基础知识天天练数学选修4-1-2

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高三基础知识天天练数学选修4-1-1人教版

选修4-1 第1节一、选择题1．若三角形三边上的高分别为a 、b 、c ，这三边长分别为6、4、3，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．6∶4∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶6解析：由三角形面积公式： 12×6a ＝12×4b ＝12×3c ， ∴6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝k ，则a ＝k 6，b ＝k 4，c ＝k 3，∴a ∶b ∶c ＝k 6∶k 4∶k32∶3∶4.答案：C2．如下图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm解析：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形， ∴FC ＝DE ＝5 cm ， ∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BD DA，即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 答案：D3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9解析：由△ABD ∽△CBA 得AB 2＝BD ·BC ，由△ADC ∽△BAC 得AC 2＝DC ·BC ， ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 答案：D4．已知：如右图，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54 C.32D. 2解析：∵PQ ⊥PC ，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △PBC ， ∴AP BC ＝AQBP. ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1， ∴AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 答案：B5．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．答案：D6．如右图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636解析：过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13， ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.答案：C 二、填空题7．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.解析：2个，△ACD 和△CBD . 答案：28．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案．答案：1∶29．如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP ，即333＝x 6－x ，解得x ＝32，所以符合条件的点P 有两个．答案：两三、解答题10．如右图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H .求证：(1)DG 2＝BG ·CG ； (2)BG ·CG ＝GF ·GH .证明：(1)DG 为Rt △BCD 斜边上的高， ∴由射影定理得DG 2＝BG ·CG . (2)∵DG ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠H ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ABC ＋∠ECB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ， ∴∠H ＝∠ECB .又∵∠HGB ＝∠FGC ＝90°， ∴Rt △HBG ∽Rt △CFG ， ∴BG GF ＝GHGC，∴BG ·CG ＝GF ·GH . 11．如右图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设PA ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°， ∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°，又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)∵△DQA ∽△ABP ，∴DA AP ＝DQ AB，∴DQ ＝DA ·AB PA ，即y ＝4x. 12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125. 因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB . 所以CN CM ＝DE AB ，即125－x125＝x 5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ，因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BCA . 所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127. 因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y . 所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。

(全国通用)2020高考数学二轮复习大题规范天天练第四周 (选修4-1、4-4、4-5)

星期五 (选修4-1、4-4、4-5)2020年____月____日(请同学从下面所给的三个选修模块中选定一个模块作答)一、选修4-1：几何证明选讲(命题意图：考查三角形相似的判定，考查圆的切线的证明及弦切角定理等，考查推理论证能力和计算能力．)如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，AC 交BD 于点E ，圆的切线DF交BC 的延长线于F ，且CD 平分∠BDF .(1)求证：AB ·AD ＝AC ·AE(2)若圆的半径为2，弦BD 长为23，求切线DF 的长． (1)证明由弦切角定理可知∠CDF ＝∠CAD ，∵∠CDB ＝∠CAB ，∠FDC ＝∠BDC ，∴∠CAD ＝∠EAB .∵∠ACD ＝∠ABD ，∴△CDA ∽△BEA ，∴AD AE ＝AC AB，∴AB ·AD ＝AC ·AE .(2)解连接OD ，OB .在△BOD 中，OD ＝OB ＝2，BD ＝23，∴∠BOD ＝120°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝∠CDF ＝30°，∴∠BFD ＝90°.在直角△BFD 中，DF ＝12BD ＝3，∴切线DF 的长为 3. 二、选修4-4：坐标系与参数方程(命题意图：考查代入法求轨迹方程，考查圆的参数方程化为直角坐标方程，考查圆与圆的位置关系等．)以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α(α为参数)． (1)判断两曲线的位置关系；(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程．解 (1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25，曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．(2)由(1)可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝34(x －6)，即3x －4y －50＝0，所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.三、选修4-5：不等式选讲(命题意图：考查含绝对值不等式的求解，考查不等式的证明．)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．(1)证明：由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a | ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.。

最新整理高中数学选修4-1(人教版)练习：第一讲章末复习课 Word版含解析.doc

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．平行线等分线段定理的易错点定理中的“一组平行线”是指每相邻两条直线间的距离都相等的平行线，若不满足这一条件，则不能使用该定理．2．使用平行线分线段成比例定理的两个易错点(1)在使用定理进行证明时，容易以特殊代替一般，与平行线等分线段定理混淆而出错．(2)在利用定理时，不会应用比例的性质而出现计算错误．3．相似三角形的两个易错点(1)在判定两个三角形相似时，对判定定理中的“对应”二字把握不准确．(2)对相似三角形的性质理解不透而导致应用错误．4．直角三角形的射影定理的关注点由于射影定理得出的结论(等式)较多，在解有较复杂图形的问题时，有时因选不准题目所需的等式，使得问题复杂化．专题一三角形相似的判定1．已知有一角对应相等时，可选择判定定理1或判定定理2.2．已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2或判定定理3.3．判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．[例1]如图所示，F是平行四边形ABCD的一边AD上的一点，且AF＝12FD，E为AB的中点，EF交AC于G点，O为AC的中点，已知AC＝10.(1)求证△AGF∽△OGE；(2)求AG的长．(1)证明：因为O为AC的中点，E为AB的中点，所以OE∥BC，又因为BC∥AD，所以OE∥AD，所以∠FAG＝∠GOE，∠AFG＝∠GBO，所以△AGF∽△OGE.(2)解：由(1)知△AGF∽△OGE，所以AFOE＝AGOG，又AF＝12FD，所以AF＝13AD，由题意知OE＝12AD，所以AFOE＝AGOG＝23.所以AG＝2.[变式训练]已知，如图所示，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.证明：因为在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，所以△CBE∽△ABD.所以BCAB＝BEBD，即BCBE＝ABBD.又因为在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∠DBC＝∠DBC，所以∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC.所以∠DBE＝∠ABC.又BCBE＝ABBD，所以△DBE∽△ABC.专题二相似三角形性质的应用相似三角形的性质主要有如下几方面的应用：(1)可用来证明线段成比例、角相等；(2)可间接证明线段相等；(3)为计算线段长度及角的大小创造条件；(4)可计算周长、线段长等．[例2]如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分线EM和AB交于点D，和CA的延长线交于点E.连接AM，求证：AM2＝DM·EM.证明：因为∠BAC＝90°，M是BC的中点，所以AM＝CM，所以∠MAC＝∠C.因为EM⊥BC，所以∠E＋∠C＝90°.又因为∠BAM＋∠MAC＝90°，所以∠E＝∠BAM.因为∠EMA＝∠AMD，所以△AMD∽△EMA，所以AMDM＝EMAM，所以AM2＝DM·EM.[变式训练]如图所示，AD，CF是△ABC的两条高线，在AB 上取一点P，使AP＝AD，再从点P引一条BC的平行线与AC交于点Q，求证PQ＝CF.证明：因为AD⊥BC，CF⊥AB，所以∠ADB＝∠BFC.又因为∠B＝∠B，所以△ABD∽△CBF，所以ADCF＝ABCB.又因为PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC.所以PQBC＝APAB，所以APPQ＝ABBC，所以ADCF＝APPQ.又因为AD＝AP，所以PQ＝CF.专题三函数与方程的思想在相似三角形中，存在多种比相等的关系，利用这些相等关系，可以构造函数的模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相等关系转化为方程的形式，利用方程的思想解决问题．[例3]如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A停止，运动速度为每秒2个单位长度，过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值是多少？解：(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以ADAB＝AEAC.又因为AB＝8，AC＝6，AD＝8－2x，AE＝y，所以8－2x 8＝y 6.所以y ＝－32x ＋6，自变量x 的取值范围是[0，4]．(2)S ＝12BD ·AE ＝12×2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋6＝－32×x 2＋6x ＝－32(x －2)2＋6，所以当x ＝2时，S max ＝6.[变式训练] 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝53.(1)若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长； (2)若△ABC 与△DBE 的面积之和为170 cm 2，求△DBE 的面积．解：(1)因为AB DB ＝BC BE ＝ACDE，所以△ABC ∽△DBE . 所以△ABC 的周长△DBE 的周长＝AB DB ＝53.设△ABC 的周长为5x ，则△DBE 的周长为3x ，依题意得5x －3x ＝10，解得x ＝5. 所以△ABC 的周长为25 cm. (2)因为△ABC ∽△DBE ，所以S △ABC S △DBE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532＝259.设S△ABC＝25x，则S△DBE＝9x.依题意有25x＋9x＝170，解得x＝5.所以△DBE的面积为45 cm2.专题四转化思想在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间比来转化证明．[例4]如图所示，AC∥BD，AD，BC相交于E，EF∥BD，求证1AC＋1BD＝1EF.证明：由题意知AC∥EF∥BD，所以EFAC＝BFAB，EFBD＝AFAB，所以EFAC＋EFBD＝AF＋BFAB＝ABAB＝1，即1AC＋1BD＝1EF.[变式训练]如图所示，在锐角△ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，且DE＝22，求点B到直线AC的距离．解：因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠ADB＝∠CEB＝90°.又因为∠B ＝∠B ，所以△ADB ∽△CEB ，所以BD BE ＝AB BC ，所以BD AB ＝BE BC. 又因为∠B ＝∠B ，所以△BED ∽△BCA ，所以S △BED S △BCA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ED AC 2＝218＝19.又因为DE ＝22，所以⎝⎛⎭⎪⎫22AC 2＝19，所以AC ＝6 2.设点B 到直线AC 的距离为h ，则S △ABC ＝12AC ·h ，故18＝12×62h ，所以h ＝3 2.。

高中数学人教A版选修4-1 (2)

反射变换的应用
求直线y＝6x在矩阵对应的变换作用下所得的图形的表达式．【思路探究】先求出y＝6x上任意一点P(x0，y0)在矩阵对应的变换作用下得到点P′(x0′，y0′)的坐标，再用代入法求解．【自主解答】任意选取直线y＝6x上的一点P(x0，y0)，设它在矩阵对应的变换作用下得到的点为P′(x′0，y′0)，则有＝，
【命题意图】本题主要考查求伸压变换T作用下得到的曲线的方程，同时考查了函数方程思想、转化与化归思想．
【解】设P(x0，y0)为圆C上的任意一点，在伸压变换下变为另一个点P′(x′0，y′0)，
则＝，所以即又点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1，所以＋＝1，即＋＝1. 由已知条件可知，椭圆方程为x2＋＝1. 所以a2＝1，b2＝4.因为a＞0，b＞0，所以a＝1，b＝2.
1．恒等变换将直线x＋2y－1＝0变换为________．【解析】恒等变换保持原图形不变．【答案】 x＋2y－1＝0
2．如图，把△ABC变成△A′B′C′的变换矩阵可能是________．(其中A(0，－ 1)，B(1,0)，C(0,1)，A′(0，－1)，B′(2,0)，C′(0,1))
【解析】注意到变换后三角形上的每个点的横坐标变为原来的2倍，而纵坐标保持不变，它可能对应的是沿x轴方向的伸压变换，对应的变换矩阵为M＝.
所以点P′(－x＋ay，bx＋3y)， ∵点P′在直线l上，∴3(－x＋ay)－2(bx＋3y)＝1，即(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1， ∵方程(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1即为直线l的方程3x－2y＝1， ∴解得 7．已知矩阵M1＝，M2＝，研究圆x2＋y2＝1先在矩阵M1对应的变换作用下，再在矩阵M2对应的变换作用下，所得的曲线的方程．【解】由题意，即求圆x2＋y2＝1在矩阵M3＝对应的变换作用下，所得曲线的方程．设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，点P在矩阵M3对应的变换作用下，得点P′(x′，y′)，则有＝，即或代入x2＋y2＝1，得＋4y′2＝1. 故所求曲线方程为＋4y2＝1.

人教版数学高二A版选修4-4检测 1-2 极坐标系

时间：45分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．极坐标⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析由题意可得ρ＝1，θ＝2π3， ∴x ＝ρcos θ＝－12，y ＝ρsin θ＝32，故它的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32在第二象限，故选B.2．已知点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，则A 和B 之间的距离为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．1 答案 A解析由已知得|OA |＝3，|OB |＝23，∠AOB ＝π6，所以|AB |＝ 32＋(23)2－2×3×23cos π6＝ 3.3．点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4关于极点O 对称的点的一个极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π4 答案 B解析与点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4关于极点对称的点的极坐标可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π4＋2k π(k ∈Z )，故选B.4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合答案 A解析因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．5．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 答案 B解析当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找．描点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2，就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项中没有这样的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.6．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( )A ．(32，42)B ．(－32，42)C ．(－32，－42)D ．(32，－42)答案 C解析设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)．二、填空题(每小题5分，共15分)7．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．答案 (ρ，0)解析点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y)，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M(ρ，0)．8．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3 解析如图所示，|OM|＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.9．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π解析 ∵点P(x ，y)在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，且y ＝－2， ∴ρ＝x 2＋y 2＝22，又tan θ＝yx ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π.因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π.三、解答题(每小题满分10分，共30分)10．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解设M(r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r·cos π4＝5.即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的极坐标为(1,0)或(7,0)．11．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标； (2)已知点的直角坐标分别为A(3，3)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－53，C(－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C(－2，－2)，D(23，－2)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3. 12．△ABC 的顶点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫4，4π3、B ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6、C ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解 ∠AOB ＝4π3－5π6＝π2， ∠BOC ＝7π6－5π6＝π3， ∠COA ＝4π3－7π6＝π6.(O 为极点)(1)|AB|＝|OA|2＋|OB|2＝42＋62＝213.|BC|＝|OB|2＋|OC|2－2|OB|·|OC|cos∠BOC＝213，|AC|＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|cos∠AOC＝45－2 3. 因为|AB|＝|BC|，所以△ABC是等腰三角形．(2)S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12，S△BOC＝12|OB|·|OC|sin∠BOC＝123，S△COA＝12|OC|·|OA|sin∠COA＝8.所以S△ABC＝S△BOC＋S△COA－S△AOB＝123－4.。

北师大版高中数学选修4-1专题练习(含答案)

《几何证明选讲》习题一考试大纲说明的具体要求：1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.2会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).5.了解下面定理：定理在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线.一、基础知识填空：1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________. 3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90o的圆周角所对的弦是________. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________. 6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________. 7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________. 8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等. 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；圆心和这点的连线平分_____的夹角.二、经典试题：1.如图所示，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则EF FG+=BC AD．2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ：EB=1：2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6cm 2，则△ABC 的面积为cm 2．3.如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8则圆O 的半径等于．A BC D E F GBCDE F4.如图所示，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= __.5.已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2. AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB=1，则圆O 的半径R=_______.6. 如图所示，圆O 的直径AB=6，C 圆周上一点，BC=3，过C过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点 D 、E ，则∠DAC ＝ __，线段AE 的长为 __.三、基础训练：1.如图所示，PC切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 点E ，PC=4，PB=8，则CD=________.2.如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=AC=6，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为________.3.如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8则圆O 的半径等于．4.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=AB=BC=3. 则BD 的长______，AC 的长_______．5. 如图， ⊙O′和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙O′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ， MN=3，NQ=15，则 PN ＝______．6.如图所示, 圆的内接△ABC 的∠C 的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段 BE= .7.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ， ∠MAB=250，则∠D= ___ .8.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC于F ，则BF=FC.9.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 .10. 如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD=1，∠ABC=300，则圆O 的面积是______.BADCEN CBADEF11.如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB=6，CD=52，则线段AC 的长度为．12.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ， E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H. 若 AD=5，BC=7，则GH=________.13.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D. AD=2，AC= 52，则AB=____ __,CD=___ __.14.如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且1PB =BC 2，则PAPB的值是________.15.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线 PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。

人教版数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练及答案

高中数学选修4-1《几何证明选讲》练习题（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（）．A ．3cmB ．26cmC ．24cmD ．65cm2．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有（）．A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种3．在Rt ΔABC 中，CD 是斜边上的高线，AC∶BC=3∶1，则S ΔABC ∶S ΔACD 为（）．A ．4∶3 B．9∶1 C．10∶1 D．10∶94．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，BF⊥CE 于F ，那么S △BFC :S 正方形ABCD =（）．A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：65．在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（）A ．4aB ．3aC ．2aD ．43a6．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b(a<b)的比是（）． A ．12 B ．13 C ．23 D ．257．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且14CF CD =，下列结论：①30BAE ∠=，②ABE AEF △∽△，③AE EF ⊥，④ADF ECF △∽△．其中正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形，其中一个是边长为30的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（）．A ．15B ．22.5C ．45D ．909．如图所示，在△ABC 中，AC=5，中线AD=4，则AB 边的取值范围是（）．A ．19<<AB B ．313<<ABC ．513<<ABD ．913<<ABA B D CE F10．如图，平行四边形ABCD 中，::AE EB m n =，若AEF ∆的面积等于a ，则CDF ∆的面积等于（）．A BCFDEA ．22m a n B ．22n a m C ．22()m n a m + D ．22()m n a n +11．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=12，BD=9，则此梯形的中位线长是（）．A ．10B ．212C ．152D ．12 12．如图，设P 为ABC ∆内一点，且5152+=，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（）．A ．15B ．25C ．35D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．若两个相似三角形的周长比为3:4，则它们的三角形面积比是____________．14．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BA ，AD=DC=5，则BC 的长是__________．15．已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，则AF AC=____________． 16．在△ABC中，AB AC ==96，，点M 在AB 上且AM =3，点N 在AC 上，联结MN ，使△AMN 与原三角形相似，则AN ＝___________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E ，求证：2AE BF DE AF ⋅=⋅．（ 10分）18．如图，正方形DEMF 内接于△ABC，若1=∆ADE S ，4=D EFM S 正方形，求ABC S ∆（ 12分）例2图 Q P M F ED CB AA BC P A DB19．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ．（ 12分）20．如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，E 是BC 上任意一点，EF⊥AB 于F ．求证：EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2．（ 12分）21．如图，在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =，AB c =．CD b =，试说明：222111a b h +=．（ 12分）22．如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．（1）求证：EG CG AD CD=；（2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．（ 12分）B答案与解析：1-5 BCCCA 6-10AABBC 11-12 CA13．9:16 14．10 15．13 16．2，或9217．证明：过D 作//DG AB ，交CF 于G ，∴AEF DEG ∆∆，CDG CBF ∆∆，∴AE DE AF DG =，DG CD BF CB=， ∵D 为BC 的中点，12CD CB =， 12DG BF =，12DG BF =， 2AE DE AF BF =，即2AE BF DE AF ⋅=⋅． 18．解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF ＝2,过A 点作AQ⊥BC 于Q ，交DE 于P ，∵1=∆ADE S ，∴AP＝1，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴BCDE AQ AP =，即BC 231= ∴BC＝6，故ABC S ∆＝919．证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ， ∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ．20．证明：2AC AD AB =, 2()AC AD AF AD AB AF AD BF -⋅=-=因为Rt ADC Rt EFB ,所以AD EF CD BF=, 则AD BF CD EF =，2AC AD AF CD EF -⋅=⋅,即EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2．21．解：等式222111h b a =+成立．理由如下： ∵AB CD ACB ⊥=∠,90 ，∴1122ab AB h =⋅ ， 222AB a b =+， ∴h c ab ⋅=， ∴2222h c b a ⋅=，∴22222)(h b a b a +=， ∴22222222222)(hb a h b a h b a b a +=， ∴222221b a b a h +=， ∴222111b a h +=． 22．证明：在四边形AFEG 中，∵90FAG AFE AGE ∠=∠=∠=，∴四边形AFEG 为矩形，∴AF EG =，（1）易证EG CG AD CD=，而AF EG =， ∴AF CG AD CD=；（2）ABC △为直角三角形，AD BC ⊥，∴FAD C ∠=∠，即AFD CGD △∽△，∴ADF CDG ∠=∠，又90CDG ADG ∠+∠=，∴90ADF ADG ∠+∠=，即90FDG ∠=，∴FD DG ⊥；（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形，理由如下：AB AC =，90BAC ∠=，∴AD DC =又因为AFD CGD △∽△ ∴1FD AD GD DC==，FD DG = 又90FDG ∠=∴FDG △,FDG △为等腰直角三角形．。

(人教A版)高中数学选修4-1(全册)同步练习汇总

（人教A版）高中数学选修4-1（全册）同步练习汇总第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1 平行线等分线段定理A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的个数为()①一组平行线截两条直线，所得到的平行线间线段都相等．②一组平行线截两条平行直线，所得到的平行线间线段都相等．③三角形两边中点的连线必平行第三边．④梯形两腰中点的连线必与两底边平行．A．1B．2C．3D．4解析：③④正确，它们分别是三角形、梯形的中位线．①②错，因为平行线间线段含义不明确．答案：B2．如图所示，已知l1∥l2∥l3，且AE＝ED，AB，CD相交于l2上一点O，则OC＝()A．OA B．OBC．OD D．OE解析：由平行线等分线段定理可得OC＝OD.答案：C3．如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE为()A．9 B．10C．11 D．12解析：过O作直线l∥AB，由AB∥l∥CD∥EF，AO＝OD＝DF，知BO＝OC＝CE.又BC＝6，所以CE＝3，故BE＝9.答案：A4．如图所示，在△ABC 中，DE 是中位线，△ABC 的周长是16 cm ，其中DC ＝2 cm ，DE ＝3 cm ，则△ADE 的周长是( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．10 cm解析：因为DC ＝2 cm ，DE ＝3 cm ，DE 为中位线，所以AB ＝16－4－6＝6(cm)，所以AE ＝3 cm. 所以△ADE 周长为8 cm. 答案：C5．如图，AD 是△ABC 的高，DC ＝13BD ，M ，N 在AB 上，且AM ＝MN ＝NB ，ME ⊥BC 于E ，NF ⊥BC 于F ，则FC ＝( )A.23BC B.23BD C.34BC D.34BD 解析：因为AD ⊥BC ，ME ⊥BC ，NF ⊥BC ，所以NF ∥ME ∥AD ，因为AM ＝MN ＝NB ，所以BF ＝FE ＝ED . 又因为DC ＝13BD ，所以BF＝FE＝ED＝DC，所以FC＝34BC.答案：C二、填空题6.如图所示，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝12AD，若EG＝5 cm，则AC＝________；若BD＝20 cm，则EF＝________．解析：E为AB中点，EF∥BD，则AF＝FD＝12AD，即AF＝FD＝CD.又EF∥BD，EG∥AC，所以四边形EFDG为平行四边形，FD＝5 cm.所以AC＝AF＋FD＋CD＝15 cm.因为EF＝12BD，所以EF＝10 cm.答案：15 cm10 cm7．如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别是线段AB，AD的中点，则EF＝________．解析：连接DE，由于点E是AB的中点，故BE＝a 2.又CD＝a2，AB∥DC，CB⊥AB，所以四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中，AD＝a，点F是AD的中点，故EF＝a 2.答案：a 2三、解答题8．如图所示，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，连BE、DF交AC于G、H点．求证：AG＝GH＝HC.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD綊BC，又因为ED＝12AD，BF＝12BC，所以ED綊BF，所以四边形EBFD是平行四边形，所以BE∥FD.在△AHD中，因为EG∥DH，E是AD的中点，所以AG＝GH，同理在△GBC中，GH＝HC，所以AG＝GH＝HC.9.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝12 cm，AC 交梯形中位线EG于点F.若EF＝4 cm，FG＝10 cm，求梯形ABCD 的面积．解：作高DM、CN，则四边形DMNC为矩形．因为EG是梯形ABCD的中位线，所以EG∥DC∥AB.所以点F是AC的中点．所以DC＝2EF＝8 cm，AB＝2FG＝20 cm，MN＝DC＝8 cm.在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD＝∠BNC，所以△ADM≌△BCN.所以AM＝BN＝12(20－8)＝6(cm)．所以DM＝AD2－AM2＝122－62＝63(cm)．所以S梯形＝EG·DM＝(4＋10)×63＝843(cm2)．B级能力提升1.如图所示，在△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，DE ∥AB 交BC 于E ，则阴影部分面积为△ABC 面积的( )A.14B.13C.15D.16 解析：因为D 为AC 的中点，DE ∥AB ，所以E 为BC 的中点．所以S △BDE ＝S △DEC ，即S △BDE ＝12S △BDC ＝14S △ABC .答案：A2.如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一点，如果S △GEF ＝22cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________．解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ，所以DF ＝FC .所以EF 为梯形ABCD 的中位线．所以EF ＝12(AD ＋BC )，且△EGF 的高是梯形ABCD 高的一半．所以S 梯形ABCD ＝4S △GEF ＝4×22＝82(cm 2)．答案：8 2 cm 23.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，∠B ＝ 60°，AB ＝BC ，E 为AB 的中点，求证△ECD 为等边三角形．证明：如图所示，连接AC，过点E作EF平行于AD交DC于点F.因为AD∥BC，所以AD∥EF∥BC.又因为E是AB的中点，所以F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰)．因为DC⊥BC，所以EF⊥DC，所以ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．所以△EDC为等腰三角形．因为AB＝BC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形．所以∠ACB＝60°.又因为E是AB边的中点，所以CE平分∠ACB，所以∠FEC＝∠ECB＝30°，所以∠DEF＝30°，所以∠DEC＝60°.又因为ED＝EC，所以△ECD为等边三角形．第一讲相似三角形的判定及有关性质1.2 平行线分线段成比例定理A 级基础巩固一、选择题1.如图所示，下列选项不能判定DE ∥BC 的是( )A.AD DB ＝AE CEB.AB AC ＝AD AEC.AE AB ＝DE BCD.AD AB ＝DE BC解析：由平行线分线段成比例定理推论易知C 不成立．答案：C2．如图所示，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ． AB ＝A ′B ′解析：因为AA ′∥BB ′∥CC ′，所以AB BC ＝A ′B ′B ′C ′.因为AB ∶BC ＝1∶3，所以A ′B ′∶B ′C ′＝1∶3. 所以B ′C ′＝3A ′B ′. 答案：B3．如图所示，DE ∥AB ，DF ∥BC ，若AF ∶FB ＝m ∶n ，BC ＝a ，则CE ＝( )A.am nB.an mC.am m ＋nD.an m ＋n解析：因为DF ∥BC ，所以AF FB ＝AD DC ＝mn .因为DE ∥AB ，所以AD DC ＝BE EC ＝BC －EC EC ＝a －EC EC ＝m n. 所以EC ＝an m ＋n .答案：D4．如图所示，AD 是△ABC 的中线，点E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1解析：过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，所以DG ＝12EC .又AE ＝2EC ，所以AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC∶12EC＝4∶1.答案：C5.如图所示，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，则EF等于()A．10 B．12C．16 D．18解析：因为AB∥EF∥CD，所以EFAB＝CFBC，EFCD＝BFBC.所以EFAB＋EFCD＝CFBC＋BFBC＝BCBC＝1，即EF20＋EF80＝1.所以EF＝16.答案：C二、填空题6.如图所示，已知在△ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，若AD∶AB＝1∶3，且CE＝4，则AE＝________.解析：由AD∶AB＝1∶3，得AD∶DB＝1∶2.因为DE∥BC，所以AD∶DB＝AE∶EC，即1∶2＝AE∶4.所以AE＝2.答案：27．如图所示，已知l1∥l2∥l3，AB＝5 cm，BC＝3 cm，DF＝24 cm，则DE＝________．解析：因为l1∥l2∥l3，所以ABBC＝DEEF.所以53＝DE 24－DE.所以DE＝15 cm.答案：15 cm8．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝2，EC ＝1，BC＝4，则BF＝________．解析：在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，所以BFBC＝BDBA＝ECAC，又因为AE＝2，EC＝1，BC＝4，所以BF4＝11＋2，所以BF＝43.答案：4 3三、解答题9.如图所示，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED 交AB于点G，交BC延长线于点F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，求AE的长．解：因为AE∥BC ，D 为AC 的中点，所以AE ＝CF .设AE ＝x ，因为AE ∥BC ，所以AE BF ＝AG BG ＝13. 又BC ＝8，所以xx ＋8＝13，3x ＝x ＋8.所以x ＝4.所以AE ＝4.10.如图所示，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，若AB ＝2CD ，MN ∥AB ，且MP ＝PN ，求证：MN ＝CD .证明：⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫MN ∥AB ∥CD ⇒⎩⎪⎨⎪⎧MN AB ＝DM AD MP CD ＝AM AD 又MN AB ＝12MN12AB ＝MP CD⎭⎪⎬⎪⎫⇒DM AD ＝AMAD ⇒DM ＝AM ⇒MP ＝12CD 又MP ＝12MN ⇒MN ＝CD . B 级能力提升1．如图所示，将一边长为12的正方形纸ABCD的顶点A折叠至边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是()A.512 B.519 C.25 D.219解析：如图所示，作MN∥AD交DC于N，所以DNNE＝AMME.又因为AM＝ME，所以DN＝NE＝12DE＝52.因为PD∥MN∥QC，所以PMMQ＝DNNC＝52192＝519.答案：B2.如图所示，在△ABC中，E，F分别在AC，BC上，且DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝8，则CF＝____________，BF＝____________．解析：因为DE∥BC，所以AD AB ＝AE AC ＝46＝23.①因为DF ∥AC ，所以AD AB ＝CFCB .②由①②式，得23＝CF 8，即CF ＝163.BF ＝BC －CF ＝8－163＝83. 答案：163 833.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过该梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求证：OE ＝OF ；(2)求OE AD ＋OEBC 的值；(3)求证： 1AD ＋1BC ＝2EF.(1)证明：因为EF ∥AD ，AD ∥BC ，所以EF ∥AD ∥BC .因为EF ∥BC ，所以OE BC ＝AE AB ，OF BC ＝DFDC .因为EF ∥AD ∥BC ，所以AE AB ＝DFDC .所以OE BC ＝OFBC .所以OE ＝OF .(2)解：因为OE ∥AD ，所以OE AD ＝BEAB .由(1)知OE BC ＝AE AB，所以OEAD＋OEBC＝BEAB＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知OEAD＋OEBC＝1，所以2OEAD＋2OEBC＝2.又EF＝2OE，所以EFAD＋EFBC＝2.所以1AD＋1BC＝2EF.第一讲相似三角形的判定及其有关性质1.3 相似三角形的判定及性质第1课时相似三角形的判定A级基础巩固一、选择题1.如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD AC＝13，AE＝BE，则有()A．△ADE∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD解析：在△AED和△CBD中，AE∶BC＝AD∶CD＝1∶2，∠EAD＝∠BCD，所以△AED∽△CBD.答案：B2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：因为等腰三角形底边上的高分这个三角形为两个全等的三角形，全等三角形一定相似，所以这个三角形可以是等腰三角形；又因为直角三角形斜边上的高分这个三角形为两个相似三角形，所以这个三角形也可以是直角三角形．答案：D3．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()解析：首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A、B、C、D 选项中各三角形的三边的长，然后根据三组对边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．答案：A4.如图所示，在△ABC中，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，且AMAN＝BMCN.下列结论正确的是()A ．△ABM ∽△ACB B ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA解析：CM ＝CN ，即∠AMC ＝∠MNC ，即∠AMB ＝∠ANC . 又AM AN ＝BMCN，即△AMB ∽△ANC . 答案：B5.如图所示，△ABC ∽△AED ∽△AFG ，DE 是△ABC 的中位线，△ABC 与△AFG 的相似比是3∶2，则△ADE 与△AFG 的相似比是( )A ．3∶4B ．4∶3C ．8∶9D ．9∶8解析：因为△ABC 与△AFG 的相似比是3∶2，所以AB ∶AF ＝3∶2，又因为△ABC 与△AED 的相似比是2∶1，即AB ∶AE ＝2∶1.所以△AED 与△AFG 的相似比 k ＝AE AF ＝AB AF ·AE AB ＝32×12＝34.答案：A 二、填空题6.如图所示，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 的中点，DE ⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．解析：因为E为AB的中点，所以AEAB＝12，即AE＝12AB.在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝32AB，又因为Rt△AED∽Rt△ACB，所以相似比为AEAC＝13.故△ADE与△ABC的相似比为1∶ 3.答案：1∶ 37．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的角平分线，若DC·AC＝19，则AD＝________．解析：因为∠A＝36°，AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝72°.又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD＝36°.所以∠BDC＝72°＝∠C，所以AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD，所以BCCD＝ABBC.所以BC2＝AB·CD.所以AD2＝AC·CD.所以AD2＝19，所以AD＝19.答案：198．△ABC的三边长分别是3 cm，4 cm，5 cm，与其相似的△A′B′C′的最大边长是15 cm，那么S△A′B′C′＝________．解析：由题意知：△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶3，又因为△ABC的三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以△A′B′C′的三边长分别为9 cm，12 cm，15 cm.又因为92＋122＝152，所以△A′B′C′为直角三角形，所以S△A′B′C′＝12×9×12＝54(cm2)．答案：54 cm2三、解答题9.如图所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂线交AB的延长线于E，求证：△ECB∽△EAC.证明：连接EC，因为EF是CD的中垂线，所以EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD.又因为∠EDC＝∠A＋∠ACD，且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB，又因为CD为∠ACB的平分线，则∠ACD＝∠DCB，所以∠A＝∠ECB.又∠CEA为公共角，所以△ECB∽△EAC.10.如图所示，在△ABC(AB>AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP CP＝BD CE.证明：过点C作CM∥AB，交DP于点M.因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED.又AD∥CM，∠ADE＝∠CME，∠AED＝∠CEM，所以∠CEM＝∠CME，所以CE＝CM.因为CM∥BD，所以△CPM∽△BPD，所以BPCP＝BDCM，即BPCP＝BDCE.B级能力提升1．若△ABC与△DEF相似，∠A＝60°，∠B＝40°，∠D＝80°，则∠E的度数可以是()A．60°B．40°C．80°D．40°或60°解析：根据判定定理，可知∠E的度数可以是40°或60°.答案：D2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC，则△ABD∽________，BD2＝________．解析：因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC.又因为∠A＝∠BDC＝90°，所以△ABD∽△DCB.所以BDBC＝ADBD.所以BD2＝AD·BC.答案：△DCB AD·BC3．如图所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．解：(1)因为△PCD是等边三角形，所以∠PCD＝∠PDC＝60°，PD＝PC＝CD.从而∠ACP＝∠PDB＝120°.所以，当ACPD＝PCBD时，△ACP∽△PDB，即当CD2＝AC·BD时，△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB时，∠APC＝∠PBD.所以∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠PBD＋60°＋∠DPB＝60°＋60°＝120°.第一讲相似三角形的判定及有关性质1.3 相似三角形的判定及性质第2课时相似三角形的性质A级基础巩固一、选择题1．两个相似三角形的面积之比为1∶2，则其外接圆的半径之比为()A．1∶4B．1∶3C．1∶2 D．1∶ 2解析：因为相似三角形的面积比为相似比的平方，所以相似比为1∶2，两相似三角形外接圆半径之比为相似比，故选D.答案：D2.如图所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为()A．1∶3 B．1∶9C．1∶15 D．1∶16解析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.又因为AD ∶DB ＝1∶3.所以AD ∶AB ＝1∶4，其面积比为1∶16，则所求两部分面积比为1∶15.答案：C3.如图所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFC 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF ∶FC 等于( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶2D ．2∶3解析：设正方形边长为x (x >0)，则由△AFE ∽△ACB ，可得AF ∶AC ＝FE ∶CB ，即1－x 1＝x 2.所以x ＝23，于是AF FC ＝12.答案：C4．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，ABA ′B ′＝23，△ABC 外接圆的直径为4，则△A ′B ′C ′外接圆的直径等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：设△A ′B ′C ′和△ABC 外接圆的直径分别是r ′，r ，则r ′r ＝A ′B ′AB ，所以r ′4＝32，所以r ′＝6. 答案：C5．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若△ADE 与△ABC 相似，则DE 的长为( )A ．6B ．8C ．6或8D ．14解析：如图①所示，过D 作DE ∥CB 交AB 于E ，则AD ∶AC ＝AE ∶AB ＝DE ∶CB ，AB ＝9，AC ＝12，DC ＝23AC ＝23×12＝8.图① 图②所以AD ＝AC －DC ＝12－8＝4，所以DE ＝AD ·CB AC ＝4×1812＝6. 如图②所示，作∠ADE ＝∠B ，交AB 于E ，则△ADE ∽△ABC .所以有AD ∶AB ＝AE ∶AC ＝DE ∶BC ，所以DE ＝AD ·BC AB ＝4×189＝8.所以DE 的长为6或8. 答案：C 二、填空题6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥DC ，且AB ＝DC ，于是△CDF ∽△AEF ，且CD AE ＝ABAE ＝3，因此△CDF 的面积△AEF 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9.答案：97．两个相似三角形的对应边上的中线之比是2∶3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别为________．解析：由中线之比为周长之比都为相似比，得周长之比为2∶3，设其中一个三角形周长为2x ，则另一个三角形周长为3x .所以2x ＋3x ＝20.所以x ＝4，即两个三角形的周长分别为8，12. 答案：8 128．如图所示，已知∠ACB ＝∠E ，AC ＝6，AD ＝4，则AE ＝____．解析：因为∠ACB ＝∠E ， ∠DAC ＝∠CAE ，所以△DAC ∽△CAE . 所以AD AC ＝AC AE ，所以AE ＝AC 2AD ＝624＝9.答案：9 三、解答题9.如图所示，直线DF 交△ABC 的BC ，AB 两边于D ，E 两点，与CA 的延长线交于F ，若BD DC ＝FEED＝2，求BE ∶AE 的值．解：过D 作AB 的平行线交AC 于G ，则△FAE ∽△FGD ，△CGD ∽△CAB . 则AE DG ＝EF FD ＝23，DG AB ＝CD CB ＝13. 所以AE ＝23DG ，BE ＝73DG ，所以BE ∶AE ＝7∶2.10.如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ，求证：PB 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP ，因为CF ∥AB ，所以∠F ＝∠ABP ，从而∠F ＝∠ACP ，又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，所以CP FP ＝PEPC. 所以PC 2＝PE ·PF ，又PC ＝PB ，所以PB 2＝PE ·PF ，命题得证．B 级能力提升1.如图所示，点D 、E 、F 、G 、H 、I 是△ABC 三边的三等分点，△ABC 的周长是l ，则六边形DEFGHI 的周长是 ( )A.13l B ．3l C ．2lD.23l 解析：易得DE 綊13BC ，HI 綊13AC ，GF 綊13AB .又DI ＝13AB ，HG ＝13BC ，EF ＝13AC ，则所求周长为23(AB ＋AC ＋BC )＝23l .答案：D2．如图所示，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F .若AD ＝3AE ，则AF ∶FC ＝________．解析：延长CD 与直线l 交于点G ，设AB ＝2a ，则CD ＝2a ，而M 是AB 的中点，则AM ＝12AB ＝a ，由已知得△AME ∽△DGE ，所以AMDG＝AEED⇒AMDG＝AEAD－AE.因为AD＝3AE，所以aDG＝AE2AE⇒DG＝2a.又因为△FCG∽△FAM，AF FC＝AMCG⇒AFFG＝AMCD＋DG＝a2a＋2a＝14，即AF∶FC＝1∶4.答案：1∶43．如图所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3.(1)求△AEF与△CDF周长的比；(2)若S△AEF＝8，求S△CDF.解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD且AB＝CD.因为AEEB＝23，所以AEAE＋EB＝22＋3，即AEAB＝25.所以AECD＝25.又由AB∥CD知△AEF∽△CDF，所以△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.(2)由(1)知S△AEF∶S△CDF＝4∶25，又因为S△AEF＝8，所以S△CDF＝50.第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4 直角三角形的射影定理A 级基础巩固一、选择题1．线段MN 在直线l 上的射影不可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．与MN 等长的线段 D ．直线解析：由射影的概念易知线段的射影不可能是直线．答案：D2．直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6 cm 和4 cm ，则斜边上的高是( )A ．10 cmB ．2 cmC ．2 6 cmD ．24 cm 解析：由直角三角形的射影定理得，斜边上的高为6×4＝26(cm)．答案：C3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD等于( ) A.34 B.43 C.169 D.916解析：如图所示，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC .所以AC2AB2＝CDBD＝⎝⎛⎭⎪⎫342，即CDBD＝916，所以BDCD＝169.答案：C4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为()A．2∶3 B．4∶9C.6∶3 D．不确定解析：如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得CD2＝AD·BD，即CDAD＝BDCD.又因为∠ADC＝∠BDC＝90°，所以△ACD∽△CBD.又因为AD∶BD＝2∶3，设AD＝2x，BD＝3x(x>0)，所以CD2＝6x2，所以CD＝6x，易知△ACD∽△CBD的相似比为AD CD＝2x6x＝63＝6∶3.答案：C5.如图所示，在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于点F ，点E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是( )A ．BF 2＝12AF 2B ．BF 2＝13AF 2C ．BF 2>12AF 2D ．BF 2<13AF 2解析：根据射影定理可得 BF 2＝AF ·CF ，因为△ABF ∽△CEF ，所以CF ∶AF ＝CE ∶AB ＝1∶2，所以BF 2＝AF ·12AF ＝12AF 2.答案：A 二、填空题6．如图所示，小明在A 时测得某树的影长为2 m ，在B 时又测得该树的影长为8 m ．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m.解析：依题意作图如下，在Rt △CDE 中，EF ⊥CD .由射影定理，得EF2＝CF·DF＝2×8＝16，所以树的高度EF＝4 m.答案：47．在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，则CE·CA＝________．解析：在Rt△ADC中，DE⊥AC，所以由射影定理知CD2＝CE·CA.同理CD2＝CF·CB，所以CE·CA＝CF·CB.答案：CF·CB8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝12 cm，BC ＝15 cm，则S△ACD∶S△BCD＝________．解析：因为∠ACB＝90°，CD是高，所以AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，所以AD∶BD＝AC2∶BC2.又因为S△ACD＝1 2·AD·CD，S△BCD＝1 2·BD·CD，所以S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝AC2∶BC2.又因为AC＝12，BC＝15，所以S△ACD∶S△BCD＝144∶225＝16∶25.答案：16∶25三、解答题9．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2，求AD的长．解：因为CD⊥AB，所以△BCD为直角三角形，即∠CDB＝90°，因为DE⊥BC.由射影定理可知：DE2＝CE·BE＝12，所以DE＝23，CD2＝CE·BC＝16，所以CD＝4，因为BD2＝BE·BC＝48，所以BD＝43，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理可得：CD2＝AD·BD，所以AD＝CD2BD＝1643＝433.10．如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于点G、H，交CE于点F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.证明：因为∠H＝∠BCE，CE⊥BH，所以△BCE∽△BHG.所以∠BEC＝∠BGH＝90°，所以HG ⊥BC .因为BD ⊥AC ，在Rt △BCD 中，由射影定理得， GD 2＝BG ·CG .① 因为∠H ＝∠BCF ，所以∠FGC ＝∠BGH ＝90°，所以△FCG ∽△BHG ，所以FG BG ＝CGGH，所以BG ·CG ＝GH ·FG .② 由①②，得GD 2＝GH ·FG .B 级能力提升1．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( )A.14B.13C.12D ．2解析：如图所示，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又因为BD ∶AD ＝1∶4，令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)，所以CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，所以CD ＝2x . 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.答案：C2．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC .AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．解析：如图所示，过C 点作CE ⊥AB 于E ，在Rt △ACB 中，因为AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，所以BC ＝8 cm. 在Rt △ABC 中，由射影定理易得 BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm. 所以CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)，所以AD ＝4.8 cm.又因为在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ，所以DC ＝AE ＝3.6 cm.所以S 梯形ABCD ＝（10＋3.6）×4.82＝32.64(cm 2)．答案：32.64 cm 23.如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 为AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F .求证：FN 2＝EF ·FC .证明：如图所示，连接NE 、NC .设正方形的边长为a .因为AE ＝14a ，AN ＝12a ，所以NE ＝a 216＋a 24＝5a4，因为BN ＝12a ，BC ＝a ，所以NC ＝a 24＋a 2＝5a 2. 因为DE ＝34a ，DC ＝a ，所以EC ＝9a 216＋a 2＝5a 4. 所以NE 2＝5a 216，NC 2＝5a 24，EC 2＝25a 216.所以NE 2＋NC 2＝EC 2.所以EN ⊥NC ，△ENC 是直角三角形．又因为NF ⊥EC ，所以NF 2＝EF ·FC .章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．平行线等分线段定理的易错点定理中的“一组平行线”是指每相邻两条直线间的距离都相等的平行线，若不满足这一条件，则不能使用该定理．2．使用平行线分线段成比例定理的两个易错点(1)在使用定理进行证明时，容易以特殊代替一般，与平行线等分线段定理混淆而出错．(2)在利用定理时，不会应用比例的性质而出现计算错误．3．相似三角形的两个易错点(1)在判定两个三角形相似时，对判定定理中的“对应”二字把握不准确．(2)对相似三角形的性质理解不透而导致应用错误．4．直角三角形的射影定理的关注点由于射影定理得出的结论(等式)较多，在解有较复杂图形的问题时，有时因选不准题目所需的等式，使得问题复杂化．专题一三角形相似的判定1．已知有一角对应相等时，可选择判定定理1或判定定理2.2．已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2或判定定理3.3．判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．[例1]如图所示，F是平行四边形ABCD的一边AD上的一点，且AF＝12FD，E为AB的中点，EF交AC于G点，O为AC的中点，已知AC＝10.(1)求证△AGF∽△OGE；(2)求AG的长．(1)证明：因为O为AC的中点，E为AB的中点，所以OE∥BC，又因为BC∥AD，所以OE∥AD，所以∠FAG＝∠GOE，∠AFG＝∠GBO，所以△AGF∽△OGE.(2)解：由(1)知△AGF∽△OGE，所以AFOE＝AGOG，又AF＝12FD，所以AF＝13AD，由题意知OE＝12AD，所以AFOE＝AGOG＝23.所以AG＝2.[变式训练]已知，如图所示，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.证明：因为在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，所以△CBE∽△ABD.所以BCAB＝BEBD，即BCBE＝ABBD.又因为在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∠DBC＝∠DBC，所以∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC.所以∠DBE＝∠ABC.又BCBE＝ABBD，所以△DBE∽△ABC.专题二相似三角形性质的应用相似三角形的性质主要有如下几方面的应用：(1)可用来证明线段成比例、角相等；(2)可间接证明线段相等；(3)为计算线段长度及角的大小创造条件；(4)可计算周长、线段长等．[例2]如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分线EM和AB交于点D，和CA的延长线交于点E.连接AM，求证：AM2＝DM·EM.证明：因为∠BAC＝90°，M是BC的中点，所以AM＝CM，所以∠MAC＝∠C.因为EM⊥BC，所以∠E＋∠C＝90°.又因为∠BAM＋∠MAC＝90°，所以∠E＝∠BAM.因为∠EMA＝∠AMD，所以△AMD∽△EMA，所以AMDM＝EMAM，所以AM2＝DM·EM.[变式训练]如图所示，AD，CF是△ABC的两条高线，在AB 上取一点P，使AP＝AD，再从点P引一条BC的平行线与AC交于点Q，求证PQ＝CF.证明：因为AD⊥BC，CF⊥AB，所以∠ADB＝∠BFC.又因为∠B＝∠B，所以△ABD∽△CBF，所以ADCF＝ABCB.又因为PQ ∥BC ，所以△APQ ∽△ABC . 所以PQ BC ＝AP AB ，所以AP PQ ＝AB BC，所以AD CF ＝AP PQ.又因为AD ＝AP ，所以PQ ＝CF . 专题三函数与方程的思想在相似三角形中，存在多种比相等的关系，利用这些相等关系，可以构造函数的模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相等关系转化为方程的形式，利用方程的思想解决问题．[例3] 如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 停止，运动速度为每秒2个单位长度，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值是多少？解：(1)因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AD AB ＝AE AC.又因为AB ＝8，AC ＝6，AD ＝8－2x ，AE ＝y ，所以8－2x 8＝y 6.所以y ＝－32x ＋6，自变量x 的取值范围是[0，4]．(2)S ＝12BD ·AE ＝12×2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋6＝－32×x 2＋6x ＝－32(x －2)2＋6，所以当x ＝2时，S max ＝6.[变式训练] 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝53.(1)若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长； (2)若△ABC 与△DBE 的面积之和为170 cm 2，求△DBE 的面积．解：(1)因为AB DB ＝BC BE ＝AC DE ，所以△ABC ∽△DBE . 所以△ABC 的周长△DBE 的周长＝AB DB ＝53.设△ABC 的周长为5x ，则△DBE 的周长为3x ，依题意得5x －3x ＝10，解得x ＝5. 所以△ABC 的周长为25 cm. (2)因为△ABC ∽△DBE ，所以S △ABC S △DBE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532＝259.设S △ABC ＝25x ，则S △DBE ＝9x . 依题意有25x ＋9x ＝170，解得x ＝5. 所以△DBE 的面积为45 cm 2. 专题四转化思想在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间比来转化证明．[例4]如图所示，AC∥BD，AD，BC相交于E，EF∥BD，求证1AC＋1BD＝1EF.证明：由题意知AC∥EF∥BD，所以EFAC＝BFAB，EFBD＝AFAB，所以EFAC＋EFBD＝AF＋BFAB＝ABAB＝1，即1AC＋1BD＝1EF.[变式训练]如图所示，在锐角△ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，且DE＝22，求点B到直线AC的距离．解：因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠ADB＝∠CEB＝90°.又因为∠B＝∠B，所以△ADB∽△CEB，所以BDBE＝ABBC，所以BDAB＝BEBC.又因为∠B＝∠B，所以△BED∽△BCA，所以S △BED S △BCA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ED AC 2＝218＝19.又因为DE ＝22，所以⎝⎛⎭⎪⎫22AC 2＝19，所以AC ＝6 2.设点B 到直线AC 的距离为h ，则S △ABC ＝12AC ·h ，故18＝12×62h ，所以h ＝3 2.章末评估验收(一)(时间：120分钟满分：150分)一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．如图所示，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列式子：①AE EC ＝BF FC ；②AD BF ＝AB BC ；③EF AB ＝DE BC ；④CE CF ＝EA BF . 其中正确式子的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．答案：B2．已知三角形的三条中位线长是3 cm ，4 cm ，5 cm ，则这个三角形的面积是( )A ．6 cm 2B ．12 cm 2C ．24 cm 2D ．40 cm 2解析：由中位线性质得三边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，由勾股逆定理知，此三角形为直角三角形，所以S ＝12×6×8＝24(cm 2)．答案：C3．如图所示，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是( )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB ACD ．S △ABC ＝3S △ADE解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC ＝2DE ；因DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，AD ∶AB ＝AE ∶AC ，即AD ∶AE ＝AB ∶AC ，S △ABC ＝4S △ADE ，所以选项D 错误．故选D.答案：D4．如图所示，△ABC 的三边互不相等，P 是AB 边上的一点，连接PC ，下列条件中不能使△ACP ∽△ABC 成立的是( )A ．∠1＝∠2B ．AP ·BC ＝AC ·PCC ．∠2＝∠ACBD ．AC 2＝AP ·AB解析：因为∠A 公共，所以由相似三角形的判定定理知，C ，D 项一定能使△ACP ∽△ABC 成立．若△ACP ∽△ABC ，则AP AC ＝PCBC，即B 成立，所以加一条件B 项能使△ACP ∽△ABC 成立，而A 项则不能．答案：A5．如图所示，AB ∥GH ∥EF ∥DC ，且BH ＝HF ＝FC ，若MN ＝5 cm ，则BD 等于( )A ．15 cmB ．20 cm C.503cm D ．不能确定解析：因为AB ∥GH ∥EF ∥DC ，且BH ＝HF ＝FC ，所以由平行线等分线段定理得DM ＝MN ＝NB .因为MN ＝5 cm ，所以BD ＝3MN ＝15(cm)．答案：A6．如图所示，已知AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，CE 的延长线交AB 于F ，且AE ED ＝14，则AFFB等于( )A.17B.18C.19D.110解析：过D 作DG ∥CF ，如图所示，因为CD＝BD，所以FG＝GB.因为EF∥DG，所以AFFG＝AEED＝14.所以AFFB＝AF2FG＝18.答案：B7．两个三角形相似，其对应高的比为2∶3，其中一个三角形的周长是18 cm，则另一个三角形的周长为()A．12 cm B．27 cmC．12 cm或27 cm D．以上均不对解析：设另一个三角形的周长为x cm，由相似三角形的周长之比等于相似比，也等于对应高的比．所以18x＝23或x18＝23.解得x＝27 cm或x＝12 cm.答案：C8.如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD.有下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF.其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：②③正确，①④不正确．答案：B9．如图所示，在△ABC中，EF∥BC，EF交AB于E，交AC 于F，AD⊥BC于D，交EF于M，若BC＝36，AD＝30，MD＝10，则EF的长是()A．12 B．30 C．24 D．18解析：因为EF∥BC，所以EFBC＝AMAD＝AD－MDAD.所以EF36＝2030，所以EF＝24.答案：C10．如图所示，在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，CD 平分∠ACB，DE∥BC.若AC＝6，AE＝2，则BC的长为()A．10 B．12 C．14 D．8解析：因为DE∥BC，所以∠1＝∠2.又∠1＝∠3，所以∠2＝∠3，所以DE＝EC＝AC－AE＝6－2＝4，因为DE∥BC，所以DEBC＝AEAC，所以BC ＝AC ·DE AE ＝6×42＝12.答案：B11.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， AC ＝12，BC ＝5，则CD 的长为( )A.6013B.12013C.5013D.7013 解析：AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋52＝13. 因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD .所以CD ＝AC ·BC AB ＝12×513＝6013.答案：A12.如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( )A ．∠APB ＝∠EPC B ．∠APE ＝90° C ．P 是BC 的中点D ．BP ∶BC ＝2∶3解析：因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ＝BC ＝CD ＝AD ，。

人教版高中数学选修4-1测试题全套及答案.doc

最新人教版高中数学选修4T 测试题全套及答案选修4・1综合测试卷A (含答案)一选择题1. 如图，ZB=ZD, AE 丄BC, ZACD = 90°, K AB = 6, AC=4,AD=12,贝lj BE=( )A ・3B ・4C ・4・5D ・4、血2、如图，在四边形ABCD 中，EF 〃BC, FG 〃AD,则—的值BC AD为( )A ・1B ・2C ・2.5D ・33、已知，如图，AE 丄EC, CE 平分ZACB, DE 〃BC, BC=10, AC=6,则 DE=( )A. 1 B ・ 2 C ・ 2.5 D ・ 34•如图，已知ABC 中AC 边的中点，AE 〃BC, ED 交AB 于G, 交 BC 延长线于 F,若 BG : GA = 3 : 1, BC = 8, AE=()A. 2 B ・3 C ・4 D ・5(1)(2)(3)5•两个相似三角形的面积分别为4cm2和9 cm?,它们的周长相差6 cm, 则较大的三角形的周长为( )A. 9B. 12 C・ 16 D・18点侧号冷＜)A. 2 B. 4 C ・ 5D ・ 10 10.在 AABC 中，DE//BC, DF//AC.AE : AC=3 : 5, DE=6,则6. 如图，在厶ABC 中，DE//JBC, EF//CD,若 BC=3, DE=2, DF =1,则AB 的长为（）A. 3 B ・4 C ・4・5 D ・57. 如图所示，已知£＞是△ABC 中AB 边上一点，DE//B C 且交AC 于 E, EF// AB 且交 BC 于 F,且 1, S A EFC =4,则四边形 BFED的面积等于A. 2B. 3C ・ 4D ・ 58. 正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至「使AE = 1,连接EC 、EQ 则sin Z.CED =A 巫B .亟C •至D.玺101010159 •在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中B. 3BBF= () A- 2(12)C ・4D ・5E11,・如图，在梯形ABCD中，AB//CD, 43=4, CD=2, E, F 分别为AD BC上的点，且EF=3, EF//AB,则梯形ABFE与梯形EFCD 的面积比为( )A. 6/5 B・ 7/5 C・ 8/5 D・ 9/512•在梯形ABCD中，AD//BC, AD=2, BC=5,点 E、F 分别在43、AT7 3CD上，且EF〃4D若而=孑则EF的长为( )A・ 22/7 B・ 23/7 C・ 24/7 D・ 25/7二.填空题13. __________________________________________________ 如图所示，已知DE//BC, BF : EF=3 : 2,则AC : AE= _______________AD : DB= _________ .14.女口图，ZXABC 中，ZBAC=90°, AB=4 cm,AC=3 cm,DE〃BC 且DE 把AABC周长分为相等的两部分，则DE二 ___ •A(14) (16)15、在ZVIBC 中朋B=AC, D 为腰AB上一点，&D = DC,且AD2^AB-BD9则厶= _____________An 1 16•如图，在正三角形ABC中，D, E分别在AC, 4B上，且疋=予三.解答题17 如图，在直角梯形 ABCD 中，DC//AB, CB 丄AB, AB^AD^a,CD=%,点E 、F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF 的长18 C 知，如图，在厶ABC 中，AB=AC, BD 丄AC,点D 是垂足. 求证：B G = 2CD ・AC ・19•如图，ZBC 中，AB^AC, AD 是中线，P 为人£＞上一点，CF//AB,BP(17)(18)的延长线交AC、CF于E、F两点，求证：PB? = PE・PF.20如图，在等腰三角形ABC中,AB=4C,底边BC上的高A£>=10cm, 腰AC上的高BE= 12 cm・AR 5(1)求证：^5=3； (2)求4ABC的周长.21•如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE丄CD 垂足为E, 连接AE, F为AE上一点，且ZBFE=ZC.(1)求证：AB=a,CD=b(0<a<b),AE : EC=m : n, (20)D E C(21)D(2)若AB=4, Z1 = 3O°, AD=39求BF 的长.22・如图，已知AB〃CD〃EF,(0<m<n), 求EF 的长.答案一选择题（每小题5分，共60分）123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DABCDCCBDCBB二填空题（每小题5分，共20分）13【答案】3 ： 2 2 ： 114【答案】30/79.【解析】特殊的等腰直角三角形,不妨令\AC\ = \BC\ = 4f 则|仙| = 4血,|仞|二-\AB\ = 242f \PC\ = \PD\ = -\CD |=V2,|PA| = |PB| = J|/lZ)p4-| PZ)|2 =1423^15【证明】过点D 作DE//BC,交AC 于E.：・ZEDC=ZBCD, BD = CE ・ ■ ■ 7 ・ AD BD CD CE ・ AD Z =AB BD, AD = DC, AB=AC f ••亦=兀=疋=乔・• PA _AD_215【答案】36°16【答案】6J （2®2+（®2 =皿所以10+10 212•如图所示，延长B4、CD 交于点P, 9：AD//BC,•母=2^AB =y 墜=3.AE =1人• EB _3 .PA_i4 •••AE_9，・・PE_23・•: AD//EF,.AD_PA…丽=匹又 AD=2,又ZECD=ZDCA, :. HECDs'DCA, :.ZEDC=ZA,又AD=CD,:.ZA=ZDCE9 :.ZBCD=ZACD=ZA9 :. ZBCA = ZBCD+ ZACD=2ZA・乂AB=AC f・\ ZB=ZBCA = 2ZA. A Z A+Z B+ ZBCA = 5^A = 180°,・\ ZA = 36°16•证明：•・•三角形ABC是正三角形，:.AB=BC=AC f・AE_A£_j_^AB=~BC=29..AD I . AD_1・AC~V ^~CD~T・AD AE••CD=BC-又・・・ZA=ZC=60。

高中数学选修4-1知识点总结(全)

高中数学选修4-1知识点总结(全)高中数学选修4-1知识点总结(全)4-1平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

(人教A版)数学高中选修4-1课时同步练习 (全书完整版)

（人教A 版）高中数学选修4-1（全册）课时同步练习汇总课时跟踪检测(一) 平行线等分线段定理一、选择题1．在梯形ABCD 中, M , N 分别是腰AB 与腰CD 的中点, 且AD ＝2, BC ＝4, 则MN 等于( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．不确定解析：选B 由梯形中位线定理知选B.2．如图, AD 是△ABC 的高, E 为AB 的中点, EF ⊥BC 于F , 如果DC ＝13BD , 那么FC是BF 的( )A.53倍B.43倍C.32倍D.23倍解析：选A ∵EF ⊥BC , AD ⊥BC , ∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点, 由推论1知F 为BD 的中点, 即BF ＝FD . 又DC ＝13BD ,∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .3．梯形的中位线长为15 cm, 一条对角线把中位线分成3∶2两段, 那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：选A 如图, 设MP ∶PN ＝2∶3, 则MP ＝6 cm, PN ＝9 cm. ∵MN 为梯形ABCD 的中位线, 在△BAD 中, MP 为其中位线, ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm.4．梯形的一腰长为10 cm, 该腰和底边所形成的角为30°, 中位线长为12 cm, 则此梯形的面积为 ( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2 解析：选D 如图, 过A 作AE ⊥BC , 在Rt △ABE 中, AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm, ∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．∴梯形的面积S＝12(AD＋BC)·AE＝12×5×24＝60 (cm2)．二、填空题5．如图, 在AD两旁作AB∥CD且AB＝CD, A1, A2为AB的两个三等分点, C1, C2为CD 的两个三等分点, 连接A1C, A2C1, BC2, 则把AD分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．解析：如图, 过A作直线AM平行于A1C, 过D作直线DN平行于BC2, 由AB∥CD, A1, A2为AB的两个三等分点, C1, C2为CD的两个三等分点, 可得四边形A1CC1A2, 四边形A2C1C2B为平行四边形,所以A1C∥A2C1∥C2B, 所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN, 因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D, 由平行线等分线段定理知, A1C, A2C1, BC2把AD分成四条线段的长度相等．答案：相等6．如图, 在△ABC中, E是AB的中点, EF∥BD, EG∥AC交BD于G, CD＝12AD, 若EG＝2 cm, 则AC＝______；若BD＝10 cm, 则EF＝________.解析：由E是AB的中点, EF∥BD, 得F为AD的中点．由EG∥AC, 得EG＝12AD＝FD＝2 cm,结合CD＝12AD,可以得到F, D是AC的三等分点, 则AC＝3EG＝6 cm.由EF∥BD, 得EF＝12BD＝5 cm.答案：6 cm 5 cm7．如图, AB＝AC, AD⊥BC于点D, M是AD的中点, CM交AB于点P, DN∥CP.若AB ＝6 cm, 则AP＝________；若PM＝1 cm, 则PC＝________.解析：由AD⊥BC, AB＝AC, 知BD＝CD,又DN∥CP,∴BN＝NP,又AM＝MD, PM∥DN, 知AP＝PN,∴AP＝13AB＝2 cm.易知PM＝12DN, DN＝12PC,∴PC＝4PM＝4 cm.答案：2 cm 4 cm三、解答题8．已知△ABC中, D是AB的中点, E是BC的三等分点(BE>CE), AE, CD交于点F.求证：F是CD的中点．证明：如图,过D作DG∥AE交BC于G,在△ABE中, ∵AD＝BD, DG∥AE,∴BG＝GE.∵E是BC的三等分点,∴BG＝GE＝EC.在△CDG中, ∵GE＝CE, DG∥EF,∴DF＝CF,即F是CD的中点．9.如图, 在等腰梯形中, AB∥CD, AD＝12 cm, AC交梯形中位线EG于点F, 若EF＝4 cm, FG＝10 cm.求此梯形的面积．解：作高DM, CN,则四边形DMNC为矩形．∵EG是梯形ABCD的中位线,∴EG∥DC∥AB.∴F是AC的中点．∴DC＝2EF＝8, AB＝2FG＝20,MN＝DC＝8.在Rt△ADM和Rt△BCN中,AD＝BC, ∠DAM＝∠CBN, ∠AMD＝∠BNC,∴△ADM≌△BCN.∴AM＝BN＝12(20－8)＝6.∴DM＝AD2－AM2＝122－62＝6 3.∴S梯形＝EG·DM＝14×63＝84 3 (cm2)．10.已知：梯形ABCD中, AD∥BC, 四边形ABDE是平行四边形, AD 的延长线交EC于F.求证：EF＝FC.证明：法一：如图, 连接BE交AF于点O.∵四边形ABDE是平行四边形,∴BO＝OE.又∵AF∥BC,∴EF＝FC.法二：如图,延长ED交BC于点H.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AB∥ED, AB∥DH,AB＝ED.又∵AF∥BC,∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图, 延长EA交CB的延长线于点M.∵四边形ABDE是平行四边形,∴BD∥EA, AE＝BD.又∵AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM ＝BD . ∴AM ＝AE . ∴EF ＝FC .课时跟踪检测(二) 平行线分线段成比例定理一、选择题1.如图所示, DE ∥AB , DF ∥BC , 下列结论中不．正确的是( ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BF ABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC解析：选D ∵DF ∥EB , DE ∥FB , ∴四边形DEBF 为平行四边形． ∴DE ＝BF , DF ＝EB . ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE , A 正确． CE CB ＝DE AB ＝BFAB , B 正确． CD AD ＝CE EB ＝CEDF , C 正确．2．已知线段a , m , n 且ax ＝mn , 求作x , 图中作法正确的是( )解析：选C 因为ax ＝mn , 所以a m ＝nx , 故选C.3.如图, 在△ACE 中, B , D 分别在AC , AE 上, 下列推理不．正确的是( )A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCE B．BD∥CE⇒ADAE＝BDCEC．BD∥CE⇒ABBC＝ADDE D．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE解析：选D由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A、B、C都是正确的, D 项是错误的．4．如图, 将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A, 折叠至DC边上的点E, 使DE ＝5, 折痕为PQ, 则线段PM和MQ的比是()A．5∶12 B．5∶13 C．5∶19 D．5∶21解析：选C如图, 作MN∥AD交DC于N,∴DNNE＝AMME.又∵AM＝ME, ∴DN＝NE＝12DE＝52.∴NC＝NE＋EC＝52＋7＝192.∵PD∥MN∥QC,∴PMMQ＝DNNC＝52192＝519.二、填空题5．如图所示, 已知DE∥BC, BF∶EF＝3∶2, 则AC∶AE＝________.解析：∵DE∥BC,∴AEAC＝DEBC＝EFBF.∵BF∶EF＝3∶2,∴AC∶AE＝3∶2.答案：3∶26.如图, 在△ABC中, 点D是AC的中点, 点E是BD的中点, AE的延长线交BC于点F, 则BFFC＝________.解析：过点D作DM∥AF交BC于点M. ∵点E是BD的中点,∴在△BDM中, BF＝FM.∵点D是AC的中点,∴在△CAF中, CM＝MF.∴BFFC＝BFFM＋MC＝12.答案：1 27．如图, 四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝90°, AD∶AB∶BC＝3∶4∶6, E, F分别是AB, CD上的点, AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3.若四边形ABCD的周长为1, 则四边形AEFD的周长为________．解析：因为在四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝90°, AD∶AB∶BC＝3∶4∶6,所以可设AD＝3k, AB＝4k, BC＝6k,作DG⊥BC交BC于点G, 交EF于点H,则DG＝4k, GC＝3k,所以DC＝16k2＋9k2＝5k,因为四边形ABCD的周长为1,所以3k＋4k＋6k＋5k＝1, 所以k＝1 18,因为E, F分别是AB, CD上的点, AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3,所以AE＝4k3, DF＝5k3,取BE , CF 的中点M , N , 令EF ＝x , MN ＝y ,则由梯形中位线得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3k ＋y ，2y ＝x ＋6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，y ＝5k ，即EF ＝4k .所以四边形AEFD 的周长是 3k ＋4k 3＋4k ＋5k 3＝10k ＝10×118＝59.答案：59三、解答题8.如图, B 在AC 上, D 在BE 上, 且AB ∶BC ＝2∶1, ED ∶DB ＝2∶1, 求AD ∶DF .解：过点D 作DG ∥AC 交FC 于点G , 则DG BC ＝ED EB ＝23, 所以DG ＝23BC , 又BC ＝13AC ,所以DG ＝29AC ,所以DF AF ＝DG AC ＝29, 所以DF ＝29AF ,从而AD ＝79AF , 故AD ∶DF ＝7∶2.9.如图, 在四边形ABCD 中, AC , BD 交于点O , 过O 作AB 的平行线, 与AD , BC 分别交于E , F , 与CD 的延长线交于K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明：延长CK , BA , 设它们交于点H . 因为KO ∥HB ,所以KO HB ＝DK DH , KE HA ＝DK DH . 所以KO HB ＝KE HA , 即KO KE ＝HB HA . 因为KF ∥HB , 同理可得KF KO ＝HBHA .所以KO KE ＝KFKO , 即KO 2＝KE ·KF .10.如图所示, 在梯形ABCD中, AD∥BC, EF经过梯形对角线的交点O, 且EF∥AD.(1)求证：EO＝OF；(2)求EOAD＋EOBC的值；(3)求证：1AD＋1BC＝2EF.解：(1)证明：∵EF∥AD, AD∥BC, ∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC, ∴EOBC＝AEAB,OFBC＝DFDC.∵EF∥AD∥BC,∴AEAB＝DFDC.∴EOBC＝OFBC.∴EO＝OF. (2)∵EO∥AD,∴EOAD＝BEBA.由(1)知EOBC＝AEAB,∴EOAD＋EOBC＝BEBA＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知EOAD＋EOBC＝1,∴2EOAD＋2EOBC＝2.又EF＝2EO,∴EFAD＋EFBC＝2.∴1AD＋1BC＝2EF.课时跟踪检测(三)相似三角形的判定一、选择题1．如图所示, 点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点, AE与CD相交于点F, 则图中相似三角形共有()A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选B有3对, 因为∠ABC＝∠ADF, ∠AEB＝∠EAD, 所以△ABE∽△FDA, 因为∠ABC＝∠DCE, ∠E为公共角,所以△BAE∽△CFE.因为∠AFD＝∠EFC, ∠DAF＝∠AEC,所以△ADF∽△ECF.2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形, 则这个三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图, 要使△ACD ∽△BCA , 下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝AD BC B.AD CD ＝AC BC C ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：选C ∠C ＝∠C , 只有AC CD ＝CBAC , 即AC 2＝CD ·CB 时, 才能使△ACD ∽△BCA . 4．如图, 在等边三角形ABC 中, E 为AB 的中点, 点D 在AC 上, 使得AD AC ＝13, 则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD 解析：选B 因为∠A ＝∠C , BC AE ＝CDAD＝2, 所以△AED ∽△CBD . 二、填空题5．如图所示, 在△ABC 中, 点D 在线段BC 上, ∠BAC ＝∠ADC , AC ＝8, BC ＝16, 那么CD ＝________.解析：∵∠BAC ＝∠ADC , 又∠C ＝∠C , ∴△ABC ∽△DAC . ∴AC CD ＝BC AC . 又∵AC ＝8, BC ＝16. ∴CD ＝4. 答案：46．如图所示, ∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D, BC＝3, AC＝4, 则AD＝________, BD＝________.解析：由题设可求得AB＝5,∵Rt△ABC∽Rt△ACD,∴ABAC＝ACAD.∴AD＝AC2AB＝165.又∵Rt△ABC∽Rt△CBD,∴ABCB＝BCBD.∴BD＝BC2AB＝95.答案：165957．已知在△ABC中, AD为∠BAC的平分线, AD的垂直平分线EF与AD交于点E, 与BC的延长线交于点F, 若CF＝4, BC＝5, 则DF＝________.解析：连接AF.∵EF⊥AD, AE＝ED,∴AF＝DF,∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF,∠FDA＝∠BAD＋∠B,且∠DAC＝∠BAD,∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB, ∴△AFC∽△BFA.∴AFCF＝BFAF.∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36.∴AF＝6, 即DF＝6.答案：6三、解答题8.如图, D在AB上, 且DE∥BC交AC于点E, F在AD上, 且AD2＝AF·AB.求证：△AEF∽△ACD.证明：∵DE∥BC, ∴ADAB＝AEAC.∵AD2＝AF·AB, ∴ADAB＝AFAD.∴AEAC＝AFAD.又∠A＝∠A, ∴△AEF∽△ACD.9.如图, 直线EF交AB, AC于点F, E, 交BC的延长线于点D, AC⊥BC, 且AB·CD＝DE·AC.求证：AE·CE＝DE·EF.证明：∵AB·CD＝DE·AC∴ABDE＝ACCD.∵AC⊥BC,∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴△ACB∽△DCE.∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC, ∴△AEF∽△DEC.∴AEDE＝EFCE.∴AE·CE＝DE·EF.10.如图, 在△ABC中, EF∥CD, ∠AFE＝∠B, AE＝6, ED＝3, AF＝8.(1)求AC的长；(2)求CD2BC2的值．解：(1)∵EF∥CD,∴AEAD＝AFAC.∵AE＝6, ED＝3, AF＝8,∴66＋3＝8AC.∴AC＝12.(2)∵EF∥DC, ∴∠AFE＝∠ACD, 又∠AFE＝∠B, ∴∠ACD＝∠B. 又∠A＝∠A,∴△ACD∽△ABC.∴CDBC＝ADAC＝6＋312＝34.∴CD2BC2＝916.课时跟踪检测(四) 相似三角形的性质一、选择题1．如图, △ABC 中, DE ∥BC , 若AE ∶EC ＝1∶2, 且AD ＝4 cm, 则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC , 得△ADE ∽△ABC , ∴AD AB ＝AE AC , ∴AD DB ＝AE EC ＝12. ∴DB ＝4×2＝8(cm)．2.如图, 在▱ABCD 中, E 是BC 的中点, AE 交对角线BD 于点G , 且△BEG 的面积是1 cm 2, 则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC , 所以△BEG ∽△DAG , 因为BE ＝EC , 所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝⎛⎭⎫BE DA 2＝14, 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)．又因为AD ∥BC , 所以AG EG ＝DABE ＝2, 所以S △BAG S △BEG ＝AG EG＝2,所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2),所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2), 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2×6＝12(cm 2)．3．如图所示, 在▱ABCD 中, AB ＝10, AD ＝6, E 是AD 的中点, 在AB 上取一点F , 使△CBF ∽△CDE , 则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE , ∴BF DE ＝CB CD .∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8.4．如图, AB ∥EF ∥CD , 已知AB ＝20, DC ＝80, 那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD , ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14.∴EF AB ＝EC AC ＝45.∴EF ＝45AB ＝45×20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点E 在AB 上且EB ＝2AE , AC 与DE 交于点F , 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE , 得△CDF ∽△AEF , 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图, 在△ABC 中有一个矩形EFGH , 其顶点E , F 分别在AC , AB 上, G , H 在BC 上, 若EF ＝2FG , BC ＝20, △ABC 的高AD ＝10, 则FG ＝________.解析：设FG ＝x , 因为EF ＝2FG , 所以EF ＝2x .因为EF ∥BC , 所以△AFE ∽△ABC , 所以AM AD ＝EFBC , 即10－x 10＝2x 20,解得x ＝5, 即FG ＝5. 答案：57．如图所示, 在矩形ABCD 中, AE ⊥BD 于E , S 矩形ABCD ＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5, 则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°, AE ⊥BD , 所以△ABE ∽△DBA .所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5, 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm, DB ＝5k cm, 则AD ＝2k cm.因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2,所以k ·2k ＝40, 所以k ＝25(cm)．所以BD ＝5k ＝10 (cm), AD ＝45(cm)．又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20,所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)．答案：4 cm 三、解答题8．如图, 已知△ABC 中, ∠A ＝90°, AB ＝AC , D 为AB 的中点, E 是AC 上的点, BE , CD 交于点M .若AC ＝3AE , 求∠EMC 的度数．解：如图, 作EF ⊥BC 于点F , 设AB ＝AC ＝3, 则AD ＝32, BC ＝32,CE ＝2, EF ＝FC ＝ 2. ∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC , ∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ,∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图, ▱ABCD 中, E 是CD 的延长线上一点, BE 与AD 交于点F , DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2, 求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A ＝∠C , AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC , AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB , △DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ,∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE EC 2＝19, S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2,∴S △CEB ＝18, S △ABF ＝8, ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16. ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示, 甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB 的高度, 甲在操场上C 处直立3 m 高的竹竿CD , 乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合, 量得CE ＝3 m, 乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m ；丙在C 1处也直立3 m 高的竹竿C 1D 1, 乙从E 处退后6 m 到E 1处, 恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合, 量得C 1E 1＝4 m, 求旗杆AB的高．解：设F 1F 与AB , CD , C 1D 1分别交于点G , M , N , GB ＝x m, GM ＝y m. 因为MD ∥GB ,所以∠BGF ＝∠DMF , ∠GBF ＝∠MDF , 所以△BGF ∽△DMF , 所以MD GB ＝MF GF.又因为MD ＝CD －CM ＝CD －EF ＝1.5 (m), 所以1.5x ＝33＋y.①又因为ND 1∥GB , 同理可证得△BGF 1∽△D 1NF 1, 所以ND 1GB ＝NF 1GF 1,即1.5x ＝4y ＋3＋6.②解方程①②组成的方程组, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝15.又AB ＝GB ＋GA ＝9＋1.5＝10.5(m), 即旗杆AB 的高为10.5 m.课时跟踪检测(五) 直角三角形的射影定理一、选择题1．已知Rt △ABC 中, 斜边AB ＝5 cm, BC ＝2 cm, D 为AC 上一点, DE ⊥AB 交AB 于点E , 且AD ＝3.2 cm, 则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图, ∵∠A ＝∠A , ∴Rt △ADE ∽Rt △ABC , ∴AD AB ＝DEBC, ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)．2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2, 则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2, 则斜边长为5, ∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm, 斜边上的高为2.4 cm, 则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm), 由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm),∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示, 在△ABC 中, ∠ACB ＝90°, CD ⊥AB , D 为垂足, 若CD ＝6 cm, AD ∶DB ＝1∶2, 则AD 的长是( )A．6 cm B．3 2 cm C．18 cm D．3 6 cm解析：选B∵AD∶DB＝1∶2,∴可设AD＝t, DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB, ∴36＝t·2t,∴2t2＝36, ∴t＝32(cm), 即AD＝3 2 cm.二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1, 则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．答案： 26．如图所示, 四边形ABCD是矩形, ∠BEF＝90°, ①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD为矩形,所以∠A＝∠D＝90°.因为∠BEF＝90°, 所以∠AEB＋∠DEF＝90°.因为∠DEF＋∠DFE＝90°, 所以∠AEB＝∠DFE.所以△ABE∽△DEF.答案：①③7．如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB, AC＝6, AD＝3.6, 则BC＝________.解析：由射影定理得,AC2＝AD·AB, BC2＝BD·AB,∴AC2BC2＝ADBD, 即BC2＝AC2·BDAD.又∵CD2＝AD·BD,∴BD＝CD2 AD.∴BC2＝AC2·CD2AD2＝62(62－3.62)3.62＝64.∴BC＝8.答案：8三、解答题8．如图所示, D为△ABC中BC边上的一点, ∠CAD＝∠B, 若AD ＝6, AB＝10, BD＝8, 求CD的长．解：在△ABD中, AD＝6, AB＝10, BD＝8,满足AB2＝AD2＋BD2,∴∠ADB＝90°, 即AD⊥BC.又∵∠CAD＝∠B, 且∠C＋∠CAD＝90°.∴∠C＋∠B＝90°, 即∠BAC＝90°.故在Rt△BAC中, AD⊥BC,由射影定理知AD2＝BD·CD, 即62＝8·CD,∴CD＝9 2.9.如图, AD, BE是△ABC的两条高, DF⊥AB, 垂足为F, 直线FD交BE 于点G , 交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中,因为∠H ＋∠BAC ＝90°, ∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°, 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°, 所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF ,所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中, FD ⊥AB , 所以DF 2＝AF ·BF , 所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm, 一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图, 设CD ＝3x , BD ＝5x , 则BC ＝8x , 过D 作DE ⊥AB , 由题意可得, DE ＝3x , BE ＝4x , ∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ,∴AC ＝24－6x , AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2,解得x 1＝0(舍去), x 2＝2. ∴AB ＝20, AC ＝12, BC ＝16, ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F , ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理, BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm, 645 cm.课时跟踪检测(六) 圆周角定理一、选择题1．如图, △ABC 内接于⊙O , OD ⊥BC 于D , ∠A ＝50°, 则∠OCD 的度数是( )A ．40°B ．25°C ．50°D ．60°解析：选A 连接OB .因为∠A ＝50°, 所以BC 弦所对的圆心角∠BOC ＝100°, ∠COD ＝12∠BOC ＝50°, ∠OCD ＝90°－∠COD ＝90°－50°＝40°.所以∠OCD ＝40°.2．如图, CD 是⊙O 的直径, 弦AB ⊥CD 于点E , ∠BCD ＝25°, 则下列结论错误的是( )A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．∠AOD ＝50°D ．D 是AB 的中点解析：选B 因为CD 是⊙O 的直径, 弦AB ⊥CD , 所以AD ＝BD , AE ＝BE . 因为∠BCD ＝25°,所以∠AOD ＝2∠BCD ＝50°, 故A 、C 、D 项结论正确, 选B.3．Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, ∠A ＝30°, AC ＝23, 则此三角形外接圆的半径为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4解析：选B 由推论2知AB 为Rt △ABC 的外接圆的直径, 又AB ＝23cos 30°＝4, 故外接圆半径r ＝12AB ＝2.4．如图, 已知AB 是半圆O 的直径, 弦AD , BC 相交于点P , 若CD ＝3, AB ＝4, 则tan ∠BPD 等于( )A.34B.43C.53D.73解析：选D 连接BD , 则∠BDP ＝90°. ∵△CPD ∽△APB , ∴CD AB ＝PD PB ＝34.在Rt △BPD 中, cos ∠BPD ＝PD PB ＝34,∴tan ∠BPD ＝73. 二、填空题5．如图, △ABC 为⊙O 的内接三角形, AB 为⊙O 的直径, 点D 在⊙O 上, ∠ADC ＝68°, 则∠BAC ＝________.解析：AB 是⊙O 的直径, 所以弧ACB 的度数为180 °, 它所对的圆周角为90°, 所以∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－∠ADC ＝90°－68°＝22°.答案：22°6．如图, A , E 是半圆周上的两个三等分点, 直径BC ＝4, AD ⊥BC , 垂足为D , BE 与AD 相交于点F , 则AF 的长为______．解析：如图, 连接AB , AC , 由A , E 为半圆周上的三等分点, 得∠FBD ＝30°, ∠ABD ＝60°, ∠ACB ＝30°. 由BC ＝4,得AB ＝2, AD ＝3, BD ＝1,则DF ＝33, 故AF ＝233. 答案：2337．如图所示, 已知⊙O 为△ABC 的外接圆, AB ＝AC ＝6, 弦AE 交BC 于点D , 若AD ＝4, 则AE ＝________.解析：连接CE , 则∠AEC ＝∠ABC . 又△ABC 中, AB ＝AC , ∴∠ABC ＝∠ACB , ∴∠AEC ＝∠ACB , ∴△ADC ∽△ACE , ∴AD AC ＝AC AE , ∴AE ＝AC 2AD ＝9.答案：9 三、解答题8．如图, AB 是⊙O 的直径, 弦CD ⊥AB 于点N , 点M 在⊙O 上, ∠1＝∠C .(1)求证：CB ∥MD ；(2)若BC ＝4, sin M ＝23, 求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为∠C 与∠M 是同一弧所对的圆周角, 所以∠C ＝∠M .又∠1＝∠C , 所以∠1＝∠M ,所以CB ∥MD (内错角相等, 两直线平行)．(2)由sin M ＝23知, sin C ＝23,所以BN BC ＝23, BN ＝23×4＝83.由射影定理得：BC 2＝BN ·AB , 则AB ＝6. 所以⊙O 的直径为6.9.如图, 已知△ABC 内接于圆, D 为BC 的中点, 连接AD 交BC 于点E . 求证：(1)AE EC ＝BE ED ； (2)AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC . 证明：(1)连接CD . ∵∠1＝∠3, ∠4＝∠5, ∴△ABE ∽△CDE .∴AE EC ＝BE ED. (2)连接BD . ∵AE EC ＝BEDE, ∴AE ·DE ＝BE ·EC .∴AE 2＋BE ·EC ＝AE 2＋AE ·DE ＝AE (AE ＋DE )＝AE ·AD .①在△ABD 与△AEC 中, ∵D 为BC 的中点, ∴∠1＝∠2.又∵∠ACE ＝∠ACB ＝∠ADB , ∴△ABD ∽△AEC .∴AB AE ＝AD AC , 即AB ·AC ＝AD ·AE ②由①②知：AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC .10.如图所示, ⊙O是△ABC的外接圆, ∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I, 延长AI 交⊙O于点D, 连接BD, DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10 cm, ∠BAC＝120°, 求△BCD的面积．解：(1)证明：因为AI平分∠BAC,所以∠BAD＝∠DAC,所以BD＝DC, 所以BD＝DC.因为BI平分∠ABC, 所以∠ABI＝∠CBI,因为∠BAD＝∠DAC, ∠DBC＝∠DAC,所以∠BAD＝∠DBC.又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI,∠DIB＝∠ABI＋∠BAD,所以∠DBI＝∠DIB, 所以△BDI为等腰三角形,所以BD＝ID, 所以BD＝DC＝DI.(2)当∠BAC＝120°时,△ABC为钝角三角形,所以圆心O在△ABC外．连接OB, OD, OC,则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD＝120°,所以∠DBC＝∠DCB＝60°,所以△BDC为正三角形．所以OB是∠DBC的平分线．延长CO交BD于点E, 则OE⊥BD,所以BE＝12BD.又因为OB＝10,所以BC＝BD＝2OB cos 30°＝2×10×32＝103,所以CE＝BC·sin 60°＝103×32＝15,所以S△BCD＝12BD·CE＝12×103×15＝75 3.所以△BCD的面积为75 3.课时跟踪检测(七) 圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1．四边形ABCD的一个内角∠C＝36°, E是BA延长线上一点, 若∠DAE＝36°, 则四边形ABCD()A．一定有一个外接圆B．四个顶点不在同一个圆上C．一定有内切圆D．四个顶点是否共圆不能确定解析：选A因为∠C＝36°, ∠DAE＝36°, 所以∠C与∠BAD的一个外角相等, 由圆内接四边形判定定理的推论知, 该四边形有外接圆, 故选A.2．圆内接四边形ABCD中, ∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：选B由四边形ABCD内接于圆, 得∠A＋∠C＝∠B＋∠D, 从而只有B项符合题意．3．如图, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形, E为AB的延长线上一点, ∠CBE＝40°, 则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：选C四边形ABCD是圆内接四边形, 且∠CBE＝40°, 由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°, 又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.4．已知四边形ABCD是圆内接四边形, 下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C, 则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B, 则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确, ②④错误．二、填空题5．如图, 直径AB＝10, 弦BC＝8, CD平分∠ACB, 则AC＝______, BD＝________.解析：∠ACB＝90°, ∠ADB＝90°.在Rt△ABC中, AB＝10, BC＝8,∴AC＝AB2－BC2＝6.又∵CD平分∠ACB, 即∠ACD＝∠BCD,∴AD＝BD.∴BD＝AB22＝5 2.答案：65 26．如图, 在圆内接四边形ABCD中, AB＝AD, AC＝1, ∠ACD＝60°, 则四边形ABCD 的面积为________．解析：过A作AE⊥BC于E, AF⊥CD于F.因为∠ADF＋∠ABC＝180°,∠ABE＋∠ABC＝180°,所以∠ABE＝∠ADF.又因为AB＝AD,∠AEB＝∠AFD＝90°,所以Rt△AEB≌Rt△AFD.所以S四边形ABCD＝S四边形AECF, AE＝AF. 又因为∠E＝∠AFC＝90°, AC＝AC, 所以Rt△AEC≌Rt△AFC.因为∠ACD＝60°, ∠AFC＝90°,所以∠CAF＝30°.因为AC＝1,所以CF＝12, AF＝32,所以S四边形ABCD＝2S△ACF＝2×12CF×AF＝34.答案：3 47.如图, 已知四边形ABCD内接于圆, 分别延长AB和DC相交于点E, EG平分∠E, 且与BC, AD分别相交于F, G, 若∠AED＝40°, ∠CFG＝80°, 则∠A＝________.解析：∵EG平分∠E, ∴∠FEC＝20°.∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°.∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A＝∠FCE＝60°.答案：60°三、解答题8.如图, 在△ABC中, ∠C＝60°, 以AB为直径的半圆O分别交AC, BC于点D, E, 已知⊙O的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长．解：(1)证明：因为四边形ABED为⊙O的内接四边形,所以∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)．又∠C＝∠C,所以△CDE∽△CBA.(2)法一：连接AE.由(1)得DEBA＝CECA,因为AB为⊙O的直径,所以∠AEB ＝∠AEC ＝90°.在Rt △AEC 中, 因为∠C ＝60°, 所以∠CAE ＝30°, 所以DE BA ＝CE CA ＝12, 即DE ＝2 3.法二：连接DO , EO . 因为AO ＝DO ＝OE ＝OB , 所以∠A ＝∠ODA , ∠B ＝∠OEB .由(1)知∠A ＋∠B ＝∠CDE ＋∠CED ＝120°, 又∠A ＋∠B ＋∠ADE ＋∠DEB ＝360°, 所以∠ODE ＋∠OED ＝120°, 则∠DOE ＝60°,所以△ODE 为等边三角形, 所以DE ＝OB ＝2 3.9.如图, A , B , C , D 四点在同一圆上, AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点, 且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F , 延长DC 到G , 使得EF ＝EG , 证明：A , B , G , F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED , 所以∠EDC ＝∠ECD .因为A , B , C , D 四点在同一圆上, 所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知, AE ＝BE . 因为EF ＝EG ,故∠EFD ＝∠EGC , 从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF , BG , 则△EFA ≌△EGB , 故∠FAE ＝∠GBE .又CD ∥AB , ∠EDC ＝∠ECD , 所以∠FAB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A , B , G , F 四点共圆．10．如图, 已知⊙O 的半径为2, 弦AB 的长为23, 点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上的任一点(点C , D 均不与A , B 重合)．(1)求∠ACB ；(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA , OB , 作OE ⊥AB , E 为垂足, 则AE ＝BE . Rt △AOE 中, OA ＝2, AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.∴sin ∠AOE ＝AE OA ＝32,∴∠AOE ＝60°, ∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB , ∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形, ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°. 从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB , 垂足为F , 则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然, 当DF 经过圆心O 时, DF 取最大值, 从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3, S △ABD ＝33, 即△ABD 的最大面积是3 3.课时跟踪检测(八) 圆的切线的性质及判定定理一、选择题1.如图, AB切⊙O于点B, 延长AO交⊙O于点C, 连接BC.若∠A＝40°, 则∠C等于()A．20°B．25°C．40°D．50°解析：选B连接OB, 因为AB切⊙O于点B,所以OB⊥AB, 即∠ABO＝90°,所以∠AOB＝50°,又因为点C在AO的延长线上, 且在⊙O上,所以∠C＝12∠AOB＝25°.2．如图, AB是⊙O的直径, BC是⊙O的切线, AC交⊙O于D.若AB＝6, BC＝8, 则BD等于()A．4 B．4.8C．5.2 D．6解析：选B∵AB是⊙O的直径, ∴BD⊥AC.∵BC是⊙O的切线, ∴AB⊥BC.∵AB＝6, BC＝8, ∴AC＝10.∴BD＝AB·BCAC＝4.8.3．如图, AB是⊙O的直径, BC交⊙O于点D, DE⊥AC于点E, 要使DE是⊙O的切线, 还需补充一个条件, 则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD解析：选A当AB＝AC时, 如图,连接AD, 因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BC, 所以CD＝BD.因为AO ＝BO ,所以OD 是△ABC 的中位线, 所以OD ∥AC .因为DE ⊥AC , 所以DE ⊥OD , 所以DE 是⊙O 的切线．所以选项B 正确．当CD ＝BD 时, AO ＝BO , 同选项B, 所以选项C 正确．当AC ∥OD 时, 因为DE ⊥AC , 所以DE ⊥OD .所以DE 是⊙O 的切线．所以选项D 正确．4．如图, 在⊙O 中, AB 为直径, AD 为弦, 过B 点的切线与AD 的延长线交于C , 若AD ＝DC , 则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55 D.24解析：选A 连接BD , 则BD ⊥AC . ∵AD ＝DC , ∴BA ＝BC , ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线, 切点为B , ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55,cos ∠BCO＝BCOC＝2OB5OB＝255.∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO)＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO＝22×255－22×55＝1010.二、填空题5.如图, ⊙O的半径为3 cm, B为⊙O外一点, OB交⊙O于点A, AB ＝OA, 动点P从点A出发, 以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间t为________s时, BP与⊙O相切．解析：连接OP.当OP⊥PB时, BP与⊙O相切．因为AB＝OA, OA＝OP,所以OB＝2OP,又因为∠OPB＝90°, 所以∠B＝30°,所以∠O＝60°.因为OA＝3 cm,所以AP＝60×π×3180＝π, 圆的周长为6π,所以点P运动的距离为π或6π－π＝5π；所以当t＝1 s或5 s时, BP与⊙O相切．答案：1或56．已知PA是圆O的切线, 切点为A, PA＝2, AC是圆O的直径, PC与圆O交于B点, PB ＝1.则圆O的半径R＝________.解析：如图, 连接AB,则AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC,∴BC＝3, 在Rt△ABC中,AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴半径R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6, C为圆周上一点, BC＝3, 过C作圆的切线l, 过A作l的垂线AD , AD 分别与直线l 、圆交于点D , E , 则∠DAC ＝________, DC ＝________.解析：连接OC .∵OC ＝OB , ∴∠OCB ＝∠OBC . 又∠DCA ＋∠ACO ＝90°, ∠ACO ＋∠OCB ＝90°, ∴∠DCA ＝∠OCB . ∵OC ＝3, BC ＝3, ∴△OCB 是正三角形．∴∠OBC ＝60°, 即∠DCA ＝60°. ∴∠DAC ＝30°.在Rt △ACB 中, AC ＝AB 2－BC 2＝33, DC ＝AC sin 30°＝32 3.答案：30° 332三、解答题8．如图, 已知在△ABC 中, AB ＝AC , 以AB 为直径的⊙O 交BC 于D , 过D 点作⊙O 的切线交AC 于E .求证：(1)DE ⊥AC ； (2)BD 2＝CE ·CA . 证明：(1)连接OD , AD . ∵DE 是⊙O 的切线, D 为切点, ∴OD ⊥DE .∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC .又AB ＝AC , ∴BD ＝DC .又O 为AB 的中点, ∴OD ∥AC .∴DE ⊥AC . (2)∵AD ⊥BC , DE ⊥AC , ∴△CDE ∽△CAD . ∴CD CA ＝CECD.∴CD 2＝CE ·CA . 又∵BD ＝DC , ∴BD 2＝CE ·CA .9.如图, ⊙O 内切于△ABC , 切点分别为D , E , F , AB ＝AC , 连接AD 交⊙O 于H , 直线FH 交BC 的延长线于G .(1)求证：圆心O 在AD 上；(2)求证：CD＝CG；(3)若AH∶AF＝3∶4, CG＝10, 求FH的长．解：(1)证明：由题知AE＝AF,CF＝CD, BD＝BE,又∵AB＝AC,∴CD＝CF＝BE＝BD.∴D为BC中点．∴AD是∠BAC的角平分线．∴圆心O在AD上．(2)证明：连接DF.∵O在AD上, ∴DH为直径．∴∠DFH＝90°.∵CF＝CD, ∴∠CFD＝∠FDC.∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG.∴CG＝CF.∴CG＝CD.(3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA, 又∠FAD为公共角, 则△AHF∽△AFD.∴FHFD＝AHAF＝34.∴在Rt△HFD中, FH∶FD∶DH＝3∶4∶5. ∵△HDF∽△DGF,∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.∴DF＝3×20×15＝12, ∴FH＝34FD＝9.10.如图, 四边形ABCD内接于⊙O, BD是⊙O的直径, AE⊥CD, 垂足为E, DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°, DE＝1 cm, 求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD,∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE,∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径,∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°, ∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中, ∠AED＝90°, ∠EAD＝30°,∴AD＝2DE.在Rt△ABD中, ∠BAD＝90°, ∠ABD＝30°,∴BD＝2AD＝4DE＝4 (cm)．课时跟踪检测(九) 弦切角的性质一、选择题1．P在⊙O外, PM切⊙O于C, PAB交⊙O于A, B, 则()A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA解析：选C由弦切角定理知∠PCA＝∠B.2．如图, PC与⊙O相切于C点, 割线PAB过圆心O, ∠P＝40°, 则∠ACP等于()A．20°B．25°C．30°D．40°解析：选B连接OC.∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC.∵∠P＝40°,∴∠POC＝50°.连接BC,则∠B＝12∠POC＝25°,∴∠ACP＝∠B＝25°.3．如图, AB是⊙O的直径, EF切⊙O于C, AD⊥EF于D, AD＝2, AB＝6, 则AC的长为()A．2 B．3 C．2 3 D．4解析：选C连接BC, 则∠ACB＝90°, 又AD⊥EF,∴∠ADC＝90°,即∠ADC＝∠ACB,又∵∠ACD＝∠ABC,∴△ABC∽△ACD,∴ACAD＝ABAC,∴AC2＝AD·AB＝12,即AC＝2 3.4．如图, AB是⊙O的直径, P在AB的延长线上, PD切⊙O于C点, 连接AC, 若AC＝PC, PB＝1, 则⊙O的半径为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A连接BC.∵AC＝PC, ∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A, ∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC PA＝PB PC.∴PC2＝PB·PA,即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2,设⊙O半径为r,则4r2－12＝1·(1＋2r), 解得r＝1.二、填空题5．如图, AB是⊙O的直径, PB, PE分别切⊙O于B, C, 若∠ACE＝40°, 则∠P＝________.解析：连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°,∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.答案：80°6．如图, 点P在圆O直径AB的延长线上, 且PB＝OB＝2, PC切圆O于C点, CD⊥AB于D点, 则CD＝________.解析：连接OC.∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2, OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD,∴CD＝2×234＝ 3.答案： 37．如图, 过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A, B, 且PB＝7, C是圆上一点使得BC＝5, ∠BAC＝∠APB, 则AB＝________.解析：由PA为⊙O的切线, BA为弦,得∠PAB＝∠BCA,又∠BAC＝∠APB,于是△APB∽△CAB,所以PBAB＝ABBC.而PB＝7, BC＝5,故AB2＝PB·BC＝7×5＝35, 即AB＝35.答案：35三、解答题8.如图, AB是半圆O的直径, C是圆周上一点(异于A, B), 过C作圆O的切线l, 过A作直线l的垂线AD, 垂足为D, AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.证明：连接AC, BE, 在DC延长线上取一点F, 因为AB是半圆O的直径, C为圆周上一点,所以∠ACB＝90°,即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l, 所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线, 所以∠CEB＝∠BCF,又∠DAC＝∠CBE,所以∠CBE＝∠CEB,所以CB＝CE.9.如图所示, △ABC内接于⊙O, AB＝AC, 直线XY切⊙O于点C, 弦BD∥XY, AC, BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm, BC＝4 cm, 求AE的长．解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线,所以∠1＝∠2.因为BD∥XY, 所以∠1＝∠3,所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4, 所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD,又因为AB＝AC,所以△ABE≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2, ∠ABC＝∠ACB,所以△BCE∽△ACB, 所以BCAC＝CECB,即AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm, BC＝4 cm, 所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝103(cm)．10.如图, 已知C点在圆O直径BE的延长线上, CA切圆O于A点, DC是∠ACB的角平分线, 交AE于点F, 交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC, 求AC∶BC.解：(1)∵AC为圆O的切线,∴∠B＝∠EAC.又DC是∠ACB的平分线,∴∠ACD＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD, 即∠ADF＝∠AFD.又∵BE为圆O的直径,∴∠DAE＝90°,∠ADF＝12(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC, ∠ACB＝∠ACE,∴△ACE∽△BCA.∴ACBC＝AEAB.又∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB＝23∠ADF＝30°.∴在Rt△ABE中, ACBC＝AEAB＝tan ∠B＝tan 30°＝33.课时跟踪检测(十) 与圆有关的比例线段一、选择题1．在半径为12 cm的圆中, 垂直平分半径的弦的长为()A．3 3 cm B．27 cm C．12 3 cm D．6 3 cm解析：选C法一：如图所示, OA＝12, CD为OA的垂直平分线, 连接OD.在Rt△POD中,PD＝OD2－OP2＝122－62＝63,∴CD＝2PD＝123(cm)．法二：如图, 延长AO交⊙O于M,由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.又∵CD为线段OA的垂直平分线,∴PD2＝PA·PM.又∵PA＝6, PM＝6＋12＝18,∴PD2＝6×18.∴PD＝6 3.∴CD＝2PD＝123(cm)．2．如图, CA, CD分别切圆O1于A, D两点, CB, CE分别切圆O2于B, E两点．若∠1＝60°, ∠2＝65°, 判断AB, CD, CE的长度, 下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°, ∠2＝65°,所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°,所以∠2>∠1>∠ABC,所以AB>BC>AC.。

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《选修4-1》基础训练题组A1．如图，在直角梯形ABCD中．上底AD=3，下底BC=33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB上选取一点P，使△PAD和△PBC相似，这样的点P()A．有1个B．有2个C．有3个D．不存在2．如图，圆内的两条弦AB，CD相交于圆内一点P，已知PA=4，PB=2，2PC=PD，则CD的长为＿＿＿＿．3．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BC2= BD·AB，则∠ACB＝＿＿．4．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是＿＿＿．5．如图，已知梯形ABCD中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC和BD 相交于点P．(l)若AP长为4，则PC＝；(2)△ABP和△CDP的高的比为．题1图题2图题3图题4图题5图6．已知四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB= 90°，AD和BC的延长线交于E．求证：A，B，C，D四点共圆．7．如图所示，已知△ABC内接于⊙O，直线DE与⊙O相切于点A，BD∥CA．求证：AB·DA =BC·BD．《选修4-1》提高训练题组B1．在矩形ABCD中，AD=a, AB＝b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，△APD，A POM C B题1图题2图题3图题4图△CDP 两两相似，则a ，b 间的关系一定满足( ) A ．12≥a b B ．≥a b C ．32≥a b D ．2≥a b2．如图, BC 为⊙O 的直径，OA ⊥BF ，交⊙O 于点A ，F, AD ⊥BC,垂足为D,BF 和AD 相交于E ，则△ABE 为＿＿＿＿三角形．3．如图，点,,A B C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于．4．如图所示，圆O 的直径AB=6，C 为圆周上一点，BC=3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l ，圆交于D ，E ，则∠DAC=＿＿＿，线段AE 的长为＿＿＿． 5．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2． AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B ，PB=1，则圆O 的半径R ＝＿＿＿．6．如图,设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ．∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：ED 2＝EB ·EC ．7．如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD ．求证：AB ∥CD ．8．已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A ，C 重合)，延长BD 至E ．(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC=30°,△ABC 中BC 边上的高为2+3,求△ABC 外接圆的面积．9．如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE AF =．(1)证明：B ，D ，H ，E 四点共圆：(2)证明：CE 平分∠DEF ．10．如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点． (1)证明A P O M ，，，四点共圆；(2)求OAM APM ∠+∠的大小．《选修4-1》综合训练题组C1.如图所示，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC=4，PB=8，则CD=________.2.如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=，AC=6，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为________.3.如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，则圆O 的半径等于．4.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=，AB=BC=3.则BD 的长______，AC 的长_______．5.如图， ⊙O′和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙O′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN=3，NQ=15，则 PN ＝______．6.如图所示, 圆的内接△ABC 的∠C 的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段BE= .7.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∠MAB=250，则∠D= ___ .8.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则BF=FC.9.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 .10.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD=1，∠ABC=300，则圆O 的面积是______.11.如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB=6，CD=52，则线段AC 的长度为．12.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ，E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H. 若AD=5，BC=7，则GH=________.第1题图第2题图第3题图第4题图BADCENB ADC EF第5题图第6题图第7题图第8题图第9题图ABCDABCDEFGH第12题图第11题图第10题图《选修4-1》基础训练题组A 参考答案1．B 解析：设AP=x ． (1)若△ADP ∽△BPC ，则AD APBP BC=，即3633x x =-，所以2690x x -+=，解得x =3． (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD AB BC BC =，即3633x x=-，解得32x =．∴符合条件的点P 有两个．故选B ．2．6 解析：设CD ＝x ，则PD ＝23x ，PC ＝13x ，由相交弦定理得PA ·PB ＝PC ·PD ，∴4×2＝2133x x ⋅，解得x =6，即CD= 6．3．90° 解析：在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD ·AB ，得BC ABBD BC=，且∠B ＝ ∠B ，所以△ABC ∽△CBD ．∴∠ACB=∠CDB= 90°． 4．99°解析：连接OB ，OC ，AC ．根据弦切角定理，可得∠A=∠BAC+∠CAD=12(180°－∠E)＋∠DCF= 67°＋32°＝99°． 5． (1)12 (2)1∶3解析：(1)∵AB ∥CD,∴△APB ∽△CPD ，∴AP AB PC CD =，即426PC =，解得PC=12．(2)由(1)得△ABP 和△CDP 的高的比等于它们的相似比，从而这两个三角形的高的比为1∶3．6．证明：如图，取AB 的中点O,连接DO ，CO ． ∵∠ACB ＝∠ADB ＝90°， ∴AO= BO=CO= DO ， ∴A,B,C,D 四点共圆．7．证明：∵DE 与⊙O 相切， ∴∠C=∠1．∵BD ∥CA ，∴∠2＝∠3， ∴△ABC ∽△BDA ，∴AB BCBD DA=． ∴AB ·DA ＝BC ·BD ．《选修4-1》基础训练题组B 参考答案APOM CB1.D 解析：结合图形易知，要使△ABP, △A PD ，△CDP 两两相似，必须满足AB BPCP CD=．即b BPCP b=，2BP CP b =.设BP x =，则1CP x =-，∴2()a x x b -=，即220x ax b -+=，要使BC 边上至少存在一点P,必须满足2240≥a b ∆=-，所以2≥a b ,故选D.2．等腰解析：如图，连接AC. ∵OA ⊥BF ，∴∠AOB ＝∠AOF ，∴AB AF =， ∴∠ABE=∠∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC=90°，∴∠BAE=90°－∠DAC ． ∵AD ⊥BC ，∴∠ACD ＝90°－∠DAC.∴∠BA E=∠ACD ， ∴∠ABE ＝∠BAE ，即△ABE 为等腰三角形．3．8π 解析：法一：连结OA ，OB ，则∠AOB ＝90°，∵4=AB ，OA ＝OB ，∴22=OA ，则ππ8)22(2=⨯=圆S ；法二：222445sin 420=⇒==R R ，则ππ8)22(2=⨯=圆S ．4．30°，3 解析：由Rt △ACB 的各边的长度关系知∠CAB = 30°，而弦切角∠BCl =∠CAB ＝30°，那么在Rt △ADC 中，∠ACD=60°，故∠DAC=30∠．又OC ⊥l ,从而四边形EAOC 为菱形，故AE= 3．5．3 解析：如图，连接AB ，∵AC 为直径，∴AB ⊥BC ．∵PA 是切线，∴PA 2＝PB ·PC ，即22＝1·PC ，∴PC ＝4，CB ＝3，由AC 2＝CB ·CP ＝3×4＝12，AC ＝23，∴半径为3．6．证明：因为AE 是圆的切线，所以∠ABC=∠CAE ．又因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠BAD=∠CAD ．从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD ．因为∠ADE =∠ABC+∠BAD ，∠DAE =∠CAD ＋∠CAE ，所以∠ADE=∠DAE,故EA= ED ．因为EA 是圆的切线，所以由切割线定理知，EA 2＝EC ·EB ，而EA ＝ED ，所以ED 2= EC ·EB ． 7．证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠CAB=∠CDB ．又由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA ，∴∠DBA=∠CDB ，∴AB ∥CD ．8．解：(1)如图，设F 为AD 延长线上一点，∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠CDF=∠ABC ．又AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵∠ADB=∠ACB ，∴∠ADB=∠CDF ，对顶角∠EDF=∠ADB ，故∠EDF=∠CDF ，即AD 的延长线平分∠CDE ． (2)设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则AH ⊥BC ．连接OC ，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．设圆半径为r ，则r+23r=2+3，解得r=2．∴外接圆的面积为4π． 9证明：(1)在△ABC 中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°．因为AD ，CE 是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°．于是∠EHD=∠AHC=120°．因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B ，D ，H ，E 四点共圆． (2)连结BH ，则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD=30°．由(1)知B ，D ，H ，E 四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°．又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF ⊥AD ，可得∠CEF=30°．所以CE 平分∠DEF ．10．(1)证明：连结OPOM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥．因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．于是180OPA OMA ∠+∠=°．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆． (2)解：由(1)得AP O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠．由(1)得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°．所以90OAM APM ∠+∠=°．《选修4-1》综合训练题组C 参考答案1.24.3. 5 .4. 4，723. 5. 53.6. 521.7. 115o . 8.21. 9. 99O . 10. 4 . 11.30. 12. 1.。

高三基础知识天天练数学选修4-4-1人教版

选修4-4 第1节[知能演练]一、选择题1．点M (ρ，θ)关于极点对称的点的坐标为( )A ．(－ρ，－θ)B ．(ρ，π＋θ)C ．(ρ，π－θ)D ．(ρ，－θ)答案：B2．将曲线y ＝12sin3x 变为y ＝sin x 的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y 答案：D3．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( )A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)解析：ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2， tan θ＝3，∴θ＝4π3，z ＝3，∴选C.答案：C4．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( )A ．ρsin θ＝2B ．ρcos θ＝2C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：圆ρ＝4sin θ的圆心为(2，π2)，半径r ＝2，对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线(y ＝2)与圆相交；对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线(x ＝2)与圆相切；选项C ，D 对应的直线与圆都相离．答案：B 二、填空题5．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．解析：∵点M 的极坐标为(6，11π6)，∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×32＝33，y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3，∴点M 的直角坐标为(33，－3)，∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．答案：(－33，－3)6．在极坐标系中，点P (2，3π2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．解析：在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程：3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离：d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：1 三、解答题7．说出由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan2x 的变换过程，并求满足其图形变换的伸缩变换．解：y ＝tan x 的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan2x .设y ′＝3tan2x ′，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ>0y ′＝μ·y μ>0，将其代入y ′＝3tan2x ′，得μy ＝3tan2λx与y ＝tan x 比较，可得⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝3λ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y.8．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求RP 的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12，∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得RP 的最小值为1.[高考·模拟·预测]1．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 答案：D2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析：直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.答案：4 33．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x ＋y －2＝0，故点(1,0)到直线距离d ＝|1＋0－2|2＝22.答案：224．两直线ρsin(θ＋π4)＝2008，ρsin(θ－π4)＝2009的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)解析：两直线方程可化为x ＋y ＝20082，y －x ＝ 20092，故两直线垂直．答案：垂直5．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过圆O 1，圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.所以x 2＋y 2＝4x .即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程．同理，x 2＋y 2＋y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋y ＝0，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x ＋y ＝0.6．求经过极点O (0,0)，A (6，π2)，B (62，9π4)三点的圆的极坐标方程．解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos(θ－π4)．。

高考总复习-数学选修4-1-2

定理名称相交弦定理基本图形条件结论 (1)PA·PB ＝ PC·PD (2)△ACP∽ △BDP (1)PA·PB ＝ PC·PD (2)△PAC∽ △PDB (1)PA2＝PB·PC (2)△PAB∽ △PCA (1)PA＝ PB (2)∠OPA＝ ∠OPB 应用 (1)在PA、PB、PC 、PD四线段中知三求一 (2)求弦长及角 (1)求线段 PA、PB、PC、 PD及AB、CD (2)应用相似求AC 、BD (1)已知PA、PB、 PC知二可求一 (2)求解AB、AC
解析：由圆的性质PA2＝PC·PB，得PB＝12，连接OA 并反向延长交圆于点 E ，交弦 BC 于 D ，在 Rt△APD 中可以
求得PD＝4，DA＝2，故CD＝3，DB＝8，记圆的半径为R，
由于 ED·DA ＝ CD·DB ，因此， (2R － 2)·2 ＝ 3×8 ，解得 R ＝7. 答案：7
弦AB、CD相交于圆内点P
割线定理
PAB、PCD 是⊙O 的割线 PA切⊙O于 A，PBC 是⊙O 的割线 PA、PB 是⊙O的切线
切割线定理
切线长定理
(1)证线段相等，已知PA求PB (2)求角
1．从不在⊙O 上的一点 A 作直线交⊙O 于 B、 C，且 AB· AC ＝64，OA＝10，则⊙O 的半径等于 A．2 41 C．2 41或 6 B．6 D．8 或 41 ( )
②推论 (ⅰ)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相同圆或等；等圆弧中，相等的圆周角所对的
也相等．
(ⅱ)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径 (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
2．圆内接四边形的性质与判定定理

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选修4-1 第2节
[知能演练]
一、填空题
1．一平面截球面产生的截面形状是________；它截圆柱面所产生的截面形状是________．
答案：圆圆或椭圆
2．如下图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC ＝________.
解析：由弦切角定理，可知∠DCA ＝∠B ＝60°，又AD ⊥l ，故∠DAC ＝30°. 答案：30°
3．一个圆的两弦相交，一条弦被分为12 cm 和18 cm 两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．
解析：设另一弦被分的两段长分别为3k,8k (k >0)，由相交弦定理，得3k ·8k ＝12×18，解得k ＝3，故所求弦长为3k ＋8k ＝11k ＝33 cm. 答案：33 cm
4．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R 的长为________．
解析：如右图，连接AB ，
∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AB ＝∠C ，又∵∠APB ＝∠CP A ， ∴△P AB ∽△PCA ， ∴
P A AC ＝PB AB ，即P A 2R ＝PB
AB
， ∴R ＝P A ·AB 2PB ＝2×22－12
2×1
＝ 3.
答案： 3
5．已知如下图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为________．
解析：∵AC 、AD 分别是两圆的切线，
∴∠C ＝∠2，，1＝∠D ， ∴△ACB ∽△DAB . ∴
BC AB ＝AB
BD
， ∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝8＝22(舍去负值)．答案：2 2
6．如右图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝________.
解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ，连接OD ，得OD ⊥AC ，故AD AC ＝OD BC ，
即x 8＝r 6，故x ＝43
r . 又由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ，即169r 2＝(10－2r )×10，故r ＝154. 由射影定理知DF ＝3. 答案：3 二、解答题
7．如下图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在∠P AC 的内部，点M 是BC 的中点．
(1)证明：A ，P ，O ，M 四点共圆；
(2)求∠OAM ＋∠APM 的大小．
(1)证明：连结OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP .
因为M 是⊙O 中弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .
于是∠OP A ＋∠OMA ＝180°，由圆心O 在∠P AC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．
(2)解：由(1)，得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM ＝∠OPM .由(1)，得OP ⊥AP .
由圆心O 在∠P AC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°，所以∠OAM ＋∠APM ＝90°. 8．如右图，梯形ABCD 内接于⊙O ，
AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .
(1)求证：AB 2＝AE ·BC .
(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明：因为BE 切⊙O 于B ，所以∠ABE ＝∠ACB .
由于AD ∥BC ，所以∠BAE ＝∠ABC . 所以△EAB ∽△ABC . 所以AE AB ＝AB
BC .故AB 2＝AE ·BC .
(2)解：由(1)，知△EAB ∽△ABC ，所以BE AC ＝AB BC .又AE ∥BC ，所以EF AF ＝BE AC .
所以AB BC ＝EF
AF .又AD ∥BC ，所以AB ＝CD .
所以AB ＝CD .所以58＝EF
6.
所以EF ＝308＝15
4
.
[高考·模拟·预测]
1．如右图，已知P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.
解析：连结OA 、OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P 、A 、O 、B 四点共圆，故∠APB ＝60°.
答案：60°
2．如右图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC
切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.
解析：由切割线定理知，PC 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24
＝ 3.
答案： 3
3．如下图，圆O 和圆O ′相交于A 、B 两点，AC 是圆O ′的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则BD ＝________.
解析：易证△CBA ∽△ABD ，所以BC AB ＝AB
BD ，BD ＝8.
答案：8
4．如右图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．
解析：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．知∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，在Rt △OAB 中，得OA ＝22，即r ＝22，∴S ＝πr 2＝8π.
答案：8π
5．如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC
上的点(不与点A ，C 重合)，延长BD 到E .
(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；
(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的面积．
解：(1)如右图，设F 为AD 延长线上一点． ∵A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴∠CDF ＝∠ABC .
又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，且∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF . 对顶角∠EDF ＝∠ADB ，故∠EDF ＝∠CDF ，
即AD的延长线平分∠CDE.
(2)设O为外接圆圆心，连结AO交BC于H，则AH⊥BC. 连结OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.
设圆半径为r，则r＋
3
2r＝2＋3，得r＝2，外接圆面积为4π.。