2018年七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第十讲专题二全等三角形题型训练(无答案) 新人教版

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全等三角形专题讲解

CE O D B A 21C E D BA 全等三角形专题讲解专题一、全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”）2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”）3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90º， ∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC 为公共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____．分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ．要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．2143C O B A GA B F D EC（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图3，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO ，要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．证明：连结BC ．因为AB=AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠1=∠2，所以∠ABC -∠1＝∠ACB -∠2．因为AB=AC ，BO=CO ，AO=AO ，所以△ABO ≌△ACO ．所以∠BAO=∠CAO ，即AO 平分∠BAC ．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．证明：过B 作BG ⊥BC 交CF 延长线于G ，所以BG ∥AC ．所以∠G=∠ACE ．因为AC ⊥BC ，CE ⊥AD ，所以∠ACE=∠ADC ．所以∠G=∠ADC ．因为AC=BC ，∠ACD ＝∠CBG=90º，所以图4△ACD ≌△CBG ．所以BG=CD=BD ．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF ，所以△GBF ≌△DBF ．所以∠G=∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒O D A C B 43O E DC B A 21F ED A 21(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ．评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识﹒专题二角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．证法：∵AE ⊥OB ，BD ⊥OA ，∴∠ADC=∠BEC= 90． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE ．在△ACD 和△BCE 中， ∠ADC=∠BEC ，CD=CE ，∠3＝∠4．∴△ACD ≌△BCE(ASA)，∴AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法．例7 已知：如图21，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．图21A FH D C G B EA D CB EA F DC B E 在△BED 与△CFD 中，∠1＝∠2，∠BED ＝∠CFD ＝ 90，BD=CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS)．∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．证明：过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，作EG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥CD ，垂足为H ．∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，∴EF=EG ．同理EG =EH ．∴EF=EH ．∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ．∵EF ⊥AB ，EH ⊥CD ，∴∠AFE=∠DHE=90º．在△AFE 和△DHE 中，∠AFE=∠DHE ，EF=EH ，∠FAE=∠D ．∴△AFE ≌△DHE ．∴AE=ED ．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠CAD ．在△EAD 和△CAD 中，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，AE=AC ，∴△EAD ≌△CAD ．∴∠AED=∠C ，CD=DE ．∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ．∵∠AED=∠B+∠EBD ，∴∠B=∠EDB ． ∴BE=ED ．∴BE=CD ．∵AB=AE+BE ，∴AB=AC+CD ．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图24，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F ，即可构造全等三角形．证明：延长CE 交AB 于点F ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ．∵CE ⊥AD ，∴∠FEA=∠CEA=90º．C EB A D 在△FEA 和△CEA 中，∠FAE=∠CAE ，AE=AE ，∠FEA=∠CEA ． ∴△FEA ≌△CEA ．∴∠ACE=∠AFE ．∵∠AFE=∠B+∠ECD ，∴∠ACE=∠B+∠ECD ．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．。

七升八数学资料1(全等及全等三角形)

七升八数学资料一（全等及全等三角形）一、例题精讲类型一、全等形和全等三角形的概念1.如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，那么DAE ∠等于（）．A.60° B.45° C.30° D.15°2.如图，在长方形ABCD 中，将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED ，若∠1＝35°，则∠2＝_____.3.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.4.如图，在△ABC 中，∠A :∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN 等于（）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．1:45.已知：如图， △ABE ≌△ACD ，∠1=50°，∠C=45°，BC=20，DE=14，AD=13，AC 比AD 长2，求△ABE 的各角的大小与各边的长度．二、巩固练习1. 如图所示，此两个三角形全等，其中某些边的长度及某些角的度数已知，则=x 度2.如图，四边形ABCD 与四边形A ’B ’C ’D ’全等，则∠A ′＝，∠B ＝，∠A = ， B ‘C ’＝，AD= ，C ‘D ’＝，CD ＝，四边形ABCD 的周长为 .3.如图所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在点C ’的位置，则BC ’与BC 间数量关系满足 .4．下列说法中正确的个数为（）⑴所有的等边三角形都全等 ⑵两个三角形全等，它们的最大边是对应边 ⑶两个三角形全等，它们的对应角相等 ⑷对应角相等的三角形是全等三角形A. 1B. 2C. 3D. 45.如图所示，△ABC ≌△AEF ，AC 与AF 是对应边，那么∠EAC 等于（）A .∠ACB B .∠CAFC .∠BAFD .∠BAC6.△ABC 中∠A =∠B ，若与△ABC 全等的三角形中有一个角为90°，则△ABC 中等于90°的角是（）A .∠AB .∠BC .∠CD .∠B 或∠C7.一定是全等三角形的是（）A .面积相等的三角形B .周长相等的三角形C .形状相同的三角形D .能够完全重合的两个三角形8.如图，△ABC ≌△DEF ，∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，则下列说法错误的是（）A .∠C 与∠F 互余B .∠C 与∠F 互补 C .∠ A 与∠ E 互余D .∠ B 与∠ D 互余9.已知如图，△ABC ≌△ADE ，AB 与AD 是对应边，AC 与AE 是对应边，若∠B=31°， ∠C=95°， ∠EAB=20°，则∠BAD 等于 ( )A ． 77°B ． 74°C ． 47°D ． 44°10.如图，直角△ABC 和直角△ADE 中，AD ＝AB,AC=AE.△ABC 与△ADE 经过怎样的运动互相重合？并指出相等的线段和相等的角。

北师版数学初一升初二暑假衔接教材

第一讲、三角形总复习基础知识1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。

从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。

因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。

因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。

例题精讲一、三角形内角和定理的应用【例1】如图1，已知∆A B C 中，∠=︒⊥B A C A D B C 90，于D ，E 是AD 上一点。

求证：∠>∠B E D C二、三角形三边关系的应用【例2】已知：如图，在∆A B C中，AB>AC ，AM 是BC 边的中线。

求证：()A M A B A C >-12。

三、角平分线定理的应用【例3】如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。

求证：AM 平分DAB 。

四、全等三角形的应用1、构造全等三角形解决问题【例4】已知如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。

求证：∆A M N的周长等于2。

2、“全等三角形”在综合题中的应用【例5】如图，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。

点B在AE的延长线上，点D在AF上。

若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。

求AC的长。

五、中考点拨【例6】如图，在∆A B C中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为【】A. 9B. 8C. 7D. 6六、题型展示【例7】已知：如图，∆A B C 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =12。

全等三角形的讲义整理讲义

全等三角形专题一全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。

）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。

【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与是对应边，BC 与是对应边， CA 与是对应边；(2)∠A 与是对应角，∠ABC 与是对应角， ∠BAC 与是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。

(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。

【练习1】如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】（海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ，且∠ABD=90°。

七升八数学资料2(SAS、SSS)

七升八数学资料二（SAS、SSS）一、例题精讲类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE. (变式）已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝12（AB＋AD）.求证：∠B＋∠D＝180°. 类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图，公园里有一条“Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BE＝CF，M在BC的中点.试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？二、巩固练习1．如图，AC与BD交于点O，DO＝CO，AO＝BO，则图中全等三角形有 ( )A．2对B．3对C．4对D．5对2.试一试：如图，AB＝AC，还需补充条件___________，就可根据“SAS”证明△ABE≌△ACD.3.如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC.求证：CA平分∠DCB.4.如图是小东同学自己动手制作的风筝，他根据AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，不用度量，就知道AD＝CD．请你用所学的知识给予说明．CBADEBDCADCBAFNMEDCBAED CBA5.如图，已知：点D、E在BC上，且BD＝CE，AD＝AE，∠1＝∠2，由此你能得出哪两个三角形全等？请给出证明．6.已知：如图，点E、F在CD上，且CE＝DF，AE＝BF，AE∥BF.①求证：△AEC≌△BFD．②你还能证得其他新的结论吗？③本例图中的△AEC可以通过_________变换得到例3所示图形．7．（1）如图，C点是线段BF的中点，AB＝DF，AC＝DC．△ABC和△DFC全等吗？变式1（2）若将（1）中的△DFC向左移动，若AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF，问：△ABC≌△DFE吗？（3）若继续将上题中的△DFC向左移动（如图），若AB＝DC，AC＝DB，问：△ABC≌△DCB吗？8．如图，AC、BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB．求证：∠A＝∠D．9.如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B＝50°,∠CAD︰∠E＝1︰3，求∠E的度数.四、中考衔接已知：△ABC与△CDE为等边三角形，B,C,D在一条直线上，连接AD,BE交CE,AC与M,N点。

(已经整理)七升八暑期数学辅导(全集)

第一讲与三角形有关的线段【2 】常识点1.三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾按序相接构成的图形叫做三角形.构成三角形的线段叫做三角形的边,相邻双方所构成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻双方的公共端点是三角形的极点. ☑ 三角形的表示办法三角形用符号“△”表示,极点是A,B,C 的三角形,记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC.三角形ABC 的极点C 所对的边AB 可用c 表示,极点B 所对的边AC 可用b 表示,极点A 所对的边BC 可用a表示.常识点2.三角形的三边关系【探讨】随意率性画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点动身,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的双方之和大于第三边,可用字母表示为a+b ＞c,b+c ＞a,a+c ＞b拓展：a+b ＞c,根据不等式的性质得c-b ＜a,即双方之差小于第三边. 即a-b ＜c ＜a+b （三角形的随意率性一边小于另二边和,大于另二边差）【演习1】一个三角形的双方长分离为3cm 和7cm,则此三角形的第三边的长可能是（） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【演习2】有下列长度的三条线段可否构成三角形？为什么？ (1)3,5,8; (2)5,6,10; (3)5,6,7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a.b.c,a+b ＞c,扎西以为：这三条线段能构成三角形.你赞成扎西的意见吗？为什么？【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形. （1）假如腰长是底边的2倍,那么各边的长是若干？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？【演习】1.三角形三边为3,5,3-4a,则a 的规模是.2.三角形双方长分离为25cm 和10cm,第三条边与个中一边的长相等,则第三边长为.3.等腰三角形的周长为14,个中一边长为3,则腰长为4.一个三角形周长为27cm,三边长比为2∶3∶4,则最长边比最短边长.5.等腰三角形双方为5cm 和12cm,则周长为.6.已知：等腰三角形的底边长为6cm,那么其腰长的规模是________.abc(1)CBA7.已知：一个三角形双方分离为4和7,则第三边上的中线的规模是_________. 8.下列前提中能构成三角形的是（）A.5cm, 7cm, 13cmB.3cm, 5cm, 9cmC.6cm, 9cm, 14cmD.5cm, 6cm, 11cm 9.等腰三角形的周长为16,且边长为整数,则腰与底边分离为（） A.5,6 B.6,4 C.7,2 D.以上三种情形都有可能 11.一个三角形双方分离为3和7,第三边为偶数,第三边长为（） A.4,6 B.4,6,8 C.6,8 D.6,8,10 11.△ABC 中,a=6x,b=8x,c=28,则x 的取值规模是（） A.2＜x ＜14 B.x ＞2 C.x ＜14 D.7＜x ＜14 12.指出下列每组线段可否构成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=6 13.已知等腰三角形的双方长分离为11cm 和5cm,求它的周长.14.已知等腰三角形的底边长为8cm,一腰的中线把三角形的周长分为两部分,个中一部分比另一部分长2cm,求这个三角形的腰长.15.已知等腰三角形一边长为24cm,腰长是底边的2倍.求这个三角形的周长.16.如图,求证：AB+BC+CD+DA>AC+BD常识点3 三角形的三条主要线段三角形的高(1)界说：从三角形的一个极点向它的对边地点的直线画垂线,极点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的论述办法 ①AD 是△ABC 的高 ②AD ⊥BC,垂足为D③点D 在BC 上,且∠BDA=∠CDA=90度【演习】画出①.②.③三个△ABC 各边的高,并解释是哪条边的高.①②③AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AB C A B CB ACABCDAC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有差别吗？_____________________________________________[探讨] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高,看看有什么发明？假如△ABC 是直角三角形.钝角三角形,上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线（1）界说：在三角形中,衔接一个极点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.【探讨2】如图,AD 为三角形ABC 的中线,△ABD 和△ACD 的面积比拟有何干系？【例2】如图,已知△ABC 的周长为16厘米,AD 是BC 边上的中线,AD=45AB,AD=4厘米,△ABD 的周长是12厘米,求△ABC 各边的长. ☑ 三角形的角等分线（1）界说：三角形的一个角的等分线与这个角的对边订交,这个角的极点和交点之间的线段叫做三角形的角等分线.[辨析]三角形的角等分线与角的等分线是一样的吗？画出△ABC 各角的角等分线,并解释是哪角的角等分线.[探讨]不雅察画出的三条角平线,你有什么发明？_______________________________ [自我检测]如图,AD.AE.CF 分离是△ABC 的中线.角等分线和高,则： (1)BD=______=12________;(2)BC=2_______=2_______;(3)∠BAE=_______=12_______;(4)∠BAC=2_______=2_______;(5)_______=________=90常识点4 三角形的稳固性三角形的三边长一旦肯定,三角形的外形就独一肯定,这共性质叫做三角形的稳固性.四边形则不具有稳固性. 钢架桥.屋顶钢架和起重机都是应用三角形的稳固性,伸缩门则是应用四边形的不稳固性.你还能举出一些例子吗？A B C BA C FEDCBA【试一试】1.如图,AD 是△ABC 的中线,已知△ABD 比△ACD 的周长大6cm,则AB 与AC 的差为_______2.如图,D 为△ABC 中AC 边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E 是AB 上一点,且△ABC 的面积等于△DEC 面积的2倍,则BE 的长为（）3.若点P 是△ABC 内一点,试解释AB+AC ＞PB+PC【课后功课】1.AD 是△ABC 的高,可表示为,AE 是△ABC 的角等分线,可表示为,BF 是△ABC的中线,可表示为.2.如图2,AD 是△ABC 的角等分线,则∠=∠=12∠;E 在AC 上,且AE=CE,则BE 是△ABC 的;CF 是△ABC 的高,则∠=∠=900,CFAB.3.如图3,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABC 的角等分线,若BD=2cm,则BC=;若∠BAC=600,则∠CAE=. 4.如图4,以AD 为高的三角形共有.5.三角形的一条高是一条……………………………（）A.直线B.垂线C.垂线段D.射线6.下列说法中,精确的是………………………………（） A.三角形的角等分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高.中线.角等分线必定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部 7.下列图形具有稳固性的是………………………………（）A.正方形B.梯形C.三角形D.平行四边形 8.如图8,AD ⊥BC 于D,CE ⊥AB 于E,AD.CE 交于点O,OF ⊥CE,则下列说法中精确的是………………………………………………………（） A.OE 为△ABD 中AB 边上的高 B.OD 为△BCE 中BC 边上的高 C.AE 为△AOC 中OC 边上的高 D.OF 为△AOC 中AC 边上的高9. 如图,BD 是△ABC 的角等分线,DE ∥BC,交AB 于点E,∠A=45°,∠BDC=60°,求∠BED 的度数．CA B DEF图2 AB D EC 图3 A B ED C 图410.已知BD 是△ABC 的中线,AC 长为5cm,△ABD 与△BDC 的周长差为3cm.AB 长为3cm,求BC 的长. 11.如图11,在△ABC 中,∠ACB=900,CD 是AB 边上的高,AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1) △ABC 的面积;(2)CD 的长.12.如图12,D 是△ABC 中BC 边上一点,DE ∥AC 交AB 于点E,若∠EDA=∠EAD,试解释,AD 是△ABC 的角等分线.第二讲与三角形有关的角常识点1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800.【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800,这个结论是经由过程试验得到的,这个命题是不是真命题还须要证实,如何证实呢？回想我们小学做过的试验,你是如何操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的极点处,用量角度量出∠BCD 的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.想一想,还可以如何拼？①剪下∠A ,按图（2）拼在一路,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.图2②把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一路,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.假如把上面移动的角在图长进行转移,由图1你能想到证实三角形内角和等于1800的办法吗？证实：已知△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=1800..【例1】如图,C 岛在A 岛的北偏东30°偏向,B 岛在A 岛的北偏东100°偏向,C 岛在B岛的北偏西55°偏向,从C 岛看A.B 两岛的视角∠ACB 是若干度？【评论辩论】直角三角形的两锐角之和是若干度?A AA A图11A EB DC图12结论: 直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt △”表示,直角三角形ABC 可以写成Rt △ABC. 由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形.常识点2.三角形的外角界说：三角形的一边与另一边的延长线构成的角,叫做三角形的外角. [自我探讨] 画出图中三角形ABC 的外角1.断定图中∠1是不是△ABC 的外角：_______________2.如图,(1)∠1.∠2都是△ABC 的外角吗？________________ (2)△ABC 共有若干个外角？___________________请在图中标出△ABC 的其它外角.3.探讨题：如图,这是我们证实三角形内角和定理时画的帮助线,你能就此图解释∠ACD 与∠A.∠B 的关系吗？∵C E ∥AB, ∴∠A=_____,_____=∠2 又∠ACD=_______+________ ∴∠ACD=_______+________结论1___三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;结论2__三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)【小结】三角形每个极点处有两个外角,便在盘算三角形外角和时,每个极点处只算一个外角,外角和就是三个外角的和.外角的感化：1.已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个,求另一个2.可证一个角等于另两个角的和3.证实两个角不相等的关系 [课后演习]1.填空：求出下列各图中∠1的度数.(1)如图,∠1=______;(2)如图,∠1=______;(3)如图,∠1=______;(1)1B AC D (3)1AB C D(4)AB C D 1(5)E AB C D 1(6)E AB CD12ABC1(2)1A B C D A(1)三角形的一个外角等于两个内角的和. （）(2)三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角,等于它的另一个不相邻的内角. ( ) (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角. ( ) 2.已知：如图,∠1=30°,∠2=50°,∠3=45°, 则(1)∠4=______°;(2)∠5=______°.3.已知：如图∠1=40°,∠2=∠3,则 (1)∠4=______°;(2)∠2=______°.4.如图,AB ∥CD,∠B=55°,∠C=40°,则 (1)∠D=______°;(2)∠1=______°.5. 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD 是△ABC 的三个外角,它们的和是若干？解：因为∠BAE=∠__+∠____, ∠CBF=∠__+∠___,∠ACD=__________, 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=（∠__+∠___）+（________）+（___________） =2（∠1+_________）=2×180°=360°. 6.已知：如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高, ∠BAC=80°,∠C=40°,则∠BAD=________°. 7.已知：如图,BD 是△ABC 的角等分线, ∠A=100°,∠C=30°,则∠ADB=________°. 8.*如图,AD.BE 分离是△ABC 的高和角等分线,∠BAC=100°,∠C=30°,则∠1=________°. 9.如图所示,D,E 分离AC,AB 边上的点,DB,EC 相交于点F,则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________10.△ABC 中,∠B=∠A+100,∠C=∠B+200,求△ABC 各内角的度数11.如图所示,已知∠1=∠2,∠BAC=70度,求∠DEF 的度数.12.如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分离等分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度数.第2题图54321第4题图DCBA1第3题图4321123DE FB AC第5题图DABCABDC1E ABDC第6题第7题第9题第8题OCBA13.如图所示,在△AB C 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.4321D CB A第三讲多边形及其内角和一、常识点总结11180223601332n n n n n ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎪︒-⎪︒⎨⎪⎪-⎩由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

《全等三角形》讲义（完整版）

全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。

：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。

补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。

（简称SSS ）（2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

((简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（简称ASA ASA））（4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（简称AAS AAS））（5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（简称HL HL））角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等. .∵OP 平分∠平分∠AOB AOB AOB，，PM PM⊥⊥OA 于M ，PN PN⊥⊥OB 于N ，∴PM=PN 角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上到角的两边距离相等的点在角的平分线上. .∵PM PM⊥⊥OA 于M ，PN PN⊥⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠平分∠AOB AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

二、典型例题举例A BC PMNO A BCPMN O例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△、如图，△ABC ABC 是一个钢架，是一个钢架，AB=AC AB=AC AB=AC，，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．的支架．求证：△求证：△ABD ABD ABD≌△≌△≌△ACD ACD ACD．．例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．例4、如图：、如图：D D 在AB 上，上，E E 在AC 上，上，AB AB AB＝＝AC AC，∠，∠，∠B B ＝∠＝∠C C ．求证AD AD＝＝AE AE．．例5、如图：∠、如图：∠1=1=1=∠∠2，∠，∠3=3=3=∠∠4 求证：求证：AC=AD AC=AD例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由吗？说说你的理由D CB ACADB123 4例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等的距离相等例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm，求DE 的长．AGF CBDE图1AEB DCFAB CDED C EF BA 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：①，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF ⊥BC ．例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.三、专题版块三、专题版块专题一：专题一：全等三角形的判定和性质的应用全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB AB、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ACE，使∠，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，A B ∥CD,AF CD,AF∥∥DE,BE=CF,DE,BE=CF,求证：求证：求证：AB=CD. AB=CD.例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。

全等三角形经典讲义

全等三角形状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，说明A与D，B与E， C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：专题一三角形全等的判定1．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：△ABE≌△CDF ．2．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________；（2）证明：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（）AB ．4C ．D ．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N .求证：AM ＝AN .6．【2012·泸州】如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．NME D B CA专题三全等三角形的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60° B．90° C．120° D．150°8．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB ，这时只要量出AB′的长，就知道AB 的长，对吗？为什么？10．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF于F ．求证：CE = CF11.已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + ADFA BECD12．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB13．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B14．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．DBACPEDCBA D CBA15．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：16．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．OEDCBAFEA17.已知:在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.18、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E，，在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；图1图2DCAB（2）证明：DC BE⊥．19．如图-1，ABC△的边BC在直线l上，AC BC⊥，且AC BC=；EFP△的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP=．（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP关系；（2）将EFP△沿直线l向左平移到图-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP的关系，请证明你的猜想；（3）将EFP△沿直线l向左平移到图-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A （E）B C （F）Pl l l图-1 图-2图-3全等三角形——角的平分线的性质状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，AC =3 cm ，求BE 的长．专题二角平分线的性质的应用 4．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A ．在AC 、BC 两边高线的交点处B ．在AC 、BC 两边中线的交点处C ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处D ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．21BAC B ∶∶∠∠6. 如图， ∠ B= ∠ C=90 °， M 是 BC 中点， DM 平分 ∠ ADC ，求证： AM 平分 ∠ DAB ．7. 如图，已知 △ ABC 的周长是 22 ， OB 、 OC 分别平分 ∠ ABC 和 ∠ ACB ， OD ⊥ BC 于 D ，且 OD=3 ， △ ABC 的面积是多少？8.如图，已知 ∠ 1= ∠ 2 ， P 为 BN 上的一点， PF ⊥ BC 于 F ， PA=PC ，求证： ∠ PCB+ ∠ BAP=180 º9.如图，△ ABC 中， P 是角平分线 AD ， BE 的交点．求证：点 P 在∠ C 的平分线上．10. 如图，在 △ ABC 中， BD 为 ∠ ABC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E ，且 DE=2cm ， AB=9cm ， BC=6cm ，求 △ ABC 的面积．21NP F C BA11.如图， D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的三条边上的点， CE=BF ，△ DCE 和△ DBF 的面积相等．求证： AD 平分∠ BAC ．。

七年级升八年级数学暑期辅导材料.

与三角形有关的线段知识点1：三角形的边三角形的概念:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

（三角形的表示、边、顶点、内角）三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边. 推论：三角形两边的差小于第三边。

三角形分类有两种方法：（1）按角分类；（2）按边分类（1）按角分类锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形（2）按边分类不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形考点1：认识三角形1.如图7.1.1-1的三角形记作__________，它的三条边是__________，三个顶点分别是_________，三个内角是__________，顶点A 、B 、C 所对的边分别是___________，用小写字母分别表示为 __________.2.三角形按边分类可分为__________三角形，__________三角形；等腰三角形分为底与腰__________的三角形和底与腰__________的三角形.3.如图7.1.1-2所示，以AB 为一边的三角形有（） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个考点2：三角形三边关系4.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，105.（2008·福州）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（） A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm6.如果线段a 、b 、c 能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（） A.1∶2∶4 B.1∶3∶4 C.3∶4∶7 D.2∶3∶47.已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，则此三角形的周长为（） A.15cm B.18cm C.15cm 或18cm D.不能确定图7.1.1-2 图7.1.1-1腰腰底边顶角底角底角8.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（） A.3，4，5 B.3a ，4a ，5a C.3+a ，4+a ，5+a D.三条线段之比为3∶5∶89.三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm ，那么三边分别是________cm.10.已知等腰三角形的周长是25cm ，其中一边长为10cm ，求另两边长__________. 11.的木棒，还需要到某木材市场上购买一根.问：（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？（2）选择哪一种规格的木棒最省钱？12. 如图所示,已知P 是△ABC 内一点,试说明PA+PB+PC>12(AB+BC+AC).13、如图，从A 经B 到C 是一条柏油马路，AC 是一条小路，人们从A 到C ，为什么不走柏油路，而喜欢走小路？请你用学过的知识解释一下原因。

【7A版】2018年七升八暑期衔接班数学讲义

CB A 2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1. 第一讲：与三角形有关的线段；2. 第二讲：与三角形有关的角；3. 第三讲：与三角形有关的角度求和；4. 第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5. 第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6. 第六讲：全等三角形；7. 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS ；8. 第八讲：全等三角形的判定（二）SSS ，ASA ，AAS ；9. 第九讲：全等三角形的判定（三）HL ；10. 第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11. 第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12. 第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13. 第十三讲：轴对称；14. 第十四讲：等腰三角形；15. 第十X 五讲：等腰直角三角形；16. 第十六讲：等边三角形（一）；17. 第十七讲：等边三角形（二）;18. 第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19. 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第一讲与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形） ()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足：；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足：；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足：；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足：；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21 ； ②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有；⑤∠AEC 是的一个内角；是的一个外角. 例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm (C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） ①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c. 例四、已知三角形的三边长分别为2，5，G ，则G 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2G-1，则G 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x ，则G 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，G ，13，若G 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3 (C)5(D)13 ④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围是 . ⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长的取值范围是 .AB C D E F DE A B CF G(A)3b ＜＜3a (B)2a ＜＜2a+2b (C)a+2b ＜＜2a+b (D)a+2b ＜＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-G ，3G-1.（1）则G 的取值范围是；（2）则它的周长的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则G 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-G ，G-1，则G 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2，则三角形底边a 的取值范围是；周长的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ).(A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，G ，则G 的取值范围是( ).(A)2＜G ＜12 (B)1＜G ＜13 (C)6＜G ＜7 (D)1＜G ＜75．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ).（A ）6＜＜15 （B ）6＜＜16 （C ）11＜＜13 （D ）10＜＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或277．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 .8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为；底边长b 的范围为 .10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .DA B C D A B C I I I C B D A C B D A A D B C I I I C B D AC BD AE A E D B E C I I I C B D A C B A E A E D BF D E F F C 12C B A 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第二讲与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）；三、三角形的内角和定理的推论： ①直角三角形两锐角互余； ②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为；正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为；正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为 .A B C D I A B C D E I A B C ID A BEF C D E A F C B D A C B A B C F E D H D A B C E H E D C B A②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数. 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF. 【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第二讲作业 1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A)30° (B)45° (C)60° (D)75° E D C B A M E D C B AME D C B A E D C B A A B C D E IAB O CB D A F EC BD A C B D A A D B C 6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45︒ (B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形 11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ).(A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ). (A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变； 2．星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形：；蝶形：；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；AI I I C B DA CB D A A D BC I I IC BD A C B D AE A E D B E C II I CB D AC B A E A ED B F D EF FC B A M E CD O D Q P C B A D B CE A D B CF E A 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 例四、如图，在△ABC中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB. （1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为，∠BQC 的度数为；（2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； A B C D I A B CD EIC BD AF E ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第三讲作业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ). (A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠ 1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BO C A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ). (A)21180A n n⨯︒+∠ (B)12180A n n⨯︒+∠ (C)118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11180n A n n -⨯︒+∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第四讲专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论. 例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD. F E D C BA M E D CB A FN M E D C B A E D C B A F M E D C B A N M E D CB D AA DCM B A D B E C B D A E C D B A C E F （1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC. （1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 【题型训练】 1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ). (A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48° 2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业 1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l 1∥l 2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ).m n ，β∠N M F E D C B A N M FED C B A(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°．D 为边CA 延长线上的一点，DE ‖AB,∠ADE=42°，则∠B 的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，则∠ACB 等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78° 9．如图，已知AC ∥ED ，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED 的度数是( ). (A)63°(B)83°(C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B=70°，∠A=60°. （1）求∠EDC 的度数；（2）求∠BDC 度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数； (2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

第10讲认识三角形与图形全等-七年级数学下册同步精品讲义

第10讲认识三角形与图形全等目标导航知识精讲知识点01三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．【知识拓展1】（2021秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【即学即练1】（2021秋•静安区期末）下列说法错误的是（）A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形【即学即练2】（2021秋•双牌县期末）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．知识点02三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．【知识拓展2】（2021秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2B．3C．4D．5【即学即练1】（2021秋•沙坪坝区校级期末）数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）A．B．C．D．【即学即练2】（2021秋•思明区校级期末）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（）A．BC＝2AD B．AB＝2AF C．AD＝CD D．BE＝CF知识点03三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．【知识拓展3】（2021秋•正阳县期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【即学即练1】（2021秋•同安区期末）如图，S△ABD＝S△ACD，已知AB＝8cm，AC＝5cm，那么△ABD和△ACD的周长差是cm．【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的高和中线，AD＝2cm，△ACE的面积是3cm2，则BC＝cm．知识点04三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）【知识拓展4】（2021秋•泉州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，若GE＝3，则线段CB的长度为（）A．10B．9C．6D．【即学即练1】（2021秋•莱州市期末）如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D．若BC ＝6，则CD＝．【即学即练2】（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．知识点05三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．【知识拓展5】（2021秋•樊城区期末）若线段AP，BP，AB满足AP+BP＞AB，则关于P点的位置，下列说法正确的是（）A．P点一定在直线AB上B．P点一定在直线AB外C．P点一定在线段AB上D．P点一定在线段AB外【即学即练1】（2021秋•宜春期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．4，5，9【即学即练2】（2021秋•岑溪市期末）已知一个三角形有两边长分别为3和9，则它的第三边长可能是（）A．4B．5C．6D．7知识点06三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．【知识拓展6】（2021秋•大余县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（）A．75°B．80°C．85°D．90°【即学即练1】（2021秋•铅山县期末）如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACD，若∠A＝80°，则∠D的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．140°【即学即练2】（2021秋•连江县期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A＝n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（）A．45°+n°B．90°C．90°﹣D．180°﹣n°知识点07全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．【知识拓展1】（2021秋•潜江期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形【即学即练1】图中所示的网格是正方形网格，则下列关系正确的是（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝180°【即学即练2】（2021秋•辛集市期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）A．3组B．4组C．5组D．6组知识点08直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【知识拓展8】（2021秋•富川县期末）在一个直角三角形中，一个锐角等于56°，则另一个锐角的度数是（）A．26°B．34°C．36°D．44°【即学即练1】（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PCB．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BCC．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C ＝度．能力拓展【考点1】：认识三角形例题1．（2021·石家庄市第四十一中学七年级期末）若三角形的两边长是2cm 和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm【变式1】（2021·山东烟台市·七年级期末）用直角三角板作ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【变式2】（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，三角形ABC 中，AC BC ⊥，CD AB ⊥于点D ，则下列线段关系成立的是（）A ．AD BC AB +< B ．BD AC AB +< C ．2BC AC CD +>D ． AC BC AB +<例题2．（2020·辽宁锦州市·七年级期末）已知三角形ABC ，且AB =3厘米，BC =2厘米，A 、C 两点间的距离为x 厘米，那么x 的取值范围是________．【变式1】（2021·广西南宁市·七年级期末）现有一张边长为1的正方形纸片，第一次沿着线段1AP 剪开，留下三角形1ABP ；第二次取1BP 的中点2P ，再沿着2AP 剪开，留下三角形2ABP ；第三次取2BP 的中点3P ，再沿着3AP 剪开，留下三角形3ABP ；…，如此进行下去，在第n 次后，被剪去图形的面积之和是________．【变式2】（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知直线//m n ，将一块含有45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 相交于点D ．若124︒∠=，则2∠的度数为_______．例3．（2021·兰州市第三十六中学七年级期末）把两个形状相同，大小不同的三角板如图所示拼在一起，已知B DAC x ∠=∠=，2C BAD x ∠=∠=．（1）求C ∠的度数；（2）如图，如果ACF BCF ∠=∠，试比较AEC ∠和BFC ∠的大小．【变式1】（2021·浙江台州市·七年级期末）如图，在平面内有三个点、、A B C（1）根据下列语句画图： ①连接AB ； ②作直线BC ；③作射线AC ，在AC 的延长线上取一点D 使得CD CB =，连接BD ；（2）比较,,AB BD AB BC CD AD +++的大小关系．【变式2】（2021·四川绵阳市·东辰国际学校七年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转（1）试说明∠DPC=90°；（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE 平分∠CPD，求∠EPF；（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．【考点2】：图形的全等例题1．（2001·浙江省杭州第十中学七年级期末）如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去【变式1】（2020·四川成都市·七年级期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°【变式2】（2020·山东泰安市·七年级期末）下列说法正确的是( )A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形是指面积相等的两个三角形C ．两个等边三角形是全等三角形D ．全等三角形是指两个能完全重合的三角形例题2．（2021·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个33⨯的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．【变式1】（2020·重庆七年级期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【变式2】（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，ABC ADE ≅，如果5,7,6AB cm BC cm AC cm ===，那么DE 的长是______．例题3．（2020·江苏苏州市·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．【变式1】（2018·全国七年级期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．（1）求证：BD＝BC；（2）若BD＝6cm，求AC的长．【变式2】（2019·山东青岛市·七年级期末）图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.（1）用实线把图①分割成六个全等图形；（2）用实线把图②分割成四个全等图形.分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021秋•思明区校级期末）如图，CM是△ABC的中线，AM＝4cm，则BM的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．（2021秋•东城区校级期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝4，AC＝6，那么△ACD的面积是（）A．10B．12C．16D．243．（2021秋•玉林期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，5，10D．3，7，94．（2021秋•全椒县期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（）A．5°B．4°C．8°D．6°5．（2021秋•无为市期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝（）A．60°B．90°C．100°D．120°6．（2021秋•望城区期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（）A．25°B．55°C．65°D．75°二．填空题（共8小题）7．（2021秋•岚皋县校级月考）图中以AE为边的三角形共有个．8．（2021秋•天河区期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为cm．9．（2021秋•定海区校级月考）如图，△ABC中，D是BC边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝3，则△ABC的面积为．10．（2021秋•港南区期中）如图，BD、CE是△ABC的高，若AB＝4，AC＝6，CE＝5，则BD的长度是．11．（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．12．（2021秋•巢湖市期末）△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为．13．（2021秋•包河区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△BDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数是．14．（2021秋•大连月考）直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是°．三．解答题（共3小题）15．（2021秋•启东市期末）如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．（1）求∠AFB的度数；（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．16．（2021秋•双台子区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．17．（2021秋•临漳县期末）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC 内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠ACP＝度；（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的关系是；（3）变式探索：如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是．题组B 能力提升练一．选择题（共7小题）1．（2021秋•兴城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2021秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB 于点H，则∠DCH的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°3．（2021秋•开州区期末）如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．（2021秋•忠县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD 沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°5．（2021秋•密山市期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF＝4，则S△ABC等于（）A．16B．24C．32D．306．（2021秋•潮安区期末）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（）A．4B．2C．6D．87．（2021秋•江宁区期中）如图，在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'．下列条件中：①∠A＝∠A'，AD＝A'D'；②∠A＝∠A'，CD＝C'D'；③∠A＝∠A'，∠D＝∠D'；④AD＝A'D'，CD＝C'D'．添加上述条件中的其中一个，可使四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．上述条件中符合要求的有（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④二．填空题（共8小题）8．（2021秋•博兴县期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是．9．（2021秋•平罗县期末）如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝．10．（2021秋•博白县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为．11．（2020秋•十堰期末）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于．12．（2021秋•鹿城区校级月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，连接BE并延长交AD于点F，若AG＝2BG，则＝．13．（2021春•东阳市期末）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则：（1）裁去的每个小长方形面积为cm2．（用k的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为．14．（2021秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC 于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝．15．（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•建昌县期末）如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝70°，∠ECD＝20°．求∠ACB的度数．17．（2021秋•沙依巴克区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD⊥BC于D，且AE 平分∠BAC，求∠EAD的度数．18．（2021秋•南昌期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）若∠C＝40°，求∠DAE的度数；（2）若EF⊥AE，交AC于点F，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求∠FEC的度数．19．（2021秋•邗江区期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝120°，一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD＝∠COE；（2）如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；（3）将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为α度，在旋转的过程中，能否使∠AOE＝3∠COD？若能，求出α的度数；若不能，说明理由．题组C 培优拔尖练一．选择题（共3小题）1．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，则的最大值是（）A．B．1C．D．2．（2021春•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．53．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题（共3小题）4．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD ＝30°，则∠BDC＝．（用含α的式子表示）5．（2021春•高邮市期中）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A4B4C4，则其面积S4＝．6．（2021春•宝应县月考）如图，A，B，C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是28，那么△ABC的面积是．三．解答题（共5小题）7．（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．8．（2021秋•西湖区校级期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为倍角三角形．（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC 的度数．（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．9．（2021秋•兴庆区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．10．我们把两个能够互相重合的图形称为全等形．（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数；（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出．11．（2021秋•思明区校级期末）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；问题解决：（2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m3．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE 边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．。

七升八暑假衔接学习讲义

七升八暑假衔接学习讲义TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】一、图形的1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么2.由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。

其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A∠与D∠重合，它们是对应角.△ ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边，对应角。

全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。

几何语言：∠A= ,∠C= ，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°,∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。

解：2．如图7，△ABD≌△EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE解： 3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（） ○2全等三角形的周长相等.（）○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（） ○4全等三角形的面积相等.（）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（）4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。

5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E ,△ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗?例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）(1)⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ⎪⎩⎪⎨⎧='∠=∠''=______A A B A ABACDBOAD E∴C B A ABC '''∆≅∆( SAS ) ∴C B A ABC '''∆≅∆( )(3) ⎪⎩⎪⎨⎧''=∠=∠''=C B BC C A AC ____∴C B A ABC '''∆≅∆( ) 练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等（1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ；（2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 2．如图2，△AOB 和△COD 全等吗为什么3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等？并进行证明.7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明练习21.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，求证：△ACB ≌△ADB2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CFADCB EADC B FE ADCBE12求证：△AFD ≌△CEB4.已知：EA=EC ，ED=EB ，求证：△AED ≌△CEB5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，求证：△EAB ≌△FDC6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2 求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA" 例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习：1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说ABoABCDEF明△AOB ≌△D OC2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。

全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)

BPAa专题三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形：作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形：作图依据------ASA%③ 已知三边作三角形：作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .，【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a ，b ，c.'求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m ，n, ∠ .求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.…【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.@随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角#C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半%C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

初中数学尖子生七升八暑期培训：第12课全等三角形拓展

E G AC B E PD D BE A 初中数学尖子生暑期培训(七升八)第十二课全等三角形拓展【例题之夯实基础】三角形全等基础填空题： 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为40º，则等腰三角形的顶角为 .2、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90º，DE 是AC 的垂直平分线， E 在BC 上，且∠BAE ：∠BAC=1:5，则∠C= .3、如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A 、E 重合)，在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ， AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点Q ，连结PQ ，以下结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ； ④DE=DP ；⑤∠AOB=60º；⑥OC 平分∠AOE. 恒成立的结论有 . 4、如图，△ABE 、△ADC 和△ABC 分别是关于AB 、AC 边所在直线的轴对称图形，若∠1:∠2:∠3=14:4:2，则∠α的度数为 . 5、如图，已知∠BAC=30º，G 为∠BAC 的平分线上的一点，EG ∥AC 交AB 于E ，GD ⊥AC 于D ，则GD:GE= .6、如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC 、AB 边于E 、F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为 . 7、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得 △ABC 为等腰三角形，则点C 有个.8、在Rt △ABC 中，已知∠C=90º，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若BC=32，且BD:CD=9:7，则点D 到AB 9、在△ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH=AC ，则∠ABC= .10、如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE=36º，那么∠BED=11、已知如图所示，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC=140º，∠BGC=110º，则∠A= .12、如图，△ABC 中，∠A:∠ABC:∠BCA=2:5:11，又△A ’B ’C ≌△ABC ，B ’、C 、A 三点在同一条直线上，则∠BCA ’:∠BCB ’的值为 .13、如图，△ABC 中，AB=AC ，中线BE 、CF 交于点D ，连接AD 并延长交BC 于G ，则图中全等三角形有对. 10题图 11题图 12题图 13题图A D DBO P Q A C E A 3 α 2 1 B D C D G E F A B C A ’ B C D E F B G CA14、在△ABC 中，AB=AC ，中线BD 把这个三角形周长分成21cm 和12cm 的两部分，则这个等腰三角形底边长为 . 15、如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，且EF=6，BG=3，DH=4，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S 是 . 16、如图△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD=2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4k ，则△ABC 的面积是 .(用含k 的代数式表示)17、已知如图，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，OE 和AF 交于点G .若OE 平分∠BOA ，AF 平分∠BAD ，∠OBA=40º，则此时∠OGA 的度数为 .若∠GOA=n1∠BOA ，∠GAD=n1∠BAD ，∠OBA=βº，则此时∠OGA= .(用含n 、β的代数式表示) 18、如图，在正△ABC 中，P 为边AB 上的一点，Q 为边AC 上的一点，且AP=CQ ，又 M 为PQ 的中点，若AM=19cm ，则 PC= .16题图 17题图 18题图【例题之能力提升】例1.如图1，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM(点D 与点A 重合除外)上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边△CDE ，连接BE.(1)判断AD 与BE 是否相等，请说明理由；(2)如图2，若AB=8，点P 、Q 两点在直线BE 上且CP=CQ=5，试求PQ 的长；(3)在第(2)小题的条件下，当点D 在线段AM 的延长线(或反向延长线)上时，判断PQ 的长是否为定值.若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由.例1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC 、等腰Rt △ADE ，其中∠BAC=∠DAE=90º，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD 、CE.(1)试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由；(2)延长BD 交CE 于点F ，试求∠BFC 的度数；(3)把两个等腰直角三角形按如图2放置，(1)、(2)中的结论是否仍成立？请说明理由.E D B 6 3 4 A Q C P M D B E A CFG B A D O C F E G A E B M C D P E A B Q C M A E D BF C A BE D C F变式练习：已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，BM ⊥CM 于M ，且CM ＞BM.(1) 如图1，过点A 作AF ⊥CM 于F ，直接写出线段BM 、AF 、MF 的数量关系是(2) 如图2，D 为BM 延长线上一点，连AD 以AD 为斜边向右侧作等腰Rt △ADE ，再过点E 作EN ⊥BM 于N ，求证：CM+EN=MN ；(3) 将(2)中的△ADE 绕点A 顺时针旋转任意角α后，连BD 取BD 中点P ，连CP 、EP ，作出图形，试判断CP 、EP 的数量和位置关系并说明.例3.在△ABC 中，AB=20厘米，BC=16厘米，点D 为线段AB 的中点，动点P 以2厘米/秒的速度从B 点出发在射线BC 上运动，同时点Q 以a 厘米/秒(a ＞0且a ≠2)的速度从C 点出发在线段CA 上运动，设运动时间为x 秒.(1)若AB=AC ，P 在线段BC 上，求当a 为何值时，能够使△BPD 和△CQP 全等？(2)若∠B=60º，求出发几秒后△BDP 为直角三角形？(3)若∠C=70º，当∠CPQ 的度数为多少时，△CPQ 为等腰三角形？(直接写出答案)变式练习：如图1，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点(端点除外)，点 P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ 、CP 交于点M.(1)求证：△ABQ ≌△CAP.(2)如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，∠QMC 变化吗？若变化，请说明理A B C E N A M B CD由；若不变，求出它的度数.(3)如图2，若点P 、Q 分别运动到点B 和点C 后，继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则∠QMC= 度.（直接填写度数）【例题之挑战压轴/自招题】例4.如图1，△ABC 是等边三角形，点E 在AC 边上，点D 是BC 边上的一个动点，以DE 为边作等边△DEF ，连接CF.(1)当点D 与点B 重合时，如图2，求证：CE+CF=CD ；(2)当点D 运动到如图3的位置时，猜想CE 、CF 、CD 之间的等量关系，并说明理由；(3)只将条件“点D 是BC 边上的一个动点”改为“点D 是BC 延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE 、CF 、CD 之间的等量关系为 (不必证明).变式练习：(1)如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，连接AD 、BE 相交于点P ，求证：BE=AD ；(2)如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120º，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 、等边三角形BDF ，连接AD 、BE 和CF 交于点P，下列结论正确的是(只填序号即可) ①AD=BE=CF,②∠BEC=∠ADC, ③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60º；(3)如图2，在(2)的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.AB C Q P M D A B C E F E A B C (D) F D A B C E F D A B C E F AE B P CD AE BF C D P【课后巩固练习】1、如图1，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120º的等腰三角形，以D 为顶点作一个60º角，角的两边分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，连结MN ，完成下列各题：(1) 若MN ∥BC ，请写出线段BM 、MN 、NC 之间的数量关系，不要求证明.(2) 如图2，若MN 与BC 不平行，其他条件不变，试问(1)中线段BM 、MN 、NC 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.(3) 若点M 、N 分别是以边AB 、CA 延长线上的点，其他条件不变，请在图3中画出图形，并说明(1)中线段BM 、MN 、NC 之间的数量关系是否仍然成立.若成立，请证明；若不成立，说明理由.2、已知如图1，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90º.(1) 求证：△ABD ≌△ACE ；(2)求证：BD 、CE 所在直线互相垂直；(3)如图2，连接BE 、DC ，取BE 中点M ，连接AM ，试判断线段AM 与DC 有何位置关系，并加以证明.A B C M N N M A B C D A B C M A B D C A B D C E3、如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，AD 交BC 于G ，DE ∥AB 交AC 于E.(1)求证：AE=CE ；(2)作∠BCA 的平分线CF 交AD 于P ，交AB 于F ，求证：∠PCD=21∠B ；(3)在(2)的条件下，若∠B=60º，求证：AF+GC=AC. PE F A BD G。

【八年级数学几何培优竞赛专题】专题2 全等三角形判定方法的选择【含答案】

专题2 全等三角形判定方法的选择知识解读三角形全等判定方法的选择已知条件可供选择的判定方法一边和这边邻角对应相等选边：只能选角的另一边（SAS ）选角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ，ASA ）一边及它的对角对应相等只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ）两边对应相等选边；只能选剩下的一边（SSS ）选角：只能选两边的夹角（SAS ）两角对应相等只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AAS ．ASA ）典例示范一、从变换的角度理解“全等”1．轴对称变换例1如图1－2－1，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，且AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE ．【提示】从结论“BD ＝CE ”来看，有两种思路，思路一：通过证明△BOD ≌△COE 得到对应边相等；思路二：通过证明“△ACD ≌△ABE ”得到AD ＝AE ，然后运用等式性质证得．从题设看，由“AB ＝AC ，∠B ＝∠C ”加上公共角∠A ，可得△ACD ≌△ABE ，所以我们考虑使用思路二给出证明过程．图1-2-1B【技巧点评】哪些情况下，可考虑利用全等的性质来证明线段相等和角相等呢？本题中，这个图形很显然是轴对称图形，而BD 和CE 也是轴对称的，这时候就可以考虑把BD 和CE 置于一对轴对称的三角形中，且BD 和CE 恰好是一对对应边.跟踪训练1．如图1－2－2，已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CE ＝F B ．求证：AF ＝DE ．图1-2-22．旋转变换例2如图1－2－3，AD 是△ABC 的中线，在AD 及其延长线上截取DE ＝DF ，连接CE ，BF ，试判断△BDF 与△CDE 全等吗？BF 与CE 有何位置关系？【提示】若△BDF 与△CDE 全等，需要寻找三个相等的要素，题中已知一对对顶角相等，由中线可得到BD ＝CD ，加上DE ＝DF ，即可根据“SAS ”得到两个三角形全等．图1-2-3B【技巧点评】本题是一个简单的全等证明题，本题意在说明图中△BDF 与△CDE 是中心对称的图形．，其中一个三角形可以看作另一个三角形绕点D 旋转180°得到．从中心对称的角度寻找相等的线段和相等的角，可以为证明全等提供方便．跟踪训练2．如图1－2－4，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，求证：BC ＝E D ．图1-2-4二、线段和角度相等，常考虑证全等例3如图1－2－5，AC 交BD 于点O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，求证：∠C ＝∠B ．【提示】要证明∠C ＝∠B ，可考虑将∠C 和∠B 置于一对三角形中，证明两个三角形全等，由于本题图中△AOB 和ACOD 全等不容易证明，可考虑连接AD ，证明△ACD 与△DBA 全等．图1-2-5跟踪训练3．已知，如图1－2－6，AD ⊥DB ，BC ⊥CA ，AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，求证：AD ＝B C ．图1-2-6B【技巧点评】由于全等三角形的对应角相等，对应边相等，因此证明两个三角形全等是证明两个角相等和两条线段相等常用的方法．利用全等三角形证明线段相等和角相等的思路：对应边（角）相等→两个三角形全等→线段相等或者角相等，可以看出全等三角形类似于一个桥梁，建立起角度相等与线段相等、线段相等与另两条相等的线段、角相等与另一对相等的角之间的联系．跟踪训练4．如图1－2－7，A ，D ，B 三点在同一条直线上，△ADC ，△BDO 均为等腰三角形，AO ，BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论．图1-2-7三、借助“同角的余角相等”寻找相等的角例4如图1－2－8，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 是BD 上一点，BF ＝AC ，G 是CE 延长线一点，CG ＝AB ，连接AG ，AF ．（1）求证：∠ABD ＝∠ACE ；（2）探求线段AF ，AG 有什么关系，并证明．【提示】（1）∠ABD ，∠ACE 都和∠BAC 互余，根据“同角的余角相等”可证明∠ABD ＝∠ACE ；（2）由已知条件“BF ＝AC ”“CG ＝AB ” “∠ABD ＝∠ACE ”可证明△ABF ≌△GCA ，AF ，AG 恰好是这对全等三角形的对应边，所以这两条线段的大小关系是相等．又由于∠G ＝∠BAF ，∠G ＋∠GAE ＝90°，因此∠GAF ＝90°，所以AF 和AG 的位置关系是垂直．图1-2-8B 【技巧点评】（1）当已知两条边相等，要证明两个三角形全等时，“同角的余角相等”是常用的证明夹角相等的手段．（2）要证明两直线垂直，证明夹角等于90°也是常用思路，当夹角是由两个角的和组成的时候，常考虑证明这两个角的和等于90°．跟踪训练5．如图1－2－9，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB ＝F C ．图1-2-9A四、从等腰、等边、正方形中获取全等所需的元素例5如图1－2－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：DB ＝BF ．【提示】要证明DB ＝BF ，由于D 为BC 的中点，所以CD ＝BD ，因此本题可转证CD ＝BF ，将这两条线段放置到三角形中，可证明△ACD ≌△CBF ．图1-2-10A【技巧点评】本题证明△ACD ≌△CBF 需要的三个要素AC ＝BC ，∠CAD ＝∠BCF ，∠ACD ＝∠CBF 都和△ABC 是等腰直角三角形相关．当题目中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等条件时，往往图形中隐含着一对全等三角形，这对全等三角形的一对对应边往往和等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形的边长相等有关．跟踪训练6．如图1－2－11，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A ，D 重合，连接BE ，E C ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系和位置关系，并证明你的猜想．图1-2-11B拓展延伸五、AAS 华丽变全等例6 如图1-2-12，在△ABC 中，∠DBC ＝∠ECB ＝∠A ，求证：BE ＝CD ．21ABCD E F【提示】要证明BE ＝CD ，一般考虑证明两个三角形全等，而△DCF 和△EBF 显然不全等，本题有三种构造全等的方法，如图1-2-13①②③．图1-2-12GFE D CBAHFE D CBAFE D CBAH G 【技巧点评】本题△BEF 和△CDF 虽然不全等，但是∠BFE ＝∠CFD ，加之可证FB ＝FC 以及待证的BE ＝CD ，可见这两个三角形虽然不全等，但也有3对相等的要素．构造全等三角形可将小三角形补上一部分，或者将大三角形截去一部分．跟踪训练7．如图1-2-14，OC 平分∠AOB ，点D 、E 分别在OA 、OB 上，点P 在OC 上，且有PD ＝PE ，求证：∠PDO ＝∠PEB ．(有三种解法)P OD C BA E竞赛链接图1-2-13图1-2-14②③①例7 (全国初中数学竞赛浙江赛区题)如图1-2-15，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，E 是AD 延长线上一点，若DE ＝AB ＝3cm ，CE ＝4cm ，则AD 的长是．2【提示】如图1-2-16，连接CA ，构造△BAC ≌△DEC ，利用勾股定理求出AE 的长．EDCB AAB CDE【技巧点评】勾股定理——如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．跟踪训练8．(希望杯竞赛题)如图1-2-17，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，那么图中的全等三角形共有()A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对F OABCDE 培优训练1．如图1-2-18，AC ，BD 交于点E ，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝BD ．4321ABCED2．如图1-2-19，已知AD ＝AE ，AB ＝AC ．求证：BF ＝FC ．图1-2-17图1-2-15图1-2-16图1-2-18ABCDEF3．如图1-2-20，已知△ABD 、△AEC 都是等边三角形，AF ⊥CD 于F ，AH ⊥BE 于H ，问：(1)BE 与CD 有何数量关系?为什么?(2)AF 、AH 有何数量关系?O HFEDCBA 4．如图1-2-21，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD ＝∠BCE ＝90°，AE 交DC 于点F ，BD分别交CE ，AE 于点G ，H 试猜测线段AE 和BD 的位置关系和数量关系，并说明理由．DBCFH AE G 5．将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1-2-22①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ．(1)求证：AF ＋EF ＝DE ；(2)若将图1-2-22①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角，且0°＜＜60°，其他条件不变，请在αα图1-2-22②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．AC BABCE FD①图1-2-19图1-2-20图1-2-21②图1-2-226．如图1-2-23，AD 是△ABC 的高，作∠DCE ＝∠ACD ，交AD 的延长线于点E ，点F 是点C 关于直线AE 的对称点，连接AF ．(1)求证：CE ＝AF(2)在线段AB 上取一点N ，使∠ENA ＝∠ACE ，EN 交BC 于点M ，连接AM 请你判断∠B 与∠MAF 21的数量关系，并说明理由．DBEAF CN M直击中考7．★★(2017江苏常州)如图1-2-24，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，∠BCE ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠D ，BC ＝CE ．(1)求证：AC ＝CD ；(2)若AC ＝AE ，求∠DEC 的度数．ECDBA 8．(凉山州中考题)如图1-2-25，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF ＝CE ．求证：FD ＝BE ．FBECDAO9．(内江中考题)如图1-2-26，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：AE ＝BD ．图1-2-23图1-2-24图1-2-25CDEBA10．(重庆中考题)如图1-2-27，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ．CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG ．求证：(1)AF ＝CG ；(2)CF ＝2DE ．GCDFEBA挑战竟赛11．(希望杯竞赛题)如图1-2-28，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠BAC ＝75°，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 交于H ，则∠CHD ＝．HBCE ADBGF E ADC12．(希望杯竞赛题)如图1-2-29，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FG ∥BC 交AB 于G ．AE ＝4，AB ＝14，则BG ＝．图1-2-26图1-2-27图1-2-28图1-2-29。

初二暑假竞赛数学

第一讲: 全等三角形判定【知识点拨】1、三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)。

2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)。

3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)。

4、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)。

5、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边直角边”或“HL”)。

【高博学堂】【例1】如图，△ABC中，ACB∠=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D，BE⊥MN与E,（1）当直线MN位于图①的位置时，试说明△ADC≅△CBE，并写出DE、AD、BE 的关系。

（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试探索DE、 AD 、BE的数量关系。

【巩固练习1.1】如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，直线AN经过顶点A，BD ⊥AN于D，CE⊥AN于E求证：DE=BD－CE【巩固练习1.2】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.NEDCBA【例2】如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE【巩固练习2.1】已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为 BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF//AC 交 CE 的延长线于点F,求证：AB 垂直平分DF .【巩固练习2.2】如图Rt △ABC 中，∠AC D AC AB BAC 为,,900==的点，，于交E BC BD AE ⊥求ADB a BDE ∠∠,＝的大小。

A B CDE F C A B D E F2 1D P B N CA【例3】如图，已知在四边形ABCD 中，AB BC >，DC AD =，BD 平分ABC ∠ 求证：︒=∠+∠180C A【巩固练习3.1】如图，ABC ∆中，AD 是A ∠的平分线，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且︒=∠+∠180BAF EDF ，求证：FD ED =【巩固练习3.2】如图，∠1＝∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB ＋BC ＝2BD 。

二次全等(讲义)

二次全等（讲义）➢ 课前预习1. 回顾七年级上册学习的几何初步填空：遇到与角有关的计算和证明时，常见的思考角度：由平行想到_____________，____________，____________；由垂直想到__________________，_____________________；由外角想到_________________________________________．2. 已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AO =BO ，CO =DO ，过点O 作EF 交AC于点E ，交BD 于点F ．求证：△BOF ≌△AOE ．➢ 精讲精练1. 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，在△ACM ，△CBN 中，AC =CM ，BC =CN ，FCBOE DA∠ACM =∠BCN =60°，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．求证：①△CAN ≌△CMB ；②△CEN ≌△CFB ．NMCFE BA2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接EF ，AG ．求证：①△ADE ≌△ABG ；②EF =DE +BF ．3. 已知：如图，∠A =∠D =90°，AC ，BD 相交于点E ，BE =CE ．求证：△ABC ≌△DCB ．G A BCEDFEDA4. 已知：如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE =CF ，过点E ，F 分别作ED ⊥AC 于点E ，FB ⊥AC 于点F ，连接AB ，CD ，BD ，BD 交AC 于点G ，AB =CD ．求证：△DEG ≌△BFG ．FCBGEDA5. 已知：如图，AB =AC ，BD =CD ，AD 与BC 相交于点O ．求证：AD ⊥BC ．A6. 已知：如图，在Rt △ABE 和Rt △ACF 中，∠E =∠F =90°，BE =CF ．BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠EAC =∠FAB ．求证：AM =AN ．NFCBM EDA7. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点D 是BC 的中点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ．试猜想AB 和AC 的数量关系，并证明你的猜想．A【参考答案】➢课前预习1.同位角；内错角；同旁内角；直角三角形两锐角互余；同角或等角的余角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2. 证明：如图，在△BOD 和△AOC 中，BO AOBOD AOCDO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△BOD ≌△AOC （SAS ）∴∠B =∠A （全等三角形对应角相等）在△BOF 和△AOE 中，B A BO AOBOF AOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（对顶角相等） ∴△BOF ≌△AOE （ASA ） ➢ 精讲精练 1. 证明：如图，①∵∠ACM =∠BCN =60° ∴∠MCN =60° ∴∠ACN =∠MCB =120° 在△CAN 和△CMB 中，AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△CAN ≌△CMB （SAS ） ②∵△CAN ≌△CMB∴∠ANC =∠MBC （全等三角形对应角相等） ∵∠ECN =60°；∠FCB =60° ∴∠ECN =∠FCB 在△CEN 和△CFB 中，ECN FCB CN CB ENC FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（已证） ∴△CEN ≌△CFB （ASA ） 2. 证明：如图，①∵∠D =∠ABC =90° ∴∠ABG =90° ∴∠D =∠ABG在△ADE 和△ABG 中，AD AB D ABG DE BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ADE ≌△ABG （SAS ） ②∵△ADE ≌△ABG （已证） ∴AE =AG （全等三角形对应边相等） ∠EAD =∠GAB （全等三角形对应角相等） ∵∠EAF =45°；∠BAD =90° ∴∠BAF +∠EAD =45° ∴∠BAF +∠GAB =45° 即∠GAF =∠45° ∴∠GAF =∠EAF 在△AFE 和△AFG 中，AE AGEAF GAFAF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△AFE ≌△AFG （SAS ）∴EF =GF （全等三角形对应边相等） ∵GF =BG +BF ∴EF =DE +BF 3. 证明：如图，在△AEB 和△DEC 中，A D AEB DECBE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△AEB ≌△DEC （AAS ）∴AB =DC （全等三角形对应边相等）在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，BC CBAB DC =⎧⎨=⎩（公共边）（已证） ∴△ABC ≌△DCB （HL ） 4. 证明：如图，∵AE =CF ∴AE+EF =CF+EF 即AF =CE∵DE ⊥AC ；BF ⊥AC∴∠AFB =∠CED =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CDAF CE =⎧⎨=⎩（已知）（已证） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） ∴BF =DE （全等三角形对应边相等）在△DEG 和△BFG 中，DEG BFG EGD FGBDE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（对顶角相等）（已证） ∴△DEG ≌△BFG （AAS ） 5. 证明：如图，在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CDAD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAD =∠CAD （全等三角形对应角相等）在△BAO 和△CAO 中，AB AC BAO CAOAO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△BAO ≌△CAO （SAS ）∴∠AOB =∠AOC （全等三角形对应角相等） ∵∠AOB +∠AOC =180° ∴∠AOB =90° ∴AD ⊥BC 6. 证明：如图，∵∠EAC =∠FAB∴∠EAC +∠BAC =∠FAB +∠BAC 即∠BAE =∠CAF 在△ABE 和△ACF 中，BAE CAF E FBE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已知）（已知） ∴△ABE ≌△ACF （AAS ）∴AE =AF （全等三角形对应边相等）在△AEM 和△AFN 中；E FAE AFEAM FAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已证）（已知） ∴△AEM ≌△AFN （ASA ）∴AM = AN （全等三角形对应边相等） 7. AB =AC ，理由如下：证明：如图， ∵DF ⊥AB ；DE ⊥AC∴∠AFD =∠AED =∠BFD =∠CED =90° ∵AD 平分∠BAC ∴∠FAD =∠EAD 在△AFD 和△AED 中；AFD AED FAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△AFD ≌△AED （AAS ）∴DF =DE ，AF =AE （全等三角形对应边相等） ∵点D 是BC 的中点 ∴BD =CD在Rt △BFD 和Rt △CED 中BD CDDF DE =⎧⎨=⎩（已证）（已证） ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ） ∴BF =CE （全等三角形对应边相等） ∴AF +BF =AE +CE 即AB =AC。

北师版七升八数学暑假衔接班补课讲义

整数(正整数、零、负整数)
有理数
有限小数或无限循环小数
分数(正分数、负分数)
实数(小数)
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
5．实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
6．实数和数轴上点的对应关系: 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都
表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的关系.
二．解答题
1．已知 9 y2 16 0 ，且 y 是负数，求 3y+5 的算术平方根。
2.若实数 a、b、c 满足 a 3 (5 b)2 c 7 0 ，求代数式 a 的值。 bc
优生堂培训机构家庭作业（一）
4
.. 1
31 1、在实数 -2，0. ，，，0.80108 中，无理数的个数为（
7. 开平方: ①求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫被开方数。 ②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算。 ③平方与开平方互为逆运算.
8. (1) ( a )2＝a，(a≥0) (2)
a.........(a 0) a2 a 0.........(a 0)
7．实数的几个概念：（1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.
二、【例题精讲】
例 1：将下列各数填在相应括号内：
，
2
， 3.14，
0.21 ， 3 27， 1 2 ，
3 33 3，
3
有理数集合{
}；
整数集合 {
}；
正数集合 {
}；
例 2：判断正误（1）有理数包括整数、分数和零（2）无理数都是开方开不尽的数（3）不带根号的数都是有理数

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第十讲：专题二：全等三角形题型训练；
【知识要点】
1．求证三角形全等的方法（判定定理）：①SAS ；②ASA ；③AAS ；④SSS ；⑤HL ；
需要三个边角关系；其中至少有一个是边；
2．“SAS ”、“SSS ”、“ASA ”、“AAS ”、“HL ”五种基本方法的综合运用.
【例题精讲】
例 1.判断下列命题： 1．（1）全等三角形的对应边、对应角、对应边上的中线、角平分线、高线分别相等（
）（2）全等三角形的周长、面积分别相等. （
）
2．（1）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
（）（2）两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等. （）（3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
（）（4）两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等. （）（5）三边对应相等的两个三角形全等. （）（6）三个角对应相等的两个三角形全等.
（）（7）两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. （）（8）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. （）（9）两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等.
（）（10）两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等. （）（11）两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等. （）（12）两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等. （）（13）一个角对应相等的两个等边三角形全等. （）（14）一条边对应相等的两个等边三角形全等. （）（15）腰对应相等的两个等腰三角形全等. （）（16）底边对应相等的两个等腰三角形全等.
（
）
例 2.如图 △1，方格中有 ABC 和，且它们可以仅通过平移完全重合，我们称△ABC 和为“同
一方位”全等三角形.
（1）如图 △2，方格中有一个 ABC ，请你在方格内，画出一个与△ABC 不是“同一方位”
的全等三角形△DEF ，并且满足条件：DE=AB ，∠A=∠D ，AC=DF ；
（△2）你能够画出多少种不同的 DEF ？（“同一方位”全等三角形算为一种）
．．．．．
例 3.两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等.
如图，在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AD 、A 1D 1 分别为△ABC 和△A 1B 1C 1 的中线，
AD=A 1D △1
，求证： ABC ≌ △A 1B 1C 1.
例 4.两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等.
两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等.
如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1 中，∠ABC=∠A 1B 1C 1，∠ACB=∠A 1C 1B 1，AD 、A 1D 1 分别为△ABC
和△A 1B 1C 1 的角平分线，AD=A 1D △1
，求证： ABC ≌△A 1B 1C 1.
例 5.两边及其第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等.
如图，在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，AB=A 1B 1，AC=A 1C 1，AD 、A 1D 1 分别为△ABC 和 △A 1B 1C 1 的高
线，AD=A 1D △1
，求证： ABC ≌△A 1B 1C 1.
．．．．．
例 6.两边及其一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等.
如图，在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AD 、A 1D 1 分别为△ABC 和 △A 1B 1C 1 的高
线，AD=A 1D △1
，求证： ABC ≌△A 1B 1C 1.
例 7.两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.
如图，在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，AB=A 1B 1，AC=A 1C 1，AD 、A 1D 1 分别为△ABC 和△A 1B 1C 1 的中线，
AD=A 1D △1
，求证： ABC ≌ △A 1B 1C 1.
练习:1.如图，BD 、CE 为△ABC 的两条高线，在 BD 上取一点 F ，使 BF=AC ，在 CE 的延长线上
取一点 G ，使 CG=AB ，求证：(1)AG=AF ；（2）AG ⊥AF.
2.如图，已知 A 点的坐标为（4，4），将直角的顶点放在点 A ，两直角边分别交两坐标轴的
正半轴于 P 、Q 两点.. （1）求证：AP=AQ ；
（2）当直角绕 A 点旋转时（始终保持 P 、Q 两点在两坐标轴的正半轴），求 OP+OQ 的值；
．．
（3）如图，继续旋转这个直角，使得点 P 在 y 轴负半轴，点 Q 在 x 轴正半轴，
求 OQ-OP 的值.
【课后作业】 1．如图，△R t ABC ≌Rt △DEF ，则∠E 的度数为( ).
(A)30° (B)45° (C)60°
(D)90°
2．如图，OA=OB ，OC=OD ，∠1=∠2，则图中的全等三角形有( ).
（A ）5 对（B ）4 对（C ）3 对（D ）2 对 3．已知：如图，∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE ；②BC=ED ；
③∠C=∠D ；④∠B=∠△E ，其中能使 ABC ≌△AED 的条件有( ). (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 4．如图，已知 MB=ND ，∠MBA=∠NDC ，下列条件中不能判定
△ABM ≌△CDN 的是（）．
(A)∠M=∠N (B)AB=CD (C)AM=CN (D)AM ∥CN
6．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，垂足分别为 B ，C ，AB=BC ，E 为 BC 的
中点，且 AE ⊥BD ，垂足为点 F ，若 CD=4 ㎝，则 AB=( ). (A)8 ㎝ (B)6 ㎝ (C)4 ㎝ (D)2 ㎝ 5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则利用三
角形全等能说明的依据是( ). （A ）SSS （B ）SAS （C ）ASA
（D ）AAS
7．如图，D 、E 是△ABC 的边 AC 、BC 上的点，△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，下列结论：①AD=ED ；
②BC=2AB ；③∠1=∠2=∠3；④∠4=∠5=∠6．其中正确的有（）. (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个
二、填一填
8．如图，，则需要补充条件：
（写出一个即可），才能使
．
9．如图，一块三角形玻璃裂成甲、乙、丙三块，要去玻璃店配一块同样形状和大小的玻璃，可只带三块碎片中的块，所配的三角形玻璃与原来一样的几何原理是. 10．如图，在ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④BD=CE，
△
请以其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题是，（用序号的形式写出.）
11．如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C两点与点E在同一直线上，那么测得A、B 的距离为___________米.
三、解答题
12．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，请说明理由.
13．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，AD⊥BC于点D，E为AC边的中点，连接BE 交AD于点F，过点E作BE的第一线交BC于点G，求证：AF=CG.。