应力状态理论的基础

τ
主应力排序： a
τ
σ
oσ 2wenku.baidu.comd
c
2θ p
σ
σ1
σ3 o
σ1
τ
σ2 o
σ
σ3
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向 σ2 σy τ 主方向的确定
σ1
D
τxy
Α
a (σx ,τxy)
σ
σx
αo σ1
τyx
σ2
oσ
2
c
d
2α o g σ1
tg2αo = −
σx −
τ xy σx + σ y
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
σ
M
M
讨论基本变形强度问题时的 共同特点: 危险截面上的危险点只承受 正应力或剪应力
中性轴
σ
=
M (x ) W
≤ σ
τ max
τ∪ = … ©
FQ S z I zb
≤ σ
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
5
FP l Mz = 4
2
负号表示从主应力的正方向 到x轴的正方向为顺时转向
5、应力圆的应用 （4）面内最大剪应力 对应应力圆上的 最高点的面上切应力 最大，称为“ 面内 最大切应力”。
τ
τmax a
o B1 d
c
2α o
σ
A1
例题 试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。 图中应力的单位为MPa。 τα
e
2.2
σx − σy
2
对(1) (2)式两边平方，将两式相加，并利用 ˛ ∈ ⊗ 2 2α + ⊇ 2 2α = 1 消去 ˜ 2α 和 ˚ 2α ，得 ˛ ∈ ⊃ σx + σy 2 σx − σy 2 2 2 σα − + τα = + τ x (3) 2 2
比照解析几何的曲线方程 半径为R的圆， 则
（1）α斜面上的应力
40
30 MPa
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α − τ xy sin 2α
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
60 MPa
= 9.02 MPa
τα = σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2 sin 2α + τ xy cos 2α
0 0
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
例题
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生 屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
σx
σα =
σ x +σ
2
y
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
σα =
σx
2
+
σy
2
cos 2α
5、应力圆的应用
（1）对基本变形的应力分析
τ
D
σ − 45
o
τ
B E
a (0,τ )
σ45o＝τ
τ
Α
e
2×45º
c o
2×45º
b
σ
d (0,-τ )
纯剪切
τ
B E
τ
σ − 45
o
B
σ45o＝τ
E
纯剪切
5.应力圆的应用
（2）平面应力状态下求任意截面上的应力
τ
σy
τy
E σα τα
n
τx α
E
2α
τ
σy
τy
B A
σx
O
c
b(σy ,τy)
a(σx ,τx)
σ
τx
5、应力圆的应用
（1）对基本变形的应力分析
σx
B
x' y y'
τ
b
A
2×45º
45º x
D
d o
σ
a
c
2×45º
E
σx
e
单向拉伸
σx
B E
σ45o τ45
o
B
x' y'
τ−45
σ−45o
o
E
σx
可见：
单向拉伸
45º方向面既有正应力又有切应力，但正应力不 是最大值，切应力却最大。
0
⊃
σ − 45 = σ
0
∪ … ©
= τ
τ ± 45 = 0
0
第十章 应力状态理论基础
三 平面应力状态分析 — 图解法
1、应力圆方程
σα =
σx + σy
2
+
σx − σy
2
2α − τ x
2α
σα −
σx + σy
2
=
σx − σy
2
2α − τ x
2α + τ x 2α
2α (1)
(2)
τα =
主应力的确定
σy
D
τ
τx
Α
σx
a
τy
o B1 d
σ x +σ y
2
σ x +σ y
2
c
σx −σ y
2
2αo
σ
A1
oA1 = σ ′ = 0 c + cA1 =
oB 1 = σ ′′ = 0 c − cB1 =
+ (
)2 +τ 2xy
− (
σx −σ y
2
)2 +τ 2xy
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向
σα − σx + σ y
2
2
+ y 2 = R2 是一个圆心在(a.0), σx − σy 2 2 2 + τα = + τ x是个应力圆的方程
2
x−a
2
y
τ
R =
σx − σy
2
2
+ τ 2 xy
R
a0
x
R
σx + σy
2 0
σ
2.应力圆是个信息源(从力学观点分析）
（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应 力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元 体任意斜截面 α 上的应力。 （2）平面应力状态下任意斜截面 α 上的应力相互 制约在圆周上变化。
4 3 2 1
S平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
2
3
τ3
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述
课堂练习 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面 的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的 应力。
a
F
F
a
A
A
B
B
C
C
A
B
C
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述
b
c
60o
τα =
10 − 30
0 0
σ x −σ y
2
2
sin 2α
+ τ x cos 2α
n2
τ −60 τ = 10 − 30− 120)00+ 20 cos(− 120)0= −MPaMPa = sin( sin 60 + 20 cos 60 0 = 1.331.33 30 2
σ 30 + σ −60 = σ x + σ y = 40MPa
1 +ν 1 τ ε 1 = τ +ντ = E E
[
]
εEπd 3 5.2 ×10 4 × 200 ×103 × π × 23 T= = 125.7 Nm 16(1 +ν ) 16(1 + 0.3)
4、几种对应关系 点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一方向面上的正应力和切应力
τ
σy
A
τy
a (σ a , τ a )
τx
c
σx
σ
转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一 致； 二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转 角度的两倍。
τ
σy
τy
n
D
τx θ σx
A
d
2θ
a
σ
x
c
4.4
a
c
600
300
o
d
σα
f
n
σ α = σ −30 = 5.2MPa
0
τ α = τ −30 = −0.8MPa
0
α = − 30 o , 例题一点处的平面应力状态如图所示。已知 σ x = 60MPa,
τ xy = −30MPa. σ y = −40MPa,
试求（1）α斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
[
]
[
]
σ x = σ z = −15MPa
例题 某点的应力状态如图所示,当σx,σy,σz不变,τx增大时, A 关于εx值的说法正确的是____.
A.不变 B.增大 C.减小 D.无法判定
1 ε x = σ x −ν (σ y + σ z ) E
[
]
σz
σy
σx
εx仅与正应力有关，而与切应力无 关。所以当切应力增大时，线应变不 变。
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力 拉(压): ( ):
F
σ
F σ = ≤ σ A
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力
扭转:
τ max
M max = ≤ [τ ] WP
= −58 .3MPa
（2）主应力
∪ σ x +σ y … σ ∪= © ± ⊗ 2 ⊃
60 − 40 = ± 2
40
σx − σ y
2
2
+τ
2 xy
30 MPa
60 + 40 2 + (−30)2 2
60 MPa
68 3 = MPa − 48 3
∴ σ 1 = 68 .3MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −48 .3MPa
主平面的方位：
tg2αo = −
2τ xy
40
30 MPa
σx − σ y
2 × −30 =− = 0.6 60 + 40
60 MPa
∴ αo = 15 48 αo = 15 48 + 90 = 105 48
o o o
o
哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：
主应力 σ 1 的方向： αo = 15 5o
30 MPa
60 MPa
+
主应力 σ 3 的方向：αo = 105 5o
40 MPa
30 MPa
+
例题
图示应力单元体，试求斜面ab和bc上的应力。
30 MPa
n1
σα =
0
σ x +σ
2
y
+
σx − σy
2
2α − τ x sin 2α
a
20MPa
σ −60 =
30o
10MPa
10 + 30 10 − 30 10 + 30 cos−− 120 )0− 20 sin (− 120 )0= 42.32 MPa 10 ( 30 + σ 300 = + cos 60 0− 20 sin 60 0= −2.32 MPa 2 2 2 2
FP
S’平面
课堂练习 绘图示梁S 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz = 4 S’ 平 面
4 3 2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz = 4
5 4 3 2 1
S’平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
例题
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为,E=200GPa,ν=0.3. 现测得圆轴表面上与轴线成450方向的应变为ε=5.2×10-4,试 求圆轴所承受的扭矩.
T
45
0
σ1 = τ
σ2 = 0
σ 3 = −τ
T τ= Wp
1 ε 1 = [σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )] E
σ3
σ1
σ min
τ
σα =
σ x +σ
2
y
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
σ α = −τ sin 2α
τα = σ max σ x −σ y
2 sin 2α + τ x cos 2α
α = ±450
σ 45 = σ ∪ = −τ ⊗
0
τ α = τ cos 2α
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即45 螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。
σx τx
σ
σx
σy τy
点面相对应，首先找基准。 转向要相同，夹角两倍整。
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向
σy
D
τx
Α
σx
τ
a
τy
o B 1 d
c
2α 0
σ
A1
主平面：τ = 0,
与应力圆上和横轴交点对应的面
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向
2
τ2
3
τ3
例题
α = − 30 o , 一点处的平面应力状态如图所示。已知 σ x = 60MPa, τ xy = −30MPa. σ y = −40MPa,
试求（1）α斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40
30 MPa
α
60 MPa
解、(1) α斜面上的应力 斜面上的应力
F = 14kN
y
εx = 0
εz = 0
3
14 ×10 F =− σy = − = −35MPa 20× 20 × 20 A
x
εx =
z
1 ε z = σ z − µ(σ x + σ y ) = 0 E σ z − 0.3(− 35 + σ x ) = 0
1 σ x − µ(σ y + σ z ) = 0 E σ x − 0.3(− 35 + σ z ) = 0
τα =
σ x −σ y
2
sin 2α
+ τ x cos 2α
τα =
σx
2
sin 2α
α = 450
σ 45 =
0
σx
2
低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑 移线，是由最大切应力引起的。
τ 45 =
0
σx
2
= τ max
例题
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的 主要原因。
R= ( 60 − (−40) 2 − 30 − 30 2 ) +( ) = 58.31MPa 2 2
d (9.02,−58.3)
主应力单元体：
σ3
αo
σ1
∴ σ 1 = 68 .3MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −48 .3MPa
例题
边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力 F=14kN作用。已知，μ=0.3，假设钢模的变形以及立 方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求立方体各 个面上的正应力。
40
D
Α
α
30 MPa 60 MPa
解： 用应力圆解法
40
σ 3 = −48 .3MPa
a(−40,30)
τ
σ 1 = 68.3MPa
30 MPa
α
60 MPa
(10 , 0 )
f
2αo
σ
b(60,−30)
e
o c
60o
tg2θ p = −
2τ xy
σ x −σ y
= 0.6
∴θ p = 15.48o