(整理)控制系统的状态空间模型

第一章控制系统的状态空间模型1.1 引言工程系统正朝着更加复杂的方向发展，这主要是由于复杂的任务和高精度的要求所引起的。

一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合,可能是时变的。

由于需要满足控制系统性能提出的日益严格的要求，系统的复杂程度越来越大，为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算,并且要求能够方便地用大型计算机对系统进行处理。

从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。

大约从1960年升始发展起来。

这种新方法是建立在状态概念之上的。

状态本身并不是一个新概念，在很长一段时间内，它已经存在于古典动力学和其他一些领域中。

经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。

应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。

状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。

事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。

本课程将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。

本章将首先给出状态空间方法的描述部分。

将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MA TLAB进行各种模型之间的相互转换。

第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。

第三章将给出系统的稳定性分析。

第四章将给出几种主要的设计方法。

本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。

1.2节介绍状态空间描述1.3节讨论动态系统的状态空间表达式。

1.4状态空间表达式的标准形式。

1.5 介绍系统矩阵的特征值基本性质.1.6讨论用MATLAB进行系统模型的转换问题。

1.2控制系统的状态空间描述状态空间描述是60年代初，将力学中的相空间法引入到控制系统的研究中而形成的描述系统的方法，它是时域中最详细的描述方法。

特点：1.给出了系统的内部结构信息.2.形式上简洁,便于用数字计算机计算.1.2.1 状态的基本概念在介绍现代控制理论之前，我们需要定义状态、状态变量、状态向量和状态空间。

状态：动态系统的状态是系统的最小一组变量(称为状态变量)，只要知道了在0t t =时的一组变量和0t t ≥时的输入量，就能够完全确定系统在任何时间0t t ≥时的行为。

状态这个概念决不限于在物理系统中应用。

它还适用于生物学系统、经济学系统、社会学系统和其他一些系统。

状态变量：动态系统的状态变量是确定动态系统状态的最小一组变量。

如果至少需要n 个变量才能完全描述动态系统的行为(即一旦给出0t t ≥时的输入量，并且给定0t t =时的初始状态，就可以完全确定系统的未来状态)，则这n 个变量就是一组状态变量。

状态变量未必是物理上可测量的或可观察的量。

某些不代表物理量的变量，它们既不能 测量，又不能观察，但是却可以被选为状态变量。

这种在选择状态变量方面的自由性，是状态空间法的一个优点。

状态向量：如果完全描述一个给定系统的行为需要n 个状态变量，那么这n 个状态变量可以看作是向量X 的n 个分量，该向量就称为状态向量。

状态向量是这样一种向量，一旦0t t =时的状态给定，并且给出0t t ≥时的输人()u t ，则任意时间0t t ≥时的系统状态()x t 便使可以唯一地确定。

状态空间：由n 个状态变量12(),(),()n x t x t x t 所张成的n 维欧氏空间，称为状态空间。

任何状态都可以用状态空间中的一点来表示。

1.2.2状态空间方程在状态空间分析中，涉及到三种类型的变量，它们包含在动态系统的模型中。

这三种变量是输入变量、输出变量和状态变量。

在后面的分析中我们将会看到，对于一个给定的系统，其状态空间表达式不是唯一的。

但是，对于同一系统的任何一种不同的状态空间表达式而言，其状态变量的数量是相同的。

动态系统的状态常常直接描述了系统中内部能量的分配.例如.通常选以下量作为状态变量:位置(势能),速度(动能),电容电压(电能)和电感电流(磁能).内部能量总可以通过状态变量计算出来.通过第二章的系统的分析知,可以把系统的状态与系统的输入和输出联系起来,并在系统的内部变量与外部输入和测量输出之间建立联系.相反,传递函数仅将输入和输出联系起来,没有给出系统的内部特性.状态形式保存了系统内部特性的信息,这一点有时是很重要的.假设多输入、多输出n 阶系统中, r 个输入量为12(),(),()r u t u t u t 和m 个输出量12(),(),()m y t y t y t 。

n 个状态变量为12(),(),()n x t x t x t于是可以用下列方程描述系统:[][][]1112122212121212()(),(),,();(),(),,();()(),(),,();(),(),,();()(),(),,();(),(),,();n r n r n n n r x t f x t x t x t u t u t u t t x t f x t x t x t u t u t u t t x t f x t x t x t u t u t u t t === (1.2.1)输出方程为:[][][]1112122212121212()(),(),,();(),(),,();()(),(),,();(),(),,();()(),(),,();(),(),,();n r n r m m n r y t g x t x t x t u t u t u t t y t g x t x t x t u t u t u t t y t g x t x t x t u t u t u t t === (1.2.2)用向量形式描述,可写为:状态方程: []()(),(),x t f x t u t t = (1.2.3) 输出方程: []()(),(),y t g x t u t t = (1.2.4)其中12()()()()n x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]12,,,Tm g g g g = []12,,,Tn f f f f =1.3 根据系统微分方程建立状态空间表达式1. 不含作用函数导数项时n 阶系统的状态空间表达式111n n n n y y y y bu ααα--++++= (1.3.1)选取状态变量:12(1)()()()n nx k y x k y x k y -=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩得到:12233411211()()()n n n n x x x xx x x x x x bu k y k x k ααα-⎧⎪=⎪⎪=⎪⎨⎪⎪=---+⎪=⎪⎩＝即状态方程为：1122111210100000100000101n n nn n n n x x x x u x x a a a a x x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•••••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•=•••••+•⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•••••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1.3.2）.X AX Bu =+输出方程为：121(1 00)n x xy x CX x ⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭(1.3.3) 2. 含作用函数导数项时n 阶系统的状态空间表达式()1()(1)11011n n n n n n n n y y y y b u b u b u b u ααα----++++=++++ (1.3.4)方法一：选取状态变量为1021132211()n n n x y u x x u x x u x x u k ββββ--=⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩－ (1.3.5)即121232343111112110n n n n n n n n x x u x x ux x u x x ux x x x uy x uββββαααββ----+⎧⎪=+⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=---+⎪⎪=+⎩＝＋＋ (1.3.6)式中，0,1,,n βββ 由下式确定：0111222121211100000n n n n n b b b ββαβααβαααββ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (1.3.7)121232343111112110n n n n n n n n x x ux x ux x u x x ux x x x uy x uββββαααββ----+⎧⎪=+⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=---+⎪⎪=+⎩＝＋＋ (1.3.8)111222111121010000100001n n n nn n n n n x x x x u x x a a a a x x ββββ-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•••••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•=•••••+•⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•••••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1.3.9)[]120100n x x y u x β⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1.3.10)方法二：引入中间变量z ,令()111n n n n u z z z z ααα--=++++ （1.3.11） 并将原微分方程分解成如下两个方程：()111n n n n u z z z z ααα--=++++()111n n n n y bz b z b z b z --=++++选择系统的状态变量为：1.2(1)n nx zx z x z -=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩ (1.3.12)得系统状态方程和输出方程12233411112101121121101110222011100() =()()()+()n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x xx x x x x x x x u y b x x x u b x b x b x b b x b b x b b x b b x b uαααααααααα--------⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=---+⎪=----+++++⎪⎪-+-++--+⎩＝ (1.3.13) 若00b =,则有1211n n n y b x b x b x -=+++写成矩阵形式1122111210100000100000101n n nn n n n x x x x u x x a a a a x x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•••••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•=•••••+•⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•••••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (1.3.14)1211( )n n n x xy b b b x -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1.3.15)1.4 状态空间表达式的标准形式考虑由下式定义的系统：()(1)()(1)1111n n n n n n o n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++++ (1.4.1)式中u 为输入，y 为输出。