大学物理课后习题答案第六章

第6章 真空中的静电场 习题及答案

1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？

解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以

2

00

200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε

故 223+=x

2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?

解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以

2

220)3

3(π4130cos π412a q q a q '=︒εε

故 q q 3

3-

=' (2)与三角形边长无关。

3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为

l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的

电场力。

解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为

)

(4220R x dq

dE +=

πε

根据电荷分布的对称性知，0==z y E E

2

3

2

2

0)

(41

cos R x xdq

dE dE x +=

=πεθ

R O

λ1

λ2

l

x

y z

式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。

⎰+=

2

32

2

0)

(4dq R x x

E x πε

2

32210)(24R x R

x

+⋅=

πλπε2

32201)(2R x x

R +=

ελ

下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为

dq E dF x =dx R x x

R 2

3

22021)(2+=

ελλ 方向沿x 轴正方向。

直线段受到的电场力大小为

⎰=dF F dx R x x

R l ⎰+=

02

3220

21)(ελλ2 ()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-

=

2/1220211

1R l R R ελλ2 方向沿x 轴正方向。

4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。求：

（1）圆心处O 点的场强；

（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。

解：（1）在半圆环上取ϕλλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为

20π4R dq dE ε=

ϕελ

d R

0π4= ，方向沿半径向外

根据电荷分布的对称性知，0=y E

ϕϕελ

ϕd R

dE dE x sin π4sin 0=

=

R

d R E x 000

π2sin π4ελ

ϕϕελπ

==⎰

故 R

E E x 0π2ελ

=

=，方向沿x 轴正向。

（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。

5．如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。

解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dx L

q

dx dq ==λ，dq 在P 点产生的场强大小为

2

02044x

dx

x dq dE πελπε==

，方向沿x 轴负方向。 故 P 点场强大小为 ⎰

⎰+=

=L d d

P x dx

dE E 2

04πελ

()

L d d q

+π=

04ε

方向沿x 轴负方向。

6. 一半径为R 的均匀带电半球面，其电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。 解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。

在半球面上取宽度为dl 的细圆环，其带电量rdl dS dq πσσ2⋅=⋅=θθπσd R sin 22

⋅=，

dq 在O 点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上

的场强公式）

2

32

2

0)

(4r x xdq dE +=

πε ，方向沿x 轴负方向

利用几何关系，θcos R x =，θsin R r =统一积分变量，得

2

3

220)

(4r x xdq

dE +=

πε

θθπσθπεd R R R sin 2cos 41

2

3

0⋅=

θθθεσ

d cos sin 20

=

因为所有的细圆环在在O 点产生的场强方向均沿为x 轴负方向，所以球心处电场强度的大

小为

⎰=dE E θθθεσ

πd cos sin 22

/0

⎰

=

4εσ=

L