反证法(2)

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第2章 2.2 2.2.2 反证法

2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为() A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，所以a ，b ，c 可以成等差数列，这与已知中“a ，b ，c 不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a ， b ， c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．[证明] 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题于14.[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0.∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。

29.2.1《反证法》学案(2)

29.2.1《反证法》学案（二)【学习目标】1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.【重难点】重点：反证法的证明步骤难点：运用反证法证题【学习过程】一、自主学习完成下面假设结论的反面：1.“是”的反面是2. “有”的反面是3.“等”的反面是4.“成立”的反面是5.“有限”的反面是【注意】：1.“都是”的反面是不都是，即“至少有一个不是”(不是“都不是”)2.“都有”的反面是即“”(不是“”)3.“都不是”的反面是即“”(不是“”)4.“都没有”的反面是即“”(不是“”)5.“至少有一个”的反面是 ,“至多有一个”的反面是。

6.“至少有n个”的反面是 ,“至多有n个”的反面是。

7.“对所有x成立”的反面是 ,“对任意x不成立”的反面是。

二、课堂研讨1.求证：在三角形中，至多有一个角是钝角。

（写出已知、求证）已知：求证：证明：2.求证;在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等。

（写出已知、求证和证明过程）三、练习检测1.如果一个梯形同一底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证明你的猜想。

2.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行。

3.一组对边相等，一组对角相等的四边形是不是一定是平行四边形？如果一定是，请给出证明，如果不一定是请举出反例。

4.试用反证法证明圆的切线的判定方法;经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（即与圆只有一个交点----切点）四、小结与作业习题29.2第3，4题。

Ｐ82教学反思：。

2.2.2反证法 (2)

《反证法》的教学反思在数学教学中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素质，培养学生解决实际问题能力的重要途径。

本节课主要目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法的一般步骤，会用反证法证明数学中的一些简单命题。

本节课意在改变传统教学过程中过于注重传授知识的倾向，让学生自己去发现问题，解决问题。

反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。

这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。

”这种证明的方法，叫做反证法。

然后从生活实际问题出发，让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤。

让学生在体验，探究中学到了知识，体现了学生的主体地位。

在此基础上又开始应用反证法证明数学问题。

层层深入提出问题的目的是，引导学生意识到可以用反证法解决问题，并从中强化反证法的证明步骤及如何根据具体问题寻找矛盾。

最后通过两个练习题，使学生在运用数学方法解决问题的过程中巩固方法。

我对这节课比较满意的地方有： (1).让学生置身于知识的发生、发展过程中，经历直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示等思维过程，展示“数学的严谨性”是对事物的感性认识的升华和提高，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。

(2).教学通过丰富的实例展开，这一方面可以使学生体会反证法思想与现实世界的联系，另一方面，活生生的例子也会增强学生学习反证法的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到反证法思想离自己很近，反证法很有用。

(3).在宽松愉快的环境中学生完成了学习任务，学生的主体地位得到了体现，主动性得到了充分发挥，学生的学习热情空前高涨，就连平时不爱说话的学生也敢于站起来回答问题了。

我感觉这节课最大的成功就是所有的学生都动起来了，每个人都学有所得。

反证法2

反证法证明命题的一般步骤如下: 反证法证明命题的一般步骤如下: 证明命题的一般步骤如下 1.假设结论的反面成立假设结论的反面成立; 1.假设结论的反面成立; 反设由这个假设出发,经过正确的推理, 2 .由这个假设出发 ,经过正确的推理 , 归谬．．导出矛盾; 导出矛盾; 推理过程中一定要用到才行
你能举出一个类似故事《路边苦李》你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理的例子吗？的例子吗？
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要当我们直接从正面考虑不易解决问题时于是就要改变思维方向,从结论入手反面思考。这种从“ 从结论入手,反面思考改变思维方向从结论入手反面思考。这种从“正面难解决就从反面思考” 解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的反证法. 又比如课本的思考) 间接解法中的一种——反证法 (又比如课本的思考反证法又比如课本的思考间接解法中的一种
作业: 作业:课本 P
102
练习 1,2
选做作业: 选做作业: 1.直线 PO 与平面 α 相交于 O ，过点 O 在平面 α 内 1.直线引直线 OA 、 OB 、 OC ， ∠ POA = ∠ POB = ∠ POC . 求证：求证： PO ⊥ α . P
A E O H B
2.已知 2.已知 f ( x ) = x 2 + px + q ，
说谎者悖论
• M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是我们陷入了著名的说谎者悖论之中。它的最简单的形式。它的最简单的形式。 • 甲：这句话是错的。这句话是错的。 • M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就上面这个句子对吗?如果是对的，是错的！如果这句话是错的，是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。遍得多。

华师大版数学八年级上册《反证法》教学设计2

华师大版数学八年级上册《反证法》教学设计2一. 教材分析华师大版数学八年级上册《反证法》是学生在初中阶段首次接触到的证明方法，它既是一种重要的证明方法，又是学生思维能力的一次飞跃。

教材从学生的实际出发，通过学生已知的数学知识，引入反证法的概念，并通过具体的例题，让学生体会反证法的应用。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了直接证明的方法，能够通过逻辑推理得出结论。

但八年级的学生在逻辑思维能力和抽象思维能力上还有一定的局限性，因此，在引入反证法时，需要通过具体的情境，让学生感受反证法的必要性，从而理解并掌握反证法的应用。

三. 教学目标1.让学生了解反证法的概念，理解反证法的原理。

2.培养学生运用反证法解决问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.反证法的概念和原理的理解。

2.运用反证法解决问题的能力。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过具体的情境，让学生感受反证法的必要性，从而引导学生思考并理解反证法的原理。

在教学过程中，注重学生的参与，鼓励学生提出问题，引导学生进行思考，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

六. 教学准备1.PPT课件2.相关例题3.教学素材七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题，让学生思考直接证明的方法，从而引出反证法的必要性。

2.呈现（10分钟）通过PPT课件，介绍反证法的概念和原理，让学生理解反证法的应用。

3.操练（15分钟）让学生通过具体的例题，运用反证法进行证明，从而加深对反证法的理解。

4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结反证法的步骤，并通过小组竞赛的形式，检验学生对反证法的掌握程度。

5.拓展（10分钟）让学生思考反证法在实际生活中的应用，通过具体的情境，让学生感受反证法的价值。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，让学生明确反证法的概念、原理及应用。

7.家庭作业（5分钟）布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高运用反证法解决问题的能力。

2.2.2 反证法

2．2.2反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．基础梳理1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．想一想：(1)反证法的实质是什么？(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．自测自评1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.基础巩固1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)A．a2＝b2B．a2<b2C．a2≤b2D．a2<b2，且a2＝b22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(B)A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠1能力提升5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0.故选C.7．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：08．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x ＝y ”的反面是“x ≠y ”，即是“x >y 或x <y ”，所以②正确；“a >b ”的反面是“a ≤b ”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②9．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .证明：2b ＝1a＋1c不成立．证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac . 又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋1c不成立． 10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝3（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1.又0<ax0<1，所以0<－x0－2x0＋1<1，即12<x0<2.与假设x0<0矛盾，故f(x)＝0没有负实根．。

反证法 2

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?
假设李子是甜的
那么李子会被过路人摘去解渴，树上的李子会很少。
事实上树上的李子很多, 这与事实相矛盾。
造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误的，说明原来的结论：路边的李子是苦的是正确的。
方法迁移
A
问题：在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C.如何说明呢？探究：
复习 1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法已知条件分析法
结论
结论由因导果已知条件执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
反证法
道旁苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
用反正法证明时，导出
大家议一议！探究4：
矛盾有那几种可能？（1）与原命题的条件矛盾；
（2）与假设矛盾。（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；（4）与客观事实矛盾.
大家议一议！
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
假设李子是甜的
方法迁移
B
假设∠B=∠C
C
那么李子会被过路人摘去解渴,则李子会很少，这与事实相矛盾。
那么AB=AC，这与已知条件AB≠AC相矛盾
假设不正确，则李子是苦的。
假设不正确，则∠B≠∠C

反证法(2)

互
互否为逆
否
为
逆否
互否
互
否命题若p 则q 互逆
逆否命题若 q 则p
注: 互为逆否命题的两个命题同真假.
三、反证法
1.一般步骤 ①反设: 假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立; ②归谬: 从假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾; ③结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确. 2.命题特点 ①结论本身以否定形式出现; ②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是” 等形式 ; ③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等
2.若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一个方程有实根. 证: 假设这两个方程都没有实根, 则 △1<0 且 △2<0, 从而有:
△1+△2<0.
又∵△1+△2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2) =p12+p22-2p1p2=(p1-p2)2≥0, 即 △1+△2≥0, 与 △1+△2<0 矛盾. ∴假设不成立. 故这两个方程至少有一个有实根.
p
q p或q 真真假真真真假假
p
q p且q 真真假假真假假假
“p 且 q”形式的复合命题当p 与q同时为真时为真, 其它情形为假.
二、命题的四种形式
原命题: 若 p, 则 q; 否命题: 若p, 则q;
原命题若p则q 逆命题: 若 q, 则 p; 逆否命题: 若q, 则p. 互逆逆命题若q则p

2.2.2反证法（优秀经典公开课比赛教案）.

2.2.2反证法（优秀经典公开课⽐赛教案）.课题：2．3反证法学科：数学年级：⾼⼆班级：⼀、教材分析：本节主要研究反证法的概念以及反证法证明问题的⼀般步骤。

在上⼀节中，我们已经学习了直接证明，但是对于有的题⽬，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；或者如果从正⾯证明，需要分成多种情形进⾏分类讨论，⽽从反⾯进⾏证明，只要研究⼀种或很少的⼏种情形。

所以，教材在直接证明之后安排反证法的内容是很有必要的。

⼆、教学⽬标：1．知识与技能结合实例了解间接证明的⼀种基本⽅法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会⽤反证法证明数学问题．2．过程与⽅法使学⽣经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学⽣归纳、总结、推理论证的能⼒．增强学⽣的数学应⽤意识和创新意识．3．情感、态度与价值观注重培养学⽣积极参与、⼤胆探索的精神以及合作意识．通过让学⽣体验成功，培养学⽣学习数学的⾃信⼼．通过科学家的故事，培养学⽣的耐⼼、恒⼼、⾃信⼼和抗挫折能⼒．从⽽发展学⽣的数学思维能⼒，提⾼思维品质．三、教学重点重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．四、教学难点难点：应⽤反证法解决问题，在推理过程中发现⽭盾．在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或⼰知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相⽭盾的地⽅；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学⽣亲⾝体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决⽅法，突出重点、化解难点．五、教学准备1、课时安排：1课时2、教具选择：电⼦⽩板六、教学⽅法：建议本节课采取探究式教学法，让学⽣参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学⽣积极参与的热情，开发其论证推理能⼒的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下⼏点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出⽭盾——得出结论．(2)提出反设的⽅式⽅法：引导学⽣弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬⽅法：在归谬过程中要注意假设条件的利⽤，通过例题分析总结归谬的⽅法技巧．(4)反证法的适⽤范围及对象：反证法⼀般适⽤于题⽬条件中含有量词“⾄多”“⾄少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．七、教学过程：1、⾃主导学：阅读课本42—43页回答下列问题：（学⽣课前预习后提出疑惑，⽼师解答）【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎⼩时候，爱和⼩朋友在路上玩耍．⼀天，他们发现路边的⼀棵树上结满了李⼦，⼩朋友⼀哄⽽上，去摘李⼦，独有王戎没动．等到⼩朋友摘了李⼦⼀尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李⼦是苦的呢？”王戎说：“假如李⼦不苦的话，早被路⼈摘光了，⽽这棵树上却结满了李⼦，所以李⼦⼀定是苦的．”王戎的论述运⽤了什么推理思想？【提⽰】实质运⽤了反证法的思想．1．反证法假设原命题不成⽴(即在原命题的条件下，结论不成⽴)，经过正确的推理，最后得出⽭盾，因此说明假设错误，从⽽证明了原命题成⽴，这样的证明⽅法叫做反证法．2．反证法常见的⽭盾类型2、合作探究（1）分组探究探究点1 反证法的定义和探究点2 反证法的应⽤1.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0⽆整数根．【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选⽤反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应⽤．【⾃主解答】假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．⽽f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn ＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．⼜a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数⽭盾．∴f(x)＝0⽆整数根．2.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有⼀个零点．【思路探究】先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再⽤反证法证明零点唯⼀．【⾃主解答】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f(x)在(a，b)内⾄少存在⼀个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另⼀个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，⽭盾；若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，⽭盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有⼀个零点．（2）教师点拨1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正⾯突破较困难时，可⽤反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后⽤转化后的命题作为条件进⾏推理，推出⽭盾，从⽽达到证题的⽬的．2．常见否定词语的否定形式如下表所⽰：3、巩固训练1.已知⾮零实数a 、b 、c 成等差数列a ≠c ，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．【证明】假设1a ，1b ，1c成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac，⼜a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴b ＝a ＋c 2，∴4a ＋c ＝a ＋c ac，∴(a －c )2＝0，即a ＝c .这与a ≠c ⽭盾．故假设错误，原命题正确.2.已知a 与b 是异⾯直线，求证：过a 且平⾏于b 的平⾯只有⼀个．【证明】如图所⽰．假设过直线a 且平⾏于直线b 的平⾯有两个，分别为α和β，在直线a 上取点A ，过b 和A 确定⼀个平⾯γ，且γ与α、β分别交于过点A 的直线c 、d ，由b ∥α，知b ∥c ，同理b ∥d ，故c ∥d ，这与c 、d 相交于点A ⽭盾，故假设不成⽴，原结论成⽴.3.已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋y x中⾄少有⼀个⼩于2. 【思路探究】明确“⾄少”的含义―→对结论作出假设―→得出⽭盾．【⾃主解答】假设1＋x y ，1＋y x 都不⼩于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2.∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2⽭盾．∴1＋xy，1＋yx中⾄少有⼀个⼩于2.常见结论词与反设词列表如下：。

反证法(2)

2.如果两个实数之和为正数,则这两个数( )
A.一个是正数,一个是负数
B.两个都是正数
C.两个都是非负数
D.至少有一个是正数
3.用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角”时，应假设：
4.用反证法证明：三角形最大的内角不能小于60°。
清水县第五中学数学学科导学案备写活页
课题：反证法课型：预习+展示+反馈备课者：董晓武分管领导评价：
〖分组展示〗：
1.求证：“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于450”
已知：______________________________，
求证：___________________________
证明错角不相等，那么两条直线不平行。”
已知（题设）：
求证(结论)：
证明：
3.“两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么所对的边也不相等.”这个命题是真命题还是假命题，为什么？
4.已知：两条不重合的直线AB、CD相交，求证AB、CD只有一个交点。（提示：与“经过两点有且只有一条直线”矛盾。）
证明：
5.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交。
已知（题设）：
求证(结论)：.
证明：
6．已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，且∠ABP≠∠ACP，求证：PB≠PC．
〖课堂检测〗：
1、“a＜b”的反面应是（）
A a≠b B a＞b
C a = b D a = b和a＞b

可以救命的反证法 (2)

学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第1页共1页可以救命的反证法周奕生传说很久以前有一个草菅人命的县官，每当有人打官司时，他总是不问青红皂白让执法官吏分别在两张纸条上写上“生”和“死”，让当事人抓阄去“碰运气”，抓到“生”的一方无罪释放，抓到“死”的一方只能冤死．话说有一天，一个正直的读书人因不满当地一位土豪的巧取豪夺，冒死把他告上了县衙，糊涂的县官命判官操办抓阄一事.土豪用钱买通了判官，判官于是在两张纸上都写着“死”字，因为是原告先抓，这样读书人必死无疑．一位有良心的老狱吏偷偷地把此事告诉了读书人，读书人知道后“哈哈”一笑……第二天读书人抓完阄后，直接将抓到的纸团咽到了肚子里.读书人说：“咽到我肚子里的是‘生’．”“你怎么知道？”县官不快．“如果我抓到的是‘死’，”读书人反问道，“那另一张是不是写着‘生’字呢？” 在众人的要求下，判官打开了另一只纸团，赫然写着“死”字……“大家想一想：假设我抓到的是‘死’，这与规定的一‘生’、一‘死’岂不是矛盾吗？” 县官没办法，只好承认了读书人的说法.读书人的上述证明方法有三步.第一步：先假设自己抓到的是“生”的反面“死”；第二步：通过事实导出矛盾，并揭示出现的矛盾是：与假设矛盾（或与已知矛盾）；第三步：否定假设，肯定所要证明的结论．像这种证明问题的方法，在数学上就叫做反证法．例如：已知a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，求证：如果∠C ≠90°，那么22a b +≠2c ．解析：先假设22a b +≠2c 不成立，则22a b +＝2c .由勾股定理的逆定理，得∠C ＝90°，这与已知的条件∠C ≠90°相矛盾，所以假设22a b +＝2c 是错误的，从而22a b +≠2c 是正确的．。

反证法2

三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ABC中 AB≠AC,求证求证：
证明：证明：假设 ∠B ＝ ∠ C，则这与 AB＝ AB＝AC （等角对等边已知AB≠AC 已知AB≠AC ）
B C
≠∠C
A
矛盾．矛盾．
假设不成立．假设不成立． ∴ ∠B ≠ ∠ C ．
小结：小结：
a b c A
小结：小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾
求证：在一个三角形中，求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60 60° 或等于60°。已知：已知：△ABC 求证： ABC中至少有一个内角小于或等于60° 中至少有一个内角小于或等于60 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ABC中没有一个内角小于或等于60° 中没有一个内角小于或等于60 证明：证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则。 ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， ∠A+∠B+∠C>180° 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。三角形的内角和为180 矛盾．假设不成立． 180度这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ABC中至少有一个内角小于或等于60° 中至少有一个内角小于或等于60 ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．

2.2.2反证法(二)

中山市东升高中高一数学◆必修1◆导学案编写：高建彪校审：贺联梅§2.2.2 反证法(二)1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.一、课前准备（预习教材P 66~ P 67，找出疑惑之处）复习1：反证法：复习2：所谓矛盾主要是指：二、新课导学※ 学习探究探究任务：反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？新知：应用反证法证明数学问题的一般步骤：反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.※ 典型例题例1 证明：1,2不能为同一等差数列的三项。

变式：证明：5,3,2不可能成等差数列.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2平面上有四个点，没有三点共线。

证明以每三个点为顶点的三角形不可能是锐角三角形。

变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60 .小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.2008年下学期◆高一月日班级：姓名：第一章集合2※ 动手试试练 1. 证明在A B C ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.练 2. A B C ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列,求证:90B <︒.三、总结提升※ 学习小结1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.※ 知识拓展空城计与反证法空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设,,a b c 都是正数，则三个数111,,ab c b c a+++（）.A ．都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于22. 设a,b,c,d 求证：a是无理数。

2.2.2反证法

（回顾小结）
反证法
间接证明
同一法枚举法
（回顾小结）
应用反证法的情形： (1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个这一类的命题； (4)结论为 “唯一”类的命题。正难则反!
（回顾小结）
合情推理（归纳、类比）
推理演绎推理（三段论）证明
直接证明（分析法、综合法）
间接证明（反证法）
数学—公理化思想
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：Ａ说：这里有１个人说谎．Ｂ说：这里有２个人说谎．Ｃ说：这里有３个人说谎．Ｄ说：这里有４个人说谎．Ｅ说：这里有５个人说谎．聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？你会释放谁？请与大家分享你的判断！
综上可知：a，b，c都大于零．
3.已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用
反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0 无实根．
【正解】证明：假设方程 x2－2x＋5－p2＝0 有实根，则该方程根的判别式 Δ＝4－4(5－p2)≥0，解得 p≥2 或 p≤－2，而由已知条件实数 p 满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0， 1 解得－2<p<－，二者无公共部分，所以假设不成立， 2 故关于 x 的方程 x2－2x＋5－p2＝0 无实根.
两式相除得2b1－b2＝1，如果b1－b2>0，则2b1－b2 >1，这与2b1－b2 ＝1相矛盾．
如果b1－b2<0，则2b1－b2 <1，这与2b1－b2 ＝1相矛盾．
因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故方程2x＝3有且只有一个根．

2.2.2 反证法

与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
又x=b时,(x-a)(x-b)=0,
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立, 从而x≠a且x≠b.
例2 已知直线a，b和平面α,如果 a , b ,
且 a // b ,求证: a // .
证明：因为a∥b,
所以经过直线a,b确定一个平
a
面 .
因为 a ,而
因为x1 ≠ x2，所以x1 - x2 ≠0,所以应有a = 0, 这与已知矛盾，故假设错误.
所以，当a ≠0时，方程ax=b有且只有一个根. 注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法 .
【变式练习】
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b.
证明假设x=a或x=b, 由于x=a时,(x-a)(x-b)=0,
原词语否定词原词语
否定词
等于不等于任意的
某个
是
不是至少有一个一个也没有
都是不都是至多有一个至少有两个
大于不大于至少有n个至多有（n-1)个小于大于或等于至多有n个至少有（n+1)个
对所有x, 存在某x，对任何x，
成立不成立
不成立
存在某x, 成立
例1 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根. 分析：由于a ≠0，因此方程至少有一个根 x . b
否定结论——推出矛盾——肯定结论即分三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立.
归谬矛盾：（1）与已知条件矛盾. （2）与假设矛盾或自相矛盾. （3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.

八年级数学反证法2

11.6《反证法》导学案高柳初级中学主备：刘媛媛审核：梁春永课本内容：P137-138课前准备：三角尺学习目标：1．通过实例，体会反证法的含义．2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．一、自主预习课本P137-P138内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成）二、结合课前预习，让学生讨论、归纳以下问题：1、反证法的概念：2、用反证法证明一个命题，一般有那几个步骤？（1）（2）（3）三、巩固练习：1、填空：已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，13与11相交于点P.证明：假设，，即∥，又∵∥（已知），∴过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行，这与“”相矛盾，∴假设不成立，即求证的命题成立，∴13与12相交．2、已知：k为整数，且k2为奇数，求证：k一定是奇数。

3、已知：m,n是整数，m+n是奇数。

求证：m,n不能全为奇数。

4、证明：三角形的三个内角中至少有一个角不小于60。

四、学习小结：（学生小结：通过这节课的学习，学到了哪些知识，技巧或数学思想方法？）五、达标检测1、反证法是一种重要的数学方法，是（）A、直接证法B、间接证法C、见解证法和直接证法C、以上都不对2、如图所示，AB=AC，BD=CE,若用反证法证明AB=AE，首先应假A、A B≠ACB、BD≠CEC、∠B＝∠CD、AD≠AE3、求证：一条直线与两条平行线中的一条相交，也与另一条相交。

4、求证：同一个三角形中，如果两条边不相等，那么他们多对的叫不相等。

六、布置作业（1）P138习题A组1、2题（2）P140综合练习第9题。