分段函数的几个问题-人教版

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微专题20 分段函数问题(解析版)

微专题20 分段函数问题【题型归纳目录】题型一：函数三要素的应用题型二：函数性质与零点的应用题型三：分段函数的复合题型四：特殊分段函数的表示与应用【典型例题】题型一：函数三要素的应用例1．已知函数223,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩，若f （a ）()2f a f --（1），则a 的取值范围是( )A ．[0，8]B ．[8，)+∞C ．(-∞，8]D ．[8-，8]【解析】解：f （1）4=，f ∴（a ）()8f a --，当0a =时，满足条件；0a >时，223[()2]6a a a a +--+-，整理得：8a ， (0a ∴∈，8]0a <时，222[()3]8a a a a ----，整理得：8a ， (,0)a ∴∈-∞综上可得：(a ∈-∞，8] 故选：C ．例2．已知函数22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩，若()f a f -+（a ）2f （1），则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1][1，)+∞ B ．[0，1] C ．[1-，0] D ．[1-，1]【解析】解：22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩， ()f x ∴为偶函数，()f a f -+（a ）2f （1）， 2f ∴（a ）2f （1）， f ∴（a ）f （1），当0x 时，函数()f x 为增函数， ||1a ∴，11a ∴-，故选：D ．例3．设函数22,0,(),0.x x x f x x x ⎧+<=⎨-⎩若(f f （a ）)2，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(-∞2]D ．(2)+∞【解析】解：()y f x =的图象如图所示，(f f （a ）)2，f ∴（a ）2-，由函数图象可知2a ．故选：C ．变式1．当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值时，(x = ) A 6B ．26C 66 D ．266【解析】解：当1x 时，2()0f x x =；当1x >时，66()626266f x x x x x=+--=，当且仅当6x x=，即6x 时等号成立． 2660<，∴函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值为266，对应的x 6．故选：A ．变式2．已知函数()1f x x =-+，0x <，()1f x x =-0x ，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集( )A ．{|21}x x-B ．{|12}x x +C ．{|12}x x <+D ．{|12}x x >【解析】解：当10x +<即1x <-时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 (1)[(1)1]1x x x ++-++即21x -此时1x <-当10x +即1x -时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 2210x x +-解得1221x --此时121x--总之，不等式的解集为{|21}x x -故选：A ．变式3．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -= ．【解析】解：根据题意，23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则(1)(1)g f f -=-=-（1）(13)2=--=，则((1))f g f -=（2）431=-=-，故答案为：1．变式4．若函数3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，则f （9）= ，[g f （3）]= ，1[()]9f f = ．【解析】解：3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，f ∴（9）3log 92==，[g f （3）3](log 3)g g ==（1）211==， 311[()](log )(2)99f f f f f ==-=（1）3log 10==．故答案为：2；1；0变式5．已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是．【解析】解：由题意22&,1(1)(1)2&,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩当0x <时，有21x -恒成立，故得0x < 当0x 时，221x x +，解得2121x-，故得021x-综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(21]-∞- 故答案为(-∞21]．变式6．设2,||1(),||1x x f x x x ⎧=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，)+∞，则()g x 的值域是．【解析】解：在坐标系中作出函数()21111x x x f x x x ⎧-=⎨-<<⎩或的图象，观察图象可知，当纵坐标在[0，)+∞上时，横坐标在(-∞，1][0-，)+∞上变化， ()f x 的值域是(1,)-+∞，而(())f g x 的值域是[0，)+∞， ()g x 是二次函数()g x ∴的值域是[0，)+∞．故答案为：[0，)+∞．题型二：函数性质与零点的应用例4．已知函数7(13)10,7(),7x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是()A ．11(,)32B ．1(3，6]11C ．12[,)23D ．16(,]211【解析】解：若()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则满足77011307(13)101a a a a a -<<⎧⎪-<⎨⎪-+=⎩，即0113611a a a ⎧⎪<<⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩，即16311a <，故选：B ．例5．已知函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是() A ．15(,)38B ．15(,]38C ．1(,1)3D ．16(,]311【解析】解：函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩，()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则满足13001681a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⎩，解得1538a <，故选：B ．例6．函数21,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+=⎨-<⎩在R 上单调，则a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞ B ．(1，2] C ．(,2)-∞ D ．(,0)-∞【解析】解：()f x 在R 上单调； ①若()f x 在R 上单调递增，则： 200101(1)a a a a e >⎧⎪>⎨⎪+-⎩； 12a ∴<；②若()f x 在R 上单调递减，则： 01a a <⎧⎨>⎩； a ∴∈∅；a ∴的取值范围为(1，2]．故选：B ．变式7．已知221,0()(1),0x x x f x f x x ⎧--+<=⎨-⎩，则()y f x x =-的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：当0x 时，()(1)f x f x =-，()f x ∴在0x 的图象相当于在[1-，0)的图象重复出现是周期函数， [1x ∈-，0)时，22()21(1)2f x x x x =--+=-++对称轴为1x =-，顶点坐标为(1,2)-．画出函数()y f x =与y x =的图象如图：则()y f x x =-的零点有2个．故选：B ．变式8．已知定义在R +上的函数33103()13949log x x f x log x x x x ⎧-<⎪=-<⎨⎪>⎩，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f（a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围为．【解析】解：作出()f x 的图象如图：当9x >时，由()40f x x ==，得16x =，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a b c <<，因为f （a ）f =（b ）f =（c ），所以由图象可知039a b <<<<，916c <<，由f （a ）f =（b ），得331log log 1a b -=-，即33log log 2a b +=，即3log ()2ab =，则9ab =，所以9abc c =，因为916c <<，所以819144c <<，即81144abc <<，所以abc 的取值范围是(81,144)．故答案为：(81,144)．变式9．已知函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，满足f （a ）f =（b ）f=（c ），则abc 的取值范围为．【解析】解：作出函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩的图象如图，不妨设a b c <<，则3423c <<+由f （a ）f =（b ），得33|log ||log |a b =，即33log log a b -=， 3log ()0ab ∴=，则1ab =，abc ∴的取值范围为(3,423)+．故答案为：(3,423)+．变式10．已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x <时，2()f x x x =+，求函数()f x 的解析式．【解析】解：当0x >时，0x -<， 0x <时，2()f x x x =+，22()()()f x x x x x ∴-=-+-=-，又()f x 为奇函数，22()()()f x f x x x x x ∴=--=--=-+，∴当0x >时，2()f x x x =-+，又(0)0f =符合上式，综上得，22,0(),0x x x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩．变式11．已知函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，若()h t h >（2），求实数t 的取值范围．【解析】解：函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，当4x >时，()42h x x =-递减，且()4h x <-，当04x <时，2()4x h x =-递减，且()[4h x ∈-，0)，且0x >，()h x 连续，且为减函数， ()h t h >（2），可得(||)h t h >（2），即为||2t <，且0t ≠，解得22t -<<，且0t ≠，则t 的取值范围是(2-，0)(0⋃，2)．题型三：分段函数的复合例7．设函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，则正实数m 的最小值是( ) A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】解：由已知条件知：2220ma m a +>，∴若0x ，则()0x f x e =>，(())0x f f x lne x ∴==，∴这种情况不存在，若01x <，则()0f x lnx =，(())1lnx f f x e x ∴==，1x >时，()0f x lnx =>，(())()f f x ln lnx R =∈，∴只有(())1f f x >，即2221ma m a +>时，对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，(1,)a ∈+∞，221m m ∴+，即2210m m +-，0m >，∴解得12m， ∴正实数m 的最小值是12．故选：A ．例8．已知函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，2()2g x x x =-，若关于x 的方程[()]f g x k =有四个不相等的实根，则实数(k ∈ ) A ．1(2，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(1,1)-【解析】解：对于函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，当1x 时，()f x 单调递减且1()1f x -<；当1x <时，()f x 单调递增且0()1f x <<；故实数k 一定在区间(0,1)之间，若2()()g x k g x -=；则可化为22()21g x x x k=-=+；显然有两个不同的根，若()12g x k -=，则22()21log g x x x k =-=+；故△2444log 0k =++>；即14k >；综上所述，实数1(,1)4k ∈；故选：B ．例9．已知函数1|(1)|,1()21,1x ln x x f x x -->⎧=⎨+⎩，则方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：设()f x t =，可得 3()2()04f t t -+=，分别作出()y f x =和322y x =+的图象，可得它们有两个交点，即方程3()2()04f t t -+=有两根，一根为10t =，另一个根为2(1,2)t ∈，由()0f x =，可得2x =；由2()f x t =，可得x 有3个解，综上可得方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为4．故选：B ．变式12．（多选题）已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点的判断，其中正确的是( )A ．在(1,0)-内一定有零点B ．在(0,1)内一定有零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【解析】解：令[()]10f f x +=得，[()]1f f x =-，令()t f x =，则()1f t =-， ①当0k >时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，20t <，由1()f x t =可知，此时有两个解，由2()f x t =可知，此时有两个解，共4个解，即[()]1y f f x =+有4个零点； ②当0k <时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，由1()f x t =可知，此时有1个解，共1个解，即[()]1y f f x =+有1个零点；综上，选项BCD 正确．故选：BCD ．变式13．（多选题）设函数||,0()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0B ．13C ．12D ．1【解析】解：函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根，当0x 时，()(1)x f x e x =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+，由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数，由()0f x '>得20x +>，即20x -<<，此时()f x 为增函数，即当2x =-时，()f x 取得极小值21(2)f e -=-，作出()f x 的图象如图：要使()f x b =有三个根，则01b <，故选：BCD ．变式14．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是()A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，但有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-E ．对任意实数k ，方程()2f x kx -=都有解【解析】解：因为该函数为奇函数，所以，222,(2)2322,(20)()0,(0)22,(02)2,(2)23x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----<⎪⎪==⎨⎪-+<⎪⎪>⎪-⎩，该函数图象如下：对于A ；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故A 正确；对于B ；当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；对于C ；直线1y =，与函数图象交于(1,1)，5(2，1，)，故当()f x 的最小值为1时，[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ；3()2f x =时，若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则32m =-，或317m =-，故D 错误；对于E ；当2k =-时，函数()f x 与2y kx =+没有交点．故E 错误．故选：AC ．变式15．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是( )A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若2x <-，则2x ->，则2()()23f x f x x -==---，则2()23f x x =+，2x <-．若20x -<，则02x <-，则2()22()f x x x f x -=++=-，即2()22f x x x =---，20x -<，当0x =，则(0)0f =．作出函数()f x 的图象如图：对于A ，联立222y kxy x x =⎧⎨=-+⎩，得2(2)20x k x -++=， △22(2)844k k k =+-=+-，存在1k <，使得△0>，∴存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根，故A 正确；对于B ，当1211x x -<<<时，函数()f x 不是单调函数，则12()()f x f x >不成立，故B 不正确；对于C ，当52x =时，52()152232f ==⨯-，则当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ，函数()f x 是奇函数，若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， ∴函数3()2f x =的根与()f x m =根关于原点对称，则32m =-，但0x >时，方程3()2f x =有3个根，设分别为1x ，2x ，3x ，且12302x x x <<<<，则有23232x =-，得136x =，即3136x =， 122x x +=，则三个根之和为1325266+=，若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0，则()f x m =的根为256-，此时25263()2561682()36m f =-==-=-⨯-+，故D 错误，故选：AC ．变式16．已知函数2,0,()1,0,x k x f x x x -+<⎧=⎨-⎩其中0k ．①若2k =，则()f x 的最小值为；②关于x 的函数(())y f f x =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是．【解析】解：①若2k =，则22,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，作函数()f x 的图象如下图所示，显然，当0x =时，函数()f x 取得最小值，且最小值为(0)1f =-． ②令()m f x =，显然()0f m =有唯一解1m =，由题意，()1f x =有两个不同的零点，由图观察可知，1k <，又0k ，则实数k 的取值范围为01k <．故答案为：1-；[0，1)．题型四：特殊分段函数的表示与应用例10．对a ，b R ∈，记{max a ，()}()a ab b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数(){|1|f x max x =+，2}()x x R ∈的最小值是( )A 35- B 35+ C 15+D 15-【解析】解：当2|1|x x +，即21x x +或21x x +-， 15152x-+时， (){|1|f x max x ∴=+，2}|1|1x x x =+=+，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --==，当15x -<(){|1|f x max x =+，22}x x =，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --=，当15x +2()f x x =，函数()f x 单调递增，1535()(min f x f ++== 综上所述：35()min f x -= 故选：A ．例11．已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，()()()g x f kx f x =-，其中1k >，则下列结果正确的是( )A ．(())()sgn g x sgn x =B ．(())()sgn gx sgn x =-C ．(())(())sgn g x sgn f x =D ．(())(())sgn g x sgn f x =-【解析】解：符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，11()()()()()33kx x g x f kx f x ∴=-=-，其中1k >，11(())[()()]33kx x sgn g x sgn ∴=-，当0x >时，kx x >，11()()033kx x -<，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=-，()1sgn x =；当0x =时，0kx x ==，11()()033kx x -=，(())0sgn g x =，()0sgn x =；当0x <时，kx x <，11()()033kx x ->，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=，()1sgn x =-．(())()sgn g x sgn x ∴=-．故选：B ．例12．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A ∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊂，下列说法错误的是()A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ，对于任意的x U ∈成立 B ．()()()A B A Bf x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立 C ．()()()A B ABf x f x f x =，对于任意的x U ∈成立D ．若UA B =，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立【解析】解：对于A ，因为A B ⊆，若x A ∈，则x B ∈，因为1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 1,()0,B U x Bf x x B∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 中的元素，但UB 中不可能有A 中的元素，所以()()A B f x f x ，即对于任意的x U ∈，都有()()A B f x f x 成立，故选项A 正确；对于B ，因为1,()0,()ABU x A Bf x x A B ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，当某个元素x 在A 中且在B 中，由于它在AB 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()1B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠+，故选项B 错误；对于C ，1,1,0,()0,()()ABU U U x A B x A Bf x A B x A B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩，1,1,1,()()0,0,0,()()A B U U U U x A x B x A Bf x f x x A x B x A B ⎧∈∈∈⎧⎧⎪⋅=⋅=⎨⎨⎨∈∈∈⎪⎩⎩⎩，故选项C 正确；对于D ，因为1,()0,U U A x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩，所以()1()B A f x f x =-，即()()1A B f x f x +=，故选项D 正确．故选：B ．变式17．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示集合A 在全集U 中的补集，已A U ⊆，B U ⊆，给出以下结论中不正确的是( ) A ．若A B ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x B ．对于任意x U ∈，都有()1()U C A A f x f x =-C ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =D ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =【解析】解：由题意，可得对于A ，因为A B ⊆，可得x A ∈则x B ∈，1,()0,A U x A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，1,()0,B U x Bf x x C B ∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 的元素，但UB 中不可能有A 的元素()()A B f x f x ∴，即对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x 故A 正确；对于B ，因为1,0,U U C A x C Af x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合()A f x 的表达式，可得1()U C A A f f x =-，故B 正确；对于C ，1,1,()0,()0,()()A BU U U x A B x A Bf x x C A B x C A C B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩1,1,()()0,0,A B U U x Ax Bf x f x x C Ax C B ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩，故C 正确；对于D ，1,()0,()ABU x A B f x x C AB ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当某个元素x 在A 中但不在B 中，由于它在A B 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()0B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠由此可得D 不正确．故选：D ．变式18．对a ，b R ∈，记,(,),a a bmax a b b a b ⎧=⎨<⎩，函数()(|1|f x max x =+，|2|)()x x R -∈的最小值是．【解析】解：由题意得， ()(|1|f x max x =+，|2|)x - 11,212,2x x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，故当12x =时，()f x 有最小值13()22f =，故答案为：32．变式19．对a ，b R ∈，记{max a ，,},a a b b b a b⎧=⎨<⎩，函数(){|1|f x max x =+，||}()x m x R -∈的最小值是32，则实数m 的值是．【解析】解：函数(){|1|f x max x =+，||}x m - |1|,|1|||||,|1|||x x x m x m x x m ++-⎧=⎨-+<-⎩，由()f x 的解析式可得，11()()22m m f x f x --+=-，即有()f x 的对称轴为12m x -=，则113()||222m m f -+==，解得2m =或4-，故答案为：2或4-．变式20．设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=，若直线10(0)x ky k -+=>与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是．【解析】解：画出函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩和函数1()x g x k+=的图象，若直线1(0)ky x k =+>与函数()y f x = 的图象恰有两个不同的交点，结合图象可得：1PA PC k k k<， 112(1)3PA k ==--，111(1)2PC k ==--，故11132k <，求得23k <，故答案为：23k <．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数()22,14,1x t x f x tx x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则t的最大值为（） A ．32B ．53C ．74D ．95【答案】B【解析】当1x ≤-时，2()2f x x t =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x tx =+也为增函数，所以0124t t t >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503t <≤.故t 的最大值为53，故选：B.2．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数()()e e,1ln 21,1xx f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的不等式()()21f ax f ax <+的解集为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．()()2,11,4--⋃-B ．()()1,22,4-C ．[)1,2-D ．[)0,4【答案】D【解析】当1x <时，()e e x f x =-在(),1-∞上单调递增且()()e e 10xf x f =-<=；当1x ≥时，()()ln 21f x x =-在[)1,+∞上单调递增且()()()ln 2110f x x f =-≥=；所以()f x 在R 上单调递增，又由()()21f ax f ax <+，则有21ax ax <+，由题，可知210ax ax -+>的解集为R ，当0a =时，20010x x ⋅-⋅+>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则有2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解不等式组，得04a <<；综上可得，当[)0,4a ∈时，210ax ax -+>的解集为R . 故选：D.3．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）． A ．()0,3B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减， ∴3<0>011221+1a a a a a -≤-≥-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得233a ≤<，即a 的取值范围是2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：C.4．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号{}max ,a b 表示取a 和b 中最大的数，若对任意R x ∈，函数()231max 3,,4322f x x x x x ⎧⎫=-++-+⎨⎬⎩⎭，则()f x 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】在同一直角坐标系中，画出函数2123313,,4322y x y x y x x =-+=+=-+的图象，根据{}max ,a b 的定义，可得()f x 的图象（实线部分），由()f x 的图象可知，当=1x 时，()f x 最小，且最小值()12f =，故选：D5．（2022·山西太原·高一阶段练习）设()()2,0=1+++4,>0x a x f x x a x x-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（） A ．[]0,3 B ．()0,3 C ．(]0,3 D ．[)0,3【答案】A【解析】当0x >时，由基本不等式可得()114246f x x a x a a x x=+++≥⋅+=+，当且仅当=1x 时，等号成立；当0x ≤时，由于()()0f x f ≥，则0a ≥，由题意可得()()2min 06f x f a a ==≤+，即260a a --≤，解得23a -≤≤，故03a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]0,3. 故选：A.6．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭【答案】C【解析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..7．（2022·浙江·高一阶段练习）设函数1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（）A ．2x =-B ．3x =-C ．=2xD ．=3x【答案】A【解析】因为1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩，解得2x =-. 故选：A ．8．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数()f x x x =，若对任意[,1]x t t ∈+，不等式()24()f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是（） A ．15[-- B ．15-+ C ．1515[---+ D ．15[-+ 【答案】B【解析】()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，因为2yx 在0x ≥上单调递增，2y x =-在0x <上单调递增，所以()f x x x =在R 上单调递增，因为)24(2)4(2x x x x x x f f ===，且()24()f x t f x +≤，所以()2(2)f x t f x +≤，所以22x t x +≤，即()222110x x t x t -+=-+-≤在[,1]x t t ∈+恒成立，所以()()22201210t t t t t t ⎧-+≤⎪⎨+-++≤⎪⎩即22010t t t t ⎧-≤⎪⎨+-≤⎪⎩，解得150t -+≤≤，所以实数t 的取值范围是15-+，故选：B9．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数()21,=,2x c f x xx x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩ ，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（） A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】当=2x 时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时12c ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，得=2x 或=1x -，此时112c -≤≤-，综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选：A 二、多选题10．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号min 示两个数中较小的数，若x ∈R ，(){}2min 2,f x x x =-，则()f x （）A ．最大值为1B ．无最大值C ．最小值为1-D ．无最小值【答案】AD【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数22y x =-，y x =的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数()f x 的图象. 由22x x -=，解得12x =-，21x =，所以()222,2,212,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪->⎩，∴当1x =时，()f x 取得最大值，且()max 1f x =，由图象可知()f x 无最小值，故选：AD.11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（）A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求，当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<，所以不等式①的解为13x ≤≤；由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >，所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或，令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12，令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74.故选：AD.12．（2022·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数m ，定义函数(),()(),()m f x f x m f x m f x m ≥⎧=⎨<⎩，若函数()2211f x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()338f =B ．()3f x 的值域为[]3,12C ．()3f x 的单调递增区间为[]2,1-D ．()31f x +的图像关于原点对称【答案】ABC【解析】由22113x x -++≥，解得：24x -≤≤，故23211,24()3,42x x x f x x x ⎧-++-≤≤=⎨><-⎩或，A ．23(3)323118f =-+⨯+=，本选项符合题意；B ．当24x -≤≤时，2321112x x ≤-++≤；当42x x -或><时，3()3f x =，故值域为[3,12]，本选项符合题意；C ．当24x -≤≤时，23()211f x x x =-++，图像开口向下，对称轴为1x =，故3()f x 在[]2,1-上单调递增，本选项符合题意；D ．2312,33(1)3,33x x y f x x x ⎧-+-≤≤=+=⎨><-⎩或，故函数3(1)y f x =+为偶函数，本选项不符合题意．故选：ABC ．13．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数()f x ，存在一个点0x ，使()00=f x x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点，则下列说法正确的（）A ．()1f x x x -=为“不动点”函数B ．()253f x x x -=+的不动点为2±C ．()221,1=2,>1x x f x x x ≤⎧-⎪⎨-⎪⎩为“不动点”函数D ．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数()f x 满足()()()22f f x x x f x x x --+=+，则()2+1f x x x -= 【答案】ABC【解析】对于A ，令()f x =x ，得1x x x -=，解得2x =22f =⎝⎭（有一个满足足矣），所以()1f x x x-=为“不动点”函数，故A 说法正确；对于B ，令()f x =x 253x x x -+=253x +=，即259x +=，解得2x =±，即()22f =和()22f -=-，所以()253f x x x -=+的不动点为2±，故B 说法正确；对于C ，当1x ≤时，()221f x x -=，令()f x =x ，得221x x -=，解得12x =-或=1x ；当1x >时，()2f x x -=，令()f x =x ，得2x x -=，即2x x -=±，解得=1x （舍去）；综上：1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和()11f =，所以()f x 为“不动点”函数，故C 说法正确；对于D ，不妨设该不动点为t ，则()f t t =，则由()()()22f f x x x f x x x --+=+得()()()22f f t t t f t t t --+=+，即()22++f t t t t t t --=，整理得()2222f t t t t --+=+，所以22t t -+也是()f x 的不动点，故22t t t -+=，解得=0t 或1t =-，即0,1都是()f x 的不动点，与题设矛盾，故D 说法错误. 故选：ABC 三、填空题14．（2022·广东·高一期中）已知函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是________．【答案】)1,2⎡⎣【解析】由已知，函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义为在R 上的增函数，则(2)y a x =-为单调递增函数，a y x =为单调递增函数，且(2)11a a -⨯≤，所以20021a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得12a ≤<，所以a 的取值范围是：)1,2⎡⎣. 故答案为：)1,2⎡⎣.15．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数222,0(),0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=__________. 【答案】1-【解析】利用奇函数的定义()()f x f x -=-，求．当0x <时，则0x ->，所以222()2()()f x x ax f x bx x bx x -=-=-=-+=--，所以2b =-，1a =，即2,1b a =-= 故1a b +=-．故答案为：1-．16．（2022·安徽淮南·高一阶段练习）若函数()()2,113,1ax x x f x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对1x ∀，2x ∈R ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，任意实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 是R 上的减函数，则分段函数的每一段单调递减且在分界点处113a a a -≥--，所以0112130113a a a a a a ≥⎧⎪-⎪-≥⎪⎨⎪-<⎪-≥--⎪⎩，解得2152a ≤≤，所以实数a的取值范围是21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）已知()22f x x x =-，()1g x x =+，令()()(){}max ,M x f x g x =，则()M x 的最小值是___________.513- 【解析】令221x x x -≥+，解得313x +≥313x -≤ 则()()(){}23133132,max ,313313x x x x M x f x g x x x ⎧+--≥⎪⎪==⎨-+⎪+<<⎪⎩，当313x +≥313x -≤()min 313513M x M --==⎝⎭， 313313x -+<<513- 513- 513- 四、解答题18．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩.(1)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若()2f a =，求a 的值；【解析】（1）函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩． 11115222f ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）因为()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩且()2f a =，所以3+5=20a a ≤⎧⎨⎩，解得1a =-；或+5=20<<1a a ⎧⎨⎩，解得3a =-（舍去）；或2+8=2>1a a -⎧⎨⎩，解得=3a .综上：1a =-或=3a ．19．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数()f x 是一次函数，且满足()()3+121=2+17f x f x x --，求()f x 的解析式；（2）已知函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩①求()2f ，()()1f f -②若()3f a =，求a 的值【解析】（1）设()=+,0f x kx b k ≠，则：()+1=++f x kx b k ，()1=+f x kx b k --，故()()3++2+=2+17kx b k kx b k x --，即++5=2+17kx b k x ，故=2k ，=7b .所以()27f x x =+（2）函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，①()2=2?2=4f ，()()()()1=1+2=1=3f f f f --．②当1a ≤时，()=+2=3f a a ，解得=1a ，成立；当12a <<时，()2==3f a a ，解得3a =3a =-；当2a ≥时，()=2=3f a a ，解得3=2a （舍去）．故a 31． 20．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数()22122f x x x a a =+++，()22122g x x x a a =-+-，R a ∈．设函数()()()()()()(),,f x f x g x M x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩. (1)若1a =，求()M x 的最小值；(2)若()M x 的最小值小于52，求a 的取值范围．【解析】（1）由题意可得，当()()f x g x ≥时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+≥ ⎪⎝⎭，当()()f x g x <时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+< ⎪⎝⎭，所以()()(),2,,2.f x x a M x g x x a ⎧≥-⎪=⎨<-⎪⎩当1a =时，()2213,2,211, 2.2x x x M x x x x ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩作出()M x 的图象，如图1：由图可知()M x 的最小值为()512f -=．（2）()222212,2,212,2,2x x a a x a M x x x a a x a ⎧+++≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩且()f x ，()g x 图象的对称轴分别为直线=1x -，1x =．①如图2，当21a -≤-，即12a ≥时，()M x 在(),1-∞-上随x 的增大而减小，在()1,-+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x f a a =-=+-，由215222a a +-<，解得31a -<<，故112a ≤<．②如图3，当121a -<-≤，即1122a -<≤时，()M x 在(),2a -∞-上随x 的增大而减小，在()2,a -+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 23M x f a a =-=，则2532a <，解得3030a <<1122a -<≤．③如图4，当21a ->，即12a <-时，()M x 在(),1-∞上随x 的增大而减小，在()1,+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x g a a ==--，由215222a a --<，解得13a -<<，故112a -<<-．综上，a 的取值范围为()1,1-．21．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R 的函数f （x ）满足2(f x f x k k ∈Z)（）＝（＋）及f （－x ）＝－f （x ），且当()0,1x ∈时2()41xx f x =+．(1)求()f x 在[1,1]-上的解析式；(2)求()f x 在[]21)1,2(k k k Z -+∈上的解析式；(3)求证：()f x 在区间()0,1上单调递减．【解析】（1）∵当(1,0)x ∈-时，(0,1)x ， ∴22()()4141x xx x f x f x --=--=-=-++．由题意，知(0)0f =，又()()11f f -=-，()()()1121f f f -=-+=， ∴()()110f f -==，∴()()()2,1,0412,0,1410,1,0,1xx xx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪=-⎪⎪⎩，（2）当[21,21]x k k ∈-+时，2[1,1]x k -∈-， ∴()()()22222,21,2412()(2),2,21410,21,2,21x kx k x kx k x k k f x f x k x k k k Z x k k k ----⎧-∈-⎪+⎪⎪=-=∈+∈⎨+⎪=-+⎪⎪⎩（3）设任意的1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <， ∵2211221212122(22)(21)()()4141(41)(4)x x x x x x x x x x f x f x ++---=-=+++，且21220x x ->，12210x x +->， ∴12()()f x f x >，即()f x 在区间()0,1上单调递减．。

高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时分段函数》课件

题型一分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x，＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)．综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算；当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．

分段函数相关问题盘点

厂（ｍ）＞２，求ｍ的取值范围。
解析由题可撇＞２等价于１【ｍｌｏ＞ｇｏ。ｆｍ＜０， ÷ ｍ＞２＝ｌｏｇ￣－１，或（＿ ’ ２＿ｌ０ｇ２４
甫，、篮工
，
‘
．
．０＜ｍ＜｛或ｍ＜＿４ ’ 即ｍ ∈ （－－－，一４）Ｕ（０，＿１＿）。
点评求分段函数解析式时，应根据已知条件将定义域划分为若干个不同的区间，分别求出函数在各区间的解析式。
五、分段函数奇偶性的判断
例５判断函数厂（）：ｆ（一）（＜ｏ）的奇偶性。
＋１（。＜０），
ａ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
・・・
口
（）等价于｛２２ ÷ 或｛ｎ＋－＝＋， ‘ ・・口＝或＝一。
，
ｆａ＞Ｏ，ｆ０，
ｆｌｏｇＬｘ（ｘ＞Ｏ），
例３设函数）＝｛
解）或』Ｉ，．．一３。ｒ上＋ｌ＝－２．
拓展在本例中“ ）１）＝０ ” 改为“ （。）（】 ” ，则求口的值。
ａ
解析。《【ａ＋１（ｎ＜Ｕ）． ‘ ．＼ａ
２７（ａ＞Ｏ），
￣ｘ＜ＯＵ－，ｊ，一ｘ＞Ｏ，．・．－厂（一）＝一（１－ｘ）＝－ｆ（ｘ）（ｘ＜Ｏ），

人教版高中数学必修1《分段函数》PPT课件

()
解析：∵f(x)＝|x－1|＝x1－－1x，，xx≥ ＜11，，当 x＝1 时，f(1)＝0，可排除 A、C. 又 x＝－1 时，f(－1)＝2，排除 D. 答案：B
3．函数 y＝x－2，2，x＞x＜0，0 的定义域为__________，值域为____________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(02]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32，且－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34. (2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得 a＝1 或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1 符合题意；
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
题型二分段函数的图象【学透用活】
[典例 2] (1)已知 f(x)的图象如图所示，求 f(x)的解析式． (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示函数 f(x)； ②画出函数 f(x)的图象； ③写出函数 f(x)的值域．
x＋2，x＜0. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示．由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}．答案：{y|y≤2}
3．作出函数 f(x)＝－ x2－x－x－1，2，x≤－－1＜1，x≤2， x－2，x＞2
的图象．
解：画出一次函数 y＝－x－1 的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函数 y＝x2－x－2 的图象，取(－1,2]上的一段；画出一次函数 y＝x－2 的图象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．

人教版必修1-求函数解析式方法-分段函数-----例题---练习试题---及其答案

函数概念及其表示练习（4）一、求函数解析式（1）代入法求函数解析式例1．已知f （x ）=2x x +2，则f （x －１）=例2．已知f （x ）=2x x +2，g （x ）=12+x ，则()[]x g f =练习．已知f (x )，g (x )对应值如表.则f (g (1))的值为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．不存在（2）换元法求函数解析式例1．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4 例2．设函数，则的表达式为（）A. B. C. D.例3．已知()x x x f21+=+，求f （x ）解析式.例4．已知g （x ）=1-2x,f [g （x ）]=)0(122≠-x xx ,则f （21）等于例5．若函数[]12)(36)(+=+=x x g x x g f 且，则)(x f 等于（） A ．3 B ．3x C ．6x+3 D ．6x+1练习1．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+- 练习2．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x + 练习3．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =x 0 1 －1 g (x )－11x 0 1 －1 f (x )1－1练习4. 已知函数=-=)3(,1)(2f x x f 则（）A. 8B. 6560C. 80D. 2 （3）待定系数法求函数解析式例1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．例2. 为了提倡节约用水，自来水公司决定采取分段计费，月用水量x （立方米）与相应水费y （元）之间函数关系式如图所示.（1）月用水量为6方，应交水费元；（2）写出y 与x 之间的函数关系式；（3）若某月水费是78元，用水量是多少？例3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是练习1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（） A ．x =60t B ．x =60t +50tC ．x =⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 练习2．若是一次函数，，则=练习3．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（）（4）方程组法求函数解析式例1．已知f（x ）满足()xx f x f 212=⎪⎭⎫⎝⎛+①，求f （x ）解析式.例 2．已知f （x ）满足()()x x f x f 22=-+，求f （x ）解析式.二、分段函数练习例1．函数 ⎩⎨⎧->-≤+=1,1,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x=例2．已知函数y ＝f (n )满足f (n )＝⎩⎨⎧2 (n ＝1)3f (n －1) (n ≥2)，则f (3)＝________例3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．(]1，∞-D ．[－1,2]例4．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-例5．已知f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+++-333322xx x x ),1()1,(+∞∈-∞∈x x ,求f [f （0）]的值．练习1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x －1 (x ≥2)－x 2＋3x (x <2)，则f (－1)＋f (4)的值为( ) A ．－7B ．3C ．－8D ．4练习2．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f =练习3．已知函数⎩⎨⎧<≥=0,0,2)(2x x x x x f ，则=-)]2([f f （）A. 8B.—8 C .8或—8 D.16练习4．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1， (x ≤0)，－2x ， (x >0)，)若f (x )＝10，则x ＝练习5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3， (x >10)，f (x ＋5)， (x ≤10)，则f (5)的值为( )A ．16B ．18C ．21D ．24函数概念及其表示练习（4）一、求函数解析式（1）代入法求函数解析式例1．已知f （x ）=2x x +2，则f （x －１）=2231x x -+例2．已知f （x ）=2x x +2，g （x ）=12+x ，则()[]x g f =42253x x ++练习．已知f (x )，g (x )对应值如表.则f (g (1))的值为( C ) A ．－1B ．0C ．1D ．不存在（2）换元法求函数解析式例1．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( C ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4 例2．设函数，则的表达式为（ C ）A. B. C. D.例3．已知()x x x f21+=+，求f （x ）解析式.解析1：()()()()22211,1121 1.1, 1.x t x t f t t t t f x x x +=≥=-∴=-+-=-∴=-≥令则解析2：))()()222121111,1.1, 1.fx x x x x t f t t f x x x +=+=+-+=≥∴==-∴=-≥则例4．已知g （x ）=1-2x,f [g （x ）]=)0(122≠-x xx ,则f （21）等于15x 0 1 －1 g (x )－11x 0 1 －1 f (x )1－1例5．若函数[]12)(36)(+=+=x x g x x g f 且，则)(x f 等于（ B ） A ．3 B ．3x C ．6x+3 D ．6x+1练习1．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ C ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+- 练习2．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ B ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x + 练习3．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = －１练习4. 已知函数=-=)3(,1)(2f x x f 则（ C ）A. 8B. 6560C. 80D. 2 （3）待定系数法求函数解析式例1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．解析：设一次函数y ＝ax ＋b ，(a ≠0) 求得⎩⎨⎧a ＝－10，b ＝9000.∴y ＝－10x ＋9000，于是当y ＝400时，y ＝860.例2. 为了提倡节约用水，自来水公司决定采取分段计费，月用水量x （立方米）与相应水费y （元）之间函数关系式如图所示.（1）月用水量为6方，应交水费元；（2）写出y 与x 之间的函数关系式；（3）若某月水费是78元，用水量是多少？解析：（1）18（2）⎩⎨⎧>-≤≤=)10(,306)100(,3x x x x y（3）18方例3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 ()822++=-x x f x练习1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（ D ） A ．x =60t B ．x =60t +50tC ．x =⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 练习2．若是一次函数，，则=或()12+-=x x f练习3．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（ B ）（4）方程组法求函数解析式例1．已知f （x ）满足()x x f x f 212=⎪⎭⎫⎝⎛+①，求f （x ）解析式.例 2．已知f （x ）满足()()x x f x f 22=-+，求f （x ）解析式. 解析：（1）()122f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ①()1122f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭②∴由①×2-②得()234f x x x=-， ()4233x f x x =-.（2）()()22f x f x x +-= ①xyAxyBxyCxyD()()()22f x f x x ∴-+=- ② ∴由①×2-②得()()342f x x x =--，()2f x x =.二、分段函数练习例1．函数 ⎩⎨⎧->-≤+=1,1,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= 0 ；()3,f x =则例2．已知函数y ＝f (n )满足f (n )＝⎩⎨⎧2 (n ＝1)3f (n －1) (n ≥2)，则f (3)＝___18_____例3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 的解集为( C )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．(]1，∞-D ．[－1,2]例4．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ A ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-例5．已知f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+++-333322xx x x ),1()1,(+∞∈-∞∈x x ,求f [f （0）]的值．25练习1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x －1 (x ≥2)－x 2＋3x (x <2)，则f (－1)＋f (4)的值为( B )A ．－7B ．3C ．－8D ．4练习2．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = 432-π ．练习3．已知函数⎩⎨⎧<≥=0,0,2)(2x x x x x f ，则=-)]2([f f （Ａ）A. 8B.—8 C .8或—8 D.16练习4．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1， (x ≤0)，－2x ， (x >0)，)若f (x )＝10，则x ＝－3练习5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3， (x >10)，f (x ＋5)， (x ≤10)，则f (5)的值为( B )A ．16B ．18C ．21D ．24。

人教版八年级数学下册-19.2-一次函数应用题-分段函数的应用-分类和练习-学案(无答案)

一次函数的实际应用——分段函数应用题一、分段函数应用题例1：某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系__________例2：某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨元收费，超过的部分按每吨元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨元，求该户5月份用水多少吨（一）表格类例3：为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．人均住房面积（平方米）单价（万元/平方米）不超过30（平方米）超过30平方米不超过m（平方米）部分（45≤m≤60）超过m平方米部分根据这个购房方案：（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m的取值范围．变式练习：为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：（1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少（二）图象类例4：为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图象回答下列问题；（1）档用地阿亮是180千瓦时时，电费是元；（2）第二档的用电量范围是；（3）“基本电价”是元/千瓦时；（4）小明家8月份的电费是元，这个月他家用电多少千瓦时每月用气量单价（元/m3）不超出75m3的部分超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a+变式练习：我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a 元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a 元收费，超过10吨的部分，按每吨b 元（b a >）收费．设一户居民月用水x 吨，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如图13所示．（1）求a 的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元（2）求b 的值，并写出当10x >时，y 与x 之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨二、反馈练习1.为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客. 门票定价为50元/人，非节假日打a 折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m 人以下（含m 人）的团队按原价售票；超过m 人的团队，其中m 人仍按原价售票，超过m 人部分的游客打b 折售票. 设某旅游团人数为x 人，非节假日购票款为y 1(元)，节假日购票款为y 2(元). y 1，y 2与x 之间的函数图象如图8所示.(1)观察图象可知：a ＝______；b ＝______；m ＝； (2)直接写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式；(3)某旅行社导游王娜于5月1日带A 团，5月20日（非节假日）带B 团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A ，B 两个团队合计50人，求A ，B 两个团队各有多少人2.为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．（1）以x （元）表示商品价格，y （元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y 关于x 的函数解析式；（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱3.在“老年节”前夕,某旅行社组织了一个“夕阳红”旅行团,共有253名老人报名参加.旅行前,旅行社承诺每车保证有一名随团医生,并为此次旅行请了7名医生,现打算选租甲、乙两种客车,甲种客车载客量为40人/辆,乙种客车载客量为30人/辆. ⑴请帮助旅行社设计租车方案.⑵若甲种客车租金为350元/辆,乙种客车租金为280元/辆,旅行社按哪种方案租车最省钱此时租金是多少⑶旅行社在充分考虑团内老人的年龄结构特点后,为更好的照顾游客,决定同时租45座和30座的大小两种客车.大客车上至少配两名随团医生,小客车上至少配一名随团医生,为此旅行社又请了4名医生.出发时,旅行社先安排游客坐满大客车,再依次坐满小客车,最后一辆小客车即使坐不满也至少要有20座上座率,请直接写出旅行社的租车方案.4.某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。

人教版八年级数学下册-第4课时分段函数(教案)

第4课时分段函数【知识与技能】1.能根据不同情况，了解分段函数的含义.2.了解简单的分段函数，并能运用分段函数解决函数值的问题.3.能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题.【过程与方法】1.通过对例题的探究，培养学生勤于动脑、乐于探究、主动参与学习的意识，体会数形结合思想在数学学习中的重要性.2.经过训练题和课堂学习，加深对分段函数的概念、图象的认识、应用，提高分析、解决问题的能力.【情感态度】学习过程中进一步体会发现规律、应用规律的乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲，感悟数学的美.【教学重点】1.理解分段函数的含义及会作分段函数的图象.2.利用分段函数解决日常生活中的实际问题.【教学难点】1.分段函数与一般函数的区别与联系.2.如何作分段函数的图象.3.分段函数的实际应用.一、情境导入，初步认识1.作出函数y=2x+1(x＞0)的图象，命名为图1.2.在同一直角坐标系中，作出函数y=2x+1(x＞1)的图象，命名为图2.【教学说明】作出的两个图象是什么样的函数图象？和以前学的函数图象有何差别？图1和图2是否可以作为某个函数的图象？图1与图2有怎样的区别与联系？让学生发现虽然有两个解析式，但是仍是同一个函数，引出分段函数的定义.在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数.二、思考探究，获取新知例小芳以200米/分的速度起跑后，先加速跑5分钟，每分钟提高速度20米，又匀速跑10分钟.试写出这段时间里她的跑步速度y （单位：米/分）随跑步时间x 的（单位：分）变化的关系式，并画出函数图象.【分析】本题y 随x 变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟.写y 随x 变化函数关系式时要分成两段来写，且要注意各自变量的取值范围.解：(1)跑步速度y 与跑步时间x 的函数关系式为：()20200053005()15y x x x =+≤≤⎩≤⎧⎨＜（2）函数图象如图所示.【教学说明】把简单的实际问题转化为数学问题（函数模型）；利用数学方法来解决有关实际问题.三、运用新知，深化理解为了加强公民的节水意识，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m 3时，水费按0.6元/立方米收费，超过6m 3时，超过部分每立方米按1元收费，每户每月用水量为xm 3,应缴水费y 元.（1）写出每月用水量不超过6m 3和超过6m 3时，y 与x 之间的函数关系式.（2）已知某户5月份用水量为8m 3，求该用户5月份的水费.【教学说明】上面的习题对本节知识进行了拓展，教师应引导、鼓励学生自主解答，再互相交流，并由教师对完成的结果进行点评.【答案】（1）()0.6062.46()y x x y x x =≤≤=-⎧⎪⎨⎪⎩＞（2）当x=8时，y=5.6,故该用户5月份的水费为5.6元.四、师生互动，课堂小结今天你学到了什么？有哪些收获？1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时学习的分段函数，可利用数形结合的思想，引导学生找到解题的思路，提高解决实际问题的能力.。

高中数学人教A版必修1分段函数问题的解答方法

优质资料---欢迎下载分段函数问题的解答方法所谓分段函数是指函数的定义域分为几段，且每一段的解析式又不一样的函数。

归结起来分段函数问题主要包括：①分段函数解析式的求法；②求分段函数值的基本方法；③分段函数值域与最值的求法；④分段函数单调性的判断（或证明）；⑤分段函数奇偶性的判断（或证明）等几种类型。

各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。

那么在实际解答分段函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。

【典例1】解答下列问题：1、某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远处的B 地，在B 地停留1 12小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行走的路程S 表示成时间t 的函数；【解析】【知识点】①行驶问题的结构特征；②行驶问题中涉及的基本量及其关系；③解答行驶问题的基本思路与方法；④求函数解析式的基本方法。

【解题思路】问题是行驶问题，行驶问题的基本量包括行驶速度，行驶时间和行驶路程，这三个基本量的关系为，行驶路程=行驶速度⨯行驶时间；根据题意，问题中包含三个行驶过程：①从A 地出发到达B 地；②在B 地停留；③从B 地返回A 地，根据行驶路程=行驶速度⨯行驶时间分别求出三个过程行驶路程与时间的关系式就可得出结果。

【详细解答】问题中包含三个行驶过程： 52t ， 0<t ≤5，①从A 地出发到达B 地，S=52t ；②在B 地 ∴ S= 260， 5<t ≤132，停留,S=260；③从B 地返回A 地,S=65(t-612)； 65（t-132）, 132<t ≤212， 2、已知f(x)=2x-1， g(x)= 2x ，（x ≥0），-1 ， (x ＜0)。

①求f 〔g(x)〕， ②求g 〔f(x)〕；【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法。

分段函数的实际应用说课稿（共5则范文）

分段函数的实际应用说课稿（共5则范文）第一篇：分段函数的实际应用说课稿（共）“分段函数”说课稿映射一、说教材《分段函数》人教版《数学》必修1，第一章，第2节的内容--分段函数。

是一节应用性、实践性极强的课，既是初中“函数”知识的直接延伸，也是函数一般知识在生活中的具体运用，是解决生活中可转化为分段函数的数学问题，并将问题解决方式用来处理生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

知识与技能目标：通过丰富的生活实例，体会函数的变量关系，理解分段函数的概念；会建立分段函数的解析式。

会求定义域和函数值；二、说学生学情三、说教学目标根据新课标的理念和学生已有的认知结构确定本课确定本节课的教学目标为：（1）知识与技能：让学生理解分段函数的含义，掌握用分段函数描述实际问题的方法。

（2）过程与方法：在教学过程中，将实际问题抽象为数学问题，通过探索、分析、解决，让学生学习到解决问题的一般方法。

（3）情感、态度与价值观：通过学习，让学生体验任务活动的探索过程，锻炼合理分析问题的意识，激发学习数学的兴趣，形成良好的合作学习态度。

本节课的教学重点是：分段函数概念理解；教学难点是：建立实际问题的分段函数关系四、说教法学法五、说教学过程（1）创设情境，导入新知本节课我先从复习函数的概念和函数的表示法的形式激发学生的学习兴趣和求职欲望，从而引出今天的新课。

（2）发现问题，探索新知通过多媒体展示例题，引导学生观察分析，逐步引出分段函数，归纳出分段函数的定义。

在此过程中让学生理解什么是分段函数，如何求分段函数的定义域和值域，如何画分段函数的图像。

通过课本上其它例题的学习让学生了解分段函数在现实生活中的应用，认识到我们所学的数学知识是与生活紧密相联系的。

再进一步通过多媒体展示更深层次的练习题让学生思考，巩固加深了对分段函数的理解。

认识到处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段从而选取相应的对应法则。

五、教学反思：本节课的教学，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。

人教版八年级数学下册19.2.5分段函数

把它误认为是几个函数.
7
引导探究
1、某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了
按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(
元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示. （1）分别写出当0≤x≤15,x＞15时，y与x的函数
关系式；
（2）若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?
8
跟踪练习
2、某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图所示，其中 BA 是线段，且 BA∥x 轴，AC 是射线
分段函数的解析式应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况，分段函数是一个
函数，不要把它误认为是几个函数.
1、理解分段函数的概念； 2、会根据题意求出分段函数的解析式并画
（2）服药5时，血液中含药量为
出函数图象.
5千克种子是第一种收费标准，还是第二种？为什么？3千克呢？
则当 0≤x≤30 时，y 与 x 之间的函数解析式为____________；
（2）服药5时，血液中含药量为
3、某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（时）
的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。
2、某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y(元)与上网
2、当0≤x≤2时，y关于x的关系式为 y=5x . 当x＞2时，超过的部分可表示为 x-2 ，y关于x 的关系式为_y_=_5_×__2_+_(_5_×__0_._8_)_(_x_-_2) ____. 3、思考中的购买1.5千克种子是第一种收费标准，还是第二种？为什么？3千克呢？
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分段函数的几个常见问题1

探究分段函数的几个常见问题河南正阳高级中学吕玉光分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明.学生对此认识比较肤浅，理解上有些吃力，由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：1.分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 2.分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 解析：作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 3.分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f . 解析：因为311222()|1|2f =--=-,所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-. 4.分段函数的最值例3. 求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最小值解析：（方法1）先求每个分段区间上的最值，后比较求值.当0x ≤时,()23,y f x x ==+此时显然有max (0)3;y f == 当01x <≤时，()3,y f x x ==+此时max (1)4;y f ==当1x >时，y =()5,y f x x ==-+此时y 无最大值.比较可得当x =1时,max 4.y =11o 322-1y x-1（方法2）利用函数的单调性由函数解析式可知，()f x 在(,0)x ∈-∞上是单调递增的，在(0,1)x ∈上也是递增的，而在(1,)x ∈+∞上是递减的，由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4 （方法3）利用图像，数形结合求得作函数y =()f x 的图像（图1），显然当x =1时max 4y =.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得. 5．分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 解析：当[2,0]x ∈-时,121y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-,当[0,1]x ∈时,21y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式2(2)1124y x x =-+-=-,所以 12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得Y4 3 2 10 1 2 3 4 5 x-12131o-2y x222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A . 6．分段函数的奇偶性例5．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.解析：当0x >时,0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==当0x <,0x ->,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+= 因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数. 7．分段函数的单调性例6．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.解析：显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立,()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例7．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.解析：121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-. 8．解分段函数的方程例8．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为解析：若142x -=, 则222x --=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求. yx52o -12529．解分段函数的不等式例9．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞解析1：首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.解析2：因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例10．设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃解析：当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.点评：以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.xy1-11。

分段函数常见题型解法-含答案

【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.1、求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，不要写成1122()()()()n n ny f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.（2） )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数，且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分，即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.（Ⅰ）若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设()g x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．【例2】已知函数()()22log 3,2{21,2x x x f x x ---<=-≥ ，若()21f a -= ，则()f a = （）A. 2-B. 0C. 2D. 9【解析】当22a -< 即0a >时， ()()211log 3211,22a a a ---=⇒+==- （舍）；当22a -≥ 即0a ≤时， ()2222111log 42a a f a ---=⇒=-⇒=-=- ，故选A.【点评】（1）要计算(2)f a -的值，就要看自变量2a -在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2222a a -<-≥和分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0a >时，解得12a =-，要舍去.【例3】【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫=⎪⎝⎭（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【点评】（1）要化简()()1f a f a =+，必须要讨论a 的范围，要分1a ≥和01a <<讨论.当1a≥时，可以解方程2(1)2(11)a a -=+-，得方程没有解.也可以直接由2(1)y x =-单调性得到()()1f a f a ≠+.【检测2】已知函数210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>,若0[()]1f f x =，则0x = ．【例3】已知函数则的解集为（）A.B.C.D.【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时，计算()f x -要注意确定x -的范围，02x <-<，所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．【检测4】【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【例4】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.设0,x <2()f x x x =+,则0x ->，222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=- 设0,x >2()f x x x =-+则0x -<，222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=- 所以函数()f x 是奇函数.【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.【检测5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时22)(+=x xx f . （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性（不必证明）；（3）若对任意的t R ∈，不等式0)2()3(22≤++-t t f t k f 恒成立，求k 的取值范围.【例5】若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(01)a a >≠且的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 .【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数log a y x =，如果没有说明a 与1的大小关系，一般要分类讨论.【检测6】设()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ) A. []2,3- B. []2,0- C. []1,3 D. []0,3【检测7】已知函数()()222log 23,1{1,1x ax a x f x x x -+≥=-<的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ )A. ][()1123-，，B. ][()12-∞+∞，，C. ()[)1123-，，D. (,0]-∞{}[)123，【例6】若()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=> 是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（）.A. ()1,+∞B. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. ()1,3【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.【检测8】已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞【例7】已知函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y ff x =+的所有零点构成的集合为__________．【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数()()1y f f x =+的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数()()1y f f x =+中，由于没有确定x 的取值范围，所以要分类讨论.【例8()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是________.【解析】函数()()22,1{91,1x xf x x x x >=-≤ ，若函数()()g x f x k =- 仅有一个零点，即()f x k = ，只有一个解，在平面直角坐标系中画出， ()y f x =的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ )4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【点评】（1）直接画()()g x f x k =-的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得到()f x k =，再画图数形结合分析. 学.科.网【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（）A. B.C. D.【解析】【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.【检测9】已知函数()()1114{(1)x x f x lnx x +≤=>，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（）（注： e 为自然对数的底数）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：分段函数中常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）11t -<<（Ⅱ）()222,011,112,1m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->⎪⎩方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .即等价于对一切恒成立，即恒成立，得恒成立，当时，，，因此，实数t 的取值范围是11t -<<．【反馈检测2答案】或1【反馈检测2详细解析】当时，，则，即；当时，，则，即。

数学人教版八年级下册一类特殊的分段函数的应用

一次函数专题复习课------------------------------------------------一类特殊的分段函数应用黄石十六中王宇刚学习目标：1．进一步熟悉用一次函数解决实际问题的一般步骤，探索含有动态分界点的特殊的一次函数的分段函数应用题的一般性问题，及解决问题的一般性方法。

2．培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透建模的数学思想。

3.感受数学与生活的紧密联系，体会在学习数学知识过程中，自己认识实际问题及解决实际问题中能力的提升，激发学生学习数学的兴趣。

学习重点：确立分点写出分段函数的值，根据自变量的值和函数值的范围确定分点横坐标的范围学习难点：根据自变量的值和函数值的范围确定分点横坐标的范围。

教学过程：依据：最近发展区理论、合作学习理论，本节课的教学过程分为以下五个环节：一、温故互查：1．某市市内电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的函数关系图象如图所示，则通话2分钟需付电话费元。

0.2 通话7分钟需付电话费元。

12．某公司为适应市场竞争，开发研制了一种新产品A ，并制定了生产、销售计划，开始的10天，只生产不销售，随后的40天，边生产边销售（每天的生产量、销售量是一定的），库存量y （吨）与时间x （天）的关系如图所示，根据图像回答下列问题：（1）每天生产量为 200（2）10后，每天的销售量为： 150 （3）库存量y （吨）与时间x （天）的函数关系式为：⎩⎨⎧+==150050200x y xy )5010()100(≤<≤≤x x这个温故互查的主要目的是让学生从所学知识中所蕴涵的知识点。

这种呈现方式符合学生的认知规律和学习规律，通过小组内的互相讨论、合作学习，从而构建本节课学习的基础.10x2000二、设问导读，探索新知：例1：公司获得授权生产某种奥运纪念品，经市场调查分析，该纪念品的销售量y （万元）与纪念品的价格x （元/件）之间的函数关系如图所示（4025≤≤a ）。

数学人教版八年级下册分段函数

《分段函数》教学设计梅里斯中学范英杰一、导学1.导入课题问题：如果汽车开始以平均每小时40km的速度行驶2小时，然后又以平均每小时60km的速度行驶，那么汽车离原地的距离s(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系是怎样的呢？（学生回答后板书课题)2.学习目标（1）了解分段函数的实际意义.（2）会求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围.3.学习重、难点重点：求分段函数的解析式.难点：分段函数中分段标准或依据的确定.4.自学指导（1）自学内容：P94到P95练习上面的例5.（2）自学时间：10分钟.（3）自学要求：认真阅读例5对比分析内容，边看边思考解题思路过程.（4）自学参考提纲：①0≤x≤2与x＞2时的付款方式有什么不同？②当0≤x≤2时，x与y的数量关系是正比例函数，由此得到y关于x的解析式是y=5x .③当x＞2时，x与y的数量关系是一次函数，由此得到y关于x的解析式是y=4x+2.④对于②、③中的函数关系式合起来可以怎么表示？⑤回答P95的思考.⑥总结根据数量关系列一次函数的解析式的思路和一般步骤.⑦一个试验室在0:00—2:00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T(单位：℃)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象.解：当0≤t<2时，T=20;当0≤t≤4时，T=20+5(t-2)=10+5t.关于t的函数解析式为T=20,0≤t<2, 10+5t,2≤t<4.函数图象如图所示.二、自学学生可参考自学参考提纲进行自学.三、助学1.师助生：（1）明了学情：a.关注学生对付款金额的计算方法和购买量多少有何关系的理解存在的困难;b.图象的画法是否正确.（2）差异指导：对学困生进行疑点跟踪指导.2.生助生：同桌之间相互研讨疑难之处.四、强化1.总结根据自变量取值范围的不同列一次函数的解析式的一般步骤.2.点评自学参考提纲中的第⑦题.3.展示本节所学知识点和数学思想方法.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的课堂学习态度、方法、收获和困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在本节课学习中的态度、学习方法、学习成果进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本课时的重点是求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围.教学过程中通过对例题的探究，培养学生勤于动脑、乐于探究、主动参与学习的意识，体会数形结合思想在数学学习中的重要性.课堂评价检测.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(15分)根据如图所示的程序计算函数值，若输入的x 的值为1.5，则输出的函数值为（B）A.0.5B.2.25C.23 D.322.(15分)根据图中的程序，当输入x=2时，输出结果y=2.第2题图第3题图3.(20分)如图是某运算程序，小柯开始的时候输入了a=1，b=10，程序运行中，他观察坐标的变化过程，发现纵坐标y与横坐标x之间存在一种函数关系，请写出这个函数的解析式：() 469115(4?) 12y x x x =+≤≤≥⎧⎨⎩ 4.(20分)某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇.已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时； ②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B 的坐标为(334，75)； ④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时.以上4个结论正确的是①③④.二、综合应用（15分）5.某人从离家18千米的地方返回，他离家的距离s(千米)与时间t(分钟)的函数图象如图所示.（1）求线段AB 的解析式；（2）求此人回家用了多长时间？解：（1）设线段AB 的解析式为y=kx+b,∵图象过A(0，18),B(6，12).∴18612b k b =⎧⎨+=⎩解得118k b =-=⎧⎨⎩ ∴线段AB 的解析式为y=-x+18(0≤x ≤6)；(2)设线段BC 的解析式为y=k ′x+b ′,∵图象过B （6，12）和点（8,8）.∴612 88k b k b '+'='+'=⎧⎨⎩解得224.k b '=-'=⎧⎨⎩ ∴线段BC 的解析式为y=-2x+24.∴C 点的坐标为（12，0）.∴此人回家用了12分钟.三、拓展延伸（15分）6.某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费.如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x 吨，应收水费为y 元.（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y 与x 间的函数关系式.（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？解：（1）y 与x 的函数关系式为1.90202.81820y x x y x x =≤≤=⎨-⎧⎩，，，＞（2）∵该户5月份水费平均为每吨2.2元，∴该户5月份用水超过20吨，即x y =2.88x 1x -=2.2,解得x=30.∴该户5月份用水30吨.。

八年级数学上谈谈中考中的分段函数知识点分析人教版

谈谈中考中的分段函数某某沂源县徐家庄中学左效平256116分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。

它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。

这些分段函数都是直线型。

通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。

下面我们归纳分析如下，供学习时参考。

1、二段型分段函数解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。

例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？解析：设正比例函数的解析式为：y=k 1x ，因为图象经过点（3，41），所以，41= k 1×3，所以k 1=121，所以y=121x ，0＜x ＜3 设一次函数的解析式（合作部分）是y=k 2x+b ，（0k k b ≠，，是常数）因为图象经过点（3，41），（5，21），所以，由待定系数法得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯=+⨯21541322b k b k ，解得：81,812-==b k ． ∴一次函数的表达式为8181-=x y ，所以，当1y =时，11188x -=，解得9x =∴完成此房屋装修共需9天。

方法2解：由正比例函数解析式可知：甲的效率是112，乙工作的效率：11181224-= 甲、乙合作的天数：311641224⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭（天）∵甲先工作了3天，∴完成此房屋装修共需9天（2）由正比例函数的解析式：y=121x ，可知：甲的工作效率是112 ，所以，甲9天完成的工作量是：139124⨯=， ∴甲得到的工资是：3800060004⨯=（元）评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的工作效率。

例2、一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A ．20分钟Ｂ．22分钟Ｃ．24分钟 D ．26分钟解析：步行前往考场，是满足正比例函数关系，设正比例函数的解析式为：y=k 1x ，因为图象经过点（10，41），所以，41= k 1×10，所以k 1=401，所以y=401x ，0＜x ＜10 由正比例函数解析式可知：甲的效率是401，所以，步行前往考场需要的时间是：1÷401=40（分钟），乘出租车赶往考场，是满足一次函数关系，所以，设一次函数的解析式是y=k 2x+b ，（0k k b ≠，，是常数），因为图象经过点（10，41），（12，21），所以，由待定系数法得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯=+⨯2112411022b k b k ，解得：解得：1,812-==b k ， ∴一次函数的表达式为：181-=x y ，所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x=43÷81，解得：x=6分钟，所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16分钟，所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24（分钟），故选C 。

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分段函数的几个问题
分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。

学生对此理解比较肤浅，本文就分段函数的相关问题整理、归纳如下：
1、分段函数的含义
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。

对它应有以下两点基本理解：
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

2、求分段函数的函数值
例1
已知函数13
2(0)
()1)log (1)x x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,求{[()]}f f f a (a <0)的值。

分析求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相对应的对应法则求值。

()f x 是分段函数，要求{[()]}f f f a ，需要确定[()]f f a 的取值范围，为此又需确定()f a 的取值范围，然后根据所在定义域代入相对应的解析式，逐步求解。

解 ∵a <0,
∴()2a f a =,
∵0<2a <1,
∴[()]f f a =(2)a f =3, ∵3>1,
∴{[()]}f f f a
=f
=13log =－2
1,
3、求分段函数的解析式
例2 已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。

解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数，
∴(0)f =0.
又当x ＜0时，－x >0,
故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。

再由()f x 是奇函数,
()f x =－()f x =x (5+x )－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)x x x f x x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪+-<⎩
例3 求函数()f x =2x +(2－6a )x +32a (0≤x ≤1)的最小值。

解 ()f x =[x －(3a －1)]2－62a +6a －1
∵0≤x ≤1,
当3a －1<0时，()f x 的最小值为f(0)=32a ,
当0≤3a －1≤1时，()f x 的最小值为f(3a －1)=－62a +6a －1；
当3a －1>1时，()f x 的最小值为f(1)=32a －6a +3。

所以函数()f x 的最小值可表示成关系于a 的分段函数.
22213()312()661()332363()3a a g a a a a a a a ⎧<⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩
4、求分段函数的最值
例4 求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最小值
方法1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。

当x ≤0时,y =()f x =2x +3,此时显然有y maX = (0)f =3; 当0<x ≤1时，y =()f x =x +3,此时y max =(1)f =4 当x >1时，y =()f x =－x +5，此时y 无最大值.比较可得当x =1时,y max =4. 方法2 利用函数的单调性
由函数解析式可知，()f x 在x ∈(∞,0)上是单调递增的，在x ∈(0,1)上也是递增的，而在x ∈(1,+∞)上是递减的，
由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4 方法3 利用图像，数形结合求得作函数y =()f x 的图像（图1），显然当x =1时y max =4. 说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.。