专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(原卷版)

学习界的007

5

5 ⎨x 2 + 4x +1, ⎨ ⎩

( ) = 专题 07

分类讨论思想在分段函数中的应用

【高考地位】

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。

类型一 分段函数

万能模板 内 容

使用场景 分段函数

解题模板

第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；

第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解； 第三步 得出结论.

例 1 函数 f (x ) = ⎧log 2 x , ⎩

x > 0

x ≤ 0 ，若实数 a 满足 f ( f (a )) =1，则实数 a 的所有取值的和为（

）

A ．1

B ．

17 - C ． -

15

- D ．

-2 16

16

⎧x + 2, x ≤ -1

【变式演练 1】在函数 y = ⎪x 2

, - 1 < x < 2 ⎪2x , x ≥ 2 中，若 f (x ) = 1 ，则 x 的值是（ ）

A ．1

B ．1或3

2

⎧⎪x 2 , x ∈[0, +∞) 例 2 已知函数 f x ⎨ C ． ±1

D ．

在区间(-∞, +∞) 上是增函数,则常数 a 的取值范围是 ⎪⎩

x 3 + a 2

- 3a + 2, x ∈ (-∞, 0 ) （ ）

A ． (1, 2)

B ． (-∞,1] [2, +∞)

C ． [1, 2]

D ． (-∞,1) (2, +∞ )

3

f (x ) = ⎪ ⎩

⎪ 1 ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 【变式演练 2】【甘肃省张掖市第二中学 2020-2021 学年高三第一学期 10 月月考数学（理）】已知函数

⎧2 + log ⎨ 2

x , 1 ≤ x < 1 8 ，若 f (a ) = f (b )(a < b ) ，则b - a 的取值范围为（ ）

⎪2x ,1 ≤ x ≤ 2

A ． ⎛ 0,

3 ⎤

B ． ⎛ 0,

7 ⎤

C ． ⎛ 0,

9 ⎤

D ． ⎛ 0,

15 ⎤

2 ⎥⎦

4 ⎥⎦

8 ⎦⎥

8 ⎥⎦

⎧(x - a )2

, x ≤ 0, ⎪

例 3 f (x ) = ⎨ 1 若 f (0) 是 f (x ) 的最小值，则 a 的取值范围为（

）.

⎪⎩x + x

+ a , x > 0,

(A)[-1,2]

(B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0, 2]

⎧x + 2

- 3, x ≥ 1 【变式演练 3】已知函数 f (x ) = ⎨ x ，则 f ( f (-3)) = ， f (x ) 的最小值是

．

⎪

⎩lg(x 2 +1), x < 1

例 4 已知函数 y = f ( x ) 是二次函数，且满足 f (0) = 3 ， f (-1) = f (3) = 0

（1）求 y = f ( x ) 的解析式；

（2）若 x ∈[t , t + 2] ，试将 y = f ( x ) 的最大值表示成关于 t 的函数 g (t ) ．

⎨⎛ ⎨ 2 【变式演练 4】【天津市静海区 2020-2021 学年高三上学期第一次月考】已知函数

⎧a x , x > 1

f ( x ) = ⎪ 4 - a ⎫ x + 2, x ≤ 1

是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）

⎪ 2 ⎪

⎩⎝ ⎭

A ． (1, +∞)

B ． [4,8)

C ．

(4,8)

D ． (1,8)

例 5.设函数 f (x ) = x 2

- ax + b , a , b ∈ R ．

（1） 当 a = 2 时，记函数| f ( x ) | 在[0，4]上的最大值为 g (b ) ，求 g (b ) 的最小值；

（2） 存在实数 a ，使得当 x ∈[0, b ] 时， 2 ≤ f ( x ) ≤ 6 恒成立，求b 的最大值及此时a 的值．

【变式演练 5】【2018 年全国普通考试理科数学（北京卷）】设函数 ƒ䝐ℨ⺁=[aℨ2 — 䝐4a + 1⺁ℨ + 4a + ௲]e ℨ．

（1） 若曲线 y t ƒ ℨ 在点（1，ƒ䝐1⺁）处的切线与 ℨ 轴平行，求 a ；

（2） 若 ƒ䝐ℨ⺁在 ℨ t 2 处取得极小值，求 a 的取值范围．

【高考再现】

⎧x 3 , 1.【2020 年高考天津卷 9】已知函数 f (x ) = ⎨

x 0, 若函数 g (x ) = f (x ) - kx 2

- 2x (k ∈ R ) 恰有 4

个零点，则k 的取值范围是（ ）

⎩-x , x < 0.

A ． ⎛

-∞, - 1 ⎫

(2 2, +∞)

B ． ⎛

-∞, - 1 ⎫ (0, 2 2)

2 ⎪ 2 ⎪ ⎝

⎭

⎝

⎭

C ． (-∞, 0) (0, 2 2)

D ． (-∞, 0) (2 2, +∞)

2【.

⎧x 2 - x + 3, x ≤ 1,

2017 天津理】已知函数 f (x ) = ⎪ x + , x > 1.

设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥| x + a | 在 R 上恒成立， 2

则 a 的取值范围是

⎩

⎪ x