武汉大测绘学院广义测量平差考试复习题

绪论1.平差问题的函数模型的随机模型，无非以下几种：函数模型中系数阵是列满秩还是秩列亏；待估参数是非随机量还是随机量或者两者兼有；观测量的协方差阵是满秩还是奇异；2.以不同的准则来求定未知参数的最佳估计，得到不同的估计方法，经典的测量平差方法都是以最小二乘估计或者极大似然估计为根据导出的；滤波、配置和动态系统的卡尔曼滤波，最初是以极大验后估计或者最小方差估计导出的。

3.有偏估计是为了克服法方程病态的问题的平差方法，病态又称为法方程的复共线性。

P163（论述题）4.简述引起测量平差法方程系数矩阵病态的原因及其后果，通常采用什么方法解决这一问题，采用何种指标评价参数估值的精度？（在第一章讲过）（秩亏是用秩亏自由网平差，病态用有偏估计）原因：误差方程的系数矩阵存在着很弱的弱相关性，弱相关性也称复共线性。

法方程中系数和常数项存在舍入误差而产生微小变化时，引起的解的很大差异。

这种情况下法方程系数阵的性质不好，称为病态方程。

后果：一旦存在病态性，法方程系数上的微小误差会导致方程的解完全被扭曲。

最小二乘解不稳定。

解决方法：采用有偏估计，包括岭估计、广义岭估计、主成分估计等等有偏估计方法。

评定精度的指标：（在经典平差里面用参数估值的方差评定精度，在广义平差里面用参数估计误差的方差评定精度）在有偏估计中采用均方误差MSE（X尖）来评定精度，均方误差用来衡量参数与其真值的偏离程度。

（参数与数学期望间的偏离程度是方差）5.随着测绘科学技术的变革和不断发展，经典测量平差理论已经不能满足现代测量数据处理，根据自己的理解论述现代测量数据处理的发展方向。

（PPT里面有）1.从法方程系数矩阵满秩扩展到法方程系数矩阵亏秩2.从仅处理静态数据扩展到处理动态数据3.从无偏估计扩展到有偏估计4.从线性模型的参数估计扩展到非线性模型的参数估计5.从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量6.从观测值仅含偶然误差扩展到含有系统误差和粗差7.从主要研究函数模型扩展到深入研究随机模型经典—非随机广义---随机6.经典平差对观测误差的基本假设是？答：观测误差仅含有偶然误差经典平差的基本假设：（局限性）1）系统是静态的2）有足够的起算数据3）观测值是随机变量，参数是非随机变量4）观测误差为偶然误差5）观测值函数独立6）平差准则为V T PV = min7.经典平差---未知参数为非随机参数；第一章极大似然估计P81、正态分布的极大似然估计与最小二乘估计相同————之间的转换，PPT15/16页2、均无法顾及到参数的先验统计性质。

（对非随机参数进行估计）3、要求知道L、X的条件概率密度或者联合概率密度；估计量可以是L的任意函数。

最小二乘估计P161、最小二乘估计并没有考虑参数的随机性质，当不知道参数的先验期望和先验方差、参数是非随机量时，可应用最小二乘估计。

2、各种经典平差方法，都是依据最小二乘估计准则，去求未知参数估值和观测值的平差值3、不需要知道任何统计信息。

估计量是L的线性函数极大验后估计P181、考虑了参数的先验统计性质2、极大验后估值的误差方差小于最小二乘估值的误差方差，当参数的先验期望、方差已知时，极大验后估计改善了最小二乘估计。

P20、PPT18页3、要求知道L、X的条件概率密度或者联合概率密度；估计量可以是L的任意函数。

最小方差估计P20、PPT191、当X、L都是正态随机向量时，X的最小方差估值和极大验后估值相同。

P192、最小方差估计为无偏估计PPT213、要求知道L、X的条件概率密度或者联合概率密度；估计量可以是L的任意函数。

线性最小方差估计PPT211、无偏性、有效性2、当X、L都是正态随机向量时，X的线性最小方差估计与最小方差估值和极大验后估值相同。

3、放宽对概率密度的要求，要求已知L、X的数学期望和方差、协方差。

要求所求估计量是L的线性函数。

估计量的均方误差最小为原则。

广义测量平差原理：构造新的最小二乘算法，得到极大验后估计的结果1、极大似然估计————=最小二乘估计2、极大验后估计————（改善）极大似然估计（最小二乘估计）P273、X是不具有先验统计特性的非随机量时，极大验后估计在此时便退化为极大似然估计与最小二乘估计。

P274、正态分布时，计算结果与极大验后估计相同。

5、广义最小二乘原理，最重要的就是增加虚拟观测值（把随机参数的先验期望当作虚拟观测值）（填空题）1、极大似然估计是以F（l/x）=max为准则的估计方法，极大验后估计是以F（x/l）=max为准则的估计方法，由极大似然估计导出最小二乘估计的前提条件是参数与观测值服从正态分布。

2、参数估计最优性的评定标准是最优性、无偏性、一致性。

（最优是指方差最小）4、采用广义最小二乘法平差，通常需要增加（虚拟观测值）以表示未知参数的（先验统计信息）5、我们在广义测量平差里面通常是用估计误差的方差D△X尖来衡量参数估值的精度。

当X 为非随机参数的时候，习惯上用参数估值的方差D X 尖来衡量估值的精度。

6、当参数X 与观测值L 服从正态分布的时候，在观测值L=l 的条件下X 的条件期望E （X/l ）=u x +D XL D L -1（L-u L ），X 的条件方差D （X/l ）=D X -D XL D L -1D LX 。

7、经典测量平差的准则是V T PV=min ，当参数与观测值服从正态分布的时候这个方法（最小二乘）与极大似然估计是等价的，但是他们都有一个缺点是都没有办法顾及到参数的先验统计性质。

8、岭估计是一种有偏估计方法，它的法方程是什么样（在最小二乘估计的法方程系数阵N 的主对角线上加一个常数k ），该方法是为了解决法方程系数矩阵病态带来的问题。

岭估计、广义岭估计、主成分估计是一种（有偏估计）方法，解决法方程系数矩阵病态的问题9、广义最小二乘的表示： T T x x (V PV min)PV V +=。

经典测量平差的平差准则是（V T PV=min ）（简答题）怎样由极大验后估计导出它跟极大似然估计、最小二乘估计之间的关系（第一章最需要解决的问题。

第一章甚至整本书就是落脚到广义最小二乘原理，卡尔曼滤波最后也就是落脚到虚拟观测值方程） 在第一章里面，一定要把广义最小二乘原理整个的来龙去脉搞清楚，关键是要把极大验后估计搞清楚，极大验后估计等价于线性最小方差估计，极大似然估计等价于最小二乘估计，它们之间为什么能够等价一定要搞清楚。

1、简述极大验后估计与最小方差估计的估计准则，一般情况下哪种方法的精度更高，假设参数与观测值服从正态分布，给出最小方差估计的估值与估计误差的表达式答：一般情况下最小方差估计精度更高，它以参数估计误差的方差为最小作为其估计准则。

但在服从正态分布时，两种方法等价。

为何等价的基本推倒过程（给出极大验后估计，当它服从正态分布时，怎样导出最小方差估计或线性最小方差估计，用自己语言组织表述）。

（线性最小方差以均方误差MSE 为准则）P19、P212、？？由极大验后估计导出最小方差估计和线性最小方差估计的过程。

3、线性最小方差以估计量的均方误差达到最小为准则，即MSE（X尖）=min。

导出其参数估值与估计误差方差的基本公式，开卷需要证明。

4、在这里给出观测值的条件概率密度F（l/x）一个正态分布的概率密度函数（相当于已知条件），然后给出条件期望和条件方差，求参数的极大似然估值。

解法：由F（l/x）导出极大似然估值（PPT里面有）6、经常会有：提出广义最小二乘原理的目的是什么，简述构造最小二乘准则的依据与方法。

（为什么要对经典最小二乘准则进行推广，试说明在参数与观测值服从正态分布，即观测值与参数互不相关的情况下，构造广义最小二乘原理的过程和平差的计算方法）目的：经典最小二乘考虑的参数是非随机参数，无法顾及到参数的先验统计性质，所以存在这种缺陷。

如果考虑参数的先验统计性质，就必须基于广义最小二乘原理来处理。

具体来说，就是广义最小二乘原理的估计准则（V T P△V+V X T P X V=min）比经典最小二乘（V T PV =min）多了一个V X T P X V，这个量是间接平差无法考虑到的。

所以，这是提出广义最小二乘的目的。

构造依据：广义最小二乘公式推导从极大验后估计出发来推，所以要把极大验后估计基于的原则、目标函数写出来，再把目标函数和虚拟观测值、虚拟观测方程之间的关系对应起来。

（看PPT看书）lnf(x/l)=lnf(l/x)+lnf1(x)+lnf2(l) 从左到右分别对应极大验后、极大似然、参数。

当参数和观测值服从正态分布时，极大验后估计等价于极大似然估计加上_____7、与经典测量平差数学模型相比，广义的高斯-马尔科夫模型有什么改进？法方程奇异，协因数阵奇异分别采用什么办法？1）不要求观测值的协因数阵（或方差阵）满秩从而解决了观测值函数相关时的平差问题，无误差的已知量也可以看作观测值处理；2）法方程的系数阵可为奇异阵，也就是不要求误差方程的系数阵列满秩，也就是不要求有足够的基准条件（或起算数据）。

法方程奇异具有无穷多解，用秩亏自由网平差（附加基准条件法、广义逆法、伪观测值法、直接法、消去条件法）协因数阵奇异则凯利逆不存在，无法得到观测值权阵，通常将线性相关的观测值去掉之后通常的平差方法平差，也可以用广义逆的方法。

8、简述最小方差估计与线性最小方差估计的基本原理，给出这两种估计方法参数估值及估计误差方差的基本公式，并对这两种方法进行比较。

区别：1）准则、准则完全不一样，线性最小方差估计是均方误差最小，最小方差估计是估计误差方差最小。

所以线性最小方差估计的精度更高。

2）条件概率密度、另外最小方差估计要求知道条件概率密度，而线性最小方差不需要知道条件概率密度，只需要知道基本的数字特征，如数学期望和方差等等。

联系：当参数和观测值服从正态分布时，最小方差估计、线性最小方差估计和极大验后估计三者之间是等价的，但三种估计方法基于的估计准则都是不同的：最小方差估计基于方差最小；要求知道条件概率密度。

线性最小方差估计基于均方误差最小；不需要知道条件概率密度，只需要知道一些数学特征，如数学期望和方差等，所以线性最小方差估计相对简单一些。

但是最小方差估计比线性最小方差估计具有更小的估计误差方差，一般情况下（排除正态分布），最小方差估计精度更高；当都服从正态分布时，两者等价。

8、考察经典测量平差中的间接平差数学模型、计算过程，试说明为什么要求观测向量的协因数矩阵Q的行列式不为零，误差方程的系数矩阵B要列满秩？答：若Q的行列式为零，则Q的逆不存在（凯利逆不存在），即P就无法构建，那么V T PV无法构建。

若B不满秩，则B T PB秩亏，B T PB就不存在逆阵（凯利逆），进而无法求出参数的唯一值，即求不出(B T PB)-1(B T Pl)。