基础知识天天练 数学选修4-1-2

选修4-1 第2节

[知能演练]

一、填空题

1．一平面截球面产生的截面形状是________；它截圆柱面所产生的截面形状是________．

答案：圆 圆或椭圆

2．如下图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC ＝________.

解析：由弦切角定理，可知∠DCA ＝∠B ＝60°，又AD ⊥l ，故∠DAC ＝30°. 答案：30°

3．一个圆的两弦相交，一条弦被分为12 cm 和18 cm 两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．

解析：设另一弦被分的两段长分别为3k,8k (k >0)， 由相交弦定理，得3k ·8k ＝12×18，解得k ＝3， 故所求弦长为3k ＋8k ＝11k ＝33 cm. 答案：33 cm

4．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R 的长为________．

解析：如右图，连接AB ，

∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AB ＝∠C ， 又∵∠APB ＝∠CP A ， ∴△P AB ∽△PCA ， ∴

P A AC ＝PB AB ，即P A 2R ＝PB

AB

， ∴R ＝P A ·AB 2PB ＝2×22－12

2×1

＝ 3.

答案： 3

5．已知如下图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为________．

解析：∵AC 、AD 分别是两圆的切线，

∴∠C ＝∠2，，1＝∠D ， ∴△ACB ∽△DAB . ∴

BC AB ＝AB

BD

， ∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝8＝22(舍去负值)． 答案：2 2

6．如右图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝________.

解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ， 连接OD ，得OD ⊥AC ，故AD AC ＝OD BC ，

即x 8＝r 6，故x ＝43

r . 又由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ， 即169r 2＝(10－2r )×10，故r ＝154. 由射影定理知DF ＝3. 答案：3 二、解答题

7．如下图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在∠P AC 的内部，点M 是BC 的中点．

(1)证明：A ，P ，O ，M 四点共圆；

(2)求∠OAM ＋∠APM 的大小．

(1)证明：连结OP ，OM ， 因为AP 与⊙O 相切于点P ， 所以OP ⊥AP .

因为M 是⊙O 中弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .

于是∠OP A ＋∠OMA ＝180°，由圆心O 在∠P AC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．

(2)解：由(1)，得A ，P ，O ，M 四点共圆， 所以∠OAM ＝∠OPM .由(1)，得OP ⊥AP .

由圆心O 在∠P AC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°，所以∠OAM ＋∠APM ＝90°. 8．如右图，梯形ABCD 内接于⊙O ，

AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .

(1)求证：AB 2＝AE ·BC .

(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明：因为BE 切⊙O 于B ， 所以∠ABE ＝∠ACB .

由于AD ∥BC ，所以∠BAE ＝∠ABC . 所以△EAB ∽△ABC . 所以AE AB ＝AB

BC .故AB 2＝AE ·BC .

(2)解：由(1)，知△EAB ∽△ABC ， 所以BE AC ＝AB BC .又AE ∥BC ，所以EF AF ＝BE AC .

所以AB BC ＝EF

AF .又AD ∥BC ，所以AB ＝CD .

所以AB ＝CD .所以58＝EF

6.

所以EF ＝308＝15

4

.

[高考·模拟·预测]

1．如右图，已知P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.

解析：连结OA 、OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P 、A 、O 、B 四点共圆，故∠APB ＝60°.

答案：60°

2．如右图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC

切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.

解析：由切割线定理知，PC 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24

＝ 3.

答案： 3

3．如下图，圆O 和圆O ′相交于A 、B 两点，AC 是圆O ′的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则BD ＝________.

解析：易证△CBA ∽△ABD ， 所以BC AB ＝AB

BD ，BD ＝8.

答案：8

4．如右图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．

解析：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．知∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，在Rt △OAB 中，得OA ＝22，即r ＝22，∴S ＝πr 2＝8π.

答案：8π

5．如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC

上的点(不与点A ，C 重合)，延长BD 到E .

(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；

(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的面积．

解：(1)如右图，设F 为AD 延长线上一点． ∵A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴∠CDF ＝∠ABC .

又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， 且∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF . 对顶角∠EDF ＝∠ADB ， 故∠EDF ＝∠CDF ，