等差数列的性质导学案

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《等差数列的概念》教案、导学案与同步练习

《4.2.1 等差数列的概念》教案（第一课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

【教学目标与核心素养】【教学重点和难点】重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定【教学过程】3.测量某地垂直地面方向上海拔地面20米起每升高100米处的大气温度（单位25,24,23,22,21解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3.∴这个等差数列的首项a 1＝－2，公差d ＝3. (2) 法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.法二：∵a 60＝a 15＋(60－15)d ，∴d ＝20－860－15＝415，∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.法三：已知数列{a n }是等差数列，可设a n ＝kn ＋b.由a 15＝8，a 60＝20得⎩⎪⎨⎪⎧15k ＋b ＝8，60k ＋b ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝415，b ＝4.∴a 75＝75×415＋4＝24.例2 (1)已知m 和2n 的等差中项是8，2m 和n 的等差中项是10，则m 和n 的等差中项是________．(2)已知1a ，1b ，1c 是等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc 也是等差数列．[思路探究] (1)列方程组―→求解m ，n ―→求m ，n 的等差中项 (2)(1)6 [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝8×2＝16，2m ＋n ＝10×2＝20，∴3(m ＋n)＝20＋16＝36，∴m ＋n ＝12，∴m ＋n2＝6.](2)[证明] ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b(a ＋c)． ∵b ＋c a ＋a ＋b c＝cb ＋c ＋a a ＋bac＝a 2＋c 2＋b a ＋c ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝2a ＋c 2b a ＋c ＝2a ＋cb， ∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c成等差数列．等差中项应用策略1.求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y2.2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．[解] ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项， ∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项， ∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为：－1，1，3，5，7.2．等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 C [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 2＝2，a 5＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8，解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C.] 3．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为______．3 [a ＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.]4.在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则a 10＝____. 解析：(方法一)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋(5－1)d ，a 8＝a 1＋(8－1)d ，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝a 1＋4d ，5＝a 1＋7d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2.∴a n ＝－2n ＋21(n ∈N *)． ∴a 10＝－2×10＋21＝1. (方法二)设公差为d ， ∵a 8＝a 5＋(8－5)×d， ∴d ＝a 8－a 53＝－2，∴a 10＝a 8＋(10－8)×d＝1. (方法三)设a n ＝An ＋B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝5A ＋B ，a 8＝8A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝5A ＋B ，5＝8A ＋B ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－2，B ＝21，∴a n ＝－2n ＋21，∴a 10＝1.5．若等差数列{a n }的公差d≠0且a 1，a 2是关于x 的方程 x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1a 1＋d ＝a 1＋3d.四、小结【教学反思】普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。

数学人教A版高中必修5 等差数列的性质导学案

必修5 §2.2.2等差数列的性质学案【课时安排】：1课时【学习目标】1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；2．理解等差数列的性质；3．掌握等差数列的性质及其应用．【学习重难点】1．学习重点：等差数列的性质及证明；2．学习难点：运用等差数列定义及性质解题．【知识链接】1．等差数列的定义：在等差数列{}n a 中，对任意*n N ∈，1n n a a +-= ；2．等差数列的通项公式：n a = = ；3．若a ，A ，b 成等差数列，则称A 为a ,b 的且；在等差数列{}n a 中满足：对任意*n N ∈，都有；【自学导引】一、探究发现：根据等差数列{}n a ：-1,2,5,8,11,…… 思考下列问题：1．等差数列{}n a 的通项公式是：；2．请在函数的角度观察等差数列的通项公式结构，你能发现它有些什么性质？（1）（2）3．在这个等差数列中，请计算下列结果：27a a += ，36a a += ，45a a += ．（1）在上述算式中，你能得出什么结论吗？请写出来，并加以证明．（2）任意等差数列也有类似的性质吗？请写出来，并加以证明．二、活动交流：根据任意等差数列的项及其通项公式，思考、交流下列活动．1．除了上面的性质，你能发现等差数列还有些什么性质？请把你的发现写下来，并加以证明．2．将你发现的性质与同小组的同学交流，互相验证．并把本组求证的正确结论记录下来．三、应用举例：例1．填空：（1）在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值为；（2）等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是．例2．若数列{}n a 为等差数列，158a =，6020a =，求75a 的值．例3．在数列{}n a 中，2n a kn qn =+(k ,q R ∈，*n N ∈)．（1）数列{}n a 能成为等差数列吗？若能，需要满足什么条件？若不能，请说明理由．（2）求证：对任意k ,q R ∈，数列1{}n n a a +-均为等差数列．【当堂检测与变式】课堂发布于101平台．【自学反思】1．学习本节内容的收获有哪些？2．你还有哪些疑问？【拓展延伸】1．已知等差数列{}n a ：5,8,11,… 和等差数列{}n b ：3,7,11,…．（1）在两个等差数列的前100项中，有多少个相等的项？（2）把两个等差数列中的相等项按从小到大的顺序组成一个新数列{}n c ，试求{}n c 的通项公式．2．等差数列的基本性质可以判定等差数列吗？判定一个数列是等差数列有些什么方法？。

人教版高中数学全套教案导学案2.2等差数列

2. 2.1等差数列导学案一、课前预习： 1、预习目标：①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； ③体会等差数列与一次函数的关系。

2、预习内容：（1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d 表示。

（2）、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的，即=A 2 或=A 。

（3）、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列；时，数列为递减数列；时，数列为常数列；等差数列不可能是。

（4）、等差数列的通项公式：=n a 。

二、课内探究学案例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项解：由81=a 385-=-=d 20=n 得：49)3()120(820-=-⨯-+=a2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？解：由51-=a 4)5(9-=---=d 得14)1(45--=---=n n a n由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得： 14401-=-n 成立解得：100=n 即401-是这个数列的第100项。

例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4km ）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。

4km 处的车费记为：2.111=a 公差2.1=d 当出租车行至目的地即14km 处时，n=11 求11a 所以：2.232.1)111(2.1111=⨯-+=a 例3：数列53-=n a n 是等差数列吗？变式练习：已知数列｛na ｝的通项公式qpn a n +=，其中p 、q 为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？（指定学生求解）解：取数列｛na ｝中任意两项na 和1-n a )2(≥n[]q n p q pn a a n n +--+=--)1()(1pq p pn q pn =+--+=)(它是一个与n 无关的常数，所以｛na ｝是等差数列？并且：q p a +=1 p d = 三、课后练习与提高在等差数列{}n a 中，已知,10,3,21===n d a 求n a=已知,2,21,31===d a a n 求=n已知,27,1261==a a 求=d已知,8,317=-=a d 求=1a2、已知231,231-=+=b a ，则b a ,的等差中项为（）A 3B 2 C31D 213、2000是等差数列4，6，8…的（）A 第998项B 第999项C 第1001项D 第1000项 4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（） A 第13项 B 第14项 C 第15项 D 第16项 5、在等差数列{}n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则654a a a ++等于（）A 10B 42 C43 D456、等差数列-3，1， 5…的第15项的值为7、等差数列{}n a 中，0,2511>=d a 且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是 8、在等差数列{}n a 中，已知,31,10125==a a ，求首项1a 与公差d9、在公差不为零的等差数列{}n a 中，21,a a 为方程432=+-a x a x 的跟，求{}n a 的通项公式。

高中数学第二章数列第十二课等差数列的性质导学案新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学

第十二课等差数列的性质一、课标要求1.通过实例，理解等差数列的概念。

2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式。

二、先学后讲性质1. 0d =时，数列为常数列；0d >时，数列为；0d <时，数列为．性质2. ()n m a a n m d =+-（,m n N +∈）．当m n ≠时,n m a a d n m-=- 性质 3.若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.(其中,,,m n p q N +∈),特别地,对任意正整数,,m n k 若2m n k +=,则有2m n k a a a +=.三、合作探究1.性质2的应用例1 在等差数列{n a }中，已知294,25a a ==.求1,a d【思路分析】先利用通项公式列出两个关于a 1,d 的方程,联立解方程组求得a 1,d ；也可用性质2求d ，再求a 1。

【解析】方法一：设数列{n a }的公差为d ，由等差数列的通项公式及已知得114825a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得113a d =⎧⎨=⎩方法二：∵294,25a a ==,∴922543927a a d --===-,由214,a a d =+=得11a = 【点评】本题用了两种方法，显然方法二较为简练。

☆自主探究1.在等差数列{n a }中，已知3123,21a a ==.求1,a d1.性质3的应用例2 在等差数列{n a }中，已知294,25a a ==.求10S【思路分析】直接用性质3求解.【解析】∵294,25a a ==,∴2929a a +=,∴11029a a +=,∴1101010()102914522a a S ⨯+⨯=== 【点评】本例题与第十课例2相同，你认为哪种方法简单？☆自主探究2.在等差数列{n a }中，已知696,16a a ==-.则此数列的前十四项之和等于四、总结提升1、本节课你主要学习了五、问题过关1. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8等于( )A.45B.75C.180D.300 2. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 9+a 15+a 21=8,则a 12等于( )A.1B.－1C.2D.－23. 在等差数列{a n }中，a 15=33，a 25=66，则a 35=( )． A.33 B. 40 C.992D.99 4. 在等差数列{a n }中，若a 3=50,a 5=30，则a 7=______.5. 在－1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则a =______,b =______.6.在等差数列{a n }中，若a 3=50, a 5=30，则7__S =7.在等差数列{a n }中，若1020,S =，则38______a a +=第十二课等差数列的性质☆自主探究1解：∵3125,21a a ==,∴12321321239a a d --===-,由3123,a a d =+=得11a =- 2解：691141414()14()7022a a a a S ⨯+⨯+===- ☆问题过关1C 解：由已知a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，即5a 5=450，即a 5=90，所以a 2+a 8=2 a 5=180 2C 解：因为a 3+a 9+a 15+a 21=412a =8,所以122a = 3D 解：由d=mn a a m n --求出公差，再由a 35=a 25+10d 求解 4解：d=3550303535--=--a a =－10, ∴a 7=a 3+(7－3)d =50－40=105解：d =14)1(8---=3，∴a =－1+3=2,b =2+3=5 6解：173577()7()28022a a a a S ⨯+⨯+=== 7解：∵1101010()202a a S ⨯+==,∴1104a a += ∴381104a a a a +=+=。

高中数学 2.2等差数列的性质导学案新人教A版必修5

2.2等差数列性质预习案【学习目标】1.准确理解等差数列的性质，掌握由等差数列的通项公式研究其图象的方法，提高运算求解能力.2.通过对等差数列通项公式的推导和等差数列性质的探究，进一步渗透数形结合思想、函数思想及方程思想.3.激情参与、惜时高效，激励学生自主探究，发现规律，感受等差数列的内在奥妙. 【重点】：等差数列的性质. 【难点】：等差数列的性质的应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1. 等差数列的通项公式是什么？与一次函数有什么关系？2. 利用等差数列的通项公式可以解决那些问题？3. 若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 、b 的________，即A=_______________4. 判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？ Ⅱ.教材助读1.依据等差数列的概念，你能写出等差数列的通项公式吗？公差对数列的增减性有何影响？2.已知等差数列的公差为d ，第m 项为m a ，第n 项为n a （n>m ）则n a =m a +_________3.已知一个等差数列的首项是1a ，公差为d ，（1）将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（2）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（3）取出数列中所有项数是7的倍数的项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（4）数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++......是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？【预习自测】1.在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B 等于（） A ．30 B.60 C.90 D.不能确定2.若{a n }是等差数列，则,,,543432321a a a a a a a a a ++++++987a a a ++,……,n n n a a a 31323++--,……( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D ．一定是递减数列 3.已知等差数列{a n }中，741a a a ++=39，33852=++a a a ，则963a a a ++等于（） A ．30 B.27 C.24D.21【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：等差数列的性质问题1：如果数列{a n}是等差数列，首项为a1,公差为d，则通项公式a n=____________=___________.其中变化的量为n，a n，则点(n,a n)在直线____________上；点(n,a n)的横坐标每增加1，函数值增加_____.问题2：等差数列的性质：已知一个等差数列{a n}，其中首项是a1，公差为d，（1）下标成等差数列且公差为m的项a k，a k+m，a k+2m，…（k,m∈N*）组成公差为_____的等差数列.（2）a1+a2，a3+a4,a5+a6，…组成公差为_____的等差数列. a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m,…组成公差为_____的等差数列.（3）若{b n}是公差为d0的等差数列，则数列{pa n+qb n}（p，q为常数）是公差为________的等差数列.（4）若{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都_______，且等于_______________.（5）若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则a m+a n与a p+a q相等吗？说明理由.（6）若m+n=2p，则a m+a n_____2a p，a m+a n_____a2p（填“=”或“≠”）.【归纳总结】等差数列的性质有哪些？数列{a n}为等差数列，首项是a1，公差为d.（1）d＞0,{a n}是递增数列；d＜0，{a n}是递减数列；d=0,｛a n｝是常数列.（2）a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).（3）a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,…组成公差为m2d的等差数列.（4）a m,a2m,a3m,…,a km,…组成公差为md的等差数列.（5）若数列{b n}是公差为b的等差数列，p，q为常数，则{pa n±qb n}是公差为pd±qb的等差数列.（6）若m,n,p,q∈N*，且满足m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.探究二：等差数列性质的应用（重难点）【例1】若{a n}是等差数列，a15=8,a60=20，求a75的值. 【规律方法总结】等差数列{an}的性质：（1）a1+a n=a2+a n-1=….（2）m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q a m+a n=a p+a q.（3）若m,n,p∈N*,且m,n,p 成等差数列，则a m,a n,a p成等差数列.（4）a n=a m+(n-m)d.（5）若数列{a n}是等差数列，则a n=an+b（a,b为常数,n∈N*）.（6）若{a n}与{b n}均为等差数列，则{a n±b n}也是等差数列.【拓展提升】已知等差数列{a n}中,a3a7=-16，a4+a6=0，求{a n}的通项公式.探究三：综合应用（重难点）【例2】数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于( )A.0B.3C.8D.11【规律方法总结】（1）求通项公式常用的方法：①不完全归纳法；②公式法；③叠加法；④累积法.（2）判断一个数列是等差数列常用的方法有：①定义法；②等差中项法；③函数法：若a n=an+b（a,b为常数）,则数列{a n}是等差数列.（3）求数列的最大（小）项常用的方法：①不等式组法；②函数单调性判断法.Ⅱ.我的知识网络图训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A．15 B．30 C．31 D．642.已知{a n}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )A．20 B．48 C．60 D．723. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )．A.a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 Ca3＋a100≤0 D．a51＝04.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于( ) A．4 B．6 C．8 D．125. 在等差数列{a n}中，a18＝95，a32＝123，a n＝199，则n=________.6. 已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20=_________7. 设数列{a n},{b n}都是等差数列, 若711=+ba,2133=+ba, 则=+55ba___。

高中数学《等差数列的性质》导学案

第2课时等差数列的性质1.等差数列的性质(1)等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广a n＝a1＋(n－1)d(揭示首末两项的关系)a n＝a m＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系)(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝□01a p＋a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝□022a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋□03a n－1＝…＝a k＋□04a n－k＋1＝….2．等差数列的常用结论(1)若数列{a n}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为□05d的等差数列．②{ca n}(c为任一常数)是公差为□06cd的等差数列．③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为□072d的等差数列．(2)若数列{a n}，数列{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为□08pd1＋qd2的等差数列．(3)等差数列{a n}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是□09等差数列．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在等差数列{a n}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N*，则a m＋a n＝a r.()(2)若数列{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9是等差数列．()(3)两个等差数列的和仍是等差数列．()答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)(教材改编P 39T 5)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．30B ．15C ．5 6D ．106(2)在等差数列{a n }中，a 3＝2，公差d ＝－1，则a 10＝________. (3)若等差数列{a n }中，a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________. 答案 (1)B (2)－5 (3)2b －a 解析 (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 2＋a 42＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.探究1 等差数列的性质应用例1 等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8答案 C解析解法一：由a 1＋3a 8＋a 15＝120，可得5a 1＋35d ＝120，即a 1＋7d ＝24，又2a 9－a 10＝a 1＋7d ，所以2a 9－a 10＝24.解法二：因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，而2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.[变式探究] 若本例中条件不变，求a 3＋a 13的值又如何？解由例题解知，a 8＝24，由等差数列的性质知a 3＋a 13＝2a 8＝48. 拓展提升等差数列性质的应用技巧(1)适用情景已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项． (2)常用性质利用已知m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 或若m ＋n ＝2r ，则a m ＋a n ＝2a r 将题目条件转化．【跟踪训练1】 (1)已知{a n }为等差数列，a 4＋a 7＋a 10＝30，则a 3－2a 5的值为( )A ．10B ．－10C ．15D ．－15(2)等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________.答案 (1)B (2)18解析 (1)∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝30，∴a 7＝10，而a 3－2a 5＝a 3－(a 3＋a 7)＝－a 7＝－10. (2)解法一：根据题意，有(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋9d )＋(a 1＋10d )＝36， ∴4a 1＋22d ＝36，则2a 1＋11d ＝18.而a 5＋a 8＝(a 1＋4d )＋(a 1＋7d )＝2a 1＋11d ，因此，a 5＋a 8＝18.解法二：根据等差数列性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11＝36÷2＝18. 探究2 灵活设项求解等差数列例2 (1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数；(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数．解 (1)设这三个数为a －d ，a ，a ＋d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝21，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－2，∴这三个数为5,7,9或9,7,5.(2)设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝28，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－3.∴这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2. 拓展提升常见设元技巧(1)当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)当等差数列{a n }的项数n 为偶数时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．【跟踪训练2】已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式．解解法一：根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝21，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝21，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4.因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.解法二：由于数列{a n }为等差数列，因此可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝21，(a －d )a (a ＋d )＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝21，a (a 2－d 2)＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1.探究3 等差数列的综合应用例3 在△ABC 中，若lg (sin A )，lg (sin B )，lg (sin C )成等差数列，并且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断该三角形的形状．解由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， ∴3B ＝π，∴B ＝π3.∵lg (sin A )，lg (sin B )，lg (sin C )成等差数列， ∴2lg (sin B )＝lg (sin A )＋lg (sin C )，即sin 2B ＝sin A sin C ，∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝－12[cos(A ＋C )－cos(A －C )]． ∴－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π3－cos (A －C )＝34. ∴14＋12cos(A －C )＝34. ∴cos(A －C )＝1. ∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3， ∴A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形．拓展提升等差数列与三角函数结合，一般需要根据等差数列的定义、性质等得到三角恒等式，然后运用三角恒等知识变形、化简，得到有关的恒等式，进而求解相关问题．【跟踪训练3】 (1)若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的4个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( )A.38B.1124C.1324D.3172(2)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝10，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝20，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.答案 (1)D (2)30解析 (1)设4个根构成的等差数列为{a n }．由于两方程对应二次函数f (x )＝x 2－x ＋a ，g (x )＝x 2－x ＋b 的对称轴均为x ＝12.由根的对称性可判断，a 1与a 4是同一方程的根，a 2与a 3是另一方程的根．于是，a 1＋a 4＝1，又a 1＝14，所以a 4＝34，则公差d ＝13(a 4－a 1)＝16，于是a 2＝512，a 3＝712，所以a ＋b ＝a 1a 4＋a 2a 3＝316＋512×712＝3172.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋33d ，又a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝10，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝20，∴33d ＝10.∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)＋33d ＝20＋10＝30. 探究4 等差数列的实际应用例4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a 1，第n 年获利为a n ，则a n －a n －1＝－20(n ≥2，n ∈N *)，每年获利构成等差数列{a n }，且首项为a 1＝200，公差d ＝－20，所以a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝200＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋220.若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n ＝－20n ＋220<0，解得n >11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．拓展提升解决等差数列实际问题的步骤(1)将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； (2)构建等差数列模型，由条件确定a 1，d ，n ，a n ； (3)利用通项公式或等差数列的性质求解； (4)将所求问题还原到实际问题中．【跟踪训练4】如图所示，三个正方形的边AB 、BC 、CD 的长组成等差数列，且AD ＝21 cm ，这三个正方形的面积之和是179 cm 2.(1)求AB 、BC 、CD 的长；(2)以AB 、BC 、CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解 (1)设公差为d (d >0)，BC ＝x ，则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝－4(舍去)．所以AB ＝3(cm)，BC ＝7(cm)，CD ＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a210＝392＝1521(cm2)．所求正方形的面积为1521 cm2.[规律小结]1.等差数列的公差与斜率的关系(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率k＝f(x2)－f(x1) x2－x1(x1≠x2)．当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立．(2)等差数列{a n}的公差本质上是相应直线的斜率．如a m，a n是等差数列{a n}的任意两项，由a n＝a m＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式得d＝a n－a mn－m(m≠n)．2.等差数列的“子数列”的性质若数列{a n}是公差为d的等差数列，则(1){a n}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；(3)若{k n}成等差数列，则{akn}也是等差数列；(4)从等差数列{a n}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差可能也随之发生变化．3.等差数列两项和的性质若{a n}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q，特别地，若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(m，n，p，q∈N*)[走出误区]易错点⊳弄错等差数列中项的序号而致误[典例]已知等差数列{a n}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝()A.8a－9b B．9b＋8a C．9b－8a D．8b－7a[错解档案]选D，令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，则b1，b2，b3，…，b9构成新的等差数列，a 99＋a 100＝b 9＝b 1＋8d ＝a ＋8(b －a )＝8b －7a .[误区警示] 由已知条件中项的下标的关系，构造出新的等差数列{b n }，而a 99＋a 100应为b 10，本题弄错项数致误．[规范解答] C解法一：由上述分析可知a 99＋a 100＝b 10＝b 1＋9d ＝9b －8a .解法二：将相邻两项和a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…，a 99＋a 100分别记为b 1，b 2，b 3，…，b 50，可知{b n }为等差数列，设此数列的公差为d ，则d ＝b 10－b 510－5＝b －a 5.∴a 99＋a 100＝b 50＝b 5＋45d ＝a ＋b －a5×45＝9b －8a .[名师点津] (1)熟练掌握等差数列的性质，尤其是对各项的下标存在的关系以及所具有的性质的掌握；(2)在解答有关等差数列的问题时，要明确数列所求的项与已知条件之间的关系.1．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( ) A ．64 B ．30 C ．31 D ．15答案 D解析解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 9＝16，a 4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ＝16，a 1＋3d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，∴a 11＝a 1＋10d ＝15. 解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16， ∴a 11＝15.2．若{a n }为等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( )A ．39B ．20C ．19.5D ．33答案 D解析 ∵a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝45，∴a 4＝15，∵a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝39，∴a 5＝13，∴d ＝a 5－a 4＝－2，a 6＝a 5＋d ＝11，∴a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3×11＝33.故选D.3．已知(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的4个根组成首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.答案12解析由已知设4个根分别为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d ，且14＋14＋3d ＝14＋d ＋14＋2d ＝2，解得d ＝12，∴这 4个数分别为14，34，54，74，由韦达定理知：m ＝14×74，n ＝34×54，或m ＝1516，n ＝716，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪716－1516＝12.4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于________．答案 100解析设{a n }、{b n }的公差分别为d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100.5．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解设这四个数为a －3d 、a －d 、a ＋d 、a ＋3d ，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2、5、8、11或11、8、5、2.A 级：基础巩固练一、选择题1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4. 又a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.2．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 100≤0 D ．a 51＝0 答案 D解析由题设a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝101a 51＝0， ∴a 51＝0.3．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.53B.103C.56D.116答案 A解析设五个人分得的面包为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，(d >0)，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝100，∴a ＝20，由17 (a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d 得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556，∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53.故选A.4．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析因为a 1＝0，d ≠0，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝6d ＝a 7.故选B. 二、填空题5．已知等差数列{a n }满足a 1＝1，公差为d ，a 3>0，当且仅当n ＝3时，|a n |取得最小值，则公差d 的取值范围是_________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25解析 ∵a 3>0，当且仅当n ＝3时|a n |取最小值， ∴a 4<0，且a 4＋a 3<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d >0，1＋3d <0，1＋2d ＋1＋3d <0，解得－12<d <－25.6．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________. 答案 24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24.7．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.答案 19解析因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19. 三、解答题8．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．解设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )·(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.9．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．解设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94⇒2a 2＋10d 2＝47.① 又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72.故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n3－a n (n ∈N *)，且a 1＝0.(1)求a 2，a 3的值； (2)是否存在一个实常数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由．解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n3－a n(n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 13－a 1＝1＋03－0＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋133－13＝12.(2)假设存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，则1a 1－λ，1a 2－λ，1a 3－λ成等差数列，所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，所以213－λ＝10－λ＋112－λ，解之得λ＝1.因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n3－a n－1－1a n －1＝3－a n2(a n －1)－1a n －1＝1－a n 2(a n －1)＝－12，又1a 1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列．B 级：能力提升练1．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则这两个数列中有多少个共同的项？解设用两数的公共项组成的新数列为{a n }，则{a n }是首项为11的等差数列，而两个数列公差分别为3和4，则{a n }的公差为d ＝3×4＝12.∴a n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.数列5,8,11，…与3,7,11，…第100项分别为302与399. ∴a n ≤302，即n ≤25.25. ∴所给数列有25个共同的项．2．设各项均为正数的无穷数列{a n }和{b n }满足：对任意n ∈N *都有2b n ＝a n＋a n ＋1且a 2n ＋1＝b n b n ＋1.(1)求证：{b n }是等差数列；(2)设a 1＝1，a 2＝2，求{a n }和{b n }的通项公式．解 (1)证明：a 2n ＋1＝b n b n ＋1得a n ＋1＝b n b n ＋1，∴a n ＝b n －1b n 代入2b n ＝a n ＋a n ＋1，得2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }是等差数列．(2)由a 1＝1，a 2＝2得b 1＝a 1＋a 22＝32.又由a 2n ＋1＝b n b n ＋1得a 22＝b 1b 2，∴b 2＝a 22b 1＝83，∴b 1＝32＝62，b 2＝83＝263.∴{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝66. ∴b n ＝62＋(n －1)·66＝66(n ＋2)， ∴b n ＝16(n ＋2)2，∴a 2n ＝b n －1b n ＝16(n ＋1)2·16(n ＋2)2， ∴a n ＝16(n ＋1)(n ＋2)．。

等差数列的性质导学案

2.2.2等差数列的性质基本知识点：1、等差数列两项关系：d m n a a m n )(-+=2、等差数列多项关系：若),,,(*∈+=+N q p n m q p n m则q p n m a a a a +=+3、（1）若{}n a 是公差为d 的等差数列，则下列数列：①{}n a c +（c 为任一常数）是公差为d 的等差数列；②{}n a c ⋅（c 为任一常数）是公差为cd 的等差数列；③{}k n n a a ++（k 为常数,*∈N k ）是公差为2d 的等差数列（2）若{}n a 、{}n b 分别是公差为21,d d 的等差数列，则数列{}n n qb pa + （p ，q 是常数）是公差为21qd pd +的等差数列。

温故知新：1、等差数列1,-1,-3,…,则-89的项数是（）（A ）92 (B)47 (C)46 (D)452、已知等差数列{}n a 中，首项为4,公差d =-2,则通项公式n a 等于（）(A)4-2n (B)2n-4(C)6-2n (D)2n-63.已知等差数列{}n a 中，1a =9a -=24,求10a .课后检测：1.等差数列{}n a 中, 100a =120,90a =100,则公差d 等于( )(A)2 (B)20 (C)100 (D)不确定2.设数列{}n a 、{}n b 都是等差数列,且1a =25,1b =75,2a +2b =100,则37a +37b 等于( )(A)0 (B)37 (C)100 (D)-373.在等差数列{}n a 中，3a +7a =37,则2a +4a +6a +8a =______.4.在等差数列{}n a 中，若2a +4a +6a +8a +10a =80，则8721a a -的值为______. 5.在等差数列{}n a 中，已知5a =10,12a >31,求公差d 的取值范围.能力提高：定义：如果一个数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称此数列为“三角形”数列.已知数列{}n a 满足a n =nd (d ＞0)，试判断{}n a 是否为“三角形”数列，并说明理由.参考答案：2.2.2课后检测：1．A 2．C 3．74 4.8 5.d>3.能力提高:{}n a 不是“三角形”数列.理由如下：由a n =nd 得:a 1=d ,a 2=2d ,a 3=3d ,故a 1+a 2=a 3,故a 1,a 2,a 3不能构成一个三角形的三边长，即{}n a 不是“三角形”数列.。

高中数学等差数列(导学案)新人教版必修5

等差数列（导学案）●教学目标（１）理解并掌握等差数列的概念（２）掌握等差数列的通项公式及应用●教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。

●教学难点等差数列的性质●教学过程Ⅰ.课题导入【问题情境】1．观察下列几组数列；(1) 从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，，, ,…(2 ) 4，5，6，7，8，9……..(3) 3，0，－3，－6，－9…….(4) －2，－4，－6，－8……..你能发现这几组数列各项之间有什么关系？2.试猜想下列几组数列的规律并完成填空:观察下面数列的特点，用适当的数字填空：（1）5，10，15，（），25，30（2）-4，-2，（），2，（），6（3）20，16，（），8，4，0（4）18，（），12，9，6，3,（5）0.5，0.5，（），0.5，0.5, 0.5【学生探究】上述几组数列有什么共同点？Ⅱ.讲授新课1．等差数列：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

（1）判断下列数列是否是等差数列①1，2，22，23，…，263②1，2，3，4，…，50③15，5，16，16，28④0，10，20，30，…，1000（２）判断下列两个小题的对错：① 数列5，3，1，-1，-3是公差为-2的等差数列。

② x,x-1,x-2,x-3是公差为x-1的等差数列。

根据等差数列的概念，你能猜出等差数列的通项公式吗？例如：上面【问题情境】中2题（1）_________公差d=___（2）_________公差d=___（3）_________公差d=___（4）_________公差d=___（5）_________公差d=___2．通项公式【猜想】等差数列的通项公式与___有关？对等差数列怎样推导通项公式？如:（一）证（二）（三）注意：①等差数列的通项公式从形式上看是关于n 的_____函数，当d ≠0时，是n 的____函数，当d=0时，是常数列。

13等差数列导学案(一).doc

a 2+a 3=\3,则公差d 的值为(A 、2B 、-2C 、-3D 、在等差数列｛a”｝中,0^=2, 1.3等差数列(一)学习目标：1. 掌握等差数列的概念、通项公式，掌握等差中项的概念和等差数列的图像；掌握等差数列的性质并能灵活运用。

2. 通过实例，从观察和分析等差数列中的前项和后项的关系入手，理解等差数列的概念。

3. 经历并体验用基本的数学式子表示数的过程与方法，发展用数学语言进行交流的能力。

学习重点：等差数列、等差中项的概念及其图像和性质。

学习难点：正确理解等差数列的概念并能运用其通项公式解决简单的问题。

一、预习案：“我学习，我主动，我参与，我收获!”1. 学法指导：认真阅读教材Pio —P12,初步了解等差数列的特性及其通项公式等，最后把自己在学习中遇到的疑惑写下来，有待上课时和老师、同学共同探究解决。

2. 教材助读：(1) 如果一个数列从第 ___ 项起，每一项与它 _____ 一项的差是 ________常数，则这样的数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的 _______ , 通常用字母 ______ 来表示。

(2) 首项为⑷，公差为d 的等差数列的通项公式为 ____________________ o3.预习自测:(1)下列各组数中，成等差数列的一组是() A 、丄，丄，1 B 、2, -2A /2 , 42 3 4C 、lg2, lg4, lg8D 、82, 84, 88(2)在等差数列｛a”｝中，a 3=5, a 6 = a 4+ 6, 则勺等于(A 、—1B> — 3 C 、-5 D 、-7★我的疑惑： ________________________________________________二、探究案：“我探究，我分析，我思考，我提高！” 探基础知识探究：1.判断下列数列是否为等差数列。

(1) a n =2n—l；(2)色=(—1)"。

高中数学必修五导学案等差数列性质

必修五等差数列的性质【学习目标】1、加深理解等差数列的概念，熟练掌握等差数列的通项公式。

2、掌握等差中项的概念，并能利用其性质解决相关问题。

3、进一步体会函数与数列的关系，并能用函数的方法解决相关等差数列的问题。

【重点和难点】教学重、难点： 1、掌握等差数列的性质。

2、灵活运用等差数列的性质解决相关问题。

【使用说明及学法指导】1. 先预习课本 P 36—P 39 内容，然后开始做导学案。

2. 将预习中不能解决的问题标出来，以便课上交流讨论。

预习案一．问题导学等差数列的性质有哪些 ?如何证明 ?二．知识梳理(1) 在 a 与 b 中间插入一个数 A ，使 a ， A ， b 成等差数列，那么A 称为， A=.〔 2〕假设 m np q m, n, p, q N，那么；当 p = q 时，那么。

〔 3〕下标为等差数列的项 a k , a k m , a k 2 m,，仍组成数列；〔4〕数 a n b 〔 , b 为常数〕仍为数列；〔5〕 a n 和 b n 均为等差数列，那么 a n b n 也为数列；，〔 6〕a n 的公差为 d ，那么：① d 0a n 为数列；② da n 为数列；③ d 0a n为；〔递增，递减，常数列〕三 . 预习自测1. 等差数列 a n 中， a 3 50 ， a 5 30 ，那么 a 7.2. 等差数列a n 中， a 3a 5 24， a 2 3 ，那么 a 6.3. 在等差数列 a n 中， a 1 3a 8a15 60, 那么 2a 9a 10 值为. 4. ABC 中，角 A,B,C 成等差数列，那么 tanB=________.5. 求以下两个数的等差中项〔 1〕 5 2,5 2 ；〔 2〕 a 2b,3 a 4b四 . 我的疑问：探究案一．合作探究5探究 1.等差数列性质的根本应用例 1：在等差数列a n中， a5a6a715，a5 .a6 .a7 =45, 求数列 a n的通项公式。

等差数列导学案

§2.2等差数列（1）1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、新课导学探究任务一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为A =探究任务二：等差数列的通项公式问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ，即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.例2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数.三、总结提升1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1). ※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（）. A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为2的等差数列 D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝，b ＝ .§2.2等差数列（2）1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式； .3940找出疑惑之处）复习1：什么叫等差数列？复习2：等差数列的通项公式是什么？二、新课导学探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .变式：在等差数列{}n a 中，若56a =，815a =，求公差d 及14a .小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出.例2 在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.变式：在等差数列{}n a 中，已知234534a a a a +++=，且2552a a = ，求公差d .小结：在等差数列中，若m +n =p +q ，则 m n p q a a a a +=+，可以使得计算简化.三、总结提升 ※ 学习小结1. 在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：（1）1n n a a d +-=；（2）(0)n a pn q p =+≠；（3）2n S an bn =+.※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 一个等差数列中，1533a =，2566a =，则35a =（）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，则12a 的值为（）. A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=，则56a a +＝（）. A. 3 B. 5 C. －3 D. －54. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d ＝ .5. 若48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，则a ＝，b ＝，c ＝ .。

等差数列学案

等差数列学案【等差数列学案】学案目标：1. 理解等差数列的定义和性质；2. 掌握等差数列的通项公式和求和公式；3. 运用等差数列的性质解决实际问题。

学习内容：1. 等差数列的概念2. 等差数列的通项公式3. 等差数列的求和公式4. 等差数列的实际应用学习活动：活动一：理解等差数列的定义和性质（15分钟）1. 引导学生回顾数列的概念。

2. 引入等差数列的定义：如果一个数列中每个后一项与前一项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。

3. 解读等差数列的性质：等差数列的相邻两项之差始终相等。

活动二：掌握等差数列的通项公式（20分钟）1. 引出等差数列的通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可以表示为aₙ = a₁ + (n-1)d。

2. 通过示例演示如何使用通项公式计算等差数列的任意一项。

活动三：掌握等差数列的求和公式（20分钟）1. 引出等差数列的求和公式：对于等差数列的前n项和Sₙ，可以表示为Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2。

2. 通过示例演示如何使用求和公式计算等差数列的前n项和。

活动四：运用等差数列的性质解决实际问题（25分钟）1. 提供一些实际问题，如寻找等差数列中的缺失项、求等差数列的特定区间和等，让学生运用等差数列的性质解决。

2. 指导学生根据问题建立等差数列模型，并利用已学知识解决问题。

活动五：综合巩固训练（20分钟）1. 提供一些综合性的练习题，涵盖等差数列的各个方面，以检验学生对所学知识的掌握程度。

2. 鼓励学生通过合作讨论和思考，共同解决问题。

学习反思：1. 小结等差数列的定义和性质；2. 总结等差数列的通项公式和求和公式；3. 思考等差数列在解决实际问题中的应用；4. 反思学习过程中的困难和收获，相互交流分享。

拓展延伸：1. 进一步研究等差数列的推广——等差数列的和（从1到n的等差数列），以及高阶等差数列；2. 探究等差数列的几何意义和数学实际应用。

人教版必修五《22等差数列》导学案

等差数列〔二〕【学习目标】1.熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 【自主学习】等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，假设,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，那么m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？【自主检测】1.在等差数列{n a }中，假设1a +6a =9, 那么34a a += .2. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，那么公差d ＝ . 【典型例题】例1.在等差数列{}n a 中，510a =，1231a =，求首项1a 、公差d 和14a .小结：等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出. 例2.在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.例3.在等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a小结：在等差数列中，假设m +n =p +q ，那么m n p q a a a a +=+，可以使得计算简化.【目标检测】1.等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，那么12a 的值为〔〕.A . 15 B. 30 C. 31 D. 64 2.假设48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，那么a ＝，b ＝，c ＝ .3.在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.4.三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.5.*成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数．【知识拓展】1.判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：〔1〕1n n a a d +-=；〔2〕(0)n a pn q p =+≠； 2. 假设三个数成等差数列且其和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 假设四个数成等差数列且其和时，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++. 【总结提升】1.在等差数列中，假设m+n=p+q ，那么m n p q a a a a +=+.注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.。

等差数列的性质导学案

随堂手记§等差数列的性质学习目标1、进一步了解等差数列的项数与序号之间的规律；2、理解等差数列的性质；3、掌握等差数列的性质及其应用。

教学重难点等差数列的性质的应用。

知识梳理1、等差数列的项与序号的关系；（1）两项关系：通项公式的推广a n =a m+_______(2)多项关系：m+n=p+q ，m 、n 、p 、q ∈R,则______________ 2、等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和。

3、等差数列的性质：（1）若数列{n a }是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①{c+a n }(c 为任一常数)是公差为______的等差数列； ②{c a n }(c 为任一常数) 是公差为______的等差数列； ③{a n +a n+k }(k 为常数，且k ∈N +)是公差为______的等差数列;(2) 若数列{n a }、{}分别是公差为d 1和d 2的等差数列，则数列{pa n +qb n }(p 、q 是常数)是公差为________的等差数列。

预习自测1、已知等差数列{a n }中，a 3=1,a 7=-9,则a 5= （） A 、-4 B 、4 C 、-8 D 、82、已知等差数列的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的第n 项a n 等于( ) A 、2n-5 B 、2n-3 C 、2n-1 D 、2n+13、在数列{a n }中，a 3、a 10是方程x 2-3x+5=0的两根，若数列{a n }是等差数列，则a 5+a 8=__________课内探究1、等差数列性质的应用例1、(1) 在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,求a 2+a 8; (2) 已知等差数列{a n },a 15=8,a 60=20,求a 75.2、等差数列的运算例2、（1）三个数成等差数列，和为6，积为-24，求这三个数。

新人教版高中数学2.2.2 等差数列的性质导学案

1§2.2.2 等差数列的性质一、学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题; 重点: 掌握等差数列的概念、通项公式和有关性质; 难点: 判断和证明数列是等差数列的方法. 二、学习过程（一）、复习回顾 1.等差数列定义：； 2. 等差数列通项公式： .（二）、新课导学 (探究：等差数列的性质)1、在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？如何证明？+=m n a a （*∈N n m ,)，这是等差数列通项公式的推广，它揭示了等差数列中任意两项之间的关系，还可变形为=d （任意两项求公差）. 2、等差数列的单调性数列｛n a ｝是等差数列，公差为d 当0>d 时,｛n a ｝为数列；当0<d 时,｛n a ｝为数列；当0=d 时，｛n a ｝为数列.3、等差数列的下标和性质（等和性）在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则=+n m a a (m ，n ，p ，*∈N q )特别地，若m+n=2p,则a m +a n = . 注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同. 例如有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和都相等，且等于首末两项之和（若有中间项则等于中间项的2倍），即23121--+=+=+n n n a a a a a a =…. 4、等差数列的“子数列”的性质.设{}n a 是公差为d 的等差数列. ①{}n a 去掉前几项后余下的项仍组成公差为的等差数列；②奇数项数列{}12-n a 是公差为的等差数列；偶数项数列{}n a 2是公差为的等差数列;③若{}是等差数列，k n 则{}仍为等差数列a k n .5、等差数列的设元技巧（对称设元，减少运算量）奇数个数成等差数列时，设…，a-d ，a ，a+d ，…；偶数个数成等差数列时，可设为…，a-3d ，a-d ，a+d ，a+3d ，….6、（1）若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①{}n a c + （c 为常数）是公差为的等差数列； ②{}n a c ⋅（c 为常数）是公差为的等差数列；③{}k n n a a ++（k 为常数，且*∈N k ）是公差为的等差数列；（2）若数列{}n a 、{}n b 分别是公差为21,d d 的等差数列，则数列{}n n qb pa +（p 、q 是常数）是公差为的等差数列. （三）、合作探究题型1: 等差数列性质的应用例1、(1)在等差数列{}n a 中，若45076543=++++a a a a a ，求82a a +的值；(2) 已知等差数列{}n a ，,20,86015==a a 求.75a变式：(1)在等差数列{}n a 中，278136a a a a +++=，则69a a += ；(2)在等差数列{}n a 中，14812152a a a a a ---+=，则313a a += .题型2: 等差数列的运算例2、(1)三个数成等差数列，和为9，平方和为35，求这三个数;(2)四个数成等差数列，和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.题型3: 等差数列的综合问题（等差数列与函数、方程、不等式等结合）例3、已知b a bax xx f ,()(+=为常数)0≠a ，满足,1)2(=f 且x x f =)(有唯一解. (1)求)(x f 的解析式；（2）如果数列)(1-=n n x f x 且),1(,11*∈>=N n n x ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 12为等差数列；（3）求n x .三、学后反思 1、知识内容：2、思想方法：四、课时作业1、在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（）A ．5 B.6 C.8 D.102、一个等差数列中，1533a =，2566a =，则35a =（） A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 493、在等差数列{}n a 中，已知13,2321=+=a a a ，则=++654a a a （） A. 40 B. 42 C. 43 D. 454、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（）A.14B.21C.28D.35 5、等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0) （）A ．是公差为d 的等差数列B ．是公差为cd 的等差数列C ．不是等差数列D ．以上都不对6、数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为-2，公差为4的等差数列.若a n =b n ,则n 的值为（）A ．4 B.5 C.6 D.77、已知等差数列的前三项依次为32,1,1++-a a a ，则此数列的第n 项=n a （） A ．52-n B.32-n C. 12-n D. 12+n8、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（）A ．120B ．105C ．90D ．759、已知数列{}n a 中，11=a ，31111+=+n n a a ，则10a 等于（） A ．51 B. 41 C. 61D. 以上都不对10、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-n mA ．1B ．43 C ．21D ．8311、等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=的两根，则85a a +＝ . 12、在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，则369a a a ++＝ . 13、定义“等和数列”：在一个数列中，若每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫这个数列的公和.如果数列{}n a 是等和数列，且21=a 公和为5，那么2012a = .14、已知三个数成等差数列，其和为15，首、末两项的积为9，求这三个数．15、已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{b n }，试求出{b n }的通项公式．16、在数列{}n a 中，).2(03,1111≥=-+=--n a a a a a n n n n(1)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项.。

等差数列的性质导学案

《等差数列的概念》教案、导学案与同步练习

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