2017全国卷1理科数学试题详细解析

a bi ，则
R ，则 z1
R ，则 z
R． B ． p1 ， p4 1 z
2
C． p2 ， p3 a bi b
2
D ． p2 ， p4
1 a bi
a
2
R ，得到 b
0 ，所以 z
R .故 P 1 正确；
p2 : 若 z 2
1 ，满足 z
R ，而
2 z i ，不满足 z R ，故 p2 不正确；
p3 : 若 z1 1， z 2
由z
3x
2y 得 y
3 2
x
z 2 y
， 3 2 x z 2 的纵截距的最大值
求 z 的最小值，即求直线 当直线 y 由 2x x y 2y 1 3 2 1 x z 2
过图中点 A 时，纵截距最大 3 ( 1) 2 1 5
解得 A 点坐标为 ( 1,1)，此时 z
15. 已知双曲线 C :
x a
2 2
1
2 n k
3 5 1 29 2
N ，n ≥ 14
*
log 2 n 29 ，k 29
5
440
5 分，共 20 分。
13. 已知向量 a ， b 的夹角为 60 ， a
2， b
6
1 ，则 a
2b
________ ．
【答案】 2 3
2
【解析】 a
2b 4 4 4
(a
2b) 12
12
2
2
2
a
2 a 2b cos60
三、 解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、 每个试题考生都必须作答。第 （一）必考题：共 17. 60 分。
y b
2
2
， （ a
0 ，b
0 ）的右顶点为
A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，
MAN 60 ，则 C 的离心率为
圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 _______ ． 【答案】 2 3 3
M ， N 两点，若
【解析】 如图，
7
OA
∵
a ， AN
MAN
AM
b
3 2 b ， OP OA
x
李跃华
5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 A A． A C． A 【答案】 A 【解析】 A ∴A 选A 2. 如图，正方形 概率是（）
ABCD 内的图形来自中国古代的太极图
x x 1 ，B
xx 0
x3
1 ，则（）
B． A D． A B B R
1000 和 n
n n
1 1
B． A
1000 和 n
n n
2 2
C． A≤1000 和 n
D ． A≤1000 和 n
【答案】 因为要求 A 大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出 ∴“ 排除 A、 B 又要求 n 为偶数，且 n 初始值为 0 ， “ 故选 D 2π 3 ”中 n 依次加 2 可保证其为偶 ”中不能输入 A
2
1 cos
2
4
sin
2 2
cos cos
2
2
4 sin
2
4
2
sin
cos
1 4
sin 2
2
≥ 16 ，当
π 取等号 4
DE 最小值为 16 ，故选 A
5
x 11. 设 x ， y ， z 为正数，且 2
3
y
5 ，则（） 2x 3y C． 3 y 5z 2x
z
A ． 2x 【答案】 D
3y
5z 2x 5z y ln3
2 6
D ． 35
1
6
x
1 1 x
6
1
x
对 1 对 1 x
2
2
2 x 的 x 项系数为 C 6
6 5 2
4
15
6
1
x
的 x 项系数为 C6 =15 ， 30
2
∴ x 的系数为 15 15 故选 C 7.
某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这 些梯形的面积之和为
B ． 5z
D． 3 y
【答案】 取对数： x ln 2 x y ln 3 ln 2 3y
z ln 5
ln5 .
3 2
∴ 2x
x ln 2
则
x z
ln5 ln 2
5 2 2x 5z ，故选 D
∴ 2x
5z ∴ 3 y
12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了 “解数学题获取软件激活码”
1000
9.
已知曲线 C1 : y
cos x ， C2 : y
sin 2 x
，则下面结论正确的是（） π 6
A ．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 个单位长度，得到曲线 C2
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
B ．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 个单位长度，得到曲线 C2
2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移
l1 ， l 2 ，直线 l1 与 C 交于 A 、
B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ， E 两点， AB
A ． 16 【答案】 A 【解析】 B ． 14
DE 的最小值为（） C． 12 D ． 10
设 AB 倾斜角为 AF cos 易知 AK 1 GP ∴ AF cos
．作 AK 1 垂直准线， AK 2 垂直 x 轴 GF AK 1 （几何关系）
* N ，即 N 出现在第 13 组之后
2 ， 2 ，在接下来的三项式
100 且该数列的前
2 ， 2 ， 2 ，依次类推，求满足如下条件
的最小整数 N ： N ） A ． 440
N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是
B ． 330
C． 220
D ． 110 3 组，以此类推．
设第 n 组的项数为 n ，则 n 组的项数和为 由题， N
C． 4
a5 6a1
a1 2
3d d
a1 48
7d 15d
4d
24
S6
6 5
2 a1 6 a1
联立求得 ① 6d ∴d 选C
24
①
48 ②
3 ② 得 21 15 d 24 4
24
5.
函数 f x 在
，
单调递减， 且为奇函数． 若 f 1
1，则满足
1≤ f x
2 ≤1 的
x 的取值范围是（） A． 【答案】 D 【解析】 因为 f x 为奇函数，所以 于是
sin 2 x
π 4
y
sin 2 x
2π 3
sin 2 x
π 3
． x π 平移至 x 4 π ， 3 π 12 ．
注意
的系数，在右平移需将 x
2 提到括号外面，这时
根据“左加右减”原则，“
π ”到“ x 4
π π ，即再向左平移 ”需加上 3 12
10. 已知 F 为抛物线 C ： y
2
4x 的交点，过 F 作两条互相垂直
0 1
的活动， 这款软件的激活码为下面数学问题的 2 ，
0 6 1 2
答案： 已知数列 1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 , 8 , 16 ，, ， 其中第一项是 接下来的两项是 （ 【答案】 A 【解析】 设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 n 1 n 2
数，故 p3 不正确；
2 ，则 z1z 2
2 ，满足 z1z2
R ，而它们实部不相等，不是共轭复
p4 : 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故
记 Sn 为等差数列 A．1 【答案】 C 【解析】 a4 a n 的前 n 项和，若 a 4 B．2 a5 24 ，S6
p4 正确；
4.
48 ，则 an 的公差为（） D ．8
A ． 10 【答案】 B 【解析】 由三视图可画出立体图
B ． 12
C． 14
D ． 16
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 S梯 S全梯 故选 B 2 4 2 2 6
6 2 12
8.
右面程序框图是为了求出满足 空白框中，可以分别填入
3
n
2
n
那么在 1000 的最小偶数 n ，
和
两个
3
A． A 【答案】 D
2，2
B．
1，1
C． 0 ，4
D ． 1，3
f
1
f 1
1， 2 ≤f 1 |
1≤ f x 2 ≤1 等价于 f 1 ≤ f x ，
单调递减
又 f x 在
1≤ x 2≤ 1
1 ≤ x≤ 3
故选 D
2
6.
1
1 x
2
1
x 展开式中 x 2 的系数为 B ． 20 C． 30 1 x
2
2 6
6
A ． 15 【答案】 C. 【解析】 1+ 1 x
积（单位： cm 3 ）的最大值为 _______ ．
【答案】 4 15 【解析】 由题，连接 OD ，交 BC 与点 G ，由题， OD OG 设 OG 3 6
BC
BC ，即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比
x ，则 BC
2 3 x ， DG
2
5
x
三棱锥的高 h S△ ABC 则V 1 3 2 3 3x S△ ABC h
2
60 ，∴ AP 3
PA
2
a
2
3 4
b
2
∴ tan
AP OP a
2
2
b 3 4 b
2
又∵ tan
b a
2 2
，∴ a 1 3
3 b 2 3 2 4
b b
2
a
，解得 a 2
3b
2
∴e
1
b a
1
2 3 3
ABC 的中心为 O ，
16. 如图，圆形纸片的圆心为
O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形
D 、 E 、 F 为元 O 上的点， △ DBC ， △ ECA ， △ FAB 分别是一 BC ， CA ， AB 为底边
的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以
BC ， CA ， AB 为折痕折起 △ DBC ， △ ECA ， △ FAB ，使得 D ， E ， F 重合，得到三棱锥．当
△ ABC 的边长变化时，所得三棱锥体
100 ，令
n
n 1 2
n
100 → n ≥ 14 且 n
1 2 第 n 组的和为 1 2
n 组总共的和为
2
n
1
n
2 1 2 1 2
n
n
2
2
n n 1 n 2
k
若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则 数 即2 k →n 则N 故选 A 二、 填空题：本题共 4 小题，每小题
k
N
项的和 2
1 应与
2
n 互为相反
sin 2 x
2π 3
首先曲线 C1 、 C2 统一为一三角函数名，可将 y cos x cos x π π 2 2 sin x
C1 : y
cos x 用诱导公式处理．
1 变成 2，
π ．横坐标变换需将 2
4
即 y
sin x
π 2
C 1上各 点横 坐 标缩 短它原 来 1 2
y
sin 2 x
π 2
π 12
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 个单位长度，得到曲线 C2
1 2
倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移
π 6 π 12
D ．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 个单位长度，得到曲线 【答案】 D 【解析】 C1 : y C2
2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移
cosx ， C 2 : y
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国
I 卷）
理科数学
解析人
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题
π 2 π 4 8
2
π，图中黑色部分的概率为
π 2
则此点取自黑色部分的概率为 故选 B
1
3.
设有下面四个命题（） p1 ：若复数 z 满足 1 z R ，则 z R ，则 z
R； R；
z2 ；
p 2 ：若复数 z 满足 z 2
p3 ：若复数 z1 ，z2 满足 z1 z2 p 4 ：若复数 z A ． p1 ， p 3 【答案】 B 【解析】 p1 : 设 z
DG
1 2
OG
2
2
25 10x
x
2
x
25 10x
3 3x 3x
2
25 10 x = 3
25x
4
10x
5
8
令 f x 令 f x
25x
4
10 x ， x 2x
3Baidu Nhomakorabea
5
5 (0, ) ， f 2 0， x
2
x
100 x
3
50 x
4
0 ，即 x 4 80
则 f x ≤ f 2 则V ≤ 3
80
45
∴体积最大值为 4 15 cm3
B B
xx 1
xx B
1 ，B xx
x3
x
1 B
x x xx
0 1 ，
0 ， A
.正方形内切圆中的黑色部分和白 则此点取自黑色部分的
色部分位于正方形的中心成中心对称，
在正方形内随机取一点，
A．
1 4
B．
π 8
C．
1 2
D．
π 4
【答案】 B 【解析】 设正方形边长为 则正方形的面积为
2 ，则圆半径为 1 2 2 4 ，圆的面积为 π 1
2b
2
2
2 2 2
1 2
2
2
∴ a
2b
2 3 x 2y y y 0 1 1 ，则 z 3x 2 y 的最小值为 _______ ．
14. 设 x ， y 满足约束条件 【答案】
5
2x x
x 不等式组 2x x
y
2y 1 y y 0 1 表示的平面区域如图所示
A C
B 1 x+2y-1=0 x
2x+y+1=0
AF （抛物线特性） P 2 P P 1 cos 2P P 2 AF ， BF 2P
2
P
同理 AF
P 1 cos
∴ AB
1 cos
sin
2
又 DE 与 AB 垂直，即 DE 的倾斜角为 DE sin 而 y
2 2
π 2
2P π 2
2P cos
2
4 x ，即 P DE 2P
2．
1 sin
2
∴ AB
16 sin 2 即 AB