2012绵阳二诊文科数学试题及答案
四川省绵阳市2012届高三第二次诊断性考试答案(理综卷答案)
绵阳市高2012级第二次诊断性考试 理科综合能力测试参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、在每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。
共13题，每题6分。
1. C 2. C 3. A 4. D 5. B 6. B 7. A 8. C 9. C 10. B 11. D 12. A 13. B二、本题包括8小题。
每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。
14.B15.D16.C17.A18.C19. B20.AD21.AC第Ⅱ卷（选择题，共174分）22．（1）A (2分)。
（2）①1.094 (2分)；② 2224tL n π(2分)。
（3）①如图(4分，分压，电流表外接各2分，画成分压但电流表内接给2分，画成限流 0分，器材选错0分)；②3.3 (3.2～3.4) (2分)，0.69（0.67~0.71）(2分)；③0.22 (0.20～0.24)(3分)。
23.解：(1)设工件在传送带上滑动加速度大小为a 1，传到右端B 点时，恰好与传送带相对静止，传送带的速度是v 1，则μmg =ma 1 ………………… (2分) 11212L a =υ………………… (2分) a 1=5 m/s 2，v 1=15 m/s ………………… (1分)（2）设工件在斜面上运动的加速度大小为a 2，恰好能到达斜面的上端点C ，在B 点的速度，也就是传送带的速度是v 2，则μmg cos θ +mg sin θ=ma 2………………… (2分) 22222L a =υ………………… (2分) a 2=10m/s 2，v 2=10m/s ………………… (1分)传送带以速度v 2运动时，设工件在传送带上滑动的时间为t 1，通过的距离是x 1，与传送带一起匀速运动的时间为t 2，则121a t υ=………………… (2分) 211121t a x =………………… (1分) 2112υx L t -=………………… (1分)t 1=2s ，x 1=10m ，t 2=1.25s在这种情况下，工件从A 运动到B 所用的时间t ，则 t = t 1+t 2=3.25s………………… (2分)24．解：（1）小物块A 从C 到O 的过程，根据动能定理有L V 1A 1SER 22121)5()(υm L f qE =-，qE f 2.0= {或,2.0ma qE qE =-)5(221L a =υ} …… (3分) 解得mqEL 221=υ ………………… (2分)(2)设A 、B 粘在一起后共同速度为v 2，根据动量守恒定律有212υυm m =………………… (2分) 当A 、B 粘一起运动到D 点时，弹性势能最大，根据能量守恒有qEL m E m p +=22)2(21υ ………………… (2分) 解得qEL E m p 3= ………………… (2分)(3)从C 到D ，电场力对小物块A 做功最大，所以电势能的变化量最大，设电场力做功为W ，则W =qE (5L +L ) ………………… (2分) △E =－W………………… (1分) 所以△E =－6qEL………………… (1分)(4) A 、B 粘在一起后，最终在OD 之间的区域内振动，根据能量转化守恒有 fs m 2)(22122=υ………………… (2分) 解得S =5L ………………… (2分) 25．解：⑴ 设电子在电场中运动的加速度为a ，时间为t ，离开电场时，沿y 轴方向的速度大小为v y ，则meEa =………………… (1分) v y ＝at ………………… (1分) l ＝v 0t ………………… (1分) v y ＝v 0cot300………………… (1分) 解得elm E 203υ= ………………… (2分)(2)设轨迹与x 轴的交点为D ，OD 距离为x D ，则x D ＝0.5l tan300 ………………… (2分) x D ＝63l………………… (1分)所以，DQ 平行于y 轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ 上，电子运动轨迹如图所示。
四川省绵阳市2012届高三第三次诊断性考试(数学文)
保密★启用前【考试时间：2012年4月21日15:00—17:00】绵阳市高中2012级第三次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至3页，第II卷3至4页.满分150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M={x||x|<3},N=x|y=lg(x-l)} ,则 M N=(A) {x|<x<3} (B) {x|x>-3}(C) {x|-3<x<1} (D) {x|-3<x<3}2. 设a, b，c 为实数，则“a<b”是“ac2<bc2”的(A)充分不必要条件（B)必要不充分条件(C)充要条件（D)既不充分也不必要条件3. 某校高三考生参加某高校自主招生面试时，五位评委给分如下：9.0 9.1 8.9 9.2 8.8则五位评委给分的方差为(A) 0.02 (B) 0.1 (C) (D) 0.64. l1,l2是空间中两条不同的直线，a,是两个不同的平面，则下列命题正确的是(A)(B)(C)(D)5. 函数的图象可由函数y=sinx的图象（纵坐标不变）(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位(B) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位(C) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位(D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位6. 己知曲线在点(a,b)的处的切线与直线垂直，则a的值是(A)-1 (B)( C) 1 (D)7. 设f(X)是定义在R上周期为4的奇函数,当时，，则f(5)的值为(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -28. 己知正项等差数列的前n项和为S n且，M为的等比中项，则M的最大值为(A) 36 (B) 9 (C) 6 (D) 39.已知点是圆C:内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为bx-ay =r2，那么(A) l m且w与圆C相切（B)且m与圆C相切(C) l m且m与圆C相离（D)且m与圆C相离10某运输公司有7辆载重量为8吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的b型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务•已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元,5型车180元.该公司每天所花的成本费最低时的派车计划为(A) A型车3辆与B型车3辆（B) A型车5辆与B型车3辆(C) A型车3辆与B型车4辆（D) A型车5辆与B型车4辆11. 已知双曲线C;(a>0,b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若，则C的离心率为(A) (B) (C) 2 (D)12.形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0，1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为(A) (B) (C) (D)第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分.13. 拋物线的焦点坐标为________14. 二项式的展开式中含项的系数为_______(用数字作答）15. 已知正方体的外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为_______16.对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c,.使得对任意,都有,且对任意，当时，恒成立，则称函数f(X)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②“平顶型”函数在定义域内一定没有最小值；③函数为R上的“平顶型”函数；④函数为R上的“平顶型”函数.则以上说法中正确的是_______.(填上你认为正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分）已知向量.(I )当m//n时，求的值；(II)已知在锐角ΔABC中，a，b，c分别为角A,B,C的对边，,函数，求的取值范围.18. (本题满分12分）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(I) 求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；(II) 求游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率.19. (本题满分12分）正方形与矩形ABCD所在平面互相垂直，,点E为AB的中点.(I )求证：BD1//平面A1DE(II )求二面角D1-A1E-D的大小；(III) 求多面体A1D1DBE的体积.20. (本题满分12分）已知为函数的反函数，S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，且•(I )求证：数列是等差数列;(II)已知数列{b n }满足，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n .21. (本题满分12分）在ΔABC 中，顶点A ，B, C 所对三边分别是a, b,c.已知B(-1,0), C(1, 0),且b,a,c 成等差数列. (I )求顶点A 的轨迹方程；(II)设直线l 过点B 且与点A 的轨迹相交于不同的两点M、N如果满足,求l 的方程.22. (本题满分14分） 已知函数（其中a, b 为实常数).(I )讨论函数/Ce)的单调区间； (II) 当a>0时，函数有三个不同的零点，证明：；(III) 若f(x)在区间[1,2]上是减函数，设关于X 的方程的两个非零实数根为x 1, x 2.试问是否存在实数m,使得对任意满足条件的a 及恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.绵阳市高2012级第三次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ABABC BCDCC AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．)041(，-14．-16015．arccos 3116．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）由m//n ，可得3sinx=-cosx ，于是tanx=31-．∴ 922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x ． …………………………4分 （II ）∵在△ABC 中，A+B=π-C ，于是C B A sin )sin(=+， 由正弦定理知：C A C sin sin 2sin 3⋅=， ∴ 23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分 又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m+n)·n=(sinx+cosx ，2)·(sinx ，-1) =sin 2x+sinxcosx-2 =22sin 2122cos 1-+-x x =23)42sin(22--πx ， ∴ 232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分 由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-． 即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分 18．解：设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i=0，1，2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件B j (j=0，1，2)，（I ）“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0． ∴ P(A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0) =P(A 1B 0)+P(A 2B 1)+P(A 2B 0)=P(A 1)·P(B 0)+P(A 2)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 0)=202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C367=． 即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367． ……6分 （II ）“游戏A 、B 被闯关成功的总人数为3”为A 2B 1+A 1B 2．∴ P(A 2B 1+A 1B 2)=P(A 2B 1)+P(A 1B 2)=P(A 2)·P(B 1)+P(A 1)·P(B 2)2121)32(3132)21(1222212222⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C C C =31． 即游戏A 、B 被闯关成功的总人数为3的概率为31． ……………………12分 19．（I ）证明：连结AD 1交A 1D 于F ，则F 为中点，连结EF ，如图．∵ E 为中点， ∴ EF//BD 1．又EF ⊂面A 1DE ，BD 1⊄面A 1DE ，∴ BD 1//面A 1DE ．……………………………………………………………3分 （II ）解：由面ABCD ⊥面ADD 1A 1，且四边形ADD 1A 1为正方形，四边形ABCD 为矩形，得D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，DC ⊥DA ．于是以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∴ D(0，0，0)、D 1(0，0，1)、A 1(1，0，1)、E(1，1，0)，∴ )101(1，，=DA 、)011(，，=DE 、)001(11，，=D 、)111(1-=，，D ．设面A 1DE 的一个法向量为n 1)1(11，，y x =，面D 1A 1E 的一个法向量为n 2)1(22，，y x =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DA n n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，0012112D A D n n 即⎩⎨⎧=+=+，，001111y x x ⎩⎨⎧=-+=，，010222y x x 解得：n 1=(-1，1，1)，n 2=(0，1，1)． 设D 1-A 1E-D 的大小为θ，于是36232cos 2121=⋅=⋅⋅=n n n n θ， ∴ 36arccos=θ，即二面角D 1-A 1E-D 的大小为36arccos ．………………5分 （III ）解：D AA E D D AA B D BE D A V V V 11111---=D AA D D AA S EA S AB 1113131∆⋅⋅-⋅⋅==AD AA EA DD D A AB ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1111213131 =112113111231⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯21=． ……………………………………………………12分 20．（I ）证明：函数f(x)的反函数为xxx f -=-1)(1（x ≠1）． ∵ n n S S f =+-)(11(n ∈N*)， ∴ 111++-=n n n S S S ，即1111=-+nn S S ， ∴ 数列{nS 1}是以1为公差，首项的等差数列11111==a S ． …………………4分 （II ）由（I ）知，n n S n =⋅-+=1)1(11，即nS n 1=． ∴ 当n=1时，a n =S 1=1， 当n ≥2时，)1(11111--=--=-=-n n n n S S a n n n ， 即⎪⎩⎪⎨⎧≥+-==．，，，2)1(111n n n n a n ………………………………………………………6分 由题意得⎩⎨⎧≥⋅-==．，，，22)1(12n n n b nn …………………………………………………7分 ∴ 当n=1时，T n =T 1=b 1=2． 当n ≥2时，T n =2+1×22+2×23+3×24+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n， 2T n =22+1×23+2×24+…+(n-2)·2n+(n-1)·2n+1， ∴ T n -2T n =2+23+24+ (2)-(n-1)·2n+11232)1(21)21(22+-⋅----+=n n n ，即-T n =(2-n)·2n+1-6， ∴ T n =(n-2)·2n+1+6，经验证n=1时，T 1的值也符合此公式，∴ 对n ∈N*，T n =(n-2)·2n+1+6． …………………………………………12分21．解：（I ）由题知⎩⎨⎧=+=，，a cb a 22得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3．∴ 顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y y x ． ………………………………4分（II ）∵ ||||-=+，∴ 22||||CN CM CN CM -=+，展开得0=⋅，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，于是=(x 1-1，y 1)，=(x 2-1，y 2)， ∴ (x 1-1，y 1)·(x 2-1，y 2)=0，即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0，整理得 x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2=0． (*)…………………………………………6分 ①直线l 的斜率存在时，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，134)1(22y x x k y消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0，则，2221438k k x x +-=+222143124k k x x +-=．由(*)式得x 1x 2-(x 1+x 2)+1+k 2(x 1+1)(x 2+1)=0， 即(1+k 2)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1=0，∴ 01)438()1(43124)1(2222222=+++-⋅-++-⋅+k kk k k k k ， 整理得0439722=+-kk ，解得k=±773. ∴ 直线l 的方程为y=773x+773，或y=-773x-773．………………10分 ②当直线l 的斜率不存在时， l 的方程为x=-1，易得M(-1，23)，N(-1，23-)，∴ 0134)232()232(≠=-=--⋅-=⋅，，， ∴ 不满足题意．综上所述，直线l 的方程为y=773x+773，或y=-773x-773．……12分 22．解：（I ）∵ )(666)(2a x x ax x x f -=-='，当a=0时，x x f 6)(='≥0，于是)(x f 在R 上单调递增； 当a>0时，x ∈(0，a)，0)(<'x f ，得)(x f 在(0，a)上单调递减；x ∈(-∞，0)∪(a ，+∞)，0)(>'x f ，得)(x f 在(-∞，0)，(a ，+∞)上单调递增； 当a<0时，)0(，a x ∈，0)(<'x f ，得)(x f 在(0，a)上单调递减；x ∈(-∞，a)∪(0，+∞)，，0)(>'x f 得)(x f 在(-∞，a)，(0，+∞)上单调递增． 综上所述：当a=0时，f(x)的增区间为(-∞，+∞)；当a>0时，f(x)的增区间为(-∞，0)，(a ，+∞)；f(x)的减区间为(0，a)； 当a<0时，f(x)的增区间为(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的减区间为(a ，0)．………………………………………………………3分 （II ）当a>0时，由（I ）得f(x)在(-∞，0)，(a ，+∞)上是增函数，f(x)在(0，a)上是减函数； 则f(x)的极大值为f(0)=a+b ，f(x)的极小值为f(a)=a+b-a 3． 要使f(x)有三个不同的零点，则⎩⎨⎧<>，，0)(0)0(a f f 即⎩⎨⎧<-+>+，，003a b a b a 可得-a<b<a 3-a ．………………………………………………………………8分 （III ）由2x 3-3ax 2+a+b=x 3-2ax 2+3x+a+b ， 得x 3-ax 2-3x=0即x(x 2-ax-3)=0，由题意得x 2-ax-3=0有两非零实数根x 1，x 2， 则x 1+x 2=a ，x 1x 2=-3，即124)(||1221221212+=-+=-≤++a x x x x x x tm m . ∵ f (x)在[1，2]上是减函数，∴ )(666)(2a x x ax x x f -=-='≤0在[1，2]上恒成立， 其中x-a ≤0即x ≤a 在[1，2]上恒成立， ∴ a ≥2． ∴ 122+a ≥4．假设存在实数m 满足条件，则m 2+tm+1≤(122+a )min ，即m 2+tm+1≤4，即m 2+tm-3≤0在t ∈[-1，1]上恒成立，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--，，030322m m m m 解得21132131-≤≤-m ． ∴ 存在实数m 满足条件，此时m ∈[，2131-2113-]． ……………14分。
四川省绵阳市 中考数学二诊试卷含答案解析
四川省绵阳市中考数学二诊试卷一、选择题（每小题3分,共36分,每小题只有一项是符合题目要求的）1．﹣6的绝对值是（）A．﹣6 B．﹣ C．D．62．在过去的2015年北上广深等一线城市楼市火爆,其中仅北京的新房总成交额就达到2500亿元,若用科学记数法表示该数据应是（）A．2.5×1011元 B．25×1010元C．2.5×1012元 D．0.25×1011元3．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．“双十一”购物节后,小明对班上同学中的12位进行抽样调查并用数字1﹣12对每位被调查者进行编号,统计每位同学在购物节中的消费金额,结果如表所示：编号123456789101112消费金额（元）300200400500400300600300400800300300根据上表统计结果,被调查的同学在“双十一”购物节中消费金额的平均数和众数分别为（）A．400,300 B．300,400 C．400,400 D．300,3005．如图是某几何体的三视图,则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥6．如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点H,E是⊙O上的点,若∠BEC=25°,则∠BAD 的度数为（）A．65°B．50°C．25°D．12.5°7．如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5m,测得AB=2cm,BC=14m,则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．158．下面关于四边形的说法中,错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．一组邻边垂直的平行四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D．矩形是特殊的平行四边形,正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形9．如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E、F分别在边AB,CD上,且∠FEA=60°,连接EF,将∠BEF对折,点B落在直线EF上的点B′处,得折痕EM；将∠AEF对折,点A落在直线EF上的点A′处,得折痕EN,当M,N分别在边BC,AD上时．若令△A′B′M的面积为y,AE的长度为x,则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣x2+6x﹣8B．y=﹣2x2﹣12x+16C．y=2x2+12x﹣16D．y=﹣x2+2x﹣10．已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1,x2）,若x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根,则下列四种说法中错误的是（）A．必有b≠0B．必有m2﹣b2=8C．线段OA的长度必定大于2D．除A点外y=与y=x+b图象必定还有一个交点,且两交点位于同一象限11．如图△ABC中,tan∠C=,DE⊥AC,若CE=5,DE=1,且△BEC的面积是△ADE面积的10倍,则BE的长度是（）A．B．C．D．12．如图,⊙O是以原点为圆心,半径为2的圆,点A（6,2）,点P是⊙O上一动点,以线段PA为斜边构造直角△PAM,且cos∠MPA=,现已知当点P在⊙O上运动时,保持∠MPA的大小不变,点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆,则该圆的半径是（）A．B．C．D．1二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分,将答案填写在答题卡相应的横线上）13．化简：（2a2）3=．14．如图,m∥n,点A在直线m上,B、C两点在直线n上,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,则∠1=．15．如图,已知点A、B、C、D、E、F是边长为1的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到一条线段,在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取得长度为的线段的概率为．16．如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,分别以AB、AC为直径作圆,则图中阴影部分的面积是．17．若规定f（x）是正整数x所唯一对应的实数,且对于任意的正整数a、b都有f（a+b）=f（a）•f（b）,如f（5）=f（3+2）=f（3）•f（2）,现已知f（1）=．给出下列结论：①f（2）=2．②若a＞b,则必有f（a）＞f（b）．③当a＞b时,存在符合条件的a、b,使得2f（a）=f（a﹣b）+f（a+b）成立．④当a＞b时,必有f（2a）=f（a﹣b）•f（a+b）成立．其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论的序号）．18．在平面直角坐标系xOy中,点P在由直线y=x+2,直线y=﹣x+2和直线y=4所围成的区域内或其边界上,点M在x轴上,若点N的坐标为（5,1）,当MN+MP最小时,点P坐标是．三、解答题（本大题共7个小题,共86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算+|（）0﹣2sin45°|+2﹣1（2）解方程：﹣2=．20．光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”,为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查,每名学生都选了一项．根据收集到的数据,绘制成如下统计图（不完整）：根据统计图表中的信息,解答下列问题：（1）在本次随机调查中,女生最喜欢“踢毽子”项目的有人,男生最喜欢“乒乓球”项目的有人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生400人,女生450人,请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．21．如图,D、E是以AB为直径的⊙O上两点,且∠AED=45°．（1）过点D作DC∥AB,求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3,sin∠ADE=,求AE的长．22．如图,O为坐标原点,点C在x轴的正半轴上,四边形OABC是平行四边形,∠AOC=45°,OA=2,反比例函数y=在第一现象内的图象经过点A,与BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D的纵坐标为,求直线AD的解析式．23．一工厂共有6条生产线生产某种机器设备,每条生产线每月可生产500台,该厂计划从今年1月开始对6条生产线各进行一次改造升级,每月改造升级1条生产线,这条生产线当月停产,并于次月再投入生产,每条生产线改造升级后,每月产量将比原来提高20%．已知每条生产线改造升级的费用为30万元,将今年1月份作为第1个月开始往后算,该厂第x（x是正整数）个月的产量设为y台．（1）求该厂第3个月的产量；（2）请求出y关于x的函数解析式；（3）如果每生产一台机器可盈利400元,至少要到第几个月,这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额？24．在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为AC上点,且CE=CB,F为BE上点,M为BC上点,且MF⊥BE,并与OB相交于点N．（1）求证：△BOE∽△MFB；（2）若BD=AC,BF=a,求MN的长．（结果用a表示）25．如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6,0）、B（0,8）．已知点C（4,m）在抛物线上,过点C作CD⊥y轴,垂足为D,AC与y轴交于点E．（1）请给出抛物线解析式；（2）若令∠BAO=α,请求tan的值；（注：要求运用课本所学知识结合题中几何关系进行推导求值）．（3）如图2,点P为线段CD上一动点（不与C、D重合）,延长PE与x轴交于点M,点N′为AB上点,且∠PMN=∠BAO,若点P横坐标记为x,AN长度记为y,请求出y 关于x的函数解析式,并求出AN长度取值范围．四川省绵阳市中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分,共36分,每小题只有一项是符合题目要求的）1．﹣6的绝对值是（）A．﹣6 B．﹣ C．D．6【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的定义求解．【解答】解：|﹣6|=6．故选D．2．在过去的2015年北上广深等一线城市楼市火爆,其中仅北京的新房总成交额就达到2500亿元,若用科学记数法表示该数据应是（）A．2.5×1011元 B．25×1010元C．2.5×1012元 D．0.25×1011元【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值是易错点,由于2500亿有12位,所以可以确定n=12﹣1=11．【解答】解：2500亿=2.5×1011．故选A．3．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；B、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确；C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误；D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；故选：B．4．“双十一”购物节后,小明对班上同学中的12位进行抽样调查并用数字1﹣12对每位被调查者进行编号,统计每位同学在购物节中的消费金额,结果如表所示：编号123456789101112消费金额（元）300200400500400300600300400800300300根据上表统计结果,被调查的同学在“双十一”购物节中消费金额的平均数和众数分别为（）A．400,300 B．300,400 C．400,400 D．300,300【考点】众数；算术平均数．【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数,再根据平均数的计算公式求出平均数即可．【解答】解：∵300出现了5次,出现的次数最多,∴众数是300；这组数据的平均数是：÷12=400；故选：A．5．如图是某几何体的三视图,则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据一个空间几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形,可判断该几何体是柱体,进而根据俯视图的形状,可判断柱体侧面形状,得到答案．【解答】解：由几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形,故该几何体是一个柱体,又∵俯视图是一个圆,∴该几何体是一个圆柱．故选：B．6．如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点H,E是⊙O上的点,若∠BEC=25°,则∠BAD 的度数为（）A．65°B．50°C．25°D．12.5°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】连接AC,根据直径AB⊥弦CD于点H,利用垂径定理得到,从而利用等弧所对的圆周角相等得到∠CAB=∠DAB,利用圆周角定理得到∠BAD=∠BAC=25°．【解答】解：连接AC,∵直径AB⊥弦CD于点H,∴∠CAB=∠DAB∵∠BAC=∠BEC=25°,∴∠BAD=∠BAC=25°．故选C．7．如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5m,测得AB=2cm,BC=14m,则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．15【考点】相似三角形的应用．【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．【解答】解：∵EB⊥AC,DC⊥AC,∴EB∥DC,∴△ABE∽△ACD,∴=,∵BE=1.5,AB=2,BC=14,∴AC=16,∴=,故选B．8．下面关于四边形的说法中,错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．一组邻边垂直的平行四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D．矩形是特殊的平行四边形,正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定．【分析】根据菱形的性质判断A；根据矩形的判定判断B；根据正方形的判定判断C；根据矩形与正方形的性质判断D．【解答】解：A、菱形的四条边都相等,正确．B、一组邻边垂直的平行四边形是矩形,正确．C、对角线相等且互相垂直的四边形可能是等腰梯形,可能是正方形,错误．D、矩形是特殊的平行四边形,正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形,正确．故选C．9．如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E、F分别在边AB,CD上,且∠FEA=60°,连接EF,将∠BEF对折,点B落在直线EF上的点B′处,得折痕EM；将∠AEF对折,点A落在直线EF上的点A′处,得折痕EN,当M,N分别在边BC,AD上时．若令△A′B′M的面积为y,AE的长度为x,则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣x2+6x﹣8B．y=﹣2x2﹣12x+16C．y=2x2+12x﹣16D．y=﹣x2+2x﹣【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】由折叠性质可得AE=A′E=x、∠BEM=∠B′EM=60°、∠B=∠EB′M=90°、BE=B′E=4﹣x,继而可得BM=BM′=BEtan∠BEM=（4﹣x）、A′B′=A′E﹣B′E=2x﹣4,根据三角形面积公式即可得．【解答】解：∵∠AEF=60°,∴∠BEF=120°,由题意知,∠BEM=∠B′EM=60°,∠B=∠EB′M=90°,BE=B′E=4﹣x,∴BM=BM′=BEtan∠BEM=（4﹣x）,又∵AE=A′E=x,∴A′B′=A′E﹣B′E=x﹣（4﹣x）=2x﹣4,=×A′B′×B′M,∵S△A′B′M∴y=（2x﹣4）[（4﹣x）]=﹣x2+6x﹣8,故选：A．10．已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1,x2）,若x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根,则下列四种说法中错误的是（）A．必有b≠0B．必有m2﹣b2=8C．线段OA的长度必定大于2D．除A点外y=与y=x+b图象必定还有一个交点,且两交点位于同一象限【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根即可判断A；根据一次函数图象上点的坐标特征和根与系数的关系即可求得m2﹣b2=8,即可判断B；根据勾股定理和m2﹣b2=8得出OA=,即可判断C；根据根与系数的关系求得k,判定反比例函数的位置,然后根据直线所处的位置即可判断D．【解答】解：A、∴反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1,x2）,∴x2=x1+b,∴b=x2﹣x1,∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根,∴b=x2﹣x1≠0,故正确；B、∵x2=x1+b,∴x2﹣x1=b,∴（x1+x2）2﹣4x1x2=b2,∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根,∴x1x2=2,x1+x2=﹣m,∴m2﹣4×2=b2,∴m2﹣b2=8,故正确；C、∵点A（x1,x2）,∴OA===,∵m2﹣b2=8,∴m2=,m2﹣b2=8∴OA=,∵b≠0,∴b2+4＞4,∴OA=＞2,故正确；D、∵反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1,x2）,∴x1x2=k,∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根,∴x1x2=2,∴k=2,∴反比例函数在一三象限,∵一次函数y=x+b的图象一定经过一、三象限,∴y=与y=x+b图象的交点分别在第一、第三象限,故错误；故选D．11．如图△ABC中,tan∠C=,DE⊥AC,若CE=5,DE=1,且△BEC的面积是△ADE面积的10倍,则BE的长度是（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】作辅助线BF⊥AC,根据题目中的数据利用三角形相似和勾股定理可以分别求得BF、EF、BE的长度,本题得以解决．【解答】解：作BF⊥AC于点F,如右图所示,∵CE=5,DE=1,且△BEC的面积是△ADE面积的10倍,DE⊥AC,∴,即,解得,BF=2AE,设AE=a,则BF=2a,∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴△ADE∽△ABF,∴,即,得AF=2a2,∴EF=2a2﹣a,∵tan∠C=,tanC=,BF=2a,解得,CF=4a,∵CE=CF+EF,CE=5,即5=4a+2a2﹣a,解得,a=1或a=﹣2.5（舍去）,∴BF=2,EF=1,∴BE=,故选C．12．如图,⊙O是以原点为圆心,半径为2的圆,点A（6,2）,点P是⊙O上一动点,以线段PA为斜边构造直角△PAM,且cos∠MPA=,现已知当点P在⊙O上运动时,保持∠MPA的大小不变,点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆,则该圆的半径是（）A．B．C．D．1【考点】圆的综合题．【分析】如图,作直线AO交⊙O于P1,P2,点P在⊙O上运动,所以PA的最小值就是AP1的长,PA的最大值就是PA2的长,求出相应的AM的最小值、最大值即可解决问题．【解答】解：如图,作直线AO交⊙O于P1,P2．∵点P在⊙O上运动,∴PA的最小值就是AP1的长,PA的最大值就是PA2的长,∵∠AP1M1=∠AP2M2,∴P1M1∥P2M2,∵∠AM1P1=∠AM2P2=90°,∴A、M1、M2共线,∵OA==2,∴AP1=2﹣2,AP2=2+2,∵cos∠AP1M1=,∴sin∠AP1M1=,∴AM1=PA1•=（2﹣2）,AM2=（2+2）,∴M1M2=,由图象可知M1M2就是点M随着点P运动而运动且运动路径形成的圆的直径,∴该圆的半径是．故答案为C．二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分,将答案填写在答题卡相应的横线上）13．化简：（2a2）3=8a6．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算即可．【解答】解：（2a2）3=23•a2×3=8a6．14．如图,m∥n,点A在直线m上,B、C两点在直线n上,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,则∠1=45°．【考点】平行线的性质．【分析】先根据△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°求出∠B的度数,再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠B=45°．∵m∥n,∴∠1=∠B=45°．故答案为：45°．15．如图,已知点A、B、C、D、E、F是边长为1的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到一条线段,在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取得长度为的线段的概率为．【考点】几何概率．【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长,进而利用概率公式求出即可．【解答】解：连接AF,EF,AE,过点F作FN⊥AE于点N,∵点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点,∴AF=EF=1,∠AFE=120°,∴∠FAE=30°,∴AN=,∴AE=,同理可得：AC=,故从任意一点,连接两点所得的所有线段一共有15种,任取一条线段,取到长度为的线段有6种情况,则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为的线段的概率为：．故答案为：．16．如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,分别以AB、AC为直径作圆,则图中阴影部分的面积是π﹣6．【考点】勾股定理．【分析】观察图形发现：阴影部分的面积=两个半圆的面积﹣直角三角形的面积,根据半圆面积公式和直角三角形面积公式求面积即可．【解答】解：π×（3÷2）2+π×（4÷2）2﹣4×3÷2=π+2π﹣6=π﹣6．故图中阴影部分的面积是π﹣6．故答案为：π﹣6．17．若规定f（x）是正整数x所唯一对应的实数,且对于任意的正整数a、b都有f（a+b）=f（a）•f（b）,如f（5）=f（3+2）=f（3）•f（2）,现已知f（1）=．给出下列结论：①f（2）=2．②若a＞b,则必有f（a）＞f（b）．③当a＞b时,存在符合条件的a、b,使得2f（a）=f（a﹣b）+f（a+b）成立．④当a＞b时,必有f（2a）=f（a﹣b）•f（a+b）成立．其中正确的结论是①②④（写出你认为正确的所有结论的序号）．【考点】实数的运算．【分析】①把2根据规定运算写成1+1代入即可得出结论正确；②由于a＞b,设a=b+n（n为整数）代入规定化简即可得出结论正确；③根据规定f（a﹣b）+f（a+b）=0,再判断出f（a）≥,即可得出结论不正确；④将f（a﹣b）•f（a+b）根据规定化简得出右边,即可判断出结论正确．【解答】解：①f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）==2,∴①正确；②设a=b+n,n为正整数,∴f（a）=f（b）+f（n）=f（b）+nf（1）=f（b）+n＞f（b）,∴②正确；③∵f（a﹣b）+f（a+b）=﹣f（a）•f（b）+f（a）•f（b）=0,由②知f（a）≥f（1）,∵f（1）=,∴f（a）≥≠0,∴③不正确；④∵f（a﹣b）•f（a+b）=f（a﹣b+a+b）=f（2a）,∴④正确；∴正确的有①②④故答案为①②④．18．在平面直角坐标系xOy中,点P在由直线y=x+2,直线y=﹣x+2和直线y=4所围成的区域内或其边界上,点M在x轴上,若点N的坐标为（5,1）,当MN+MP最小时,点P坐标是（1,3）．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【分析】如图,作直线y=x+2关于x轴的对称的直线y=﹣x﹣2,过点N作直线y=﹣x﹣2的垂线垂足为E,交x轴于M,则点E坐标（1,﹣3）,点E关于x轴的对称点P 坐标（1,3）,可以证明点P就是所求的点．【解答】解：如图,作直线y=x+2关于x轴的对称的直线y=﹣x﹣2,过点N作直线y=﹣x﹣2的垂线垂足为E,交x轴于M,则点E坐标（1,﹣3）,点E关于x轴的对称点P坐标（1,3）,此时MN+MP最短,理由：∵MN+MP=MN+ME=NE,∴MN+MP最短（垂线段最短）．故点P坐标为（1,3）,故答案为（1,3）．三、解答题（本大题共7个小题,共86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算+|（）0﹣2sin45°|+2﹣1（2）解方程：﹣2=．【考点】实数的运算；解分式方程；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用二次根式性质,绝对值的代数意义,零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）分式去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=2+﹣1+=3﹣；（2）去分母得：x2+2x﹣2x2﹣2x+4=2,即x2=2,解得：x=±,经检验x=±都为分式方程的解．20．光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”,为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查,每名学生都选了一项．根据收集到的数据,绘制成如下统计图（不完整）：根据统计图表中的信息,解答下列问题：（1）在本次随机调查中,女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人,男生最喜欢“乒乓球”项目的有20人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生400人,女生450人,请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）总数减去喜欢跳绳、乒乓球、羽毛球、其他的人数,即可得出喜欢“踢毽子”项目的人数,先求出男生喜欢乒乓球的人数所占的百分比,继而可得出男生最喜欢“乒乓球”项目的人数；（2）由（1）的答案可补全统计图；（3）根据男生、女生喜欢乒乓球人数所占的百分比,即可得出计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【解答】解：（1）女生最喜欢“踢毽子”项目的有：50﹣15﹣9﹣9﹣7=10人,男生最喜欢“乒乓球”项目的有：50×（1﹣8%﹣10%﹣14%﹣28%）=20人；（2）补充条形统计图如右图：．（3）400×28%+450×=193,答：该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数为193人．21．如图,D、E是以AB为直径的⊙O上两点,且∠AED=45°．（1）过点D作DC∥AB,求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3,sin∠ADE=,求AE的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OD,则∠AOD=90°,由四边形ABCD是平行四边形,则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°,即可证出答案．（2）连接BE,则∠ADE=∠ABE根据题意得sin∠ABE=,由AB是圆O的直径求出AB的长．再在Rt△ABE中,求得AE即可．【解答】（1）证明：连接OD,则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠CDO=∠AOD=90°,∴OD⊥CD,∴CD与圆O相切；（2）连接BE,则∠ADE=∠ABE,∴sin∠ADE=sin∠ABE=,∵AB是圆O的直径,∴∠AEB=90°,AB=2×3=6,在Rt△ABE中,sin∠ABE==,∴AE=5．22．如图,O为坐标原点,点C在x轴的正半轴上,四边形OABC是平行四边形,∠AOC=45°,OA=2,反比例函数y=在第一现象内的图象经过点A,与BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D的纵坐标为,求直线AD的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质．【分析】（1）作AH⊥x轴于点H,根据等腰三角形性质及三角函数可求得点A的坐标,从而可得反比例函数解析式；（2）由反比例函数解析式及点D的纵坐标可得D的坐标,结合点A的坐标,待定系数法可求得直线AD解析式．【解答】解：（1）如图,作AH⊥x轴于点H,∵OA=2,∠AOH=45°,∴OH=AH=OAsin∠AOH=2×=,即A（,）,又∵点A（,）在y=图象上,∴m=×=2,∴反比例函数解析式是y=；（2）∵点D的纵坐标为,且点D在双曲线y=上,∴其横坐标为2,即D（2,）,设直线AD解析式为：y=kx+b,将点A（,）、D（,2）代入得：,解得：,∴直线AD的解析式为y=﹣x+．23．一工厂共有6条生产线生产某种机器设备,每条生产线每月可生产500台,该厂计划从今年1月开始对6条生产线各进行一次改造升级,每月改造升级1条生产线,这条生产线当月停产,并于次月再投入生产,每条生产线改造升级后,每月产量将比原来提高20%．已知每条生产线改造升级的费用为30万元,将今年1月份作为第1个月开始往后算,该厂第x（x是正整数）个月的产量设为y台．（1）求该厂第3个月的产量；（2）请求出y关于x的函数解析式；（3）如果每生产一台机器可盈利400元,至少要到第几个月,这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）根据：第3个月的产量=前2条生产线改造后的产量和+后3条生产线未改造的产量和,列式计算可得；（2）当1≤x≤6时,根据（1）中相等关系可列函数关系式；当x＞6时,总产量=改造后每条生产线的产量×生产线数量；（3）根据前6个月的总盈利=一台机器的盈利×前6个月的生产量﹣改造升级的总费用,计算出前6个月的总盈利,再计算出不升级改造的总盈利可得x＞6,继而根据：该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额≥同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额,列出不等式即可得x的范围．【解答】解：（1）由已知可得,第3个月的产量是：2×500×（1+20%）+500×3=2700（台）,答：该厂第3个月的产量是2700台．（2）①当1≤x≤6时,每月均有一条生产线在停产改造,即均是有5条生产线在生产,其中,升级后的生产线有x﹣1条,未升级的生产线有6﹣x条,根据题意,得：y=（x﹣1）×500×（1+20%）+（6﹣x）×500=100x+2400；②当x＞6时,y=500×（1+20%）×6=3600台；综上,y=．（3）由（2）得,当1≤x≤6时,y=100x+2400,则前6个月的总产量Q=100×（1+2+3+4+5+6）+2400=16800（台）,∴前6个月的盈利扣除改造升级的成本应是：16800×0.04﹣30×6=480（万元）,如果不升级改造,前6个月盈利应是：500×6×6×0.04=720（万元）,故前6个月不符合题目要求,从而得x＞6,则有：480+（x﹣6）×3600×0.04≥500×6x×0.04,解得：x≥16,答：至少要到第16个月,这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额．24．在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为AC上点,且CE=CB,F为BE上点,M 为BC上点,且MF⊥BE,并与OB相交于点N．（1）求证：△BOE∽△MFB；（2）若BD=AC,BF=a,求MN的长．（结果用a表示）【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由菱形性质得AC⊥BD,由已知得出∠CEB=∠CBE,由MF⊥BE,得出∠BOE=∠BFM,即可得出结论；（2）作MP∥AC于BE交于点P,与OB交于点Q,由△BOE∽△MFB,得出∠EBO=∠FMB,证出tan∠OCB==,由平行线的性质得出∠MPB=∠CEB=∠CBE,∠MQN=90°,=,证出△MBP为等腰三角形,由等腰三角形的三线合一性质得出BF=FP,∠PMF=∠BMF=∠PBQ,证得△PBQ∽△NMQ,由对应边成比例得出比例式即可求出结果．【解答】（1）证明：∵AC、BD是菱形ABCD的对角线,∴AC⊥BD,∴∠BOE=90°,∵CE=CB,∴∠CEB=∠CBE,∵MF⊥BE,∴∠BFM=90°,∴∠BOE=∠BFM,∴△BOE∽△MFB；（2）解：作MP∥AC与BE交于点P,与OB交于点Q,如图所示：由△BOE∽△MFB,∴∠EBO=∠FMB,∵BD=AC,∴OB=OC,∴tan∠OCB==,∵MP∥AC,∴∠MPB=∠CEB=∠CBE,∠MQN=90°,=,∴△MBP为等腰三角形,∵MF⊥BE,∴BF=FP,∠PMF=∠BMF=∠PBQ,∵∠MQN=∠BQP=90°,∴△PBQ∽△NMQ,∴===,∴MN=BP=×2BF=3BF=3a．25．如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6,0）、B（0,8）．已知点C（4,m）在抛物线上,过点C作CD⊥y轴,垂足为D,AC与y轴交于点E．（1）请给出抛物线解析式；（2）若令∠BAO=α,请求tan的值；（注：要求运用课本所学知识结合题中几何关系进行推导求值）．（3）如图2,点P为线段CD上一动点（不与C、D重合）,延长PE与x轴交于点M,点N′为AB上点,且∠PMN=∠BAO,若点P横坐标记为x,AN长度记为y,请求出y 关于x的函数解析式,并求出AN长度取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6,0）、B （0,8）,可以求得b、c的值,从而可以得到函数的解析式；（2）由∠BAO=α,要求tan的值,只要从图中可以找到等于的角即可,过点C 作CH⊥x轴于点H,只要证明∠BAC=∠HAC即可,根据题目中的信息,可以证明这两个角相等,从而可以求得tan的值；（3）要想求y与x之间的函数关系式,只要作出合适的辅助线,用题目中的数量关系可以表示出y与x之间函数关系．进而可以确定y的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6,0）、B（0,8）,∴,解得,,即抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+8；（2）如图1所示,过点C作CH⊥x轴于点H,∵点C（4,m）在抛物线上,∴,得m=5,∴点C（4,5）,又∵点A（﹣6,0）,点B（0,8）,∴AB=,BC=,∵CH=5,AH=AO+OH=6+4=10,AC=AC,∴AB=AH,BC=HC,∴△ABC≌△AHC,∴∠BAC=∠HAC,∵∠BAO=∠BAC+∠HAC,∴∠HAC=,∴tan；（3）如图2,作MQ⊥AB于点Q,∵∠NMO=∠PMN+∠PMO=∠BAO+∠ANM,又∵∠PMN=∠BAO,∴∠PMO=∠ANM,∵CH∥EO,在图1中,,∴OE=,∵BD=8﹣5=3,∴OE=OB﹣BD﹣OE=8﹣3﹣3=2,∵点P横坐标为x,即PD=x,∴tan∠EMO=tan∠DPE=,∴,即,得OM=,∴AM=OA﹣OM=6﹣,在Rt△QAM中,sin∠QAM=,cos∠QAM=,∴QM=AM•sin∠QAM=（6﹣）,AQ=AM•cos∠QAM=,∵在Rt△QNM中,,即QN=QM,∴AN=AQ+QN=,化简,得=,∴当x=时,y取得最大值,∵y＞0,∴AN的取值范围是：0．2017年3月12日。
2012年四川高考数学文科试题及答案(Word全解析版)-精品
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(文史类)本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷．草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A ．B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A ．B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-第一部分（选择题 共60分）1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B =（A ）{}b（B ）{,,}b c d（C ）{,,}a c d（D ）{,,,}a b c d2．7(1)x +的展开式中2x 的系数是（A ）21（B ）28（C ）35（D ）423．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为 （A ）101（B ）808（C ）1212（D ）20124．函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是5．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC ．ED 则sin CED ∠= （A （B（C （D6．下列命题正确的是（A ）若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 （B ）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 （C ）若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 （D ）若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||=a ba b 成立的充分条件是 （A ）a ∥b 且||||=a b （B ）=-a b（C ）a ∥b （D ）2=a b8．若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是（A ）12 （B ）26 （C ）28 （D ）339．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（A ）（B ）（C ）4（D ）10．如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ，则A 、P 两点间的球面距离为（A）R （B ）4Rπ（C）R（D ）3R π11．方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（A ）28条 （B ）32条 （C ）36条（D ）48条12．设函数3()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=（A ）0（B ）7（C ）14（D ）21第二部分（非选择题 共90分）注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共10小题，共90分．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．函数()f x =的定义域是____________．（用区间表示）14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．15．椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_________． 16．设,a b 为正实数，现有下列命题：①若221a b -=，则1a b -<；②若111b a-=，则1a b -<；③若1=，则||1a b -<；④若33||1a b -=，则||1a b -<． 其中的真命题有____________．（写出所有真命题的编号）三．解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p ． （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值； （Ⅱ）求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．18．(本小题满分12分)已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若()f α，求sin 2α的值．19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠= ，60PAB ∠= ，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上．（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小．20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg }na 的前n 项和最大？21．(本小题满分12分)如图，动点M 与两定点(1,0)A -、(1,0)B 构成M AB ∆，且直线MA MB 、的斜率之积为4，设动点M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围．22．(本小题满分14分)已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ； （Ⅱ）求对所有n 都有()1()11f n nf n n -≥++成立的a 的最小值；（Ⅲ）当01a <<时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n ++⋅⋅⋅+---与(1)(1)6(0)(1)f f n f f -+⋅-的大小，并说明理由．参考答案一．选择题1【答案】选D ．【解析】∵{,}A a b =，{,,}B b c d =，∴A B = {,,,}a b c d ． 2【答案】选A ．【解析】7234567(1)17213535217x x x x x x x x +=+++++++，2x 的系数是21． 3【答案】选B ．【解析】根据题意，任何一名驾驶员被抽取到的概率为121968=，则这四个社区驾驶员的总人数1(12212543)8088N =+++÷=．4【答案】选C ．【解析】函数x y a a =-过定点(1,0)，故C 项满足条件．5【答案】选B ．【解析】45CED CEB ∠=-∠ ，sin sin )CED CEB CEB ∠=∠-∠==． 6 【答案】选C ．【解析】根据线面关系可知C 项正确．7 【答案】选D ．【解析】||||=a b a b 表示a 与b 是同向的非零单位向量，则||||=a ab b 的一个充分条件是λ=a b ，其中0λ>． 8【答案】选C ．【解析】作出该不等式组表示的平面区域，当34z x y =+表示的直线过点（4，4）时，z 最大，即min 344428z =⨯+⨯=． 9【答案】选B ．【解析】设抛物线的方程为22y px =（0p >），焦点(0)2p F ，，准线:2pl x =-．∵抛物线上的点0(2)M y ，到:2p l x =-的距离等于它到焦点(0)2p F ，的距离， ∴122pp -=-⇒=，24y x =，故(2M 或(2M -，，||OM =10【答案】选A ．【解析】由题意可知，AOB BCD ⊥平面平面，则cos cos cos AOP AOB BOP AOP ∠=∠∠=∠= AP R = 11 【答案】选B ．【解析】首先，00a b ≠≠，；其次，2a b c ，，没有大于1的公约数．①当0c =时，方程化为22b y x a =，{2123}a b ∈-,,,,，即2{2123}{149}a b ∈-∈,,,,,,，如下：222222222221(i)1{223}:4(ii)2{123}:4(iii)2{2131112234423}:24b a y x a b a y x a y x y x y x y x y x y x y b a y x a x y x =-====∈-==-∈==∈-====-=，,,，，，，，,,；，,；,，，，，243y x =,22229(iv)3{2999122},2:.b a y x a y x y x y x =-===∈-=，，，，；,这类中，不同的抛物线有110N =条．②当0c ≠时，方程化为22b x cy a+=，{2123}a b c ∈-，，，，，， 即2{2123}{149}a c b ∈-∈，，，，，，，， 抛物线有如下5类：2222222(i)1{22232322222233}:3x x x x x x y y y y x c b a y y c ay ++-+-+===+=∈-====--，，，；，；，，，，；22222224(ii)2{123}42434143414211:2233x x x x x x x cb ac y y y ay y y y ++++++======∈=+=-，，，，，，；，；，.222224(iii)2{24143424321213}1:x x cb ac x x x y y ay y y +++=∈-=-+====--，，，；，，，，22424133x x y y -+==；，.22222229(iv)3{212}91929292929122:1122x x x x x x y y x c b a y y y c y ay ++-+-+====+=∈--=-==，，，，，，；，；，.这类中，不同的抛物线有222N =条. 共有102232N =+=条. 12【答案】选D ．【解析】函数3()(3)1f x x x =-+-关于点（3,2）对称，即当126x x +=时，12()()4f x f x +=，∵{}n a 是公差不为0的等差数列，∴17263542a a a a a a a +=+=+=，猜想：当43a =时，{}n a 满足127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，故此时12721a a a ++⋅⋅⋅+=．二．填空题13【答案】填1(,)2-∞．【解析】由120x ->得12x <，故1(,)2x ∈-∞．14【答案】填2π． 【解析】取CN 中点K ，连接1MK A K 、，则1//2MK DN MK DN =，．设正方体的棱长为a，则1132DN MK A M a A K ====，，，，22219541cos 0a a a A MK +-∠==，190A MK ∠= ． 15【答案】填23．【解析】设椭圆的右焦点为F '，连接F A F B ''、，则FAB ∆的周长|||||||||||'||'|412l FA FB AB FA FB F A F B a =++≤+++==，（当且仅当A 、F '、B 共线时“=”成立）．此时3a =，则离心率23e =．16【答案】填①④．【解析】因为,a b 为正实数，由221a b -=知1a >，则11a b a b -=<+，①正确；由111b a-=，不妨取4a =，45b =，则1a b ->，②错误；由1=，取4a =，1b =，则||1a b ->，③错误；由33||1a b -=，不妨设0a b >>，则3311a b =+>，则221||1a b a ab b-=<++，④正确．三．解答题17【解析】本题主要考查相对独立事件、独立重复事件、互斥事件等概念及相关运算，考查运用概率知识和方法解决实际问题的能力．（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么．149()1()11050P C P C p =-=-⨯=，解得15p =． （或111149()(1)(1)(1)(1)11010101050P C p p p p =--+-+-=-=，解得15p =．）（Ⅱ）设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ，那么2233111972243()C (1)(1)1010101000250P D =⋅-+-==. 答：系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率243250．18【解析】本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识、考查运算能力，考查化归与转化等数学思想．（Ⅰ）21()cos sin cos 2222x x x f x =--111(1cos )sin 222x x =+--)4x π=+．所以函数()f x 的最小正周期是2π，值域为[．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())4f παα=+=，所以3cos()45πα+=． 所以sin 2cos(2)cos2()24ππααα=-+=-+218712cos ()142525πα=-+=-=．19【解析】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力． 连接OC ，∠OPC 为直线PC 与平面ABC 所成的角，设AB 的中点为D ，连接PD 、CD ．因为AB BC CA ==，所以CD AB ⊥，因为90APB ∠= ，60PAB ∠= ，所以PAD ∆为等边三角形不妨设PA=2，则1,4OD OP AB ===．所以CD =，OC =，在R tO C ∆中，9t a n PO OCD CO ∠===即直线PC 与ABC 平面所成的角等于（． （Ⅱ）过D 作DE AP ⊥于E ，连结CE ．由已知可得CD ⊥平面PAB ．所以CED ∠为B AP C--的平面角．由（Ⅰ）知DE Rt CDE ∆中，tan 2CD CED DE ∠===，，二面角B AP C --的大小为arctan 2（或．20【解析】本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，并考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想．（Ⅰ）取1n =，得211122a S a λ==，11(2)0a a λ-=，若10a =，则0n S =．当2n ≥时，1000n n n a S S -=-=-=，所以0n a =． 若10a ≠，则12a λ=．当2n ≥时，22n n a S λ=+，1122n n a S λ--=+，两式相减得122n n n a a a --=， 所以12(2)n n a a n -=≥，从而数列{}n a 是等比数列，所以1112222nn n n a a λλ--=⋅=⋅=．综上，当10a =时，0n a =；当10a ≠时，2nn a λ=．（Ⅱ）当10a >，100λ=时，令1lgn n b a =，由（Ⅰ）有，100lg 2lg 22n n b n ==-． 所以数列{}n b 是单调递减的等差数列（公差为lg 2-）．1266100100lg lg lg10264b b b >>>==>= ，当7n >时，77100100lg lg lg102128n b b <==<=，故数列1{lg }n a 的前6项和最大．21【解析】本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函数、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．（Ⅰ）设M 的坐标为(,)x y ，当1x =-时，直线MA 的斜率不存在；当1x =时，直线MB 的斜率不存在，于是1x ≠±．此时，MA 的斜率为1y x +，MB 的斜率为1y x -． 由题意，有1y x +41yx ⋅=-，化简可得，22440x y --=． 故动点M 的轨迹为C 的方程为22440x y --=（1x ≠±）．（Ⅱ）联立22,440y x m x y =+⎧⎨--=⎩消去y ，可得223240x mx m ---=．（*） 对于方程（*），其判别式222(2)12(4)16480m m m ∆=----=+>， 而当－1或1为方程（*）的根时，m 的值为－1或1． 结合题设（0m >）可知，0m >且1m ≠．设Q R 、的坐标分别为(,)Q Q x y 、(,)R R x y ，则Q x 、R x 为方程（*）的两根． 因为||||PQ PR <，所以||||Q R x x <，Q x =R x所以||||1||||R Q x PR PQ x ===+，12，所以113<<，且513≠， 所以||||13||||R Q x PR PQ x <=<，且||||5||||3R Q x PR PQ x =≠． 综上所述，||||PR PQ 的取值范围是55(1,)(,3)33．22【解析】本小题主要考查导数的运用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析和解决问题的能力和创新意识，考查函数、化归与转化、特殊与一般等数学思想方法．（Ⅰ）令202na x -+=，得x x ==A ．由'2y x =-知，点A 处的切线方程为y x =-．令0x =，得n y a =，∴()n f n a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()n f n a =，则()1()11f n nf n n -≥++成立的充要条件是21n a n ≥+，即知，21n a n ≥+对于所有的n 成立，特别地，取n =1得到3a ≥．当3a =，n ≥1时，13(12)1221n n n na C n ==+=+⋅+≥+ ．当n =0时，21n a n =+．故3a =时，()1()11f n nf n n -≥++对所有n 都成立．所以满足条件的a 的最小值为3． （Ⅲ）由（Ⅰ）知()k f k a =． 下面证明：111(1)(1)6(1)(2)(2)(4)()(2)(0)(1)f f n f f f f f n f n f f -+++⋅⋅⋅+>⋅----．首先证明：当01x <<时，216x x x >-， 设函数2()6()1g x x x x =-+，01x <<，则2()18()3g x x x '=-．当203x <<时，()0g x '<；当213x <<时，()0g x '>． 故()g x 在(0,1)上的最小值min 21()()039g x g ==>，所以当01x <<时，()0g x >，即得216x x x >-． 由01a <<知*01()k a k <<∈N ，因此216k k ka a a>-，从而 111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n +++---2242111n na a a a a a =+++--- 12(1)(1)6()661(0)(1)n na a f f n a a a a f f +--+>+++=⋅=⋅-- ．。
2015绵阳二诊数学文答案
绵阳市高2012级第二次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．AADCB BDCBC10．提示：问题转化为1)(max ≤x f ．由)00)((333)(22><+=+='b a b ax b ax x f ，，得abx x f a b x x f ->⇒<'-<<⇒>'0)(00)(，，即)(x f 在)0(a b -，递增，在)(∞+-，ab 递减， ①当1≥-ab，即a b -≥时，13)1()(0)0()(max min ≤+====b a f x f f x f ，， 即211313≤⇒+≤⇒⎩⎨⎧≤--≤b b b b a a b ，，．②当1<-ab即a b -<时， 233403)1(12)()(0)0(3max≤⇒⎩⎨⎧≤--≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=≤-=-==b b a a b b a f a b b a b f x f f ，，，，，，此时233-=a . 将233-=a ，23=b 代入检验正确.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．27 12．8.5 13． 23- 14．187- 15．6 15．提示：)()(MB PM MA PM PB PA +⋅+=⋅)(2+⋅+=12-=⋅+，同理：PD PC ⋅=12-，P在椭圆上，所以42==+a ， ∴ 222-+=⋅+⋅PN PM PD PC PB PA=222-⋅-PN PM 6)2(142142=+-≥⋅-=PNPM PN PM ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是 “满意观众”， ∴ P =31124=， 即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为31． ……4分 (Ⅱ)设本次符合条件的满意观众分别为A 1(9.2)，A 2(9.2)，A 3(9.2)，A 4(9.2)，B 1(9.3)，B 2(9.3)，其中括号内为该人的分数． ……………………………6分 则从中任意选取两人的可能有 (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种，……………………8分 其中，分数不同的有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8种， ………………………………10分 ∴ 所求的概率为158． ………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ)∵ S n =121-⋅-n λ，∴ a 1=S 1=λ-1，a 2=S 2-S 1=2λ-1-(λ-1)=λ，a 3=S 3-S 2=4λ-1-(2λ-1)=2λ，……………………………………2分∵ {a n }是等比数列，∴ a 22=a 1a 3，即λ2=2λ(λ-1)，解得λ=0(不合题意，舍去)，或λ=2． ……4分 ∴ 在{a n }中，a 1=1，公比q =12a a =2， ∴ a n =1×12-n =12-n ． …………………………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，a 2=2，a 3=4，于是x x f 2sin 4)(=， ∴ )32sin(4)]6(2sin[4)(ππ+=+=x x x g ． ……………………………………8分∵ 6π-≤x ≤6π，∴ 0≤32π+x ≤32π，…………………………………………………………10分 ∴ 0≤)32sin(4π+x ≤4，即)(x g 在]66[ππ，-上的最大值为4． ………………………………………12分18．解：(Ⅰ)由余弦定理得412212cos 222==-+=bc bcbc a c b A ， 则415cos 1sin 2=-=A A ． …………………………………………………4分 (Ⅱ)由A +B +C =π有C =π-(A +B )， 于是由已知sin B +sin C =210得210)sin(sin =++B A B ，即210sin cos cos sin sin =++B A B A B ， 将415sin =A ，41cos =A 代入整理得210cos 415sin 45=+B B ．①………7分根据1cos sin 22=+B B ，可得B B 2sin 1cos -±=． 代入①中，整理得8sin 2B -410sin B +5=0， 解得410sin =B ． ……………………………………………………………10分 ∴ 由正弦定理BbA a sin sin =有364154101sin sin =⨯==A B a b ． ………………12分19．解：(Ⅰ)如图，连结BC 1．∵ E ，F 分别是AB ，AC 1的中点， ∴ EF // BC 1．∵ BC 1⊂面BB 1C 1C ，EF ⊄面BB 1C 1C ， ∴ EF ∥平面BB 1C 1C ．………………4分 (Ⅱ) 如图，连结A 1E ，CE ．∵ AB // A 1B 1，AB =2A 1B 1，E 为中点， ∴ BE //A 1B 1，且BE =A 1B 1，即A 1B 1BE 是平行四边形，∴ A 1E //B 1B ，且A 1E =B 1B ．由四边形BB 1C 1C 是长方形，知C 1C //B 1B ，且C 1C =B 1B ， ∴ A 1E //C 1C ，且A 1E =C 1C ，即C 1A 1EC 是平行四边形，∴ A 1C 1//EC ．…………………………………………………………………7分 ∵ B 1B ⊥BC ，B 1B ⊥AB ， ∴ B 1B ⊥面ABC ，ABB 1C 1A 1CE F∴ B 1B ⊥EC ． …………………………………………………………………9分 由CA =CB ，得EC ⊥AB ，∴ EC ⊥平面ABB 1A 1．………………………………………………………10分 ∴ A 1C 1⊥平面ABB 1A 1． ∵ A 1C 1⊂平面C 1AA 1，∴ 平面C 1AA 1⊥平面ABB 1A 1． ……………………………………………12分 20．解：(Ⅰ)由已知可设圆E 的圆心(0，b )，则半径为b ．∵ 圆心到直线x -y =0的距离d =22)222(-b =22110+-b ， 解得b 2=4，b =-2(舍去)，b =2，∴圆E 的标准方程为x 2+(y -2)2=4． ……………………………………… 5分 (Ⅱ) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，H (x 0，y 0)，由已知直线MN 的斜率一定存在，设为k ，则其方程为y =kx +3k ，联立方程⎩⎨⎧+==-+，，k kx y y x 34)2(22消去y ，得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k ，于是x 1+x 2=21)23(2k k k +--，x 1x 2=2214)23(k k +--．① ………………………8分又P ，M ，H ，N 四点共线，将四点都投影到x 轴上，则=可转化为2102133x x x x x x --=++， 整理得：)(6)(322121210x x x x x x x ++++=． …………………………………………10分将①代入可得=+--++--⨯++--⨯=222201)23(261)23(2314)23(2k k k k k k k k x 326+-k k， …… 11分 由213202<++-⋅k kk ，可解得5120<<k ，……………………………………12分 由0x =326+-k k =-3+329+k ，于是可得1324-<x 0<0，满足-2<x 0<2， ∴ 1324-<x 0<0． ………………………………………………………………13分21．解：(Ⅰ) ∵ xx a x a x x x f 2)1()1(2)(2++-=+-+='，………………………2分∴ 当a =2时，xx x x f 23)(2+-='．由已知有m ，n 是方程x 2-3x +2=0的两个根，∴ m =1，n =2．…………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由已知有m ，n 是方程x 2-(a +1)x +2=0的两个根，∴ Δ=(a +1)2-8>0，m +n =a +1>0，mn =2>0． ………………………………5分 ∴ n a n n m a m m n f m f )1(21ln 2)1(21ln 2)()(22+-+++-+=+ ))(1()(21ln 222n m a n m mn ++-++=))(1(]2)[(212ln 22n m a mn n m ++--++=22)1(]4)1[(212ln 2+--++=a a2ln 22)1(212+-+-=a ． …………………………………7分∵ (a +1)2>8，∴ ()()f m f n +62ln 2-<，即()()f m f n +的取值范围为(-∞，62ln 2-)． …………………………………………………8分 (Ⅲ)证明：m a m m n a n n m f n f )1(21ln 2)1(21ln 2)()(22++--+-+=- ))(1()(21ln222m n a m n m n -+--+= ))(()(21ln222m n n m m n m n -+--+= )(21ln222m n m n --=， 又2=mn ，所以m =n2， 于是，2224212ln2)()(nn n m f n f +-=-． …………………………………10分 由 0<m <n ，可得n 2>2，解得n >2．∵ a ≥122-+ee ， ∴ m +n =a +1≥e e 22+，即n 2+n ≥ee 22+， 可解得0<n ≤e2(舍去)，或n ≥e 2． ……………………………………11分 令22n =t ，则n 2=2t ，且t ≥e ，tt t m f n f 1ln 2)()(+-=-，令tt t t g 1ln 2)(+-=，则0)1(1212112)(2222222<--=+--=--=--='t t t t t t t t t t t g ， ∴ tt t t g 1ln 2)(+-= 在)[∞+，e 上单调递减． ∴ ee t g 12)(max +-=， ∴ ()()f n f m -≤ee 12+-． …………………………………………………14分。
四川绵阳南山中学2012届高三第三次诊断性考试(文科数学)
南山中学2012级三诊模拟考试数学试题(文史类)第Ⅰ卷(主观题,共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上.3.参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、Ｂ相互独立,那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合{|1},{|22},A x x B x x AB =>-=-<<则=( )A .{|2}x x >-B .{|1}x x >-C .{|21}x x -<<-D .{|12}x x -<<2.直线sincos1033x y ππ-+=的倾斜角为( )A .6π B .3πC .23πD .56π3.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25,则a 3=( )A .4B .5C .8D .104.若a 、b 为空间两条不同的直线,α、β为空间两个不同的平面,则直线a ⊥平面α的一个充分不必要条件是( )A .a //β且α⊥βB .a ⊂β且α⊥βC .a ⊥b 且b //αD .a ⊥β且α//β5.为进一步推动“学雷锋”活动,弘扬中华民族传统美德,为共建“和谐社会”做出新的贡献.南山中学高三师生响应学校号召,准备在绵阳三诊后集中开展纪念学习雷锋四十七周年的活动.报名参加活动的学生和教师的人数之比为5:1,学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队进行活动.已知教师甲被抽到的概率为101,则报名的学生人数是( )A .100B .500C .10D .506.设第一象限内的点(x ,y )满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩,则目标函数z =x +2y 的最大值为( )A .0B .3C .4D . 287.5展开式的第四项为10,则y 关于x 的函数()f x 的反函数1()fx -的图象大致形状为()8.定义在R 上的函数f (x )与g (x ),对任意x 都有()()0f x f x +-=与()(4)g x g x =+成立.已知f (-2)=g (-2)=6,且((2)(2))((2)(2))22(4)f f g g f g g ++-+-=-+,则g (0)=( )A .2B .1C .0D .-19.有五名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,又不与乙相邻,则不同的站法共有( )A .66种B .60种C .36种D .24种10.点P 在双曲线22221(,0)x y a b a b -=>上,F 1、F 2是这条双曲线的两个焦点,122F PF π∠=,且△F 1PF 2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率等于( )A .3B .4C .5D .611.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为棱DD 1、AB 上的点.已知下列命题:①AC 1⊥平面B 1EF ;FEB 1C 1D 1A 1DCBA②三角形B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是面积为定值的三角形; ③在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与平面B 1EF 平行的直线;④平面B 1EF 与平面ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与点E 的位置有关,与点F 的位置无关.其中,正确命题的个数有 ( )A .1个B .2个C .3个D .4个12.已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x g 的导函数为f (x ),若a +b +c =0,f (0)f (1)>0,设21,x x 是方程f (x )=0的两个根,则12||x x -的取值范围为( )A .14[,)39 B.2)33 C .14(0,]()39+∞ D .2(0,()33+∞第Ⅱ卷(客观题,共90分)二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.函数|1|3()log (24)x f x -=-的定义域是_____________________. 14.椭圆的中心在坐标原点,离心率等于12,抛物线24y x =-的准线l 过它的一个焦点,则椭圆方程为__________________.15.将圆面22(1)(1)3x y ++-≤绕直线y =1旋转一周所形成的几何体的体积与该几何体的内接正方体的体积的比值是__________.16.若函数f (x )具有性质:1()()f f x x=-,则称f (x )是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数:①()log a f x x =(a >0且a ≠1); ②()xf x a =(a >0且a ≠1);③1y x x =-; ④(01)()0(1)1(1)x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩.其中,满足“倒负”变换的所有函数的序号是_____________________.三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)17.(本小题满分12分)为备战2012年伦敦奥运会,甲、乙两位射击选手进行了强化训练.现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次,记录如下:甲: 8.3 9.0 7.9 7.8 9.4 8.9 8.4 8.3 乙: 9.2 9.5 8.0 7.5 8.2 8.1 9.0 8.5.(Ⅰ)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训,从统计学角度,你认为派哪位选手参加合理? 简单说明理由;(Ⅱ)若将频率视为概率,对两位选手在今后各自的二次比赛成绩进行预测,求这四次成绩中恰有两次不低于8.5分的概率.18.(本小题满分12分)已知锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c ,两向量(tan ,n B =,222(,)m a c b ac =+-满足m n ⊥.(Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)求函数232sin cos 2C Ay A -=+的最大值以及此时角A 的大小.19.(本小题满分12分)已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD ,∠ABC =60°,E ,F 分别是BC ,PC 的中点.(Ⅰ)求证:AE ⊥PD ;(Ⅱ)若直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为46,求二面角E -AF -C 的余弦值.FDBCAP20.(本小题满分12分)已知{a n }是公差为d 的等差数列,它的前n 项和为S n .等比数列{b n }的前n 项和为T n ,且S 4=2S 2+4,219b =,249T =. (Ⅰ)求公差d 的值;(Ⅱ)若对任意的n ∈N *,都有8S n S ≥成立,求1a 的取值范围; (Ⅲ)若112a =,判别方程55n n S T +=是否有解？并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数3221()21(0)32a f x x x a x a =--+>. (Ⅰ)当a =1时,求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (Ⅱ)若方程f (x )=0恰有三个不同的实根,求实数a 的取值范围;(Ⅲ)已知不等式2()1f x x x '<-+对任意(1,)a ∈+∞都成立,求实数x 的取值范围.22.(本小题满分14分)一条直线经过抛物线y 2=2x 的焦点F ,且交抛物线于A 、B 两点,点C 为抛物线的准线上一点.(Ⅰ)求证:∠ACB 不可能是钝角;(Ⅱ)是否存在这样的点C ,使得△ABC 是正三角形?若存在,求出点C 的坐标;否则,说明理由.南山中学2012级三诊模拟考试数学试题(文史类答案)一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.A .{|2}AB x x =>-,故选择A .2.B .直线的斜率为sin3tan 3cos 3k πππ==,即倾斜角为3π,故选择B . 3.B .由S 5=25得151535()25,10,52a a a a a +=∴+=∴=,故选择B .4.D .显然,若a ⊥β且α//β,则有a ⊥α,反之不成立,于是,“ a ⊥β且α//β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件,故选择D .5.B .令学生有5x 人,则老师有x 人,于是得老师要抽取606xx⨯=10人,所以老师共有100人,学生有500人,故选择B .6.D .可行域是以(0,0)、(3,0)、(0,2)、(8,10)为顶点的四边形区域,当直线z =x +2y 过点(8,10)时z 取最大值28,故选择D .7.A .T 4＝3235(C ,所以-10xy ＝10,∴y ＝1x-(x >0),故选择A . 8.A .由条件知f (x )是奇函数,g (x )是周期为4的函数.(2)(2)660,((2)(2))0f g f f g +=-+=+=,((2)(2))(12)(0)g f g g g -+-==, (4)(0)g g =,于是原式变为(0)22(0),g g =-+(0)2g ∴=,故选择A .9.C .除甲、乙之外的三人有33A 种排法,按乙的不同位置分类,从左至右乙有三种插法,分别对应甲有3、2、1种插法,于是共有33(321)36A ++=种,故选择C .10.C.设|PF 2|,|PF 1|,|F 1F 2|成等差数列,且分别设为m -d ,m ,m +d ,则由双曲线定义和勾股定理可知:m -(m -d )=2a ,m +d =2c ,(m -d )2+m 2=(m +d )2,解得m =4d =8a ,5252d ce d a===,故选择C .11.B .显然②③正确,故选择B .12.B .由题意得:c bx ax x f ++=23)(2,∵21,x x 是方程0)(=x f 的两个根,∴222219124||a acb x x -=-.又a +b +c =0,∴b a c --=代入上式,34)(34)(949412129)(124||222222221++=++=++=-a b a b ab ab a a b a a b x x . 又∵0)1()0(>⋅f f ,∴0)2)((<++b a b a ,∵0≠a ,两边同除以2a 得:02)(3)(2<++a b a b ,所以12-<<-ab,122||)3x x ∴-∈故选择B .二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.由|1|24>0x --得|1|>2x -,于是x <-1或x >3,即定义域是(,1)(3,)-∞-+∞.14.抛物线24y x =-的准线是x =1,于是椭圆的c =1,又1,2,2ce a b a==∴==故其方程为22143x y +=. 15.显然直线y =1经过圆心(-1,1),,其体积为43π⨯=.设球内接正方体的的边长为a ,则2a =∴=,正方体的体积为8,. 16.于()log a f x x =,11()log log ()aa f x f x x x==-=-,所以①是“倒负”变换的函数. 对于()xf x a =,11()()x f a f x x=≠-,所以②不是“倒负”变换的函数.对于函数1()f x x x =-,∵11()()f x f x x x=-=-,所以③是“倒负”变换的函数. 对于④,当0<x <1时,1x >1,∵f (x )＝x ,1()()f x f x x∴==-;当x >1时,0<1x <1,∵f (x )＝1x -,∴11()()f f x x x==-; 当x ＝1时,1x ＝1,∵f (x )＝0,∴1()(1)0()f f f x x===-,④是满足“倒负”变换的函数.综上:①③④是符合要求的函数.三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 17.(Ⅰ)可计算处8.5,8.5,x x ==甲乙 (3)21 2.16[0.040.250.360.490.810.160.010.04]0.2788S =+++++++==甲.21 3.24[0.4910.2510.090.160.250]0.40588S =+++++++==乙.故选择甲去 (3)(Ⅱ)甲的成绩不低于8.5分的概率为138p =,乙的成绩不低于8.5分的概率为24182p ==. 于是所求概率等于11222222351131516092547()()()()88228282644128C C ++⋅⨯⋅+⨯+⨯==⨯. 所以,这四次成绩中恰有两次不低于8.5分的概率为47128 (6)18.(Ⅰ)由m n ⊥得222()tan 0a c b B +-=,即222tan 2a c b B ac +-=即sin (0,),23B B B ππ=∈∴= (6)(Ⅱ)2232sin cos2sin cos(2)23C A y A A A π-=+=+-12cos21sin(2)126A A A π=-+=-+.……………………3 因为<<,62A ππ所以当262A ππ-=时,即3A π=时,函数的最大值为2 (3)19.(Ⅰ)由四边形ABCD 为菱形,∠ABC =60°,可得△ABC 为正三角形.因为E 为BC 的中点,所以AE ⊥BC .又BC //AD ,因此AE ⊥AD .因为PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,所以PA ⊥AE .而PA ⊂平面PAD ,AD ⊂平面PAD,且PA ∩AD =A ,所以AE ⊥平面PAD ,又PD ⊂平面PAD .所以AE ⊥PD (4)(Ⅱ)由(Ⅰ)知AE ,AD ,AP 两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ,设AB =2,AP =a ,则A (0,0,0),B (3,-1,0),C (3,1,0),D (0,2,0),P (0,0,a ),E (3,0,0),F (22123a ，，). 所以=(3,-1,-a ),且=(3,0,0)为平面PAD 的法向量,设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ,由sin θ=|cos ＜,＞|=||||||PB AE PB AE ⋅⋅=3432a +=46,解得a =2 (4)所以AE ＝(3,0,0),AF ＝(23,21,1). 设平面AEF 的一法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,因此11110102x y z =++=, 取z 1=-1,则m =(0,2,-1).因为BD ⊥AC ,BD ⊥PA ,PA ∩AC =A ,所以BD ⊥平面AFC ,故为平面AFC 的一法向量.又=(-3,3,0),所以cos ＜m ,＞=||5m BD m BD ⋅==⋅因为二面角E -AF -C 为锐角,故所求二面角的余弦值为515.……………4 20.(Ⅰ)∵4224S S =+,∴113442(2)42a d a d ⨯+=++,解得1d =.…………3 (Ⅱ)由于等差数列{a n }的公差10,n d S S =>8要取得最小值,必须有8900a a ≤⎧⎨≥⎩,117080a d a d +≤⎧⎨+≥⎩. 求得187a -≤≤-,∴1a 的取值范围是[8,7]-- (4)(Ⅲ)由于等比数列{b n }满足219b =,249T =,1111949b q b b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,111,33b q ==.])31(1[21311])31(1[31n n n T -=--=,2111(1)22n S na n n d n =+-=, (2)则方程55n n S T +=转化为:21[1()]1103n n +-=. 令:21()1()3n f n n =+-,知()f n 单调递增,当110n ≤≤时,101()100[1()]10011013f n ≤+-<+=,当11n ≥时,21121()11[1()]111213f n ≥+->=,所以方程55n n S T +=无解. ……3 21.(Ⅰ)a=1时,32211()21,()232f x x x x f x x x '=--+=--,(0)1,(0)2f f '==-, 所以切线方程为12y x -=-,即210x y +-=.………………3 (Ⅱ)22()2f x x ax a '=--,令2220x ax a --=得x =-a 或x =2a .于是()>0f x '得x <-a 或x >2a ,()<0f x '得-a <x <2a . 所以x =-a 时,f (x )取得极大值37()16f a a -=+; x =2a 时,f (x )取得极小值310(2)13f a a =-+.………………2 要使方程f (x )=0恰有三个不同的实根,则函数y =f (x )的极大值大于零,极小值小于零,所以33710610103a a ⎧+>⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩,解之得10a >=.……………………2 (Ⅲ)要使2()1f x x x '<-+对任意(1,)a ∈+∞都成立, 即222221,(1)21x ax a x x a x a --<-+∴-<+.(1,),1<0a a ∈+∞∴-,于是2211a x a +>-对任意(1,)a ∈+∞都成立,则x 大于2211a a+-的最大值.2213[2(1)4]11a a a a +=--++≤---,当32(1)1a a-=-,即12a =+时取等号.故2max 21()(41a x a+>=-+-.……………………5 22.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (1,2m -),直线AB 的方程为12x ty =+.由2212y x x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2210y ty --=,则12122,1y y t y y +==-. 于是222121212121()121,224y y x x t y y t x x +=++=+=⋅=.…………………3 (Ⅰ)112211(,),(,),22CA x y m CB x y m =+-=+-于是 22221212121211()+()+2()024CA CB x x x x y y m y y m t mt m t m ⋅=+++-+=-+=-≥,所以∠ACB 不可能是钝角.………………………………………………………2 (Ⅱ)假设存在这样的点C ,使得△ABC 是正三角形.(Ⅰ)得AB 的中点坐标M (21,2t t +). ①若直线AB 的斜率不存在,这时t =0,A (1,12),B (1,12-),点C 的坐标只可能是(1,02-).由||||CM AB =得12=,这是不可能的,于是AB 的斜率必存在.…………3 ②由CM AB ⊥知1CM AB k k =-,即2111122t m t t -⋅=-++,得32m t t =+,从而C (31,22t t -+). 2||(CM t ==+2||2(1)AB t ===+.由||||2CM AB =得22(2(1)t t +=+,解之得t =. 此时点C(1,2-±故存在点C(1,2-±使得△ABC 是正三角形 (6)。
四川省绵阳市2012年中考数学试卷(解析版)
2012年中考数学精析系列——绵阳卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一．选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2012四川绵阳3分）4的算术平方根是【】。
A．2B．-2C．±2D．2【答案】A。
【考点】算术平方根。
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0。
∵22=4，∴4的算术平方根是2。
故选A。
2．（2012四川绵阳3分）点M（1，-2）关于原点对称的点的坐标是【】。
A．（-1，-2）B．（1，2）C．（-1，2）D．（-2，1）【答案】C。
【考点】关于原点对称的点的坐标特征。
【分析】关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点M（1，-2）关于原点对称的点的坐标是(-1，2)。
故选C。
3．（2012四川绵阳3分）下列事件中，是随机事件的是【】。
A．度量四边形的内角和为180°；B．通常加热到100℃，水沸腾；C．袋中有2个黄球，绿球3个，共五个球，随机摸出一个球是红球；D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上。
【答案】D。
【考点】随机事件。
【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，利用定义即可判断：A、是不可能事件，故选项错误；B、是必然事件，故选项错误；C、是不可能事件，故选项错误；D、是随机事件，故选项正确．故选D。
4．（2012四川绵阳3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】。
【答案】D。
【考点】轴对称图形，中心对称图形。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D。
2012绵阳二诊文综题答案
绵阳市高中2012级第二次诊断性考试文科综合能力测试参考答案及评分标准第Ⅰ卷(选择题，共140分)一、选择题(每小题4分，共140分)1．B 2．C 3．B 4．A 5．D 6．D 7．C 8．B 9．C 10．D 11．A 12．A 13．D 14．C 15．B 16．C 17．B 18．A 19．D 20．C 21．D 22．C 23．A 24．C 25．D 26．D 27．C 28．D 29．C 30．B 31．A 32．B 33．B 34．A 35．B第Ⅱ卷(非选择题，共160分)二、问答题36．（共36分）（1）24℃等温线向北凸出（2分），22℃等温线向南凸出（2分）。
24℃等温线凸出区域位于南北向的黄河谷地，地势比两侧的黄土高原低，气温高，等温线向北凸出。
（3分）22℃等温线凸出区域位于南北向（吕梁）山脉，地势比两侧的黄土高原高，气温低，等温线向南凸出。
（3分）（2）全球变暖，北方干旱化趋势增强（2分）；年降水总量较少，降水时间分配不均，集中夏季（2分）；区域径流量减少，河流断流（2分）；过度开采地下水，形成地下水漏斗区（2分）；工业、农业发达，人口、城市密集，需水量大（2分）；沿海地区海水倒灌导致水污染（2分）；生产生活排污导致污染（2分）；蓄水和调水等水利工程量少（2分）；不合理利用方式，浪费水资源（2分）。
（任意回答6点给12分）（3）漫灌浪费水资源，使本来紧张的农业用水资源更加紧张（2分）；漫灌使地下水水位提高（2分），随着春季气温回升，容易造成土壤次生盐碱化（2分），影响作物生长。
（4）夏季，鱼塘发挥蓄洪功能，高台抬高地面，能有效防治洪涝灾害（2分）；鱼塘蓄水，又可提供水源，便于春季抗旱（2分）；高台使地面抬高，降低了地下水水位，能有效降低盐碱化对台田的危害（2分）；台田边缘发展林果，果林能有效减小风沙危害。
（2分）37．（共32分）（1）甲错，“诗圣”杜甫的诗深刻反映了唐朝由盛而衰的历史。
2012年四川省绵阳市中考真题及答案
绵阳市初2012级学业考试暨高中阶段招生考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．4的算术平方根是（ ）．A ．2B ．－2C ．±2D ．2 2．点M （1，－2）关于原点对称的点的坐标是（ ）．A ．（－1，－2）B ．（1，2）C ．（－1，2）D ．（－2，1） 3．下列事件中，是随机事件的是（ ）．A ．度量四边形的内角和为180︒B ．通常加热到100℃，水沸腾C ．袋中有2个黄球，3个绿球，共五个球，随机摸出一个球是红球D ．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．绵阳市统计局发布2012年一季度全市完成GDP 共317亿元，居全省第二位，将这一数据用科学记数法表示为（ ）．A ．31.7×109元 C ．3.17×1010元B ．3.17×1011元 D ．31.7×1010元 6．把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（ ）．A ．225︒B ．235︒C ．270︒D ．与虚线的位置有关 8．已知a ＞b ，c ≠0，则下列关系一定成立的是（ ）． A ．ac ＞bc B ．c a ＞cbC ．c －a ＞c －bD ．c + a ＞c + b 9．图（1）是一个长为2 m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）．12A ．2 mB ．（m + n ）2C ．（m －n ）2D ．m 2－n 210．在同一直角坐标系中，正比例函数y = 2x 的图象与反比例函数xky 24-=的图象没有交点，则实数k 的取值范围在数轴上表示为（ ）．A ．B ．C ．D ．11．已知△ABC 中，∠C = 90︒，tan A =21，D 是AC 上一点， ∠CBD =∠A ，则sin ∠ABD =（ ）．A ．53 B ．510 C ．103D ．1010312．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90︒ 到BP ′，已知∠AP ′B = 135︒，P ′A :P ′C = 1:3，则P ′A :PB =（ ）．A ．1:2B ．1:2C ．3:2D ．1:3 二、填空题：将答案填写在答题卡相应的横线上．13．比 －1℃低2℃的温度是 ℃．（用数字填写）14．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ，EF 是∠BED 的平分一线， 若∠1 = 30︒，∠2 = 40︒，则∠BEF = 度．15．如图，BC = EC ，∠1 =∠2，要使△ABC ≌△DEC ，则应添加的 一个条件为 （答案不惟一，只需填一个）16．如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留两位有效数字．参考数据：π = 3.14）17．一个长方形的长减少5 cm ，宽增加2 cm ，就变成了一个正方形， 并且这两个图形的面积相等，则原长方形的面积为 cm ．18．如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-≥-02,03b x a x 的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对（a ，b ）共有 个．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）计算：)82(|28|)2(3-⨯+---π （2）化简：)12()11(2x x x x +-÷+ 20．课外阅读是提高学生素养的重要途径．亚光初中为了了解学校学生的阅读情况，组织调查组对全CDBAAPP ′CBBFD AC E12E B12CAD校三个年级共1500名学生进行了抽样调查，抽取的样本容量为300．已知该校有初一学生600名，初二学生500名，初三学生400名．（1）为使调查的结果更加准确地反映全校的总体状况，应分别在初一年级随机抽取 人，在初二年级随机抽取 人，在初三年级随机抽取 人．（请直接填空）（2）调查组对本校学生课外阅读量的统计结果分别用扇形统计图和频数分布直方图表示如下：扇形统计图请根据以上统计图，计算样本中各类阅读量的人数，并补全频数分布直方图． 频数分布直方图（3）根据（2）的调查结果，从该校中随机抽取一名学生．他最大可能的阅读量是多少本？为什么？ 21．如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，连结PD 、AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C = 60︒．（1）求∠APB 的大小；（2）若PO = 20 cm ，求△AOB 的面积． 22．已知关于x 的方程 x 2－（m + 2）x +（2m －1）= 0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 23．某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择． 方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折．（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x （千克）和付款金额y （元）之间的函数关系式； （2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？说明理由．24．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、CD 上的点，DE = CF ，AF 与BE 相交于O ，DG ⊥AF ，垂足为G ．（1）求证：AF ⊥BE ；（2）试探究线段AO 、BO 、GO 的长度之间的数量关系； （3）若GO : CF = 4:5，试确定E 点的位置．0本 1-5本 6-10本 10本以上APBD O C GOABCF DE0本 1-5本 6-10本 10本以上 阅读量25．如图，在直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上．二次函数y = ax 2 +61x + c 的图象交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于M 点，其中B （－3，0），M （0，－1）．已知AM = BC ．（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线上存在点D ，使A 、B 、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l 过D 且分别交直线BA 、BC 于不同的P 、Q 两点，AC 、BD 相交于N ． ① 若直线l ⊥BD ，如图，试求BQBP 11 的值； ② 若l 为满足条件的任意直线，如图，①中的结论还 成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．一、ACDD BBCD CCAB二、13．－3 14．35 15．∠B =∠E （或∠A =∠D ，AC = DC ） 16．1.7 17．100∕9 18．6 三、19．（1）2 （2）11-x 20．（1）120，100，80（2） ∵ 72÷360×100％= 20％，1－（20％－22％－6％）= 52％，∴ 300×20％= 60人，300×22％= 66人，300×6％= 18人，300×52％= 156人．即阅读量为0本的有18人，1～5本的有66人，6～10本的有60人，10本以上的有156人． 补全频数分布图（略）．（3）最大可能的阅读量为10本以上．因为从抽样的结果看，约有52％的人阅读量在10本以上，占全校大多数．21．（1） ∵ ∠AOB 是圆周角∠C 的同弧所对圆心角，∴ ∠AOB = 2∠C = 120︒． ∵ P A 、PB 与⊙O 相切，∴ P A = PB ，∠P AO =∠PBO = 90︒， ∴ △P AO ≌△PBO ，∴ ∠AOP =∠BOP =21∠AOB = 60︒， ∴ ∠APD = 90︒－∠AOP = 30︒，故 ∠APB = 2∠APO = 60︒． （2）在Rt △P AO 中，∠AOP = 60︒，∴ AO = PO cos60︒ = 10 cm ． ∵ AO = BO ，PO 平分∠AOB ，∴ PD 垂直平分AB ． 于是 AB = 2 AO sin60︒ = 103cm ，OD = AO cos60︒ = 5 cm ． 因此△AOB 的面积为21×103×5 = 253cm 2． 22．（1）△= [－（m + 2）]2－4×l ×（2m －1）= m 2 + 4m + 4－8m + 4 =（m －2）2 + 4≥4，表明原方程恒有两个不相等的实数根．（2） ∵ 1是原方程的根，∴ 12－（m + 2）×1 + 2m －1 = 0，解得m = 2． ∴ 原方程变为 x 2－4x + 3 = 0，解得 x 1 = 1或x 2 = 3，即方程的另一个根是3． 若3是斜边长，则第三边长为22132=-，此时周长为4 + 22； 若3不是斜边长，则第三边长为10132=+，此时周长为4 +10． 23．（1）方案一：y 1 = 4x （x ≥0）．方案二：⎩⎨⎧>+≤≤=⎩⎨⎧⨯⨯-+=.3,5.45.3,30,57.05)3(15,52x x x x x x y（2）当购买的种子量不超过3千克时，由5x －4x = x ≥0知应选择方案一．当购买的种子量超过3千克时，由4.5 + 3.5x －4x ＞0，解得x ＜9，即购买量少于9千克时，应选择方案一．由4.5 + 3.5x －4x = 0，解得x = 9，即购买量为9千克时，两种方案付费一样多． 由4.5 + 3.5x －4x ＜0，解得x ＞9，即购买量多于9千克时，应选择方案二．综上，当购买的种子量小于9千克时，选择方案一；当购买的种子量大于9千克时，选择方案二；当购买的种子量等于9千克时，选择两种方案均可．24．（1）在正方形ABCD 中，由DE = CF ，AB = AD = CD 有AE = DF ， ∴ Rt △ABE ≌Rt △DAF ，∴ ∠ABE =∠DAF ．而 ∠BAO +∠DAF = 90︒，∴ ∠BAO +∠ABE = 90︒，进而 ∠AOB = 90︒，∴ AF ⊥BE ． （2）由（1）可知AO ⊥BE ，DG ⊥AF ，Rt △ABE ≌Rt △DAF ， ∴ BO = AG （全等三角形对应线段相等），即 BO = AO + OG ． （3）过点E 作EH ⊥DG ，垂足为H ，则四边形OEHG 是矩形． 设 ∠EDH =α，DE = a ，AE = b ，则DF = b ，∠AEB =α． 在Rt △EDH 中，有54sin ===CF OG DE EH α，在Rt △ABE 中，有22)(sin bb a b a AF AD BE AB +++===α． ∴54)(22=+++b b a b a ，即 25（a + b ）2 = 16（a + b ）2 + 16b 2，有 9（a + b ）2 = 16b 2，所以 3（a + b ） = 4b （舍去负号），b = 3a ，故点E 的位置在满足DE :EA = 1:3处．25．（1） ∵ B （－3，0），M （0，－1）在二次函数y = ax 2 +61x + c 的图象上， ∴ c =－1，9a 21-+ c = 0，解得a =61，c =－1，即二次函数的解析式为y =61x 2 +61x －1．（2）令y = 0，解得x =－3 或 x = 2，C （2，0），于是BC = 2－（－3）= 5，AM = BC = 5，A （0，4）． 由61x 2 +61x －1= 4，解得x =－6 或 x = 5． ∴ 过A 且平行于BC 的直线交抛物线的点的坐标为（－6，4）或（5，4）． 若D 是（－6，4），则AD = 6≠BC ，此时四边形ACBD 不是平行四边形． 若D 是（5，4），则AD = 5 = BC ，此时四边形ABCD 是平行四边形． ∴ 在抛物线上存在点D （5，4），使四边形ABCD 是平行四边形． 设直线BD 的解析式为y = kx + b ，∴ ⎩⎨⎧+=+-=,54,30b k b k 解得 21=k ，23=b ，∴ 直线BD 的解析式为2321+=x y ．（3）在Rt △ABO 中，∵ AB =2243 = 5，∴ 四边形ABCD 是菱形，于是抽出其基本图形（如后）． 由CD ∥AB 得 ，由AD ∥BC 得 ， ∴ ．注意到 CD = AD = AB ， ∴ ，即．PQ CN BAD。
2015.1.22绵阳市高2012级第二次诊断性考试理数试题、解答、研究
所以 h( x) max h(
法二：数形结合求出直线和半圆相切时切点 P ( 的“竖直距离”为 1 时， b 2 1 ．
2 2 2 2 ， ) ，当直线和圆在 P( ， ) 2 2 2 2
ln x ， 2ex 与 g ( x) x 2 a e 2 是 [1 ， ) 上的“远离函数” x 即 x [1 ， ) ，
8 2 ，即从观看此影片的“满 12 3 2 1 意观众”的概率为 ，同理，不是“满意观众”的概率为 ．…6 分 3 3 由题意有ξ=0，1，2，3，则
(Ⅱ) 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为
1 1 1 2 2 1 4 1 2 2 ，P(ξ=1)= C3 ( ) 2 = ，P(ξ=2)= C3 ( )2 = ， 3 27 3 3 9 3 3 9 8 3 2 3 P(ξ=3)= C3 ， ( ) = 3 27 ∴ ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27 …………………………………………………………… 10 分
1 1 a n x 2 (2 n a n 1 ) x 的对称轴为 x= ， 2 2
2 n a n 1 1 1 1 ，整理得 an 1 an n ，………………………2 分 1 2 2 2 2 an 2
n 1
左右两边同时乘以 2
，得 2n 1 an 1 2n an 2 ，即 2 n 1 a n 1 2 n a n 2 (常数)，
2 2
令 h( x) 1 x 2 x 1， (1 x 1) ， h( x) 1 即 x (
x 1 x
2
0 x
2 ， 2
2 2 2 ， ) 时， h ( x) 0 ； x ( ， 1) 时， h ( x) 0 ． 2 2 2 2 ) 2 1． 2
绵阳市高中2012级第一次诊断性考试文科数试题及答案.doc
绵阳市高2012级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BBDDC BACCA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．53- 12．-1 13．-2 14．15 15．(0，2)三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω =)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ……………………………6分 由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ， ∵ 6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数， ∴ )34sin(2127sin 2)(max πππ+==x f ……………………………………10分 3sin 4cos 23cos 4sin 2ππππ+= =213+．…………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………………3分 (Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分 ① 若m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值；②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，此时22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增，此时221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ) 51cos 5=∠=ABC AB ，，4BC =，又(0,)ABC π∠∈，所以562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， ∴645624521sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆ABC BC BA S ABC ． ………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图， 则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5， 在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222． 即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分 19．解：(Ⅰ) 由832539a a a S ⋅==，， 得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知=n c )1(2++n n λ． ………………………………………………6分 若使}{n c 为单调递增数列，则=-+n n c c 1-+++)2()1(2n n λ)]1([2++n n λ=012>++λn 对一切n ∈N *恒成立，即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立， ………………………………… 10分 又12)(--=n n ϕ是单调递减的,∴ 当1=n 时，max )(n ϕ=-3，∴ 3->λ． …………………………………………………………………12分20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ，∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数，于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，则0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，， ∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，则a a h ln )(-='， BC DA E由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a∴a 的取值集合为{1}……………………………13分21．解：(Ⅰ) 1==b a 时，x x x x f ln 21)(2+-=，x x x f 11)(+-='， ∴21)1(-=f ，1)1(='=f k ，…………………………………………………2分 故)(x f 点()1(1f ，)处的切线方程是2230x y --=．……………………3分(Ⅱ)由()()∞+∈+-=，，0ln 22x x bx x a x f ，得x bx ax x f 1)(2+-='． (1)当0=a 时，xbx x f -='1)(． ①若b ≤0，由0>x 知0)(>'x f 恒成立，即函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，．………………………………………………5分②若0>b ， 当b x 10<<时，0)(>'x f ；当bx 1>时，0)(<'x f ． 即函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)． ……………………………………………7分 (2) 当0<a 时，0)(='x f ，得012=+-bx ax ，由042>-=∆a b 得a a b b x a a b b x 24242221--=-+=，． 显然，0021><x x ，，当20x x <<时，0)(>'x f ，函数)(x f 的单调递增，当2x x >时，0)(<'x f ，函数)(x f 的单调递减，所以函数)(x f 的单调递增区间是(0，a a b b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)．………………………………………………………………9分综上所述：当a =0，b ≤0时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，；当a =0，b >0时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)； 当0<a 时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，aa b b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)． ……………………………………………………………10分 (Ⅲ)由题意知函数)(x f 在2=x 处取得最大值．由(II)知，aa b b 242--是)(x f 的唯一的极大值点， 故aa b b 242--=2，整理得a b 412--=-． 于是ln()(2)ln()(14)ln()14a b a a a a ---=----=-++令()ln 14(0)g x x x x =+->，则1()4g x x '=-． 令0)(='x g ，得14x =，当1(0)4x ∈，时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；当1()4x ∈+∞，时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减．因此对任意0x >，)(x g ≤11()ln044g =<，又0a ->， 故()0g a -<，即041)ln(<++-a a ，即ln()142a a b -<--=-， ∴ ln()2a b -<-．……………………………………………………………14分。
四川省绵阳市2024届高三上学期“二诊”模拟数学(文)试题含解析
绵阳高2021级“二诊”模拟考试文科数学（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2log 1A x x =<，集合{B y y ==，则A B = （）A.(),2∞- B.(],2∞- C.()0,2 D.[)0,∞+【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A,B ，再求交集即可【详解】解：{}()2log 10,2A x x =<=，{[)0,B y y ===+∞，()0,2A B ∴⋂=.故选：C ，【点睛】此题考查集合的交集运算，考查对数不等式的解法，属于基础题2.已知复数z 满足()1i 1z -⋅=+(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 的虚部为()A.1B.iC.i- D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则和概念即可得答案.【详解】∵()1i 12z -⋅=+=，∴()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+，∴1i z =-，∴z 的虚部为1-．故选：D .3.若双曲线C ：2219x y m-=的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（）A.4y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.3y x =±【答案】D 【解析】【分析】利用双曲线的性质计算即可.【详解】由题意可知28972m m ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，即22:197x y C -=，令220973x y y x -=⇒=±.故选：D4.若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为()A.95B.185C.2910D.295【答案】C 【解析】【分析】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.【详解】因为3412=685≠-，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，2910，所以|PQ |的最小值为2910.故选：C.【点睛】本题主要考查平行直线的判定和两平行线之间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）A.猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小.B.这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%C.去年11月鲜菜价格要比今年11月低D.猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍【答案】B 【解析】【分析】根据统计图计算可得答案.【详解】由图可知，粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小，故A 不正确；这7种食品价格同比涨幅的平均值为34.4%10.4%9.6%8.5%3%7.6%21.2%7.47%7%7+++++-≈>，故B 正确；因为鲜菜价格同比涨幅为21.2%-，说明去年11月鲜菜价格要比今年11月高，故C 不正确；猪肉价格同比涨幅为34.4%，禽肉价格同比涨幅为8.5%，34.4%58.5%0-⨯<，故D 不正确.故选：B.6.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，则满足不等式()10x f x ⋅-<的x 的取值范围是（）A.()3,1- B.()1,5 C.()()3,01,5- D.()(),31,5-∞- 【答案】C 【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，所以当()(),40,4x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当()()4,04,x ∈-⋃+∞时，()0f x >，不等式()10x f x ⋅-<，则当0x <时，有()10f x ->，即410x -<-<或14x ->，解得31x -<<或5x >，又0x <，30x ∴-<<；当0x >时，有()10f x -<，即14x -<-或014x <-<，又0x >，解得15x <<；综上，不等式()10x f x ⋅-<的解集为()()3,01,5- .故选：C.7.已知非零向量,a b满足||2||a b =，且|2||4|a b a b -=+，则,a b的夹角为（）A.6π B.3πC.23π D.56π【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量的数量积和模长求夹角即可.【详解】由已知|2||4|a b a b -=+可得222244816a a b b a a b b -⋅⋅+=+⋅+ ，即20a b b ⋅+= ，又因为||2||a b =，所以21cos ,2b a b a b-==-⋅ ，所以夹角为2π3.故选：C8.已知数列{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为n S .若3134a a -=，4158S =-，则2a =（）A.932-B.12-C.932-或12- D.－3或12-【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列通项公式和求和公式进行基本量的计算即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则()()231141431411518a a a q a q S q ⎧-=-=⎪⎪⎨-⎪==-⎪-⎩，解得:12q =或3q =-（舍去），所以11a =-，所以212a =-.故选:B.9.已知函数()32221f x x ax a x =-++在1x =处有极小值，则a 的值为（）A.1B.3C.1或3D.1-或3【答案】A 【解析】【分析】由()f x 在1x =处有极小值可知，()10f '=解出a 的值，并根据单调性验证.【详解】因为()32221f x x ax a x =-++，所以()2234f x x ax a '=-+，因为函数()32221f x x ax a x =-++在1x =处有极小值，所以()21340f a a '=-+=，解得1a =或3a =，当1a =时，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，当()0f x ¢>时，13x <或1x >，当()0f x '<时，113x <<，()f x 在1x =处取到极小值，符合题意；当3a =时，()()()23129313f x x x x x =-+=--'，当()0f x ¢>时，1x <或3x >，当()0f x '<时，13x <<，()f x 在1x =处取到极大值，不符合题意；综上：a 的值为1.故选：A.10.若点A 在焦点为F 的抛物线24y x =上，且2AF =，点P 为直线1x =-上的动点，则PA PF +的最小值为（）A. B.2+ C.2+ D.4【答案】A 【解析】【分析】先求得A 点的坐标，求得F 关于直线=1x -的对称点F '，根据三点共线求得PA PF +的最小值.【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线=1x -，12,1A A AF x x =+==，则24,2A A y y ==±，不妨设()1,2A ，()1,0F 关于直线=1x -的对称点为()3,0F '-，由于PF PF '=，所以当,,A P F '三点共线时PA PF +最小，所以PA PF +的最小值为=.故选：A11.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，与y 轴的交点为N ，最高点()1,P A ，且满足NM NP ⊥．若将()f x 的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则(1)g -=（）A.B.0C.102-D.102【答案】D 【解析】【分析】根据题意得6T =，π6ϕ=，进而得0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据NM NP ⊥结合向量垂直关系的表示解得A =，进而得()ππ36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据平移变换得()π3g x x =，最后求函数值即可.【详解】由题知，函数()f x 的周期T 满足531422M P T x x =-=-=，解得6T =，所以2ππ63ω==，由图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭得()π5πZ 32k k ϕ⨯+=∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，即()ππsin 36f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以，()f x 图象与y 轴的交点为0,2A N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为NM NP ⊥，所以255,1,022224A A A NM NP ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得A =，所以A =，所以()ππ36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以若将()f x 的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为()g x ，()πππ323g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以()π132g ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.故选：D12.已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A.21e ,2⎡⎤--⎣⎦B.213,e∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C.213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D.2211e ,3e⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【详解】因为函数21y x =+与函数21y x =--的图象关于x 轴对称，根据已知得函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象与函数21y x =--的图象有交点，即方程22ln 1a x x -=--在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即22ln 1a x x =--在1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解．令()22ln 1gx x x =--，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()22212222x x g x x x x x--'=-==，可知()g x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,e 上单调递减，故当1x =时，()()max 12g x g ==-，由于21e e 13g ⎛⎫=--⎪⎝⎭，()2e e 1g =-，且2211e3e -->-，所以212e a -≤≤-．故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设α是第二象限角，(),1P x 为其终边上一点，且1cos 3x α=，则tan α=_________.【答案】4-##【解析】【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.【详解】由题设1cos 03x α==<，则21119x =+且0x <，可得x =-，所以1tan 4α==-x .故答案为：4-14.为美化校园，创建读书角，同学将莫言的3部作品《红高粱》《酒国》《蛙》随机地排在书架上，《蛙》恰好放在三本书中间的概率是___________.【答案】13【解析】【分析】利用排列数公式计算三本书不同的排法种数，根据古典概型求解.【详解】3本书随机排在书架上共有33A 种，其中《蛙》恰好放在三本书中间共有22A 种排法，根据古典概型可知22332163A P A ===.故答案为：1315.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,0)(0)A t t ->，(,0)B t ，点C 满足8AC BC =，且点C 到直线:34240l x y -+=的最小距离为95，则实数t 的值是__________．【答案】1【解析】【分析】根据题意求出点C 的轨迹，根据几何意义即可求得实数t 的值.【详解】因为点(,0)(0)A t t ->，(,0)B t ，点C 满足8AC BC =，设()00,C x y ，则()()222000000,,,,88AC x t y BC x t y AC BC x y t =+=-⋅=⇒+=+ ，所以点C 是以原点()0,0O为圆心，半径r的圆，而()0,0O 到直线:34240l x y -+=的距离24955d =>，因为点C 到直线:34240l x y -+=的最小距离为95，所以()2493,0155r r t t -=⇒==>⇒=.故答案为：116.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若12F PF △的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为______．【答案】35##0.6【解析】【分析】由正弦定理得到R =，再根据三角形面积公式和余弦定理得到)3a c r -=，从而根据3R r=得到方程，求出离心率.【详解】由题意得122F F c =，由正弦定理得12122sin 32F F F PF R ∠==，故R =，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故()()12212112PF F S PF PF F F r a c r =++=+V ，又121212211sin 2PF F S PF PF F PF PF =⋅∠=⋅V ，由余弦定理得()2222212121212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅，即222112424122a PF PF c PF PF -⋅-=⋅，解得2212443a c PFPF -⋅=，故())222244334a c a c a cr --+==，解得)3a c r -=，因为3R r=)33a c =-⨯，解得35c a =.故答案为：35三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：每题12分，共60分．17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()()()cos ,sin m A B A B =-- ，()cos ,sin n B B =- ，且35m n ⋅=- ．（1）求sin A 的值；（2）若42a =5b =，求ABC 的面积．【答案】（1）45（2）2【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示及两角和的余弦公式求出cos A ，即可求出sin A ；（2）由余弦定理求出c ，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】因为()()()cos ,sin m A B A B =-- ，()cos ,sin n B B =- ，且35m n ⋅=- ，3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ∴---=-，()3cos cos 5A B B A ∴-+==-⎡⎤⎣⎦，又∵A 为ABC 内角，24sin 1cos 5A A ∴=-=，【小问2详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得233225255c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得1c =或7c =-（舍去），故1c =，所以114sin 512225ABC S bc A ==⨯⨯⨯= ．18.某面包店记录了最近一周A 口味的面包的销售情况，如下表所示：A 口味星期一二三四五六日销量/个16121410181913（1）求最近一周A 口味的面包日销量的中位数．（2）该面包店店主将在下一周每天都制作n 个A 口味的面包，假设下一周A 口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致，每个面包当天卖出可获利6元，当天未售出则将损失5元，从14,15n =中选一个，你应该选择哪一个？说明你的理由．【答案】（1）14（2）14n =【解析】【分析】（1）将销量从小到大的顺序排列，确定中位数；（2）分别求出时的获利情况，然后比较大小来确定.【小问1详解】最近一周A 口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为10，12，13，14，16，18，19．所以A 口味的面包日销量的中位数为14．【小问2详解】当14n =时，下一周A 口味的面包可获利()()()()1412141014141361412141014135511++++++⨯--+-+-⨯=⎡⎤⎣⎦元．当15n =时，下一周A 口味的面包可获利()()()()()15121410151513615121514151015135509++++++⨯--+-+-+-⨯=⎡⎤⎣⎦元．因为511509>，所以应该选14n =.19.已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =-∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）记n P 是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，n Q 是数列121n a -⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和.当2n ≥时，试比较n P 与n Q 的大小.【答案】（1）n a n=（2）n nP Q <【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据裂项相消法，结合等比数列前n 项和、二项式定理进行求解即可.【小问1详解】当1n =时，211112a S a a =-=，所以11a =或10a =（舍去），当2n ≥时，有221112,2,n n n n n n a S a a S a ---⎧=-⎨=-⎩两式相减得221112n n n n n n n a a a a a a a ----=-+=+，整理得()()111n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为{}n a 的各项都是正数，所以11n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以()111n a n n =+⋅-=；【小问2详解】由（1）得()12n n n S +=，则()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12111111111212122311n n P S S S n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由（1）得11211,2n n a --=所以21211222111111111121211222212n n n n n Q a a a a --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++=++++==- ⎪⎝⎭- ，因为()()12(11)11022n n n n n n n +=+=+++>+>≥ ，所以1121n n <+，故111121n n->-+，所以当2n ≥时，n n P Q <.20.已知函数()ln 1x f x me x =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1, (1))f 处的切线方程；（2）若(1,)m ∈+∞，求证：()1f x >.【答案】（1）(1)y e x =-；（2）见解析【解析】【分析】（1）代入1m =,可得()y f x =的解析式.求得导函数,即可得直线方程的斜率,求得点坐标后,由点斜式即可求得切线方程.（2）根据放缩法,由1m >得()ln 1ln 1x x f x me x e x ->--=-.从而证明ln 20x e x -->即可.构造函数()ln x g x e x =-,通过求得导函数1()x g x e x '=-,再令1()x h x e x =-,求得21()0x h x e x '=+>.即可判断1()x h x e x =-的单调性,进而求得1()x g x e x '=-的零点所在区间,并判断出该零点为()ln x g x e x =-的极小值点,求得在该点的最小值,即证明不等式成立.【详解】（1）当1m =时,()ln 1x f x e x =--所以1()x f x e x'=-所以(1)1f e '=-,又因为(1)1 f e =-,即点坐标为(1,1)e -所以曲线()yf x =在点(1,1)e -处的切线方程为(1)(1)(1)y e e x --=--即(1)y e x=-（2）证明：当1m >时,()ln 1ln 1x x f x me x e x ->--=-,要证明()1f x >,只需证明ln 20x e x -->,设()ln x g x e x =-,则1()xg x e x'=-,设1()x h x e x =-,则21()0x h x e x '=+>,所以函数1()()x h x g x e x '==-在(0,)+∞上单调递增,因为121202g e '⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,(1)10g e '=->,所以函数1()x g x e x '=-在(0,)+∞上有唯一零点0x ,且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因为()00g x '=,所以001x e x =,即00ln x x =-,当()00,x x ∈时,()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时,()0g x '>,所以当0x x =时,()g x 取得最小值()0g x ,故()000001()=e ln 220x g x g x x x x ≥--=+->,01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭综上可知,若(1,)m ∈+∞,()1f x >.【点睛】本题考查了利用导数求切线方程,由导数证明不等式成立.根据导数判断函数的单调性和极值,函数的最值及零点的综合应用,对思维能力要求较高,是高考的常考点和重难点,属于难题.21.已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程；（2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M.【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明【解析】【分析】（1）设出过M 点的切线方程，与抛物线方程联立，得到一个元二次方程，它的判别式为零，可以求出切线方程的斜率，这样可以求出A,B 两点的坐标，设出圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，可以求出a ，最后求出圆的方程；（2）设0(,1)M x -，设切点分别为211(,4x A x ，222(,4x B x ，把抛物线方程化24x y =，求导，这样可以求出切线的斜率，求出切线MA 的方程，切线MB 的方程，又因为切线MA 过点0(,1)M x -，切线MB 也过点0(,1)M x -，这样可以发现1x ，2x 是一个关于x 的一元二次方程的两个根，计算出2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ，计算MA MB ⋅ ，根据根与系数关系，化简MA MB ⋅ ，最后计算出MA MB ⋅ =0，这样就证明出以AB 为直径的圆恒过点M.【详解】解：（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=.(1)令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±.代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =.故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB x k =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-.①又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-.②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r 22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦．将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=.所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【点睛】本题考查利用直线与抛物线的位置关系，求出切线的斜率，又考查了利用导数，研究抛物线的切线问题，同时考查了求过三点的圆的方程.考查了方程思想、数学运算能力.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.数学中有许多美丽的曲线，例如曲线sin 2:cos x t E y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）的形状如数字8（如图），动点A ，B 都在曲线E 上，对应参数分别为t α=与()π02π2t αα=-<<，设O 为坐标原点，OC OA OB =+ ．（1）求C 的轨迹的参数方程；（2）求C 到坐标原点的距离d 的最大值和最小值．【答案】（1）2sin 2sin cos x y ααα=⎧⎨=+⎩，（α为参数，02πα<<）（2，最小值4．【解析】【分析】（1）利用条件找出A ，B 点的坐标，利用向量的基本坐标运算，得出C 的轨迹的参数方程；（2）设出C 的坐标，利用点到直线的距离公式求出表达式，即可求出.【小问1详解】由题意有()sin 2,cos A αα，()sin 2,sin B αα．又OC OA OB =+，所以()2sin 2,sin cos C ααα+，故C 的轨迹的参数方程为2sin 2sin cos x y ααα=⎧⎨=+⎩，（α为参数，02πα<<）．【小问2详解】C 点到坐标原点的距离)02πd α=<<．因为[]sin 21,1α∈-，所以当sin 21α=时，d 取得最大值，因为1sin 28α=-，d 取得最小值4．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()244f x x a x a =+-+．（1）若2a =，求不等式()112f x x +<的解集；（2）若R x ∃∈，[]0,2a ∃∈，使得12f x m ⎛⎫> ⎪⎝⎭能成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{2x x <-或14615x ⎫-<<⎬⎭；（2）(),2-∞.【解析】【分析】（1）分类讨论的方法求解绝对值不等式.（2）利用绝对值的几何意义有2222x a x a a a +-+≤-，将问题转化为[]0,2a ∃∈使2a a m ->成立，结合()2g a a a =-的图象确定其最大值，即可得m 的取值范围．【小问1详解】依题意，得1424412x x x +-++<，当1x ≤-时，1424412x x x --+++<，可得<2x -；当112x -<<-时，1424412x x x ----+<，可得141152x -<<-；当21x ≥-时，1424412x x x +--+<，可得162x -≤<；综上，不等式()112f x x +<的解集为{|2x x <-或146}15x -<<．【小问2详解】依题意，21222f x m x a x a m ⎛⎫>⇔+-+> ⎪⎝⎭，又2222222x a x a x a x a a a +-+≤+--=-，故2a a m ->，令()2g a a a =-，[]0,2a ∈，结合()g a 的图象知，()()max 22g a g ⎡⎤==⎣⎦，故2m <，。
四川省绵阳市 中考数学二诊试卷(Word版 含解析) (3)
四川省绵阳市中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,共36分,每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．计算|﹣1|﹣3,结果正确的是（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣12．太阳半径约696000000米,其中数据696000000科学记数法表示为（）A．0.696×109B．6.96×109C．6.96×108D．696×1063．下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．x10÷x5＝x5C．（xy2）3＝xy6D．（x﹣y）2＝x2+y24．某班级开展“好书伴成长”读书活动,统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量,绘制了折线统计图,下列说法正确的是（）A．每月阅读课外书本数的众数是45B．每月阅读课外书本数的中位数是58C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多455．如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连接AC、BC．若∠ABC＝70°,则∠1的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°6．随着全球能源危机的逐渐加重,太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长,2019年全球装机总量约600GW,预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x,则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%7．不等式组的解集是x＞4,那么m的取值范围是（）A．m＝3B．m≥3C．m＜3D．m≤38．在△ABC中,∠ACB＝90°,∠CAD＝30°,AC＝BC＝AD,则∠CBD的度数为（）A．12°B．13°C．14°D．15°9．如图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为20,则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14,现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A．B．C．D．10．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,过点C作CD⊥AB,垂足为D,点E为BC的中点,AE与CD交于点F,若DF的长为,则AE的长为（）A．B．C．D．11．如图,抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1,0）和（0,﹣1）两点,则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（）A．B．C．D．12．如图,有一张矩形纸条ABCD,AB＝5cm,BC＝2cm,点M,N分别在边AB,CD上,CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠,使点B,C分别落在点B′,C′上．在点M从点A运动到点B 的过程中,若边MB'与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为（）cm．A．﹣B．C．D．二、填空题（共6个小题,每小题4分,共24分,将答案填写在答题卡相应的横线上）13．把多项式mx2﹣4mxy+4my2分解因式的结果是．14．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后,经过点（﹣2,5）,则8a﹣4b﹣11的值是．15．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有cm．16．关于x的方程的解是正数．则a的取值范围是．17．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝5,点E、F分别在CA,CB上,且CE＝CF＝1,点M、N分别为AF、BE的中点,则MN的长为．18．如图,在矩形ABCD中,AB＝1,BC＝2,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过点P作PE⊥PA交CD于E,将△PEC沿PE翻折到平面内,使点C恰好落在AD边上的点F,则BP长为．三、解答题（本大题共7个小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2021×（）2021．（2）先化简,再求值：（﹣）÷,其中a满足a2+2a﹣15＝0．20．新冠肺炎疫情期间,我市对学生进行了“停课不停学”的线上教学活动．某中学为了解这期间九年级学生数学学习的情况,开学后进行了两次诊断性练习．综合成绩由两次练习成绩组成,其中第一次练习成绩占40%,第二次练习成绩占60%．当综合成绩不低于135分时,该生数学学科综合评价为优秀．（1）小明同学的两次练习成绩之和为260分,综合成绩为132分,则他这两次练习成绩各得多少分？（2）如果小张同学第一次练习成绩为120分,综合成绩要达到优秀,他的第二次练习成绩至少要得多少分？21．某市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．（1）该小区居民在这次随机调查中被调查的人数是人,m＝；（2）补全条形统图,若该小区有居民1500人,试估计去C景区旅游的居民约有多少人？（3）甲、乙两人暑假打算游玩,甲从B,C两个景点中任意选择一个游玩,乙从B,C,E三个景点中任意选择一个游玩,用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．22．如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的边OB在x轴上,反比例函数y＝（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A,且与边BC交于点F,点A的坐标为（4,2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点F的坐标．23．如图,BC是⊙O的直径,AD是⊙O的弦,AD交BC于点E,连接AB,CD．过点E作EF⊥AB,垂足为F,∠AEF＝∠D．（1）求证：AD⊥BC；（2）点G在BC的延长线上,连接AG,∠DAG＝2∠D．①求证：AG与⊙O相切；②当＝,CE＝3时,求AG的长．24．在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动．（1）如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你直接写出AE与DF的关系．（2）如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,AC,当△ACE为等腰三角形时,求CE：CD的值．（3）如图3,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动．若AD＝2,求线段CP的最小值．25．如图1,已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．（1）写出A、B、C三点的坐标．（2）若点P为△OBC内一点,求OP+BP+CP的最小值．（3）如图2,点Q为对称轴左侧抛物线上一动点,点D（4,0）,直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点,当△CEF为等腰三角形时,请直接写出CE的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,共36分,每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．计算|﹣1|﹣3,结果正确的是（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】首先应根据负数的绝对值是它的相反数,求得|﹣1|＝1,再根据有理数的减法法则进行计算．解：原式＝1﹣3＝﹣2．故选：C．2．太阳半径约696000000米,其中数据696000000科学记数法表示为（）A．0.696×109B．6.96×109C．6.96×108D．696×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值是易错点,由于696000000有9位,所以可以确定n＝9﹣1＝8．解：696000000＝6.96×108．故选：C．3．下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．x10÷x5＝x5C．（xy2）3＝xy6D．（x﹣y）2＝x2+y2【分析】直接利用同类项定义,同底数幂的除法,积的乘方运算法则以及完全平方公式分别分析得出答案．解：A、2x与3y不是同类项,不能合并,故此选项错误；B、x10÷x5＝x5,故此选项正确；C、（xy2）3＝x3y6,故此选项错误；D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2,故此选项错误；故选：B．4．某班级开展“好书伴成长”读书活动,统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量,绘制了折线统计图,下列说法正确的是（）A．每月阅读课外书本数的众数是45B．每月阅读课外书本数的中位数是58C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45【分析】从折线图中获取信息,通过折线图和中位数、众数的定义及极差等知识求解．解：因为58出现了两次,其他数据都出现了一次,所以每月阅读课外书本数的众数是58,故选项A错误；每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78,最中间的数字为58,所以该组数据的中位数为58,故选项B正确；从折线图可以看出,从2月到4月阅读课外书的本数下降,4月到5月阅读课外书的本数上升,故选项C错误；从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28多50,故选项D错误．故选：B．5．如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连接AC、BC．若∠ABC＝70°,则∠1的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°【分析】根据平行线的性质解答即可．解：∵点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C,∴AC＝AB,∴∠CBA＝∠BCA＝70°,∵l1∥l2,∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°,∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°,故选：C．6．随着全球能源危机的逐渐加重,太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长,2019年全球装机总量约600GW,预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x,则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%【分析】根据增长后的装机总量＝增长前的装机总量×（1+增长率）列出方程并解答．解：根据题意,得600（1+x）2＝864．解得x1＝0.2＝20%,x2＝﹣2.2（舍去）,故选：A．7．不等式组的解集是x＞4,那么m的取值范围是（）A．m＝3B．m≥3C．m＜3D．m≤3【分析】不等式组中两不等式整理后,根据已知解集确定出m的范围即可．解：不等式组整理得：,∵不等式组的解集为x＞4,∴m+1≤4,解得：m≤3．故选：D．8．在△ABC中,∠ACB＝90°,∠CAD＝30°,AC＝BC＝AD,则∠CBD的度数为（）A．12°B．13°C．14°D．15°【分析】可过C作CE⊥AD于E,过D作DE⊥BC于F,依据题意可得∠FCD＝∠ECD,由角平分线到角两边的距离相等可得DF＝DE,进而的△CED≌△CFD,由对应边又可得Rt △CDF≌Rt△BDF,进而可得出结论．解：如图,过C作CE⊥AD于E,过D作DF⊥BC于F．∵∠CAD＝30°,∴∠ACE＝60°,且CE＝AC,∵AC＝AD,∠CAD＝30°,∴∠ACD＝75°,∴∠FCD＝90°﹣∠ACD＝15°,∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝15°,在△CED和△CFD中,,∴△CED≌△CFD（AAS）,∴CF＝CE＝AC＝BC,∴CF＝BF．∴BD＝CD,∴∠DCB＝∠CBD＝15°,故选：D．9．如图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为20,则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14,现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图,共有20个等可能的结果,恰好使该图形为“和谐图形”的结果有4个,再由概率公式求解即可．解：画树状图如图：共有20个等可能的结果,恰好使该图形为“和谐图形”的结果有4个,∴恰好使该图形为“和谐图形”的概率为＝,故选：B．10．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,过点C作CD⊥AB,垂足为D,点E为BC的中点,AE与CD交于点F,若DF的长为,则AE的长为（）A．B．C．D．【分析】连接DE,首先推知ED为△ABC的中位线,然后由中位线的性质得到△DEF∽△CAF,从而求得CD的长度；继而推知AC＝BC＝4；最后由勾股定理求得AE的长度．解：连接DE,如图所示：在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,∵CD⊥AB,∴AD＝BD,即点D为AB的中点．∵E为BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,DE＝AC,∴△DEF∽△CAF,∴＝＝,∴DF＝CD＝,∴CD＝．∴AB＝2．∵AC＝BC,∴AC2+BC2＝2AC2＝AB2＝8．∴AC＝BC＝2．∴CE＝1．在直角△ACE中,由勾股定理知：AE＝＝＝．故选：C．11．如图,抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1,0）和（0,﹣1）两点,则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意得到a﹣b+c＝0,a＞0,b＜0,c＝﹣1,即可得到抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下,对称轴直线x＝﹣＜0,交y轴正半轴,经过点（﹣1,0）,据此即可判断．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1,0）和（0,﹣1）两点,∴开口向上,对称轴在y轴的右侧,∴a﹣b+c＝0,a＞0,b＜0,c＝﹣1,∴抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下,对称轴直线x＝﹣＜0,交y轴正半轴,当x＝﹣1时,y＝c﹣b+a＝0,∴抛物线y＝cx2+bx+a经过点（﹣1,0）,故选：B．12．如图,有一张矩形纸条ABCD,AB＝5cm,BC＝2cm,点M,N分别在边AB,CD上,CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠,使点B,C分别落在点B′,C′上．在点M从点A运动到点B 的过程中,若边MB'与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为（）cm．A．﹣B．C．D．【分析】探究点E的运动轨迹,寻找特殊位置解决问题即可．解：如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠1＝∠3,由翻折的性质可知：∠1＝∠2,BM＝MB′,∴∠2＝∠3,∴MB′＝NB′,∵NB′＝＝＝（cm）,∴BM＝NB′＝（cm）．如图2中,当点M与A重合时,AE＝EN,设AE＝EN＝xcm,在Rt△ADE中,则有x2＝22+（4﹣x）2,解得x＝,∴DE＝4﹣＝（cm）,如图3中,当点M运动到MB′⊥AB时,DE′的值最大,DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm）,如图4中,当点M运动到点B′落在CD时,DB′（即DE″）＝5﹣1﹣＝（4﹣）（cm）,∴点E的运动轨迹E→E′→E″,运动路径＝EE′+E′B′＝2﹣+2﹣（4﹣）＝（﹣）（cm）．故选：A．二、填空题（共6个小题,每小题4分,共24分,将答案填写在答题卡相应的横线上）13．把多项式mx2﹣4mxy+4my2分解因式的结果是m（x﹣2y）2．【分析】直接提取公因式m,再利用完全平方公式分解因式即可．解：原式＝m（x2﹣4xy+4y2）＝m（x﹣2y）2．故答案为：m（x﹣2y）2．14．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后,经过点（﹣2,5）,则8a﹣4b﹣11的值是﹣5．【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式,再将点（﹣2,5）代入,得到4a﹣2b＝3,最后将8a﹣4b﹣11变形求值即可．解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后,表达式为：y＝ax2+bx+2,∵经过点（﹣2,5）,代入得：4a﹣2b＝3,则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5,故答案为：﹣5．15．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有5cm．【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度,进而得出答案．解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15,则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．故答案为：5．16．关于x的方程的解是正数．则a的取值范围是a＜﹣2且a≠﹣6．【分析】将a看成一个常数,然后按照分式方程的解法求出x即可求出a的范围．解：3x+a＝x﹣2∴x＝把x＝代入x﹣2≠0,∴a≠﹣6∵x＞0,∴＞0,∴a＜﹣2∴a＜﹣2且a≠﹣6故答案为：a＜﹣2且a≠﹣617．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝5,点E、F分别在CA,CB上,且CE＝CF＝1,点M、N分别为AF、BE的中点,则MN的长为2．【分析】取AB的中点D,连接MD、ND,如图,先判断DM为△ABF的中位线,DN为△ABE 的中位线得到DM＝BF＝2,DM∥BF,DN＝AE＝2,再证明AE⊥BF,则DM⊥DN,然后根据△DMN为等腰直角三角形确定MN的长．解：取AB的中点D,连接MD、ND,如图,AE＝BF＝5﹣1＝4,∵点M、N分别为AF、BE的中点,∴DM为△ABF的中位线,DN为△ABE的中位线,∴DM＝BF＝2,DM∥BF,DN＝AE＝2,DN∥AE,∵AE⊥BF,∴DM⊥DN,∴△DMN为等腰直角三角形,∴MN＝DM＝2．故答案为2．18．如图,在矩形ABCD中,AB＝1,BC＝2,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过点P作PE⊥PA交CD于E,将△PEC沿PE翻折到平面内,使点C恰好落在AD边上的点F,则BP长为或1．【分析】作PH⊥AD于H,如图,设BP＝x,则CP＝2﹣x,利用等角的余角相等得到∠1＝∠3,则根据相似三角形的判定得到Rt△ABP∽Rt△PCE,利用相似比、折叠的性质得表示相应的线段,然后证明Rt△PHF∽Rt△FDE,利用相似比得到FD,在Rt△DFE中,根据勾股定理即可求解．解：作PH⊥AD于H,如图,设BP＝x,则CP＝2﹣x．∵PE⊥PA,∴∠2+∠3＝90°,∵∠1+∠2＝90°,∴∠1＝∠3,∴Rt△ABP∽Rt△PCE,∴．即．∴CE＝x（2﹣x）．∵△PEC沿PE翻折到△PEF位置,使点F落到AD上,∴EF＝CE＝x（2﹣x）,PF＝PC＝2﹣x,∠PGE＝∠C＝90°,∴DE＝DC﹣CE＝1﹣x（2﹣x）．∴∠5+∠6＝90°．∵∠4+∠6＝90°,∴∠5＝∠4．∴Rt△PHF∽Rt△FDE,∴,即．∴FD＝x,在Rt△DFE中,∵DE2+DF2＝FE2,∴[1﹣x（2﹣x）]2+x2＝[x（2﹣x）]2,解得x1＝,x2＝1,∴BP的长为或1．解法二：过点A作AM⊥BF于M．∵△PEF由△PEC翻折得到,∴△PEF≌△PEC,∴PF＝PC,∠FPE＝∠EPC,又∵∠BPA+∠EPC＝90°,∠APM+∠EPF＝90°,∴∠APB＝∠APM,又∵∠B＝∠AMP＝90°,AP＝AP,∴△ABP≌△AMP（AAS）,∴AB＝AM＝1,BP＝PM,令BP＝x,则PC＝PF＝2﹣x,BP＝PM＝x,∴MF＝2﹣x﹣x＝2﹣2x,∵AD∥BC,∴∠APB＝∠PAD,又∵∠APB＝∠APF,∴△APF为等腰三角形,∴AF＝PF＝2﹣x,在△AMF中,AF2＝AM2+MF2,∴（2﹣x）2＝12+（2﹣2x）2,∴x＝1或．故答案为：或1．三、解答题（本大题共7个小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2021×（）2021．（2）先化简,再求值：（﹣）÷,其中a满足a2+2a﹣15＝0．【分析】（1）根据负整数指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、积的乘方法则计算；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简,整体代入即可．解：（1）原式＝+3﹣+2×﹣（﹣2×）2021＝+3﹣++1＝；（2）原式＝[+]•＝（+）•＝•＝,∵a2+2a﹣15＝0,∴a2+2a＝15,∴原式＝．20．新冠肺炎疫情期间,我市对学生进行了“停课不停学”的线上教学活动．某中学为了解这期间九年级学生数学学习的情况,开学后进行了两次诊断性练习．综合成绩由两次练习成绩组成,其中第一次练习成绩占40%,第二次练习成绩占60%．当综合成绩不低于135分时,该生数学学科综合评价为优秀．（1）小明同学的两次练习成绩之和为260分,综合成绩为132分,则他这两次练习成绩各得多少分？（2）如果小张同学第一次练习成绩为120分,综合成绩要达到优秀,他的第二次练习成绩至少要得多少分？【分析】（1）设第一次练习成绩为x分,第二次练习成绩为y分,根据“小明同学的两次练习成绩之和为260分,综合成绩为132分”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论；（2）设小张同学第二次练习成绩为m分,根据他的综合成绩不低于135分,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论．解：（1）设第一次练习成绩为x分,第二次练习成绩为y分,依题意,得：,解得：．答：第一次练习成绩为120分,第二次练习成绩为140分．（2）设小张同学第二次练习成绩为m分,依题意,得：120×40%+60%m≥135,解得：m≥145．答：小张同学第二次练习成绩至少要得145分．21．某市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．（1）该小区居民在这次随机调查中被调查的人数是200人,m＝35；（2）补全条形统图,若该小区有居民1500人,试估计去C景区旅游的居民约有多少人？（3）甲、乙两人暑假打算游玩,甲从B,C两个景点中任意选择一个游玩,乙从B,C,E三个景点中任意选择一个游玩,用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．【分析】（1）用去D景区旅游的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,然后用去到B景区旅游的居民数除以总人数可得到m的值；（2）先计算出去到C景区旅游的居民数,则可补全条形统计图；然后用去C景区旅游的居民数的百分比乘以1500即可；（3）画树状图展示所有6种等可能的结果,找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数,然后根据概率公式求解．解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数为20÷10%＝200（人）；m%＝×100%＝35%,即m＝35；故答案为200；35；（2）去C景区旅游的居民人数为200﹣20﹣70﹣20﹣50＝40（人）,补全统计图如下：1500×＝300（人）,所以估计去C景区旅游的居民约有300人；（3）画树状图为：共有6种等可能的结果,其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2,所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率＝＝．22．如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的边OB在x轴上,反比例函数y＝（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A,且与边BC交于点F,点A的坐标为（4,2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点F的坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析式；（2）过点A作AM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,首先求得点B的坐标,然后求得直线BC的解析式,求得直线和双曲线的交点坐标即可．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A,A点的坐标为（4,2）,∴k＝2×4＝8,∴反比例函数的解析式为y＝；（2）过点A作AM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,由题意可知,CN＝2AM＝4,ON＝2OM＝8,∴点C的坐标为C（8,4）,设OB＝x,则BC＝x,BN＝8﹣x,在Rt△CNB中,x2﹣（8﹣x）2＝42,解得：x＝5,∴点B的坐标为B（5,0）,设直线BC的函数表达式为y＝ax+b,直线BC过点B（5,0）,C（8,4）,∴,解得：,∴直线BC的解析式为y＝x﹣,根据题意得方程组,解此方程组得：或∵点F在第一象限,∴点F的坐标为F（6,）．23．如图,BC是⊙O的直径,AD是⊙O的弦,AD交BC于点E,连接AB,CD．过点E作EF⊥AB,垂足为F,∠AEF＝∠D．（1）求证：AD⊥BC；（2）点G在BC的延长线上,连接AG,∠DAG＝2∠D．①求证：AG与⊙O相切；②当＝,CE＝3时,求AG的长．【分析】（1）想办法证明∠B+∠BAE＝90°即可解决问题．（2）①连接OA,想办法证明OA⊥AG即可解决问题．②过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x,GH＝y．利用相似三角形的性质构建方程组解决问题即可．【解答】证明：（1）∵EF⊥AB,∴∠AFE＝90°,∴∠AEF+∠EAF＝90°,∵∠AEF＝∠D,∠ABE＝∠D,∴∠ABE+∠EAF＝90°,∴∠AEB＝90°,∴AD⊥BC；（2）①连接OA,AC,∵AD⊥BC,∴AE＝ED,∴CA＝CD,∴∠D＝∠CAD,∵∠GAE＝2∠D,∴∠CAG＝∠CAD＝∠D,∵OC＝OA,∴∠OCA＝∠OAC,∵∠CEA＝90°,∴∠CAE+∠ACE＝90°,∴∠CAG+∠OAC＝90°,∴OA⊥AG,∴AG是⊙O的切线；②过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x,GH＝y．∵CA平分∠GAE,CH⊥AG,CE⊥AE,∴CH＝CE,∵∠AEC＝∠AHC＝90°,AC＝AC,EC＝CH,∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL）,∴AE＝AH,∵EF⊥AB,BC是直径,∴∠BFE＝∠BAC,∴EF∥AC,∴＝＝,∵CE＝3,∴BE＝,∵BC⊥AD,∴,∴∠CAE＝∠ABC,∵∠AEC＝∠AEB＝90°,∴△AEB∽△CEA,∴,∴AE2＝3×＝,∵AE＞0,∴AE＝,∴AH＝AE＝,∵∠G＝∠G,∠CHG＝∠AEG＝90°,∴△GHC∽△GEA,∴,∴＝,解得x＝7,y＝2,∴AG＝2+＝．24．在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动．（1）如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你直接写出AE与DF的关系．（2）如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,AC,当△ACE为等腰三角形时,求CE：CD的值．（3）如图3,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动．若AD＝2,求线段CP的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝DC,∠ADE＝∠DCF＝90°,求出DE＝CF,根据SAS推出△ADE≌△DCF,根据全等三角形的性质得出AE＝DF,∠DAE＝∠FDC即可；（2）有两种情况：①当AC＝CE时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理求出AC＝CE ＝a即可；②当AE＝AC时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理求出AC＝AE＝a,根据正方形的性质∠ADC＝90°,根据等腰三角形的性质得出DE＝CD＝a即可；（3）由于点P在运动中保持∠APD＝90°,所以点P的路径以AD中点为圆心,AD的一半为半径的弧DG,设AD的中点为Q,连接QC交弧于点P,此时CP的长度最小,再由勾股定理可得QC的长,再求CP即可．解：（1）AE＝DF,AE⊥DF；理由是：∵四边形ABCD是正方形,∴AD＝DC,∠ADE＝∠DCF＝90°,∵动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动,∴DE＝CF,在△ADE和△DCF中,,∴△ADE≌△DCF（SAS）,∴AE＝DF,∠DAE＝∠FDC,∵∠ADE＝90°,∴∠ADP+∠CDF＝90°,∴∠ADP+∠DAE＝90°,∴∠APD＝180°﹣90°＝90°,∴AE⊥DF；（2）（1）中的结论还成立,CE：CD＝2：1或：1．理由：有两种情况：①如图1,当AC＝CE时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得：AC＝CE＝a,则CE：CD＝a：a＝：1；②如图2,当AE＝AC时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得：AC＝AE＝a,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC＝90°,即AD⊥CE,∴DE＝CD＝a,∴CE：CD＝2a：a＝2：1；综上所述,CE：CD＝：1或2：1；故答案为：：1或2：1；（3）如图：由于点P在运动中保持∠APD＝90°,∴点P的路径是一段以AD中点为圆心,AD的一半为半径的弧DG,设AD的中点为Q,连接QC交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt△QDC中,QC＝＝＝,∴CP＝QC﹣QP＝﹣1．25．如图1,已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．（1）写出A、B、C三点的坐标．（2）若点P为△OBC内一点,求OP+BP+CP的最小值．（3）如图2,点Q为对称轴左侧抛物线上一动点,点D（4,0）,直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点,当△CEF为等腰三角形时,请直接写出CE的长．【分析】（1）令y＝0,可求出点A,点B的坐标,令x＝0,可得出点C的坐标；（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C',连接PP',CC',当O,P,P',C′四点共线,OP+BP+CP的值最小,再在直角三角形中,求出此时的最小值；（3）需要分类讨论,当CE＝CF,CE＝EF,CF＝EF时,分别求解．解：（1）∵y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,∴A（﹣3,0）,B（4,0）,C（0,4）．（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C',连接PP',CC',∴BP＝BP',BC＝BC,∠PBP'＝60°,∠CBC′＝60°,PC＝P'C′,∴△BPP'和△BCC′为等边三角形,∴BC′＝BC,PP′＝BP,当O,P,P',C′四点共线,OP+BP+CP的值最小,∴tan∠OBC＝＝＝,∴∠OBC＝30°,∴BC＝2OC＝8,∴BC′＝BC＝8,∵∠OBC′＝∠OBC+∠CBC′＝30°+60°＝90°,∴OC′＝＝,∴OP+BP+CP＝OP+PP'+C'P'＝OC′＝4．（3）需要分类讨论：①如图,当CE＝CF,且点F在点C左侧时,过点F作FG⊥CE于点G,则△CFG∽△CAO,∵OA＝3,OC＝4,∴AC＝5,∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5,设FG＝3m,则CG＝4m,FC＝5m,∴CE＝FC＝5m,∴GE＝m,OE＝4﹣5m,∵△FGE∽△DOE,∴,∴,∴m＝,∴CE＝5m＝；当点F在点C右侧时,如图所示,过点F作FG⊥y轴于点G,则△FCG∽△ACO,∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5,设FG＝3m,则CG＝4m,FC＝5m,∴CE＝FC＝5m,∴GE＝9m,OE＝5m﹣4,∵△FGE∽△DOE,∴,∴,解得m＝,∴CE＝5m＝16；②如图,当CE＝EF时,过点A作AG∥EF交y轴于点G,由EF＝CE,可得,AG＝CG,设OG＝m,则AG＝CG＝4﹣m,∵OA2+OG2＝AG2,∴32+m2＝（4﹣m）2,解得,m＝．由A（﹣3,0）和G（0,）,可得直线AG的解析式为：y＝x+,设直线DF为：y＝x+b,将D（4,0）代入得：b＝﹣,∴E（0,﹣）,∴CE＝4+＝．③如图,当CF＝EF时,过点C作CG∥DE交x轴于点G,则∠GCO＝∠ACO,∴OG＝OA＝3,∴G（3,0）,由G（3,0）,C（0,4）可得直线CG的解析式为：y＝﹣x+4,设直线DE为：y＝﹣x+n,将D（4,0）代入得：n＝,∴E（0,）,∴CE＝﹣4＝．故CE的长为：或或或16．。
四川省眉山市2012届高三第二次诊断性考试--文科数学
眉山市高中 2012 届第二次诊疗性考试数学试题卷（文科）2012． 04数学试题卷（文科）共4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．注意事项：1．答题前，务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡规定的地点上．2．答选择题时，一定使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其余答案标号． 3．答非选择题时，一定使用0.5 毫米黑色署名笔，将答案书写在答题卡规定的地点上．4．全部题目一定在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将答题卡交回．参照公式：假如事件 A 、 B 互斥，那么 P( A B)P( A) P(B)假如事件 A 、 B 相互独立，那么 P( A B) P(A) P( B)假如事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 n 次独立重复试验中事件A 恰巧发生 k次的概率为( k ) k p k (1 ) n kP n C n p一．选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知会合 M= ｛ 0,1,2｝ ,N=｛ x ︱ x=2a,a ∈ M ｝则会合 M ∩ N 等于 ()A ．｛ 0｝B ．｛ 0,1｝C ．｛1,2｝D ．｛0,2｝ 2．以下四个条件中 ,使 a>b 成立的充足不用要条件是A ． a>b+1B ． a>b-1C ． a 2>b 2D ． a 3>b 313．计算 (log 3 18log 3 2) ( 8) 3（ ）125A ． 44C ．5D ．5B ．45频次4．某市高三调研考试中，对数学在 90 分以上 (含 90 分)的成绩进行统计，其频次散布直方图以下图，若 130～ 140 分数段的人数为 90，那么 90～ 100分数段的人数为（ ）A ．630B ． 720C ． 810D ． 9005．如图， e 1 ,e 2 为相互垂直的单位向量，则向量a b 可表示为（）A ． 3 e 2 e 1B ． -2 e 14e 2bC ． e 1 3e 2D ． 3e 1 e 26．已知 C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0),及直 l :x-y+3=0.当直 l 被 C 截得的弦 2 3 , a=()A ． 2B ． 22 C ．21D ． 2 17．若把函数 y2 cos(x) 的 象向右平移 m(m>0)个 位 度， 使点 (,0) 其 称中33心， m 的最小 是（）A ．B ．28．已知直l ，m ，平面C ．D ．6 3, ， 以下命 中假命 是（ ）．．．A ．若∥ ,l , 则 l ∥B ．若∥ ,l , 则 lC ．若 l ∥ , m, 则 l ∥ mD. 若,l , m , m l ,则 m9．某运 企业有 7 重 6t 的 A 型卡 ， 4 重 10t的 B 型卡 ， 有 9 名 。
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2012绵阳二诊文科数学试题及答案2012 绵阳市高中级第二次诊断性考试数学(文科)第I卷(选择题，共60分) 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 直线x-y=O 的倾斜角为(A) (B) (C) (D)2(要从60人中抽取6人进行身体健康检查,现釆用分层抽样方法进行抽取，若这60人中老年人和中年人分别是40人,20人，则老年人中被抽取到参加健康检查的人数是(A) 2 人 (B) 3 人 (C) 4 人 (D) 5 人3. 平面内动点P(x,y)与A(-1,0)，B(1, 0)两点连线的斜率之积为1,则动点P 的轨迹方程为 (A) (B) (C) (D)4. 若条件条件则p是q成立的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 5. 设角a的终边经过点，那么(A) (B) (C) (D)6. 在平行四边形ABCD中，，已知，则,(A) (B) (C) (D)f(x)7 已知函数则函数的图象是8. 在等比数列中,如果，是等差数列的前n项和，且则= (A) 2 (B) 4 (C) 10(D) 20 9. 把函数的图象按向量平移后得到函数的图象，则函数在区间上的最大值为(A) 1 (B) 0 (C)(D) -110.已知曲线(为参数)和曲线关于直线l对称，直线l过原点且与l的夹角121为30?,则直线l的方程为 2(A) (B) (C) (D) 11.已知F，F分别是双曲线的左、右焦点,过F且平行于y轴的直线交双曲线的渐近线于M 122N两点.若ΔMNF为锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是 1(A) (B) (C) (D)12.已知关于x的方程的两根分别为椭圆和双曲线的离心率.记分别以m、n为横纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D,若函数的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围为(A) a>2 (B) (C) (D)II90) 第卷(非选择题，共分二、填空题:本大题共4小题,每小题4分，共16分.13. 已知集合，则=_______14. 已知扇形AOB(为圆心角)的面积为，半径为2,则的面积为_______ 15. 已知为抛物线上的动点,点N的坐标为，则的、最小值为_______. 16.对于具有相同定义域D的函数和，，若对任意的，都有，则称和在D上是“密切函数”.给出定义域均为的四组函数如下:????其中,函数印在D上为“密切函数”的是_______.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟17.(本题满分12分)已知向量,函数—且最小正周斯为,(1) 求函数，的最犬值,并写出相应的x的取值集合;(2)在中角A,BC所对的边分别为a，b，c且，求b的值. ，18(本题满分12分)已知函数的反函数为,且(1)求a的值;(2)若，是数列的前n项和,若不等式对任意恒成立,求实数的最大值.19.(本题满分12分)已知圆的半径为1,圆心C在直线上，其坐标为整数,圆C 截直线所得的弦长为(1) 求圆C的标准方程;(2)设动点P在直线上，过点P作圆的两条切线PA,PB切点分别为A,B,求四边形PACB面积的最小值.20. (本题满分12分)已知数列的前n项和，数列满足b=1, 1(1) 求数列的通项公式;(2) 设，求数列的前n项和12分)已知函数,a,b为常数, 21. (本题满分(1) 若曲线%在点(2, 0)处有相同的切线，求a,b的值;(2) 当且时，函数在上有最小值，求实数a的取值范围.22. (本题满分14分>已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为FlF,离心率,A为右顶点,K为右准线与x轴的交点，且. v2(1) 求椭圆的标准方程(2)设椭圆的上顶点为B,问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C,D两点，且椭圆的左焦点F恰为的垂心?若存在,1求出l的方程;若不存在,请说明理由.细节决定成败,态度决定命运,勤奋改变未来,智慧缔造神话。
绵阳市高2012级第二次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分( BCDAD ACCAB BC二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分(313({x|-1?x<0} 14( 15(2 16(??三、解答题:本大题共6小题，共74分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(17(解:(?)?m=，n=， (cos,x，sin,x)(cos,x，23cos,,sin,x)22??m?=， cos,x，sin,x,122m?n= cos,x，23sin,xcos,x,sin,x,cos2,x，3sin2,x13 ,2(cos2,x，sin2,x)22,， ,2sin(2x，),6,? (……………………………………………………4分 f(x),2sin(2x，)，1,6 ,2由，解得ω=1( T,,,2,,? ( f(x),2sin(2x，)，16,,,?此时(k?Z)，即(k?Z)， 2x，,，2k,x,，k,626,即当x?{x|，k?Z}时，f (x)有最大值3(…………………………7分 x,，k,6 (?)? f (B)=2，1,,? 由(1)知，即( sin(2，),2sin(2B，)，1,2B6265,,,于是，解得( ……………………………………………10分 2B，,B,663 131由，即 a，3，,63，解得a=8， S,acsinB,63,ABC2221222由余弦定理得 b=a+c-2accosB=49， ,64，9,2，8，3，2?b=7( ………………………………………………………………………12分x18(解:(?)令，则， x,log(y，1)y,3,1,,131,? ( f(x),log(x，1)，x,,13,1?，即， log18,a，2f(17),a，23解得( ………………………………………………………………6分 a,log23 1,(?)?， f(a,1),lognn3? ，即( loga,logna,n3n3nn(n，1)n则数列{a}的前项和， S,nn2nn,要使?0对任意N*恒成立， ,a,2,Snn n,1n,即使λ?对任意N*恒成立( 2,(n，1)n,1又数列为单调递增数列， b,2,(n，1)nbb,2 的最小值为，？n1λ?2，即λ的最大值为2( ………………………………………………12分？19(解:(?)设圆心C的坐标为(2a，3a)，a?Z，则由题意可知:|2a,9a，9|1522， ()，(),12251，3解得 a=1( 22?所求圆C的标准方程为:(x-2)+(y-3)=1( ……………………………4分(?)因CA?PA，CB?PB，|PA|=|PB|，|AC|=1，2故S=2S=|AC|?|PA|=|PA|=( |PC|,1四边形?PACBPAC显然当PC?l时，|PC|取得最小值， 0|2,3,2|32,? |PC|=( min22914PA,,,此时||1( min2214即四边形PACB面积的最小值为( ……………………………………12分 2 220(解:(?)由， S,n，4nnn,1当时，; a,S,51122当n?2时，( a,S,S,n，4n,(n,1),4(n,1),2n，3nnn,1当N*时，a=2n+3( ……………………………………………………3分 n,？nb，1n，1又，即，可得， ,2b,2b，1，b,1b，1,2(b，1)n，1n1n，1n，1bn数列{b+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，？nn,1nn( …………………………………………6分 b，1,2，2,2，即b,2,1？nnn(?)由(1)得( c,n,2n123n， T,1，2，2，2，3，2，？，n,2n23nn，1， 2T,1，2，2，2，？，(n,1),2，n,2n23nn，1由， T,2T,2，2，2，？，2,n,2nnn2(1,2)n，1n，1n，1得， ,T,,n,2,2,2,n,2n1,2n，1? ( ……………………………………………………12分 T,(n,1),2，2n ,21(解:(?)由， g(x),,4x，4k,,4，2，4,,4? 切线的斜率(2,又， f(x),3x,4ax，b2k,3，2,4a，2，b,12,8a，b所以切线斜率(,4,12,8a，b由题意知，8a,b,16即( ?0,4,4a，b(2，0)f(x)又点在的图象上，即( ?a,3，b,8由??解得(……………………………………………………5分32232(?)由题意知， h(x),x,2ax，(4a,3)x,2x，4x,x,(2a，2)x，(4a，1)x 2,由， h(x),3x,2(2a，2)x，4a，1,[3x,(4a，1)](x,1)4a，11,得h(x),0的根为( x,,x,1(a,)12324a，1,x,1当h(x),0时，x,或， 3细节决定成败,态度决定命运,勤奋改变未来,智慧缔造神话。
第 5 页共 7页4a，1,当时，， h(x),0,x,13?在x,1处取得极小值为(……………………………………8分 h(x)h(1),2a 32由，即， h(x),2ax,(2a，2)x，(4a，1)x,2a322可得， x,2ax,2x，4ax，x,2a,0322222即， x,2x，x,2a(x,1),x(x,1),2a(x,1),(x,1)(x,2a),0x,2a? x=1或使得( ……………………………………………10分 h(x),2a 2要使在上有最小值， h(x)(a,1，3,a)2a,a,1，,,22a,3,a，,2则，即 2a,a,1,1,3,a,2a,1,3,a，,2,1,3,a，,解得?-1(……………………………………………………………12分 ,2,a 22(解:(?)设焦点坐标为F(-c，0)，F(c，0)， 122由，得( ? a,2ce,222aa由题知 A(a，0)，K(，0)，? =(c-a，0)，=(-a，0)， AKAF2cc2a由得 ? (c,a),(,a),4,32AF,AK,4,322c222由?、?解得a,2，c=1，从而b=a-c=1，即b=1(2x2，y,1? 椭圆方程为(……………………………………………………5分 2 (?)假设存在直线l满足题意，B(0，1)，F(-1，0)， 1k,1于是直线FB的斜率为( 1FB122由于BF?CD，令l:y=-x+m，代入x+2y=2整理，得 1223x-4mx+2m-2=0(,2,,,8(3,m),0，,m4,x，x,，令C(x，y)，D(x，y)，则 ,1122123,2,m2,2xx,.,123,又=(x+1，y)?(x，y-1) FC,BD11221=xx+x+yy-y 122121=xx+x+(m-x)(m-x)-(m-x) 1221212=2xx+m-m(x+x)-m+(x+x) 1212122=2xx +(1-m)(x+x) +m-m， 121222m,24m22,，(1,m),，m,m,0由，代入x+x，xx得，FC,BD,012121332整理得3m+m-4=0，4解得m=1或( ……………………………………………………………11分 ,3 当m=1时，直线l恰过B点，于是B、C、D不构成三角形，故m=1舍去( 42当的，满足Δ=8(3-m)>0( m,,34故所求的直线l为:，即3x+3y+4=0(…………………………14分 y,,x,3 细节决定成败,态度决定命运,勤奋改变未来,智慧缔造神话。