《数列的综合应用》
第五节 数列的综合应用 课件(共24张PPT)
所以数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝log4[f（a1）·
f（a2）·…·f（an）]＝log4（2×22×…×2n）＝ log421＋2＋…＋n＝12×（1＋2＋…＋n）＝n（n4＋1）.
答案：n（n4＋1）
得2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n＋4成等差数
列，则数列{an}的前n项和Sn＝
.
解析：（1）因为F（x）＝f x＋12－1是R上的奇函数， 所以F（－x）＝－F（x）， 故f 12－x＋f 12＋x＝2（x∈R），（*） 令x＝0，得f 12＝1. 令t＝12－x，则12＋x＝1－t（t∈R）， （*）式可化为f（t）＋f（1－t）＝2（t∈R）.
因此{an}的通项公式为an＝3n－2 1.
（2）由（1）知a1n＝3n－2 1. 因为当n≥2时，3n－1≥2×3n－1， 所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是a11＋a12＋…＋a1n≤1＋13＋…＋3n1－1＝321－31n<32. 所以a11＋a12＋…＋a1n<32.
考点2 数列与函数的综合应用
[例2] （1）已知F（x）＝f x＋12 －1是R上的奇函
数，an＝f（0）＋f n1＋f n2＋…＋f n－n 1＋f（1）（n∈
N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A.an＝n－1
B.an＝n
C.an＝n＋1
D.an＝n2
（2）已知函数f（x）＝log2 x，若数列{an}的各项使
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和
a8是函数f（x）＝
15 4
ln
x＋
数列的综合应用
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题 讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴பைடு நூலகம்n＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训 练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲 解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专 题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
训
练
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专 题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。
二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。
2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。
3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。
4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。
5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。
2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。
2. 第二课时：等比数列的应用举例。
3. 第三课时：数列的求和公式及应用。
4. 第四课时：数列的通项公式的应用。
5. 第五课时：数列在函数中的应用。
6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。
六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。
2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。
七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。
2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。
3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。
数列的综合应用
数列的综合应用1、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥。
⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
（2）形如11n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
2、数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式； ②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.； ③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+L222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332n(n+1)1+2+3++n =[]2L .（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性 ，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ； ⑤2122(1)2(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-.（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
数列的综合应用
数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。
一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。
数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。
1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。
1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。
首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。
因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。
2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。
首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。
因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。
数列的综合应用总结
数列的综合应用总结数列作为数学中常见的一种数学对象，在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将对数列的综合应用进行总结和分析，包括数列的定义、数列求和的方法以及数列在实际问题中的应用等方面。
一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
一般用an表示数列中的第n个数，其中n为正整数，称为项号。
数列的通项公式表示了数列中任意一项与项号之间的关系。
二、数列求和的方法1.等差数列求和等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列求和公式来计算，即Sn =(a1 + an) * n / 2。
2.等比数列求和等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列的前n项和Sn可以通过等比数列求和公式来计算，即Sn =(a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，当|q| < 1时成立。
3.其他数列求和方法除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列，它们的求和方法也各不相同。
比如斐波那契数列、调和数列等，它们的求和方法需要根据具体的问题和数列的规律来确定。
三、数列在实际问题中的应用数列的应用广泛存在于实际问题的建模和解决过程中。
下面以几个具体的应用场景来说明数列在实际问题中的应用。
1.金融领域在金融领域中，利率、投资回报率等与时间相关的指标可以使用数列进行建模。
比如等额本息还款方式下，每期的还款金额就可以通过等差数列求和来计算。
2.物理学领域在物理学中，许多物理现象的变化过程可以用数列进行描述。
比如自由落体运动的位移、速度、加速度等物理量随时间的变化可以用等差数列或等比数列来表示和推导。
3.计算机科学领域在算法设计和数据处理中，数列也有着重要的应用。
比如在排序算法中，快速排序、归并排序等算法利用了数列的递推和分治思想来实现高效的排序。
四、总结数列作为一种常见的数学对象，具有广泛的应用价值。
数列的综合应用
高中数学：数列的综合应用1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( A )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：解法一(排除法)：记S N 为数列的前N 项和，由题意得，数列的前110项为20,20,21,20,21，…，20,21，…，213,20,21,22,23,24，所以S 110＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋213)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(214－1)＋(25－1)＝(21＋22＋…＋214)－14＋31＝215＋15，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项D 不正确．同理，S 220＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋219)＋(20＋21＋22＋23＋…＋29)＝221＋210－23，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项C 不正确．同理，S 330＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋224)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝226＋4，不是2的整数幂，故选项B 不正确，所以正确的选项为A ．解法二：不妨设1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＋(1＋2＋…＋2t )＝2m (其中m 、n 、t ∈N,0≤t ≤n )，则有N ＝n (n ＋1)2＋t ＋1，因为N ＞100，所以n ≥13.由等比数列的前n 项和公式可得2n ＋1－n －2＋2t ＋1－1＝2m . 因为n ≥13，所以2n ＞n ＋2，所以2n ＋1＞2n ＋n ＋2，即2n ＋1－n －2＞2n ，因为2t ＋1－1＞0，所以2m ＞2n ＋1－n －2＞2n ，故m ≥n ＋1，因为2t ＋1－1≤2n ＋1－1，所以2m ≤2n ＋2－n －3，故m ≤n ＋1.所以m ＝n ＋1，从而有n ＝2t ＋1－3，因为n ≥13，所以t ≥3.当t ＝3时，N ＝95，不合题意；当t ＝4时，N ＝440，满足题意，故所求N 的最小值为440.2．(2017·山东卷)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知知q ＞0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2. 所以3q 2－5q －2＝0.因为q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1.因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，① 2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.。
第五章 第五节 数列的综合应用
一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站(包括起点站A 和终点站B)，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮
袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，
设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列 {ak}(k＝1,2,3，„，n)． 试求：(1)a1，a2，a3. (2)邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋多少个？
解：(1)由题意得 a1＝n－1，a2＝(n－1)＋(n－2)－1＝2n－4， a3＝(n－1)＋(n－2)＋(n－3)－1－2＝3n－9. (2)在第 k 站出发时，放上的邮袋共(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－ k)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共 1＋2＋3＋„＋(k－ 1)个， ak＝(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－k)－[1＋2＋…＋(k－1)] 故 1 1 ＝kn－ k(k＋1)－ k(k－1)＝kn－k2(k＝1,2，„，n)， 2 2 即邮政车从第 k 站出发时，车内共有邮袋个数为 kn－k2(k＝ 1,2，„，n)．
(2)由(1)知an＝2n 1，∴Sn＝2n－1， 2an＋1 2n＋1 2 ∴ S ＝ n ＝1＋ n . 2 －1 2 －1 n 2 ∵n≥1，∴2 －1≥1，∴1＋ n ≤3， 2 －1
n
－
2an＋1 ∴当n＝1时， S 的最大值为3. n
[归纳领悟]
1．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的 重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和 公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点． 2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时 对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好 性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件
[究 疑 点] 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期
6.5数列的综合应用
6.5 数列的综合应用编制人:高三数学组 负责人:__________________【使用说明】:1.课前认真研读课本,完成自主研读学习单设计的问题..2.课堂内限时完成合作探究学习单,书写规范.3.找出疑问和不能独立解决的问题,通过合作探究,教师指导等方式解决.4.课后认真完成反馈巩固学习单.【考纲要求】1、通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．※自主研读学习单※知识体系1．数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论．2．数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n .(2)分期付款中的有关规定①在分期付款中，每月的利息均按复利计算；②在分期付款中规定每期所付款额相同；③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．基础自测1．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( )A ．12B ．18C ．22D ．442．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于 ( ) A.23 B.32 C ．－16 D ．－563．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( )A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝12(3n －1)B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝12(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝12(3n －1)－2nD ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝12(3n －1)－2n 4．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是 ( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟5．已知数列{a n }的通项为a n ＝n n 2＋58，则数列{a n }的最大项为 ( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第7项或第8项 D ．不存在6．设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n 2n ＋1，则log b 5a 5＝________.※合作探究学习单※ 探究一 等差、等比数列的综合问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .变式迁移1 假设a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足0<a 1<2，a 3＝4.若b n ＝2a n (n ＝1,2,3,4)．给出以下命题：①数列{b n }是等比数列；②b 2>4；③b 4>32；④b 2b 4＝256.其中正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4探究二 数列与方程、函数、不等式的综合问题例2 已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；(3)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .变式迁移2 已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．探究三 数列在实际问题中的应用例3 有一个下岗职工，1月份向银行贷款10 000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？变式迁移3 假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)高考真题1、已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8的值为 ( )A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋2 2 D ．3－2 22、数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( ) A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.4．已知点(1，13)是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？※ 巩固提升学习单※1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝an bn ＋1，其中a ，b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是________． 2．从盛满10 L 纯酒精的容器里倒出1 L ，然后用水填满，再倒出1 L 混合溶液， 再用水填满，这样继续下去，一共倒出了5次，这时容器里还有纯酒精________ L.3．若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1·b 2的取值范围是________． 4．已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 为正实数，a n ＋1＝a n －1a n(n ∈N *)，若a 3>0，则a 的取值范围是________．5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝________.6．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．7． 设数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，若a 1＝1，a 2＝－2，则该数列前6项和为________．8． 已知数列{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 8，则一定有________(填序号)．①a 3＋a 9≤b 9＋b 7； ②a 3＋a 9≥b 9＋b 7；③a 3＋a 9>b 9＋b 7； ④a 3＋a 9<b 9＋b 7.9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于________．10． 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ＝________.11．通项公式为a n ＝an 2＋n 的数列{a n }，若满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是________．12．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n 2，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．13．已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，b n ＝1＋a n a n. (1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值．14．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b 人，以后学生人数年增长率为4.9‟.该校今年年初有旧实验设备a 套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x 套的旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：。
数列综合应用教案
数列综合应用教案【篇一：《数列的综合应用》教案】个性化教案授课时间年级高三备课时间学生姓名教师姓名课题数列的进一步认识教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。
教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题一、检查并点评学生的作业。
检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。
二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。
三、讲授新内容数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：n∑k=n(n+1)k=12n∑k2=16n(n+1)(2n+1)k=1nk3=14n2(n+1)2k=12、倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。
等差数列的前n项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-（4+8+16+??+2n）-n*2n+1 即：sn=（n-1）2n+1-64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
15数列的综合应用
第十五讲 数列的综合应用【基础知识】一、数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：二、数列应用题常见模型1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是n a 与1+n a 的递推关系，还是前n 项和n S 与1+n S 之间的递推关系． 【究 疑 点】银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？考点一 等差数列与等比数列的综合问题1.数列}{n a 中，,311=a 前n 项和n S 满足)(31*11N n S S n n n ∈⎪⎭⎫⎝⎛=-++（1）求数列}{n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若)(3,)(,32211S S S S t S ++成等差数列，求实数t 的值.2.等比数列}{n a 中，,)(0*N n a n ∈>公比,)1,0(∈q 且++53512a a a a 382,25a a a =与5a 的等比中项为2. (1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)设,log 2n n a b =数列}{n b 的前n 项和n S ，当nS S S n +++ 2121最大时，求n 的值.考点二 等差数列与等比数列的实际应用1.从2005年1月2日起，每年1月2日到银行存入1万元定期储蓄，若年利率为,p 且保持不变，并约定每年到期存款的本利均转为新一年的定期存款，到2011年1月2日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为多少万元？2.某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材的存量． (1)求a n 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果b ＝19a72，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(参考数据：lg2＝0.3)【归纳领悟】实际生活中的人口增长问题，银行利率问题，分期付款等问题，往往都和数列有关，解题时要充分挖掘题中所给条件，建立适当的数列模型求解.考点三 数列与函数、解析几何、不等式等知识的综合应用1．已知函数f (x )＝a ·b x 的图象过点A (2，12)，B (3,1)，若记a n ＝log 2f (n )(n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 的最小值是________．2．已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n )，n ∈N *，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；(3)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0002对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .3．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，证明：S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1.4．在直角坐标平面内，有一点列P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)，…，P n (a n ，b n )，…，对于每一个自然数n ，点P 1，P 2，…，P n ，…都在曲线y ＝x 2上，且点P n 与A n (n,0)，B n (n ＋1,0)构成以P n 为顶点的等腰三角形．(1)求P 1，P 2，…，P n ，…各点的纵坐标构成的数列{b n }的通项公式； (2)设c n ＝12b n －a n ＋n，求c 1＋c 2＋…＋c n .5.设P 1，P 2，…，P n ，…顺次为函数y ＝1x (x ＞0)图象上的点(如图)，Q 1，Q 2，…， Q n ，…顺次为x 轴上的点，且△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n －1P n Q n ，…均为等腰直角三角形(其中P n 为直角顶点)．设Q n 的坐标为(x n,0)(n ∈N *)，则数列{x n }的通项公式为________．【归纳领悟】数列与解析几何，不等式，函数的综合题要注意用几何法或函数解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题.考点四 图表中的数列问题1．给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列 41 成等差数列，从第三行起每一行的数成等比 21 41 数列，且每一行的公比相等，记第i 行，第j43 83 163 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则第1列的公差等于________，a 83等于________．2．某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规律排列，且从左至右以及从上到下都是无限的.此表中，主对角线上数列1,2,5,10,17，…的通项公式为________；编码100共出现________次．3.已知64个正数排成如图所示的 11a 12a 13a 18a 8行8列，在符号a ij (1≤i ≤8,1≤ 21a 22a 23a 28a j ≤8，i ，j ∈N *)中，i 表示该数 所在行数，j 表示该数所在列数， 81a 82a 83a 88a 已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比都 等于q ，若a 11＝12，a 24＝1，a 32＝14，(1)求{a ij }的通项公式；(2)记第k 行各项和为A k ，求A 1的值及数列{A k }的通项公式； (3)若A k ＜1，求k 的值．5.将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{b n}，b1＝a1＝1.S n为数列{b n}的前n项和，且满足2b nb n S n－S2n＝1(n≥2)．(1)证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n}的通项公式．(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝－491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．【归纳领悟】图表中的数列问题关键是要认清图表的构造特点，从中找出规律，进而归结为数列模型．《数列的综合应用》课后作业一、填空题1．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于________．2．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是________．3．某种细胞，开始时有2个.1小时后，分裂成4个，并死亡1个.2小时后，分裂成6个，并死亡1个.3小时后，分裂成10个，并死亡一个．…，按此规律，6小时后，存活细胞的个数是________．4.将全体正整数排成一个三角形数阵按如图所示的排列规律，第n行(n≥3)从左到右的第3个数为________．12 345 678910……………………5．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是________．6．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________；f(n)＝________(答案用n表示)．7．某拖拉机制造厂原计划今年第一季度的产量逐月增加相同的台数，由于职工发挥了生产积极性，二月份比原计划多生产10台拖拉机，三月份比原计划多生产25台，这样，三个月的产量成等比数列，而第三个月的产量比原计划第一季度的产量的一半少10台，则这个厂第一季度生产了______台． 8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出__________万元资金进行奖励．9．过圆x 2＋y 2＝5内一点P (52，32)有n 条弦，这n 条弦的长度成等差数列{a n }，如果过P 点的圆的最短的弦长为a 1，最长的弦长为a n ，且公差d ∈(16，13)，那么n 的取值集合为________． 二、解答题10.已知曲线C ：y ＝1x ，C n ：y ＝1x ＋2－n (n ∈N *)．从C 上的点Q n (x n ，y n )作x 轴的垂线，交C n 于点P n ，再从点P n 作y 轴的垂线，交C 于点Q n ＋1(x n ＋1，y n ＋1)．设x 1＝1，a n ＝x n ＋1－x n ，b n ＝y n －y n ＋1(如图所示)． (1)求Q 1、Q 2的坐标； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)记数列{a n ·b n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＜13.11．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 1≤n ≤25，125n ， 26≤n ≤60(单位：万元，n ∈N *)，记第n 天的利润率b n ＝第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 338＋a 1＋a 2.(1)求b 1，b 2的值； (2)求第n 天的利润率b n ；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．《数列的综合应用》课后作业：答案1．2 2．1 3．65 4.n 2－n ＋62 5．15秒钟6．10n (n ＋1)(n ＋2)67．305 8．2 046 9．{5,6,7}10.解：(1)由题意知Q 1(1,1)，P 1(1，23)，Q 2(32，23)．(2)∵Q n (x n ，y n )，Q n ＋1(x n ＋1，y n ＋1)，∴点P n 的坐标为(x n ，y n ＋1)． ∵Q n ，Q n ＋1在曲线C 上，∴y n ＝1x n ，y n ＋1＝1x n ＋1又∵P n 在曲线C n 上，∴y n ＋1＝1x n ＋2－n .∴x n ＋1＝x n ＋2－n ，∴a n ＝2－n .(3)x n ＝(x n －x n －1)＋(x n －1－x n －2)＋…＋(x 2－x 1)＋x 1＝2－(n －1)＋2－(n －2)＋…＋2－1＋1＝1·1－(12)n 1－12＝2－21－n.∴a n ·b n ＝(x n ＋1－x n )·(y n －y n ＋1)＝2－n (1x n －1x n ＋1)＝12n (12－21－n －12－2－n )＝1(2·2n －2)·(2·2n －1). ∵2·2n －2≥2n,2·2n －1≥3，∴a n ·b n ≤13·2n ，∴S n ＝a 1·b 1＋a 2·b 2＋…＋a n ·b n≤13·2＋13·22＋…＋13·2n ＝16·1－(12)n 1－12＝13(1－12n )＜13.11．解：(1)当n ＝1时，b 1＝138；当n ＝2时，b 2＝139.(2)当1≤n ≤25时，a 1＝a 2＝…＝a n －1＝a n ＝1.∴b n ＝a n38＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝138＋n －1＝137＋n.当26≤n ≤60时，b n ＝a n38＋a 1＋…＋a 25＋a 26＋…＋a n －1＝n 2563＋(n －26)(n ＋25)50＝2n n 2－n ＋2 500， ∴第n 天的利润率b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 137＋n， 1≤n ≤25，2n n 2－n ＋2 500， 26≤n ≤60.(n ∈N *)(3)当1≤n ≤25时，b n ＝137＋n是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝138； 当26≤n ≤60时， b n ＝2n n 2－n ＋2 500＝2n ＋2 500n－1≤22 2 500－1 ＝299⎝⎛⎭⎫当且仅当n ＝2 500n ，即n ＝50时，“＝”成立. 又∵138>299，∴n ＝1时，(b n )max ＝138. ∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为138.。
§6.5数列的综合应用 共94页
创新预测3数列{an}的通项是关于x的不等式x2－x＜nx
(nN*)的解集中整数的个数，f (n)＝ 1 ＋ 1 ＋ an 1 an 2
＋ an
1
n
.是否存在实数a使不等式f
(n)＞ 1 12
loga
(a－1)
＋2 对一切大于1的自然数n恒成立？若存在，试确定 3
a的取值范围；否则，说明理由．
1 r n 1 a.
第8页
,考 点 自 测 kao dian zi ce,课前热身·基础备考
第9页
1．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成 等比数列，则这个等比数列的公比是( )
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D .1 2
第34页
(3)Tn＝3×21＋5×22＋…＋(2n＋1)·2n＋0，③ 又2Tn＝0＋3×22＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)2n＋1，④ ④－③得 Tn＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n)＋(2n＋1)·2n＋1 ＝－6＋8－2×2n＋1＋(2n＋1)·2n＋1 ＝(2n－1)2n＋1＋2， ∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2.
S n 2n 2 , an S n S n1 4n－2(n＞1)，
n＝1时
a1＝
2
适
合
上
式
，
a
＝
n
4
n－
2
(
n
N
*
)．
第37页
(2)由(1)得an＝4n－2＝20＋2logabn，∴bn＝a2n－11. 结合指数函数的性质， ①当0＜a＜1时，由a2n－11＞1，得n＜5.5， 显然不存在满足条件的自然数m； ②当a＞1时，由a2n－11＞1，得n＞5.5， ∴存在m＝6,7,8，…，使当n＞m时bn＞1成立， ∴m的最小值是6.
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第六章 ·专题研究二
专 题
(2)证
明
：法一
：由
(1)知
，
a8＝
a2×
q6＝
1 4a2，
讲 解
a＝ 5
a× 2
q3＝－12a2，
a8－
a2＝
a5－
a8，
专
所以a2，a8，a5成等差数列．
题 训
法二：由(1)知，a2＋a5－2a8＝ a2×(1＋ q3－2q6)
讲
列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列子化简变形．
专 题
思考题2
已
知函数
f(x)＝
ax的图
象过点
(1，
1 2
)，
且
点
(n－1，
an n2
)(n∈
N*)在
训
练
函数f(x)＝ax的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
1 (2)令 bn＝ an＋ 1－2an， 若数列 {bn}的 前 n项 和为 Sn，求 证： Sn<5.
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第六章 ·专题研究二
专 题 讲 解
专
题 训
专题研究二 数列的综合应用
练
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第六章 ·专题研究二
专
专题讲解
题
讲
题型一 等差、等比数列的综合应用
解
例1 已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数
专
列．
题 (1)求q3； 训
练 (2)求证：a2，a8，a5成等差数列．
.
第六章 ·专题研究二
专 题
题型二 数列与函数的综合应用
讲
解
例2 已知函数f(x)对任意实数p， q都满足：f(p＋q)
专
＝f(p)· f(q)，且 f(1)＝13.
题
训
(1)当 n∈ N*时，求f(n)的表达式；
练
(2)设 an＝ nf(n)(n∈N*)， Sn是数列{an}的前n项的和，
3 求证：Sn<4；
练
1
1
＝a2(1－2－2×4)＝ 0，所以a2， a8，a5成等差数列．
探究1 等差、等比数列的基本计算问题，要搞清基
本量之间的关系， 熟练掌握基本公式与性质，正确
给出计算结果．
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第六章 ·专题研究二
专 题
思考题1 (2010·全国卷Ⅰ，文)记等差数列{an}的前
讲 n项和为Sn.设S3＝ 12，且2a1， a2，a3＋1成等比数列，求Sn. 解
∴ Sn＝ 34－34(31)n－ n2(13)n.
∵
n∈
N*，∴
3 Sn<4.
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第六章 ·专题研究二
专 题 讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴Tn＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
)2＋ 2×(
1 3
)3＋ 3×(
1 3
)4＋ … ＋ (n－ 1)(
1 3
)n＋
题
讲 解
n(13)n＋ 1，②
①－②得：
专
题 训
21 3Sn＝3＋
(13)2＋
(13)3＋
…
＋
(13)n－
n(13)n＋
1
练
13[1－ ＝
(13)n] 1－
n(13)n＋
1＝12[1－
(13)n]－
n(13)n＋
1，
1－3
训
练
35
2n＋ 1
Sn＝2＋22＋…＋ 2n ，
1 35
2n－ 1 2n＋ 1
则2Sn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋ 1 ，
13
11
1 2n＋ 1
两式相减得：2Sn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－ 2n＋ 1 ，
2n＋ 5 ∴Sn＝ 5－ 2n ，∴ Sn<5.
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第六章 ·专题研究二
11
训 练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈
N*，∴T11＋T12＋
1 T3＋…
1 ＋Tn<6.
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第六章 ·专题研究二
探究2 数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决 专
题
数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数
nf n＋ 1 (3)设 bn＝ f n
(n∈ N*)，数列{bn}的前n项和为
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
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第六章 ·专题研究二
专 题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
【解析】 设数列{an}的公差为d.依题设有
专
题
2a1(a3＋ 1)＝a22，
训 练
a1＋ a2＋ a3＝12，
a21＋2a1d－ d2＋2a1＝0， 即a1＋ d＝ 4.
解得a1＝1，d＝ 3，或a1＝8， d＝－4.
1 因此Sn＝2n(3n－ 1)，或 Sn＝2n(5－ n)．
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题
1－ q
1－ q
1－ q
讲 解
整理，得q3＋q6＝ 2q9，由q≠ 0且q≠1，得q3＝－12.
专
法二：由S3，S9， S6成等差数列，得S9－S3＝S6－ S9.
题
训
∴a4＋ a5＋a6＋a7＋ a8＋a9＝－(a7＋a8＋a9)，
练
移项得a4＋a5＋ a6＋2(a7＋a8＋ a9)＝0，
∴(a4＋ a5＋a6)(1＋ 2q3)＝0. ∵a4＋ a5＋a6＝a4(1＋ q＋q2)≠0，
【解】 (1)∵函数f(x)＝ax的图象过点(1，21)，
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
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第六章 ·专题研究二
专 题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲 解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专 题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
【解析】 (1)法一：由S3，S9，S6成等差数列，
得S3＋S6＝2S9，
若q＝1，则S3＋S6＝9a1,2S9＝18a1，
由a1≠0，得S3＋S6≠2S9，与题意不符，∴q≠1.
由S3＋S6＝2S9，
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第六章 ·专题研究二
专
得a1(1－
q3) ＋
a1(1－
q6)＝2a1(1－
q9) .
专 题型三 数列与导数、解析几何的综合应用
题 讲 例3 (2011·皖南八校)设曲线y＝x2＋x＋2－lnx在x＝1处的切线为l，数列
专 题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
训
练
(2)由 (1)知，an＝n(13)n，
则
Sn＝
1×
1 3
＋
2×
(
1 3
)2＋
3×
(
1 3
)3＋
…
＋
(n－
1)(
1 3
)n－
1＋
n(13)n，①
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第六章 ·专题研究二
专
1 3
Sn＝ 1× (
1 3