0002数学课件：直线与圆的方程小结与复习
第十二单元直线和圆的方程§12.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件
10
.
[解析] 由题意,圆的方程为 x2+y2-2x-4y=0,可得圆心的坐标为(1,2),半径 r= 5,
圆心到直线 3x-y-6=0 的距离 d=
可得
2 2 2
10 5
=r -d =5- = ,即
2
4 2
|3×1-2-6|
=
2
32 +(-1)
10
2
,则由圆的性质,
AB= 10.
9
目录
【易错自纠】
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交.
( × )
(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的
直线方程.
( × )
(3)过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r2.
( √ )
(4)如果直线与圆组成的方程组有解,那么直线与圆相交或相切.
2023届
数学
高考第一轮复习
第十二单元 直线和圆的方程
§12.4
直线与圆、圆与圆的位置关系
学 基础知识
讲 考点考向
悟 方法技能
目录
学 基础知识
学 基础知识
3
目录
知识清单
1.直线与圆的位置关系（半径为 ，圆心到直线的距离为 ）
相离
相切
相交
方程观点
△< 0
△= 0
△> 0
几何观点
>
=
消去 y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
2
+ (y-1) = 5
因为 Δ=16m2+20>0,所以直线 l 与圆相交.
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
直线复习和圆的方程课件
，解得ar2＝＝10 ，所以所求圆的
4．过圆 x2＋y2＝4 外一点 P(4,2)作圆的切线，切点为 A、B，则△APB 的外接圆方程为________．
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5 解析 连接 OA、OB，由平面几何知识可知 O、A、 P、B 四点共圆，故△APB 的外接圆即为以 OP 为直径的 圆，即圆心为 C(2,1)，半径 r＝12|OP|＝|OC|＝ 5，故圆的 方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
法二：设圆 C 的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆 C 过点 P(1,2)和 Q(－2,3)，
∴142＋＋92－2＋2DD＋＋32EE＋＋FF＝＝0
，解得EF＝＝311D－－7D ，
∴圆 C 的方程为 x2＋y2＋Dx＋(3D－8)y＋11－7D＝
0. 将 y＝0 代入得 x2＋Dx＋11－7D＝0.
（a）当l1, l2的斜率k1k2都存在时： l1, l2平行或重合 k1 = k2 ; l1, l2垂直 k1k2 = -1
（b）若l1 : A1x B1 y C1 = 0，l2 : A2x B2 y C2 = 0 则l1,l2平行 A1B2 - A2B1 = 0且A1C2 - A2C1 0 (或B1C2 - B2C1 0)
①
又圆 C 过点 P(1,2)和 Q(－2,3)，
∴圆心在 PQ 的垂直平分线上，
即在 y－52＝3(x＋12)上，
即在 y＝3x＋4 上，∴b＝3a＋4.
②
由①知 a＝±b，代入②得a＝b＝－11， ， 或a＝b＝－2－，2 ∴r＝ a－12＋b－22＝ 5或 5. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5 或(x＋2)2＋(y＋2)2＝25，即 x2＋y2＋2x－2y－3＝0 或 x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学中的直线和圆的总结有很多知识点，本文就针对这些知识点进行一个总结，同学们可以查阅，以便加深对直线和圆的理解。
首先，在直线方面需要知道的是什么？
一、直线的定义
直线是平面上双等距平行的两条线，可以用一元二次方程来表示。
二、直线的性质
1、平等的距离及同一平面的
直线的夹角相等，距离也相等，两直线交于一点，其中一条直线经过这一点，另一条不经过，而在同一平面上的两直线是相互垂直的。
2、直线的交点
当两条直线在有限空间内相交时，这种相交是称之为直线的交点。
三、直线的位置关系
1、平行
当两条直线从同一个方向平行可以认为这两条直线平行。
接下来，要总结一下圆知识点了。
圆是位于平面中心点到圆上任一点的距离相等的一种曲线，而圆的半径则是指这种距离。
1、圆心在圆的任一点的距离是一致的
2、圆的封闭图形
圆是一种封闭的曲线，无论是确定它的定义还是它的性质，都建立在它是一种封闭图形的基础之上。
1、圆内和内接四边形外接圆
内接四边形外接圆是指圆心和任意两个顶点形成的距离都相等的圆，这圆就是内接四边形外接圆。
当一条直线与圆的关系有六种：即相切、相交、内切、外切、内含和外公切线，因此理解这一关系也是重要的。
以上就是高中数学直线和圆知识点复习总结，希望可以帮助读者们更加深入理解这些概念，提升高中数学学习的能力，顺利通过高考。
直线方程与圆的方程 课件
(1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系;
(2)当直线l的倾斜角α∈
0,
π 2
时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈
π 2
, π 时,α越大,直线l的斜率也
越大;
(3)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率;
(4)已知倾斜角α的范围,求斜率k的范围,实质是求k=tan α的值域;已知斜率k的范围,求倾斜角α
解题导引
解析 (1)原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心, 3 为半径的圆.
设 y =k,则y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最值,此时有| 2k 0 | = 3 ,
x
k2 1
解得k=± 3,故 y的最大值为 3,最小值为-
x
3.
(2)设y-x=b,则y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最值,此时
涉及与圆有关的最值问题,一般要借助图形性质,利用数形结合和函数 思想求解,一般地: (1)最小圆(圆的面积最小)问题,转化为求半径最小值问题; (2)圆上的点到圆外的点(直线)的距离的最值,应先求圆心到圆外的点 (直线)的距离,再加上半径或减去半径求得最值; (3)u= y b 型的,转化为直线斜率的最值问题求解;
则圆心(a,b)到直线x-y-3=0的距离d=| a b 3 | ,
2
∴r2= (a b 3)2 + 3 ,即2r2=(a-b-3)2+3.①
2
2
由于所求圆与直线x-y=0相切,| a b | =r,
2
∴(a-b)2=2r2.②
又∵圆心在直线x+y=0上,∴a+b=0.③
高三数学教案： 直线与圆方程小结
高三数学第一轮复习讲义（小结）《直线与圆的方程》小结一．基础训练：1．点P 在直线40x y +-=上，O 为原点，则||OP 的最小值是 （ ）()A 2 ()B 6 ()C 22 ()D 102．过点(1,4)A ，且横纵截距的绝对值相等的直线共有 （ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条3．圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于,A B 两点，圆心为P ，若90APB ∠=o ，则c =（ ）()A 3- ()B 3 ()C 22 ()D 84．若圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且只有两个点到直线4320x y --=距离等于1，则半径r 取值范围是 （ ） ()A (4,6) ()B [4,6) ()C (4,6] ()D [4,6]5．直线0ax by c ++=与直线0dx ey c ++=的交点为(3,2)-，则过点(,),(,)a b d e 的直线方程是___________________。
6．已知,x y 满足38150536025100x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则x y -的最大值为________，最小值为________。
二．例题分析：例1．过点(2,1)P 作直线l 交x 轴，y 轴的正向于,A B 两点；（O 为坐标原点）(1)当AOB ∆面积为92个平方单位时，求直线l 的方程； (2)当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程； (3)当PB PA ⋅最小时，求直线l 的方程。
例2．设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程。
例3．设正方形ABCD （,,,A B C D 顺时针排列）的外接圆方程为2260(9)x y x a a +-+=<，,C D 点所在直线l 的斜率为31； （1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线,AC BD 的斜率；（2）如果在x 轴上方的,A B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程；（3）如果ABCD 的外接圆半径为在x 轴上方的,A B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程。
直线和圆的方程复习课PPT课件
一、知识框架
直线与直线方程
直
线
与
圆
的
方
圆与圆方程
程
直线的倾斜角和斜率 直线的方程
两直线的位置关系 线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆的一般方程
圆的参数方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
2
1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是 0 180.
2、直线的斜率
k tan, ( 90 )
4.两点间的距离
5.点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
6.平行直线间距离
d C1 C2 A2 B2
11
两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0
平行，则a=（ B ）
A．－3
B．－6
C．
3 2
2
D． 3
2、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，
返回
7
点与直线
1、点与直线的位置关系 2、点关于直线对称的点坐标 3、直线关于点对称的直线方程 4、点到直线的距离
练习
8
点与直线练习
1、已知直线 l1 : A1x B1 y 1和 l2 : A2 x B2 y 1
相交于点P(2,3)，则过点 P1( A1, B1), P2 ( A2 , B2 )的直线 方程为 2x+3y=1＿．
2、点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ A ）
A(－4，－1) B(－5，－2) C(－6，－3) D(－4，－2）
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1)，∠B被y轴平分，∠C 被直线y=x平分，则直线BC的方程是 （ A ）
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
高中数学必修二第四章小结与复习课件
例2 过点M(－3，－3)的直线l 被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦 长为 ，求直线l的方程.
y A
C M
o
x
B
例3 求过点P（2，1），圆心在 直线2x＋y=0上，且与直线x-y-1＝0 相切的圆方程.
2x+y=0
P
作业:
P128练习：2，3，4． P132习题4.2A组：2，3，5．
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B程(如x2，何y？2)，则y以线P段AB为直径的圆方
B
A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
x2＋y2－6x－4＝0
例2 已知一个圆的圆心为M（2，1）， 且与圆C：x2＋y2－3x＝0相交于A、B两 点，若圆心M到直线AB的距离为 ，求 圆M的方程.
A
DC
M
B
x2＋y2－4x－2y－1＝0
作业：
P132习题4.2A组：4,6,9,10.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
位于台风中心正北40 km处，如果这艘
轮船不改变航线，那么它是否会受到台
人教版高中数学课件：7.8.2直线与圆的方程小结与复习(二)
y
A
C
解法二：利用A点关于x轴的对称点A’ 过点A’的圆的切线求得反射 光线的的斜率，即求得入射 光线的斜率，即求. 解法三：利用圆C关于x轴的对称圆C1， 入射光线即为过点A与圆C1相切 的直线.
4x 3 y 3 0 或 3x 4 y 3 0
解 法 1 . 设 B ( x B , y B ) 则 A B的 中 点 D 坐 标 （
xB 2 2
,
yB 8 2
）
又 B , D 分 别 在 直 线 x 2 y 4 0 和 直 线 4 x 7 y 24 0 上
xB 2 yB 4 0 x 2 yB 8 B ) 7( ) 24 0 4( 2 2
k 2 k1 1 k1k 2
ta n
k 2 k1 1 k1 k 2
Page 6
高2008级数学教学课件
典型例题
例1.已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在 直线方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线 的方程为：x-4y+10=0，求BC边所在的直线的方程.
高2008级数学教学课件
解法二、 B 在直线 x 2 y 4 0 上，可设 又 AB 边上的中线所在直线方 4 2 7 8 24 4 7
2 2
B (2 y B 4, y B )
程为 4 x 7 y 24 0 0
y A
4 ( 2 y B 4 ) 7 y B 24 4 7
x x1
y y1 y 2 y1
x a
人教版高中数学选修一第二章 直线和圆的方程(复习小结)课件
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25.
归纳总结
确定圆的方程的主要方法
一是定义法,二是待定系数法.定义法主要是利用直线和圆的几何性质,确
定圆心坐标和半径,从而得出圆的标准方程;待定系数法则是设出圆的方
程(多为一般式),再根据题目条件列方程(组)求出待定的系数.
跟踪训练
例4一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西
70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km
处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
解:以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其中取10
2
y2 2 上
点 P 在圆（x 2）
圆心为（2，0）
，则圆心到直线距离 d1
202
2
故点 P 到直线 x y 2 0 的距离 d 的范围为 2,3 2
2
则S
ABP
1
AB d 2 2d 2 2, 6
2
2 2Biblioteka 知识框图典例解析例1圆C的圆心在l1:x-y-1=0上,与l2:4x+3y+14=0相切,且截l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6,
1 -2 = 5,
2
y2) =25,联立上述两式可得
或
由此可知直线 l
1 -2 = 0,
1 -2 = 5.
的倾斜角为 0°或 90°,故所求直线的方程为 y=1 或 x=3.
点睛：本题容易产生的错误是不考虑直线斜率是否存在,从而忽略了直线x=3.
直线与圆的方程小结与复习一ppt课件
Y
解：如图当k存在时，k kPA或k kPB
直线l与线段AB相交
P B(3,0)
O
X
而kPA 23（21） 5
A(-2,-3)
02 1 kPB 3 （1） 2
k取值范围是k （ ， 1][5， ）或k不存在 2
从而直线l的倾斜角取值范围是： [arctan 5， arctan 1]
2
例3.求过点P(0,1)的直线l方程，使l在两直线l1：x 3y 10 0 与l2：2x y 8 0之间的线段中点恰为点P.
3
设所求直线方程为y k(x 5)得
3
k
0
0
3 4
5
5
k 3 4
y
L
3x 4y 5 0
o
x
L1
典型例题分析
例1.直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移2
个单位，则直线l又回到原来的位置，求直线l的倾斜角
解：设P(x0 , y0 )是直线l上一点，经平移后到点 Q(x0 3, y0 2)
解法2.设直线l的方程为xy21
（cos a）t （sin a）t
tR
其中 （ ，）为直线l的倾斜角，
2
则A，B两点对应的tA
1 sin
a
,tB
2 cos
a
,
由参数t的几何意义 MA
MB
t At B
2 sin a cos a
4 sin 2a
4
等号当且仅当 sin 2a 1时成立，又 （ ，）， 3
直线的倾斜角及斜率 点斜式
斜截式
直
两点式
一般式
线
方
截距式
程 点到直线距离
直线与圆的方程复习PPT课件课件
的斜率
k
y2
y1
x2 x1
(3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截
距是直线与 y 轴交点的纵坐标.
2.直线方程的五种形式.
(1)点斜式：设直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则直线 l 的方程为y-y0＝k(x-x0) (2)斜截式：设直线 l 斜率为k，在y 轴截距为b，则直 线l 的方程为y＝kx+b (3)两点式：设直线 l 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) x1≠ x2，y1≠y2则直线 l 的方程为(y-y1)/(y2-y1)＝(xx1)/(x2-x1) (4)截距式：设直线 l 在x、y轴截距分别为a、b(ab≠0) 则直线l的方程为x/a+y/b＝1. (5)一般式：直线l的一般式方程为Ax+By+C＝0(A2+B2≠0)
(
)
(A
(C)2x+y-7=0
(D)2y-x-4=0
6 曲线y=2x-x3在点(-1，-1)处的切线方程是( A )
A x+y+2=0 B x+y+3=0 C x+y+4=0 D x+y+5=0
能力·思维·方法
1.过点P(2，1)作直线l交x、y轴的正半轴于A、B两点， 当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求 直线l的方程.
3.经过点(2，1)，且方向向量为v=(-2,2)的直线l的方程 是__x_+_y_-_3_=_0_____.
4.过点(-1，1)在x轴与y轴上截距的绝对值相等的直线 有___2_条____.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|,
若 直 线 PA 的 方 程 为 x-y+1=0 ， 则 直 线 PB 的B方 程 为
直线和圆(复习)-圆的方程复习PPT课件
)
4.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a＞0)及直线l：x-y+3=0当直线l被C截得的弦长为 则a=( ) C (A) (B) (C) (D)
时，
返回
5.直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-5y=0交于两点A、B，且OA⊥OB (O为原点)，求m的值.
返回
6．过点P(-2，-3)作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线，切点分别为A、B.求： (1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程； (2)直线AB的方程； (3)线段AB的长.
故所求直线的方程是 即：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
解法2：由已知圆的标准方程是（x-2）2+（y-2）2=1
所以圆C关于x轴的对称圆C’：（x-2）2+（y+2）2=1 令l的方程：y-3=k（x+3），即kx-y+3+3k=0 所以直线l与圆C’相切 所求直线的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 y
A
C
o C’
x
解法3：点A（-3，3）关于x轴的对称点A’（-3，-3）在反射光线的反向延长线上，所以 设反射光线所在直线的方程为y+3=k（x+3） 即kx-y+3k-3=0
所以L的斜率
所求直线的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 y
A
C
o A’
x
例3. 求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2： x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程． 解法一： 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
人教版高中数学直线与圆的方程小结与复习课堂
?
? 6 ? 12 ? 4 ? (?2)
? 3.
又A是直线AB，AC的公共点，故 AB，AC重合 所以A、B、C三点共线 .
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2.求直线25x1? 的面积.
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y ? 0 ? 0和坐标轴围成的三角形
解:如图，直线在 x、y轴上的截距为 5、-2.
故围成的三角形面积为 S ? 1 ? 5? | ?2 |? 5. y2
y
由
? ? ?
x
y? ? 3y
kx ? 1 ? 10 ?
0得xAຫໍສະໝຸດ ?7 3k ? 1
l1
由???2xy??yk?x?8? 1 0
得xB
?
7 k?
2
A(x0 , y0 )
又P (0,1)为线段AB的中点
P
? 7 ? 7 ? 20? ，得k ? ? 1
3k ? 1 k ? 2
4
直线l的方程为y ? ??1 x 1，即x ??44y 4
d ? | C1 ? C2 | A2 ? B2
tan ? ? k2 ? k1
1 ? k1k2
tan? ? k2 ? k1
1? k1k2
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课堂练习
高2008级数学教学课件
1.求证点A(?2,12), B(1,3),C(4,?6)在同一条直 .
证明：?
kAB
?
3 ? 12 1? (?2)
? ? 3, kAC
O
?0
x
B
l2
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例3.求过点P(0,1)的直线l方程，使l在两直线l1x： ? 3y ? 10 ? 0 与lx2：2 ? y ? 8 ? 0之间的线段中点恰为点P.
【课件】第二章 直线和圆的方程 章节复习课件-高一上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
直线的方程
[例 1] 若直线经过点 A(－ 3，3)，且倾斜角为直线 3x＋y＋1＝0 的 倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．
[解析] 由 3x＋y＋1＝0 得此直线的斜率为－ 3，所以倾斜角为 120°， 从而所求直线的倾斜角为 60°，故所求直线的斜率为 3.
弦长与切线问题
[ 例 10 ] 已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线 l 过定点 A(1,0)．
(1)若 l 与圆 C 相切，求 l 的方程；
(2)若 l 与圆 C 相交于 P，Q 两点，且|PQ|＝2 2，求此时直线 l 的方程．
【解】（2）由直线 l 与圆 C 相交可知，直线 l 的斜率必定存在，且不为 0，
直线与圆、圆与圆的位置关系
[ 例 9 ] 圆(x－3)2＋(y－3)2＝9 上到直线 3x＋4y－11＝0 的距离等于 1 的点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[ 解析] 因为圆心到直线的距离为|9＋152－11|＝2，
又因为圆的半径为 3，所以直线与圆相交，
由数形结合知，圆上到直线的距离为 1
圆的方程
[例 5] 已知圆 C 经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在 x 轴上截得的弦长 等于 6，则圆 C 的方程为________________．
[ 解析] 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
将
P，Q
两点的坐标分别代入得：2D－4E－F＝20，① 3D－E＋F＝－10.②
[解析] ∵l1∥l2，∴m2 ＝m8 ≠－n1，∴nm≠＝－4，2 或mn≠＝2－. 4，
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例4.直线l过点M (2,1)且分别与x，y轴正半轴交于A, B两点， O为坐标原点， （）当ABC面积最小时，求直线l的方程 1 （2）当 MA MB 取得最小时，求直线l方程
(2)解法1.由已知可设直线l方程为y （x 2） 1 k ，（k 0）
1 则A(2 , 0), B(0,1 2k ), 又M (2,1)是线段AB上的点 k MA MB MA MB MA MB
1 2 ( , 1)( 2, 2k ) ( ) ( 2 k ) 4 k k 2 当且仅当 2k 0时，即k 1时成立 k 直线方程为y ( x 2) 1, 即x y 3 0
3 等号当且仅当 sin 2a 1时成立，又 ，）， （ 2 4 2 t x 2 2 直线方程为 x y 3 0 y 1 2 t 2
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3 0 k 0 4 5 5
3 k 4
y L
3x 4 y 5 0
o
x L1
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典型例题分析
例1.直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移2 个单位，则直线l又回到原来的位置，求直线l的倾斜角
解：设P( x0 , y0 )是直线l上一点，经平移后到点 ( x0 3, y0 2) Q
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教学目的：
1. 理解直线斜率的概念，掌握过两点的直 线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直 线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、 两点式和直线方程的一般式，并能根据条 件熟练地求出直线的方程; 2．掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握 两条直线的夹角和点到直线的距离公式； 能够根据直线的方程判断两条直线的位置 关系; 3．会用二元一次不等式表示平面区域;
(1)解法2.由已知可设A(a,0), B(0, b), a 0, b 0
x y 2 1 从而直线l的方程可写成 1，且 1 a b a b 1 1 4 SAOB OA OB ab 4 2 1 2 2 a b 1 当且仅当 a b时等号成立， a 4，b 2 2 x y l的方程为 1，即x 2 y 4 0 4 2
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高2008级数学教学课件
教学重点：
汇总知识点
教学难点：
常规解题思路的形成
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直线的倾斜角及斜率 点斜式 斜截式 一般式
直 线 方 程
两点式 截距式 点到直线距离 两条直线位置关系
平行 重合 相交 垂直 交点 夹角
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高2008级数学教学课件
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（ x 2 cos a）t 解法2.设直线l的方程为 （ y 1 sin a）t
tR
其中 ，）为直线l的倾斜角， （ 2 1 2 则A，B两点对应的t A , tB , sin a cos a
2 4 由参数t的几何意义 MA MB t AtB 4 sin a cos a sin 2a
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教学目的：
4. 了解简单的线性规划问题，了解线性规 划的意义，并会简单的; 5．了解解析几何的基本思想，了解用坐标 法研究几何问题; 6．掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数 方程的概念.理解圆的参数方程; 7．结合教学内容进行对立统一观点的教育; 8．实习作业以线性规划为内容，培养解决 实际问题的能力 .
解:由直线垂直的充要条件得
(3a 2)((a 4) (5a 2)(1 4a) 0
a 0或a 1.
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4.求平行于直线x y 2 0且与它距离为2 2的 直线方程.
解：设所求直线方程为x y C 0
| 2 C | 由 2 2 2
(1)解法1.由已知直线l的斜率k 0，设l方程为：y （x 2） 1 k
1 它与x正半轴交于A(2 , 0), 与y轴正半轴交于（0， 2k） B 1 k 1 1 1 1 SAOB OA OB (2 )(1 2k ) 2 [( 2k ) ] 22 4 2 2 k (2k )
与直线l1，l2分别交于A, B两点
y
y kx 1 由 x 3 y 10 0 y kx 1 由 2 x y 8 0
7 得xA 3k 1 7 得xB k 2
A( x0 , y0 )
l1
又P(0,1)为线段AB的中点
7 7 1 2 0，得k 3k 1 k 2 4 1 直线l的方程为y x 1，即x 4 y 4 0 4
x0 3 y0 10 0 2( x0 ) (2 y0 ) 8 0
A(4, 2), B(4,0)
从而由两点式得l的方程为：x 4 y 4 0
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例4.直线l过点M (2,1)且分别与x，y轴正半轴交于A, B两点， O为坐标原点， （）当ABC面积最小时，求直线l的方程 1 （2）当 MA MB 取得最小时，求直线l方程
1 从而直线l的倾斜角 取值范围是： [arctan 5， arctan ] 2
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例3.求过点P(0,1)的直线l方程，使l在两直线l1：x 3 y 10 0 与l2：x y 8 0之间的线段中点恰为点P. 2
解法1.设直线l的方程为y kx 1 ，（k不存在时，不满足题设条件）
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课堂练习
1.求证点A(2,12), B(1,3),C(4,6)在同一条直线上 .
证明： k AB
3 12 6 12 3, k AC 3. 1 (2) 4 (2)
又A是直线AB，AC的公共点，故AB，AC重合 所以A、B、C三点共线.
( 2k 0)
1 1 1 2 当且仅当 2k 即k 时取 " "，又k 0，取k 2k 4 2 1 故l的方程为y （x 2） 1，也即x 2 y 4 0 2
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例4.直线l过点M (2,1)且分别与x，y轴正半轴交于A, B两点， O为坐标原点， （）当ABC面积最小时，求直线l的方程 1 （2）当 MA MB 取得最小时，求直线l方程
Y
解：如图当k 存在时，k kPA或k kPB 直线l与线段AB相交
B(3,0) O X
P
A(-2,-3)
3 2 而k PA 5 2 1 （ ） 02 1 k PB 3 1 （ ） 2
1 k 取值范围是k ， ] [5， ）或k不存在 （ 2
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高2008级数学教学课件
2.求直线2 x 5 y 10 0和坐标轴围成的三角形 的面积.
解:如图，直线在x、y轴上的截距为5、-2.
1 故围成的三角形面积为 S 5 | 2 | 5. 2 y
L o -2数学教学课件
3.直线(3a 2) x (1 4a) y 8 0和 (5a 2) x (a 4) y 7 0互相垂直, 求a的值.
直线 方程 名称 点斜 式 已知条件 对应方程 适用条件 不适用情况
斜率k 点( x1 , y1 )
斜率k 纵截距b 两点 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) 横截距a 纵截距b
斜率k不 y y1 k ( x x1 ) 斜率K存在 存在 x x1
斜截 式
两点 式
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
斜率k不 斜率K存在 存在
x1 x2 y1 y2
x x1
与坐标轴垂 直的直线 过原点及与 坐标轴垂直 的直线
截距 式
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a0 b0
高2008级数学教学课件
斜率公式
y2 y1 k ,( x1 x2 ) x2 x1
两点间的
距离公式
PP2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 1
点到直线的距 离公式
d
d
| Ax0 By0 C | A2 B 2
| C1 C2 | A B
2 2
平行线间的距 离公式
到角及夹角公 式
k2 k1 tan 1 k1k2
k2 k1 tan 1 k1k2
C 2或C 6
故所求直线方程为：
x y 2 0或x y 6 0
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高2008级数学教学课件
5.求和直线3x 4 y 5 0关于x轴对称的直线方程. 5 解：直线3x 4 y 5 0与x轴的交点为( , 0). 3 5 设所求直线方程为 y k ( x )得 3
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P
x
O
B
l2
高2008级数学教学课件
例3.求过点P(0,1)的直线l方程，使l在两直线l1：x 3 y 10 0 与l2：x y 8 0之间的线段中点恰为点P. 2
解法2.设直线l与l1 , l2分别交于A, B，设A( x0 , y0 ) x0 xB 2 0 又由A, B两点关于P(0,1)中心对称可知 y0 yB 1 2 B( x0 , 2 y0 ), 又A, B在l1，l2上