研究生矩阵试题B2

北京交通大学

2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)

专业 班级 学号 姓名

一． （12分）设3R 的两个基为T

T T I )1,0,1( ,)1,0,1( ,)1,1,1( :321=-==ααα和T T T II )5,4,3( ,)4,3,2( ,)1,2,1( :321===βββ，

（1） 求基I 到基II 的过度矩阵；（2） 求T )1,1,1(=α在基I 下的坐

标。

二． （14分）设线性影射34:R R T →满足，对任意44321),,,(R x x x x T ∈， T T x x x x x x x x x x x x x x x T )3,2,(),,,(432142143214321-++-+++-=，

求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。

三． （12分）设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=120520i i i A ，

（1）计算1A 和∞A ；（2）如果T x )1,1,1(=， 计算1Ax 和∞Ax 。

四．（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=131321*********A 的满秩分解。

五． （12分）求矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=230111140A 的正交三角分解UR A =，其中U 是

酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。

六． （20分）证明题：

1． 设A 是反Hermite 矩阵，证明A E -是可逆的。

2．设A 是正规矩阵， 如果A 满足0432=--E A A ，证明：A 是Hermite 矩阵。

3．证明：n 维欧氏空间V 的线性变换T 是对称变换，即对任何,x y V ∈， ),(),(Ty x y Tx = 的充要条件是T 在标准正交基下的矩阵表示是对称拒阵。

七． （20分） 设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=100100011A 。

（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求矩阵函数()f A ，并计算tA e 。