等差数列的性质导学案

§等差数列（第二课时）

教学目标：

1、进一步了解等差数列的项数与序号之间的规律；

2、理解等差数列的性质；

3、掌握等差数列的性质及其应用。

教学难点：等差数列的灵活应用

预习案

自主学习：等差数列的常用性质： 1.若数列{a n }是公差为d 的等差数列：

(1)d>0时，{a n }是 ；d<0时，{a n }是 ；d=0时，{a n } （2）等差数列的通项公式：n a =

通项公式的推广：n m a a =+ ()*

,N n m ∈

结论：若数列{n a }的通项公式为q pn a n +=的形式，p,q 为公差的等差数列。

（3）多项关系：若q p n m +=+，()*,,,N q p n m ∈则m n a a +=

2、等差数列的性质：

（1）若数列{n a }是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①{c+a n }(c 为任一常数)是公差为______的等差数列； ②{c a n }(c 为任一常数) 是公差为______的等差数列；

(2) 若数列{n a }、{}分别是公差为d 1和d 2的等差数列，则数列{n n pa qb + }

(pq 是常数)是公差为________的等差数列。

（3）若{a n }为等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是 ，公差为 ;

a m ，a m+k ，a m+2k ，a m+3k ，…，成 ，公差为 ;

合作探究：

问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件

问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象，这个图象有什么特点

（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么据此说说等差数列q pn a n +=的图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系

预习自测

1、已知等差数列{a n }中31a =，79a =- 则 5a = （ ） A 、-4 B 、4 C 、-8 D 、8

2、已知等差数列的前三项依次为1a - ，1a + ，23a + ,则此数列的第n 项n a 等于( )

A 、2n-5

B 、2n-3

C 、2n-1

D 、2n+1 3、等差数列{}n a 中, 1554=+a a , 157

=a , 则2a 等于（ ）

1.A

1.-B

0.C

2.D

课中案

类型一：等差数列性质的应用

例1 在数列{n a }中，310a a 是方程x 2-3x+5=0的两根，若数列{n a }是 等差数列，则58a a +=__________

变式：在等差数列{a n }中,若3456745a a a a a ++++=,求28a a +

例2等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项

n

a

变式:已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{

n a }通项公式

a n .

类型二等差数列的运算

例3、（1）三个数成等差数列，和为6，积为-24，求这三个数。

（2）四个数成递增等差数列，中间两数和为3，首末两项积为-8，

求这四个数。

类型三：等差数列的综合应用

例4、已知等差数列{n a }的首相为1a ，公差为d ，且11a =-26，51a =54，求14a 的值，且从第几项开始为正数

课后案

一.选择题

1、在等差数列{n a }中，18153120a a a ++= ，则9113a a -= （ ） A 、6 B 、12 C 、24 D 、48

2、在等差数列{n a }中，若3456780a a a a a ++++=，则28a a +=（ ） A 、8 B 、16 C 、32 D 、64

3、若{n a }为等差数列，且14745a a a ++=，25839a a a ++= ，求369a a a ++= （ ）

A 、39

B 、20

C 、11

D 、33

4、设{n a }、{n b }都是等差数列，且125a =，175b =，22100a b += ，则3737a b += （ ）

A 、0

B 、37

C 、100

D 、-37

5、首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( )

A.d ＞8

3

B.d ＞3

C.83

≤d ＜3 D.83

＜d ≤3

二．填空题

6.在数列{an}中

1a ，12a 是方程250x -=的两根，若{n a }是等差数列，则

58a a +

=

7、已知{n a }为等差数列，且其公差为d ，则{21n a -}的公差d 为 。

8、等差数列{an}中，15a =33，25a =66，则35a = 9、在等差数列{an}中，已知,,m n m n a A a B +-==则m a =

10在-1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c ，使这5个数成等差数列，则插入的三个数为______________。

三．解答题

12已知数列{}n a 满足11a = ，若点1

(,)1

n n a a n n ++ 在直线10x y -+= 上，求数列的通项公式n a