
x
0
1
x0 x 0 不是初等函数； x0
x x0
而
y
|
x
|
0
x 0 是初等函数，因为 y | x | x2 .
x x 0
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果
分段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
（3） y cos2 (3x 9) 是由
yyuu22,,uuccoossvv, v 3x 9 复合而成的
（4） y lg(1 1 x2 ) 是由
y lg u, u 1 v, v z , z 1 x2
复合而成的
1
例4 y esin2 x ：
y
e
u
，
u
1 v2
,
v sin x .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例5 y 3 x 1 x2 ：
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
Ａ． y sin(x2 1)2 Ｂ． y sin2 (x2 1) Ｃ． y sin(x2 1) Ｄ． y sin2 x2 1
5、复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以 有多个。
例1 设 y u2 , u ln v, v cos x 2 ,则这三个
函数的复合为
y ln 2 v ln2(cosx2)
例2 函数 y lg(sinx2 ) 可看成函数
y u , ulgv,vsinw, w x2
的复合。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数 （基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
e1
Ｂ． y x 2
Ｃ． y x3 2x2 1 Ｄ． y 1 sin x
（ D ）2．下列函数为复合函数的是
Ａ． y x 51
Ｃ．
y
(5) e
x
Ｂ． y cos x 4
Ｄ． y x5 1
（ A ）3.设 f (x) sin x2 ，且(x) x2 1 ， 则 f [(x)]
w z 3 , z ln t, t 1 x 复合而成
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算 或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x，ylnxe2x
yln1(sin x)，等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
yC (C是常)数
yxa (a是常 ,a 数 0)
3、指数函数
yax (a0 ,a1 )
4、对数函数
y lo a x( g a 0 ,a 1 )
5、三角函数
ysin x ycoxs
ytaxn ycoxt
ysexc ycsxc
1 x,0 x 3.
（1）求函数的定义域； （2）求 f (2), f (1), f (0), f (1)； （3）作出函数的图象．
解：(1) 函数的定义域是 [2,3]．
(2)由于 2 [2,0)， f (x) x2，
故 f (2) (2)2 4；
同理 f (1) (1)2 1； f (0) 2； f (1) 11 2 ．
u x2 复合而成。 其中，yarcsiun为外层， u x2为内层。
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 yf(u)arcus,inu2x2 不能复合。
4、注意复合次序：
复合后的函 数要有意义
f(x)six n , g(x)x2，
则f[g(x)]sinx2，而g[f(x)] sin2 x 。
都是初等函数．
1.1.5 分段函数
定义 1.8 若函数 y f (x) 在它的定义域内
的不同区间（或不同点）上有不同的表达式，则称 它为分段函数．
x,x0 如 y| x|x,x0
5,
0 x 4,
y 5 1.3(x 4),
4 x 10,
12.8 1.9(x 10), x 10.
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
例3 指出下列各函数的复合过程：
(1)y sin x
(2)y e 1x2
(3)ycos2(3x9) (4)ylg(1 1x2)
解：（1）函数 y sin x 是由
y sin u, u x 复合而成的
（2）函数 y e 1x2 是由
y e u , u v , v 1x2 复合而成的
注意：
1、复合函数并不是一种新函数，复合函数的特征是 函数“套”函数。
2、可以把 y f [(x)]中的 y f (u) 称为外层，
u (x) 称为内层。 例如： yarcsixn2 可看作由 yarcsiun 和
注意:
(1) 分段函数是用几个解析式合起来表示的一个函 数，不能理解为几个函数;
(2) 它的定义域是各部分的自变量取值集合的并集;
(3) 求分段函数的函数值 f (x0 )时，要根据 x0所在的 范围选用相应的解析式，其图象要分段作出.
x2 , 2 x 0; 例 7 设函数 f (x) 2, x 0;
6、反三角函数
yarcsixn
yarccxos
yarctaxn
yarccoxt
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
y f (u) 的定义域内，则通过变量 u ，y 也是 x 的函数．我
y 3 u , u xw, w t , t 1 x2.
*例6 (1)yln3ln2ln(1x)
(2)ylnln2ln3(1x)
解：（1）原函数由 y u 3 , u ln v, v w 2 ,
w ln z, z ln t, t 1 x 复合而成 （2）原函数由 y ln u, u v 2 , v ln w,
（3）
y
4
y x2
2
1
-2
Ｏ
y1x
3x
思考：分段函数是初等函数吗？
1
符号函数
y
sgn
x
0
1
x0 x 0 不是初等函数； x0
x x0
而
y
|
x
|
0
x 0 是初等函数，因为 y | x | x2 .
x x 0
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果
分段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
（3） y cos2 (3x 9) 是由
yyuu22,,uuccoossvv, v 3x 9 复合而成的
（4） y lg(1 1 x2 ) 是由
y lg u, u 1 v, v z , z 1 x2
复合而成的
1
例4 y esin2 x ：
y
e
u
，
u
1 v2
,
v sin x .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例5 y 3 x 1 x2 ：
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
Ａ． y sin(x2 1)2 Ｂ． y sin2 (x2 1) Ｃ． y sin(x2 1) Ｄ． y sin2 x2 1
5、复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以 有多个。
例1 设 y u2 , u ln v, v cos x 2 ,则这三个
函数的复合为
y ln 2 v ln2(cosx2)
例2 函数 y lg(sinx2 ) 可看成函数
y u , ulgv,vsinw, w x2
的复合。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数 （基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
e1
Ｂ． y x 2
Ｃ． y x3 2x2 1 Ｄ． y 1 sin x
（ D ）2．下列函数为复合函数的是
Ａ． y x 51
Ｃ．
y
(5) e
x
Ｂ． y cos x 4
Ｄ． y x5 1
（ A ）3.设 f (x) sin x2 ，且(x) x2 1 ， 则 f [(x)]
w z 3 , z ln t, t 1 x 复合而成
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算 或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x，ylnxe2x
yln1(sin x)，等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
yC (C是常)数
yxa (a是常 ,a 数 0)
3、指数函数
yax (a0 ,a1 )
4、对数函数
y lo a x( g a 0 ,a 1 )
5、三角函数
ysin x ycoxs
ytaxn ycoxt
ysexc ycsxc
1 x,0 x 3.
（1）求函数的定义域； （2）求 f (2), f (1), f (0), f (1)； （3）作出函数的图象．
解：(1) 函数的定义域是 [2,3]．
(2)由于 2 [2,0)， f (x) x2，
故 f (2) (2)2 4；
同理 f (1) (1)2 1； f (0) 2； f (1) 11 2 ．
u x2 复合而成。 其中，yarcsiun为外层， u x2为内层。
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 yf(u)arcus,inu2x2 不能复合。
4、注意复合次序：
复合后的函 数要有意义
f(x)six n , g(x)x2，
则f[g(x)]sinx2，而g[f(x)] sin2 x 。
都是初等函数．
1.1.5 分段函数
定义 1.8 若函数 y f (x) 在它的定义域内
的不同区间（或不同点）上有不同的表达式，则称 它为分段函数．
x,x0 如 y| x|x,x0
5,
0 x 4,
y 5 1.3(x 4),
4 x 10,
12.8 1.9(x 10), x 10.
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
例3 指出下列各函数的复合过程：
(1)y sin x
(2)y e 1x2
(3)ycos2(3x9) (4)ylg(1 1x2)
解：（1）函数 y sin x 是由
y sin u, u x 复合而成的
（2）函数 y e 1x2 是由
y e u , u v , v 1x2 复合而成的