向量公式大全20131

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向量公式汇总

向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。

若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。

向量的基本运算公式大全

向量的基本运算公式大全一、向量的定义与基本概念向量是具有大小和方向的量，可以用一个有序数对或有序三元组表示。

例如，二维平面上的向量（a，b）表示从原点出发，沿着横坐标轴正方向移动a 个单位，再沿着纵坐标轴正方向移动b个单位。

向量可分为有序实数对和有序复数对两种类型。

二、向量的加法与减法运算1.向量加法：两个向量相加，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的和，方向与两个向量的方向相同。

例如，向量A（a1，b1）与向量B （a2，b2）相加，结果为向量C（a1+a2，b1+b2）。

2.向量减法：两个向量相减，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的差，方向与减数的方向相反。

例如，向量A（a1，b1）与向量B（a2，b2）相减，结果为向量C（a1-a2，b1-b2）。

三、向量的数乘运算1.向量与实数的乘积：将一个实数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的k倍，方向与原向量A的方向相同。

例如，向量A（a，b）与实数k相乘，结果为向量（ka，kb）。

2.向量与复数的乘积：将一个复数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的|k|倍，方向与原向量A的方向相同。

例如，向量A（a，b）与复数k相乘，结果为向量（ka，kb）。

四、向量的标量积与向量积1.标量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的标量积为一个实数，计算公式为：A·B = a*c + b*d。

标量积满足交换律和结合律，可用于表示向量之间的相似程度。

2.向量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的向量积为一个新的向量，计算公式为：AB = (ad - bc，bc - ab)。

向量积满足右手法则，可用于表示两个向量之间的垂直关系。

五、向量的模与单位向量1.向量的模：向量A（a，b）的模为其横纵坐标平方和的平方根，计算公式为：|A| = √(a + b)。

2.单位向量：一个向量的模为1时，该向量称为单位向量。

向量公式大全

向量公式大全向量公式大全1. 向量加法AB+BC=AC a+b=(x+x' ，y+y') a+0=0+a=a 运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2. 向量减法AB-AC二CB即“共同起点，指向被减”如果a、b 是互为相反的向量，那么a=-b ，b=-a，a+b=0.0 的反向量为0 a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3. 数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a,且I入a I = I入I ? I a I当入〉0时，入a与a同方向当入v0时，入a与a反方向当入=0时，入a=0,方向任意当a=0时，对于任意实数入，都有入a=0『ps.按定义知，如果入a=0,那么入=0或a=0』实数入向量a的系数，乘数向量入a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩当I入1> 1时，表示向量a的有向线段在原方向（入〉0）或反方向（入v 0）上伸长为原来的I入I倍当I入Iv 1时，表示向量a的有向线段在原方向（入〉0）或反方向（入v 0）上缩短为原来的I入I倍数乘运算律:结合律：（入a）?b二入（a ?b）=（a ?入b）向量对于数的分配律（第一分配律）：（入+卩）a=入a+卩a.数对于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b）=入a+入b.数乘向量的消去律：① 如果实数入工0且入a二入b,那么a=b② 如果a z 0且入a=卩a,那么入=卩4. 向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b作OA二a,OB=b则/ AOB称作a和b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0W〈a,b > <n两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b 若a、b 不共线，则a?b=|a| ?|b| ?cos〈a，b〉若a、b 共线，则a?b=+-I aII b I向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y ?y'向量数量积运算律a?b=b?a( 交换律)(入a) ?b=入(a ?b)(关于数乘法的结合律)(a+b) ?c=a?c+b?c( 分配律)向量的数量积的性质a?a=|a|2a丄b 〈 => a?b=0|a ?b| < |a| ?|b|向量的数量积与实数运算的主要不同点『重要』1、(a?b)?c 丰 a?(b ?c)例如：(a ?b)2 丰 a2?b22、由a ?b=a?c (a 工0)，推不出b=c3、|a?b| 丰 |a| ?|b|4、由|a|=|b| ，推不出a=b 或a=-b5、向量向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a x b.若a、b 不共线，则a x b 的模是：l a x b I =|a| ?|b| ?sin 〈a, b> .a x b 的方向是：垂直于a和b,且a、b和a x b按这个次序构成右手系.若a、 b 共线，则a x b=0.性质I a x b I是以a和b为边的平行四边形面积a x a=0a//b 〈=> a x b=0运算律a x b=-b x a（入a）x b二入（a x b）=a x （入b）（a+b）x c=a x c+b x c.『ps.向量没有除法“向量AB/向量CD是没有意义的』6. 向量的三角形不等式II a I - I b ll<l a+b l<l a I + I b I①当且仅当a、b 反向时，左边取等号②当且仅当a、b 同向时，右边取等号I I a I - I b II<I a-b I<I a I + I b I①当且仅当a、b 同向时，左边取等号②当且仅当a、b 反向时，右边取等号三点共线定理若0C=\ OA +卩OB ,且入+ □ =1 ,贝S A、B、C三点共线三角形重心判断式在厶ABC中，若GA +GB +GC=OU GABC的重心向量共线的重要条件若b z0,则a//b的重要条件是存在唯一实数入，使a二入b, xy'-x'y=0『零向量0 平行于任何向量』向量垂直的充要条件a丄b的充要条件是a ?b=0 xx'+yy'=07. 定比分点定比分点公式P1P二入？PP2设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点则存在一个实数入，使P1P=X? PP2,入叫做点P分有向线段P1P2 所成的比若P1（x1,y1）, P2（x2,y2）, P（x,y），则有0P=（0P1 哉0P2）（1 + 入）（定比分点向量公式）x=（x1+ 入x2）/（1+ 入）y=（y1+入y2）/（1+入）（定比分点坐标公式）。

向量公式汇总

向量公式汇总文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。

若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。

向量公式大全

大全式公向量加粗字母表示向量』ps.『向量加法1. AB+BC=AC y+y') ，=(x+x'b+a a=a+0=0+a运算律：a+b=b+a交换律：) c+b+(a=c)+b+a(结合律：向量减法2.即“共同起点，指向被减” AB-AC=CB ，a=-b，b=-a 是互为相反的向量，那么b、a如果 . 0=b+a0的反向量为0 =(x-x',y-y'). b-a则=(x',y') b=(x,y) a数乘向量3.=∣aλ，且∣aλ的乘积是一个向量，记作a 和向量λ实数∣a∣•∣λ∣λ时，0＞λ当同方向a与aa与aλ时，0＜λ当反方向，方向任意0=aλ时，0=λ当0=aλ，都有λ时，对于任意实数0=a当』0=a或0=λ，那么0=aλ按定义知，如果ps.『λ实数的有向线段伸长a的几何意义就是将表示向量aλ的系数，乘数向量a向量或压缩＜λ(或反方向)0＞λ(的有向线段在原方向a表示向量时，1∣＞λ当∣上伸长)0 ∣倍λ为原来的∣(的有向线段在原方向a表示向量时，1∣＜λ当∣上缩短)0＜λ(或反方向)0＞λ ∣倍λ为原来的∣数乘运算律: b•λa)=(b•a(λ=b)•aλ(结合律：) +aλ=a)μ+λ(：)第一分配律(向量对于数的分配律. aμ+aλ)=b+a(λ：)第二分配律(数对于向量的分配律. bλa，那么bλ=aλ且0≠λ如果实数数乘向量的消去律：①0≠a如果② b==λ，那么aμ=aλ且μ向量的数量积4.的夹角，b和a称作AOB则∠,b,OB=aOA=作 b,a已知两个非零向量定义：π〉≤b,a≤〈0〉并规定b,a记作〈若b•a是一个数量，记作)内积、点积(两个向量的数量积不共线，则b、ab、a若〉b，a〈osc|•b|•|a=|b•a ∣b∣∣a∣=+-b•a 共线，则=x•x'+y•y'b•a向量的数量积的坐标表示：向量数量积运算律 ) 交换律(a•b=b•a•a(λ=b)•aλ( ) 关于数乘法的结合律)(b ) 分配律(c•b+c•a=c)•b+a( 向量的数量积的性质|a=|a•a2 0=b•a〉=〈 b⊥a | b|•|a|≤|b•a|向量的数量积与实数运算的主要不同点『重要』a(、 1 a≠)b•a(例如：) c•b•(a≠c)•b•222b•(c•a=b•a、由 2 c=b，推不出)0≠ab•a|、3 | b|•|a|≠| ，推不出| b|=|a| 、由4 b=-a或b=a、向量向量积5定义：两个向量不共线，则b、a若.b×a的向量积是一个向量，记作b和a a∣的模是：b×a和a垂直于的方向是：b×a.〉b，a〈|•sinb|•|a=|∣b×、a且，b×a共线，则b、a若.按这个次序构成右手系b×a和b. 0=b 性质为边的平行四边形面积b和a∣是以b×a∣0=a×a0=b×a〉=〈b//a运算律a×b=-b×a)aλ( ) bλ(×a)=b×a(λ=b×+a( . c×b+c×a=c×)b向量没有除法ps.『”是没有意义的』CD向量AB/“向量向量的三角形不等式 6. b∣+∣a∣≤∣b+a∣∣≤∣b∣-∣a∣∣∣反向时，左边取等号b、a当且仅当① 同向时，右边取等号b、a当且仅当② ∣b∣+∣a∣≤∣b-a∣∣≤∣b∣-∣a∣∣① 同向时，左边取等号b、a当且仅当反向时，右边取等号b、a当且仅当② ————————————————————————————————三点共线定理三点共线C、B、A则=1 ,μ+λ且OB ,μOA +λOC=若三角形重心判断式的重心ABC为△G则GA +GB +GC=O,中，若ABC 在△向量共线的重要条件的重要条件是存在唯一实数a//b，则0≠b若 xy'-x'y=0 ，bλa=，使λ于任何向量』平行0『零向量向量垂直的充要条件的充要条件是b⊥a xx'+yy'=0 b=0 •a 于任何向量』垂直0『零向量定比分点7.PPλ•=PP 定比分点公式 12则存在一的任意一点P、P是直线上不同于P是直线上的两点，P、P设 1212 所成的比PP分有向线段P叫做点λ，PPλ•=PP，使λ 个实数2121 P若定比分点向量)(λ)(1+P Oλ+P OP=(O，则有(x,y)P，),y(xP，),y(x22211121)公式) λ)/(1+xλ+x=(x21)定比分点坐标公式) (λ)/(1+yλ+y=(y 12。

向量公式汇总

向量公式汇总一、向量的基本运算1.向量的加法：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的和可以表示为a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃)。

2.向量的减法：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的差可以表示为a-b=(a₁-b₁,a₂-b₂,a₃-b₃)。

3.向量的数量积（点积）：若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则向量a和b的数量积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。

4.向量的数量积的性质：-交换律：a·b=b·a-结合律：(k·a)·b=k·(a·b)，其中k为常数-分配律：(a+b)·c=a·c+b·c5.向量的向量积（叉积）：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的向量积可以表示为a×b=(a₂b₃-a₃b₂,a₃b₁-a₁b₃,a₁b₂-a₂b₁)。

6.向量的向量积的性质：-反交换律：a×b=-b×a-结合律：(k·a)×b=k·(a×b)，其中k为常数-分配律：(a+b)×c=a×c+b×c二、向量的模和方向7.向量的模：向量a=(a₁,a₂,a₃)的模可以表示为，a，=√(a₁²+a₂²+a₃²)。

8.单位向量：向量的模为1的向量称为单位向量。

对于向量a，若其模为1，则该向量为单位向量。

9.方向余弦：若有向量a=(a₁, a₂, a₃)，则它的方向余弦可以表示为cosα=a₁/，a，, cosβ=a₂/，a，, cosγ=a₃/，a。

三、向量的坐标表示10.点P的坐标表示：若P(x,y)为平面直角坐标系中的一点，则点P的坐标向量可以表示为P=(x,y)。

向量公式汇总

向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x' ， y+y') 。

a+0=0+a=a 。

向量加法的运算律：交换律： a+b=b+a；结合律： (a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果 a、 b 是互为相反的向量，那么a=-b ，b=-a ， a+b=0. 0 的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量 a 的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣ =∣λ∣ ?∣ a∣。

当λ＞ 0 时，λa 与 a 同方向；当λ＜ 0 时，λa 与 a 反方向；当λ=0 时，λ a=0，方向任意。

当 a=0 时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0 或 a=0。

实数λ叫做向量 a 的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞ 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜ 0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜ 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜ 0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： ( λa)?b=λ(a?b)=(a? λb) 。

向量对于数的分配律（第一分配律）：( λ+μ)a= λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)= λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么 a=b。

②如果 a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b 。

作 OA=a,OB=b,则角 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作〈 a,b 〉并规定 0≤〈 a,b 〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。

向量公式汇总

向量公式汇总向量公式汇总平面向量1、向量得加法向量得加法满足平行四边形法则与三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法得运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量得减法如果a、b就是互为相反得向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0、0得反向量为0 AB-AC=CB、即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y')、3、数乘向量实数λ与向量a得乘积就是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a得系数，乘数向量λa得几何意义就就是将表示向量a得有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a得有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来得∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a得有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来得∣λ∣倍。

数与向量得乘法满足下面得运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量对于数得分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa、数对于向量得分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb、数乘向量得消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量得得数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a与向量b 得夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量得数量积（内积、点积）就是一个数量，记作a?b。

若a、b 不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。

高一数学向量公式大全

高一数学向量公式大全一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。

向量的加法满足交换律和结合律。

1. 两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。

2. 向量的加法满足交换律和结合律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。

向量的减法也满足交换律和结合律。

1. 两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。

2. 向量的减法满足交换律和结合律：交换律：a-b=-(b-a)结合律：(a-b)+c=a-(b-c)三、数量积数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。

数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。

1. 两向量的数量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的数量积为：a·b=|a|·|b|·cosθ。

其中，|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b的夹角。

2. 数量积满足交换律和分配律：交换律：a·b=b·a分配律：(k·a)·b=k·(a·b)四、向量积向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。

向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。

向量积满足反交换律和分配律。

1. 两向量的向量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的向量积为：a×b=|a|·|b|·sinθ·n。

(完整版)向量公式大全

向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量公式汇总

向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。

若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的所有公式大全

向量的所有公式大全
以下是关于向量的一些基本公式：
1. 向量的加法：$\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$
2. 向量的减法：$\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$
3. 向量的数量乘法：$k\vec{A} = \vec{A}k$
4. 内积（点积）：$\vec{A} \cdot \vec{B} =
|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$
5. 外积（叉积）：$\vec{A} \times \vec{B} =
|\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta\vec{n}$，其中$\vec{n}$为垂直于$\vec{A}$和$\vec{B}$的单位向量
6. 向量在坐标系中的分解：$\vec{A} = \vec{A}_x + \vec{A}_y + \vec{A}_z$
7. 向量的模长：$|\vec{A}| = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}}$
8. 单位向量：$\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$
9. 向量的夹角：$\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot
\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}$
10. 平行向量：$\vec{A} \parallel \vec{B}$，当且仅当$\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}$
11. 垂直向量：$\vec{A} \perp \vec{B}$，当且仅当$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$
这只是向量公式的一部分，向量的性质和公式还有很多，以上仅列出了一些基础的公式。

向量公式大全

向量公式⼤全向量公式⼤全『ps.加粗字母表⽰向量』1.向量加法羈AB+BC=ACa+b=(x+x'，y+y')a+0=0+a=a运算律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2.向量减法罿AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3.数乘向量实数λ和向量a的乘积是⼀个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣当λ＞0时，λa与a同⽅向当λ＜0时，λa与a反⽅向当λ=0时，λa=0，⽅向任意当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』实数λ向量a的系数，乘数向量λa的⼏何意义就是将表⽰向量a的有向线段伸长或压缩当∣λ∣＞1时，表⽰向量a的有向线段在原⽅向(λ＞0)或反⽅向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍当∣λ∣＜1时，表⽰向量a的有向线段在原⽅向(λ＞0)或反⽅向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍数乘运算律:结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)向量对于数的分配律(第⼀分配律)：(λ+µ)a=λa+µa.数对于向量的分配律(第⼆分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b②如果a≠0且λa=µa，那么λ=µ4.向量的数量积定义：已知两个⾮零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹⾓，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π两个向量的数量积(内积、点积)是⼀个数量，记作a?b若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?c os〈a，b〉若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣向量的数量积的坐标表⽰：a?b=x?x'+y?y'向量数量积运算律a?b=b?a(交换律)(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)(a+b)?c=a?c+b?c(分配律)向量的数量积的性质a?a=|a|2a⊥b〈=〉a?b=0|a?b|≤|a|?|b|向量的数量积与实数运算的主要不同点『重要』1、(a?b)?c≠a?(b?c) 例如：(a?b)2≠a2?b22、由a?b=a?c (a≠0)，推不出b=c3、|a?b|≠|a|?|b|4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b5、向量向量积定义：两个向量a和b的向量积是⼀个向量，记作a×b.若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉.a×b的⽅向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右⼿系.若a、b共线，则a×b=0.性质∣a×b∣是以a和b为边的平⾏四边形⾯积a×a=0a//b〈=〉a×b=0运算律a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)(a+b)×c=a×c+b×c.羀『ps.向量没有除法“向量AB/向量CD”是没有意义的』6.向量的三⾓形不等式∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣①当且仅当a、b反向时，左边取等号②当且仅当a、b同向时，右边取等号∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣①当且仅当a、b同向时，左边取等号②当且仅当a、b反向时，右边取等号————————————————————————————————三点共线定理若OC=λOA +µOB ,且λ+µ=1 ,则A、B、C三点共线三⾓形重⼼判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重⼼向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯⼀实数λ，使a=λb，xy'-x'y=0膂『零向量0平⾏于任何向量』向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a?b=0 xx'+yy'=0蒈『零向量0垂直于任何向量』7.定⽐分点定⽐分点公式P1P=λ? PP2设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意⼀点则存在⼀个实数λ，使P1P=λ? PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的⽐若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(O P1+λO P2)(1+λ) (定⽐分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ)y=(y1+λy2)/(1+λ) (定⽐分点坐标公式)。

高二数学向量公式

高二数学向量公式?向量公式：1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号（x平方+y平方）3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)那么向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|(x1x2+y1y2)根号(x1平方+y1平方)*根号（x2平方+y2平方）5.空间向量：同上推论（提示：向量a=｛x,y,z｝）6.充要条件：假如向量a⊥向量b那么向量a*向量b=0假如向量a//向量b那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|或者x1/x2=y1/y2“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”因此不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

7.|向量a±向量b|平方要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。

向量公式汇总

1、向量的加法向量公式汇总平面向量向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b 是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ 和向量a 的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0 时，λa 与a 同方向；当λ＜0 时，λa 与a 反方向；当λ=0 时，λa=0，方向任意。

当a=0 时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0 或a=0。

实数λ 叫做向量a 的系数，乘数向量λa 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b 不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b 共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。