北京丰台区第二中学数学 二次函数(篇)(Word版 含解析)
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北京丰台区第二中学数学 二次函数（篇）（Word 版 含解析）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．已知函数2266()
22()
x ax a x a y x ax a x a ⎧-+>=⎨-++≤⎩（a 为常数，此函数的图象为G ）
（1）当a ＝1时，
①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标
（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围
【答案】（1）①2266(1)
22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩
，②(1,1),(31),(31)--+--；（2）
0a <或
2635a <<；（3）1a -<，1
153a <<，113a <<-【解析】 【分析】
（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；
②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；
（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；
（3）先求出2
66y x ax a =-+的对称轴为直线6321
a
x a -=-
=⨯，顶点坐标为(
)
23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()
221a
x a =-
=⨯-，顶点坐标为()2
,2a a
a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解
即可． 【详解】
（1）①1a =时，2266(1)
22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩
②当1x >时，
2661x x -+=-
2670x x -+=
1233x x ==当1x ≤时，
2221x x -++=-
2230x x --=
121,3x x =-=（舍）
∴坐标为(1,1),(31),(31)---- （2）当0a <时
266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线
6321
a
x a -=-
=⨯，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点） 当0a ≥时，
266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点
顶点坐标为(
)
2
3,96a a a -+
当x a =时，2
56y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点
将①的两边同时除以a ，解得65a <； 将②的两边同时除以a ，解得23
a > ∴
2635
a << 即当
26
35
a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点， 综上，0a <或26
35
a <<
（3）2
66y x ax a =-+的对称轴为直线6321a
x a -=-
=⨯，顶点坐标为()
23,96a a a -+ 222y x ax a =-++的对称轴为直线
()
221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()
2,2a a a + ①当a ＜0时，
()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +
由()2
10a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1
而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x
＞3a ，y ＞225666a a a a a a ⋅+=-+-
当22
21561
a a a a ⎧+<⎨-+<-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点
解得：315
a --<
；
当
2
2
21
561
a a
a a
⎧+>
⎨
-+>-
⎩
时，()
222
y x ax a x a
=-++≤与x轴有两个交点，()
266
y x ax a x a
=-+>与x轴有一个交点
解得：1a
-+<<，与前提条件a＜0不符，故舍去；
②当a≥0时，
()
222
y x ax a x a
=-++≤中，当x=a时，y的最大值为22
a a
+，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x轴的距离为1
而()
266
y x ax a x a
=-+>，此时当x=3a时，y的最小值为2
96
a a
-+，由
()2
310
a
--≤可得2
961
a a
-+≤，即此图象必有一个点到x轴的距离为1
当
2
2
2
2
21
561
961
961
a a
a a
a a
a a
⎧+<
⎪
-+>
⎪
⎨
-+>-
⎪
⎪-+≠
⎩
时，()
222
y x ax a x a
=-++≤与x轴只有一个交点，
()
266
y x ax a x a
=-+>与x轴有两个交点
解得：
1
1
5
a
<<-+且1
3
a≠；
当
2
2
2
2
21
561
961
961
a a
a a
a a
a a
⎧+<
⎪
-+<
⎪
⎨
-+<-
⎪
⎪-+≠
⎩
时，()
222
y x ax a x a
=-++≤与x轴只有一个交点，
()
266
y x ax a x a
=-+>与x轴有两个交点
此不等式无解，故舍去；
当
2
2
2
2
21
561
961
961
a a
a a
a a
a a
⎧+>
⎪
-+<
⎪
⎨
-+>-
⎪
⎪-+≠
⎩
时，()
222
y x ax a x a
=-++≤与x轴有两个交点，
()
266
y x ax a x a
=-+>与x轴有一个交点
此不等式无解，故舍去；
综上：
3
1
5
a
-
-<或
11
53
a
<<
或
1
1
3
a
<<-
【点睛】
此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．