2011-2012-1概率统计试题及答案(A)

2011/2012 1 概率论与数理统计（A 卷 ）

数理学院 全校

（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．将两封信随机地投入四个邮筒中，则前两个邮筒内没有信的概率是_______. 2.A 与B 是两个事件，若()0.2,()0.6,P B A P B -==则概率()P AB =_______.

3．从次品率为p 的产品中有放回地取出三件产品，若已知三件产品中至少有一件次品的概率为19/27，则p =_______. 4.设二维随机向量(,)X Y 的分布律为

{(,)(0,1)}{(,)(0,1)}P X Y P X Y =-==1

{(,)(1,1)}3

P X Y ===，

则概率{1}P X Y +≤=_______.

5.设12,X X 是总体X 的样本，若12(21)aX a X +-是()E X 的无偏估计量，则a =________. 二、选择题（每小题3分，共15分）

1．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买一张，则前三个购买者中恰有一人中奖的概率为（ ）.

A ．3

2

100.70.3C ⨯⨯； B ．0.3； C ．

740； D .2140

. 2.下述函数中可以作为某一随机变量的分布函数的是（ ）. A ．21(),1F x x x =

-∞<<∞+； B ．11

()arctan ,2

F x x x π=+-∞<<∞；

C ．1(1),0

()20,

0x

e x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩； D . 2arctan ,.F x x x π-∞<<∞()=.

3. 设随机变量X 与Y 相互独立，且2

2

~(1,2),~(1,3),X N Y N 则()23

X Y

Var -=（ ）. A ．2； B ．0； C ．5； D . 2- .

4.设随机变量X 和Y 都服从泊松分布，且()5,()3Var X Var Y ==，则(2)EX Y -=

（ ）. A ．-1； B ．-7； C ．11； D . 17.

5.设12,,,n X X X 是总体2

~(0,)X N σ的样本，,X S 分别为样本均值和样本标准差，则有

课程考试试题 学期学年拟题学院（系）: 适 用 专 业:

（ ）.

A ．2

~(0,)X N σ； B ．2

~(0,)nX N σ； C ．

2

22

1

1

~()n

i

i X

n χσ

=∑；

D ．/~(1)X S t n -.三、计算下列各题（每小题12分，共24分）

1.口袋中装有3个白球与2个红球，先从中任取一个球，观察球的颜色后不放回，同时放入另一种颜色的2个球，再从中任取1个球.（1）求第二次取到白球的概率；（2）若已知第二次取得了白球，求第一次取到的是白球的概率。

2.设连续型随机变量X 的概率密度为cos ,0()2

0,

x A x f x π

⎧

≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.试求：（1）常数A ； （2）X 的分布函数。

四、计算下列各题（共28分）

1．（6分） 设某人各次射击中靶与否相互独立，且每次中靶的概率均为(01)p p <<，现在不停地射击，直到中靶为止，求射击次数X 的分布律。

2.（8分）设随机变量X 服从区间（0,1）上的均匀分布，求2ln Y X =-.的概率密度。

3．(14分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为212,01(,)0,

y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他.

(1)求边缘概率密度(),()X Y f x f y ；（2）判别X 与Y 是否独立；（3）求()E XY 。 五、计算下列各题（每小题6分，共18分）

1．已知总体X 服从正态分布2

(10,2)N ，设12,,,n X X X 是它的一个样本，X 是样本均值，若概率{911}0.99P X ≤≤≥，问样本容量n 至少应取多少？（已知(1.645)0.95Φ=，

(2.58)0.995Φ=）。

2.设总体X 的概率密度为1,01

()0,

x x f x αα-⎧<<=⎨⎩其他，其中(0)αα>是未知参数，设

12,,,n X X X 来自总体X 的一个样本，试求α的极大似然估计量。

3.

其中(01)θθ<<是未知参数．已知取得了样本值1231,0,1x x x ===．试求： （1）X 的数学期望；（2）θ的矩估计值。

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．1/4；2.0.4；3． 1/3；4. 2/3；5. 2/3。

二、选择题（每小题3分，共15分） 1． D ；2. B ；3.A ；4.A ；5.C 。

三、计算下列各题（每小题12分，共24分）

1.解：(1)A={第一次取到白球}，B={第二次取到白球}，则A A 和是样本空间的一个划分，且

32(),()55P A P A ==，25

(|),(|)66

P B A P B A ==…………………2分

由全概率公式，有P(B)()(|)()(|)P A P B A P A P B A =+ ……………..………5分

32258

565615

=⨯+⨯= ……………..………7分 (2) )

()

|()()()()|(B P A B P A P B P AB P B A P =

=

…………..………10分 3283

/56158

=⨯= …………..………12分 2. （1）0()cos 12x

f x dx A dx π∞-∞==⎰⎰，……..………2分

即0

2sin |212x A A π==得：1

2

A =…………..………4分 （2）()()x

F x f x dx -∞

=

⎰

…………..………6分

00,01cos ,02

21,

x x x dx x x ππ<⎧⎪⎪

=≤<⎨⎪≥⎪⎩⎰ …………..………10分

0,

0sin ,02

1,

x x x x ππ<⎧⎪⎪

=≤<⎨⎪≥⎪⎩ …………..………12分

四（共28分）

1．（6分）解：1,2,X k = ，…………..………1分