应力状态理论的基础
材料力学应力状态和强度理论
x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2
应力状态的概念
应力状态与强度理论\应力状态的概念
应力状态的概念
1.1 一点处的应力状态
在工程中，只知道杆件横截面上的应力是不够的。例如，在铸 铁试件压缩时，沿与轴线大约成45°左右的斜截面发生破坏（如 图），这是由于在与轴线成45°的斜截面上存在最大切应力所引起 的。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念
力的影响。
为了分析破坏现象以及解决复杂受力构件的强度问题，必须首
先研究通过受力构件内一点处所有截面上应力的变化规律。我们把
通过受力构件内一点处不同方位的截面上应力的大小和方向情况，
称为一点处的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念
1.2 应力状态的表示
为了研究受力构件内一点处的应力状态，可围绕该点取出一个 微小的正六面体，称为单元体，并分析单元体六个面上的应力。由 于单元体的边长无限小，可以认为在单元体的每个面上应力都是均 匀分布的；且在单元体内相互平行的截面上应力都是相同的。
力状态。例如从地层深处某点取出的单元体，它在三个方向都受到 压力的作用，处于空间应力状态（如图）。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念 若平面应力状态的单元体中，正应力都等于零，仅有切应力作
用，称为纯剪切应力状态，例如图所示的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念 应力状态也可以按主应力的情况分类。若单元体的三个主应力
如果知道了单元体的三个互相垂直平面上的应力，则其他任意 截面上的应力都可以通过截面法求得（详见8.2.1），那末该点处的 应力状态就可以确定了。因此，可用单元体的三个互相垂直平面上 的应力来表示一点处的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念
土力学中的有效应力原理
土力学中的有效应力原理有效应力原理是土力学中的重要概念，它是基于有效应力理论的基础，用于描述土体内部颗粒之间的力学状态。
在土力学中，土体的有效应力是指影响土体体积变形和强度特性的部分应力。
有效应力原理的应用可以帮助工程师合理地设计和分析土体的力学性质，从而确保工程的安全可靠。
有效应力原理的基本假设是：土体中的颗粒间存在一定的摩擦力，这种摩擦力会影响土体的力学性质。
在土体受到外部载荷作用时，颗粒之间的摩擦力会使土体内部的颗粒产生相互作用，从而形成一种分布不均匀的应力状态。
有效应力原理认为，只有这种分布不均匀的应力才能真正影响土体的体积变形和强度特性，而与之无关的应力则不会对土体产生影响。
在实际工程中，为了计算和分析土体的力学性质，我们需要确定土体的有效应力。
有效应力的计算是基于有效应力原理进行的。
根据有效应力原理，土体的有效应力等于总应力减去孔隙水压力。
孔隙水压力是指土体中水分所产生的压力，它与土体的饱和度和孔隙水的压力有关。
有效应力原理的应用非常广泛，例如在地基工程中，我们需要考虑土体的有效应力来确定地基的稳定性和承载力。
在岩土工程中，我们需要了解土体的有效应力来评估边坡的稳定性和地下水的渗流规律。
在土石坝工程中，我们需要计算土体的有效应力来评估坝体的变形和破坏机理。
有效应力原理的应用需要考虑土体的物理性质、力学性质以及水分状况等因素。
不同的土体类型和工程环境下的土体特性会对有效应力产生不同的影响。
因此，在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法和模型来计算和分析土体的有效应力。
有效应力原理是土力学中的重要概念，它描述了土体内部颗粒之间的力学状态。
有效应力原理的应用可以帮助工程师合理地设计和分析土体的力学性质，确保工程的安全可靠。
在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法和模型来计算和分析土体的有效应力，以确保工程的顺利进行。
有效应力原理的掌握对于土木工程专业的学生和从事相关工作的工程师来说是非常重要的。
第八章2应力应变状态分析
第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。
应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。
而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。
针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。
应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。
在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。
线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。
一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。
平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。
二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。
在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。
最常见的是材料的应力-应变曲线。
应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。
在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。
而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。
当应力达到最大值时，材料会发生破坏。
除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。
例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。
剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。
同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。
应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。
通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。
例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。
然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。
首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。
第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论
第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。
但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。
实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。
因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。
即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。
⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。
或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。
下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。
⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。
并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。
当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。
因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。
（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。
应力分析基础理论讲义
CAESARII-管道应力分析软件（系列培训教材）管道应力分析基础理论讲义管道应力分析基础理论管道应力分析主要包括三方面内容：正确建立模型、真实地描述边界条件、正确地分析计算结果。
所谓建立模型就是将所分析管系的力学模型按一定形式离散化，简化为程序所要求的数学模型，模型的真实与否是做好应力分析的前提条件。
应力分析的根本问题就是边界条件问题，而体现在工程问题上就是约束（支架）、管口等具体问题的模拟，真实地描述这些边界条件，才能得到正确的计算结果。
要想能够熟练而正确地分析结果，首先会正确设计支吊架，有一定的相关理论知识如工程力学，流体力学，化工设备及机械等，另外需在一定时间内不断摸索，总结出规律性的问题。
第一章管道应力分析有关内容·§1.1 管道应力分析的目的进行管道应力分析的问题很多CAESARII解决的问题主要有：1、使管道各处的应力水平在规范允许的范围内。
2、使与设备相连的管口载荷符合制造商或公认的标准（如NEMASM23，API610 API617等标准）规定的受力条件。
3、使与管道相连的容器处局部应力保持在ASME第八部分许用应力范围内。
4、计算出各约束处所受的载荷。
5、确定各种工况下管道的位移。
6、解决管道动力学问题，如机械振动、水锤、地震、减压阀泄放等。
7、帮助配管设计人员对管系进行优化设计。
§1.2 管道所受应力分类1.2.1 基本应力定义轴向应力（Axial stress）：轴向应力是由作用于管道轴向力引起的平行管子轴线的正应力，：S L＝F AX/A m其中S L＝轴向应力MPaF AX＝横截面上的内力NA m＝管壁横截面积mm2=π（do2-di2)/4管道设计压力引起的轴向应力为S L＝Pdo/4t轴向力和设计压力在截面引起的应力是均布的，故此应力限制在许用应力[σ]t范围内。
弯曲应力（bending stress）：由法向量垂直于管道轴线的力矩产生的轴向正应力。
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
第10章应力状态概述
sx 三个互相垂直的主平面.
主应力：
sz
主平面上的正应力。
z
x 主应力排列规定：按代数值大小，
s2
s 1s 2 s 3
s1 主应力单元体：
由主平面构成的单元体。
s3
六.应力状态的分类: 三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。
s1 17°
x
(e)
解析法：
s max s min
1 2
(s
x
s
y)
1 2
(s x
s y )2
4t
2 x
46.1MPa
26.1MPa
0
1 tg 1 2t x 2 sx sy
16.85o
s 1 46.1MPa, s 2 29MPa, s 3 26.1MPa
t max
s1
s3
2
36.1MPa
t
(c)
s 2 20MPa s 3 26MPa
t
(d)
B
D2
D2
max t
OC
A
s
OC
A
s
D1
s3
s1
D1
s3
s2 s1
最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。
最大剪应力对应于B点的纵坐标，即
tmax BC 36MPa
作用面与s2平行而与s1成45°角，如图e所示。
s3
tmax s2
s2
s1
t
s3
s2
s3
s1
s3
s2
s2
s1
s3
材料力学应力状态
2
y
2
x
y
2 xy
J12 4
J2
R2
sin
2 0
xy
R
c os 2 0
(
x
R
y
)
/
2
x
y
2
R cos(2
20 )
R sin(2 20 )
x
2
y
2
2
R2
x
2
y
2
2 xy
6.2 平面应力状态
H ( , )
B
O
yx
y E
2
R
2
C 2 0
( x y ) / 2 x
y
y yx n
40
30 z
( MPa )
80
x
z 30MPa (主应力) x 80MPa y 40MPa
(1)求主应力
xy 40MPa
~m ~m
ax in
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
104.72 15.28
(MPa)
1 104 .72MPa 2 15.28MPa 3 30MPa
3
2
-30 O 15.28
( 3 1)( 3 2 )
2 n
(
n
2
2
3
)
2
2
3
(
n
2
2
3
)
2
2
3
0
n
2
2
3
2
2 n
2
2
3
2
O
c1
3 2
c2 c3
第二章应力状态理论(弹性力学)
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
应力状态理论
第九章 应力状态理论
三 梁的主应力 主应力迹线
第九章 应力状态理论
（a） ）
图 (a)所示矩形截面梁，设任意截 (a)所示矩形截面梁， 所示矩形截面梁 上的Mz Mz＞ Fs＞ 面n-n上的Mz＞O，Fs＞0， 取出五 个点1 5，可求出n 个点1、2、3、4, 5，可求出n-n截 面上五个点的正应力和切应力, 面上五个点的正应力和切应力,这 五个点的单元体如图(b) 所示。 五个点的单元体如图(b) 所示。其 两点为主应力状态， 中1、5两点为主应力状态，其余三 点为非主应力状态， 点为非主应力状态，可求出它们的 主应力和主平面, (c)所示 所示。 主应力和主平面,如图 (c)所示。
公式推导(2) 公式推导(2) 面上的应力： 面上的应力：
用
斜截面截取，此截面上的应力为
τα
第九章 应力状态理论
公式推导 (3) 面上的应力之间的关系： 面上的应力之间的关系：
τβ
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。
τα
即又一次证明了剪应力的互等定理。 即又一次证明了剪应力的互等定理。
一点应力状态的描述
单元体
第九章 应力状态理论
二 平面应力状态分析 — 数解法
第九章 应力状态理论
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
已知受力构件中的应力单元体
求垂直于xy面 求垂直于xy面 xy 的任意斜截面 ef上的应力 ef上的应力
第九章 应力状态理论
公式推导使用的符号规定： 公式推导使用的符号规定：
第九章 应力状态理论
2.σmin = ?在何处? 该处 τ = ? 在何处?
max
令
则: 即: 面上有
第九章 应力状态理论
8应力状态和强度理论
3
40
max 1 3 3) 40 .3MPa min 2
1
20 14.9o 30
1
单位：MPa
3
例3 简支梁如图所示.已知mm 截面上 A 点的弯曲 正应力和切应力分别为 =-70MPa， =50MPa . 确定: A 点的主应力及主平面的方位 . m A
y =60 MPa
xy = -50MPa =-30°
45 135
0
22.5 67.5
因为 x < y ，所以 0= -22.5° 与 min 对应
x y 2 2 max x y 80.7 MPa ( ) xy 2 2 60.7 MPa min
若 0 时，能使 d 0 d
x y
2
sin 2 0 x cos 2 0 0
最大正应力和最小正应力所在平面就是主平面 , 最大正应力和最小正应力就是两个主应力。
tan 2 0
2 xy
x y
0 、 0 90 , 它们确定两个互相垂直
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
2
2 ) 2 xy
( x a) y 0 R 2
2
因为 x ，y ，xy 皆为已知量, 所以上式是一个以 , 为变量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。 1. 圆心的坐标
即：最大和最小剪应力所在平面与 主平面的夹角为45
例2 图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力； ②主应力并画出主单元体；③极值切应力。
《工程力学》第 10 章 应力状态理论和强度理论
作应力圆：(1) 注意截面的选取
(2) 注意应力的符号，特别是剪应力 求斜截面上的应力： (1) (2) (3) (4) (5) 找准起始点 角度的旋转以C为圆心 旋转方向相同 2倍角的关系 应力的符号
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
18
角度的取值范围和对应关系：
y
x
D 2 2 Dx
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
12
T
T
T I
F
FS
F
x
X
X
M y IZ
QSZ IZb
X
M
X
Y
X
X
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
13
§10-2 平面应力状态分析
X
Y
Y
x
X
y y
x
X
X
x
Y
Y
1. 求斜截面上的应力
y
平面应力状 态 n
0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( ydA sin ) sin ( ydA sin ) cos 0
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
15
y
y
n
Y
X
X
dA
Y
X
x
p
X
x
第九章：复杂应力状态及强度理论
杆在周向截面上没有应力。又由切应力互等定理可知， 杆在径向截面上 B 点处应该有与相等的切应力。于是 此单元体各侧面上的应力如图.
第一节：应力状态概念
三、主平面、主应力、应力状态的分类
主单元体：在一般情况下，表示一点处应力状态的应力单元体在其各个表面上同时 存在有正应力和切应力。但是可以证明：在该点处以不同方式截取的各个单元体中， 必有一个特殊的单元体，在这个单元体的侧面上只有正应力而没有切应力。这样的 单元体称为该点处的主应力单元体或主单元体。
sin 2 cos 2
当 450 时， max
当 00 时， max
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力低于其抗拉能力。 铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低于其抗剪能力。
第二节：二向应力状态分析
例 9-3 图示单元体，x =100MPa，x = – 20MPa， y =30MPa。试求：1） =40º的斜截面上的 和 ；2）确定 A 点处的max、max 和它们所在的
由单向应力状态胡克定律可知：主应力 1、 2和 3 单独作用时，分别对 应的纵向线应变为1/E、2/E和 3/E；令横向变形系数 ，则主应力 2 将引起 1 方向相应的线应变为 – 2 /E；其它同理。故 1 由1 的纵向线 应变与 2、3 分别引起的 1 方向相应的横向线应变三项叠加而成。
主应力表示的 广义胡克定律
第三节：三向应力状态分析
第三节：三向应力状态分析
复杂应力状态下一点处的最大应力 1、一点处的最大正应力
设一点处的主应力单元体如图 a 所示，研究证明，当主应力按 1 2 3
排列时，则有
max 1
min 3
第三节：三向应力状态分析
2、一点处的最大切应力
主应力法的基本原理
主应力法的基本原理主应力法是一种用于工程力学和地质力学中的分析方法，用于确定材料或岩石中的主应力和主应变状态。
该方法可以帮助工程师和地质学家了解材料或岩石的行为，并为设计和分析工程结构提供依据。
主应力法的基本原理包括主应力定义、主应力状态、应力椭圆和主应力轴线等。
首先，主应力是在任何给定点上作用的三个最大和最小的应力分量。
它们分别是法向应力和剪切应力的最大和最小值。
法向应力是垂直于截面的应力分量，而剪切应力是平行于截面的应力分量。
主应力的定义和计算是主应力法的基础。
主应力状态是一个已知点上的主应力分量的集合。
通过测量或计算得到的主应力可以表示为一组坐标或切线。
这些主应力称为主应力轴线。
根据这些主应力轴线，可以确定主应力的状态以及相应的主应变状态。
应力椭圆是用来表示主应力状态和主应变状态的图形。
它是根据主应力轴线的方向和大小绘制的。
应力椭圆是一个椭圆形状，其长轴对应于法向应力的最大值，即主应力1，短轴对应于法向应力的最小值，即主应力3、剪切应力对应于椭圆的主轴之间的角度。
主应力法的基本原理是基于弹性理论和材料力学的基本原理。
弹性理论认为材料在小变形范围内具有线性弹性特性。
根据弹性力学的理论，可以导出材料应力和应变之间的关系。
主应力法利用这些理论分析应力和应变在材料中的分布情况。
主应力方法的基本原理还包括确定应力的主轴方向和大小。
主轴方向是主应力的方向，它表示在给定点上材料中发生拉伸或压缩的方向。
主轴大小是主应力的大小，它表示在给定点上材料中发生的最大或最小应力。
主应力法的实际应用包括与岩石力学、土力学和结构力学等领域相关的工程设计和分析。
它的基本原理是通过测量或计算主应力来确定主应力状态和主应变状态。
然后，可以使用这些结果进行结构设计和分析，以确保结构的稳定性和安全性。
总之，主应力法是一种基于弹性力学原理的分析方法，用于确定材料或岩石中的主应力和主应变状态。
它的基本原理包括主应力定义、主应力状态、应力椭圆和主应力轴线等。
弹性力学3-应力状态、几何方程
s x ,s y ,t xy t yx
应力张量： tsyxx
t xy sy
t t
xz yz
t zx t zy s z
s x t xy
t yx
s
y
第二章 平面问题的基本理论 2.3 平面问题中一点的应力状态
一点的应力状态可以用以下三种方法表示：
用包围该点的微元体（微正六面体）表征 过该点的任意斜截面上的应力 用一点的主应力与主方向表征
2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.4几何方程
几何方程：应变分量与位移分量之间的关系。
fx
dxdy 2
1 0
上式分别将dx、dy用ds 表达：
pxds
s xlds
t yxmds
fx
ldsmds 2
0
ds趋于零时
O
x
t yx s y
P
A
t t xy
Px
n
px ls x mt xy
(2-3a)
sx
微元体竖直静力平衡条件： Fy 0 可得：
Py s n n
B
y pyds 1 s ydx 1 t xydy 1
过P点的微小三角形，两个边分别 O
平行于坐标轴，当面积SAPB无限减小， 趋近于P点时，平面AB上的应力即成
x
t yx s y
P
A
为过P点斜面上的应力。
P点应力分量（直角坐标面上的应
力）已知：s x ,s y ,t xy t yx
CAESAR-II-应力分析理论基础解析
S 1 2
1 2 2 2 3 2 3 12
• 他认为引起材料屈服破坏的主要因素是材料内的变形能。
亦即不论材料处于何种应力状态，只要其内部积累的变形
能达到材料单向拉伸屈服时的变形能值，材料即发生屈服
破坏。
2023/12/8
2023/12/8
材料的机械性能
一、弹性阶段 二、屈服阶段 将下屈服极限称为屈服极限 三、强化阶段 经过屈服阶段后，材料恢复了抵抗变 形的能力，要使其继续变形必须增加 拉力，这种现象称为材料的强化。 四、局部变形阶段 在试件的某一局部范围内，横向尺寸 突然急剧缩小。
• 通俗来讲管道应力分析的任务，实际上是 指对管道进行包括应力计算在内的力学分 析，并使分析结果满足标准规范的要求， 从而保证管道自身和与其相连的机器、设 备以及土建结构的安全。
• 一般来讲，管道应力分析可以分为静力分 析和动力分析两部分。
2023/12/8
静态分析目的
• 静力分析是指在静力载荷的作用下对管道 进行力学分析
• 平面内垂直于半径。 • 剪切力
– 这个载荷在外表面最小，因此在管系应力计算中 省略了这一项。
– 在支撑处要求局部考虑。
• 扭矩
– 最大的应力发生在外表面。 – MT/2Z
2023/12/8
压力容器和管道中应力
• 剪应力 • 薄膜应力
2023/12/8
压力容器和管道弯曲应力
• 梁单元弯曲应力 • 壳单元弯曲应力
压力容器设计所采用的标准分为两类： 一类是按规则设计；另一类是按分析进行设计。常规设计一般以简化计算公 式为基础，再加上一些经验系数，不进行应力分析。
而分析设计中，首先将应力划分为一次应力和二次应力两大类，二者的 定义相似。 一次应力：为平衡压力与其它机械荷载所必须的法向应力或剪应力。其特点 是非自限性，即当结构内的塑性区扩展达到极限状态，使之变成几何可变的 机构时，即使荷载不再增加，仍将产生不可限制的塑性流动，直至破坏。
材料力学之应力状态知识讲解
1
m main =xx 2y
(x 2y)2x2y=
26MPa 96MPa
1=26 MP , a2=0, 3=96 MPa
26
例题 5 图示单元体。
已知: x =-40MPa ，y =60MPa ，xy=-50MPa 。 试求: ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。
(1) 求 ef 截面上的应力
P A
B
C
A A
A
B B C
C
C C
从A、B、C三点截取 7
例题 1 画出如图所示梁 S 截面的应力状态单元体.
F
S平面
l/2 l/2
5 4 3 2
1
8
5
S平面
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x1
1
x1 x2
2
x2
2
2
3
3
3
9
例题2 画出如图所示梁的危险截面上, 危险点的应力状态
yy
单元体。
1
4
FS
2
z
3
z2 xT 3
45°
所以 0= -45°与 max 对应
1
（2）求主应力
m m= a in x x 2y(x 2y)2x 2= y
1 = ， 2 = 0 ， 3 = - 30
§8-3 平面应力状态分析-图解法
一.莫尔圆
将斜截面应力计算公式改写为
= xx 2 2yys=i2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
把上面两式等号两边平方, 然后相加便可消去 , 得
(x 2y)2 2=( x 2y)2x 2y
《应力状态理论》课件
VS
地质工程
在地质工程领域，应力状态理论对于研究 地壳应力分布、地震成因及岩土工程稳定 性等方面具有重要意义。通过将应力状态 理论与地质工程实践相结合，可以更好地 防范地质灾害和提高工程安全性。
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THANKS
应力状态的重要性
工程应用
应力状态理论在工程领域中具有广泛应用，如结构分析、材料力学、岩石力学等，是解决实际工程问题的重要 基础。
学科发展
应力状态理论的发展推动了相关学科的进步，如断裂力学、损伤力学等，为解决复杂工程问题提供了更全面的 理论支持。
应力状态的历史与发展
早期研究
早期的应力状态研究主要集中在静力学领域，如弹性力学和塑性力学等，主要研究物体在受力作用下的平衡问题 。
多物理场耦合研究
在实际应用中，应力状态往往与温度、磁场等其他物理场存在耦合效应。未来研究应关注多物理场耦 合对应力状态的影响，建立更为完善的理论体系。
应力状态理论在其他领域的应用拓展
生物医学工程
在生物医学工程领域，应力状态理论在 骨骼、牙齿、血管等生物组织的生长、 修复和疾病防治等方面具有重要应用价 值。通过研究生物组织的应力状态，可 以为生物医学工程提供新的设计思路和 治疗方案。
应力的基本性质
应力的基本性质包括对称性、反对称性和转轴性。这 些性质反映了应力分布的内在规律，对于理解物体受 力状态和变形机制具有重要意义。
应力的基本性质包括对称性、反对称性和转轴性。对 称性是指对于任何点，其对称点的应力状态是相同的 ；反对称性则是指对于任何点，其对称点的应力状态 是相反的；转轴性则是指当坐标系旋转时，应力分量 的值会发生变化，但各向同性和各向异性状态不变。 这些性质反映了应力分布的内在规律，对于理解物体 受力状态和变形机制具有重要意义。
第十部分应力状态理论基础教学-精品
2 (30) 0.6 60 40
40
30MPa 60MPa
o 15.48, o'1.5 48 9010 .45 8
哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：
主应力 1 的方向：o 15.5,
+
60MPa
主应力 3 的方向：o'105.5
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力
拉(压):
F
F []
A
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力
扭转:
max
Mmax WP
2.mmianx ? 在何处? 该处 ?
令
d d
0
, x 2y2 s2 i nxco 2 s 20
则: 2 ( x 2ysi2 nxco 2 ) s0
即:
0
面上有
max min
第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法
x 2y2co 2s2 xsi2 n0
即: 2(x 2yco 2sxsi2 n)0
将 0 代 式,得:
方位:
tg20
x y 2x
大小:
m mianx
(x
y)2
2
x2
max min
面上的正应力:
0x 2yx 2yc2 o0 sxs2 in
t
ｐ
t
t2l
t2 l p D l
t
pD
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在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
例题
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生 屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
σx
σα =
σ x +σ
2
y
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
σα =
σx
2
+
σy
2
cos 2α
R= ( 60 − (−40) 2 − 30 − 30 2 ) +( ) = 58.31MPa 2 2
d (9.02,−58.3)
主应力单元体：
σ3
αo
σ1
∴ σ 1 = 68 .3MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −48 .3MPa
例题
边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力 F=14kN作用。已知，μ=0.3，假设钢模的变形以及立 方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求立方体各 个面上的正应力。
2
负号表示从主应力的正方向 到x轴的正方向为顺时转向
5、应力圆的应用 （4）面内最大剪应力 对应应力圆上的 最高点的面上切应力 最大，称为“ 面内 最大切应力”。
τ
τmax a
o B1 d
c
2α o
σ
A1
例题 试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。 图中应力的单位为MPa。 τα
e
2.2
σx τx
σ
σx
σy τy
点面相对应，首先找基准。 转向要相同，夹角两倍整。
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向
σy
D
τx
Α
σx
τ
a
τy
o B 1 d
c
2α 0
σ
A1
主平面：τ = 0,
与应力圆上和横轴交点对应的面
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力 拉(压): ( ):
F
σ
F σ = ≤ σ A
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力
扭转:
τ max
M max = ≤ [τ ] WP
40
D
Α
α
30 MPa 60 MPa
解： 用应力圆解法
40
σ 3 = −48 .3MPa
a(−40,30)
τ
σ 1 = 68.3MPa
30 MPa
α
60 MPa
(10 , 0 )
f
2αo
σ
b(60,−30)
e
o c
60o
tg2θ p = −
2τ xy
σ x −σ y
= 0.6
∴θ p = 15.48o
σ min
τ
σα =
σ x +σ
2
y
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
σ α = −τ sin 2ατΒιβλιοθήκη = σ max σ x −σ y
2 sin 2α + τ x cos 2α
α = ±450
σ 45 = σ ∪ = −τ ⊗
0
τ α = τ cos 2α
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即45 螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。
30 MPa
60 MPa
+
主应力 σ 3 的方向：αo = 105 5o
40 MPa
30 MPa
+
例题
图示应力单元体，试求斜面ab和bc上的应力。
30 MPa
n1
σα =
0
σ x +σ
2
y
+
σx − σy
2
2α − τ x sin 2α
a
20MPa
σ −60 =
30o
10MPa
10 + 30 10 − 30 10 + 30 cos−− 120 )0− 20 sin (− 120 )0= 42.32 MPa 10 ( 30 + σ 300 = + cos 60 0− 20 sin 60 0= −2.32 MPa 2 2 2 2
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
σ
M
M
讨论基本变形强度问题时的 共同特点: 危险截面上的危险点只承受 正应力或剪应力
中性轴
σ
=
M (x ) W
≤ σ
τ max
τ∪ = … ©
FQ S z I zb
≤ σ
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
5
FP l Mz = 4
σα − σx + σ y
2
2
+ y 2 = R2 是一个圆心在(a.0), σx − σy 2 2 2 + τα = + τ x是个应力圆的方程
2
x−a
2
y
τ
R =
σx − σy
2
2
+ τ 2 xy
R
a0
x
R
σx + σy
2 0
σ
2.应力圆是个信息源(从力学观点分析）
（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应 力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元 体任意斜截面 α 上的应力。 （2）平面应力状态下任意斜截面 α 上的应力相互 制约在圆周上变化。
（1）α斜面上的应力
40
30 MPa
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α − τ xy sin 2α
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
60 MPa
= 9.02 MPa
τα = σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2 sin 2α + τ xy cos 2α
τ
σy
τy
B A
σx
O
c
b(σy ,τy)
a(σx ,τx)
σ
τx
5、应力圆的应用
（1）对基本变形的应力分析
σx
B
x' y y'
τ
b
A
2×45º
45º x
D
d o
σ
a
c
2×45º
E
σx
e
单向拉伸
σx
B E
σ45o τ45
o
B
x' y'
τ−45
σ−45o
o
E
σx
可见：
单向拉伸
45º方向面既有正应力又有切应力，但正应力不 是最大值，切应力却最大。
τ
主应力排序： a
τ
σ
oσ 2 d
c
2θ p
σ
σ1
σ3 o
σ1
τ
σ2 o
σ
σ3
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向 σ2 σy τ 主方向的确定
σ1
D
τxy
Α
a (σx ,τxy)
σ
σx
αo σ1
τyx
σ2
oσ
2
c
d
2α o g σ1
tg2αo = −
σx −
τ xy σx + σ y
例题
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为,E=200GPa,ν=0.3. 现测得圆轴表面上与轴线成450方向的应变为ε=5.2×10-4,试 求圆轴所承受的扭矩.
T
45
0
σ1 = τ
σ2 = 0
σ 3 = −τ
T τ= Wp
1 ε 1 = [σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )] E
σ3
σ1
FP
S’平面
课堂练习 绘图示梁S 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz = 4 S’ 平 面
4 3 2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz = 4
5 4 3 2 1
S’平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
= −58 .3MPa
（2）主应力
∪ σ x +σ y … σ ∪= © ± ⊗ 2 ⊃
60 − 40 = ± 2
40
σx − σ y
2
2
+τ
2 xy
30 MPa
60 + 40 2 + (−30)2 2
60 MPa
68 3 = MPa − 48 3
∴ σ 1 = 68 .3MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −48 .3MPa
b
c
60o
τα =
10 − 30
0 0
σ x −σ y
2
2
sin 2α