9山东专升本高等数学第九章二重积分.

第九章二重积分【考试要求】1．理解二重积分的概念、性质及其几何意义．2．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法．【考试内容】一、二重积分的相关概念1．二重积分的定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域∆σ1，∆σ2，，∆σn，其中∆σi表示第i个小区域，也表示它的面积．在每个∆σi上任取一点n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi∆)σii（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)∆σiii=1．如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作⎰⎰f(x,y)dσ，即Dniii⎰⎰f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)∆σDλ→0． i=1其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)∆σiii=1ni叫做积分和．说明：在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作⎰⎰f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素．D2．二重积分的几何意义一般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0，的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若干部分区域上是正的，D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差．3．二重积分的性质（1）设α、β为常数，则⎰⎰[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ+β⎰⎰g(x,y)dσ． DDD（2）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D分为两个闭区域D1和D2，则⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ．DD1D2（3）如果在D上，f(x,y)=1，σ为D的面积，则．σ=⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσDD（4）如果在D上，f(x,y)≤ϕ(x,y)，则有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰ϕ(x,y)dσ．DD特殊地，由于 -f(x,y)≤f(x,y)≤f(x,y)，故又有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰DDf(x,y)dσ．（5）设M、m分别是有 f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ．D（6）（二重积分的中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)，使得⎰⎰f(x,y)dσ=f(ξ,η)⋅σ．D二、二重积分的计算（一）利用直角坐标计算二重积分1．X-型积分区域X-型积分区域是指积分区域D可以用不等式a≤x≤b，ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)来表示的闭区域，其中函数ϕ1(x)、ϕ2(x)在区间[a,b]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：⎰⎰Dϕ2(x)⎡f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dy⎤dx，这个先对y、后对x的⎥a⎢ϕ(x)⎣1⎦b二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰dx⎰Dabϕ2(x)ϕ1(x)f(x,y)dy．2．Y-型积分区域Y-型积分区域是指积分区域D可以用不等式c≤y≤d，φ1(y)≤x≤φ2(y)来表示的闭区域，其中函数φ1(y)、φ2(y)在区间[c,d]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰Ddc⎡φ2(y)f(x,y)dx⎤dy，这个先对x、后对y⎢⎥⎣⎰φ1(y)⎦dc的二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰Ddy⎰φ2(y)φ1(y)f(x,y)dx．（二）利用极坐标计算二重积分要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成ρcosθ、ρsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的ρdρdθ．这样二重积分从直角坐标变换为极坐标的变换公式如下：⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ．DD假设积分区域D可以用不等式α其中ϕ1(θ)、≤θ≤β，ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ)来表示，ϕ2(θ)在区间[α,β]上连续．此时极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为：⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=⎰Dβα⎡ϕ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ⎤dθ．⎢⎥⎣⎰ϕ1(θ)⎦这个先对ρ、后对θ的二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=⎰Dβαdθ⎰ϕ2(θ)ϕ1(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ．【典型例题】【例9-1】计算⎰⎰xydσ，其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域．D解法1：积分区域D可看作X-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x，故22x⎰⎰xydσ=⎰D4221dx⎰x132x⎡y⎤xxydy=⎰⎢x⋅⎥dx=⎰(-)dx 1122⎣2⎦1⎡xx⎤9=⎢-⎥= ． 4⎦18⎣8 解法2：积分区域D可看作Y2-型区域，1≤y≤2，y≤x≤2，故⎰⎰xydσ=⎰D421dy⎰2y2⎡x⎤y3xydx=⎰⎢y⋅⎥dy=⎰(2y-)dy 112⎣2⎦y222⎡y⎤9=⎢y2-⎥= ． 8⎦18⎣【例9-2】求σ，其中D是由直线y=x、x=-1及y=1所围⎰⎰D2成的闭区域．解：将积分区域D看作X-型区域，-1≤x≤1，x≤y≤1，故113221⎤11⎡2σ=⎰dx⎰=-⎰⎢(1+x-y)⎥dx⎰⎰-1x3-1⎣⎦xD=-⎤122⎡x133(x-1)dx=-(x-1)dx=--x= ．⎢⎥⎰⎰-10333⎣4⎦021141说明：此题若把积分区域D看作Y1-型区域，-1≤y≤1，-1≤x≤y，就有yσ=dy，其中关于x的积分计算比较麻⎰⎰⎰⎰D-1-1烦，所以此题把积分区域D看作X-型区域求解．【例9-3】求2，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围成的闭区域．xydσ⎰⎰D解：将积分区域D看作Y-型区域，因抛物线y2=x和直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，故-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，⎰⎰xydσ=⎰D42-1dy⎰2yy+2⎡x2⎤1225⎤xydx=⎰⎢⋅y⎥dy=⎰⎡y(y+2)-ydy⎣⎦-1-12⎣2⎦y2262y+21⎡y43y⎤452=⎢+y+2y-⎥= ． 2⎣436⎦-18说明：此题若把积分区域D看作X线x-型区域，则要用经过交点(1,-1)且平行于y轴的直=1把区域D分成D1和D2两部分，其中D1=(x,y)0≤x≤1,≤y≤{，D2=(x,y)≤x≤4,x-2≤y≤因此根据二重积分对积分区域的可加性，就有 {．⎰⎰xydσ=⎰⎰xydσ+⎰⎰xydσDD1D2=⎰dx01xydy+⎰dx14x-2xydy．由此可见，此题把积分区域D看作X-型区域来计算较为繁琐．x22y=x所围成y=Dy=x【例9-4】计算，其中是由直线、dxdy2⎰⎰Dy的闭区域．解：将积分区域D看作Y2-型区域，1≤y≤，y≤x≤y2，故2yx⎡x⎤xdxdy=⎰dx=⎢2⎥dy 22⎰⎰1yy1⎣3y⎦yDy23y2=1yy1⎡yy-2-)dy=⎢-⎥= ． 333⎣52⎦15-xe⎰⎰D2452【例9-5】计算-y2dxdy，其中D是由中心在原点、半径为a（a>0）的圆周所围成的闭区域．解：将积分区域D表示为极坐标，0≤-xe⎰⎰D2ρ≤a，0≤θ≤2π，故 2-y2⎡1⎤dxdy=⎰dθ⎰e-ρρdρ=⎰⎢-e-ρ⎥dθ000⎣2⎦02πa2π2a2π1-a2-a2=(1-e)⎰dθ=π(1-e) ． 022222，其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成ln(1+x+y)dσ⎰⎰【例9-6】计算D的在第一象限内的闭区域．解：将积分区域D表示为极坐标，0≤π01ρ≤1，0≤θ≤π2，故π01222222ln(1+x+y)dσ=dθln(1+ρ)ρdρ=dθln(1+ρ)d(⎰⎰⎰⎰⎰⎰D00122⎧⎫1ρπ⎪⎡ρ2ρ⎪2⎤ =⋅dρ⎬⎨⎢ln(1+ρ)⎥-⎰022⎪21+ρ⎦0⎪⎩⎣2⎭ρ22)ρ3=ln2-⎰ρ 20421+ρππ1ρ(1+ρ2)-ρ=ln2-⎰ρ 20421+ρππ1ρ=ln2-⎰(ρ-)dρ 20421+ρ1ππππ⎡ρ212⎤=ln2-⎢-ln(1+ρ)⎥ 42⎣22⎦0=1π4ln2-π11(-ln2)=(2ln2-1) ． 2224σ，其中D是圆环形闭区域1≤x2+y2≤4．π【例9-7】计算D解：将积分区域D表示为极坐标，1≤ρ≤2，0≤θ≤2π，故2211Dσ=⎰dθ⎰ρ⋅ρdρ=2π⎰ρ2dρ 02π⎡ρ3⎤8114π=2π⎢⎥=2π(-)=333⎣3⎦1【例9-8】交换下列二重积分的积分次序．1．2 ．⎰21dy⎰lny0f(x,y)dx ．-型区域，1≤y≤2，0≤x≤lny．将此积分区域看解：由题意，积分区域D为Y 成X-区域，可得0≤x≤ln2，ex≤y≤2，故交换积分次序后⎰2．21dy⎰lny0f(x,y)dx=⎰ln20dx⎰xf(x,y)dy ． e2⎰dx⎰012-xxf(x,y)dy ．-型区域，0≤x≤1，x≤y≤2-x．将此积分区域解：由题意，积分区域D为X 看成Y-区域时，该区域需用直线y=1分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,0≤x≤y}，D2={(x,y)≤y≤2,0≤x≤2-y}，故交换积分次序后12-x1y22-y⎰dx⎰0xf(x,y)dy=⎰dy⎰f(x,y)dx+⎰dy⎰0010f(x,y)dx ． 3．⎰dx122-xf(x,y)dy ．-型区域，1≤x≤2，2-x≤y≤解：由题意，积分区域D为X积分区域看成Y次序后-型区域，可得0≤y≤1，2-y≤x≤1+11⎰dx122-xf(x,y)dy=⎰dy⎰02-yf(x,y)dx ．4．⎰π0dx⎰sinxx2-sinf(x,y)dy ．解：由题意，积分区域D为X分区域看成Y-型区域，0≤x≤π，-sinx≤y≤sinx．将此积2-区域时，该区域需用直线y=0（即x轴）分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,arcsiny≤x≤π-arcsiny}， D2={(x,y)-1≤y≤0,-2arcsiny≤x≤π}，故交换积分次序后⎰πdx⎰sinxx2-sinf(x,y)dy=⎰dy⎰1π-arcsinyarcsinyf(x,y)dx+⎰dy⎰-10π-2arcsinyf(x,y)dx．【历年真题】一、选择题1．（2008年，3分）设D：x2+y2≤1，则⎰⎰dxdy等于（）Dx3y3+C （B）+C （C）π （D）2π （A）33解：二重积分当被积函数为1时，其值就等于积分区域的面积，而积分区域D为圆域x2+y2≤1，故⎰⎰dxdy=π⋅12=π．选项（C）正确．D2．（2006年，2分）交换积分次序⎰dx⎰10f(x,y)dy=（）101（A）⎰⎰-10dy01f(x,y)dx （B）⎰dy⎰00f(x,y)dx（C）-1dy⎰f(x,y)dx （D）⎰0⎰f(x,y)dx解：原积分区域为X域，得-1≤-型区域，0≤x≤1，≤y≤0，将其看作Y-型区y≤0，0≤x≤⎰dx⎰010f(x,y)dy=⎰dy-100f(x,y)dx．选项（A）正确．ydxdy=（） 3．（2005年，3分）设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则⎰⎰D1+x（A）ln2 （B）2+ln2 （C）2 （D）2ln2 解：由题意可知，积分区域为矩形区域，此时便可把原二重积分化成两个定积分的乘积的形式，故12112yydxdy=⎰dx⎰dy=⎰dx⋅⎰ydy ⎰⎰00001+x1+xD1+x22⎡y⎤4⎤=⎡ln(1+x⋅=ln2⋅=2ln2．选项（D）正确．⎣⎦0⎢2⎥2⎣⎦01二、计算题1．（2010年，5分）求二重积分成的闭区域．解：画出积分区域，将其看成X2x2⎰⎰Dx，其中D是由y=1，y=x2，x=2所围y-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x2，故二重积分 2x222xx2⎡⎤=dx=xlnydx=2xlnxdx=lnxd(x) ⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰111111yDy 222=⎡x⎣lnx⎤⎦1-⎰1⎡x2⎤3xdx=4ln2-⎢⎥=4ln2-． 2⎣2⎦12，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围xydσ⎰⎰22．（2009年，5分）计算成的闭区域．解：画出图形，抛物线分区域看作YDy2=x与直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，将积-型区域，-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，则二重积分2-1⎰⎰xydσ=⎰Ddy⎰2yy+2y2+4y+4y4xydx=⎰y(-)dy -1222436⎡⎤11y4yy453252=⎰(y+4y+4y-y)dy=⎢++2y-⎥=． -122⎣436⎦-1822 3．（2007年，5分）计算所围成的闭区域． 2cosydxdy，其中D是由直线x=1，y=2与y=x-1⎰⎰D解：画出图形，根据被积函数的特点，只能将积分区域看作Y-型区域，0≤y≤2，1≤x≤y+1，则二重积分⎰⎰cosydxdy=⎰dy⎰2D02y+11cosy2dx⎡1⎤1=⎰ycosy2dy=⎢siny2⎥=sin4． 0⎣2⎦02224．（2006年，4分）求2，D由x=0，y=1，x=y（y>0）围成． edxdy⎰⎰xyD解：画出图形，将积分区域看作Yxyy2xy-型区域，0≤y≤1，0≤x≤y2，则二重积分 1xyy2⎰⎰eD1dxdy=⎰dy⎰0y110⎡⎤1edx=⎰⎢ye⎥dy=⎰(yey-y)dy 00⎣⎦0y1121y⎡y⎤11y1⎤⎡⎤=⎰yd(e)-⎰ydy=⎡ye-edy-=e-e-⎢2⎥⎣⎦0⎰0⎣⎦02=2． 00⎣⎦0 5．（2005年，5分）计算二重积分域的公共部分．解：画出图形，积分区域为半圆域，故用极坐标，其中0≤θπ2coθs2222，D为x+y≤2x与y≥0两个区xydxdy⎰⎰D≤π2，0≤ρ ≤2cosθ，故⎰⎰xydxdy=⎰dθ⎰222D0022ρ2cosθ⋅ρsinθ2⋅ρdρ⎡ρ⎤=⎰2sin2θcos2θ⎢⎥0⎣6⎦0π62cosθπdθ=⎰2(1-cos2θ)cos2θ⋅032cos6θdθ3 32π327531π97531π=⎰2(cos8θ-cos10θ)dθ=(⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅) 303864221086422327531π17π． =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3864221048。