大学物理教程 第十三章 波动
大学物理--波动
o
u
x0
x
24
(2) 在同一坐标图中，画出 t = 0 和 t = 5T/4 时的波形图
t x y( x , t ) A cos( 2 ( ) ) T 2
t0
y( x ,0 ) A cos(
2x
5T t 4
y
5T 2x y( x , ) A cos( 3 ) 4
(2) x 任意 t 给定时
t t1
2x
y A cos( t1 0
1 t1 0
t 1 时刻的波形曲线（照片）
13
) A cos( 1
2x
)
(3) x , t 都变化时
x y A cos( ( t ) 0 ) u x ut A cos( ( t t ) 0 ) u
波线：
波面： 波前：
沿波的传播方向所画的带箭头的线 媒质中振动位相相同的各点组成的面 最前面的波面(或叫波阵面、等相面)
均匀、各向同性媒质中波线与波阵面垂直 波阵面 波线 球面波 平面波 波阵面（等相面）
波 线
7
二、描述波动的物理量：
波长
在同一波线上相邻位相相同的点间的距离、 或相邻两个波峰间的距离、或相邻两个波谷 间的距离 与波源和媒质都有关 波前前进一个波长所需的时间 决定于波源，与媒质无关 单位时间内波线上某点传出的完整波的数目 决定于波源，与媒质无关 单位时间内、某一振动状态传播的距离
x 0.1 0.4m u t 0.05 2 m / s 2 0.4 10 T 0.2 s
u 2
T
26
(3)求： 0.5m 处的质点比原点落后相位？
大学物理,波动
2 y t 2
u2
2 y x 2
对于t 和x 都是线形的，若：y1 和y2是该方程的解，则y1 +y2也是方程的解。
因此，波的叠加原理与方程的线性密切相关。
25
二、波的干涉
１.波的干涉 两束叠加的波在交迭区域某些点处振幅始终最大，另一些位置振幅始
终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变.称这种稳定的
x dE dV A sin t u
2 2 2
（3）
由（3）式可知：某体元的总能为空间和时间的函数。 注意：波动过程中体元势能是由于体元的形变而为体元所有。
13
4. 能量密度 单位体积媒质所有的能量, 用ε 表示，由（3）式知：
x A sin t dV u dE
x 1 cos 2 t dt u
（4）
14
二、平均能流密度、波的强度
媒质中体元的能量由振动状态决定，而振动状态又以波
动传播，所以能量也以波速传播。现取波面上一面元 ds ， 则在一周期内体积为uTds的柱体内的能量均得流过该面元， 流过的能量为： uTds ，则：单位时间通过单位面积的能量：
2
y
A
x
又因为横波： u横
N
，所以有：
x dE p dV A sin t 2 u 1
2 2 2
（2’）
12
(1)和(2’ )式比较，得： dE p dE k 。
即：体元的动能和势能具有相同的数值，同时达最大或最小。 3. 总能 由前面讨论，某体元的总能等于两者之和，即：
四、 平面简谐波方程的多种形式：
y A cos t kx x y A cos[2 t ] x y A cos[2 t ] u
2024年大学物理波动课件
大学物理波动课件引言波动是物理学中的一个重要概念，涉及到的领域广泛，包括声波、电磁波、机械波等。
本文旨在介绍大学物理中波动的基本概念、波动方程、波动特性以及波动在各个领域的应用，以帮助读者更好地理解和掌握波动知识。
一、波动的基本概念1.1波的定义波是一种能量传递的方式，它是由振源产生的振动在介质中传播的过程。
波可以分为两大类：机械波和电磁波。
机械波需要介质来传播，如声波和水波；而电磁波不需要介质，可以在真空中传播，如光波和无线电波。
1.2波的参数波的参数包括波长、波速、频率和振幅。
波长是相邻两个波峰（或波谷）之间的距离，通常用λ表示；波速是波在介质中传播的速度，通常用v表示；频率是单位时间内通过某一点的完整波的个数，通常用f表示；振幅是波的振动幅度，即波的最大偏离度。
二、波动方程2.1机械波方程机械波的波动方程可以表示为：y=Asin(2πft2πx/λ+φ)其中，y表示介质中某一点的位移，A表示振幅，f表示频率，λ表示波长，x表示该点距离振源的距离，φ表示初相位。
2.2电磁波方程电磁波的波动方程可以表示为：E=E0sin(2πft2πx/λ+φ)其中，E表示电场强度，E0表示振幅，其他参数与机械波方程相同。
三、波动特性3.1干涉干涉是指两个或多个波相遇时，它们的振动叠加产生的现象。
当两个波峰相遇时，振动加强；当波峰与波谷相遇时，振动减弱。
干涉现象广泛应用于光学、声学等领域。
3.2衍射衍射是指波传播过程中遇到障碍物或通过狭缝时，波的传播方向发生改变的现象。
衍射现象广泛应用于光学、声学等领域，如光栅、声呐等。
3.3折射折射是指波从一种介质传播到另一种介质时，波的传播方向发生改变的现象。
折射现象广泛应用于光学领域，如透镜、棱镜等。
3.4反射反射是指波遇到界面时，部分能量返回原介质的现象。
反射现象广泛应用于光学、声学等领域，如镜子、回声等。
四、波动应用4.1声学领域波动在声学领域有着广泛的应用，如声音的产生、传播、接收和利用。
机械波 波动方程
v u
λ
x1 x2 X
∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 = ω( t2 − t1 ) =
∆t
T
2π
T是波在时间上的 是波在时间上的 周期性的标志
3.如x,t 均变化 如 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形 包含了不同时刻的波形
v t时刻的波形方程 时刻的波形方程 u t t +∆t y x y( x ) = Acos[ω( t − ) +ϕ0 ] u O t+∆t时刻的波形方程 时刻的波形方程 x x ∆x x y( x ) = Acos[ω( t + ∆t − ) +ϕ0 ] u t时刻 处的某个振动状态经过∆t ，传播了∆x的距离 时刻,x处的某个振动状态经过 时刻 的距离
大学物理学电子教案
机械波、 第十三章 机械波、波动方程 1313-1 机械波的基本概念 1313-2 平面简谐波的波动方程
作业： 作业：习题册 17-24
波动是振动的传播过程. 波动是振动的传播过程. 振动是激发波动的波源. 振动是激发波动的波源. 波动 机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间的传播. 变电磁场在空间的传播.
B
ρ
B为介质的容变弹性模量 为介质的容变弹性模量 ρ为密度
2、波的周期和频率 、波的周期和频率 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间， 表示。 的时间，用T表示。 表示 波的频率： 波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目， 表示。 的数目，用ν表示。 3、波长λ 、
ν
空气中的波长
340 m ⋅ s −1 = 1 .7 m λ1 = = ν1 200 Hz u1
大学物理波动教案
课时：2课时教学目标：1. 理解波动的基本概念和特性，包括机械波和电磁波。
2. 掌握波动的基本参数，如波长、频率、波速等。
3. 理解波的叠加原理、干涉和衍射现象。
4. 学习波动光学中的基本原理，如干涉、衍射和偏振。
5. 通过实验和理论分析，培养学生解决实际问题的能力。
教学重点：1. 波动的基本概念和特性。
2. 波的叠加原理、干涉和衍射现象。
3. 波动光学中的干涉和衍射原理。
教学难点：1. 波的叠加原理和干涉现象的解析。
2. 波动光学中干涉和衍射的定量分析。
教学内容：第一课时：一、导入1. 引导学生回顾初中物理中学过的波动现象，如水波、声波等。
2. 提出问题：波动是如何产生的？波动有哪些特性？二、新课讲解1. 波动的基本概念和特性：- 波动：振动或扰动在空间以一定的速度传播。
- 机械波：机械振动或扰动在介质中的传播。
- 电磁波：变化电场和变化磁场在空间的传播。
- 波的传播速度：与介质的性质有关。
- 波的频率：波源振动的频率。
- 波长：同一波线上两个相邻、相位差为2的质点之间的距离。
- 波的叠加原理：两列波相遇时，它们的振动可以叠加。
2. 波的干涉现象：- 相干波：频率相同、相位差恒定的波。
- 干涉现象：两列相干波相遇时，它们的振动可以叠加，产生加强或减弱的现象。
- 干涉条纹：干涉现象在空间分布的图样。
3. 波的衍射现象：- 衍射现象：波遇到障碍物或通过狭缝时，波前发生弯曲的现象。
- 衍射条纹：衍射现象在空间分布的图样。
三、课堂小结1. 总结波动的基本概念和特性。
2. 总结波的干涉和衍射现象。
第二课时：一、导入1. 复习第一课时所学内容。
2. 提出问题：如何解释波动光学中的干涉和衍射现象？二、新课讲解1. 波动光学中的干涉现象：- 杨氏双缝干涉实验：解释干涉条纹的形成原理。
- 劳埃德镜实验：解释半波损失现象。
- 菲涅耳双镜实验：解释光程差和干涉条纹的形成。
2. 波动光学中的衍射现象：- 单缝衍射：解释衍射条纹的形成原理。
《大学物理波动》PPT课件
01波动基本概念与分类Chapter波动定义及特点波动定义波动特点机械波电磁波物质波030201波动分类与举例波动方程简介一维波动方程三维波动方程波动方程的解02机械波Chapter机械波形成条件与传播方式形成条件振源、介质、振动方向与波传播方向关系传播方式横波（振动方向与波传播方向垂直）与纵波（振动方向与波传播方向平行）波前与波线波前为等相位面，波线为波的传播方向01020304机械波传播过程中，介质质点不断重复着振源的振动形式周期性振源振动的最大位移，反映波的能量大小振幅相邻两个波峰或波谷之间的距离，反映波的空间周期性波长单位时间内波传播的距离，与介质性质有关波速机械波性质与参数描述平面简谐波及其表达式平面简谐波波动方程波动方程的解03电磁波Chapter电磁波产生原理与传播特性电磁波产生原理电磁波传播特性电磁波谱及其应用电磁波谱电磁波应用电磁波在介质中传播规律折射定律反射定律透射定律衰减规律04光学波动现象Chapter干涉现象及其条件分析干涉现象的定义和分类01干涉条件的分析02干涉现象的应用03衍射现象及其规律探讨衍射现象的定义和分类衍射规律的分析衍射现象的应用偏振现象的定义和分类偏振是光波中电场矢量的振动方向相对于传播方向的不对称性。
根据光波中电场矢量的振动方向不同，偏振可分为线偏振、圆偏振和椭圆偏振等。
要点一要点二偏振规律的分析偏振现象遵循一定的规律，如马吕斯定律、布儒斯特定律等。
这些规律揭示了偏振光在传播过程中的特点和变化规律。
偏振现象的应用偏振现象在光学、光电子学等领域有着广泛的应用。
例如，利用偏振片可以实现光的起偏和检偏；利用偏振光的干涉和衍射可以制作各种光学器件和测量仪器；同时，偏振也是液晶显示等现代显示技术的基本原理之一。
要点三偏振现象及其应用研究05量子力学中波动概念引入Chapter德布罗意波长与粒子性关系德布罗意波长定义01粒子性与波动性关系02实验验证03测不准原理对波动概念影响测不准原理内容对波动概念的影响波动性与测不准原理关系量子力学中波动方程简介薛定谔方程波动函数的物理意义波动方程的解与粒子性质06波动在科学技术领域应用Chapter超声技术声音传播利用高频声波进行无损检测、医学诊断和治疗等。
大学物理《波动》课件
t 1.0s
波形方程
y 1.0 cos( π - π x) 2
1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
第二节 波动学基础
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t - x ) - π] 2.0s 2.0m 2
x 0.5m 处质点的振动方程
y (1.0m)cos(π t - π)
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
第二节 波动学基础
讨 论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向
和 x 0 点的初相位.
y -Acos2π ( t - x )
-
x)
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第二节 波动学基础
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
求 O、a、b、c 各
点振动初相位.
(-π ~ π )
t =0 A y
Oa
-A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
-π 2
§8.5 波的干涉与衍射
波程差 r2 - r1
k k 0,1,2,
A A1 A2 振动始终加强
3 ) (k 1 2) k 0,1,2,
大学物理下：13-13波动3
点振幅不同,合振幅最大值发生在
2π cos x 1
波腹
的点,因此波腹的位置
2π x kπ
x k
2
k 0,1,2,3,
合振幅最小值发生在
cos 2π x 0
波节
因此波节的位置 2π x (2k 1) π
x
(2k
1)
2
k 0,1,2,3,
P
15 m
设M的相位较N超前,则
M0 N0 π
N
则P点的相位差应为
M
20 m
N0
M0
2π
NP
MP
π 2π 25 15 201π
0.1
A A12 A22 2A1A2 cos 2A2 2A2 cos(π) 0
P点因干涉而静止.
例 两相干波源S1和S2的间距为d = 30 m，均在x轴上，
波的干涉模拟演示图
干涉现象是波动形式所独具的重要特征
干涉现象: 某些点振动始终加强. 另一些点振动始终减弱, 形成稳定的分布.
相干波 相干波源 获得相干波源的方法
这两列波叠加后的图像稳定, 不随时间而变化.
干涉现象是两列波叠加的特殊现象— 相干叠加
关于干涉加强、减弱条件的讨论: 重点
1
A1
cos (t
§15-3 惠更斯原理 波的衍射
15-3-1 惠更斯原理
穿过小孔的波与原耒波的形 状无关,这说明小孔可以看 成是一个新的波源. 惠更斯原理:在波的传播过程 中,波阵面(波前)上的每一点都 可看作是发射子波的波源,在 其后的任一时刻,这些子波的 包迹就成为新的波阵面.
15-3-2 波的衍射
用惠更斯原理确定下 一时刻球面波的波前
大学物理波动课件
y 0.2cos( t ) 2
y 传播方向 用旋转矢量图法确定
A
t=0s
o
X
旋转矢量图法 t=0时，y=0，v>0
y
0.2 cos(
t
)
22
y
y 0.2cos( t 2 x)(m)
22
A
o
y
2
传播方向
X
2)P点 的振动方程
]
波沿x轴负向传播：
y
A cos[ (t
x u
)
0
]
Acos[2 ( t
T
x
l
)
0
]
三、描述波动的方法
1、数学表示法：（波动方程）★
2、几何表示法：波线、波面、波前 3、图线表示法：y～t 、 y～x
四、波的能量
设有一行波： y A cos[ ( t x )]
u
质元的速度：v dy A sin[ ( t x )]
波动 一、描述波动的物理量
1、周期和频率（由振源决定，与介质无关）
2、波长
3、波速
l
4、波速u与l、T的关系：u T
二、平面简谐波波动方程
振源(或参考点) ： y Acos(t 0 )
以振源(或参考点)为原点，
波沿x轴正向传播：
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
Acos[2 ( t
T
x
l
)
0
2
4
yO
A cos(t
4
)
o
y
y Acos(t 2 x)
4l
y(m)
y Acos(500t x )(SI)
物理第十三章总结
物理第十三章总结物理第十三章是关于机械波的内容。
机械波是一种能量的传递方式，通过物质的振动来传播的波动现象。
这一章主要介绍了机械波的特征、传播规律以及与波相关的一些概念和现象。
本章的内容大致可以分为以下几个部分：第一部分是波的基本概念。
首先介绍了波的定义和波的种类，包括机械波和电磁波等。
然后介绍了波的特性，如波的传播介质、波的传播方向、波的传播速度等。
最后介绍了波的干涉和衍射现象，以及波的能量传递和波的超前现象。
第二部分是波的传播规律。
介绍了波的波动方程和波速的计算方法，以及波的传播过程和波的叠加原理。
还介绍了波的反射、折射和透射规律，包括波的入射角和折射角之间的关系等。
第三部分是波动力学。
介绍了波的能量和能量传递的计算方法，以及波的强度和功率的定义和计算方法。
还介绍了波的频率和波长的关系，以及波的相速度和群速度的定义和计算方法。
第四部分是声波和光波。
首先介绍了声波的特性和传播规律，包括声波的频率和音调的关系、声波的传播速度和反射规律等。
然后介绍了光波的特性和传播规律，包括光的频率和颜色的关系、光的传播速度和折射规律等。
最后一部分是波的应用。
介绍了波的应用领域和一些具体应用，如声音的传播和频率的测量、光的传播和折射的应用等。
还介绍了一些在波动现象研究中使用的实验方法和测量技术，如干涉仪、衍射仪和光栅等。
通过学习本章的内容，我们可以了解到机械波的一些基本概念和特性，以及波的传播规律和波动力学的一些基本原理。
这对于我们进一步研究和应用波动现象具有重要的意义。
同时，本章的内容也为我们理解和解释一些与波有关的实验现象和现实生活中的一些现象提供了基础和依据。
总的来说，物理第十三章是关于机械波的内容，主要介绍了机械波的特征、传播规律以及与波相关的一些概念和现象。
通过学习本章的内容，我们可以深入了解和理解波动现象的基本原理和应用。
这对于我们进一步研究和应用波动现象具有重要的意义。
大学物理——波动
⼤学物理——波动If you only do what you can do you’ll never be more than you are now.如果你只做你⼒所能及的事，你就没法进步。
⼤学物理 —— 波动留⽩⽬录1. 波动波动： 简称为波，振动或扰动在空间以⼀定的速度传播。
机械波： 机械振动或扰动在介质中的传播。
如声波、⽔波等。
电磁波： 变化电场和变化磁场在空间的传播。
如⽆线电波、光波等。
波动是振动状态的传播，不是介质的传播。
（机械波只能在介质中传播，电磁波不需要）简谐波： 简谐振动在空间的传播。
波的叠加性： ⼲涉和衍射。
2. 机械波的⼏个概念机械波产⽣的条件： 波源和弹性介质。
机械波的分类：横波： 质点振动⽅向与波的传播⽅向向垂直的波。
仅在固体中传播特征： 具有交替出现的波峰和波⾕。
横波： 质点振动⽅向与波的传播⽅向互相平⾏的波。
可以在固液⽓中传播特征：具有交替出现的密部和疏部。
图源知乎波线： 沿波传播的⽅向画⼀些带箭头的线。
波⾯： 波源在某⼀时刻的振动相位同时到达的各点所组成的⾯，也称同相⾯。
波前： 最前⾯的波⾯。
平⾯波和球⾯波在各向同性均匀介质中，波线和波⾯垂直。
相关物理量：波长： 同⼀波线上两个相邻、相位差为 2π 的质点之间的距离。
周期： 波前进⼀个波长的距离所需要的时间。
频率： 周期的倒数，单位时间内波所传播的完整波的数⽬。
波速： 单位时间振动传播的距离，级振动相位的传播速度。
1. 波的周期和频率和介质的性质⽆关，⼀般与波源的振动周期和频率相同。
2. 波速是相位传播的速度，也称相速度，⼤⼩取决于介质的性质，与波的频率⽆关。
3. 波长与波源和介质都有关，同⼀频率的波，在不同介质中传播时波长⼀般不同。
3. 平⾯简谐波平⾯波： 波阵⾯为平⾯的波，波源在⽆限远出。
时间上的⽅程：相位上的⽅程：4. 波的能量4.1 物质的弹性应⼒ ： 每单位⾯积的回复⼒线应变：物体长度的相对变化量应⼒与线应变成正⽐杨⽒模量：上式中的⽐例系数E。
大学物理波动课件(2024)
电磁波能量传递与衰减
能量传递
电磁波传递能量时，其能量与振幅的平方成正比。在传播过程中，电磁波的能量可以转化为其他形式的能量，如 热能、机械能等。
衰减
电磁波在传播过程中会受到各种因素的影响而逐渐减弱，如空气的吸收、物体的反射和折射等。衰减的程度取决 于电磁波的频率、传播介质和距离等因素。为了减小衰减，可以采取一些措施，如使用高增益天线、选择合适的 传播介质等。
2024/1/28
12
电磁波谱及应用领域
2024/1/28
电磁波谱
按照频率从低到高，电磁波谱包括无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、 X射线和伽马射线等。
应用领域
电磁波在通信、广播、电视、雷达、遥感、医疗、科学研究等领域有广泛应用。 例如，无线电波用于移动通信和广播，微波用于卫星通信和微波炉，红外线用于 遥控和夜视仪，可见光用于照明和显示，紫外线用于消毒和防伪等。
机械波可以用波动方程来描述，波动 方程反映了波的振幅、频率、波长等 参数与传播距离和时间的关系。
9
机械波能量传递与衰减
能量传递
机械波在传播过程中，介质中的质点通过振动将能量传递给相邻的质点，从而实现能量的传递 。波的振幅越大，传递的能量越多。
衰减
机械波在传播过程中，由于介质的吸收、散射等原因，波的振幅会逐渐减小，这种现象称为波 的衰减。衰减程度与介质的性质、波的频率等因素有关。
2024/1/28
8
机械波参数与描述方法
波长
波长是指相邻两个同相位点之间的距 离，用λ表示。波长反映了波的空间
周期性。
波速
波速是指波在介质中传播的速度，用 v表示。波速与波长和频率的关系为
v=λf。
2024/1/28
大学物理课件-波动
平面波、柱面波與球面波
平面波的波陣面為平面，對應波函數：
u(x,t) Acost kx 0
柱面波的波陣面為柱面，對應波函數：
u(x,t)
a r
cost
kr
0
，
r
x2 y2
球面波的波陣面為球面，對應波函數：
u(
x,
t)
b r
cost
kr
0
，
r
x2 y2 z2
平面波、柱面波與球面波
一維波動方程及其通解
問：一靜止觀察者在機車前和機車後所聽到的聲音頻率 各為多少？已知空氣中聲波的速率為340m/s。
解：
v
340
f前
v vs
f
500 531Hz
340 20
f后
v
v vs
f
340 500 472Hz 340 20
例：雷達測速儀
波源靜止，接收器運動(vs=0) 對汽車而言，頻率變為：
F (x) E u S , F (x) G u S
x x
x x
均勻彈性棒中縱波和橫波的波動方程
F
F+dF
O
x
x+dx x
根據楊氏/剪切模量的定義，在x+dx處的拉伸/剪切
應力應當為：
u
F(x) E S ,
質元所受合力
x xdx
u F(x) G S
x xdx
F(x
dx)
F ( x)
E
u x
S
將其改寫為：
u(x,t) A(x) cost
A(
x)
2
A0
c
osk
x
各質點都在作同 頻率的簡諧運動
大学物理中的波动现象
大学物理中的波动现象波动现象是大学物理中一个重要而又复杂的主题，它涵盖了光、声、电磁波等多个领域。
本文将介绍波动现象的基本概念、性质、传播方式以及相关应用。
通过深入分析波动现象的各个方面，我们可以更好地理解这个引人入胜的物理现象。
一、波动现象的基本概念和性质波动现象是指在介质中传播的能量或物质的振动现象。
基于振动的性质，波动可以分为机械波和电磁波两大类。
1. 机械波机械波是由介质的振动引起的能量传播。
根据传播方式的不同，机械波可分为纵波和横波。
纵波是介质粒子振动方向与波的传播方向相同的波动。
典型的例子是声波，声波是由物体振动引起周围介质粒子的纵向扰动，并在介质中传播。
横波是介质粒子振动方向与波的传播方向垂直的波动。
水波就是一种典型的横波，当我们在水面扔入石子时，水波从扔石点向四周传播。
2. 电磁波电磁波是由振荡的电场和磁场相互耦合而形成的能量传播。
电磁波包括无线电波、微波、可见光、紫外线、X射线和γ射线等。
电磁波在空间中传播，并且无需介质作为媒介，可以传播广泛，并带有特定的频率和能量。
这使得电磁波的应用范围非常广泛，从通信到医学诊断都离不开电磁波的应用。
二、波动现象的传播方式波动现象的传播方式与波动的性质密切相关。
我们将着重介绍纵波和横波的传播方式。
1. 纵波的传播方式纵波沿着固体、液体或气体的传播方向传输能量。
在纵波的传播过程中，介质中的粒子沿着与能量传播方向相同的轴向来回振动。
例如，当我们敲击一根金属棍时，声波就会从金属棍的一端传播到另一端。
在这个过程中，金属棍中的分子通过振动将能量传递给相邻的分子，一直传递到棍的另一端。
2. 横波的传播方式横波的传播方式与介质的性质有关。
横波可以在各种介质中传播，如水、绳子以及弹性体等。
当我们在水中引入横波时，水分子不会沿着波的传播方向移动，而是进行横向的振动。
这种振动的形式使得水波成为横波。
三、波动现象的应用波动现象在现实生活和科学研究中有着广泛的应用。
物理波动现象课件
物理波动现象课件一、引言物理波动是指能量或信息在空间中传播的一种现象。
波动现象广泛存在于我们的日常生活和自然界中，而理解并掌握这些波动现象对于我们深入了解物质和能量的特性具有重要意义。
本课件将带领大家深入探索物理波动的基本原理、特征以及应用。
二、波动的基本概念1. 波动的定义波动是指在介质中传播的能量或信息所引起的物理现象。
波动可以是机械波，例如声波和水波，也可以是电磁波，例如光波和无线电波。
2. 波动的基本特征（1）振幅：波动中最大偏离平衡位置的距离。
振幅决定了波动的强弱。
（2）波长：波动中相邻两个相位相同点之间的距离。
波长决定了波动的空间特征。
（3）频率：波动中单位时间内通过某一点的波动次数。
频率与波长之间有一定的关系，即频率=光速/波长。
（4）周期：波动中完成一个完整波动过程所需要的时间。
周期的倒数即为频率。
三、机械波动1. 机械波的传播方式机械波是通过介质的机械振动而传播的波动。
机械波的传播方式包括纵波和横波。
纵波是指介质粒子振动方向与波动传播方向相同的波动，如声波；横波是指介质粒子振动方向与波动传播方向垂直的波动，如水波。
2. 机械波的特性（1）可叠加性：当两个机械波同时通过同一介质时，它们会相互叠加并形成新的波动。
（2）反射：机械波在遇到界面时会发生反射，反射波的方向遵循入射角等于反射角的定律。
（3）折射：机械波从一种介质传播到另一种介质时，由于传播速度的变化，会发生折射现象。
（4）衍射：机械波通过障碍物或孔径时会发生弯曲和扩散的现象，称为衍射。
（5）干涉：当两个机械波相遇时，它们会产生构成干涉图样的干涉现象。
四、电磁波动1. 电磁波的传播方式电磁波是由电磁场交叉振荡而产生的波动。
电磁波的传播方式是横波，其电场和磁场垂直于波动传播方向。
2. 电磁波的特性（1）电磁波谱：电磁波按照波长的不同可以分为多个不同的区域，如射电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和γ射线等。
（2）波粒二象性：根据光的实验观察和结果分析，电磁波既具有波动性又具有粒子性，这是波粒二象性的基本特征。
物理13章知识点总结
物理13章知识点总结波动力学是物理学中一个非常重要的分支，涉及到光、声等波动的产生、传播和相互作用等问题。
本章将主要介绍波动的基本概念、波动方程、波的传播特性、波的干涉和衍射现象等内容。
通过本章的学习，可以加深对波动现象的理解，为进一步学习物理学的相关领域打下良好基础。
一、波动的基本概念波动是物质在空间中传播的过程，是指在介质中传播的能量、动量和相位的周期性波幅。
波动可以分为机械波和电磁波两大类。
1. 机械波机械波是指需要介质来传播的波，包括了声波、水波等。
其传播的基本特点是介质中的微观粒子做振动而传递能量和动量。
2. 电磁波电磁波是指不需要介质也能够传播的波，如光波、无线电波等。
其传播的基本特点是由电场和磁场相互耦合而形成的电磁振荡波。
二、波的基本性质波的基本性质包括了波长、频率、波速等，它们是描述波动现象的重要物理量。
1. 波长波长是指在空间中一个完整波的传播所需要的距离，通常用λ表示。
波长与波速、频率之间有着明确的关系，即λ=v/f。
2. 频率频率是指单位时间内波的周期性震动的次数，通常用f表示。
频率与波长、波速之间的关系是f=v/λ。
3. 波速波速是指波在介质中的传播速度，通常用v表示。
波速与波长、频率之间的关系是v=λf。
三、波动方程波动方程是描述波的传播过程的数学方程，一般可分为一维波动方程和三维波动方程。
1. 一维波动方程一维波动方程的数学表达式为∂^2u/∂t^2=ν^2∂^2u/∂x^2，其中u表示波的位移，t表示时间，x表示空间坐标，ν表示波速。
它描述了在一维介质中波的传播行为。
2. 三维波动方程三维波动方程的数学表达式为∂^2u/∂t^2=ν^2(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2+∂^2u/∂z^2)，其中u表示波的位移，t表示时间，x、y、z表示空间坐标，ν表示波速。
它描述了在三维介质中波的传播行为。
四、波的传播特性波的传播特性主要包括了衍射、干涉和折射等现象，它们是波动现象的重要特征，也是物理学中的重要研究对象。
第十三章 波动
=
x0
v
处质点的振动方程，初相为
(
x0 v
)
y Acos(x0 )
v
O
t
x = x0 处质点的振动曲线
§当 t 一定时 例如 t = t0 ，波函数变为
yAcos(t[0v x)]
即 t = t0 时刻的波形方程
Acost0()
y
v
波传播方向
该时刻 各质点 的位移 曲线
O t = t0 时刻的波形
这就是各波峰的位置坐标
例题13-3 图中实线为一平面余弦波在t = 0时
刻的波形图，此波形以v 的速度沿x 轴正
向传播，试求：（1）a、b的振动方向；（2）O 点
的振动方程；（3）波函数。
解 （1）
运动方向
y/m
v
a
b
Δt 时间后的波形
O -
运动方向
x /m
（2）由图看出波的振幅 A=0.2m，波长l = 0.4m， 已知波速v=0.08 m/s，由基本关系式l= vT 得
介质——绳
波传播方向
纵波 质点振动方向和波的传播方向相同
波传播方向
手移动方向
介质——弹簧
§横波的传播过程 t=0
t=T/4
t=T/2
t=3T/4
t=T t
质点振动方向
波传播方向 传 波 介 质
时刻 t 各质点位 置——波形曲线
§纵波的传播过程 t=0 t=T/4 t=T/2 t=3T/4
波传播方向 传 波 介 质
已知原点 O 点的振动方程为 原点O 的初相
yA co ts() 波的传播就是 振动相位的传播
O 点相位落后P 点的相位的时间为 x v
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第十三章 波动机械波和电磁波是波动的两大类．机械波是机械振动在弹性介质中的传播过程，电磁波是变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程，两者有本质上的不同，但它们都有波动的共性．例如，它们都有一定的传播速度，携带能量，具有反射、折射、衍射等现象，而且这些现象都服从相同的规律．本章主要讨论机械波的现象和规律，并简要介绍电磁波的基本性质．§13－1 机械波的产生和传播一、机械波及其产生的条件什么叫机械波？先从最常见的水面波讲起．当水滴落入静止的水面上，即可以见到在滴水之处，水发生振动，此处水的振动引起附近水面的振动，附近水面的振动又引起更远处水面振动，这样水的振动就从滴水处向外传播．这种振动在水面上的传播形成水面波(图13－1)．一般地说，当弹性介质中某一处发生振动时，此处的振动引起附近介质的振动，附近介质的振动又引起更远处介质的振动，这样振动就在介质中传播开来，这种机械振动在弹性介质中的传播过程称为机械波动或机械波．常见的机械波除上面讲过的水面波以外，还有绳波和声波．如图13－2．绳的一端固定，另一端用手握住并使之上下振动，这一端的振动引起邻近点的振动，邻近点的振动又引起更远的点的振动，这样振动就由此端向他端传播，形成绳波． 又如当音叉振动时，它的振动引起附近空气的振动，附近空气的振动又引起更远处空气的振动，这样振动就在空气中传播，形成声波．从以上波动的例子看出，机械波的产生，第一，要有一个作机械振动的物体，称为波源，例如上述水面波的波源是石落处的水，绳波的波源是绳上振动的一端，声波的波源是音叉、乐器等发声物体，我们说话时发出的声波的波源是声带与其他发声器官；第二，要有传播振动的弹性介质，例如水面波的介质是水，绳波的介质是绳，声波的介质是空气． 应当指出，当波动在介质中传播时，介质中各点仅在它的平衡位置附近作振动，并不沿波的传播方向流动，或随波的传播而前进．木船漂浮在水面上，当水面波经过时，木船仅在它自己的平衡位置附近作椭圆运图13－1 图13－2图13－3动，并不随波浪前进．图13－3中的冲浪运动员之所以能随波前进，是因为在冲浪时，运动员始终努力保持在波浪的前沿，水面给予的倾斜向上的支承力和重力形成了与波的运动方向相同的合力．现在要问：为什么弹性介质中一处发生振动会引起附近介质也发生振动呢？这是机械波的传播机制问题．机械波之所以能够在介质中传播是因为介质具有弹性，当介质中有一点A 离开了它的平衡位置时，介质就发生了形变．由于形变，介质中的其他质点就施一弹性力于质点A ，使A 回复平衡位置，以后它就在平衡位置附近振动，与弹簧振子情形类似．根据牛顿第三定律，质点A 也施反作用力于周围质点，使这些质点离开平衡位置而振动．所以介质中一点的振动会引起邻近质点的振动．邻近质点的振动又会引起更远质点的振动，这样，振动就由近而远地向各个方向传播形成波动．二、横波和纵波从以上波动例子看出，质点的振动方向不一定和波的传播方向相同．如果质点的振动方向和波的传播方向垂直(例如绳波情形)，这种波称为横波，如图13－4所示．如果质点的振动方向和波的传播方向平行(例如声波情形)，这种波称为纵波，如图13－5所示．横波和纵波是自然界存在的最简单的波．三、波的传播速度、波长和周期以及它们之间的关系从图13－4或图13－5可以看出，当波在介质中传播时各质点仅在它们自己的平衡位置附近振动，并不随波前进，仅仅是振动状态(或者说代表振动状态的相位)向前传播．例如质点1于t = 0时的相位是π23(过平衡位置向上或向右运动的状态)，经过T 41时间传到质点4，这时质点4的相位也是π23，经过T 时间后传到质点13，这时质点13的相位也是π23．由此可见，波的传播过程就是振动状态(或相位)的传播过程．在单位时间内振动状态(或相位)传播的距离称为波的传播速度，也称为相速，用v 表示．在波的传播方向上两个相邻的相位相同(相位差为2π)的质点之间的距离称为波长，用λ表示．例如在图13－4或图13－5中，质点1和质点13，或质点4和质点16之间的距离便是一个波长．在横波情形这个距离也等于相邻两个波峰或相邻两个波谷之间的距离，在纵波情形这个距离等于相邻两个稠密区中心或相图13－4 图13－5邻两个稀疏区中心之间的距离．波长即一个完整波形的长度．波前进一个波长的距离所需的时间称为波的周期，从图13－4或图13－5看出，波的周期也等于波源和各质点振动的周期T ．波的周期的倒数称为波的频率，用ν表示，T1=ν．波的频率等于各质点(包括波源)振动的频率，亦等于单位时间内经过波的传播方向上某点的波长的个数．由于波传播一个波长λ的距离所需的时间为波的周期T ，所以单位时间传播的距离为Tλ，即波的传播速度为 Tλ=v （13－1） 或 νλ=v （13－2） 以上二式为波速、波长和波的周期或频率的基本关系．四、关于波动的几个概念下面介绍关于波动的几个概念，便于以后引用．我们已经知道，当波在介质中传播时，介质中各质点仅在它们各自的平衡位置附近作振动，并不随波前进．在某一时刻由振动相位的值相等的各点连成的面称为同相面，在某一时刻由波动传到的各点连成的面称为该时刻的波阵面，或称波前．显然波阵面是最前面那个同相面．波阵面为平面的波称为平面波，波阵面为球面的波称为球面波．波的传播方向称为波射线或波线．在各向同性的均匀介质中波线与波阵面垂直．在均匀无限大的介质中，点波源产生的波是球面波，球心在点波源处．波线是从波源发出的半直线．从远处传来的波可看作是平面波，波线是一束平行直线(图13－6)． 例题13－1 当空气中的声速为v = 320 m/s 时，振动频率为ν = 400 Hz 的音叉产生的声波的波长λ是多少？当音叉完成30次振动时，声波传播了多远？解 波源的频率就是波的频率．由波长、频率和波速之间的基本关系式得m 0.800m 400320===νλv音叉完成一次振动所需时间就是它的周期T ，所以完成30次振动所需时间为 ν13030==T t 在此时间内声波传播的距离为m 24.0m 4003032030=⨯===νv v t s §13－2 机械波的传播速度图13－6什么介质能够传播横波？什么介质能够传播纵波？波的传播速度与哪些因素有关？为了说明这些问题，我们从物质的弹性讲起．一、物质的弹性物体在外力作用下其长度、形状或体积都可能发生改变，这种改变称为形变．如果物体的形变不超过某一限度，外力撤除后物体就会恢复原状，这种形变称为弹性形变．外力撤除后物体就会恢复原状的性质称为弹性．当物体在外力作用下发生弹性形变时，物体内各部分之间出现一种相互作用力，企图抵抗形变，使物体恢复原状．单位面积的恢复力称为应力，与物体内两部分的分界面垂直的应力称为法向应力，与分界面平行的应力称为切向应力，法向应力又分为压应力和张应力．当物体在外力作用下发生弹性形变时，其长度或体积的改变与其原来的长度或体积之比称为应变．最简单的应变有三种，即线应变、体应变、切应变，分别讨论如下： 1．线应变 如图13－7，设有长为l 、截面积为S 的棒状物体，当其两端受到相等而方向相反的拉力(或压力)F 作用时，其长度伸长(或缩短)了Δl ．物体的长度的改变与其原来长度之比称为线应变，即 线应变 = Δl / l 在棒中位置B 处取一横截面，则B 的左右两部分互施以相等而相反的拉力(或压力)，若考虑其中一部分(例如AB 部分)的平衡条件，可以知道，这两部分互施的拉力等于外力F ，这时的应力是法向应力，其值为法向应力 = F / S实验表明法向应力与线应变成正比例，即E ll S F =/Δ/ （13－3） 其中E 为比例系数，称为弹性模量，也称杨氏模量．2．体应变如图13－8，设有体积为V 的立方体，当其各面受到相等压力(或拉力)F 作用时，其体积缩小(或增大)了ΔV ，但其形状不变，物体体积的改变与其原来体积之比称为体应变，即体应变 = ΔV / V设S 为立方体的一个截面的面积，显然这个截面所分隔开的两部分互施的压力(或拉力)亦等于外力F ，这时应力是法向应力，其值为法向应力 = F / S实验表明，法向应力与体应变成正比例，即K VV S F =/Δ/ （13－4） 其中K 为比例系数，称为体积模量．3．切应变如图13－9，长方体的上下底面受到相等而方向相反的切向力F 作用时，长方体变为斜方体，但其体积不变．这种只改变形状不改变体积的形变称为切变．当 图13－7长方体中矩形ABCD 变为平行四边形 ABC'D' 时，每一平行于AD 的直线都转过了一角度φ，上底面相对于下底面的位移为DD' = Δx ，上下底面的相对位移与它们之间的距离之比称为切应变，即切应变 =ADx Δ= tan φ ≈ φ 在长方体内部任取一与上下底面平行的平面，则平面上下两部分互施以相等而方向相反的切向力，其大小等于外力F ，这时应力为切向应力，其值为切向应力 = F / S实验表明，切向应力与切应变成比例，即G SF =ϕ/ （13－5）其中G 为比例系数，称为切变模量．如上所述，应力是物体发生形变时出现于物体内各部分之间企图抵抗应变使物体恢复原状的力，切向应力是抵抗切应变使物体恢复原来形状的力．当液体或气体的形状改变时，它没有恢复原来形状的倾向，也就是没有抵抗切应变的力，所以液体或气体不能产生切向应力．物体弹性形变的势能 以棒伸长为例推导弹性势能公式．如图13－7，棒在外力F 作用下伸长时，外力对棒作了功，此功转变为棒的势能．当棒伸长为x 时，由(13－3)式得lx ES F = 根据变力的功的公式(3－5)式，当棒伸长Δl 时，力F 所作的功为()22Δ0Δ0Δ21Δ21d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰l l ESl l l ES x x l ES x F W l l 但Δl /l 为线应变，Sl 为棒的体积，所以上式可以写为21=W (杨氏模量)×(线应变)2×体积 （13－6） 这就是弹性物体的形变势能，所以单位体积的形变势能为21p =w (杨氏模量)×(线应变)2 （13－7） 对于其他类型的弹性形变，上式也适用，只需将该类型的弹性模量和应变代替式中的杨氏模量和线应变即可．二、传播横波和纵波的介质 波的传播速度图13－8 图13－9我们现在可以来说明什么介质能够传播横波，什么介质能够传播纵波．根据上节关于波的传播机制的讨论，波之所以能够在介质中传播是因为介质发生形变时，介质中各质点之间有弹性力作用．但不同类型的波在介质中引起的形变不相同，因而对应的弹性力亦不相同．假设有一横波在介质中传播，图13－10表示在某一时刻介质中的波形．取其中的一段放大，可以设想把介质分成许多薄层，各个薄层和波的传播方向垂直．以薄层AB 为例，这个薄层由原来的长方体(虚线位置)变为斜方体(阴影部分)，这种形变就是切应变，对应的弹性力就是切向应力．所以当横波在介质中传播时，介质的形变是切变，对应的弹性力是切向应力．但液体和气体都不能产生切向应力，所以都不能传播横波．只有固体才能传播横波．当纵波在介质中传播时，介质被压缩或被拉伸，这种形变是体应变，对应的弹性力是法向应力(压应力或张应力)，固体、液体和气体都能够产生法向应力，所以都能够传播纵波．机械波传播的速度完全取决于介质的弹性和惯性，即取决于介质的弹性模量和密度，可以证明横波在固体中的传播速度为ρG=v （13－8） 其中G 为固体的切变模量，ρ为固体的密度．纵波的传播速度为ρK=v （13－9） 其中K 为介质的体积模量．如果纵波是沿一细棒状的介质传播，则体积弹性模量可用杨氏模量代替，即ρE=v （13－10）对于大多数金属材料来说，E 和K 可认为近似地相等．固体的杨氏模量大于切变模量，所以在固体中纵波的传播速度大于横波的传播速度．根据以上讨论，波的传播速度与介质有关，即与介质的弹性模量和密度有关．但波的频率就是波源振动的频率，与介质无关．因此由波动的基本关系式νλ=v 可知，波长与介质有关．§13－3 平面简谐波的波函数如果在一波动中波源作简谐振动，介质中其他各质点也作简谐振动，这种波称为简谐波．因为任何复杂的振动都可以看成是由许多频率不同的简谐振动合成的，所以任何复杂的波都可以看成是由许多频率不同的简谐波合成的．本节只讨论平面简谐波的波函数．假设有一平面简谐波以速度v 沿x 轴的正方向传播，如图13－11．同相面就是一系列垂直于x 轴的平面，x 轴就是波线．因为在同一同相面上各点的振动情况相同，所以，轴上各点的振动也就代表了整个波动的情况．我们的问题就是找出能够概括x 轴上各点的振动情况的函数，这样的函数称为平面简谐波的波函图13－10数．假设原点O 处质点的振动方程为y = A cos ωt （13－11）其中A 为振幅，ω为圆频率，y 为振动点在时刻t 对于平衡位置的位移．对于横波，位移与x 轴垂直；对于纵波，位移沿x 轴方向．设P 为波线上任一点，其平衡位置的坐标为x ，因为O 点作简谐振动，当波传到P 点时，P 点亦作简谐振动，振动的振幅和频率与O 点相同，但它的相位落后于O 点的相位．这是因为波的传播就是振动相位的传播，而波从O 点传播到P 点需要时间v x ，所以O 点在t 时刻的相位等于P 点在⎪⎭⎫ ⎝⎛+v x t 时刻的相位．或者说P 点在t 时刻的相位等于O 点在⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t 时刻的相位．由(13－11)式，O 点在t 时刻的相位为ωt ，所以P 点在t 时刻的相位为⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t ω，其位移为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A y ωcos （13－12） 因为νωπ2π2==T，λ=vT ，所以上式可以写为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λνλx t A x T t A y π2cos π2cos （13－13） (13－12)或(13－13)式给出波线上任一点(其平衡位置的坐标为x )在任一时刻的位移，所以该表达式概括了波线上所有各点的振动情况，该表达式就是平面简谐波的波函数．下面我们再进一步分析波函数的意义．波函数(13－12)中有两个自变量x 和t ，当x 一定时，y 只是t 的函数，这时(13－12)式代表坐标为x 的点的振动方程，这是我们所熟知的简谐振动方程．这说明波线上任一点的振动是简谐振动．图 图13－11图13－12 图13－1313－12画出的是简谐振动的y －t 曲线．当t 一定时，y 只是x 的函数，这时波函数给出在给定时刻t 波线上各点的位移，若以x 为横坐标、y 为纵坐标作曲线，便得出如图13－13的曲线．它表示在给定时刻t 波线上各质点的分布情况，也就是该时刻的波形．如果x 和t 都变化，则波函数表示波线上任一点在任一时刻的位移，如以x 为横坐标、y 为纵坐标画出t 1时刻及t 1 +Δt 时刻的波形，便得到如图13－14所示的二曲线．其中实线表示t 1时刻的波形，虚线表示t 1 +Δt 时刻的波形．在t 1时刻的波形上任取一点A ，在t 1 +Δt 时刻的波形上沿波的传播方向取一点B ，使A 、B 两点有相同的位移．设A 、B 两点的横坐标分别为x 及x +Δx ，则Δx 为A 、B 两点间的距离，也就是在Δt 时间内波形移动的距离．根据(13－12)式，A 点上的相位是⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t 1ω，B 点的相位是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+v x x t t ΔΔ1ω，这两点的位移相等，所以它们的相位相同，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-v v x x t t x t ΔΔ11ωω 由此得Δx = v Δt ．由此可见在Δt 时间内波形向前移动了距离v Δt ．这表示波形以速度v 向前传播，这种在空间传播的波称为行波．以上假设波以速度v 由左向右传播．如果图13－10中波以速度v 由右向左传播，即向x 轴的负方向传播，则O 点的相位落后于P 点的相位，落后的时间为vx ．所以在t 时刻P 点的相位等于O 点在⎪⎭⎫ ⎝⎛+v x t 时刻的相位，故P 点的位移为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v x t A y ωcos （13－14） 这就是沿x 轴的负方向传播的平面简谐波的波函数．例题13－2 有一沿x 轴正向传播的平面余弦波，原点的振动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-3π9πcos 100.62t y 其中y 以m 为单位，t 以s 为单位，波长λ = 36 m ，试求(1) 波函数；(2) x = 9.0 m 处质点的振动方程；(3) t = 3.0 s 时的波形及该时刻各波峰的位置坐标．解 (1) 由(13－13)式，波函数可写为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕλνx t A y π2cos 图13－14其中φ为原点振动的初相．根据题意，A = 6.0×10-2 m ，1-s 1812π9ππ2===ων，λ = 36 m ，3π=ϕ，代入上式得波函数：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3π3618π2cos 100.62x t y或 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3π29πcos 100.62x t y （13－15） 其中x 及y 以m 为单位，t 以s 为单位．(2) 在(13－15)式中令x = 9.0 m ，即得所求的振动方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-6π9πcos 100.62t y (3) 在(13－15)式中令t = 3.0 s ，即得该时刻的波形：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-18π32πcos 100.62x y （13－16） 波峰为位移最大值，故在波峰处y = 6.0×10-2 m ．将此式与(13－16)式比较得知：118π32πcos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 由此得 π218π32πk x =- x = (12 - 36k ) m ， k = 0，±1，±2，…这就是各波峰的位置坐标．例题13－3 图13－15中实线为一平面余弦横波在，t = 0时刻的波形图，此波形以v = 0.080 m/s 的速度沿x 轴正向传播，试求：(1) a 、b 两点的振动方向；(2) O 点的振动方程；(3) 波函数．解 (1) 因波的传播是波形的传播，故经Δt 时间后波形沿传播方向行进至图中虚线位置．在波的传播过程中，各质点只在各自的平衡位置附近振动，并不随波前进，从图看出，经Δt 时间后a 点已运动到它在t = 0时刻的位置的下方，b 点运动到它在t = 0时刻的位置的上方，即在t = 0时刻，a 点向下运动，b 点向上运动．(2) 由图看出波的振幅A = 0.20 m ．波长λ = 0.40 m ，已知波速v = 0.080 m/s ，由波动基本关系λ = v T 得波的周期：s 5.0s 080.040.0===v λT O 点的初相φ可求之如下：t = 0时．O 点的位移y = 0，即其初相2π=ϕ或23π，又因O 点向下运动，即振动速度为负，故应取2π=ϕ，则O 点的振动方程为图13－15⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2π5π2cos 20.0π2cos t T t A y ϕ 其中t 以s 为单位，y 以m 为单位．(3) 由O 点的振动方程可得该平面余弦波的波函数：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2π080.05π2cos 20.0cos x t x t A y ϕωv 其中t 以s 为单位，y 以m 为单位．§13－4 波的能量 能流密度波的传播过程就是振动的传播过程，波传到哪里，哪里的介质元就发生振动，因而具有动能．同时这介质元还要发生形变，因而又具有弹性势能．因此波传播到哪里，哪里就具有能量．波的传播过程既是振动的传播过程，又是能量的传播过程．一、波的能量下面以简谐纵波在棒中沿棒长方向传播为例，推求波的能量公式．设简谐纵波的波函数为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A y ωcos （13－17） 如图13－16，在棒上取一体积元BC 来考虑．棒在平衡位置时B 处的坐标为x ，C 处坐标为x + Δx ，即BC 的原长为Δx ．设棒的横截面积为S ，密度为ρ，则这体积元的体积ΔV = S Δx ，质量为Δm = ρΔV ．由(13－17)式得这体积元在任一时刻t 的速度为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=v x t A t y u ωωsin 其动能为⎪⎭⎫ ⎝⎛-==v x t A V mu W ωωρ2222k sin Δ2121Δ （13－18） 假设在时刻t ，B 处的位移为y ，C 处的位移为y +Δy (图13－15)，则这一时刻体积元的伸长为Δy ，其线应变为x y ΔΔ或xy ∂∂．由(13－17)式得 线应变=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂v v x t A x y ωωsin 由(13－6)式得体积元的弹性势能为V x t A E V x y E W Δsin 21Δ21Δ2222p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=v v 2ωω 因ρ/E =v ，故有ρ2v =E ，代入上式得图13－16⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A V W ωωρ222p sin Δ21Δ （13－19） 比较(13－18)及(13－19)两式可以看出，在任一时刻体积元的动能和势能完全相等，而且相位也相同，动能达最大值时，势能也达最大值；动能为零时，势能也为零．将(13－18)及(13－19)两式相加得体积元的总能量为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=v x t A V W W W ωωρ222p k sin ΔΔΔΔ （13－20） 上式指出，体积元的总能量并不守恒，它随着时间t 作周期性的变化．在一个给定时刻，棒中各个体积元的总能量又是随着x (体积元的平衡位置坐标)作周期性变化，它不断地从前面的介质吸收能量，又不断地把能量传递给后面的介质，就这样通过各个体积元不断地吸收和传递能量，使能量随波的传播而传播．介质中每单位体积的能量称为能量密度，用w 表示，由(13－20)式得⎪⎭⎫ ⎝⎛-==v x t A V W w ωρω222sin ΔΔ 波的能量密度是随时间而变化的，它在一周期内的平均值称为平均能量密度．因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t ω2sin 在一周期内的平均值为21，所以平均能量密度为 2221A w ρω= 二、能流和能流密度如上所述，波的传播过程就是能量的传播过程，因此我们可以引入能流概念．单位时间内通过某一面积传播的能量称为通过该面积的能流．设S 为介质中垂直于传播方向(即波速v 的方向)的面积，以S 为底v 为高作一柱体(图13－17)，则单位时间内通过面积S 的能量(即通过该面的能流)都包含在这柱体内．但这柱体内的能量是随时间而变化的，我们可以求它的平均值．因为柱体体积为v S ，平均能量密度为w ，所以柱体内的平均能量为v S w ．这就是单位时间内通过面积S 的平均能量，称为平均能流，用p 表示，则S A S w p v v 2221ρω== Sp 为通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流，称为能流密度或波的强度，其大小用I 表示，则 v 2221A S p I ρω== 依定义，能流密度为一矢量，其方向为波速v 的方向，故可写为图13－17v 2221A ρω=I 三、平面波的振幅和球面波的振幅在推导平面简谐波的波函数 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A y ωcos 时，我们假定介质中各质点的振幅不变，现在我们从能量观点来看振幅不变的意义．设在垂直于波的传播方向取两个平面，其面积都等于S ，使这两个面成为同一柱体的两个截面，如图13－18，设1p 、2p 为通过这两个面的平均能流，则S A S w p v v 2121121ρω== S A S w p v v 2222221ρω== 其中A 1、A 2分别为这两个面积处的振幅．从以上二式看出，如果A 1 = A 2，则1p =2p ．即如果波的振幅不变，则通过这两面积的能流相等，有多少能量从左边流入两面之间的空间，就有多少能量从右边流出去．这说明介质不吸收波的能量．所以平面简谐波的振幅不变的意义是介质没有吸收波的能量(即没有把波的机械能转变为其他形式的能量)．但在球面波情形，即使介质不吸收波的能量，波的振幅也要逐渐减小．设在距波源O 为r 1及r 2处取两个球面，其面积各为S 1 = 4πr 12，S 2 = 4πr 22，如图13－19．在介质不吸收波的能量的情况下，通过这两个球面的平均能流相等，即2222221212π421π421r A r A v v ρωρω= 其中A 1、A 2分别为两个球面上的振幅．由上式得1221r r A A = 即波的振幅与离开波源的距离成反比．因此球面简谐波的波函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v r t r A y ωcos 式中r 为离开波源的距离，A 在数值上等于离开波源单位距离处波的振幅．§13－5 惠更斯原理及其应用图13－18 图13－19一、惠更斯原理前面讲过，波动之所以能够产生和传播是因为介质中有波源作振动．又由于介质中各质点之间有相互作用，波源的振动引起它附近各点的振动，附近各点的振动又引起更远各点的振动，由此可见波动传到的各点在波的产生和传播方面所起的作用和波源没有什么区别，都引起它附近介质的振动，因此波动传到的各点都可看作新的波源．例如有任意形状的波在水面上传播，AB 为障碍物，AB 有小孔a ，小孔a 的线度远小于波长，这样就可以看见，穿过小孔的波是圆形波，圆心在小孔处，这说明波传到小孔后，小孔成为波源(图13－20)．惠更斯分析和总结了类似的现象，于1690年提出如下原理：介质中波动传到的各点都可以看作是新的波源，由这些新波源发射的波称为次级子波，其后任一时刻这些子波的包络就是该时刻的新波阵面．这就是惠更斯原理．惠更斯原理对机械波或电磁波都适用，不论这些波经过的介质是均匀的或非均匀的，是各向同性的或各向异性的，只要知道某一时刻的波阵面，都可以根据这一原理来决定次一时刻的波阵面．下面以平面波和球面波为例，应用惠更斯原理由某一时刻的波阵面求次一时刻的波阵面．设平面波以速度v 在均匀的各向同性的介质中传播，在某一时刻波阵面的位置是AB ，求τ时间后的波阵面．根据惠更斯原理，AB 上每一点都可以看作发射子波的波源，这些子波亦以速度v 传播，在τ时间后，这些子波的半径为v τ．作各点发出的子波，这些子波的前方包络面显然是平行于AB 的平面A 1B 1，根据惠更斯原理这一包络面就是τ时间后的波阵面．所以一个平面波在均匀的各向同性的介质中传播时，以后仍然是平面波，其传播方向不变(图13－21)．设有球面波在均匀的各向同性的介质中传播，速度为v ，在某时刻波阵面是半径为R 的球面，求τ时间后的波阵面．根据惠更斯原理，球面上每一点都可以(a) (b)图13－20图13－21 图13－22。