管理学管理运筹学课后答案——谢家平

管理运筹学

——管理科学方法谢家平

第一章

第一章

1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待

定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，

保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，

有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2.（1）设立决策变量；

（2）确定极值化的单一线性目标函数；

（3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量；

（4）非负约束。

3.（1）唯一最优解：只有一个最优点

（2）多重最优解：无穷多个最优解

（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大

（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集

无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

6. 计算步骤：

第一步，确定初始基可行解。

第二步，最优性检验与解的判别。

第三步，进行基变换。

第四步，进行函数迭代。

判断方式：

唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0

无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数

的值仍然保持原值。如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同时达到最优，为无穷多最优解。无界解：若某个非基变量xNk 的检验数σk> 0 ，但其对应的系数列向量P k' 中，每一个元素a ik' (i=1,2,3,…,m)

均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。

无可行解：当引入人工变量，最末单纯型发表中的基变量含有非零的人工变量，即人工变量不能全出基，则无可行解。

7. 单纯形法需要有一个单位矩阵作为初始基。当约束条件都是“≤”时，加入松弛变量就形成了初始基，但实际问题中往往出现“≥”或“＝”型的约束，这就没有现成的单位矩阵。需要采用人造基的办法，无单位列向量的等式中加入人工变量，从而得到一个初始基。人工变量只有取0 时，原来的约束条件才是它本来的意义。为保证人工变量取值为0，令其价值系数为-M（M 为无限大的正数，这是一个惩罚项）。如果人工变量不为零，则目标函数就不能实现最优，因此必须将其逐步从基变量中替换出。对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取M。

8.

9.

10.

（1）C 1<0，C 2<0，且 d≥0

（2）C 1=0，C 2<0 或

C 2=0，C 1<0，a 1>0

（3）C 1> 0，d>0，a 2>0，d/4>3/a 2

（4）C 2>0，a 1≤ 0 （5）x 1 为人工变量，且 C 1 为包含 M 的大于 0 数，d/4>3/a2；或者 x

数，a 1>0，d>0。

11. 2 为人工变量，且 C 2 为包含 M 的大于

12. 设 xij

为电站向某城市分配的电量，建立模型如下：

13. 设x1为产品A的产量，x2为产品B的产量，x3为副产品C的销售量，x4为副产品C的销毁量，问题模型如下：

第二章

1.

（2）甲生产20 件，乙生产60 件，材料和设备 C 充分利用，设备 D 剩余600 单位

（3）甲上升到13800 需要调整，乙下降60 不用调整。

（4）非紧缺资源设备 D 最多可以减少到300，而紧缺资源—材料最多可以增加到300，紧缺资源—设备 C 最多可以增加到360。

2.设第一次投资项目i为x i，第二次投资项目i设为x i' ，第三次投资项目i设为x i′ 。

3.设每种家具的产量为

4.设每种产品生产x i

5．（1）设x i为三种产品生产量

通过Lindo 计算得x1= 33, x2= 67, x3= 0, Z = 733

（2）产品丙每件的利润增加到大于6.67时才值得安排生产；如产品丙每件的利润增加到50/6，通过Lindo计算最优生产计划为：x1=29 ，x2= 46 ，x3= 25 ，Z = 774.9 。

（3）产品甲的利润在[6,15]范围内变化时，原最优计划保持不变。

（4）确定保持原最优基不变的q的变化范围为[-4,5]。

（5）通过Lindo 计算，得到x1= 32, x2= 58, x3= 10, Z = 707

第三章

1.原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润， 后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同 时又是资源消耗带来的。

对偶变量的值 y i 表示第 i 种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解 Y

定义 为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。 2.若以产值为目标，则 y i 是增加单位资源 i

对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shad ow Price ）。即有“影子价格=资源成本+影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，而是 企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定， 所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时， 企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂 不购进资源，减少不必要的损失。

3.（1）最优性定理：设 ， 分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C = b ，则 ，a 分别为各自的最优解。

（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值 相等。 （3）互补松弛性：原问题和对偶问题的可行解 X 、

Y 为最优解的充分必要条件是 ,

。 （4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形法表中，初始基变量的检验数的负值。若 −Y S 对应原问题决策变量 x 的检验数； − Y 则对应原问题松弛变量

x S 的检验数。 4.

表示三种资源的影子利润分别为 0.89、4.89 和 0，应优先增加设备 C

台时以及增加材 料可获利更多；14.89>12，所以设备 C

可以进行外协加工，200.89<210，所以暂不外 购材料。

5.

(1)求出该问题的最优解和最优值；

∗ T

*

*