完全平方公式——配方法
椭圆标准方程化简过程中的三个妙招
椭圆标准方程化简过程中的三个妙招椭圆是一个非常重要且有趣的数学概念，它在几何学和代数学中都有着广泛的应用。
而在椭圆的研究中，标准方程的化简是一个非常重要的步骤，它可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的相关知识。
在进行椭圆标准方程的化简时，有一些妙招可以帮助我们更快地完成这一过程，让我们来一起看看。
1. 完全平方公式在化简椭圆的标准方程时，我们经常会遇到形如$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$的形式。
这时，我们可以利用完全平方公式来将方程化简为标准形式，即$(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1$。
具体步骤是，首先将方程中的常数项移到右边，得到$x^2 + y^2 + Ax + By = -C$。
我们需要补全平方，即加上一些项使得左边成为一个完全平方。
我们可以通过求得一个适当的常数来实现这一步骤。
我们需要将左边的方程除以一个常数，使得等号右边为1。
这样，我们就可以得到标准形式的椭圆方程。
2. 利用配方法化简在化简椭圆的标准方程时，我们经常会遇到形如$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$的形式。
这时，我们可以利用配方法将方程化简为标准形式。
具体步骤是，我们首先将$x^2 + Dx$和$y^2 + Ey$这两项分别配方，得到$(x + \frac{D}{2})^2 - (\frac{D}{2})^2$和$(y + \frac{E}{2})^2 - (\frac{E}{2})^2$。
我们将这两项的结果合并，得到$(x +\frac{D}{2})^2 - (\frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 -(\frac{E}{2})^2 + F = 0$。
我们将合并后的方程整理成标准形式，即$(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1$。
3. 利用配方和标准方程的关系当我们遇到形如$x^2 + y^2 + Ax + By = 0$的方程时，我们可以直接通过配方来将方程化简为标准形式。
完全平方公式的配方法
完全平方公式的配方法完全平方公式是初中数学知识中的重要概念之一，它是求解一元二次方程的一种常用方法。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为完全平方形式，从而更容易求解。
我们来看一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0（其中a、b、c为常数，a ≠ 0）。
为了方便起见，我们先假设a = 1，即方程为x^2 + bx + c = 0。
接下来，我们要将这个一元二次方程转化为完全平方形式。
为了实现这一目标，我们需要找到一个常数k，使得方程的左边可以写成一个完全平方的形式。
我们可以通过配方法来完成这个过程。
首先，我们将方程的左边的二次项和一次项的系数之和的一半平方，并加上一个恰当的常数。
即：(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2 = 0这样，我们就将原方程转化为了一个完全平方形式的方程。
其中，(x + b/2)就是我们要求解方程的一个解。
接下来，我们可以通过求解这个完全平方形式的方程来得到方程的解。
具体而言，我们可以将方程化简为：(x + b/2)^2 = (b/2)^2 - c然后，我们可以对方程两边开根号，得到：x + b/2 = ±√((b/2)^2 - c)我们将方程两边减去b/2，即可得到方程的解：x = -b/2 ±√((b/2)^2 - c)至此，我们通过配方法，成功地将一元二次方程转化为完全平方形式，并求解出了方程的解。
需要注意的是，在实际应用中，我们可能会遇到一些特殊情况。
例如，当方程的一次项系数b为0时，我们直接可以将方程化简为x^2 + c = 0，然后求解即可。
又如，当方程的常数项c为0时，我们可以将方程因式分解为x(x + b) = 0，然后求解即可。
完全平方公式的配方法是一种求解一元二次方程的常用方法。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为完全平方形式，从而更容易求解。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解方程，提高解题的效率。
完全平方公式分解因式的方法
完全平方公式分解因式的方法完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以被写成两个一次多项式的平方和的形式，例如 $x^2+6x+9$ 就是一个完全平方：$x^2+6x+9 = (x+3)^2$。
分解完全平方的方法有多种，其中最常用的是配方法和直接提取平方根法。
下面我们分别介绍这两种方法。
一、配方法1. 将二次项系数 $a$ 除以 $2$，得到系数 $m=frac{a}{2}$。
2. 将常数项 $c$ 和 $m$ 的平方相减，得到差值 $n=c-m^2$。
3. 将原式按照 $x^2+2mx+m^2+n$ 的形式写出来。
4. 将 $x^2+2mx+m^2$ 分解成 $(x+m)^2$。
5. 将 $(x+m)^2+n$ 分解成 $(x+m+sqrt{n})(x+m-sqrt{n})$。
例如，对于 $x^2+6x+9$ 这个完全平方，我们可以按照以上步骤进行分解：1. $m=frac{6}{2}=3$。
2. $n=9-3^2=0$。
3. 原式为 $x^2+2times3x+3^2$。
4. $x^2+2times3x+3^2=(x+3)^2$。
5. $(x+3)^2+0=(x+3+sqrt{0})(x+3-sqrt{0})=(x+3)^2$。
因此，$x^2+6x+9$ 可以分解为 $(x+3)^2$。
二、直接提取平方根法对于形如 $x^2+2mx+m^2$ 的完全平方，我们可以直接提取平方根得到 $(x+m)^2$。
例如，$x^2+6x+9$ 就可以直接提取平方根得到 $(x+3)^2$。
需要注意的是，直接提取平方根的方法只适用于完全平方的情况，如果是一般的二次多项式，就需要使用配方法等其他方法进行因式分解了。
以上就是完全平方公式的分解因式方法，希望对大家有所帮助。
高中数学常用解题方法配方法代换法与完全平方公式
高中数学常用解题方法配方法代换法与完全平方公式高中数学常用解题方法：配方法代换法与完全平方公式数学作为一门学科，常常需要我们运用不同的解题方法来解决各种问题。
在高中数学中，有一些常用的解题方法，其中包括配方法代换法与完全平方公式。
本文将介绍这两种常用的解题方法，并通过例题来展示它们的应用。
一、配方法代换法配方法代换法主要用于解决一些包含有代数表达式的方程或方程组。
其基本思想是将原方程通过代换的方式转化为一个易于解决的形式。
具体操作如下：1. 对于形如ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0）的二次方程，可以采用配方法代换法。
我们可以通过配方将其转化为一个完全平方形式，进而解出方程。
例如，考虑方程2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以通过配方将其转化为(x + m)^2 + n = 0的形式。
具体步骤如下：(1) 将二次项系数a分解为两个因数的乘积：2 = m^2；(2) 将常数项c分解为两个因数的乘积：-5 = 2mn；(3) 根据上述两个分解式，求得m和n的值；(4) 根据转化后的形式(x + m)^2 + n = 0，解出方程。
通过以上步骤，我们可以得到方程2x^2 + 3x - 5 = 0的解。
2. 对于一些复杂的方程或方程组，我们也可以通过代换的方法进行求解。
例如，考虑方程组：{2x + 3y = 7{3x - 4y = 1我们可以通过代换的方式将其中一个变量表示为关于另一个变量的函数，再将其代入另一个方程中。
通过求解得到一个变量的解，再将其代入另一个方程中，最终求得方程组的解。
二、完全平方公式完全平方公式是解决一些二次型方程的常用方法，尤其适用于解决求最值等优化问题。
其基本思想是将二次型方程转化为平方的形式，便于解决最值问题。
具体操作如下：1. 对于形如x^2 + bx的二次型，可以通过添加一个适当的常数c，使其成为一个完全平方形式(x + m)^2。
例如，考虑二次型x^2 + 6x，我们可以通过添加一个常数使其变为(x + m)^2的形式，从而求得最值。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。
在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。
下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。
1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。
我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。
2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。
这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。
3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。
变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。
4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。
我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。
5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。
变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。
6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。
变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。
7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。
我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。
二次函数配方法公式
二次函数配方法公式二次函数是代数学中最基本的二次多项式函数，具有通用的标准形式f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
二次函数在代数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、经济学和工程学等领域中。
掌握二次函数的配方法公式，可以帮助我们快速求解二次函数的根、顶点等重要信息，进一步解决实际问题。
接下来，我将详细介绍二次函数的配方法公式及其应用。
配方法是指把二次函数f(x) = ax² + bx + c 转化为一个完全平方的形式，从而更方便地求解方程的根或者找到二次函数的顶点。
1.完全平方公式完全平方公式是指将一个一元二次方程转化为一个完全平方的形式。
给定一元二次方程ax² + bx + c = 0（其中a ≠ 0），我们可以通过配方法将其转化为(x + p)² + q = 0 的形式，其中 p、q 是实数。
具体步骤如下：步骤 1：将一元二次方程ax² + bx + c = 0 移项，得到ax² + bx= -c。
步骤2：为了使得左边的二次项构成一个完全平方，我们将方程第2项的系数b除以2，并加上平方项(b/2)²，同时在等式两边加上相同的值。
这样，方程左边就成了一个完全平方，得到了形如(x+p)²=q的方程。
步骤3：根据一元二次方程的性质，当且仅当左边的完全平方等于零时，方程才有解。
因此，我们可以根据一元二次方程的根的性质，求解方程。
2.求二次函数的顶点坐标二次函数的顶点坐标 (h, k) 可以通过配方法求解。
根据配方法公式，二次函数f(x) = ax² + bx + c 可以表示成完全平方的形式(x + p)² + q。
其中，二次函数 f(x) 的顶点坐标为 (h, k)，满足 h = -p，k = q。
具体步骤如下：步骤 1：将二次函数f(x) = ax² + bx + c 变形为完全平方的形式(x + p)² + q。
完全平方公式的配方口诀
完全平方公式的配方口诀
学习完全平方公式的口诀，可以让我们更轻松地求解各种完全平方式问题。
首先，要记住完全平方公式的配方口诀：“收支相抵，两边相等；左边加开，右边也开；左边后去，右边也去；左边中括，右边也括。
”
其次，要了解完全平方公式的使用方法。
首先，在收支相抵和两边相等这两个步骤中，要将原本的式子改写成收支相抵和两边相等的形式；接下来，在“左边加开，右边也开”步骤中，要在左右两边各加上常数的平方。
接着，在“左边后去，右边也去”步骤中，要对左右两边各进行两次求和运算，将两个等式变成一个；最后，在“左边中括，右边也括”步骤中，将左右两边各加上一个根号，即可求出答案。
最后，在使用完全平方公式时，一定要加强复习，牢记口诀，仔细检查，以免出现计算错误。
只有牢记口诀，才能知道完全平方公式的用法，正确地运用它来解决完全平方式问题。
总之，学习完全平方公式的口诀，能够有效地帮助我们解决完全平方式问题，这时一个非常重要的步骤。
只有学会了口诀，充分掌握了使用方法，满足各种完全平方式问题，才能提高自己的数学能力，赢得学业上的胜利。
二次方程的求解与分解技巧
二次方程的求解与分解技巧二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
在解决实际问题或进行数学推导时，我们常常需要求解或分解二次方程。
本文将介绍一些常用的二次方程的求解与分解技巧，帮助读者更好地理解和应用二次方程。
一、求解二次方程的基本方法1. 完全平方公式：对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过完全平方公式求解。
该公式的形式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
通过将二次方程转化为完全平方形式，我们可以直接求得方程的解。
2. 因式分解法：对于某些特殊形式的二次方程，我们可以使用因式分解法进行求解。
例如，对于x^2 + px + q = 0，如果我们能够找到两个数a和b，使得a + b =p且ab = q，那么我们可以将方程因式分解为(x + a)(x + b) = 0，从而得到方程的解。
3. 配方法：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果我们无法直接使用完全平方公式或因式分解法求解，可以尝试使用配方法。
配方法的基本思想是通过添加或减去一个合适的常数，将二次方程转化为完全平方形式或因式分解形式，从而求得方程的解。
二、二次方程的分解技巧1. 完全平方差公式：对于二次方程x^2 - y^2 = 0，我们可以使用完全平方差公式进行分解。
该公式的形式为(x + y)(x - y) = 0。
通过将二次方程转化为完全平方差形式，我们可以直接得到方程的解。
2. 平方差公式：对于二次方程x^2 + 2px - q^2 = 0，我们可以使用平方差公式进行分解。
该公式的形式为(x + p)^2 - (p^2 + q^2) = 0。
通过将二次方程转化为平方差形式，我们可以得到方程的解。
3. 完全立方公式：对于二次方程x^3 + y^3 = 0，我们可以使用完全立方公式进行分解。
该公式的形式为(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 0。
完全平方公式的配方法
完全平方公式的配方法假设有一个一次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知系数。
我们的目标是将这个一次方程转化为一个完全平方，即转化为 (px + q)^2 = 0 的形式。
我们令p=√a，q=b/2√a。
根据这个设定，我们可以推导出：(px + q)^2 = 0p^2x^2 + 2pqx + q^2 = 0根据二次方程的性质，我们可以得到：p^2=a2pq = bq^2=c由此，我们可以得到一个结论：(px + q)^2 = 0等价于 ax^2 + bx + c = 0这就是完全平方公式的推导过程。
接下来，我们将介绍一些使用完全平方公式的配方法。
配方法实际上就是将一次方程转化为完全平方，从而更方便地求解方程的根。
设有一个一次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知系数。
1. 首先，将方程中常数项移到等号的另一侧，得到 ax^2 + bx = -c。
2.其次，将方程两边同时除以a，得到x^2+(b/a)x=-c/a。
3.然后，将方程中的第二项一半的系数取出来，即将(b/a)/2提取出来，得到x^2+(b/a)x+[(b/a)/2]^2=-c/a+[(b/a)/2]^24.最后，将方程右侧进行化简，得到x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=-c/a+b^2/4a^2由此可得方程转化为完全平方的形式为(x+b/2a)^2=-c/a+b^2/4a^2通过完全平方公式，我们可以求解这个完全平方方程的解。
首先，我们将方程右侧的常数进行化简，然后对方程两边同时求平方根，即可得到方程的两个解。
配方法是一种很有用的工具，它可以将复杂的一次方程转化为完全平方的形式，从而简化计算过程。
通过熟练掌握完全平方公式的推导和配方法的应用，我们可以更轻松地求解二次方程的根。
总结起来，完全平方公式是一个将一次方程转化为完全平方的方法。
通过完全平方公式，我们可以将一次方程转化为 (px + q)^2 = 0 的形式，从而更方便地求解方程的根。
完全平方与配方法
完全平方公式与配方法马升爱学习目标:1.理解完全平方公式及其应用；2.掌握配方法；3.熟练用配方法因式分解和解一元二次方程；4.在配方的过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。
学习重难点：理解并掌握配方法及其应用。
学习过程：一.完全平方公式记忆完全平方公式(a+ b) 2= ________________________ (a-b) 2= _________________ 1.运用完全平方公式计算：(1)(x+3y) 2=(-a-b) 2=(2)⑶(x+ y)・(2x + 2y)=(4) (a+ b) •(— a— b)=⑸(a+b+c) 2=分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，—’可先变形为H 1或1 -或者」1，再进行计算.2、公式的变形：'练习：已知实数a、b满足(a+ b) 2=10，ab=1。
求下列各式的值：(1) a2+b2; (2)( a— b) 2.配方法配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式（a b）2 a2 2ab b2 1 •把下列各式配成完全平方式(1) x2lx22 x(2) x x2 x3(3) x2-x2 xa(4) x2x 225 x2 .若 x +6x+m n是'个元全平方式，则m的值是（）A . 3B . -3C . ± 3D .以上都不对3.配方法应用：③ x2+6x+4= x2+6x+ - +4=(x+ ) 2-④ x2+4x+1=x+4x+ -+仁(x+ ) 2-⑤x2-8x-9=x 2-8x+ --9=(x- ) 2-⑥ x2+3x-4=x 2+3x+ --4=(x+ ) 2-4.用配方法解一元二一次方程.其步骤是：①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为2 22 4x2 px q的形式；②方程两边都加上号，把方程化为x I 叮③当p2 4q 0时，利用开平方法求解.(1). 用配方法解方程 2 2 .x x 10，正确的解法是（) •A.21 x-8，x 1 2 22B. x - 8 原方程无实数根.3 9 3 3 3 9C.22x5，x2 522D. x5 原方程无实数根.3 9' 3 392 •用配方法解下列方程:2(2) 3x 9x 2 0(3) x 2 2ax b 2 a 2(1) x 2x 12(4) x 2+4x-12=0。
多项式完全平方公式
多项式完全平方公式多项式完全平方公式是学习代数中的重要内容之一，它在解决一元二次方程的过程中起着重要作用。
本文将从多项式完全平方公式的定义、推导过程以及应用等方面进行介绍。
一、多项式完全平方公式的定义多项式完全平方公式是指将一个一元二次多项式写成一个平方二项式的形式。
一元二次多项式是指系数为实数的二次多项式，具体形式为ax^2+bx+c。
为了推导多项式完全平方公式，我们首先需要了解平方差公式和配方法。
1. 平方差公式平方差公式是指(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
它的推导过程较为简单，可以通过展开(a+b)(a-b)得到。
2. 配方法配方法是指通过添加适当的常数项，将一元二次多项式转化为完全平方的形式。
具体步骤为：（1）将一元二次多项式的第二项系数一半作为新的常数项；（2）将一元二次多项式的第一项系数一半作为新的一次项系数；（3）将一元二次多项式的第一项系数一半的平方作为新的常数项。
通过以上两种方法，我们可以推导出多项式完全平方公式。
三、多项式完全平方公式的应用多项式完全平方公式在解决一元二次方程的过程中起着重要作用。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
我们可以通过多项式完全平方公式将其转化为平方二项式的形式，从而更加便于解题。
具体应用过程为：（1）对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，首先将常数项c移至等式右边，得到ax^2+bx=-c；（2）将一元二次方程的常数项-c进行配方法转化为完全平方的形式，得到ax^2+bx+(b/2)^2=-(c-(b/2)^2)；（3）将等式左边的平方项进行因式分解，得到(ax+b/2)^2=-(c-(b/2)^2)；（4）对等式两边取平方根，得到ax+b/2=±√(-(c-(b/2)^2))；（5）将等式两边减去b/2，得到ax=-b/2±√(-(c-(b/2)^2))；（6）将等式两边除以a，得到x=(-b/2a)±√(-(c-(b/2)^2))/a。
完全平方公式与配方法(学生版)
完全平方公式与配方法1．先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若2222690m n mn n ++-+=，求m 和n 的值．解：2222690m n mn n ++-+=，2222690m mn n n n ∴+++-+=．22()(3)0m n n ++-=，0m n ∴+=且30n -=．3m ∴=-，3n =．问题（1）已知22610210x xy y y ++++=，求x y -的值；（2）求代数式22241x x y y ++--的最小值；（3）比较代数式221x -与45x -的大小．2．阅读材料：把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即2222()a ab b a b ±+=±．例如：2(1)3x -+、2(2)2x x -+、2213(2)24x x -+是224x x -+的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出242x x -+三种不同形式的配方；（2）将22a ab b ++配方（至少两种形式）；（3）已知2223240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．3．当a ，b 取任意有理数时，代数式（1）222(1)(21)a a ++-；（2）2712a a -+；（3）22(43)(4)a b -+-；（4）2|324|31213a b a a --+-+中，其值恒为正的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知2(1)16x m x --+是一个完全平方式，则m 的值等于 ．5．用配方法说明：不论m 取何值，代数式2817m m ++的值总大于零，并求出m 为何值时，代数式2817m m ++有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？6．当x ，y 为何值时，多项式224628x y x y +-++有最小值，求出这个最小值．7．如果2236(1)25x m xy y +++是一个完全平方式，求m 的值．8．已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足22222()0a b c a b c ++-+=，请判断ABC ∆的形状，并说明理由．9．阅读材料：数学课上，老师在求代数式245x x -+的最小值时，利用公式2222()a ab b a b ±+=±，对式子作如下变形：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+ 因为2(2)0x -，所以2(2)11x -+．当2x =时，2(2)11x -+=，因此2(2)1x -+有最小值1，即245x x -+的最小值为1． 通过阅读，解决下列问题：（1）代数式2106x x +-的最小值为 ；（2）当x 取何值时，代数式268x x -++的值有最大值或最小值，并求出最大值或最小值；（3）试比较代数式242x x -与2269x x +-的大小，并说明理由．。
七年级数学知识点精讲精练——完全平方公式变形应用与配方法
完全平方公式变形与配方法【知识点】1．完全平方式完全平方式的定义：a2±2ab+b2=（a±b）2口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号看前方”．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”2．配方法配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．【典型例题】（2017春•秦淮区秦外期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求2x﹣y的值；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．【解答】解：（1）x 2﹣4x +1的两种配方分别为：x 2﹣4x +1=（x ﹣2）2﹣3，x 2﹣4x +1=（x ﹣1）2﹣2x ；（2）由x 2+y 2﹣4x +6y +13=0得：x 2﹣4x +4+y 2+6y +9=0，∴（x ﹣2）2+（y +3）2=0解得：x =2，y =﹣3∴2x ﹣y =4+3=7；（3）a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c +4=（a 2﹣ab +14b 2）+（34b 2﹣3b +3）+（c 2﹣2c +1） =（a 2﹣ab +14b 2）+34（b 2﹣4b +4）+（c 2﹣2c +1） =（a ﹣12b ）2+34（b ﹣2）2+（c ﹣1）2=0，从而有a ﹣12b =0，b ﹣2=0，c ﹣1=0， 即a =1，b =2，c =1，故a +b +c =4．【练习】1．若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9=0，则m n 2的值为 ．2．若|m ﹣1|+n 2+6n +9=0，那么m = ，n = ．3. （2016春•玄武区校级期中）阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣6n +9）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣3）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣3）2=0，∴n =3，m =3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy +2y 2+8y +16=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣12a ﹣16b +100=0，求△ABC 的最大边c 可能是哪几个值？4.（2016春•南外期中）先阅读后解题：若m 2+2m +n 2﹣6n +10=0，求m 和n 的值．解：等式可变形为：m 2+2m +1+n 2﹣6n +9=0即 （m +1）2+（n ﹣3）2=0因为（m +1）2≥0，（n ﹣3）2≥0，所以 m +1=0，n ﹣3=0即 m =﹣1，n =3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x 2+y 2+x ﹣6y +374=0，求x y 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣6b +11=0，则△ABC 的周长是 ；（3）a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是 ．5.阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．例如：x 2﹣2x +4=x 2﹣2x +1+3=（x ﹣1）2+ ；x 2﹣2x +4=x 2﹣4x +4+2x =（x ﹣2）2+ ；x 2﹣2x +4=14x 2﹣2x +4+34x 2=（12x ﹣2）2+ 是x 2﹣2x +4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x 2﹣4x +9配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）将a 2+3ab +b 2配方（写两种形式即可，需写配方过程）；（3）已知a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0，求a ﹣b +c 的值．【练习解析】1.解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2=0，∴m+n=0且n﹣3=0，∴m=﹣3，n=3，∴mn2=−332=﹣13．故答案为﹣13．2. 解：∵|m﹣1|+n2+6n+9=0，∴|m﹣1|+（n+3）2=0，∵|m﹣1|≥0，（n+3）2≥0∴|m﹣1|=0，（n+3）2=0解得m=1，n=﹣3故应填：1，﹣3．3. 解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）=0，∴（x﹣y）2+（y+4）2=0，∴（x﹣y）2=0，（y+4）2=0，∴x=﹣4，y=﹣4，∴xy=﹣4×（﹣4）=16；（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100=0，∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）=0，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2=0，∴（a﹣6）2=0，（b﹣8）2=0，∴a=6，b=8，∵△ABC的最大边是c，∴8＜c＜14，∵c是正整数，∴c可能是9，10，11，12，13．4. 解：（1）等式可变形为：x 2+x +14+y 2﹣6y +9=0， 即（x +12）2+（y ﹣3）2=0 ∵（x +12）2≥0，（y ﹣3）2≥0，∴x +12=0，y ﹣3=0， 即x =﹣12，y =3．x y =（﹣12）3=﹣18；（2）等式可变形为（√2a ）2﹣4a +（√2）2+b 2﹣6b +9=0， 即（√2a ﹣√2）2+（b ﹣3）2=0， ∵（√2a ﹣√2）2≥0，（b ﹣3）2≥0， ∴√2a ﹣√2=0，b ﹣3=0， 即a =1，b =3，由三角形三边的关系，得 2＜c ＜4，又∵a 、b 、c 都是正整数， ∴c =3，△ABC 的周长是3+3+1=7；（3）原式=a 2﹣4a +4+b 2﹣10b +25+1 =（a ﹣2）2+（b ﹣5）2+1 ∵（a ﹣2）2≥0，（b ﹣5）2≥0， ∴a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是1， 故答案为：7，1．5. 解：（1）（x ﹣2）2+5，（x ﹣3）2+2x ；（2）a 2+3ab +b 2=a 2+3ab +（32b ）2﹣（32b ）2+b 2=（a +32b ）2﹣54b 2； a 2+3ab +b 2=a 2+2ab +b 2+ab =（a +b ）2+ab ；（3）∵a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0， ∴（a 2+b 2﹣2ab ）+（c 2+2c +1）=0 即（a ﹣b ）2+（c +1）2=0， ∴a ﹣b =0且c =﹣1， ∴a ﹣b +c =﹣1．。
九年级上册数学人教版 一元二次方程的解法-配方法
第2讲 一元二次方程的解法(二)----配方法配方法：利用完全平方公式把一元二次方程转化成的形式，再利用直接开平方法解一元二次方程的方法叫做配方法.①当p ＞0时，方程有两个不等的实数根，；②当p=0时，方程有两个相等的实数根=-n ；③当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以方程无实数根. 知识要点梳理:完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-尝试解方程：x 2－4x ＋3＝0我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练 ：配方.填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2；（3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； 从这些练习中你发现了什么特点?(1)________________________________________________(2)________________________________________________经典例题例1. 用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x -1＝0. 解（1）移项，得x 2－6x ＝____.方程左边配方，得x 2－2·x ·3＋_ _2＝7＋___，即（____ __）2＝__ __.所以 x －3＝_______.原方程的解是x 1＝_____，x 2＝_____.（2）移项，得x 2＋3x ＝1.方程左边配方，得x 2＋3x ＋（ ）2＝1＋____，即 ____________________所以___________________原方程的解是： x 1＝______________x 2＝___________总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？例2.用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03232=-+x x(3)03422=+-x x例3.当x 为何值时，代数式5x 2 +7x +1和代数式x 2 -9x +15的值相等？例4.求证：不论a 、b 取何实数，多项式a 2b 2 +b 2 -6ab -4b +14的值都不小于1.例5. 试证：不论k 取何实数，关于x 的方程 (k 2 -6k +12)x 2 = 3 - (k 2 -9)x 必是一元二次方程.经典练习一、选择题1．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对2. 若9x 2 -ax +4是一个完全平方式，则a 等于（ ）；A. 12B. -12C. 12或-12D. 6或-63．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-14．把方程x x 432=+，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=25．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2±B ．-2C ．D ．6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数二、填空1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2⑤ (x - )2 = x 2 - 32x + ；2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，所以方程的根为_________．三.用配方法解方程：（1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5x－6＝0.（3）2x2-x=6 （4）4x2－6x＋（）＝4（x－）2＝（2x－）2（5）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).四、用配方法求解下列问题（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。
高级高中数学方法篇之配方法
高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
一、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
高中数学解题基本方——配方法
高中数学解题基本方——配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、基础再现1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
完全平方公式-配方法
专题：完全平方公式---配方法教学目标：利用完全平方公式解决把一个展开了的多项式配成另一个多项式的平方的形式 教学重点：配方中已知两平方项找第三项，以及已知一平方一交叉项找另一平方项教学难点：如何通过完全平方的特点，配成完全平方一、课前准备:完全平方公式复习1. 完全平方公式（1）=+2)(b a ； =-2)(b a .（2）完全平方公式的变形=-++22)()(b a b a ； =--+22)()(b a b a ；-+=+222)(b a b a 2)(b a -=+ ；+-=+22)()(b a b a -+=-22)()(b a b a 。
1、若1=x ，21=y ，则2244y xy x ++的值是 . 2、设A b a b a +-=+22)35()35( ，则=A （ ）（A ）ab 30 （B ）ab 60 （C ） ab 15 （D ）ab 123、已知b a +=5，3-=ab ，则32232ab b a b a +-的值是 .4、已知4,6==+xy y x ，则 =+22y x ；=-2)(y x 。
5、若22()2,()5,x y x y -=+=则22y x += ，=xy 。
二、配方法：将形如 代数式配成含有完全平方的式子的方法。
（一）利用配方法——构造完全平方式例1、若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是（ ） A.27y 2 B.249y 2 C.449y 2 D.49y 2 1. 若x 2－k xy +16y 2是一个完全平方式，则k 的值是（ ） A.8 B.16C.±8D.±16 2. 已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方式，则m 的值为 ．3. 已知k x x 2432+-是完全平方式，则k 的值为 ． 4. 已知224x x k -+是完全平方式，则k 的值为 ．5. 已知1122++x ax 是完全平方式，则a = ．拓展：若已知代数142+x ，加上一项就可以构成完全平方式，那么这一项是 。
完全平方公式与配方法
《分式中考常见题型》专题班级 ___ 姓名__________只要站起来的次数比倒下去的次数多，那就是成功。
【类型一】（2013?鸡西第2题3分）在函数八丄」中，自变量x的取值范围是_______________ .x2 1（2012?鸡西第12题3分）函数y=—2•丄中，自变量x的取值范围是______________P1—X x（2011?鸡西第12题3分）函数y=』2中，自变量X的取值范围是________________ .x -3（2010?鸡西第2题3分）函数y二丄中,自变量X的取值范围是.x —2（2009?鸡西第2题3分）函数y^ —1—中，自变量X的取值范围是____________ .Ux-2【类型二】（2013?鸡西第16题3分）已知关于X的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围x +1是（）A. a<- 1B. a<- 1 且a^- 2C. a W 且a^- 2D. a<1（2012?鸡西第9题3分）若关于X的分式方程亟必_1=2无解，则m的值为（）x -3 XA. —1.5B. 1C.—1.5 或2D.—0.5 或.—1.5（2011?鸡西第7题3分）分式方程—-1 m有增根，则m的值为（）x_1 （x_1）（x+2）A 0 和3B 1C 1 和一2D 3（2010?鸡西第8题3分）已知关于X的分式方程/ a1的解为负数，那么字母a的取值x+2 x+2范围是 ______ .（2009?鸡西第11题3分）若关于X的分式方程口一？=1有增根，x T Xa =【由增根求参数的值】1、当k为何值时，方程红1二」会出现增根？x —3 x —32、已知分式方程3 ax 2有增根，求a 的值x x +13、分式方程亠•』 —有增根x =1，则m 的值为多少?X —1 X —1 X +1由增根求参数的值,其解题思路为：①将原方程化为整式方程（两边同乘以最简公分母）② 确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值） ；③ 将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。
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完全平方公式——配方法
一．选择题（共2小题）
1．（2018•宜宾模拟）已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±20
2．（2017秋•凉州区期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）
A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1
二．填空题（共1小题）
3．（2017秋•资中县期末）小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2﹣10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是．
三．解答题（共7小题）
4．（2016秋•卢龙县期末）将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程．
5．（2012秋•仪征市校级月考）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是12xy，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，有几种方法？（至少写出三种不同的方法）
三项式：■+12xy+■=2．
（1）；
（2）；
（3）．
6．（2012春•都江堰市校级期中）如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=．
7．已知4x2﹣100x+m是完全平方式，求m的值并说明理由．
8．已知x2﹣（m﹣1）xy+49y2是一个完全平方式，求m的值．
9．将下列式子配成完全平方式：
（1）1﹣0.5
（2）8+4．
10．若9（x﹣y）2+M+4是一个完全平方公式，求M的表达式．
完全平方公式——配方法
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．B．
2．D．
二．填空题（共1小题）
3．25n2．
三．解答题（共7小题）
4．解：添加的方法有5种，其演示的过程分别是（1分）
添加4x，得4x2+1+4x=（2x+1）2；（2分）
添加﹣4x，得4x2+1﹣4x=（2x﹣1）2；（3分）
添加4x4，得4x2+1+4x4=（2x2+1）2；（4分）
添加﹣4x2，得4x2+1﹣4x2=12；（5分）
添加﹣1，得4x2+1﹣1=（2x）2．（6分）
5．解：（1）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2；
（2）4x2y2+12xy+9=（2xy+3）2；
（3）x2y2+12xy+36=（xy+6）2；
故答案为：（1）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2；（2）4x2y2+12xy+9=（2xy+3）2；（3）x2y2+12xy+36=（xy+6）2
6．解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，
∴﹣2（k﹣1）ab=±2×a×3b，
∴k﹣1=3或k﹣1=﹣3，
解得k=4或k=﹣2．
即k=4或﹣2．
7．解：m=25．理由如下：
∵4x2﹣100x+m是完全平方式，
∴100x=2×2x×，
解得m=625．
8．解：由x2﹣（m﹣1）xy+49y2，得
①x2﹣（m﹣1）xy+49y2=（x+7y）2=x2+14xy+49y2，得1﹣m=14，解得m=﹣13；
②x2﹣（m﹣1）xy+49y2=（x﹣7y）2=x2﹣14xy+49y2，得m﹣1=14，解得m=15，故m的值为﹣13或15．
9．解：（1）1﹣0.5
=﹣+
=（﹣）2；
（2）8+4
=6+4+2
=（+）2．
10．解：①当M是中间项时，9（x﹣y）2+M+4=[3（x﹣y）±2]2=9（x﹣y）2±12（x﹣y）+4，则M=±12（x﹣y）．
②当M是首、尾项时，9（x﹣y）2=2×2，则M=（x﹣y）4；
或4=2×[±3（x﹣y）]×，则M=±
综上所述，M═±12（x﹣y）或M=（x﹣y）4±．。