等比数列前n项和求和公式ppt课件
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高一数学《等比数列的求和公式》PPT课件
a a q a ( 1 q) 1 n 1 ( q 1 ) ( q 1 ) q S 1 或 S 1 . q n n na ( q 1 ) na ( q 1 ) 1 1
n
1 11 例 1 ：求等比数列 ， ， ．．．的前 8 项的和 2 48
sn a1 a n q 1 q
当公比 q 1 时， S na n 1
a 1 (1 q ) ( q 1) Sn 1 q na 1 ( q 1)
n
an a q 1
n 1
Sn
a1 a n q ( q 1) 1 q . na ( q 1) 1
S S 2 S q 1 3 6 9
由 S S 2 S 得 3 6 9
a ( 1 q ） a ( 1 q） a ( 1 q ） 1 1 1 2 1 q 1 q 1 q
1 q 3 2 q 6 q 3 q 6 q 9
3
6
9
q q 4 2 q 7
a1 ( a1 q q q 4 ) 2 7
a a 2 a 2 5 8
a 2 ,a , a 成等差数列。 8 5
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加
10％，那么从第1年起，约几年内可使 总销售量达到30000台（保留到个位）
分析：销售量与年份之 间的关系如下 y1 5000 ; y2 5000 5000 10%
a 2 ,q3 1
例 4 ：已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n项和， S3, S9 , S6成等差数列， 求证： a , a , a 成等差数列。 2 8 5
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
等比数列前n项公式2课件
（3）求证：数列{bn }是等比数列； （4）记 dn
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习： 求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习： 求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ； （2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习： 求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习： 求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ； （2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
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请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析： 显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1， 解得q＝3，
n＝4.
数学 必修5
第二章 数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章 数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
数学 必修5
第二章 数列
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
数学 必修5
第二章 数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
数学 必修5
第二章 数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q
等比数列求和PPT课件
你觉得国王是否真的很容易就能满足发明者的要求了吗？
1 陛下，赏小
2
22 23 24 25
26 27
人一些麦粒
就可以。
263
第1格： 1 第2格： 2
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
1 2 22 23 262 263 ?
那 究 竟 有 多 少 颗 麦 粒 呢？1、若等比数列的前n项和Sn= 3n-2 ，求通 项公式an.
2、在等比数列an中，Sm =20，S2m =60，求S3m。
3、在等比数列an中，S12 =255，其中奇数项的和
与偶数项的和之比为17:34，求公差 d。
性质1：若数列an为等比数列，则 Sm, S2m Sm, S3m S2m，...Sm 0也是等比数列。
a1 anq 1 q
当q=1时，Sn na1
na1 q 1
Sn
a1
1 qn
1 q
a1 anq ｑ１
1 q
例1 .写出等比数列-1，3，-9，27...的前n项 和公式并求出数列的前8项的和。
例2：一个等比数列的首项为 9 ，末项为 4，各项的和为
探究
错
等比数列的前n项和为
位
Sn a1 a2 a3...an1 an 相
qSn a2 a3 a3... an an1
减 法
①-②得： 1 q Sn a1 an1
当q≠1时，Sn
a1 an1 1 q
a1 1 qn
Sn 1 q
4
9
211，求数列的公比，并判断数列是由几项组成。 36
1 陛下，赏小
2
22 23 24 25
26 27
人一些麦粒
就可以。
263
第1格： 1 第2格： 2
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
1 2 22 23 262 263 ?
那 究 竟 有 多 少 颗 麦 粒 呢？1、若等比数列的前n项和Sn= 3n-2 ，求通 项公式an.
2、在等比数列an中，Sm =20，S2m =60，求S3m。
3、在等比数列an中，S12 =255，其中奇数项的和
与偶数项的和之比为17:34，求公差 d。
性质1：若数列an为等比数列，则 Sm, S2m Sm, S3m S2m，...Sm 0也是等比数列。
a1 anq 1 q
当q=1时，Sn na1
na1 q 1
Sn
a1
1 qn
1 q
a1 anq ｑ１
1 q
例1 .写出等比数列-1，3，-9，27...的前n项 和公式并求出数列的前8项的和。
例2：一个等比数列的首项为 9 ，末项为 4，各项的和为
探究
错
等比数列的前n项和为
位
Sn a1 a2 a3...an1 an 相
qSn a2 a3 a3... an an1
减 法
①-②得： 1 q Sn a1 an1
当q≠1时，Sn
a1 an1 1 q
a1 1 qn
Sn 1 q
4
9
211，求数列的公比，并判断数列是由几项组成。 36
等比数列的前n项和公式的性质及应用 课件
法二：设 b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3 ＋a6＋a9＋…＋a87， 因为 b1q＝b2，b2q＝b3，且 b1＋b2＋b3＝140， 所以 b1(1＋q＋q2)＝140，而 1＋q＋q2＝7，所以 b1＝20，b3＝q2b1＝ 4×20＝80. [答案] 80
探究二 等比数列的奇、偶项之和 [典例 2] 一个项数为偶数的等比数列，各项和是偶数项和的 4 倍， 前 3 项的积为 64，求此数列的通项公式．
[解析] 设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，奇数项和、偶数项和分别 记为 S 奇、S 偶， 由题意知 S 奇＋S 偶＝4S 偶，即 S 奇＝3S 偶． ∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝SS偶奇＝13. 又 a1·a1q·a1q2＝64，∴a31q3＝64，即 a1＝12. ∴通项公式为 an＝12·13n－1＝4·13n－2.
法三：运用性质1－Smqm＝1－Snqn(q≠±1)． 由已知条件 S10＝10，S20＝30，易得 q≠±1， ∴1－S1q0 10＝1－S2q0 20，即1－10q10＝1－30q20，Байду номын сангаас∴q10＝2. 又1－S1q010＝1－S3q030，解得 S30＝70.
法四：运用性质 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等比数列． ∵S10，S20－S10，S30－S20 成等比数列， 而 S10＝10，S20＝30， ∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)， 即(30－10)2＝10×(S30－30)， ∴S30＝70.
等比数列的前 n 项和公式的性质及应用
1．若数列{an}为等比数列，Sn 为前 n 项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…， 仍构成 等比 数列，公比为 qn .
等差和等比数列的通项及求和公式PPT教学课件(1)
an
SS1n
S n 1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
S’n ．
【解题回顾】
一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与Sn：当ak≥0 时，有 Sn Sn；当ak＜0时，Sn Sn ( k =1，2，…，n).若在
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零 ，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
Sn S S 2S Sn Sn 2S
He can play football, play table tennis, ride a bike and speak English.
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
Sports
《数列的前n项和》课件
04
数列的前n项和的拓展
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
Sn=n/2 * (a1+an)
推导过程
等差数列中，每两项之间的差是固定的，记为d，则an=a1+(n1)d，所以前n项和为Sn=na1+n(n-1)/2*d
应用举例
求1到100的和，即等差数列1，2，3...100的前100项和。
等比数列的前n项和
等比数列的前n项和公式
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
推导过程
等比数列中，每两项之间的比值是固定的，记为q，则 an=a1*q^(n-1)，所以前n项和为 Sn=a1+a1*q+a1*q^2+...+a1*q^(n-1)，利用错位相减 法得到最终结果。
应用举例
求1，2，4，...2^98的和，即等比数列1，2，4...2^98的 前99项和。
在物理中的应用
振动与波动
在物理学中，振动与波动是常见的现 象。数列的前n项和可以用于描述这 些现象的规律，如简谐振动的周期性 、波动传播的规律等。
量子力学与统计物理
在量子力学与统计物理中，数列的前 n项和用于描述微观粒子的状态和分 布，如玻尔兹曼分布、费米分布等。 这些分布对于理解物质的微观结构和 性质至关重要。
数学建模
数列的前n项和在数学建模中有着广泛的应用，如解决几何级数求和问题、等差数列求和问题等。通过数学建模 ，可以将实际问题转化为数学问题，进而通过数学方法求解。
概率论与统计学
在概率论与统计学中，数列的前n项和常常用于计算各种概率分布的和，如二项分布、泊松分布等。这些概率分 布在解决实际问题中有着广泛的应用。
将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得相邻两项相消，从而简化求和过程。
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
等比数列求和ppt
sn 1 2 3 n sn n n 1 n 2 1
2sn (n 1) (n 1) (n 1)
n(n 1)
n(n 1) sn 2
倒序相加法
从等比数列的定义出发：
ak q(k 2) ak 1
得到s30 1 2 4 229 230 1 错位相减法
等 比 数 列 求 和
在等比数列an 中，sn a1 a2 an1 an
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转 化为等比数列求和的问题.
因式分解下列式子:
(1).1 x (1 x)(1 x) 1 x x(1 x) 2 2 2 3 (2).1 x (1 x)(1 x x ) 1 x x x(1 x x )
ak q ak 1 ak q ak 1 0
即在等比数列中的第k项与第k-1项q倍的差等于0
等比数列的求和公式
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ · n · ·+a 即：Sn=a1+a1q+a1q2+··+a1qn-2+a1qn-1 ·· ·· qSn= a1q+a1q2+a1q3+··+ a1qn-1+a1qn ·· ··
错 位 相 减 法
错位相减得： （1-q）Sn=a1-a1qn
a1 (1 q n ) a1 an q 当q 1时，sn 1 q 1 q
当q 1时，sn na1
等比数列求和公式推导方法欣赏：运用等比定理
an a2 a3 q (q 1) a1 a2 an1 a2 a3 an q a1 a2 an1
等比数列前n项和公式的推导及性质PPT课件
21
(2)∵an＝2n－1，bn＝3n－1，∴an＋1＝2n＋1. 由bc11＋bc22＋…＋bcnn＝an＋1，得bc11＋bc22＋…＋bcnn－－11＝an， 两式相减得bcnn＝an＋1－an＝2， 所以 cn＝2bn＝2·3n－1， ∴c1＋c2＋…＋c2 009＝2·30＋2·31＋2·32＋…＋2·32 008 ＝2(30＋31＋32＋…＋32 008) ＝2·1·332－0091－1＝32 009－1.
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解 (3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a32为 得 14aq11aa时a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作在 在4a1a,数an1a且qn五为利2q311(列12q1要2个n0第用n5为n551根变一公 1q,,21常225a1s据量,要式14an所 1)1数12q具(a2素， 111以 .列,解 体,q81q2来一Saqn2,1题2)n得 考定n15，1,52意a虑要，： 12n22，q1，q,。注[11qS3nn选((中，4意1得 311择12，))所q1n代 2： 的适(]只以当取入 2知S)的值nn三S公，1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
19
◎已知等差数列{an}的首项 a1＝1，公差 d>0，且第二项、 第五项、第十四项分别为等比数列{bn}的第二项、第三项、 第四项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}对任意正整数 n 都有bc11＋bc22＋…＋bcnn＝an＋1 成立，求 c1＋c2＋…＋c2 009 的值．
导
Sn=
na1
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(2)∵an＝2n－1，bn＝3n－1，∴an＋1＝2n＋1. 由bc11＋bc22＋…＋bcnn＝an＋1，得bc11＋bc22＋…＋bcnn－－11＝an， 两式相减得bcnn＝an＋1－an＝2， 所以 cn＝2bn＝2·3n－1， ∴c1＋c2＋…＋c2 009＝2·30＋2·31＋2·32＋…＋2·32 008 ＝2(30＋31＋32＋…＋32 008) ＝2·1·332－0091－1＝32 009－1.
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解 (3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a32为 得 14aq11aa时a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作在 在4a1a,数an1a且qn五为利2q311(列12q1要2个n0第用n5为n551根变一公 1q,,21常225a1s据量,要式14an所 1)1数12q具(a2素， 111以 .列,解 体,q81q2来一Saqn2,1题2)n得 考定n15，1,52意a虑要，： 12n22，q1，q,。注[11qS3nn选((中，4意1得 311择12，))所q1n代 2： 的适(]只以当取入 2知S)的值nn三S公，1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
19
◎已知等差数列{an}的首项 a1＝1，公差 d>0，且第二项、 第五项、第十四项分别为等比数列{bn}的第二项、第三项、 第四项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}对任意正整数 n 都有bc11＋bc22＋…＋bcnn＝an＋1 成立，求 c1＋c2＋…＋c2 009 的值．
导
Sn=
na1
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
《数列求和裂项》课件
3
下一步的学习计划与目标设定
如何更好地学习数学？确定下一步的学习计划和目标设定，实现个人发展和成长。
数列求和裂项PPT课件
本课件介绍数列求和裂项的概念、方法和应用，以及实用技巧和数学竞赛题 目的解析，帮助你掌握数列求和的知识。
数列求和的定义
1 等差数列
数列前n项和公式: Sn = n(a1+an)/2
2 等比数列
数列前n项和公式: Sn = a1(1-q^n)/(1-q)
3 递推数列
数列前n项和公式: Sn = a1x1+a2x2+...+anx等因素，计算公司发 放奖金池的总额，更好管 理公司财务。
模拟实际生活场景中 的数列问题
将数列问题落到具体的生 活场景中，如人口增长模 型，物理模型，经济学模 型，建立模型求解问题。
结论与总结
数列求和裂项的应用范围
适用于各种数学问题的求解，尤其适合考试复习、数学竞赛等高质量数学学习。
为什么需要数列求和裂项
使得复杂的求和公式变得简单易算，规避繁琐 计算。
如何进行数列求和裂项
遵照数列求和的基本公式，运用代数方法将求 和式化简成队列求和裂项的形式。
数列求和裂项的示例
讲解具体的数列求和裂项的实例及其求解方法， 帮助理解和掌握数列求和裂项的技巧。
数列求和裂项的实战
数学竞赛题目
分析真实的数学竞赛题目， 应用数列求和裂项的技巧 快速解答，提高考试成绩。
重要性与必要性
是学习数学必须要掌握的一项重要技巧，对进一步学习复杂数学问题有极大帮助。
建议学习方法与步骤
如何高效地学习数列求和裂项？掌握正确的学习方法和适当的步骤。
总结与展望
1
本次课程的收获和心得体会
等比数列前n项和的求和公式微课 参赛 优质课件
而S30' 3.0 1053,显然S30比S30'大得多,
因此，到底是猪八戒占便宜还是孙悟空 有谋略？
三：问题拓展，有效指导
探讨：对于一般的等比数列我们该怎样求它 的前n项和?
设{an}为等比数列,a1 为首项,q为公比,它的前n项和
Sn a1 a1q a1q2 错 a1qn2 a1qn1 ①
第一天出1元入100万，第二 天出2元入100万，第三天出 4元入100万，······，哇，发
了······
这猴子是不是又 在耍我？
建立数学模型:
猪八戒这30 进：令常数列｛an｝,a1=100
天的进和出 s’ =100*30
分别为 ’S30 、
30
S
' 30
出：令等比数列{bn},其中b1 1, q 2,
S30 1 2 22 228 229.
我们知道：
猪八戒收到的资金：
100 30 3000(万元)
需返还孙悟空的资金：
1 2 22 23 229 ?
2.5 等比数列的前n项和
算一算：
这笔交易是猪八戒占大便宜， 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
一: 问题激疑、展示目标
学习目标：
两边同时乘以 q为
位
qSn a1q a1q2 a1q3
a1qn1 a1qn ②
相 减
两式相减得 (1 q)Sn a1 1 qn
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
当q 1 时
通项公式 an a1qn1
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时 即 {an}是一个常数列
因此，到底是猪八戒占便宜还是孙悟空 有谋略？
三：问题拓展，有效指导
探讨：对于一般的等比数列我们该怎样求它 的前n项和?
设{an}为等比数列,a1 为首项,q为公比,它的前n项和
Sn a1 a1q a1q2 错 a1qn2 a1qn1 ①
第一天出1元入100万，第二 天出2元入100万，第三天出 4元入100万，······，哇，发
了······
这猴子是不是又 在耍我？
建立数学模型:
猪八戒这30 进：令常数列｛an｝,a1=100
天的进和出 s’ =100*30
分别为 ’S30 、
30
S
' 30
出：令等比数列{bn},其中b1 1, q 2,
S30 1 2 22 228 229.
我们知道：
猪八戒收到的资金：
100 30 3000(万元)
需返还孙悟空的资金：
1 2 22 23 229 ?
2.5 等比数列的前n项和
算一算：
这笔交易是猪八戒占大便宜， 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
一: 问题激疑、展示目标
学习目标：
两边同时乘以 q为
位
qSn a1q a1q2 a1q3
a1qn1 a1qn ②
相 减
两式相减得 (1 q)Sn a1 1 qn
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
当q 1 时
通项公式 an a1qn1
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时 即 {an}是一个常数列
等比数列前n项和的求和公式 PPT课件
当 n 1时，有 a1 2a1 1 , 即 a1 1 ;
当 n 2时，有 a1 a2 2a2 1, 即 a2 2 ;
故
q a2 2 2 ,
a1 1
因此
an
a q n1 1
1 2 n1
2 n 1
.
.
11
小试牛刀
求下列数列前n项的和. （1） 3, 11, 111,217,
4 8 16 32
了······
这猴子是不是 又在耍我
.
4
算一算
这笔交易
是猪八戒占大便宜， 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
.
5
我们知道：
猪八戒收到的资金：
1003030(0万 0 )元
需返还孙悟空的资金：
？ 1 2 2 2 2 3 2 2 9
.
6
倒序相加法
S n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 ( n 2 ) d ) ( a 1 ( n 1 ) d ) (1) S n ( a 1 ( n 1 ) d ) ( a 1 ( n 2 ) d ) ( a 1 d ) a 1 (2)
（2）11, 31, 51,71 , 2 4 8 16
.
12
等差、等比数列对比
ana1(n1)d
ana1qn1 (a1,q0)
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
倒序相加法
n 1a
q 1 ;
S n a 1 ( 1 1 q q n ) a 1 1 a q n q q 1 .
.
1
师兄弟都成亿万富翁啦！ 我也要成立一个“高老
庄集团”
.
2
猴哥， 能不能 帮帮 我······
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
( 1) (1 q )
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
4.3.2等比数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
21 + 22 + 23 + ……
①
+ 262 + 263 + 264 ②
② ①得S 64 2 1(粒) 1844674407 4709551615 (粒)
64
已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，202X—202X年度世界小麦产量约
为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
2
3
n
解 : ①当 x 0时, S n 1
②当x 1时, S n n 1
1(1 x n 1 ) x n 1 1
③ 当x 1且x 0时, S n
1 x
x 1
总结归纳
等比数列的前n项和公式
设等比数列{an }的首项为a1 , 公比为q, 前n项和为S n :
设等比数列{an }的首项为a1 , 公比为q, 前n项和为S n :
①q 1时, S n na1
②q 1时, S n
n 1
a
a
q
1
a1 (1 q ) n
n
1 q
知a1 , q, n
a1 an q
Sn
1 q
知a1 , q, an
注：当公比不确定时，应当分 = 和 ≠ 两种情况讨论.
以实现上述要求."
国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒
的质量约为40g，据查，202X—202X年度世界小麦产量约为
7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
情景引入
“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子
里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类
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故事：
传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发 明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2 个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在 第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格 子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不 难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明 者的要求吗？
故事中的麦粒总数为：1.841019
约7000亿吨
大约是全世界一年粮食产量的459倍。 用这么多小麦能从地球到太阳铺 设一条宽10米，厚8米的大道！
2、等比数列前n项和公式的推导：
那么，我们如何来求一般等比数列的前n和呢？
a 1,a2,a3an
首项为 a 1 ， 公比为q的等比数列
S n a 1 a 2 a 3 a a n
,q1 ,q1
以及它的推导方法：错项相减法 课后应进一步熟练此公式，
并掌握它的基本应用。
谢谢观看！
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
II、新课讲解：
分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格 子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个 格子里的麦粒数依次是
1,2,22,23,,263,
于是发明者要求的麦粒总数就是
1 2 2 2 2 3 2 6 2 2 6 .3
那么，我们怎样求这个值呢？
S 6 41 2 2 2 2 3 2 6 2 2 63
我们是否可以根据刚才的方法来推导一般等比数列的前n项和呢
na1
Sn a1 1qn
1q
a1 anq 1q
,q1 ,q1
1式中a 已 1,q,知 n,求 Sn
2式中已 a1,an 知 ,q,求 Sn
V、课时小结：
本节课应重a111 qqnn1 aa11 aqnq
传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发 明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2 个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在 第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格 子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不 难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明 者的要求吗？
故事中的麦粒总数为：1.841019
约7000亿吨
大约是全世界一年粮食产量的459倍。 用这么多小麦能从地球到太阳铺 设一条宽10米，厚8米的大道！
2、等比数列前n项和公式的推导：
那么，我们如何来求一般等比数列的前n和呢？
a 1,a2,a3an
首项为 a 1 ， 公比为q的等比数列
S n a 1 a 2 a 3 a a n
,q1 ,q1
以及它的推导方法：错项相减法 课后应进一步熟练此公式，
并掌握它的基本应用。
谢谢观看！
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II、新课讲解：
分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格 子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个 格子里的麦粒数依次是
1,2,22,23,,263,
于是发明者要求的麦粒总数就是
1 2 2 2 2 3 2 6 2 2 6 .3
那么，我们怎样求这个值呢？
S 6 41 2 2 2 2 3 2 6 2 2 63
我们是否可以根据刚才的方法来推导一般等比数列的前n项和呢
na1
Sn a1 1qn
1q
a1 anq 1q
,q1 ,q1
1式中a 已 1,q,知 n,求 Sn
2式中已 a1,an 知 ,q,求 Sn
V、课时小结：
本节课应重a111 qqnn1 aa11 aqnq