三角恒等变换

2021-2022学年高一数学必修一第5章《三角函数》

三角恒等变换

1．sin 162°cos 78°＋cos 162°sin 78°化简得( )

A ．－12 B.32 C ．－32 D.12

答案 C

解析 sin 162°cos 78°＋cos 162°sin 78°＝sin(162°＋78°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32

. 2．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭

⎫x ＋π4－1是( ) A ．最小正周期为π的偶函数

B ．最小正周期为π2

的奇函数 C ．最小正周期为π的奇函数

D ．最小正周期为π2

的偶函数 答案 C

解析 y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1＝cos ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，显然是奇函数，周期为π. 3．已知α，β∈⎝⎛⎭

⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，则α＋β的值为( )

A.π3或－2π3

B ．－2π3

C ．－π3或2π3

D ．－π3

答案 B

解析 由题意可得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4；

所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3； 因为α，β∈⎝⎛⎭

⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－33<0，tan αtan β＝4>0， 所以α，β∈⎝⎛⎭

⎫－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)．

因为tan(α＋β)＝3，所以α＋β＝－2π3

. 4．已知函数f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭

⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ．设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．c

答案 D

解析 由已知函数f (x )在⎝⎛⎭

⎫－π2，π2上是增函数． 因为π－2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π－3∈⎝⎛⎭

⎫－π2，π2，π－3<1<π－2， 所以f (π－3)

即f (3)

5．“α＋β＝π4

”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

答案 D

解析 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，

即tan α＋tan β＝1－tan αtan β，

∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan α·tan β1－tan α·tan β

＝1， ∴α＋β＝π4＋k π(k ∈Z )，不一定有“α＋β＝π4

”； 反之，“α＋β＝π4

”不一定有“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”， 如α＝π2，β＝－π4

，此时tan α无意义； ∴“α＋β＝π4

”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的既不充分又不必要条件． 6．已知cos α＝－23且π<α<3π2，则sin α2

＝________. 答案 306 解析 已知cos α＝－23且π<α<3π2

，

根据二倍角公式得到cos α＝1－2sin 2α2⇒sin 2α2＝56

， 因为π<α<3π2，故得到π2<α2<34π，sin α2

>0， 故得到sin α2＝306

. 7．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2α＝________.

答案 35

解析 由题意可得sin α＝3cos α，

所以sin 2α＋cos 2α＝(3cos α)2＋cos 2α＝1，

所以cos 2α＝110

， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝6cos 2α＝35

. 8．若方程sin x －3cos x ＝c 有实数解，则c 的取值范围是________．

答案 [－2,2]

解析 关于x 的方程sin x －3cos x ＝c 有解，

即c ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x －π3有解， 由于x 为实数，则2sin ⎝⎛⎭

⎫x －π3∈[－2,2]， 故有－2≤c ≤2.

9．已知α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－55

. (1)求sin 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

解 (1)已知α，β为锐角，cos α＝35，所以sin α＝45

， 则sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425

. (2)由于α，β为锐角，则0<α＋β<π，

又cos(α＋β)＝－55⇒sin(α＋β)＝255

， 由(1)知tan α＝sin αcos α＝43

， 所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－55×35＋255×45＝55，

则tan β＝2，故tan(α－β)＝tan α－tan β1

＋tan αtan β

＝

4

3－2

1＋

4

3×2

＝－

2

11. 10．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤

0，

π

2上的单调区间．

解由已知得，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1

＝2sin⎝⎛⎭⎫

2x＋

π

4＋1.

(1)函数的最小正周期T＝

2π

2＝π.

(2)由2kπ－

π

2≤2x＋

π

4≤2kπ＋

π

2(k∈Z)得，

kπ－

3π

8≤x≤kπ＋

π

8(k∈Z)，

又x∈⎣⎡⎦⎤

0，

π

2，∴x∈⎣

⎡

⎦

⎤

0，

π

8，

∴f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤

0，

π

8，

同理可求f(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤

π

8，

π

2.

11．若sin⎝⎛⎭⎫

x＋

π

3＝

1

3，则cos⎝

⎛

⎭

⎫

π

3－2x等于()

A．－

7

9 B.

7

9 C.

22

3D．－

22

3

答案 A

解析因为sin⎝⎛⎭⎫

x＋

π

3＝

1

3，⎝

⎛

⎭

⎫

π

6－x＋⎝

⎛

⎭

⎫

x＋

π

3＝

π

2，

所以cos⎝⎛⎭⎫

π

6－x＝sin⎝

⎛

⎭

⎫

x＋

π

3＝

1

3；

cos⎝⎛⎭⎫

π

3－2x＝cos 2⎝

⎛

⎭

⎫

π

6－x＝2cos2⎝

⎛

⎭

⎫

π

6－x－1＝－

7

9.

12．函数y＝2sin x cos x－3cos 2x的单调增区间是() A.⎣⎡⎦⎤

kπ－

5π

12，kπ＋

π

12(k∈Z)

B.⎣⎡⎦⎤

kπ－

π

6，kπ＋

π

3(k∈Z)

C.⎣⎡⎦⎤

kπ－

π

3，kπ＋

π

6(k∈Z)