第七节 信号流图与梅森公式
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信号流 图与梅逊增益公式
【例 2-17】已知某系统的信号流图如图所示，试求其传递函数。
【解】由图可知，此系统有两条前向通路，即 n 2 ，其增益各为 p1 abcd 和 p2 fd ；
有三个回路，即 L1 be ，L2 abcdg ，L3 fdg ，因此 La L1 L2 L3 。上述三个 回路中只有 L1 与 L3 互不接触，L2 与 L1 及 L3都接触，因此 LbLc L1L3 。由此得系统的
（1）源点：也称输入节点，指只有输出支路的节点，如图中的 x1 。它一般表 示系统的输入量。
（2）汇点：也称输出节点，指只有输入支路的节点，如图中的 x6 。它一般表
示系统的输出量。
（3）混合节点：既有输入支路又有输 出支路的节点称为混合节点，如图中
的 x2 ，x3 ，x4 。它一般表示系统的中间
变量。
数。由于信号流图和结构图之间存在相应的联系，因此梅逊增益公式同样也
适用于结构图。
梅逊增益公式给出了系统信号流图中任意输入节点与输出节点
之间的增益（即传递函数），其公式为
式中
P
1
n k 1
pk k
n ——从输入节点到输出节点的前向通路的总条数；
pk ——从输入节点到输出节点的第 k 条前向通路总增益；
（5）回路：单独回路的简称，即起点和终点在同一节点且信号通过每一个节点不多于
一次的闭合通路。从一个节点开始，只经过一条支路又回到该节点的回路，称为自回
路。回路中所有支路增益的乘积称为回路增益，用 La 表示。在图中共有三条回路，一 条是起始于节点 x2 ，经过节点 x3 最后回到节点 x2 的回路，其回路增益为 L1 bc ；第二 条是起始于节点 x，2 经过节点 x，3 ，x4 x最5 后又回到节点 x的2 回路，其回路增益 为 L2 cegh ；第三个是起始于节点 x4 并回到节点 x4的自回路，其回路增益为 L3 f 。
信号流图梅森公式
回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。
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5
信号流图的等效变换
串联支路合并：
ab x1 x2 x3
并联支路的合并：
a
x1 b x2
ab
x1
x3
ab
x1
x2
回路的消除：
ab
x1
x2
x c
3
b
a 1 bc
x1 x2 x3
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6
信号流图的等效变换
P
1
n k1
Pkk
1 L a L b L c L d L e L f .（.正. 负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
18
梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2
1
G7
G3
G4
1
G1
1
H2
G8
H1
有四个回路，分别是：
1
C
G 2 H 2 , G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
ug ue
u1
u2
ua
G f
[解]：前向通道有一条；ug ,P 1G 1G 2G 3G u
有一个回路； L a G 1 G 2 G 3 G u G f
梅逊公式的应用
系统信号流图及梅逊公式
②
-
1/G2(s) G2(s) H1(s)
①
H2(s) Y0 G4(s)
+
Xi(s)
+
G1(s)
+
X0(s)
-
-
-
G3(s)
③ ④
第二步、消去反馈回路①，另相加点（比较点）③前移
1/G2 H2
Xi(s)
+
G1
②
+
③
G3(1+G2H1)/G2G4
X0(s)
G2G4 /(1+G2 H1 )
P1=G1G2G3 G4G5； ； P2=G1G4G5G6； P3=G1G2G7
有4个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G4H1； L2=−G2G7H2； L3=−G4G5G6H2； L4=−G2G3G4G5H2； 有1个互不接触的反馈回路，即： L b L c G 4 H 1G 2 G 7 H 2
k
由梅逊公式求得系统的传递函数为：
G (s) G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 1 G 4 G 5 G 6 G 1 G 2 G 7 (1 G 4 H 1 ) 1 G 4 H 1 G 2 G 7 H 2 G 4 G 5 G 6 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
-
④
2.6
第三步、消去并联回路③和反馈回路②
系统信号流图及梅逊公式
Xi(s)
+
G1
G2G4-(1+G2H1)/G2G4
G2G4 /(1+G2 H1 + G2G4)
X0(s)
信号流图与梅森公式
2.5 信号流图与梅森公式2.5.1 信号流图信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数.1. 信号流图的组成及基本性质信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语:前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益.回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益.不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X XX X X是节点；j h d c b a ,,,,, 为支路增益；4,1X X 为输入节点；7X 为输入节点；6532X X X X 为混合节点。
信号流图共有三条前向通道，第一条是765321XXXXXX →→→→→；第二条是76531X XXXX →→→→；第三条是765324X XXXXX→→→→→。
有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。
而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。
图2-31 信号流图注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。
2.5.2 信号流图的绘制信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。
系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。
图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。
这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即图6-29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6-17)。
(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。
(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。
课件：信号流图和梅逊公式的应用
增益。
3、信号流图的性质
➢ 信号流图只适用于线性系统 ➢ 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号 只能沿着支路上的箭头指向传递,后一个节点对前一个 节点没有负载效应（即无反作用）. ➢ 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相 加后的信号传送到所有的输出支路 ➢ 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理 ➢ 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。
知识点
LC
d 2uc dt2
RC
duc dt
uc
ur
1）R-L-C电路的传递函数
Uc s
1
Ur s LCs2 RCs 1
d 2 y(t) dy(t)
m
dt2
f
ky(t) F(t) dt
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数
Y s F s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
s2
1
fs
1
典型环节及其传递函数(具有基本输入和输出关系的环节)
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L4 G2G3H2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L5 G4H2
确定前向通路
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P1 G1G2G3
1 1
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P2 G1G4
2 1
前向通路数：n 2
C 1
R
Pk k
G1G2G3 G1G4
1 G1G2G3 G1G2H1 G2G3H2 G1G4 G4H2
3、信号流图的性质
➢ 信号流图只适用于线性系统 ➢ 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号 只能沿着支路上的箭头指向传递,后一个节点对前一个 节点没有负载效应（即无反作用）. ➢ 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相 加后的信号传送到所有的输出支路 ➢ 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理 ➢ 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。
知识点
LC
d 2uc dt2
RC
duc dt
uc
ur
1）R-L-C电路的传递函数
Uc s
1
Ur s LCs2 RCs 1
d 2 y(t) dy(t)
m
dt2
f
ky(t) F(t) dt
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数
Y s F s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
s2
1
fs
1
典型环节及其传递函数(具有基本输入和输出关系的环节)
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L4 G2G3H2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L5 G4H2
确定前向通路
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P1 G1G2G3
1 1
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P2 G1G4
2 1
前向通路数：n 2
C 1
R
Pk k
G1G2G3 G1G4
1 G1G2G3 G1G2H1 G2G3H2 G1G4 G4H2
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的推导
• 定理7 设Aij是行列式|A|中aij 余因式，则当 ij时，Aij= Pk△k 式中Pk是从节点i到j的第K条路的传输。△k 是不接触从i到j的第K条路的图行列式。他 是在图G中取掉Pk的所有节点和这些节点所 关联的支路后按（1-42）式算出的图行列 式。 表示所有可能的从节点i到j的路求和。
梅森公式注意事项
注意：
梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出 对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也 就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路， 而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递 函数：
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
•梅森公式的推导
定义下列矩阵
• 分支矩阵B
B是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列
对应于支路。
B=[bij]，bij={ 1，若支路j的起点是i }
0，
否则
因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一 个元素为1。
• 汇总矩阵S
S也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，
列对应于支路。
S=[sij]，sij={ 1，若支路j的起点是节点i }
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方 程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结 构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要 特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主 要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。
自动控制信号流图及梅逊增益公式自学讲义
1、信号流图的起源信号流图的起源是梅逊（mason)利用图解法表示一个或一组线性方程组并图解求解的方法。
（1956年） 如：欧姆定律 U=IR.U如：五个变量的一组代数方程式： 45253442331211cx gx dx x bx x fx ax x ex x x x x ++==+=+==2、信号流图的表示节点表示系统的变量，从左到右顺序设置。
每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。
支路相当于乘法器。
信号在支路上只能沿箭头单向传递。
节点分为输入节点，如上图x1，只有输出而无输入； 输出节点，如上图x5，只有输入而无输出；混合节点，如上图x2,x3,x4，既有输入又有输出。
3、几个名词的定义前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。
前向通路增益为各个支路的增益乘积。
如：x1->x2->x3->x4->x5. 前向通路增益为p1=abc；x1->x2 ->x5. 前向通路增益为p2=d。
回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为回路。
回路增益：回路中所有支路增益乘积。
如：x2->x3 ->x2. 回路1增益L1=ae；X3->x4 ->x3. 回路2增益L2=bf；X5->x5. 回路3增益L3=g。
不接触回路：回路之间没有公共节点时，称不接触回路。
如：回路1和回路3；回路2和回路3。
4、信号流图的绘制由动态结构图绘制4、梅逊增益公式来源：按克莱姆法则求解线性联立方程组时，将解的分子多项式及分母多项式与信号流图巧妙联系的结果。
图中有3个独立回路，没有互不接触的回路。
前向通路只有一条，与所有回路都接触。
∆∆=∑=nk kk P s G 1)(之后的余子式。
路所在项去掉条前向通道相接触的回中与第：将；个前向通道的传递函数第之和。
信号与系统 7.3 信号流图
§7.3 信号流图
•信号流图 信号流图 •梅森公式 梅森公式
一.信号流图
信号流图是用有向的线图描述线性方程组变量间因果 关系的一种图，它用来描述系统较方框图更为简便。 关系的一种图，它用来描述系统较方框图更为简便。 通过梅森公式将系统函数与相应的信号流图联系起来， 通过梅森公式将系统函数与相应的信号流图联系起来， 不仅有利于系统分析，也便于系统模拟。 不仅有利于系统分析，也便于系统模拟。 Y (⋅) = H(⋅)F(⋅) F(s) Y(s) H(s) F(s) Y(s) H(s) Y(z) F(z) H(z) F(z) Y(z) H(z) 方框图 信号流图 一般而言，信号流图是一种赋权的有向图。 一般而言，信号流图是一种赋权的有向图。它由连接在结 点间的有向支路构成。它的一些术语定义如下： 点间的有向支路构成。它的一些术语定义如下：
∆ = 1− ∑Lj = 1 + a1s−1 + a0s−2
前向通路1: 前向通路1: F → x1 → x2 → x3 →Y : 增益 P1= b0s-2 前向通路2: 前向通路2: F → x1 → x2 →Y : 增益 P2= b1s-1 前向通路3: 前向通路3: F → x1 →Y : 增益 P3= b2 由于各回路都包括x 各前向通路也都包括x 由于各回路都包括x1，各前向通路也都包括x1， 1； 所以每条前向通路对应的 Δ1= Δ2= Δ3= 1；
1 H = ∑P∆i i ∆ i
∆ =1− ∑Lj + ∑LmLn =1+ (G1H1 + G2H2 + G3H3 + G1G2G3H4 ) + G1G3H1H3
j m,n
1 H = ∑P∆i i ∆ i
∆ =1− ∑Lj + ∑LmLn =1+ (G1H1 + G2H2 + G3H3 + G1G2G3H4 ) + G1G3H1H3
•信号流图 信号流图 •梅森公式 梅森公式
一.信号流图
信号流图是用有向的线图描述线性方程组变量间因果 关系的一种图，它用来描述系统较方框图更为简便。 关系的一种图，它用来描述系统较方框图更为简便。 通过梅森公式将系统函数与相应的信号流图联系起来， 通过梅森公式将系统函数与相应的信号流图联系起来， 不仅有利于系统分析，也便于系统模拟。 不仅有利于系统分析，也便于系统模拟。 Y (⋅) = H(⋅)F(⋅) F(s) Y(s) H(s) F(s) Y(s) H(s) Y(z) F(z) H(z) F(z) Y(z) H(z) 方框图 信号流图 一般而言，信号流图是一种赋权的有向图。 一般而言，信号流图是一种赋权的有向图。它由连接在结 点间的有向支路构成。它的一些术语定义如下： 点间的有向支路构成。它的一些术语定义如下：
∆ = 1− ∑Lj = 1 + a1s−1 + a0s−2
前向通路1: 前向通路1: F → x1 → x2 → x3 →Y : 增益 P1= b0s-2 前向通路2: 前向通路2: F → x1 → x2 →Y : 增益 P2= b1s-1 前向通路3: 前向通路3: F → x1 →Y : 增益 P3= b2 由于各回路都包括x 各前向通路也都包括x 由于各回路都包括x1，各前向通路也都包括x1， 1； 所以每条前向通路对应的 Δ1= Δ2= Δ3= 1；
1 H = ∑P∆i i ∆ i
∆ =1− ∑Lj + ∑LmLn =1+ (G1H1 + G2H2 + G3H3 + G1G2G3H4 ) + G1G3H1H3
j m,n
1 H = ∑P∆i i ∆ i
∆ =1− ∑Lj + ∑LmLn =1+ (G1H1 + G2H2 + G3H3 + G1G2G3H4 ) + G1G3H1H3
梅森公式-信号流图
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
1 (a23a32 a23a34a42 a44 a23a34a52 a23a35a52 ) a23a32 a44 a23a35a52a44
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
G1(s)
NNN((s(ss)))
G2(s)
GGG2(22s(()ss))
CCC(s(()ss))
HHH2(22s(()ss)) H3(s)
HHH3(33s(()ss))
C(s)
R(s)
E(S) P1=H–P1G(s1)2=H13 △△1=11=+G1 2HH2 2(s)P1△1= ?
E(s)= R(s)[ (1+G2H2) +(- G3G2H3)] +(–G2H3)N(s)
1 G1H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4G5G7 H1H 2
x1
x2
x3
x7 I(s) x4
x5
o在源节点上，只有信号输出 支路而没有信号输入的支路，
1/R1 1+R1C1s R2
它一般代表系统的输入变量。
-1
•阱节点（输出节点）：
在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它
第七节 信号流图与梅森公式
23
，
例2：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
24
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
25
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
26
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
27
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
28
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
X
3
BX
2
BX
2
ABX
1
4
2、说明
（1）节点变量（信号）等于所有流向该节点的信 号之代数和，与输出无关。从同一节点流出的信号均 等于该节点变量，与流入无关。同方向传递的信号不 能重复计算。
X
X
3
AX
CX
1
BX
2
4
3
X
5
DX
3
5
（2）信号在支路上沿箭头方向单向传递。 （3）支路相当于一个乘法器，信号流经支路时，被 乘以支路增益而变换为另一个信号。（支路增益为 “1”时，可不标出） （4）在混合节点上，增加一条具有单位增益的输出 支路，可以从信号流图中分离出系统变量。即变混合
29
，
例4：用梅森公式求如下2图所示系统的传递函数。
30
所 有 单 个 回 路 增 益 之 和
触取所 回其有 路中单 增不个 益同回 乘的路 积两中 之个， 和不每 。接次
20
2、有关定义
（1）前 向 通 路——信号从输入节点到输出节点传递时， 每个流经节点只通过一次的通路。 （2）回 路——起点与终点为同一节点，而中间混合 节点最多通过一次的闭合通路。
信号流图与梅森公式
7
梅森公式参数解释：
G(s)：待求的总传递函数；
Δ称为特征式， 且Δ=1-ΣLi+ΣLiLj-ΣLiLjLk+… Pk：从输入端到输出端第k条前向通路的总 增益； Δk：在Δ中，将与第k条前向通路相接触的 回路所在项除去后所余下的部分，称余子式；
8
ΣLi:所有各回路的“回路传递函数”之和； ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
信号流图及梅森公式
❖ 是表示复杂系统的又一种图示方法。
❖ 重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
混x合3。节点：既有输出支路,又有输入支路的节点,如：x2、
传之间的输增：益两为个a节，点则之传间输的也增为益a。叫传输。如：x1→x2
前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个
节点只通过一次的通路称为前向通路。如
x1→x2→x3→x4 。
2
x5
前向通路总增益：前向通路 x1 a x2 b
上各支路增益的乘积 ，如：
R(s) +
E(s) G(s)
C(s)
2
_
H(s)
N(s)
R(s) + E(s)
++
C(s)
3
_ G1(s)
信号与系统第七章(3)信号流图
称为汇点或陷点（或输出点），如图中的 x5。
通路
d
x1
1
x2 a
b
x3
e
x4 c
g
x5
f
从任一结点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的 不同支路和结点到达另一结点的路径称为通路。
如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。
如果通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不 多于一次），则称为回路或闭通路（环路）。
1
z-1
+
+
∑
z-1
F(z)
0.5
-
z-1 0.25
0.5 1
+ -
∑ Y(z)
例4 求图示信号流图的系统函数。
H4
F
1 x1
H1 x2 H2 x3 H3 x4 H5
Y
-G1
-G2
-G3
例5 求图示网络的转移电压比
H(s) U4(s) U1(s)
和输入阻抗
Zin(s)
U1(s) I1(s)
（一） 判断系统函数 H (的S)极点都在左半开平面。
（二）连续因果系统的稳定准则：罗斯-霍尔维兹准则。 1 判断多项式 A(的s)所有系数 ai (i 0是,1,否2,大, n于) 0。
2 若所有系数 a均i 大于0， 用罗斯准则进一步判断。 3 罗斯准则：多项式 A是(s霍) 尔维兹多项式的充分 和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大于零。
U2(s) R[I1(s) I2(s)]
U3(s) R[I2(s) I3(s)]
U4(s) RI3(s)
sC R
sC R
U2
I2
U3
I3
通路
d
x1
1
x2 a
b
x3
e
x4 c
g
x5
f
从任一结点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的 不同支路和结点到达另一结点的路径称为通路。
如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。
如果通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不 多于一次），则称为回路或闭通路（环路）。
1
z-1
+
+
∑
z-1
F(z)
0.5
-
z-1 0.25
0.5 1
+ -
∑ Y(z)
例4 求图示信号流图的系统函数。
H4
F
1 x1
H1 x2 H2 x3 H3 x4 H5
Y
-G1
-G2
-G3
例5 求图示网络的转移电压比
H(s) U4(s) U1(s)
和输入阻抗
Zin(s)
U1(s) I1(s)
（一） 判断系统函数 H (的S)极点都在左半开平面。
（二）连续因果系统的稳定准则：罗斯-霍尔维兹准则。 1 判断多项式 A(的s)所有系数 ai (i 0是,1,否2,大, n于) 0。
2 若所有系数 a均i 大于0， 用罗斯准则进一步判断。 3 罗斯准则：多项式 A是(s霍) 尔维兹多项式的充分 和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大于零。
U2(s) R[I1(s) I2(s)]
U3(s) R[I2(s) I3(s)]
U4(s) RI3(s)
sC R
sC R
U2
I2
U3
I3
信号流图和梅森公式
接触回路增益乘积之和)–(任意三个互不接触回路增
益乘积之和)+¨¨¨
17:59
21
1N
G
Δ
Σ
k 1
Gk
Δk
Gk ——N条前向通路中第k条前向通路的增益； Δk——第k条前向通路余因式，即与第k条前向 通路不接触部分的Δ值（特征式）； 去掉第K条前向通路后剩余的流图的特征式。
N ——前向通路的总数。
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。
回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用La
表示。
17:59
8
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
a43
a44
(source) x1
1
a12 2
3
x2
a23 x3 a34 4 x4 a45
单独回路(7个)
a24 a25
1 Output node
5
x5
x6
x4 x4
x2 x3 x2
x3 x4 x3
不接触回路(2组) x2 x3 x2 和 x4 x4
x2 x4 x3 x2
x3 x4 x5 x3
17:59
22
例1 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。
17:59
23
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
自动控制原理第07 讲 梅逊公式
例1：根据微分方程绘制信号流图
取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、 I2(s)、Uo(s)作为信号 流图的节点，其中， Ui(s)、 Uo(s)分别为 输入及输出节点。按 上述方程绘制出各部 分的信号流图，再综 统方框图
信号流图
◇Xi(t)作用下系统的闭环传递函数 令n(t)=0，此时在输入Xi(t)作用下系 统的闭环传递函数为：
◇输入作用下系统的偏差传递函数
令n(t)=0，此时系统输入Xi(s)与偏差ε(s)之间 的传递函数称为输出作用下的偏差传递函 数。用Φεi(s)表示。
◇n(t)作用下系统的闭环传递函数
令xi(t)=0，此时在扰动n(t)作用下系统的 闭环传递函数（干扰传递函数）为：
◇闭环系统的开环传递函数
将闭环控制系统主反馈通道的输出断开， 即H(s)的输出通道断开，此时，前向通道传 递函数与反馈通道传递函数的乘积 G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环 传递函数。记为Gk(s)。 闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈 信号B(s)和偏差信号ε(s)之间的传递函数， 即：
※比较点与节点的对应关系
◇梅逊公式
式中，P—系统总传递函数 Pk—第k条前向通路的传递函 数（通路增益） Δ—流图特征式
ΣLa —所有不同回路的传递函数之和； ΣLbLc—每两个互不接触回路传递函数乘积 之和； ΣLdLeLf—每三个互不接触回路传递函数乘 积之和；
Δk—第k条前向通路特征式的余因子，即对于 流图的特征式Δ，将与第k条前向通路相接触 的回路传递函数代以零值，余下的Δ即为Δk。
□系统的固有特征与输入、输出的形式、位 置均无关；同一个外作用加在系统的不同 位置上，系统的响应不同，但不会改变系 统的固有特性；
信号流图梅森公式
支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而 变换为另一信号。
信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因 果关系。
对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图 不是唯一的。
Sunday, March 08, 2020
8
信号流图的绘制
[信号流图的绘制]：
根据结构图
列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制
Ld LeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为 中除去与第k个
前向通道接触的回路后的剩余部分。
Sunday, March 08, 2020
13
梅逊公式||例2-13a
n
Pk k
P k 1
例2-13a：求速度控制系统的总传输(s) 。（不计扰动）
Sunday, March 08, 2020
12
梅逊公式
P
1
n k 1
Pk k
1 La LbLc Ld LeLf ...（正负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
1
Pk k
k 1
P11
G1G2G3Gu 1 G1G2G3GuGf
Sunday, March 08, 2020
14
梅逊公式||例2-13
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算 总传递函数。
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
P1 G1G2G3G4 P2 G1G2G7G4
信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因 果关系。
对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图 不是唯一的。
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8
信号流图的绘制
[信号流图的绘制]：
根据结构图
列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制
Ld LeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为 中除去与第k个
前向通道接触的回路后的剩余部分。
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13
梅逊公式||例2-13a
n
Pk k
P k 1
例2-13a：求速度控制系统的总传输(s) 。（不计扰动）
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12
梅逊公式
P
1
n k 1
Pk k
1 La LbLc Ld LeLf ...（正负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
1
Pk k
k 1
P11
G1G2G3Gu 1 G1G2G3GuGf
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14
梅逊公式||例2-13
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算 总传递函数。
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
P1 G1G2G3G4 P2 G1G2G7G4
信号流图及梅逊公式
R(s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(2)扰动信号下的闭环 传函：R(s)=0
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
E(s)
N (s) = C (s) =
G2 (s)
N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
1
C(s)
所以当输入信号和扰动信号同时作用时， 系统输出为：
C (s) =(s) R(s) + N (s) N (s) = G1 (s)G2 (s) R(s) + G2 (s) N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(3)闭环系统的误差传递函数(以E(s)为输
出的传递函数)：
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
1
C(s)
+ [G1G2 + G1G3 + G2G3 + G1G2G3 ] [ G1G2G3 ]
例4：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
P = C (s)= p1 1 + p2 2 + p3 3 + p4 4 R(s)
=
G1G3 K (1 + G1 ) + G2G3 K (1 + G2 )
1 + G1 + G2 + G3 + 2G1G2 + G1G3 + G2G3 + 2G1G2G3
L(1) —— 所有单独回路增益之和； L(2) —— 两个互不接触回路增益乘积之和； L( m ) —— m个不接触回路增益乘积之和。
例3：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
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的就是梅逊增益公式。
P
1
K 1
n
PK
K
18
P ——从输入到输出间的总增益。（系统传递函数）
n ——从输入节点到输出节点的前向通路总数。
PK ——从输入节点到输出节点的第K条前向通路的总增益。
（分支传递函数）
K ——余因子式（在 中令与第K条前向通路相接触的回 路增益为 0 所得到的 值）
节点为汇节点，分离前后变量相同。
6
7Hale Waihona Puke 二、由方块图到信号流图方块图 信号线 信号线上所传递的信号 引出点 比较点 节点 节点变量 出支路 入支路
信号流图
方块及传递函数，保持同向 支路传递方向及增益
8
例1：将如图方块图化为信号流图。
9
例1：将如图方块图化为信号流图。
10
例1：将如图方块图化为信号流图。
X
3
BX
2
BX
2
ABX
1
4
2、说明
（1）节点变量（信号）等于所有流向该节点的信 号之代数和，与输出无关。从同一节点流出的信号均 等于该节点变量，与流入无关。同方向传递的信号不 能重复计算。
X
X
3
AX
CX
1
BX
2
4
3
X
5
DX
3
5
（2）信号在支路上沿箭头方向单向传递。 （3）支路相当于一个乘法器，信号流经支路时，被 乘以支路增益而变换为另一个信号。（支路增益为 “1”时，可不标出） （4）在混合节点上，增加一条具有单位增益的输出 支路，可以从信号流图中分离出系统变量。即变混合
①混合节点——既有输入信号又有输出信号的节点。
2
（2）支路
用有向线段“ 经支路传递的信号应乘以支路增益。 ”表示，线上
标出增益。支路表示连接的两个节点变量之间的关系，
3
2、说明
（1）节点变量（信号）等于所有流向该节点的信 号之代数和，与输出无关。从同一节点流出的信号均 等于该节点变量，与流入无关。同方向传递的信号不 能重复计算。
23
，
例2：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
24
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
25
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
26
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
27
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
28
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
——流图特征式。（流图所对应的方程组的系数行列式）
1
La
Lb Lc
19
Ld Le L f
——流图特征式。（流图所对应的方程组的系数行列式）
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
触取所 回其有 路中单 增不个 益同回 乘的路 积三中 之个， 和不每 。接次
（3）自 回 路——中间无节点的闭合通路。
（4）不接触回路——相互间没有公共节点的回路。
21
，
前向通路—— 回路——
P1 ABD
L2 E ,
L3 C F
L1 A G ,
L2 E
自回路——
不接触回路——
L1 L 2 A G E ,
L1 L 3 A G C F
22
，
例1：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
11
例1：将如图方块图化为信号流图。
12
例1：将如图方块图化为信号流图。
13
例2：将如图方块图化为信号流图。
14
例2：将如图方块图化为信号流图。
15
例2：将如图方块图化为信号流图。
16
例2：将如图方块图化为信号流图。
17
三、梅森增益公式
1、梅森公式 在信号流图中为求得系统的传递函数，除了 运用等效法则（串并联支路简化、混合节点吸收、 自回路消除等，类似方块图简化）外，用的最多
29
，
例4：用梅森公式求如下2图所示系统的传递函数。
30
第七节
一、信号流图
信号流图与梅森公式
信号流图——控制系统中信号传递关系的图
解描述。（相比方块图其符号简单，更容易绘制） 1、组成 （1）节点 用“○“表示，标志系统的变量。
（变量值为所有输入到该节点的信号之代数总和）
1
①源节点——只有输出信号而无输入信号的节点。
①汇节点——只有输入信号而无输出信号的节点。
所 有 单 个 回 路 增 益 之 和
触取所 回其有 路中单 增不个 益同回 乘的路 积两中 之个， 和不每 。接次
20
2、有关定义
（1）前 向 通 路——信号从输入节点到输出节点传递时， 每个流经节点只通过一次的通路。 （2）回 路——起点与终点为同一节点，而中间混合 节点最多通过一次的闭合通路。