最优化理论与最优控制共33页
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最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
第7章第3页
7.1.1宇宙飞船登月软着陆的实例
实例1：宇宙飞船若实现在月球表面实现软着陆，即登月舱到达月球表面时的速度为
零，要寻求登月舱发动机推力的最优变化率，使燃料消耗最少，以便在完成登月考察 任务后，登月舱有足够燃料离开月球与母舱会合，从而返回地球。
m(t) h(t) v(t)
u(t) g
M F h0 v0
如果泛函的变分存在，则
J ( x, x) J ( x x)
2021年4月30日
0
第7章第15页
求证 如果泛函的变分存在，则
J ( x, x) J ( x x)
0
证明 根据泛函变分的定义
J J (x0 x) J (x0 ) L(x0, x) r(x0, x)
由于 L( x0, x) 时关于 x 的连续线性泛函，故
J (C1x1(t) C2 x2 (t)) C1J ( x1(t)) C2J ( x2 (t)) ，且其增量可以表示为
J J ( x(t) x(t)) J ( x(t)) L( x(t), x(t)) r( x(t), x(t))
2021年4月30日
第7章第14页
其中，第一项是 x(t) 的连续线性泛函，第二项是关于 x(t) 的高阶无穷小，则称上式第
变分 x 表示U 中点 x(t) 与 x0 (t) 之间的差。由于 x 存在，必然引起泛函数值的变化，
并以 J (x x) 表示。其中 为参变数，其值 0 1。当 1时，得增加后的泛函值
J ( x x) ；当 0 时，得泛函原来的值 J (x) 。
若 泛 函 J ( x(t)) 对 于 任 何 常 数 C1 ， C2 及 任 何 x1(t) U ， x2 (t) U ， 都 有
最优控制理论
解决最优控制问题的方法
• 解决最优控制问题，必须建立 描述受控运动过程的运动方程 一、古典变分法 是研究对泛函求极值的一种数 学方法。古典变分法只能用在 控制变量的取值范围不受限制 的情况。在许多实际控制问题 中，控制函数的取值常常受到 封闭性的边界限制，如方向舵 只能在两个极限值范围内转动， 电动机的力矩只能在正负的最 大值范围内产生等。因此，古 典变分法对于解决许多重要的 实际最优控制问题，是无能为 力的。 • 二、极大值原理 是分析力学中哈密顿方法的推 广。极大值原理的突出优点是 可用于控制变量受限制的情况， 能给出问题中最优控制所必须 满足的条件。 • 三、动态规划 是数学规划的一种，同样可用 于控制变量受限制的情况，是 一种很适合于在计算机上进行 计算的比较有效的方法。
最优控制理论
自动化 081
杨赛女
名词解释
• 最优控制理论（optimal control theory） • 使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。 可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类 允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运 动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性 能指标值为最优。它是现代控制理论的一个主要分支，着 重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和 综合方法。 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制 方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要 组成部分
!
• 最优控制的实现离不开最优化技术，最优化技术是研究和 解决最优化问题的一门学科，它研究和解决如何从一切可 能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研 究和解决如何将最优化问题表示为数学模型以及如何根据 数学模型尽快求出其最优解这两大问题。一般而言，用最 优化方法解决实际工程问题可分为三步进行： • ①根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型， 确定变量，列出约束条件和目标函数； • ②对所建立的数学模型进行具体分析和研究，选择合适的 最优化方法； • ③根据最优化方法的算法列出程序框图和编写程序，用计 算机求出最优解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、0年代空间飞行器的制导为背景。它最初的研究对象是由 导弹、航天、航海中的制导、导航等自动控制技术、自动控制理论、 数字计算技术等领域所总结出来的一类按某个性能指标达到最大或最 小的控制问题。 • 1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科 学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优 控制理论的诞生和发展奠定了基础。 • 钱学森1954年所着的《工程控制论》（EngineeringCybernetics）直接 1954 EngineeringCybernetics 促进了最优控制理论的发展和形成。 • 1956年，Pontryagin把最优控制过程问题正确地叙述为具有约束的非 古典变份学问题，提出解决方法-最大值原理，显示了最大值原理在 解决最优控制过程问题中的效用。 • 1958年，他们首先公布了线性系统时间最优控制的最大值原理的证明。 • 1960年，Pontryagin等人完成了一般形式的最大值原理的严格证明， 能够具体解决一般的时间最优控制问题。 • 1960年，Pontryagin的最大值原理、Bellman的动态规划方法和Kalman 的最优线性调节器的理论被公认为最优控制理论的三大里程碑，标志 着最优控制理论的诞生。
优化理论与最优控制
无约束最优化方法的特点及应用范围
最优化方法 坐标轮换法(变量轮 换法或降维法) 特点及应用范围 不需求导数，方法易懂，程序设计容易，但迭代过程较长，收敛速 度较慢，且问题的维数n愈多求解效率愈低，适用于n≤10的小型无约 束最优化问题，当函数的等值线为圆或为长短轴都平行于坐标轴的 椭圆时此法很有效。 效率高于上法，尤其最初几步迭代函数值下降很快，但愈靠近极值 点愈慢。迭代计算简单，占用计算机单元少，对初始点的选择要求 低。常与其它方法混用。 当初始点选得合适时是目前算法中收敛得最快的一种(尤其对二次函 数)，但当初始点选择不当会影响到能否收敛或导致失败。计算较繁 且要求Hessian矩阵是非奇异的。计算量和存贮量都以维数n的平方 (n2)比例增加，故当函数变量较多和因次较高时不宜采用此法。 即使初始点选择不当，此法亦会成功，其它特点与牛顿法相同。 是对最速下降法在收敛速度上的重大改进，其收敛速度比最速下降 法大为加快，而计算又比牛顿法大为简化。计算简单，所需的存储 量少，收敛速度快，常用于多变量的最优化设计。 不需求导数只需计算函数值，适用于中、小型问题的无约束最优化 问题。Powell法是一种求无约束最优化问题较为有效的方法，适用于 中小型无约束最优化问题，但对于多维问题收敛速度较慢。
• 调整（设计、策略、决策）变量 设计变量的数目称为最优化设计的维数。 • 目标函数 在最优化设计中，可将所追求的设计目标（最优 指标）用设计变量的函数（解析或隐含）形式表 达出来，这一过程称为建立目标函数。 • 约束条件 在很多实际问题中，设计变量的取值范围是有限 制的或必须满足一定的条件。以及其他方面的限 制。
f (X ( k 1) )-f (X ( k ) ) 2
③当迭代点逼近极值点时，目标函数在该点的 梯度将变得充分小，故目标函数在迭代点处 的梯度达到充分小时，也可作为终止迭代的 判据：
最优化与最优控制_补充变分共33页PPT
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
最优化与最优控制_补充变分
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
最优化与最优控制_补充变分
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
优化理论课件(变分法与最优控制理论)
优化理论课件（2）第二部分动态优化：变分法和最优控制理论变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。
本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。
目录一、什么是动态优化？ (3)（一）动态优化问题的基本要素 (4)（二）泛函及其相关概念 (4)（三）可变终结点 (5)（四）横截条件 (7)（五）目标泛函 (7)二、变分法 (8)（一）基本问题：固定终结点问题 (8)（1）基本问题及其假定 (8)（2）一阶条件：欧拉方程 (8)（二）推广：多状态变量与高阶导数 (11)（1）多状态变量 (11)（2）高阶导数 (11)（三）可变端点问题 (12)（1）一般性横截条件 (12)（2）垂直终结线问题 (13)（3）水平终结线问题 (14)（4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(14)（5）截断的垂直终结线问题 (14)（6）截断的水平终结线问题 (14)（7）多变量和高阶导数情形 (15)（四）二阶条件（充分条件） (15)（1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验 (15)（2）凹凸性充分条件 (16)（3）变分 (17)（五）无限期界问题 (18)（1）收敛性 (18)（2）横截条件 (19)（3）充分条件 (19)（六）带约束的优化问题 (19)（1）等式约束 (19)（2）不等式约束 (21)（3）积分约束（等周问题） (21)三、最优控制理论 (22)（一）最优控制理论导论 (22)（二）最大值原理及其横截条件 (23)（1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件） (23)（2）最大值原理的理论基础及其横截条件 (26)（3）自控问题的汉密尔顿函数不变性 (29)（4）推广到多变量 (29)（三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (30)（1）最大值原理的经济学解释 (30)（2）现值的汉密尔顿函数 (32)（四）充分条件（二阶条件） (32)（1）曼加萨林定理 (32)（2）阿罗条件 (34)（五）无限期界问题 (35)（1）横截条件与反例 (35)（2）作为充分条件一部分的横截条件 (36)（六）有约束的最优控制问题 (36)（1）涉及控制变量的约束 (37)（2）状态空间约束 (43)四、拉姆齐模型 (47)（一）相关理论发展背景 (47)（二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统 (49)（三）微分方程定性稳定性判别方法简介 (53)（1）稳定性与渐进稳定性 (53)（2）稳定性判别基本定理 (53)（2）平面动力系统的奇点 (54)一、什么是动态优化？例：一个企业将原料从初始状态A通过五道工序，变为总结状态Z，每个阶段的选择对应一个阶段的成本，如何选择路径使得总成本最小化？从这个例子中可以看到：首先，动态强调的是时期之间的联系，而不仅仅是有时间的顺序；其次，这里也包含了Bellman方程的基本原理。
最优控制理论课件
第一章绪论1.1 引言近50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象如宇宙飞船、导弹、卫星和现代工业设备与生产过程的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。
这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度进行研究分析和设计。
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分。
其形成与发展奠定了整个现代控制理论的基础。
早在20世纪50年代初九开始了对最短时间控制问题的研究。
随后，由于空间技术的发展，越来越多的学者和工程技术人员投身于这一领域的研究和开发，逐步形成了较为完整的最优控制理论体系。
最优化问题就是根据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目标，寻找一个最优控制规律，或设计出一个最优控制方案或最优控制系统。
最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某性能指标达到最优值。
从数学的观点来看，最优控制理论研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函取值问题，属于变分学的理论范畴。
然而，经典变分学理论只能解决容许控制属于开机的一类，为适应工程实践的需要，20世纪50年代中期出现了现代变分理论。
在现代变分理论中最常用的两种分法是动态规划和极小值原理。
动态规划时美国学者R.E贝尔曼于1953-1957年为了解决多级决策问题的算法而逐步创立的。
最小值原理时前苏联科学院院士π.C.庞特里亚金与1956年-1958年间逐步创立的。
近年来，由于数字计算机的飞速发展和完善，逐步形成了最优控制理论中的数值计算法，参数优化方法。
当性能指标比较复杂或者不能用变量或函数表示时，可以采用直接搜索法，经过若干次迭代，都所到最优点。
常用的方法有邻近极值法、梯度法、共轭梯度法及单纯形法等。
同时由于可以把计算机作为控制系统的一个组成部分，以实现在线控制，从而使最优控制理论的工程实现成为现实。
因此，最优控制理论提出的求解方法，既是一种数学方法，又是一种计算机算法。
最优化与最优控制
0
)
2 f (X0)
2
f
(
X
0
)
x2x1
2 f (X0
)
xnx1
2 f (X0) x1x2
2 f (X0 x1xn)源自2 f (X0) x2 2
2 f (X0)
xn x2
2 f (X0)
x2xn
2 f (X0
)
xn 2
是f在点X 0处的Hesse矩阵
npjiangb@
npjiangb@
• 2.2 多元函数无约束的极小化 一、Hesse矩阵
设f
: Rn
R1 ,
X
0
Rn
, 如果f在点X
处对于自变量
0
X的各分量的二阶偏导数 2 f ( X 0 ) (i, j 1,2,, n) xix j
都存在，
则
称
函数f在
点X
处
0
二阶
可
导，
并且称矩阵
2
f (X x12
其中 N x * x x x * , 0 。 同样有：严格局部最优解。若 f x * f x
npjiangb@
定义 范数： 在 n 维实向量空间 R n 中，
定义实函数 x , 使其满足以下三个条件：
（１）对任意 x R n 有 x 0 , 当且仅当
dt
t0
• 五 终端控制问题
J Q[x(t f ), t f ]
• 六 非线性系统的最优控制
npjiangb@
• 1.5 最优化问题的解法
• 解析法：利用函数的解析性质去构造迭代公式使之收敛 到最优解
• 直接法：它对函数的解析性质没有要求，而是根据一定 的数学原理来确定
最优控制与最优理论课件1
x
—可以详细的做线性搜索，但是这将非常耗时。 该过程通常需要快速，精确并且简单。 ◊ 尤其是你对所选择的
pk 值不确定
1-11
线性搜索
• 考虑一个简单的问题： F ( x1, x2 ) x1
2 2 x1x2 x2
1 x0 1
0 1 p0 x1 x0 p0 2 1 2
则称点 x* 是函数 F ( x* )的强最小点。 —弱：目标函数在一些方向上保持相同，并且只在其他方向上局部增加。 如果 x 不是一个强最小点，且标量 0 ，存在类似 F ( x* ) F ( x* x) ，对所有的 x * 有 0 x ，则称点 x 是函数 F ( x) 的弱最小点。
̶ 从 x [1.9 2] 处开始，已知全局最小值是 x [1 1] • 拟牛顿法做得很好-在迭代了26次后得到了最优解（调用35次），但是梯度搜索（最速下 降）却做得不好（尽管很接近），调用函数2000次，迭代了550次
1-22
图1.5 算法是如何工作的
1-23
1-24
1-25
Rosenblock with BFGS
* *
，这样才能
充分确保 F ( x* x) F ( x* ) 。 —对于任意的 x
0 ，充分条件是 G( x* ) 0 （PD）。
• 对于强最小值的二阶必要条件是 G( x* ) 0 （PSD），因为在这种情况下展开式中的更高 阶项很重要。例如：
xT G( x* )x 0
在合理的时间内能否保证可以找到一个好的答案--答案是可以，但不是一直能 保证的。
1-27
图1.7：初始环境下函数的一个点的收敛性是如何变化的
最优化理论与最优控制.ppt
通常又称为参数最优化问题。 即：最优控制变量与时间t没关系或说 在 所研究的时间区域内为常数。 目标函数：多元的普通函数。 最优解：古典微分法对普通函数求极值方法完成。
静态最优化方法：
a. 解 析法（间接法） 无约束条件 有约束条件
b. 数值计算法（直接法) 区间消去法
黄金分割法（0.618法） 插值法
2) 有关数学模型中变量的边界条件，即系统的初态和终态，
即 确定：X (t0 ) ，X (t f ) 。
一个动态过程，归根到底，是状态空间中的状态由初态
课程参考教材：1 系统最优化及控制 付曦 著 机械工业出版社 电气自动化新丛书
2 最优控制理论及应用 解学书著 清华大学 出
版社
第一章
容，是现代理论的一个 研究热点和中心话题。
现代控制理论：以多变量系统控制、最优控制、系统辩识为 主要内容，最优控制发展早。20世纪60年 代，现代控制理论才得以迅速发展。我国 著名学者：钱学森 1945年编著的《工程
研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优方案， 其间包括以下任务 1）根据所提出的最优化问题，建立最优化问题数学模型。
确定变量，列出约束条件，确定目标函数（性能指标） 2） 模型分析，选择合适的最优化求解方法。 3）根据选定的最优化算法，编程，求解 。
最优化的基本问题： 就是寻找一个最优的控制方案或控制规律，使所研究
2）动态规划法和最优化原理 3）极大值原理
总结：最优控制是现代控制理论的核心，它的主要内容是： 在满足一定的约束条件下，根据控制系统的数学模型，寻求最 优控制，使目标函数为极大或极小。 用最优控制设计系统与传统解析法相比，特点如下：
1） 适用于多变量，非线性，时变系统的设计 2） 初始条件可任意 3） 可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情 况 4） 便于计算机求解
静态最优化方法：
a. 解 析法（间接法） 无约束条件 有约束条件
b. 数值计算法（直接法) 区间消去法
黄金分割法（0.618法） 插值法
2) 有关数学模型中变量的边界条件，即系统的初态和终态，
即 确定：X (t0 ) ，X (t f ) 。
一个动态过程，归根到底，是状态空间中的状态由初态
课程参考教材：1 系统最优化及控制 付曦 著 机械工业出版社 电气自动化新丛书
2 最优控制理论及应用 解学书著 清华大学 出
版社
第一章
容，是现代理论的一个 研究热点和中心话题。
现代控制理论：以多变量系统控制、最优控制、系统辩识为 主要内容，最优控制发展早。20世纪60年 代，现代控制理论才得以迅速发展。我国 著名学者：钱学森 1945年编著的《工程
研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优方案， 其间包括以下任务 1）根据所提出的最优化问题，建立最优化问题数学模型。
确定变量，列出约束条件，确定目标函数（性能指标） 2） 模型分析，选择合适的最优化求解方法。 3）根据选定的最优化算法，编程，求解 。
最优化的基本问题： 就是寻找一个最优的控制方案或控制规律，使所研究
2）动态规划法和最优化原理 3）极大值原理
总结：最优控制是现代控制理论的核心，它的主要内容是： 在满足一定的约束条件下，根据控制系统的数学模型，寻求最 优控制，使目标函数为极大或极小。 用最优控制设计系统与传统解析法相比，特点如下：
1） 适用于多变量，非线性，时变系统的设计 2） 初始条件可任意 3） 可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情 况 4） 便于计算机求解
最优控制全部PPT课件
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
上述由控制约束所规定的点集称为控制域U，凡在t0-tf上有定义，且在控制域U 内取值的每一个控制函数u(t)均称为容许控制。
4：性能指标
通常情况下，最优控制问题的性能指标形如：
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
其中第一项是接近目标集程度，即末态控制精度的度量，称为末值型性能指标。
第6页/共184页
从工程实际考虑，约束条件为 0 F(t) maxF(t)
如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性能指标：
J
tf t0
[c1
F (t )]d t
为最小
综上所述，所谓最优防天拦截问题，即选择满足约束条件的控制F(t),驱使系统从初始 状态出发的解，在某个时刻满足终端条件，且使性能指标为极值（极小值）。
第14页/共184页
5：线性跟踪器
若要求状态X(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹Xd(t),则这种系统称为状态跟踪器，其相 应的性能指标为：
J
tf t0
1 [ X (t) 2
Xd
(t )] T
Q[ X (t)
动态最优化第7讲 最优控制理论极大值原理汇编
dt
y0 A yT 自由 （A,T给定）
ut , 对于所有t 0,T
控制变量为 ut，运动方程（或状态方程）：dy f t, y,u 控制变量通过运动方程影响状态变量yt dt
第七讲 最优控制理论最大值原理
（二）最优控制的基本问题
（4）一个特例 （运动方程为：dy u ）
Max
V
T
0
求解条件：Max H t, y,u, u
首先使用一阶条件 : H 0 u
再用二阶条件： 2 H u 2
0验证H是凹函数
a 0b
曲线1 曲线2
曲线3 曲线4
cu
第七讲 最优控制理论最大值原理
（三）最大值原理
（2）最大值原理的条件
（2）如果H是下凸函数（曲线2），尽管
H
H关于u可微, 但 H 0得出的是最小值， u
0
dy dt
0
y*t
C2
把初始条件：y0 A代入，得：y*t A
第七讲 最优控制理论最大值原理
（三）最大值原理
（4）例子——算例2
Max
V
2 2 y 0
3udt
S.T. dy y u dt
y0 4 y2自由
ut 0,2
第七讲 最优控制理论最大值原理
（三）最大值原理
（4）例子——算例2
F t,
y, u dt
dt
S.T. dy u dt
y0 A yT 自由 （A,T给定）
消去u，得：
Max
V
T
0
F t,
y,
ydt
S.T. y0 A yT 自由 （A,T给定）
化为垂直终结线的变分法问题
第七讲 最优控制理论最大值原理
y0 A yT 自由 （A,T给定）
ut , 对于所有t 0,T
控制变量为 ut，运动方程（或状态方程）：dy f t, y,u 控制变量通过运动方程影响状态变量yt dt
第七讲 最优控制理论最大值原理
（二）最优控制的基本问题
（4）一个特例 （运动方程为：dy u ）
Max
V
T
0
求解条件：Max H t, y,u, u
首先使用一阶条件 : H 0 u
再用二阶条件： 2 H u 2
0验证H是凹函数
a 0b
曲线1 曲线2
曲线3 曲线4
cu
第七讲 最优控制理论最大值原理
（三）最大值原理
（2）最大值原理的条件
（2）如果H是下凸函数（曲线2），尽管
H
H关于u可微, 但 H 0得出的是最小值， u
0
dy dt
0
y*t
C2
把初始条件：y0 A代入，得：y*t A
第七讲 最优控制理论最大值原理
（三）最大值原理
（4）例子——算例2
Max
V
2 2 y 0
3udt
S.T. dy y u dt
y0 4 y2自由
ut 0,2
第七讲 最优控制理论最大值原理
（三）最大值原理
（4）例子——算例2
F t,
y, u dt
dt
S.T. dy u dt
y0 A yT 自由 （A,T给定）
消去u，得：
Max
V
T
0
F t,
y,
ydt
S.T. y0 A yT 自由 （A,T给定）
化为垂直终结线的变分法问题
第七讲 最优控制理论最大值原理
最优控制理论PPT课件
生产计划与调度
在企业生产管理中，利用 最优控制理论对生产计划 和调度进行优化，提高生 产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，它在解决复杂系统的优化和控制问题方面 具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法，寻求在给定条件下实现系统性能最优化的 控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代，基于微分几何、非 线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代，考虑系统不确定性 ，引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程，通常表示为状态变量对时间 的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基 于系统输出的反馈控制策略，通过最优 控制算法计算出在当前输出下的最优控 制输入，使得系统状态在有限时间内达 到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效 的最优控制策略，它根据系统的输出信息 ，通过最优控制算法计算出在当前输出下 的最优控制输入，使得系统状态在有限的 时间步内以最优的方式达到目标状态。这 种控制策略的关键在于如何根据输出信息 快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与 非线性控制、连续和离散控制等 。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中，许多问题 都需要通过最优控制理论来解决，如 航天器轨道控制、机器人运动控制、 电力系统优化等。
《最优化理论》课件
递归法
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
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线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
最优化与最优控制
可行解的全部集合称为可行域，记为D
数学表达：
D x ci x 0,i 1,2, m,ci x 0,i m 1, ,p,x R n
npjiangb@
定义 整体最优解 若： x * D , 对于一切
x D 恒有 f x * f x , 则称 x * 为最优化
x 0 时 x 0；
（２）对任意 x R n 及实数 有 x • x ；
（３）对任意 x ,y R n 有 x y x y
则称函数 x 为R n上的范数。
常见的范数： P-范数：
x p
n
1/ p
xi p
i 1
1 p
特别：
2-范数：
x 2
n i 1
xi
1/2
2
-范数：
在T时刻实现软着陆，终点条件为 hT 0, vT 0
最优化问题可以为：确定推力u(t)，使飞船在软着陆过程中消耗最少燃料。
在控制过程中，推力u(t)不能超过发动机所提供的最大推力umax
min mT
s.t. 0 ut umax
0
)
2 f (X0)
2
f
(
X
0
)
x2x1
2 f (X0
)
xnx1
2 f (X0) x1x2
2 f (X0 x1xn
)
2 f (X0) x2 2
2 f (X0)
xn x2
2 f (X0)
x2xn
2 f (X0
)
xn 2
是f在点X 0处的Hesse矩阵
npjiangb@
F(X 0) m nF(X 0)
npjiangb@
npjiangb@
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40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
最优化理论与最优控制
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
ห้องสมุดไป่ตู้
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
最优化理论与最优控制
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
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