高一数学求函数解析式方法总结(课堂PPT)
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求函数的解析式ppt(公开课课件)
４、解函数方程组法： 例６、已知3 f ( x ) 2 f ( ) x 求 f ( x)
3f 解：由 3 f 1
1 x ( x 0)
，
( x) 2 f ( ) x x 1 1
( ) 2 f ( x) x x 3x 2 ( x 0) 解得 f ( x ) 5 5x
f (1 1 x ) 1 x
2
1
换元法 （1）解：令 1 则
1 x
1 x t
t 1 且 t 1
2 2
f ( t ) ( t 1) 1 t 2 t
即 f ( x) x 2 x
2
( x 1)
例2、已知 f ( 4xห้องสมุดไป่ตู้+ 1 ) =
解：设 t = 4x + 1
4 即 f (t ) 16 (
f (x)
4x 6 16 x
2
1
，求 f (x)
则x
t 1 4
t1
6
2
4 t1
t5 ( t 1) 1
2
) 1
4 x5
( x 1) 1
2
2、配变量法： 例3、求出函数的解析式：
f (x 1 x ) x
2
1 x
即
即
2 y 4 x
1 4x
y x2
1 x4
1 x4
故 g ( x)
x2
( x 4)
练习
1 若 f x 2 2若f (
x
2
x
1 求 f
x
x ) x求 f
x
3 已 知
2012届高一数学专题复习课件：函数解析式的求法
思维启迪
问题（1）由题设f（x）为二次函数，
故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；
问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此
1 可用换元法；问题（3）已知条件中含x， ，可用 x
解方程组法求解.
haokejian
解 :（1）∵f（x）为二次函数，
∴设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.
f 3 10 f ( x) x 1 2 2 y f x 3 ( x 3) 1 x 6x 10
2
haokejian
x 2x 1 1 2 ( x 1) 1
2
配凑法
方法二：令t x 1, 则x t 1 2 f t f x 1 x 2 x 2
haokejian
练习2:（求下列二次函数解析式）
若抛物线y=(m2-2)x2-4mx+n对称轴是 1 直线x=2,且最高点在直线 y x 1 上. 2 解法:可先求出顶点坐标(2,2),
再由题意得
m2 2 0 4m 2 2( m 2 2 ) 4n(m 2 2) (4m) 2 2 4 ( m 2 2)
六、迭代法
例6 已知 f{f[f(x)]}=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x). 解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则: f[f(x)]=a2x+ab+b. ∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b. 由题意知: a3x+a2b+ab+b≡27x+13. 比较系数得: a=3, b=1. 故 f(x)=3x+1. 评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法.
高一数学求函数解析式方法总结精品PPT课件
例3.设f(x)满足关系式 求函数的解析式
f
x
2
f
1 x
3x
解:令 x 1 f ( 1 ) 2 f ( x) 3 1
xx
x
联立方程，得：
f (x) 2 f ( 1 ) x
f ( 1 ) 2 f (x)
3x 3
x
x
解得 f ( x) x 2 x
练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
1 x2ห้องสมุดไป่ตู้
+
1 x
=(
1 x
+1)2-(
1 x
+1)+1
=(
x+1 )2-( x
x+1)+1 并且 x
x+1 x
≠1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
评注: 若在给出的函数关系式中
x2+1 x2
+
1 x
与
x+1 x
的关系
不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系.
二.换元法
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的 可用换元法，具体为：令t=g(x),在求 出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要 确定新元t的取值范围。
分析：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数 f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件 下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对
函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。
解：方法一：f ( x 1) x 2 2x 2
x2 2x 11 ( x 1)2 1
换元法
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.
高一数学求函数解析式方法总结
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
PPT课件
8
方法二：令tx1,则 xt1
f tf x1x22x2 t122t12t21，
f xx21. f 3 10. y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
换元法
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.
解得： f x 11 x
22
PPT课件
17
解方程组法
例3 已知 f(x)+f( x-1 )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x).
x
解: 记题中式子为①式,
用
x-1 x
代替①中的
x,
整理得:
f(
x-1 x
)+f(
1 1-x
)=
2x-1 x
②,
再用
1 代替①中的 x, 1-x
整理得:
f(
1 1-x
求函数的解析式
PPT课件
1
一.配凑法
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析 式的右端整理成只含有g(x)的形式，再 把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公 式。
已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解 析式,
PPT课件
2
已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
PPT课件
11
例2 已知f(x)是二次函数，且
f(x 1 )f(x 1 ) 2 x 2 4 x 4 求 f (x).
解：设 f(x)a2xb xc(a 0)
f( x 1 ) f( x 1 ) 2 a 2 x 2 b 2 x a 2 c 2x24x4
a1,b2,c1
高中数学人教B版必修一课件2.1.2函数的表示方法-1-解析式的求法
2x2 4x 4
a 1,b 2, c 1
f (x) x2 2x 1
练习：1.若f ( f (x)) 4x 1,求一次函数f (x)的解析式 2.已知函数是一次f函(x数) ，且经过（1， 2），（2，5）求函数的解析式y f (x)
3.已知函数f (x 1) ax b且f (0) 1, f (1) 2 求函数f (x)的解析式函数的解析式
f
x
2
f
1 x
3x
练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
五.赋值法
例4已知定义在R上的函数f(x)，对任意 实数x,y满足：f (x y) f (x) 2xy y2 y
且f (0) 1， 求 f (x).
你能总结出常用的求解析式的方法吗？
1.直接代入法 2.待定系数法 3.换元法或配凑法 4.方程组法 5.赋值法
18
再见
如果F是函数y=f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x,y)都 满足函数关系式y=f(x)；反之，满足函数关系式y=f(x)的 点(x,y)都在图像F上。
3
例某种笔记本的单价是5元，买x个 笔x 记1本,2,需3,4要,5 y元。
试用函数的三种表示法表示函数.
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝
解： 令x y得
f (0) f (x) 2x2 x2 x
f (x) x2 x 1
练习：已知函f (x数) 对于一切实数都x,有y
f (x y) f ( y) (x 2y 1)x 成立，且
f (1) 0
1.求 f (0) 的值
a 1,b 2, c 1
f (x) x2 2x 1
练习：1.若f ( f (x)) 4x 1,求一次函数f (x)的解析式 2.已知函数是一次f函(x数) ，且经过（1， 2），（2，5）求函数的解析式y f (x)
3.已知函数f (x 1) ax b且f (0) 1, f (1) 2 求函数f (x)的解析式函数的解析式
f
x
2
f
1 x
3x
练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
五.赋值法
例4已知定义在R上的函数f(x)，对任意 实数x,y满足：f (x y) f (x) 2xy y2 y
且f (0) 1， 求 f (x).
你能总结出常用的求解析式的方法吗？
1.直接代入法 2.待定系数法 3.换元法或配凑法 4.方程组法 5.赋值法
18
再见
如果F是函数y=f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x,y)都 满足函数关系式y=f(x)；反之，满足函数关系式y=f(x)的 点(x,y)都在图像F上。
3
例某种笔记本的单价是5元，买x个 笔x 记1本,2,需3,4要,5 y元。
试用函数的三种表示法表示函数.
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝
解： 令x y得
f (0) f (x) 2x2 x2 x
f (x) x2 x 1
练习：已知函f (x数) 对于一切实数都x,有y
f (x y) f ( y) (x 2y 1)x 成立，且
f (1) 0
1.求 f (0) 的值
函数的解析式PPT教学课件
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中图版新课标系列课件
《高中地理》
选修二
2.3 海底地形的形成
美国地震地质学家迪茨提出,海底扩张说认为，大洋
底部地壳不断生成一扩张一消亡的过程，是地幔中 物质对流的结果。
• 板块构造学说认为，大洋板块和大陆板块 相互碰撞时，大洋板块密度大，位置低， 俯冲到大陆板块之下。俯冲地带形成海沟、 岛弧和海岸山脉。
(2)解出x=φ(t)；
(3)将g(x)=t，x=φ(t)同时代入函数f[g(x)]并简化；
(4)以x代t且写出x的取值范围(即t的取值范围)
2.设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截 距为1，被x轴截得的线段长为2 2，求f(x)的解析式
【解题回顾】根据对f(x-2)=f(-x-2)的不同理解，可设不同 形式的二次函数.一般地，若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则 函数f(x)关于直线x=a对称.这里应和周期函数定义区别开来 .
2
3
4
5.若一次函数y=f(x)在区间[-1，2]上的最小值为1，最大值 为3，则f(x)的解析式为__32__x___53_或____32_x___73__
6.在一定的范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足
一次函数关系.如果购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，
每吨为700元.一客户购买400吨单价应该是( C )
3.已知函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2，3)对称，求 g(x)的解析式.
【解题回顾】求与已知函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)对 称的函数解析式y=g(x)时，可用代对称点法.
4.甲乙两车同时沿着某条公路从A地驶往300km外的B地， 甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后， 再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶 (I)请将甲车离A地路程x(km)表示为离开A地时间t(h)的函 数，并画出这个函数的图象；
中图版新课标系列课件
《高中地理》
选修二
2.3 海底地形的形成
美国地震地质学家迪茨提出,海底扩张说认为，大洋
底部地壳不断生成一扩张一消亡的过程，是地幔中 物质对流的结果。
• 板块构造学说认为，大洋板块和大陆板块 相互碰撞时，大洋板块密度大，位置低， 俯冲到大陆板块之下。俯冲地带形成海沟、 岛弧和海岸山脉。
(2)解出x=φ(t)；
(3)将g(x)=t，x=φ(t)同时代入函数f[g(x)]并简化；
(4)以x代t且写出x的取值范围(即t的取值范围)
2.设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截 距为1，被x轴截得的线段长为2 2，求f(x)的解析式
【解题回顾】根据对f(x-2)=f(-x-2)的不同理解，可设不同 形式的二次函数.一般地，若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则 函数f(x)关于直线x=a对称.这里应和周期函数定义区别开来 .
2
3
4
5.若一次函数y=f(x)在区间[-1，2]上的最小值为1，最大值 为3，则f(x)的解析式为__32__x___53_或____32_x___73__
6.在一定的范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足
一次函数关系.如果购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，
每吨为700元.一客户购买400吨单价应该是( C )
3.已知函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2，3)对称，求 g(x)的解析式.
【解题回顾】求与已知函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)对 称的函数解析式y=g(x)时，可用代对称点法.
4.甲乙两车同时沿着某条公路从A地驶往300km外的B地， 甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后， 再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶 (I)请将甲车离A地路程x(km)表示为离开A地时间t(h)的函 数，并画出这个函数的图象；
高一数学专题复习课件：函数解析式的求法
高一数学专题复习课 件：函数解析式的求
法
目录
• 函数解析式的基本概念 • 一次函数的解析式 • 二次函数的解析式 • 分式函数的解析式 • 三角函数的解析式
01
函数解析式的基本概念
函数解析式的定义
பைடு நூலகம்
函数解析式是表示函数关系的数学表达式，它包含了函 数的自变量和因变量之间的关系。
函数解析式通常由代数式、分式、根式等数学符号组成 ，可以表示函数的值域、定义域和对应关系。
详细描述
分式函数的标准形式是分式函数中最简单的一种形式，其特 点是分子是一次多项式，分母是线性因子。这种形式的函数 在解决实际问题中经常出现，如速度、加速度等物理量的计 算。
分式函数的真分式形式
总结词
分式函数的真分式形式是指形如 f(x)=a*(x-b)/(x-c) 的函数，其中 a、b、c 是常 数且 a ≠ 0。
三角函数的辅助角公式
01 辅助角公式的定义
通过三角函数的加、减、乘、除等运算，将一个 复杂的三角函数式化为一个单一的、易于处理的 三角函数形式。
02 辅助角公式的应用
在解决三角函数的求值、化简、证明等问题时， 辅助角公式是一个非常有用的工具。它可以简化 复杂的三角函数表达式，使其更容易处理。
03 常见的辅助角公式
详细描述
分式函数的真分式形式是分式函数的一种特殊形式，其特点是分子和分母都是一 次多项式。这种形式的函数在解决实际问题中也有应用，如路程、时间、速度的 关系等。
分式函数的假分式形式
总结词
分式函数的假分式形式是指形如 f(x)=a*(x+b)/(x^2+c) 的函数，其中 a、b、c 是常数 且 a ≠ 0。
$sin(x + frac{pi}{2}) = cos x$，$cos(x + frac{pi}{2}) = -sin x$，$tan(x + frac{pi}{2}) = cot x$等。
法
目录
• 函数解析式的基本概念 • 一次函数的解析式 • 二次函数的解析式 • 分式函数的解析式 • 三角函数的解析式
01
函数解析式的基本概念
函数解析式的定义
பைடு நூலகம்
函数解析式是表示函数关系的数学表达式，它包含了函 数的自变量和因变量之间的关系。
函数解析式通常由代数式、分式、根式等数学符号组成 ，可以表示函数的值域、定义域和对应关系。
详细描述
分式函数的标准形式是分式函数中最简单的一种形式，其特 点是分子是一次多项式，分母是线性因子。这种形式的函数 在解决实际问题中经常出现，如速度、加速度等物理量的计 算。
分式函数的真分式形式
总结词
分式函数的真分式形式是指形如 f(x)=a*(x-b)/(x-c) 的函数，其中 a、b、c 是常 数且 a ≠ 0。
三角函数的辅助角公式
01 辅助角公式的定义
通过三角函数的加、减、乘、除等运算，将一个 复杂的三角函数式化为一个单一的、易于处理的 三角函数形式。
02 辅助角公式的应用
在解决三角函数的求值、化简、证明等问题时， 辅助角公式是一个非常有用的工具。它可以简化 复杂的三角函数表达式，使其更容易处理。
03 常见的辅助角公式
详细描述
分式函数的真分式形式是分式函数的一种特殊形式，其特点是分子和分母都是一 次多项式。这种形式的函数在解决实际问题中也有应用，如路程、时间、速度的 关系等。
分式函数的假分式形式
总结词
分式函数的假分式形式是指形如 f(x)=a*(x+b)/(x^2+c) 的函数，其中 a、b、c 是常数 且 a ≠ 0。
$sin(x + frac{pi}{2}) = cos x$，$cos(x + frac{pi}{2}) = -sin x$，$tan(x + frac{pi}{2}) = cot x$等。
求函数的解析式的问题 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1.配凑法:从f(g(x))的解析式中配凑出g(x),即 用g(x)来表示,再将解析式两边的g(x)用x表示. 2.换元法:令t=g(x),求出f(t)即可.
已知f(g(x))解析式,求f(x)，用换元法、配凑法 （注意换元后“元”的取值范围）
【课堂练习】
1.已知f
(
1) x
x 1 x2
, 求f
( x).
【课堂练习】已知2 f (x) f (x) 3x 1,求f (x)的解析式
f (x) 3x 1 3
作业
（1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x+3,则f(x)的解析式.
2.已知f ( x)是二次函数,且满足f (0) 1, f ( x 1)－f ( x)＝2 x,求f ( x)的解析式.
高中数学函数多数是以解析式的形式出现的
【代入法】 【例1】已知f (x) x2 3x 1, 求函数f (x 1).
f (x 1) x2 5x 1
已知f(x),求f[g(x)]解析式,用代入法
【配凑法】【换元法】 【例2】已知f ( x 1) x 2 x, 求函数f (x).
f (x) x2 1(x 1)
2.已知f( x-1)=3-x，求f(x)的解析式
(1)
f
(x)
x
x 2 1
(
x
Hale Waihona Puke 0，1)(2) f (x) 2 x2(x 0)
【待定系数法】 【例3】已知f (x)是一次函数,若f ( f (x)) 9x 8, 求f (x)的解析式.
f (x) 3x 1或f (x) 3x 2
已知函数f(x)类型,求f(x)的解析式，用待定系数法（要注意某 些量不等于0）
f (x) x2 x 3
已知f(g(x))解析式,求f(x)，用换元法、配凑法 （注意换元后“元”的取值范围）
【课堂练习】
1.已知f
(
1) x
x 1 x2
, 求f
( x).
【课堂练习】已知2 f (x) f (x) 3x 1,求f (x)的解析式
f (x) 3x 1 3
作业
（1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x+3,则f(x)的解析式.
2.已知f ( x)是二次函数,且满足f (0) 1, f ( x 1)－f ( x)＝2 x,求f ( x)的解析式.
高中数学函数多数是以解析式的形式出现的
【代入法】 【例1】已知f (x) x2 3x 1, 求函数f (x 1).
f (x 1) x2 5x 1
已知f(x),求f[g(x)]解析式,用代入法
【配凑法】【换元法】 【例2】已知f ( x 1) x 2 x, 求函数f (x).
f (x) x2 1(x 1)
2.已知f( x-1)=3-x，求f(x)的解析式
(1)
f
(x)
x
x 2 1
(
x
Hale Waihona Puke 0，1)(2) f (x) 2 x2(x 0)
【待定系数法】 【例3】已知f (x)是一次函数,若f ( f (x)) 9x 8, 求f (x)的解析式.
f (x) 3x 1或f (x) 3x 2
已知函数f(x)类型,求f(x)的解析式，用待定系数法（要注意某 些量不等于0）
f (x) x2 x 3
【优】高一必修一求函数解析式PPT资料
求
解析式
2 a x a b 2 x 分析：如果将题目所给的
看成两个变量，那么该等式即可看作二元方程，那么必定还需再找一个关于它们的方程，那么
交换 x与1/x形成新的方程
求
解析式
2a 2
a
b
a
0
b
1
1
f (x)
x2
x 1
练 习 ： 若 f[f(x)]4x3,求 一 次 函 数 f(x)的 解 析 式
例 4 ： 已 知 f(0 ) 1 ,f(x y )f(x ) y (2 x y 1 ) 求 f(x )
法 二 ： 令 xy则 f(0)f(x)x(2xx1) f(x)x2x1
练习：设对任意实数x,y均有 f(xy)2f(y)x22xyy23x3y 求f(x)的解析式
练习2：已知2f (x) f (1) 3x, x
求函数f (x)的解析式
本堂小结：
求函数解析式的三种常见的方法技 巧： 1，待定系数法：已知函数类型 2，换元法：未知函数类型 3，消元法
赋值法:如果一个函数关系式中的变量对 某个范围内的一切值都成立,则对此范围 内的某些值必成立,细心观察巧妙赋值.
分析：这一题已知函数是什么类型的函数，那么我们只需设出相应的解析式模型，通过方程组解出系数即可——待定系数法
求 f ( x ) 解析式 高一必修一求函数解析式
1，待定系数法：已知函数类型
求函数解析式的三种常见的方法技巧：
解： f ( x ) a x b x c 分引析例： ：这已一知题函已数知f(x函)是数一是次什函么数类，型且的经函过数，那么2 我们只需设出相应的解析式模型，通过方程组解出系数即可——待定系数法
高一必修一求函数解析式
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f(x)x21 f 3 10
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
3
练习：1.已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 2.若 f( x1)x2 x，求 f (x)
的解析式
1）f（x+1）=x-3 2）f ( x 1) x2 x
=x+1-4 ∴f（x）=x-4
设：f（x）=ax+b，
则f（f（x))=a(ax+b)+b
=a2x+ab+b=4x-1
∴a2=4,ab+b=-1
∴a=2,b=
1 3
或a=-2，b=1
f（x）=2x- 1 或f（x）=-2x+1
3
13
2.已知函数 f ( x) 是一次函数，且经过(1，2)， （2，5）求函数 y f(x)的解析式
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
8
方法二：令tx1,则 xt1
f tf x1x22x2 t122t12t21，
f xx21. f 3 10. y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
换元法
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.
x2 x 11 ( x 1)2 1
∴f（x）=x2-1，
（x≥1）
4
例1 已知 f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
,
求 f(x).
解: ∵f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
=1+
1 x2
+
1 x
=(
1 x
+1)2-(
1 x
+1)+1
=(
x+1 )2-( x
x+1)+1 并且 x
x+1 x
求函数的解析式
1
一.配凑法
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析 式的右端整理成只含有g(x)的形式，再 把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公 式。
已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解 析式,
2
已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
解： f(x1)x22x2 x22x11 (x1)2 1
2 2 ，求f(x)的解析式；
（2）已知 f( x1)x2x,求 f(x);
（3）已知f(x)满足2f(x)+
f
(
1 x
)
=3x,求f(x).
思维启迪 问题（1）由题设f（x）为二次函数，
故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；
3x
解:令 x 1 f(1)2f(x)31
xx
x
联立方程，得：
f (x) 2 f ( 1 ) x
f ( 1 ) 2 f (x)
3x 3
x
x
解得 f(x)x 2 x
16
练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
解:令x=-x,则3f（-x）+f（x）=2+x 联立方程组，得：33ff((x)x)f(f(xx))22xx
9
1 练习.已知f（ x ）=x2+5x,则f(x)=
1 5x x2
(x
0)
.
解析 x 0,令1 t,即x 1(t 0),xt Nhomakorabeaf
(t)
(1)2 t
5·1 t
15t t2
(t
0),
故f
(x)
15x x2
(x
0).
10
三.待定系数法
已知函数模型（如：一次函数，二 次函数，等）求解析式，首先设出 函数解析式，根据已知条件代入求 系数
解 ： 设 F x
f
x
2
f
1 x
3x
(1 )
F
1 x
f
1 x
2
f
1 1 x
31 x
f
1 x
2
f
x
3 x
(2 )
有 （1） （ 2） 得 f x 2 x x 0
x
19
【练习】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，
且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为
2-x 1-x
③,
解由 ①, ②, ③ 组成的方程组, 得:
f(x)=
x3-x2-1 2x(x-1)
.
18
例4.设f(x)满足关系式 求函数的解析式.
f
x2f
1 x
3x
• 分么析该：等如式果即将可题看目作所二给元的方程f ，x 那, f么 1x必 定看还成需两再个找变一量个，关那于
它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程
设f（x）=ax+b， 由题知：f（1）=2，f（2）=5 即a+b=2,2a+b=5 ∴a=3，b=-1 ∴f（x）=3x+b
14
四.方程组法
求抽象函数的解析式，往往通过变 换变量构造一个方程，组成方程组 ，利用消元法求f（x）的解析式
15
例3.设f(x)满足关系式 求函数的解析式
f
x2f
1 x
分析：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数 f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件 下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对
函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。
解：方法一：f(x1)x22x2
x22x11 (x1)2 1
配凑法
f(x)x21
f 3 10
6
已 f(x 知 1 ) x 2 3 x 2 ,求 f(x )
令t=x+1，则x=t-1 ∴f（t）=f（x+1）=(t-1)2-3（t-1）+2
=t2-2t+1-3t+3+2 =t2-5t+6 ∴f(x)=x2-5x+6
7
二、换元法
例2.已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
11
例2 已知f(x)是二次函数，且
f(x 1 )f(x 1 ) 2 x 2 4 x 4 求 f (x).
解：设 f(x)a2xb xc(a 0)
f( x 1 ) f( x 1 ) 2 a 2 x 2 b 2 x a 2 c 2x24x4
a1,b2,c1
f(x)x22x1
12
练习：1. 若 f(f(x) )4x1,求一f次 (x)的 函 解 数
解得： f x 11 x
22
17
解方程组法
例3 已知 f(x)+f( x-1 )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x).
x
解: 记题中式子为①式,
用
x-1 x
代替①中的
x,
整理得:
f(
x-1 x
)+f(
1 1-x
)=
2x-1 x
②,
再用
1 代替①中的 x, 1-x
整理得:
f(
1 1-x
)+f(x)=
≠1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
评注: 若在给出的函数关系式中
x2+1 x2
+
1 x
与
x+1 x
的关系
不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系. 5
二.换元法
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的 可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出 f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确 定新元t的取值范围。
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
3
练习：1.已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 2.若 f( x1)x2 x，求 f (x)
的解析式
1）f（x+1）=x-3 2）f ( x 1) x2 x
=x+1-4 ∴f（x）=x-4
设：f（x）=ax+b，
则f（f（x))=a(ax+b)+b
=a2x+ab+b=4x-1
∴a2=4,ab+b=-1
∴a=2,b=
1 3
或a=-2，b=1
f（x）=2x- 1 或f（x）=-2x+1
3
13
2.已知函数 f ( x) 是一次函数，且经过(1，2)， （2，5）求函数 y f(x)的解析式
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
8
方法二：令tx1,则 xt1
f tf x1x22x2 t122t12t21，
f xx21. f 3 10. y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
换元法
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.
x2 x 11 ( x 1)2 1
∴f（x）=x2-1，
（x≥1）
4
例1 已知 f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
,
求 f(x).
解: ∵f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
=1+
1 x2
+
1 x
=(
1 x
+1)2-(
1 x
+1)+1
=(
x+1 )2-( x
x+1)+1 并且 x
x+1 x
求函数的解析式
1
一.配凑法
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析 式的右端整理成只含有g(x)的形式，再 把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公 式。
已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解 析式,
2
已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
解： f(x1)x22x2 x22x11 (x1)2 1
2 2 ，求f(x)的解析式；
（2）已知 f( x1)x2x,求 f(x);
（3）已知f(x)满足2f(x)+
f
(
1 x
)
=3x,求f(x).
思维启迪 问题（1）由题设f（x）为二次函数，
故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；
3x
解:令 x 1 f(1)2f(x)31
xx
x
联立方程，得：
f (x) 2 f ( 1 ) x
f ( 1 ) 2 f (x)
3x 3
x
x
解得 f(x)x 2 x
16
练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
解:令x=-x,则3f（-x）+f（x）=2+x 联立方程组，得：33ff((x)x)f(f(xx))22xx
9
1 练习.已知f（ x ）=x2+5x,则f(x)=
1 5x x2
(x
0)
.
解析 x 0,令1 t,即x 1(t 0),xt Nhomakorabeaf
(t)
(1)2 t
5·1 t
15t t2
(t
0),
故f
(x)
15x x2
(x
0).
10
三.待定系数法
已知函数模型（如：一次函数，二 次函数，等）求解析式，首先设出 函数解析式，根据已知条件代入求 系数
解 ： 设 F x
f
x
2
f
1 x
3x
(1 )
F
1 x
f
1 x
2
f
1 1 x
31 x
f
1 x
2
f
x
3 x
(2 )
有 （1） （ 2） 得 f x 2 x x 0
x
19
【练习】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，
且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为
2-x 1-x
③,
解由 ①, ②, ③ 组成的方程组, 得:
f(x)=
x3-x2-1 2x(x-1)
.
18
例4.设f(x)满足关系式 求函数的解析式.
f
x2f
1 x
3x
• 分么析该：等如式果即将可题看目作所二给元的方程f ，x 那, f么 1x必 定看还成需两再个找变一量个，关那于
它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程
设f（x）=ax+b， 由题知：f（1）=2，f（2）=5 即a+b=2,2a+b=5 ∴a=3，b=-1 ∴f（x）=3x+b
14
四.方程组法
求抽象函数的解析式，往往通过变 换变量构造一个方程，组成方程组 ，利用消元法求f（x）的解析式
15
例3.设f(x)满足关系式 求函数的解析式
f
x2f
1 x
分析：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数 f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件 下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对
函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。
解：方法一：f(x1)x22x2
x22x11 (x1)2 1
配凑法
f(x)x21
f 3 10
6
已 f(x 知 1 ) x 2 3 x 2 ,求 f(x )
令t=x+1，则x=t-1 ∴f（t）=f（x+1）=(t-1)2-3（t-1）+2
=t2-2t+1-3t+3+2 =t2-5t+6 ∴f(x)=x2-5x+6
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二、换元法
例2.已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
11
例2 已知f(x)是二次函数，且
f(x 1 )f(x 1 ) 2 x 2 4 x 4 求 f (x).
解：设 f(x)a2xb xc(a 0)
f( x 1 ) f( x 1 ) 2 a 2 x 2 b 2 x a 2 c 2x24x4
a1,b2,c1
f(x)x22x1
12
练习：1. 若 f(f(x) )4x1,求一f次 (x)的 函 解 数
解得： f x 11 x
22
17
解方程组法
例3 已知 f(x)+f( x-1 )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x).
x
解: 记题中式子为①式,
用
x-1 x
代替①中的
x,
整理得:
f(
x-1 x
)+f(
1 1-x
)=
2x-1 x
②,
再用
1 代替①中的 x, 1-x
整理得:
f(
1 1-x
)+f(x)=
≠1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
评注: 若在给出的函数关系式中
x2+1 x2
+
1 x
与
x+1 x
的关系
不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系. 5
二.换元法
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的 可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出 f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确 定新元t的取值范围。