分式的乘除法

5．2 分式的乘除法

1．经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力；(重点)

2．熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．(难点)

一、情境导入 观察下列运算：

23×45＝2×43×5，57×29＝5×27×9

， 23÷45＝23×54＝2×53×4，57÷29＝57×92＝5×97×2. 以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？ 今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．

二、合作探究 探究点一：分式的乘法

【类型一】 利用分式的乘法法则和除法法则进行计算

计算下列各式： (1)3xy 24z 2·(－8z 2

y

)； (2)－3xy ÷2y 2

3x

.

解析：(1)直接利用分式的乘法运算法则，先找出公因式，然后进行约分；(2)变为乘法，再直接利用分式的乘法运算法则求出即可．

解：(1)3xy 24z 2·(－8z 2

y )＝－6xy ；

(2)－3xy ÷2y 23x ＝－9x 2

2y

.

方法总结：分子和分母都是单项式的分

式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题

【类型二】 根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围

若式子x ＋1x ＋2÷x ＋3

x ＋4

有意义，则x 的

取值范围是( )

A ．x ≠－2，x ≠－4

B ．x ≠－2

C ．x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4

D ．x ≠－2，x ≠－3

解析：∵x ＋3

x ＋4

≠0，x ＋2≠0，∴x ＋3≠0

且x ＋4≠0，解得x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4，故选C.

方法总结：在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型三】 分式的乘除法的应用 老王家种植两块正方形土地，边

长分别为a 米和b 米(a ≠b )，老李家种植一块长方形土地，长为2a 米，宽为b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？

解析：不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a 2＋b 2)平方米，老李家种植的总面积为2ab 平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可．

解：设花生的总产量是1，1a 2＋b 2÷

1

2ab

＝2ab

a 2＋b

2(倍)． 答：老王家种植的花生单位面积产量是

老李家种植的单位面积产量的2ab

a 2＋

b 2倍．

方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

【类型四】 分式乘除法的混合运算

计算：a －1a ＋2·a 2－4a 2－2a ＋1÷1

a 2－1

.

解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．

解：原式＝a －1a ＋2·（a ＋2）（a －2）

（a －1）2·

（a ＋1）（a －1）

1

＝(a －2)(a ＋1)＝a 2－a －

2.

方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

探究点二：分式的乘方 【类型一】 分式的乘方运算

下列运算结果不正确的是( ) A ．(8a 2bx 26ab 2x )2＝(4ax 3b )2＝16a 2x 2

9b 2

B ．[－(x 32y )2]3＝－(x 32y )6＝－x 18

64y 6

C ．[y －x （x －y ）2

]3＝(1y －x )3＝1

（y －x ）3 D ．(－x n y 2n )n ＝x 2n

y

3n

解析：A 、B 、C 计算都正确；D 中(－x n y 2n )n ＝(－1)n xn 2

y 2n 2，原题计算错误．故选D. 方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

【类型二】 分式的乘除、乘方混合运算

计算：

(1)(－x 2y )2·(－y 2x )3·(－1x )4；

(2)

（2－x ）（4－x ）

x 2－16

÷

(x －24－3x )2·x 2＋2x －8（x －3）（3x －4）

.

解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简．

解：(1)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·1x 4＝－y 4

x 3；

(2)原式

＝（x －2）（x －4）（x ＋4）（x －4）·

（3x －4）2

（x －2）2·

（x －2）（x ＋4）（x －3）（3x －4）＝3x －4

x －3

.

方法总结：进行分式的乘除、乘方混合

运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

【类型三】 分式乘方的应用

通常购买同一品种的西瓜时，西

瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d ，已知球

的体积公式为V ＝4

3

πR 3(其中R 为球的半径)，

求：

(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？

(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？ (3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算？ 解析：(1)根据体积公式求出即可；(2)根据(1)中的结果得出即可；(3)求出两体积的比即可．

解：(1)西瓜瓤的体积是4

3

π(R －d )3，整

个西瓜的体积是4

3

πR 3；

(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是

4

3π（R －d ）343

πR 3＝（R －d ）3

R 3

；

(3)由(2)知，西瓜瓤与整个西瓜的体积比是（R －d ）3

R 3

11，故买大西瓜比买小西瓜

合算．

方法总结：本题能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比是解此题的关键．

【类型四】 分式的化简求值

化简求值：(2xy 2x ＋y

)3

÷

(xy 3x 2－y 2)2·[12（x －y ）]2，其中x ＝－12，y ＝23.

解析：按分式混合运算的顺序化简，再

代入数值计算即可．

解：原式＝

8x 3y 6（x ＋y ）3·（x ＋y ）2（x －y ）2

x 2y 6

·14（x －y ）2

＝2x x ＋y .将x ＝－12，y ＝23代入得原式＝－6.

方法总结：先算乘方再算乘除，将原式

化为最简形式是解决此类问题的常用方法．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课

后巩固提升”第8题

三、板书设计

1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除．