9山东专升本高等数学第九章二重积分.

第九章二重积分

【考试要求】

1．理解二重积分的概念、性质及其几何意义．

2．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法．

【考试内容】

一、二重积分的相关概念

1．二重积分的定义

设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域

∆σ1，∆σ2，，∆σn，其中∆σi表示第i个小区域，也表示它的面积．在每个∆σi上任取一点

n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi∆)σi

i（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)∆σii

i=1．如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存

在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作⎰⎰f(x,y)dσ，即

D

n

iii⎰⎰f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)∆σ

Dλ→0． i=1

其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)∆σii

i=1ni叫做积分和．

说明：在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作

⎰⎰f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素．

D

2．二重积分的几何意义

一般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0，

的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果

而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若干部分区域上是正的，

D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差．

3．二重积分的性质

（1）设α、β为常数，则

⎰⎰[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ+β⎰⎰g(x,y)dσ． DDD

（2）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D分为两个闭区域D1和D2，则⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ．

DD1D2

（3）如果在D上，f(x,y)=1，σ为D的面积，则

．σ=⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσ

DD

（4）如果在D上，f(x,y)≤ϕ(x,y)，则有

⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰ϕ(x,y)dσ．

DD

特殊地，由于 -f(x,y)≤f(x,y)≤f(x,y)，故又有

⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰DDf(x,y)dσ．

（5）设M、m分别是

有 f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则

mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ．

D

（6）（二重积分的中值定理）设函数

f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在

D上至少存在一点(ξ,η)，使得

⎰⎰f(x,y)dσ=f(ξ,η)⋅σ．

D

二、二重积分的计算

（一）利用直角坐标计算二重积分

1．X

-型积分区域

X-型积分区域是指积分区域D可以用不等式a≤x≤b，ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)来

表示的闭区域，其中函数ϕ1(x)、ϕ2(x)在区间[a,b]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：

⎰⎰

D

ϕ2(x)

⎡f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dy⎤dx，这个先对y、后对x的

⎥a⎢ϕ(x)⎣1⎦

b

二次积分也常记作如下形式：

⎰⎰f(x,y)dσ=⎰dx⎰

D

a

b

ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x,y)dy．

2．Y-型积分区域

Y-型积分区域是指积分区域D可以用不等式c≤y≤d，φ1(y)≤x≤φ2(y)来

表示的闭区域，其中函数φ1(y)、φ2(y)在区间[c,d]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：

⎰⎰f(x,y)dσ=⎰

D

d

c

⎡φ2(y)f(x,y)dx⎤dy，这个先对x、后对y

⎢⎥⎣⎰φ1(y)⎦

dc

的二次积分也常记作如下形式：

⎰⎰f(x,y)dσ=⎰

D

dy⎰

φ2(y)

φ1(y)

f(x,y)dx．

（二）利用极坐标计算二重积分

要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成ρcosθ、ρsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的

ρdρdθ．这样二重积分从直角坐标变换为极坐标的变换公式如下：

⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ．

DD

假设积分区域D可以用不等式α其中ϕ1(θ)、≤θ≤β，ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ)来表示，ϕ2(θ)在区间[α,β]上连续．此时极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为：

⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=⎰Dβα⎡ϕ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ⎤dθ．⎢⎥⎣⎰ϕ1(θ)⎦这个先对ρ、后对θ的二次积分也常记作如下形式：

⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=⎰Dβαdθ⎰ϕ2(θ)ϕ1(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ．

【典型例题】

【例9-1】计算⎰⎰xydσ，其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域．

D

解法1：积分区域D可看作X-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x，故

22x

⎰⎰xydσ=⎰D

4221dx⎰x132x⎡y⎤xxydy=⎰⎢x⋅⎥dx=⎰(-)dx 1122⎣2⎦1⎡xx⎤9=⎢-⎥= ． 4⎦18⎣8 解法2：积分区域D可看作Y2-型区域，1≤y≤2，y≤x≤2，故

⎰⎰xydσ=⎰D

421dy⎰2y2⎡x⎤y3xydx=⎰⎢y⋅⎥dy=⎰(2y-)dy 112⎣2⎦y222⎡y⎤9=⎢y2-

⎥= ． 8⎦18⎣

【例9-2

】求σ，其中D是由直线y=x、x=-1及y=1所围⎰⎰D2

成的闭区域．

解：将积分区域D看作X-型区域，-1≤x≤1，x≤y≤1，故

113221⎤11⎡2σ=⎰dx⎰=-⎰⎢(1+x-y)⎥dx⎰⎰-1x3-1⎣⎦xD=-⎤122⎡x133(x-1)dx=-(x-1)dx=--x= ．⎢⎥⎰⎰-10333⎣4⎦021141说明：此题若把积分区域D看作Y

1-型区域，-1≤y≤1，-1≤x≤y，就有

yσ=dy，其中关于x的积分计算比较麻⎰⎰⎰⎰D-1-1