金版新学案(人教版)高中数学选修2-1练习：1.1.1命 题(含答案)
高中数学选修2-1练习题
常用逻辑用语一、选择题1．命题“如果x≥a 2+b 2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A ．如果x<a 2+b 2,那么x<2ab B ．如果x≥2ab,那么x≥a 2+b 2 C ．如果x<2ab,那么x<a 2+b 2 D ．如果x≥a 2+b 2,那么x<2ab 2．三角形全等是三角形面积相等的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．下列四个命题中，真命题是( ) A ．2是偶数且是无理数 B ．8≥10 C ．有些梯形内接于圆 D ．∀x ∈R,x 2-x+1≠0 4．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 二、填空题5．命题“若a=-1,则a 2=-1”的逆否命题是______________________． 6．b=0是函数f(x)=ax 2+bx+c 为偶函数的______________________．7．全称命题“∀a ∈Z,a 有一个正因数”的否定是________________________． 8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________． 9．设p ：|5x -1|>4；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的______ ___条件．三、解答题10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．11．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围．12．给定两个命题,P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4; q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4;q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．圆锥曲线练习题一．选择题1.若椭圆经过原点，且焦点分别为12(1,0),(3,0)F F ，则其离心率为（ ） A.34 B.23 C.12 D.142.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）A.10B.8C.6D.43.若双曲线x 24＋y2k1的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）A.(),0-∞B.()3,0-C.()12,0-D.()60,12-- 4.与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.()()24101y x x =--<≤ B.()()24101y x x =-<≤C.()()24101y x x =+<≤ D.()()22101yx x =--<≤5.过点M(-2,0)的直线L 与椭圆2222x y +=交于12,P P 两点，设线段12P P 的中点为P ，若直线l 的斜率为11(0)k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于（ ）A.2-B.2C.12D.－126.如果方程x 2-p ＋y2q ＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）A.2212xyq pq+=+ B.2212xyq pp+=-+ C.2212xyp qq+=+ D.2212xyp qp+=-+二．填空题7.椭圆x 212＋y 23＝1的焦点分别是12F ,F ，点P 在椭圆上，如果线段1P F 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的 倍．8.椭圆x 245＋y 220＝1的焦点分别是12F ,F ，过原点O 做直线与椭圆交于A ，B 两点，若∆ABF 2的面积是20，则直线AB 的方程是 ．9.与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，并且经过点（2的双曲线方程是10.已知直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是 ．三．解答题11.抛物线y=－12x 2与过点M(0,-1)的直线L 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为１，求直线L 的方程．12.已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．13．21,F F 是椭圆x 29＋y27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=45︒，求∆12AF F 的面积．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题11. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．12. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题13. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．14. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．空间向量练习题一．选择题1．直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a →,CB →=b →,CC 1→=c →,则A 1B →=( )A ．a →+b →-c →B ．a →-b →+c →C ．-a →+b →+c →D ．-a →+b →-c →2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，下列条件中能确定点M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →=OA →+OB →+OC → C ．OM →=2OA →-OB →-OC →C ．OM →=OA →+12OB →+13→D ．OM →=13OA →+13OB →+13OC →3．若向量m →同时垂直向量a →和b →,向量n →=λa →+μb →(λ,μ∈R, λ,μ≠0)，则（ ）A ．m →∥n →B ．m →⊥n → C.m →与n →不平行也不垂直 D ．以上均有可能 4．以下四个命题中，正确的是( )A ．若OP →=12OA →+13OB →,则P ，A ，B 三点共线B ．若{a →,b →,c →}为空间一个基底，则{a →+b →,b →+c →,c →+a →}构成空间的另一个基底 C ．|(a →⋅b →)c →|=|a →|⋅|b →|⋅|c →|D ．∆ABC 为直角三角形的充要条件是AB →⋅AC →＝05．已知a →=(λ+1,0,2λ),b →=(6,2μ-1,2),a →∥b →,则λ和μ的值分别为( ) A ．15,12B ．5,2C ．-15,-12D ．-5,-2二．填空题6．若a →=(2,-3,1),b →=(2,0,3),c →=(0,2,2),则a →⋅(b →+c →)=________.7．已知G 是∆ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →+OB →+OC →＝λOG →，则λ的值为_______. 8．已知|a →|=1,|b →|=2,<a →,b →>=60︒,则|a →-25(a →+2b →)|=________.三．解答题9．若向量(a →+3b →)⊥(7a →-5b →)，(a →-4b →)⊥(7a →-2b →)，求a →与b →的夹角．10．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试求实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立．11．正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角． 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x ,1,2)．依题意πcos 422=⇒=．2x =-∴2x =+．2AE =-∴空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x,1,2)．依题意πcos 422=⇒=2x =-∴2x =+．2AE =-∴。
2022-2021年《金版学案》数学·人教A版选修2-1练习：章末评估验收(三)
章末评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a ，2b ，b －c D ．c ，a ＋c ，a －c答案：C2．空间直角坐标中A (1，2，3)，B (－1，0，5)，C (3，0，4)，D (4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定 解析：由于AB →＝(－2，－2，2)，CD →＝(1，1，－1)， 又由于AB →＝－2CD →，所以AB →∥CD →，即AB ∥CD . 答案：A3．已知a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，假如a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32答案：C4．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( ) A ．－15 B ．－5 C ．－3D ．－1解析：a ＝(3，2，－1)，b ＝(1，－1，2)，所以5a ·3b ＝15a ·b ＝－15. 答案：A5．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32 B ．－32C ．±32D ．1答案：A6．(2022·广东卷)已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1，1，0)B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1) 解析：利用向量数量积公式的变形公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求向量的夹角，各项逐一验证．选项B 中cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×12×2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.答案：B7．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝13AC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN→|为( )A.216a B.66a C.156aD.153a答案：A8．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2，4)B ．(－4, 1，－2)C ．(2，－2，1)D ．(1，2，－2)答案：B9．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AB 1⊥BC 1，则平面DBC 1与平面CBC 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：B10．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13 解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C 1(0，1，2)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，从而DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)，DC →＝(0，1，0)．设平面BDC 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0.令z ＝－1，得n ＝(－2，2，－1)． 由于cos 〈DC →，n 〉＝DC →·n |DC →||n |＝23，所以CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为23.答案：A11．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．向量AD →与CB 1→的夹角为60° 答案：D12．已知OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎪⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎪⎫43，43，73 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知a ＝(2，－1，0)，b ＝(k ，0, 1)，若〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________． 解析：由于cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2k 5×k 2＋1＝－12＜0，所以k ＜0，且k 2＝511.所以k ＝－5511. 答案：－551114．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．答案：(－64，－26，－17)15．设a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 1在a 上，向量b 1在b 上，a 1＝(1，1，1)，b 1＝(－3，4，0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．解析：由题意，cos θ＝|cos 〈a 1，b 1〉|＝|a 1·b 1||a 1||b 1|＝（1，1，1）×（－3，4，0）3×5＝315. 答案：31516．已知四周体顶点A (2，3，1)、B (4，1，－2)、C (6，3，7)和D (－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为________．答案：11三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)．求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：由于AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD →＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，由于－24＝3－6＝－36，所以AB →和CD →共线，即AB ∥CD .又由于AD →＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC →＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，由于0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行，所以四边形ABCD 为梯形．18．(本小题满分12分)已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 相互垂直，求k 的值． 解：a ＝AB →＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)， b ＝AC →＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010.(2)ka ＋b ＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，ka －2b ＝(k ，k ，0)－(－2，0，4)＝(k ＋2，k ，－4)，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，所以k ＝－52或k ＝2.19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)证明：AC ⊥BC 1；(2)求二面角C 1AB C 的余弦值大小．解：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，故AC ，BC ，CC 1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)． (1)证明：AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)， 所以AC →·BC 1→＝0.故AC ⊥BC 1.(2)解：平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，设平面C 1AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，AC 1→＝(－3，0，4)，AB →＝(－3，4，0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC 1→＝0，n ·AB →＝0.得⎩⎨⎧－3x ＋4z ＝0，－3x ＋4y ＝0，令x ＝4，则y ＝3，z ＝3，n ＝(4，3，3)， 故cos 〈m ，n 〉＝334＝33434.即二面角C 1AB C 的余弦值为33434.20．(本小题满分12分)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 、N 、E 、F 分别为A 1D 1、A 1B 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，求平面AMN 与平面EFBD 间的距离．解：如图所示，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (4，0，0)，M (2，0，4)，D (0，0，0)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)，N (4，2，4)，从而EF →＝(2，2，0)，MN →＝(2，2，0)，AM →＝(－2，0，4)，BF →＝(－2，0，4)，所以EF →＝MN →，AM →＝BF →，所以EF ∥MN ，AM ∥EF ，EF ∩BF ＝F ，MN ∩AM ＝M . 所以平面AMN ∥平面EFBD .设n ＝(x ，y ，z )是平面AMN 的法向量， 从而⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝2x ＋2y ＝0，n ·AM →＝－2x ＋4z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2z ，y ＝－2z .取z ＝1，得n ＝(2，－2，1)，由于AB →＝(0，4，0)， 所以AB →在n 上的投影为n ·AB →|n |＝－84＋4＋1＝－83.所以两平行平面间的距离d ＝|n ·AB →||n |＝83.21．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB .(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -FC -B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．(1)证明：在Rt △ABC 中，由于EF ∥BC ，所以EF ⊥AB ，所以EF ⊥EB ，EF ⊥EP ， 又由于EB ∩EP ＝E ，EB ，EP ⊂平面PEB ，所以EF ⊥平面PEB . 又由于PB ⊂平面PEB ，所以EF ⊥PB .(2)解：在平面PEB 内，过点P 作PD ⊥BE 于点D ， 由(1)知EF ⊥平面PEB ，所以EF ⊥PD ，又由于BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BCFE ，所以PD ⊥平面BCFE . 在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .如图所示，以B 为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)， 又由于AB ＝BC ＝4， 所以BE ＝4－x ，EF ＝x .在Rt △PED 中，∠PED ＝60°， 所以PD ＝32x ，DE ＝12x ，所以BD ＝4－x －12x ＝4－32x ， 所以C (4，0，0)，F (x ，4－x ，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，4－32x ，32x .从而CF →＝(x －4，4－x ，0)，CP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，4－32x ，32x .设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CF →＝0，n 1·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0（x －4）＋y 0（4－x ）＝0，－4x 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32x y 0＋32xz 0＝0， 所以⎩⎨⎧x 0－y 0＝0，3y 0－z 0＝0，取y 0＝1，得n 1＝(1，1，3)是平面PFC 的一个法向量． 又平面BFC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， 设二面角P -FC -B 的平面角为α，则cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝155. 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -FC -B 的平面角的余弦值为定值，且定值为155.22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F -BE -D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．(1)证明：由于DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ， 由于四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 又DE ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面BDE . (2)解：由于DE ⊥平面ABCD ，所以∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角， 即∠EBD ＝60°， 所以EDBD＝ 3.由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝ 6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)，所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)．由于AC ⊥平面BDE ，所以CA →＝(3，－3，0)为平面BDE 的一个法向量， 所以cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA →|n ||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F -BE -D 的余弦值为1313. (3)解：依题意，设M (t ，t ，0)(t ＞0)，则AM →＝(t －3，t ，0)， 由于AM ∥平面BEF ， 所以AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.所以点M 的坐标为(2，2，0)，此时DM →＝23DB →，所以点M 是线段BD 上靠近点B 的三等分点．。
2022-2021年《金版学案》数学·人教A版选修2-1练习：章末复习课
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提示]1．求曲线与方程的两个关注点(1)求曲线的方程与求轨迹是有区分的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和争辩所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的外形、位置、大小都要加以说明、争辩等．(2)由方程争辩曲线时，要留意精确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件和限制条件，避开因考虑不全面而致误．2．处理与三种圆锥曲线的方程和性质有关的问题的留意点(1)求圆锥曲线的标准方程时，要先定位，再定量；当焦点位置不能确定时，需分类争辩或者用椭圆双曲线的一般方程形式解决．(2)在椭圆中，a，b，c的关系是c2＝a2－b2，而在双曲线中，a，b，c的关系是c2＝a2＋b2，两者极易混淆，要留意区分，以防出错．(3)在解与圆锥曲线上点有关的最值问题时，肯定不能忽视圆锥曲线的范围．3．直线与圆锥曲线的位置关系问题的关注点(1)在解析几何中，凡是直线与圆锥曲线相交问题先考虑相交的前提，否则易产生错解．(2)直线与双曲线抛物线相交时，有一个交点或两个交点之分；直线与双曲线抛物线有一个公共点时，有相交或相切之分；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交有一个公共点；当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，有一个公共点．专题一圆锥曲线定义的应用争辩有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题．[例1]若点M(2，1)，点C是椭圆x216＋y27＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．解析：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝26，所以(|AM|＋|AC|)min＝8－26.答案：8－26归纳升华圆锥曲线定义的应用技巧1．在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则依据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程．2．在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”问题，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的学问解决．3．在抛物线中，常利用定义解题，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”相互转化的目的．[变式训练]抛物线y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则()A．x1，x2，x3成等差数列B．y1，y2，y3成等差数列C．x1，x3，x2成等差数列D．y1，y3，y2成等差数列解析：如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义：|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.由于2|BF|＝|AF|＋|CF|，所以2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.又由于|AA′|＝x1＋p2，|BB′|＝x2＋p2，|CC′|＝x3＋p2，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2⇒2x2＝x1＋x3.答案：A专题二有关圆锥曲线性质的问题有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要把握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺当求解．[例2]双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线相互垂直，那么该双曲线的离心率是()A．2 B.3 C.2 D.32解析：双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线方程为y＝±ba x，依题意ba·⎝⎛⎭⎪⎫－ba＝－1，故b2a2＝1，所以c2－a2a2＝1即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝ 2.答案：C归纳升华圆锥曲线性质的求解方法椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等．1．离心率．求离心率时肯定要尽量结合曲线对应图形，查找与a，b，c有关的关系式．求椭圆和双曲线的离心率有两种方法：(1)代入法，就是代入公式e＝ca求离心率；(2)列方程法，就是依据已知条件列出关于a，b，c的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e的方程，解方程即可求出e值．2．范围与最值．解答范围问题时特殊留意题中隐含的不等关系，如曲线方程中x，y的范围．常用方法也有两个：(1)解不等式法，即依据题设条件列出关于待求量的不等式，解不等式即得其取值范围；(2)求函数值域法，即把待求量表示成某一变量的函数，函数的值域即为待求量的取值范围．[变式训练]已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A．x＝±152y B．y＝±152xC．x＝±34y D．y＝±34x答案：D专题三求曲线的方程求曲线方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，依据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t，就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的一般方程．[例3]设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求弦OA中点B的轨迹方程．解：法一(直接法)．设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，如图所示，即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中点B的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋y2＝14(去掉原点)．法二(几何法)．设B点坐标为(x，y)，由题意知CB⊥OA，OC的中点记为M⎝⎛⎭⎪⎫12，0，如方法一中图，连接MB，则|MB|＝12|OC|＝12，故B点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋y2＝14(去掉原点)．法三(代入法)．设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y 12， 即⎩⎨⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又由于(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．归纳升华1．求轨迹方程时，正确应用曲线的定义能给解题带来便利．若需建立坐标系时，要使轨迹方程越简洁越好．2．当曲线的外形已知时，一般可用待定系数法解决．[变式训练] 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程． 解：设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由于点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点， 且|MD |＝45|PD |，所以x P ＝x ，且y P ＝54y .由于P 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y216＝1，即C 的方程是x 225＋y 216＝1.专题四 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系的争辩可以转化为相应方程组的解的争辩，即联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0，通过消去y (也可以消去x )得到x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0，再进行争辩．这时要留意考虑a ＝0和a ≠0两种状况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的状况除a ≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交状况)．[例4] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x23＋y 2＝1.(2)设P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ＞0，即m 2＜3k 2＋1.① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，P (x P ，y P ) 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ， 则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①得2m ＞m 2，解得0＜m ＜2， 由②得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12，故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.归纳升华1．在求解直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，一般需将直线方程与圆锥曲线方程联立、消元，转化成一元二次方程，利用韦达定理和判别式求解，要留意一元二次方程系数及判别式．要刻画几何意义，便于用代数方法解决．2．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法． (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2)不等式法：依据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围． [变式训练] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，所以c ＝2，b ＝1.所以所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－6km3k 2＋1，x 1x 2＝3（m 2－1）3k 2＋1. 所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m2（3k 2＋1）2－12（m 2－1）3k 2＋1＝ 12（k 2＋1）（3k 2＋1－m 2）（3k 2＋1）2＝3（k 2＋1）（9k 2＋1）（3k 2＋1）2＝ 3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k 2＋6(k ≠0)≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时Δ＝12(3k 2＋1－m 2)＞0，当k ＝0或不存在时，|AB |＝3，综上所述，|AB |max ＝2. 所以当|AB |最大时，△AOB 面积取得最大值 S ＝12×|AB |max ×32＝32.专题五 圆锥曲线的定值与定点问题 (函数思想方法)解析几何的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．其证明过程可总结为“变量⇒函数⇒定值”，具体操作程序如下：变量——选择适当的量作为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数； 定值——把得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值．[例5] 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1，若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫明显|k |＞22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎨⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k2，所以|ON |2＝1＋k24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ， 由于(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，可证O 到直线MN 的距离是定值． 归纳升华1．解答圆锥曲线中的定值(定点)问题时，首先要明确哪些量是固定的，哪些量是变动的，选择其中一个或几个起关键作用的量作为参数，以参数来表示需要争辩定值(定点)的量，看是否能消去参数得到定值(定点)即可．2．圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等．争辩的常见途径有两个：(1)利用平面几何中的最值结论；(2)把几何量用目标函数表示出来，再用函数或不等式学问求最值．建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特殊留意自变量的取值范围．[变式训练] 如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，A 1，A 2为椭圆C 的左、右顶点．(1)设F 1为椭圆C 的左焦点，证明：当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，|PF 1|取得最小值与最大值；(2)若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的标准方程；(3)若直线l ：y ＝kx ＋m 与(2)中所述椭圆C 相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，且满足AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)证明：设点P 的坐标为(x ，y )， 令f (x )＝|PF 1|2＝(x ＋c )2＋y 2.又点P 在椭圆C 上，故满足x 2a 2＋y 2b 2＝1，则y 2＝b 2－b 2a2x 2.代入f (x )得，f (x )＝(x ＋c )2＋b 2－b 2a 2x 2＝c2a2x 2＋2cx ＋a 2，则其对称轴方程为x ＝－a 2c ，由题意，知－a 2c ＜－a 恒成立，所以f (x )在区间[－a ，a ]上单调递增．所以当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时|PF 1|取得最小值与最大值．(2)解：由已知与(1)得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，所以a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(3)解：如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，即3＋4k 2－m 2＞0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4（m 2－3）3＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2. 由于椭圆的右顶点为A 2(2，0)，AA 2⊥BA 2， 所以(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0.所以y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.所以3（m 2－4k 2）3＋4k 2＋4（m 2－3）3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. 所以7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，且均满足3＋4k 2－m 2＞0.当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)， 直线过定点(2，0)，与已知冲突．当m 2＝－2k7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.所以直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫27，0.。
【金版学案】高中数学人教A版选修2-1练习：章末复习课1(含答案解析)
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．有关真假命题的判断方法(1)是灵活根据题干和选择项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选择项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题．(2)对于较难判断的问题，可以转化为逆否命题来解决．2．正确理解逻辑联结词的含义(1)已知命题p、q，只要有一个命题为假，p∧q就为假；只要有一个为真，p∨q就为真，綈p与p真假相对．(2)注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．3．解决全称量词与存在量词问题需要注意的两个方面(1)准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆．(2)要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真．专题一 充分条件与必要条件的理解及判定1．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)把复杂的条件(结论)化简；(3)尝试从条件推结论，从结论推条件；(4)确定是什么条件．2．充分条件与必要条件的判定是高考的热点内容，其考查形式主要以选择题或填空题为主，题目难度不大．[例1] 已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正实根，试判断p 是q 的什么条件．解：若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正实根，则Δ＝m 2－4n ＞0，即m 2＞4n.设方程的两根为x 1，x 2，则0＜x 1＜1，0＜x 2＜1，有0＜x 1＋x 2＜2，且0＜x 1x 2＜1.根据根与系数的关系，有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n. 解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜－m ＜2，0＜n ＜1. 所以－2＜m ＜0，0＜n ＜1，且m 2＞4n ，即有q ⇒p.反之，取m ＝－13，n ＝12， 那么方程变为x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12＜0. 此时方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以pq. 综上所述，p 是q 的必要不充分条件．归纳升华若p ⇒q ，但p ⇐/q ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，但p ⇐q ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；若pq ，且p ⇐/q ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．[变式训练] (1)“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：(1)A (2)A专题二 四种命题的关系及真假判断命题“若p ，则q”的逆命题为“若q ，则p”，否命题为“若綈p ，则綈q”，逆否命题为若“綈q ，则綈p”．书写这四种命题时应注意：(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待；(2)要注意条件和结论的否定形式．在高考试题中，常以选择题的形式考查命题真假的判断．若以填空题形式出现，则往往要求写出命题的否定或逆否命题等．[例2] 给出下列命题：①已知a ＝(3，4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4.②函数y ＝tan(x ＋π3)的图象关于点(π6，0)成中心对称． ③命题“如果a·b ＝0，则a ⊥b”的否命题和逆命题都是真命题．④若a≠0，则a·b ＝a·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．解析：①因为|a|＝5，|b|＝1，a·b ＝－4，所以cos<a ，b>＝－45，所以a 在b 方向上的投影为|a|·cos<a ，b>＝－4，①正确．②当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3无意义， 由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确．③因为原命题的逆命题为“若a ⊥b 则a·b ＝0”为真，所以其否命题也为真．所以 ③正确． ④当a≠0，b ＝c 时，a·b ＝a·c 成立．(当a≠0，a·b ＝a·c 时不一定有b ＝c.)所以④正确．答案：①②③④归纳升华要说明一个命题为真命题，应给出理论证明，如本例；而要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．[变式训练] 下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd}是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 解析：因为d ＞0，所以a n ＋1＞a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1＞n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理，p 3是假命题．因为a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d ＞0，所以p 4是真命题．答案：D专题三 简单的逻辑联结词“且”“或”“非”复合命题的真假，要根据真值表准确判断，而知道复合命题的真假，也要能准确得出简单命题p 、q 的真假，在这个过程中，可以大胆假设推测，以便最后能确定，有些情况下推出的结果可能不唯一，要反过来检验．[例3] 已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ；x 3＝1－x 2，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p)∧qC ．p ∧(綈q)D ．(綈p)∧(綈q)解析：对于命题p ，当x≤0，2x ≥3x ，故p 为假命题，綈p 为真命题；对于命题q ，分别作出函数y ＝x 3和y ＝1－x 2的图象(图略)，易知q 为真命题．所以p ∧q 为假，(綈p)∧q 为真，p ∧(綈q)为假，(綈p)∧(綈q)为假．答案：B归纳升华1．p ∧q 只有在p 、q 均为真命题时才是真命题，而p ∨q 在p ，q 均为假命题时才是假命题．解此类题目，要先判断p ，q 的真假．2．“p ∨q”成立有三种情形：只有p 成立，只有q 成立，p ，q 同时成立，这三种情况依次对应于集合并集中的(U B)∪A ，(U A)∪B ，A ∪B.[变式训练] 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p)∨(綈q)B ．p ∨(綈q)C ．(綈p)∧(綈q)D ．p ∨q解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含两类情形：有一位学员没有降落在指定范围和两位学员都没降落在指定范围，应用逻辑联结词“或”来表述．答案：A专题四 反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p ，则q”的否定是“若p ，则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p ，则綈q”为假，从而可以得出“若p ，则q”为真，从而达到证明的目的．反证法是高中数学的一种基本方法，在前面学习的不等式和立体几何的证明中已用到，在高考题中也经常涉及，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．[例4] 设三个正实数a ，b ，c 满足条件1a ＋1b ＋1c＝2，求证：a ，b ，c 中至少有两个数不小于1.证明：假设a ，b ，c 中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况．(1)a ，b ，c 三数均小于1，即0＜a ＜1，0＜b ＜1，0＜c ＜1，则1a ＞1，1b ＞1，1c＞1.所以1a ＋1b ＋1c＞3，与已知条件矛盾； (2)a 、b 、c 中有两个数小于1，不妨设0＜a ＜1，0＜b ＜1，而c≥1，则1a ＞1，1b＞1.所以1a ＋1b ＋1c ＞2＋1c＞2，也与已知条件矛盾．所以假设不成立． 所以a ，b ，c 中至少有两个数不小于1.归纳升华1．作出正确反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”．2．需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况．[变式训练] 已知函数y ＝f(x)是R 上的增函数，对a 、b ∈R ，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证明a ＋b≥0.证明：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，b ＜－a ，又因为f(x)在R 上是增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－b)＋f(－a)．这与已知f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)矛盾．因此，a ＋b≥0.专题五 转化与化归思想的应用将此问题转化为彼问题来解决是数学中常用的手段，一个数学问题难度较大或过于抽象时可等价转化为较直观或较易解决的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，将复杂的问题简单化，这样有助于问题的解决，此即为等价转化．[例5] 判断命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解：法一(直接法)．逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.因为a ＜1，所以4a －7＜0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．法二(先判断原命题的真假)．因为a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，则4a －7≥0，解得a≥74， 因为a≥74＞1，所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．归纳升华转化与化归思想主要体现在：1．原命题与其逆否命题之间的等价转化；2．命题的等价性与充要条件之间的等价转化；3．充要条件与集合包含关系之间的转化．[变式训练] 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：令A ＝{x|p}＝{x|x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0}＝{x|3a ＜x ＜a ，a ＜0}，B ＝{x|q}＝{x|x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x ＜－4或x ＞2}＝{x|x ＜－4或x≥－2}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以綈q ⇒綈p ，且綈p 綈q ，则{x|綈q}{x|綈p}． 而{x|綈q}＝R B ＝{x|－4≤x ＜－2}， {x|綈p}＝R A ＝{x|x≤3a 或x≥a ，a ＜0}．因为{x|－4≤x ＜－2}{x|x ≤3a 或x≥a ，a ＜0}，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a ＜0. 所以－23≤a ＜0或a≤－4， 故a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 专题六 分类讨论思想分类讨论思想使复杂的问题化整为零，要注意讨论中的不重不漏．[例6] 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p ∨q”是真命题，“p ∧q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解：p 真：Δ＝(－a)2－4×4≥0，所以a ≤－4或a≥4.q 真：－a 4≤3，所以a≥－12. 由“p ∨q”是真命题，“p ∧q ”是假命题得：p 、q 两命题一真一假．当p 真q 假时，a ＜－12；当p 假q 真时，－4＜a ＜4.综上，a 取值范围为(－∞，－12)∪(－4，4)．归纳升华若命题“p ∨q”“p ∧q”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p ，q ，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p ∨q”“p ∧q”的真假情况分类讨论参数的取值范围．[变式训练] 已知命题p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；命题q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．解：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4＞0，－m ＜0，⇔ m ＞2. 4x 2＋4(m －2)＋1＝0无根实⇔16(m －2)2－16＜0⇔m 2－4m ＋3＜0⇔1 ＜m ＜3.因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假，所以当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m≥3，解得m ≥3； 当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m≤2.所以所以m取值范围为{m|1＜m≤2或m≥3}．。
高中数学选修2-1各章节课时同步练习及详解
第1章1.1.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选一个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是________．解析： ①∠A ＞∠B ⇒a ＞b ⇒sin A ＞sin B ．②③易知正确． ④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象． 答案： ①②③6．命题“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此方程有两个不相等的实数根 假 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题的条件p 和结论q ： (1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数． 解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数． (2)条件p ：一个函数的图象是一条直线，结论q ：这个函数为一次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．解析： 命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1， ∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4. ∴x ≥4或x ≤－1. 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满足的条件． 方程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1<x 2<0，则a x 1>a x 2，求a 满足的条件． 解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时， 方程有解x ＝－1b.当a ≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为 Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有解． (2)∵命题当x 1<x 2<0时，a x 1>a x 2为假命题， ∴应有当x 1<x 2<0时，a x 1≤a x 2. 即a x 2－x 1x 1x 2≤0.∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∴a ≤0.第1章 1.2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |. 故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件． 答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，而tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件．故选A.答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析： ∵x ≥2且y ≥2， ∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 由题意得：故D 是A 的必要不充分条件 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号) (1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件 (2)A ∩B ≠∅是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 解析： (1)因x >2且y >3⇒x ＋y >5，x ＋y >5⇒/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件． (2)因A ∩B ≠∅⇒/ A B, A B ⇒A ∩B ≠∅. 故A ∩B ≠∅是A B 的必要不充分条件． (3)因b 2－4ac <0⇒/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ，ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ⇒a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件． (4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形． 答案： (1)(2)(3) 6．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．解析： A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0＝{x |0<x <1}．m ∈A ⇒m ∈B ，m ∈B ⇒/ m ∈A .∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件． 答案： 充分不必要三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件， 则p ⇒q 但q ⇒/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1.∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．证明： 充分性：∵0<a <45，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0， 则ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立． 而当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立． 必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45.故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析： 先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件， 所以A ⊆B ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3. 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( ) A ．p 为真命题，p 且q 为假命题 B ．p 为假命题，q 为假命题 C ．q 为假命题，p 或q 为真命题 D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析： ∵p 为真命题，q 为假命题， ∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④解析： ∵綈p ∨綈q 是假命题 ∴綈(綈p ∨綈q )是真命题 即p ∧q 是真命题 答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题． 若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件． 答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析： ∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴y ＝－2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为增函数，∴y ＝2x－2－x在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D ，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：綈p 1是假命题，(綈p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A.故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．“a ≥5且b ≥3”的否定是____________； “a ≥5或b ≤3”的否定是____________． 答案： a ＜5或b ＜3 a ＜5且b ＞3 6．在下列命题中：①不等式|x ＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“非p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的一个解，所以p是真命题，所以非p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q 为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“非p”的形式，其中p：A⊆A∪B.因为p为真命题，所以“非p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8∉{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；(2)p：函数y＝tan x是周期函数；(3)p：∅⊆A；(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是∅.解析：∅ A尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q ⇒/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B . 所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章1.4.1、2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,2x>0解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题．C 中当x ＝0时，x 2＝0不大于0，是假命题． D 中∀x ∈R,2x>0是真命题． 答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数 D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数 解析： ∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )． ∴f (x )是偶函数又∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R ) ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数． ∴A 对，B 、C 、D 错．故选A. 答案： A 3．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x .其中的真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析： 对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平面直角坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x图象的上方，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－3或a >2 B ．a ≥2 C ．a >－2D ．－2<a <2解析： 依题意：ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立， 即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，所以有：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，16－4 a ＋2 a －1 ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，a 2＋a －6≥0⇔a ≥2.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )>0”用“∃”或“∀”可表述为________． 答案： ∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析： 当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题；x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，∴命题q 为真命题， ∴“p 且q ”为真命题． 答案： 真三、解答题(每小题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假： (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |. (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0.解析： (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)∵a x>0(a >0且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是无理数，则x2是无理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表示)解析：(1)∃x∈R，x>2.(2)∀x∈R，x2≥0；∃x∈R，x2≥0都是真命题．(3)∃x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是无理数，则x2是无理数．(如42)(5)∃a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章1.4.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是( )A．不存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0 D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p：∃m0∈R，使方程x2＋m0x＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是( )A ．∃m 0∈R ，使得方程x 2＋m 0x ＋1＝0无实根 B ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析： 由特称命题的否定可知，命题的否定为“对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根”．故选B.答案： B3．“∃x 0∉M ，p (x 0)”的否定是( ) A ．∀x ∈M ，綈p (x ) B ．∀x ∉M ，p (x ) C ．∀x ∉M ，綈p (x ) D ．∀x ∈M ，p (x )答案： C4．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题；③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析： 当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，∴命题q 为真命题． ∴p ∧q 为真，p ∧¬q 为假，¬p ∨q 为真，¬p ∨¬q 为假． 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析： ∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，所以命题p 是假命题． 答案： 特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真6．(1)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． (2)命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________． 答案： (1)∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3 (2)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0 三、解答题(每小题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假． (1)所有正方形都是矩形；(2)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)∃θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：∀θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在一个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)∀a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a²c＝b²c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等比数列．解析：(1)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab，假；命题的否定：∃a，b∈R，若a＝b，则a2≠ab，假；(2)否命题：若a²c≠b²c，则a≠b.真；命题的否定：∃a，b，c，若a²c＝b²c，则a≠b，真；(3)否命题：若b2≠ac，则a，b，c不是等比数列，真．命题的否定：∃a，b，c∈R，若b2＝ac，则a，b，c不是等比数列，真．1章整合(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；③sin π2＝1；④x 2－4x ＋4＝0.其中是命题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析： 只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x ，不能判断真假． 答案： B2．与命题：“若a ∈P ，则b ∉P ”等价的命题是( ) A ．若a ∉P ，则b ∉P B ．若b ∉P ，则a ∈P C ．若a ∉P ，则b ∈P D ．若b ∈P ，则a ∉P答案： D3．对命题p ：1∈{1}，命题q ：1∉∅，下列说法正确的是( ) A ．p 且q 为假命题 B ．p 或q 为假命题 C ．非p 为真命题D ．非q 为假命题 解析： ∵p 、q 都是真命题，∴綈q 为假命题． 答案： D4．下列四个命题中真命题的个数为( )①若x ＝1，则x －1＝0；②“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题；③“等边三角形的三边相等”的逆命题；④“全等三角形的面积相等”的逆否命题．A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①是真命题；②逆否命题为“若b ≠0，则ab ≠0”，是假命题；③“等边三角形的三边相等”改为“若p ，则q ”的形式为“若一个三角形为等边三角形，则这个三角形的三边相等”，其逆命题为“若一个三角形的三边相等，则这个三角形为等边三角形”，是真命题；④“全等三角形的面积相等”改为“若p ，则q ”的形式为“若两个三角形为全等三角形，则这两个三角形的面积相等”，其逆否命题为“若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不是全等三角形”，是真命题．答案： C5．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析： 命题①是假命题，其逆命题为1a <1b，则a >b ，是假命题．故A 、C 错误．命题②是真命题，其逆命题为假命题，逆否命题为真命题．故选D.答案： D6．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析： 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b2a .当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值． ∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，故选C. 答案： C7．“x <－1”是“x 2－1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： x 2－1>0⇒x >1或x <－1，故x <－1⇒x 2－1>0，但x 2－1>0⇒/ x <－1， ∴“x <－1”是“x 2－1>0”的充分而不必要条件． 答案： A8．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由a >0且b >0可得a ＋b >0，ab >0，由a ＋b >0有a ，b 至少一个为正，ab >0可得a 、b 同号， 两者同时成立，则必有a >0，b >0.故选C. 答案： C9．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1>0 C ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析： 由于已知命题是全称命题，其否定应为特称命题，并且对原命题的结论进行否定，由此可知B 正确．答案： B10．对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是( ) A ．－4≤k ≤0 B ．－4≤k <0 C ．－4＜k ≤0D ．－4＜k ＜0解析： 依题意，有k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0.解得－4<k ≤0.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．“若x 2＝y 2，则x ＝－y ”的逆命题是________命题，否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析： 若x 2＝y 2，则x ＝－y 的逆命题为：若x ＝－y ，则x 2＝y 2，是真命题；否命题为：若x 2≠y 2，则x ≠－y ，是真命题．答案： 真 真12．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．解析： 由a ＋b ＝0得a ＝－b ，即a ∥b ，但a ∥b 不一定有a ＝－b ，所以“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．答案： 充分不必要 13．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有________．(填序号)解析： ①中不等式x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔x ∈R . ∴对∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3成立．①是真命题．②中log 2x ＋log x 2≥2⇔ log 22x －2log 2x ＋1log 2x ≥0⇔log 2x >0或log 2x ＝1⇔x >1.∴②是真命题．③中⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0⇒1a <1b c <0⇒c a >c b ，原命题为真命题，逆否命题为真命题，∴③是真命题． ④中p 为真命题，q 为真命题，命题p ∧綈q 是假命题．答案： ①②③14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析： 对∀x ∈R ，p (x )是真命题，就是不等式ax 2＋2x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立． (1)若a ＝0，不等式化为2x ＋1＞0，不能恒成立；(2)若⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a >1；(3)若a ＜0，不等式显然不能恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围是a ＞1. 答案： a ＞1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)写出下列命题的“若p ，则q ”形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．(1)全等三角形的对应边相等； (2)四条边相等的四边形是正方形．解析： (1)“若p ，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等；是真命题．逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等；是真命题． 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等；是真命题． 逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等；是真命题． (2)“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；是假命题． 逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；是真命题． 否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；是真命题． 逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等；是假命题．16．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假：(1)p ：3是质数，q ：3是偶数；(2)p ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解，q ：x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解． 解析： (1)p 或q ：3是质数或3是偶数；p 且q ：3是质数且3是偶数；非p ：3不是质数．因为p 真，q 假，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题． (2)p 或q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解或x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；p 且q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解且x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；非p ：x ＝－2不是方程x 2＋x －2＝0的解．因为p 真，q 真，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为真命题，“非p ”为假命题． 17．(本小题满分12分)是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由．解析： 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1， 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4， 当B ⊆A 时，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p ＜0是x 2－x －2>0的充分条件．18．(本小题满分14分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增．q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．解析： ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2，在[－2，＋∞)上单调递增， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2. 即p ：a ≤－1或a ≥2由不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0－a 2－4a ＜0解得0≤a ＜4 ∴q ：0≤a ＜4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真． ∴p 与q 一真一假． ∴p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a ≥2a <0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜2，0≤a ＜4.∴a ≤－1或a ≥4或0≤a ＜2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．第2章2.1.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1,5)D ．(4,4)解析： 代入每个点逐一验证，D 正确． 答案： D2．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在C 上 C ．不在C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 答案： C3．方程(3x －4y －12)[log 2(x ＋2y )－3]＝0的图象经过点A (0，－3)，B (0,4)，C (4,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74中的( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析： 由方程x ＋2y >0，可知A ，D 两点不符合题意；对于点B (0,4)，x ＋2y ＝8＝23，则有log 2(x ＋2y )－3＝0；对于点C (4,0)，3x －4y －12＝0.故选C.答案： C4．方程y ＝|x |x2表示的曲线为图中的( )解析： y ＝|x |x2，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B.又因为当x >0时，y ＝1x>0；当x <0时，y ＝－1x>0，所以排除D.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 解析： 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α＜2π， 所以α＝π3或α＝53π.答案：π3或5π36．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R)的交点有______个． 解析： 利用数形结合的思想方法，如图所示：答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分) 7．判断下列命题是否正确．(1)过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为|y |＝3. (2)以坐标原点为圆心，半径为r 的圆的方程是y ＝r 2－x 2. (3)方程(x ＋y －1)²x 2＋y 2－4＝0表示的曲线是圆或直线．(4)点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)都在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．解析： (1)不对，过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为y ＝3，而不是|y |＝3.(2)不对．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解， 则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2. 两边开平方取算术根，得x 20＋y 20＝r .即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r 的圆上的一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2. (3)不对．由(x ＋y －1)²x 2＋y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0或x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4≥0所以表示的是圆和两条射线． (4)不对．把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点的横坐标满足x ≤0， 则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上． 把点B (－32，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25， ∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25，∴点B 不在方程所表示的曲线上．尽管C 点坐标满足方程，但 ∵横坐标5不满足小于或等于0的条件， ∴点C 不在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上．8．已知曲线C 的方程为x ＝9－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解析： 由x ＝9－y 2，得x 2＋y 2＝9.又x ≥0，∴方程x ＝9－y 2表示的曲线是以原点为圆心，3为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π²9＝92π.所以所求图形的面积为92π.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)．求m ，n 的值． 解析： ∵方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1 2＋n ＝1， m ＋1 2＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝－1.∴m ＝－1，n ＝1为所求．第2章2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析： 设P (x ，y )，∵k PA ＋k PB ＝－1， ∴y －0x － －1 ＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)．答案： B2．已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|M N →|²|M P →|＋M N →²N P →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析： 由|M N →|²|M P →|＋M N →²N P →，得4³[x － －2 ]2＋ y －0 2＋(4,0)²(x －2，y －0)＝0， ∴y 2＝－8x . 答案： A3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析： 设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |得 x ＋2 2＋y 2＝2 x －1 2＋y 2， 整理得x 2－4x ＋y 2＝0 即(x －2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， 故S ＝4π. 答案： B4．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →²M B →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)解析： 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，M B →＝(1－x ，－y )．由MA →²M B →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )2＝0， 即x 2＋y 2＝1.故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．解析： 设点B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1.①设线段AB 中点为M (x ，y )，则x ＝x 02，y ＝y 0－12，即x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入①式，得 2y ＋1＝2²(2x )2＋1.即y ＝4x 2为线段AB 中点的轨迹方程． 答案： y ＝4x 26．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．解析： 设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧， 其半径等于1－x ，则|PC |＝1－x ＋1， 即 x ＋2 2＋y 2＝2－x ， 整理得y 2＝－8x . 答案： y 2＝－8x三、解答题(每小题10分，共20分)7．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若B P →＝2P A →，且O Q →²A B →＝1.求P 点的轨迹方程．解析： 由B P →＝2P A →，P (x ，y )可得B (0,3y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，0，∴A B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y .∵Q 与P 关于y 轴对称， ∴Q (－x ，y )，且OQ →＝(－x ，y )．由O Q →²A B →＝1得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．8．过点P 1(1,5)作一条直线交x 轴于点A ，过点P 2(2,7)作直线P 1A 的垂线，交y 轴于点B ，点M 在线段AB 上，且BM ∶MA ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解析： 如图所示，设过P 2的直线方程为y －7＝k (x －2)(k ≠0)，则过P 1的直线方程为y －5＝－1k(x －1)，所以A (5k ＋1,0)，B (0，－2k ＋7)．① 设M (x ，y )，则由BM ∶MA ＝1∶2， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5k ＋13，y ＝－4k ＋143，②消去k ，整理得12x ＋15y －74＝0. 故点M 的轨迹方程为12x ＋15y －74＝0.③尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析： 方法一(直接法)：如图，因为Q 是OP 的中点， 所以∠OQC ＝90°.设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2， 即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法二(定义法)：如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法三(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x y 1＝2y，又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．第2章2.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9＜m ＜25B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞8解析： 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0m ＋9＞0m ＋9＞25－m，解得8＜m ＜25，即实数m 的取值范围是8＜m ＜25，故选B. 答案：B2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析： c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案： A3．已知(0，－4)是椭圆3kx 2＋ky 2＝1的一个焦点，则实数k 的值是( ) A ．6 B.16 C ．24D.124解析： ∵3kx 2＋ky 2＝1， ∴x 213k ＋y 21k＝1. 又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，∴a 2＝1k ，b 2＝13k ，c 2＝a 2－b 2＝1k －13k ＝23k ＝16，∴k ＝124.答案： D4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1→²PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析： ∵PF 1→²PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64 ①|PF 1|＋|PF 2|＝10 ②②2－①，得2|PF 1|²|PF 2|＝102－64， ∴|PF 1|²|PF 2|＝18， ∴△F 1PF 2的面积为9. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．解析： 由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2， 则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27. 由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝42＋22－ 27 22³4³2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°. 答案： 2 120°6．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →²FP→的最大值为________．解析： 椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )， 则x 24＋y 23＝1， OP →²FP →＝(x ，y )²(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2 ＝14x 2＋x ＋3 ＝14(x ＋2)2＋2 ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →²FP →有最大值6. 答案： 6三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)，。
高中数学选修21课后习题答案[人教版].pdf
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练习（P8）
证明：若 a − b = 1，则 a2 − b2 + 2a − 4b − 3
= (a + b)(a − b) + 2(a − b) − 2b − 3 = a + b + 2 − 2b − 3 = a −b −1= 0 所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.
习题 1.1 A 组（P8） 1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.
2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题. 否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题. 逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.
3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题. 否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题. 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.
学海无涯
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
练习（P37）
1、是. 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x = 0. 2、 a = 32 ,b = 18 .
25 25
3、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， (x, y) .
（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率
迹方程为 x2 + y2 = 4.
4、解法一：设圆 x2 + y2 − 6x + 5 = 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) . 由题意，得 CM ⊥ AB ，则有 kCM kAB = −1 .
学海无涯
所以， y y = −1 (x 3, x 0) x−3 x
金版新学案(人教版)高中数学选修2-1练习：2.4.1(含答案)
第二章 2.4.1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．抛物线y 2＝ax 的准线方程是x ＝－2，则a 的值是( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析： 由题意知a >0，即2p ＝a ，∴p 2＝a 4，∴－p2＝－2，p ＝4，∴a ＝8.答案： C2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析： 椭圆右焦点为(2,0)，所以p2＝2，p ＝4.答案： D3．若A 是定直线l 外的一定点，则过点A 且与l 相切的圆的圆心的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．圆的一部分D ．抛物线解析： 如图所示，以直线l 为y 轴，以过点A 且与l 垂直的直线为x 轴建立直角坐标系，设动圆的圆心为P ，则|P A |＝|PB |.即动点P 到定点A 和到定直线l 的距离相等，依定义可知，动圆圆心的轨迹为抛物线． 答案： D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析： 根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解． ∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ca ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝________.解析： 由抛物线定义，得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案： 86．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.解析： 数形结合法．建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py 得p ＝1. ∴x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0＞0)，将其坐标代入x 2＝－2y 得x 20＝6，∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m. 答案： 2 6三、解答题(每小题10分，共20分)7．若抛物线y 2＝2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标．解析： 由抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，由抛物线y 2＝2px (p >0)，可知其准线为x ＝－p 2，即p2＋9＝10，则p ＝2，所以抛物线为y 2＝4x ，当x ＝9时，y 2＝36，得y ＝±6，所以点M 的坐标为(9,6)或(9，－6)．8．已知点M 与点F (4,0)的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程． 解析： 方法一：设动点M 的坐标为(x ，y )，点M 到定直线l 的距离为d ，依题意得|MF |＝d －1，即x －2＋y －2＝x ＋4，平方整理得y 2＝16x .方法二：设点M 的坐标为(x ，y )，由已知条件“点M 与点F (4,0)的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1”即“点M 与点F (4,0)的距离与它到直线l ：x ＋4＝0的距离相等”，根据抛物线定义可知，点M 的轨迹是以F (4,0)为焦点，直线l ：x ＋4＝0为准线的抛物线，p2＝4,2p ＝16，轨迹方程是y 2＝16x .9． (10分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？解析： 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB |＝24 cm.灯深|OP |＝10 cm ，所以点A 的坐标是(10,12)． 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．由点A (10,12)在抛物线上，得122＝2p ×10，∴p ＝7.2. 抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)． 因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.。
人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答
高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、例:(1)若x2x 2 0,则 x 1;(2) 若x 1,则x2x 20 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称 . 这是真命题 .（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被 5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被 5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：证明：命题的逆否命题是：若 a b 1，则 a2b22a 4b 3a2b22a 4b 3 (a b) (a b) 2 (a b )2b当 a b 1时原式 a b 2 2 b 3 a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则 a,b 都是偶数 . 这是假命题 .否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数 . 这是假命题 .逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b 不都是偶数 . 这是真命题 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ] （ 2）逆命题：若方程x2x m 0 有实数根，则 m 0 . 这是假命题 .否命题：若 m 0 ，则方程 x2x m 0 没有实数根 . 这是假命题 .逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 . 这是真命题 .3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上 .这是真命题.（ 2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB,CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E，若 E和圆心 O 重合，则 AB,CD 是经过圆心 O 的弦， AB,CD 是两条直径 . 若 E 和圆心O 不重合，连结AO, BO ,CO 和DO，则OE是等腰AOB，COD的底边上中线，所以，OE AB OE CD.，AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的 . 所以， E 和 O 必然重合 . 即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件 .2、（1） p 是 q 的必要条件；（2）p是q的充分条件；（ 3） p 是 q 的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充分性：如果 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形 .（ 2）必要性：如果ABC 是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc1.3简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1） 2 2 5 ，真命题；（2）3不是方程x290 的根，假命题；（3） ( 1)21，真命题 .习题 1.3 A组（P18）1、（1） 4 {2,3} 或 2 {2,3} ，真命题；（2）4{2,3} 且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1） 2 不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3） 2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（P18）（1）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（2）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（3）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题；（4）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（ P26）1、（1）n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题 1.4 A组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）x0N , x03x02；（2）存在一个可以被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3）x R, x2x 1 0 ；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题 1.4 B组（P27）（ 1）假命题 . 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（ 2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与x轴不相交；（ 3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于 180 ；（ 4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）n N ,n2 0 ；（2）P { P P 在圆 x2 y2 r 2上}， OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y是整数 } ， 2x 4y 3 ；（ 4）x0 { x x 是无理数}， x03 { q q 是有理数} .6、（1） 3 2 ，真命题；（2） 5 4 ，假命题；（ 3）x0 R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1、（1） p q；（2） ( p) ( q) ，或( p q) .2、（1）Rt ABC ， C 90，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2 a2 b2；（2）ABC ，A, B, C 的对边分别是a b c a, b, c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x 0 .2、 a 32 , b 18 .25 253、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， ( x, y) .（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率 k CA2 0 22 t2 t1 t 2所以， k CB2kCA由直线的点斜式方程，得直线 CB 的方程为 y2 t 2 ( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐标为 (0,4 t) .由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得xt, y 4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y2 2得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题 2.1 A组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y 1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c 0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c 0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为 x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点 M 的轨迹方程为 x 2y 24.4、解法一：设圆 x 2 y 2 6x 5 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CMAB ，则有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以，yy 1 (x 3, x0)x 3x化简得 x 2y 2 3x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x 0 时， y0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 2 3x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 2 3x0 ，5x 3.OCM 是直角三角形，3解法二：注意到利用勾股定理，得 x 2 y 2 ( x 3)2 y 2 9 ，即 x 2 y 2 3x0 . 其他同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为 xy 1 .a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以34 1 因此， ab 4a 3ba b由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3y 0 .2、解：如图，设动圆圆心 M 的坐标为 (x, y) .y由于动圆截直线 3x y 0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD4 .过点M 分别CMF E作直线 3xy 0 和 3x y 0 的垂线，垂足分别为 E ，DF ，则 AE4， CF 2 . A3x y3x yME， MF10 .10Ox连接 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2题）22CF 22 则有， AE MEMF所以， 16 (3 x y)24 (3 x y) 2 ，化简得， xy 10 .10 10因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1；（2） y2 x2 1；（3） x2 y2 1，或 y2 x2 16 16 36 16 36 163、解：由已知， a 5 ， b 4 ，所以c a2 b2 3.（1）AF1 B 的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.由椭圆的定义，得 AF1 AF2 2a ， BF1 BF2 2a .所以，AF1B 的周长4a20 .（2）如果 AB 不垂直于x轴，AF1B的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1B 的周长20，这是定值.4、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x 1) ；kAMx 1直线 BM 的斜率y(x 1) ；kBMx 1由题意，得kAM2 ，所以y 2 y (x 1, y 0) k BM x 1 x 1化简，得 x 3 ( y 0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点 ( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2 （或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为 F1 , F2. A 1 F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点.B 1 这是因为，在 Rt B2OF2中， OB2 b ， B2 F2 OA2 a ，（第 1题）所以， OF2 c . 同样有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为( 8,0) ， (8,0) ；14 .1.F2A2x（ 2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x 2 y 21；（ 2） y2x 2 1 .36 3225 164、（1）x 2y21（ 2） x2y21 ，或 y 2x 2 1. 94100 64100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是 1 ，316 12 2因为221，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 9x 2y 2 36 更扁；3216 12（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是10 ，36105 因为2210，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 x 2 9 y 2 36更扁 .356106、（1） (3, 8) ； （2） (0,2) ； （3） ( 48 , 70) .7、82 . 5 3737 7习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 满足的关系式x 2 ( y 3)2 x 2 ( y 3) 2 10 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以 F 1(0, 3) ， F 2 (0,3) 为焦点，长轴长为 10 的椭圆 .它的方程是y 2x 2 1.25 162、（1）x 2y 21； （ 2）y 2x 21 ；（3） x2y 21 ，或 y 2x 21.36 3225 9494049403、（1）不等式 2 x 2 ， 4 y 4 表示的区域的公共部分；（2）不等式 25 x2 5 ， 10 y10表示的区域的公共部分 .图略 .334、（1）长轴长 2a8，短轴长 2b 4 ，离心率 e 3 ，2焦点坐标分别是 ( 2 3,0) ， (2 3,0) ，顶点坐标分别为 ( 4,0) ， (4,0) ， (0, 2) ， (0,2) ；（2）长轴长 2a18 ，短轴长 2b6 ，离心率 e2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 6 2) ， (0,6 2) ，顶点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， ( 3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2 y2 1，或 y2 x2 1 ；8 5 9 81 9（3） x2 y2 1，或 y 2 x2 1 .25 9 25 96、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2 y P 1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x2 1 1 ，解得 x 15 .P5 4 215 l所以，点 P 的坐标是1) ，共有 4 个 .( ,2 QA 7、解：如图，连接 QA . 由已知，得 QA QP . O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以OA OP（第 7题）根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点，r为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x2 y21 ，得 9x2 6mx 2 18 0.x m 代入椭圆方程92m2 4这个方程根的判别式36m2 36(2m2 18)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 3 2,3 2) 时，直线与椭圆相交. （ 2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段 AB 的中点为 M (x, y) .则 x x1 x2 m .2 3因为点 M 在直线 y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得3x 2y 0 .2 3这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x2y29、3.5252 2.87521.10、地球到太阳的最大距离为 1.5288 108 km，最下距离为 1.4712108 km. 习题 2.2 B 组（ P50）1、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，点 P 的坐标为( x0, y0)，则 x x0，y 3y0 . 所以 x0 x ，y0 2 y ⋯⋯① .2 3因为点 P(x0 , y0 ) 在圆上，所以 x02 y02 4 ⋯⋯②.将①代入②，得点 M 的轨迹方程为 x2 4 y2 4，即 x2 y2 19 4 9所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例 2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为P( x, y) ，半径为 R ，两已知圆的圆心分别为 O1, O2.分别将两已知圆的方程x 2 y2 6x 5 0 ， x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y 2 4 ， ( x 3)2 y2 100当 P 与O1： ( x 3)2 y2 4 外切时，有O1P R 2 ⋯⋯①当P 与O2：( x 3)2y2100内切时，有O2P 10 R⋯⋯②①②两式的两边分别相加，得 O1P O2 P 12即， ( x 3)2 y2 (x 3) 2 y2 12 ⋯⋯③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得 2 (x 3)2 y2 12 x ⋯⋯④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥36 27由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6 3 . 解法二：同解法一，得方程( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 ⋯⋯①由方程①可知，动圆圆心P(x, y) 到点O1( 3,0)和点O2(3,0) 距离的和是常数12，第11页共38页。
2022-2021年《金版学案》数学·人教A版选修2-1练习：章末评估验收(二)
章末评估验收(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．已知A (0，－5)，B (0，5)，|PA |－|PB |＝2a (a ＞0)，当a ＝3和5时，点P 的轨迹为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和两条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线解析：当2a ＜|AB |时，表示双曲线的一支；当2a ＝|AB |时，表示一条射线． 答案：D2．抛物线y ＝4x 2的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝116D ．y ＝－116解析：由抛物线方程x 2＝14y ，可知抛物线的准线方程是y ＝－116.答案：D3．假如方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2答案：D4．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是( )A.52B.32C. 3D. 5解析：由题意知，渐近线方程为kx ±y ＝0，所以k ＝14，所以e ＝52.答案：A5．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案：B6．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线焦点为(±4，0)，顶点为(±2，0)，故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点为(±4，0)．答案：A7．已知点P 是双曲线x 29－y 216＝1右支上的一点，点M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案：D8．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．m ≥1或0＜m ＜1C ．m ≥1且m ≠5D ．0＜m ＜5且m ≠1解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以025＋1m≤1，解得m ≥1.又m ≠5，故选C. 答案：C9．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)的离心率为2，其中一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn ＝( )A.316B.38C.163D.83解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，所以m ＋n ＝1，且n m ＝e 2－1＝3.解得m ＝14，n ＝34.所以mn ＝316，故选A.答案：A10．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1－2，1＋2)D ．(2，2＋1)答案：A11．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：由点A (－2，3)在抛物线y 2＝2px 的准线上，所以－2＝－p2，所以p ＝4，因此焦点F (2，0)，故AF 的斜率k ＝3－2－2＝－34.答案：C12．(2022·课标全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝2x }，则A ∩B 的子集的个数是________．解析：由于集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝2x }，且(0，1)在椭圆内，所以两曲线有两个交点，所以A ∩B 有两个元素，所以A ∩B 的子集的个数是22＝4.答案：414．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________．答案：21015．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5.于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.答案：7216．若Q (0，4)，P 为y ＝x 2＋1上任一点，则|PQ |的最小值为________． 答案：112三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程，并求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：椭圆x 2144＋y 2169＝1的焦点是(0，－5)，(0，5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．又由于双曲线过点(0，2)，所以c ＝5，a ＝2. 所以b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21.所以双曲线的标准方程是y 24－x 221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝ca ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x . 18．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解：由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1，有两个不同的实数解． 消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎨⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0.解得0＜a ＜2且a ≠1.所以双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝1a 2＋1. 由于0＜a ＜2且a ≠1，所以e ＞62且e ≠ 2. 故离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知向量m 1＝(0，x )，n 1＝(1，1)，m 2＝(x ，0)，n 2＝(y 2，1)(其中x ，y 是实数)，又设向量m ＝m 1＋2n 2，n ＝m 2－2n 1，且m ∥n ，点P (x ，y )的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作一条直线l 与曲线C 交于另一点N ，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．解：(1)由已知，得m ＝(0，x )＋(2y 2，2)＝(2y 2，x ＋2)，n ＝(x ，0)－(2，2)＝(x －2，－2)．由于m ∥n ，所以2y 2(－2)－(x ＋2)(x －2)＝0， 即所求曲线C 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)求得点M (0，1)，明显直线l 与x 轴不垂直． 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－4k1＋2k 2(x 1，x 2分别为点M ，N 的横坐标)． 由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 1＋2k 2＝423，解得k ＝±1.所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.20．(本小题满分12分)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，O为坐标原点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝23时，求k 的值．解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，所以c ＝1. 把点P 的坐标代入椭圆方程，得1a 2＋12b 2＝1，又由于a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.所以椭圆的标准方程为x22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切， 则|m |k 2＋1＝1， 即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.由于直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2＝2k 21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝1－k 21＋2k 2， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k2＝23，所以k ＝±1. 21．(本小题满分12分)如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从点A 到点B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解：(1)由⎩⎨⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.由于OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎨⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎨⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2， 抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设点P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与直线l 平行时，△ABP 的面积最大．设切线方程是y ＝2x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋t ，x 2＝－2y得x 2＋4x ＋2t ＝0，所以Δ＝42－4×2t ＝0，所以t ＝2. 此时，点P 到直线l 的距离为两平行线间的距离，d ＝|2＋2|5＝455.由⎩⎨⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y得x 2＋4x －4＝0，|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝1＋22×（－4）2－4×（－4）＝410.所以△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2.22．(本小题满分12分)过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程．(2)若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MA ⊥MB ？并说明理由．解：(1)由抛物线的定义得|AF |等于点A 到准线y ＝－p 2的距离，所以1＋p2＝2，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的焦点为F (0，1)，直线l 的方程y ＝2x ＋1，设点A 、B 、M 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214、⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224、⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 204，由方程组⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝2x ＋1，消去y 得：x 2＝4(2x ＋1)，即x 2－8x －4＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝－4. 由于MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0，所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 214－x 204⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224－x 204＝0， 所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋116(x 1－x 0)(x 2－x 0)(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0.由于M 不与A ，B 重合，所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)≠0， 所以1＋116(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0，x 1x 2＋(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋16＝0，所以x 20＋8x 0＋12＝0，由于Δ＝64－48＞0，所以方程x 20＋8x 0＋12＝0有解，即抛物线C 上存在一点M ， 使得MA ⊥MB .。
金版新学案(人教版)高中数学选修2-1练习：模块综合检测A(含答案)
模块综合检测A一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1解析： 利用特称(存在性)命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 答案： C2．在命题“若x ∈R ，f (x )＝0，则函数f (x )是奇函数”的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析： 原命题与逆否命题是假命题，逆命题与否命题是真命题． 答案： B3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“l ∥m ”是“α⊥β”的( ) A ．充要条件 B ．必要条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ∥m ⇒⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊂β⇒α⊥β， ∴“l ∥m ”是“α⊥β”的充分条件，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥αm ⊂β⇒/ l ∥m . 答案： C4．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R)，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③¬p ；④¬q .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 命题p 为真，命题q 为假，故p 或q 真，¬q 真． 答案： B5．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向上的单位向量，且OA→＝2k ，AB →＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标为( )A ．(－1,1，－1)B ．(－i ，j ，－k )C ．(1，－1，－1)D ．(－1,1,1)解析： 设点B 的坐标为(x ，y ，z )， 则有AB →＝(x ，y ，z －2)＝(－1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1.故选D.答案： D6．如下图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15 B.25 C.35D.45解析： 连接BC 1，则BC 1∥AD 1，∠A 1BC 1为A 1B 与AD 1所成角，不妨设AB ＝1，则AA 1＝2.cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212A 1B ·BC 1＝5＋5－22×5＝45.答案： D7．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析： 双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1. 答案： D8．如图，在锐二面角α－l －β的棱l 上有两点A ，B ，点C ，D 分别在平面α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，AC 与BD 所成角为45°，则CD 的长度为( )A.2－1 B ．2 C. 2D. 5解析： |CD →|＝ CA →＋AB →＋BD → 2＝CA 2→＋AB 2→＋BD 2→＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD→ ＝12＋12＋12＋0＋2×1×1×cos 135°＋2×1×1×cos 135° ＝3－22＝2－1. 答案： A9．设F 1，F 2是双曲线x 2－4y 2＝4a (a >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足：PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，则a 的值为( )A ．2 B.52C ．1D. 5解析： 双曲线方程化为x 24a －y 2a ＝1(a >0)，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝20a ， ① 由双曲线定义|PF 1→|－|PF 2→|＝±4a ， ② 又已知：|PF 1→|·|PF 2→|＝2，③由①②③得：20a －2×2＝16a ，∴a ＝1. 答案： C10．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2，3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．2B ．1 C.12D ．3解析： ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，即a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝0，解得m ＝2. 答案： A11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 5C. 6D ．2解析： 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，根据对称性，不妨取y ＝b a x ，代入抛物线得ba x ＝x 2＋1，整理得ax 2－bx ＋a ＝0.因为渐近线与抛物线相切，所以判别式Δ＝b 2－4a 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，解得e 2＝c 2a2＝5，所以离心率e ＝ 5.故选B.答案： B12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13D.33解析： 以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)．可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈AC 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为13. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中的横线上) 13．(1)命题∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0的否定是________； (2)命题∃x 0∈R ，x 20＋3x 0－4≤0的否定是________． 答案： (1)∃x 0∈R ，x 20－x 0＋3≤0 (2)∀x ∈R ，x 2＋3x －4>014．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则x ＝________，y ＝________. 解析： ∵a ＋2b ＝(1＋2x,2＋2，－y ＋4)＝(2x ＋1,4,4－y )， 2a －b ＝(2－x,4－1，－2y －2)＝(2－x,3，－2y －2)， (a ＋2b )∥(2a －b )，∴2x ＋12－x ＝43，得x ＝12，4－y －2y －2＝43，得y ＝－4.答案： 12－415．双曲线x 2－y 2＝1的右支上到直线y ＝x 的距离为2的点的坐标是________． 解析： 设双曲线的右支上的点为P (x ，y )，x >0，则|x －y |2＝2，|x －y |＝2.又x 2－y 2＝1，解得x ＝54，y ＝－34或x ＝－54，y ＝34(舍去)，所以所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫54，－34. 答案： ⎝⎛⎭⎫54，－34 16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为________．解析： 方法一：如图，取BC 的中点M ，连接OM ，AM . 则OM ⊥平面ABCD .∴∠OAM 为AO 与平面ABCD 的夹角． 令AB ＝2，则AM ＝5，OM ＝1， ∴AO ＝ 6.sin ∠OAM ＝66. 方法二：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，令AB ＝2，则A (2,0,0)，O (1,2,1)， ∴AO →＝(－1,2,1)．又DD 1→＝(0,0,2)为平面ABCD 的法向量．设AO 与平面所成角为α， 则sin α＝|cos 〈AO →，DD 1→〉|＝|AO →·DD 1→||AO →|·|DD 1→|＝26·2＝66.答案：66三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设命题p ：方程x 2a ＋y 22＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实数根．若命题“p 且q ”是真命题，求a 的取值范围．解析： 由方程x 2a ＋y 22＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，得a >2.由关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实数根， 得Δ＝a 2－8<0， ∴－22<a <2 2.由命题“p 且q ”是真命题，得⎩⎨⎧a >2，－22<a <22，∴2<a <2 2. ∴a 的取值范围是(2,22)．18．(本小题满分12分)已知空间向量a ，b ，且〈a ，b 〉＝120°，|a |＝3，|b |＝4，求： (1)a ·b ；(2)(3a －2b )·(a ＋2b )．解析： (1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×4×cos 120°＝－6. (2)由(1)知：a ·b ＝－6；所以：(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3×32＋4×(－6)－4×42＝27－24－64＝－61. 19．(本小题满分12分)已知p ：x <－2，或x >10；q ：1－m ≤x ≤1＋m 2；¬p 是q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解析： ∵p ：x <－2，或x >10； q ：1－m ≤x ≤1＋m 2， ∴¬p ：－2≤x ≤10. ∵¬p ⇒q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m 2≥10，解得m ≥3. 又∵q 推不出¬p ，∴m ≠3. ∴m 的取值范围为(3，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，直线l ：y ＝x＋2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 与曲线|y |＝kx (k ＞0)的交点为A ，B ，求△OAB 面积的最大值． 解析： (1)由题设可知，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2， 因为直线l ：x －y ＋2＝0与圆O 相切，故有 |2|12＋ －1 2＝b .所以b ＝ 2.已知e ＝c a ＝33，所以有a 2＝3c 2＝3(a 2－b 2)．所以a 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点A (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则y 0＝kx 0， 设AB 交x 轴于点D ，由对称性知：S △OAB ＝2S △OAD ＝2×12x 0y 0＝kx 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 203＋y 202＝1，解得x 20＝62＋3k 2. 所以S △OAB ＝k ·62＋3k 2＝62k＋3k ≤62 2k·3k ＝62. 当且仅当2k ＝3k ，即k ＝62时取等号．所以△OAB 面积的最大值62. 21．(本小题满分13分)如图，在空间直角坐标系中，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．(1)证明：PC ⊥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角的大小．解析： (1)证明：∵AP ＝AB ＝2，BC ＝22，四边形ABCD 是矩形． ∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， ∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC →＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)， EF →＝(1,0,1)，∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0，∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF .(2)由(1)知平面BEF 的法向量n 1＝PC →＝(2,22，－2)， 平面BAP 的法向量n 2＝AD →＝(0,22，0)， ∴n 1·n 2＝8，设平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝84×22＝22， ∴θ＝45°，∴平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角为45°.22．(本小题满分13分)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在直线x ＋2y ＝2上． (1)求抛物线的标准方程；(2)直线y ＝kx ＋1(k >0)交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，AB 的中垂线交x 轴于点Q (x 0,0)．①当k ＝1时，求x 0的值； ②求x 0的取值范围．解析： (1)焦点在x 轴上为(2,0)，抛物线方程为y 2＝8x . (2)将y ＝kx ＋1代入抛物线方程并化简得 k 2x 2＋(2k －8)x ＋1＝0， Δ＝(2k －8)2－4k 2>0,0<k <2，①当k ＝1时，x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝4，AB 的中垂线方程为y －4＝－(x －3)， 令y ＝0得x 0＝7.②AB 的中垂线方程为y －4k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋k －4k 2，令y ＝0得x 0＝4＋4k 2－1k ，由0<k <2得1k >12，∴x 0＝4⎝⎛⎭⎫1k 2－⎝⎛⎭⎫1k ＋4>4×⎝⎛⎭⎫122－12＋4＝92. ∴x 0＞92.。
高二数学选修2-1测试试题及答案
（选修2-1）模块测试试题命题人：铁一中 周粉粉（本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是 （ ）A.若a b <，则88a b -<-B.若88a b ->-，则a b >C.若a ≤b ，则88a b -≤-D.若88a b -≤-，则a ≤b2．如果方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0, +∞)B ．(0, 2)C ．(0, 1)D ． (1, +∞)3.P:12≥-x ,Q:0232≥+-x x ，则“非P ”是“非Q ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2的周长是（ ）A 、24B 、25C 、26D 、 285.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A.3 B.23 C.38 D.32 6．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是（ ）7.椭圆221259x y +=的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则∆PF 1F 2的面积为（ ）A.9B.12C.10D.8 8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ａ．32Ｂ．22Ｃ．12Ｄ．339．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（ ） Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．1210．方程22111x y k k表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k11.方程12222=+kb y ka x (a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)，与方程12222=+by a x (a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ） （A ）有等长的短轴、长轴 （B ）有共同的焦点（C ）有公共的准线 （D ）有相同的离心率 12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．）13.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的 （①.充分而不必要条件，②.必要而不充分条件 ，③.充要条件） 14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA 与向量AC 所成的角为 ． 15.已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．16.抛物线的的方程为22x y =，则抛物线的焦点坐标为____________17.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ，则动点P 的轨迹是双曲线。
(完整版)数学选修2-1测试题(含答案)
数学选修2-1 综合测评时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．(2，－3，－22)解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b ≠0，a ∥b ⇔a ＝λb ，a ＝(1，－3,2)＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1，故选C. 答案：C2．若命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p ：( ) A ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0.答案：C3．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是( )A ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥β，m ∥αB ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥mC ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥mD ．l ∥α，m ∥β且l ∥m解析：由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，因为m ⊥β，所以α∥β，故C 选项正确． 答案：C4．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1解析：由x 24－y 212＝1，得y 212－x 24＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.答案：D5．已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB ＝60°，将这个菱形沿AC 折成60°的二面角，则B ，D 两点间的距离为( )A.32B.12C.32D.34解析：菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，则AC ′⊥BD ，沿AC 折叠后，有BO ⊥AC ′，DO ⊥AC ，所以∠BOD 为二面角B －AC －D 的平面角，即∠BOD ＝60°.因为OB ＝OD ＝12，所以BD ＝12.答案：B6．若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|2＋4＝ 3. 答案：A7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A.83 B.38 C.43 D.34解析：取DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．故A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1→·n ||n |＝43. 答案：C8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.答案：C9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪π6≤α≤π2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π2D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π3≤α≤π2 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 内，易证D 1N ⊥平面ADEM .本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．答案：A10．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53解析：由PF 1→·PF 2→＝0，得△PF 1F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2，∴e ＝c a ＝53，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题的否定形式为∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0，为真命题．即2x 2－3ax ＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]12．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则动点P 的轨迹方程是__________．解析：由OP →·OA →＝4得x ·1＋y ·2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝013．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为边长是1的正方形，P A ＝2，则AB 与PC 的夹角的余弦值为__________．解析：因为AB →·PC →＝AB →·(P A →＋AC →)＝AB →·P A →＋AB →·AC →＝1×2×cos45°＝1，又|AB →|＝1，|PC →|＝6，∴cos 〈AB →，PC →〉＝AB →·PC →|AB →||PC →|＝11×6＝66. 答案：6614．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________．解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，AO ＝a ，OF ＝c ，∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝12.∴e ＝c a ＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，所以m －1<0，m <1；因为f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 无解． 当p 假q 真时应有⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2.16．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，a 2＝2b ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)>0，m 2<3，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m 3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3.又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3与m 2<3矛盾．∴实数m 不存在．17．(13分)已知点P (1,3)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝92过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－322，点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线PF 与圆相切．(1)求m 的值与抛物线的方程；(2)设点B (2,5)，点Q 为抛物线上的一个动点，求BP →·BQ →的取值范围．解：(1)把点A 代入圆C 的方程，得(1－m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3222＝92，∴m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝92. 当直线PF 的斜率不存在时，不合题意．当直线PF 的斜率存在时，设为k ，则PF ：y ＝k (x －1)＋3，即kx －y －k ＋3＝0.∵直线PF 与圆C 相切， ∴|k －0－k ＋3|k 2＋1＝322. 解得k ＝1或k ＝－1.当k ＝1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为－2，不合题意，舍去． 当k ＝－1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为4，∴p 2＝4.∴抛物线方程为y 2＝16x .(2)BP →＝(－1，－2)，设Q (x ，y )，BQ →＝(x －2，y －5)，则BP →·BQ →＝－(x －2)＋(－2)(y －5)＝－x －2y ＋12＝－y 216－2y ＋12＝－116(y ＋16)2＋28≤28.∴BP →·BQ →的取值范围为(－∞，28]．18．(13分)如图，在四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC .(1)证明：AD ⊥CE ；(2)设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C －AD －E 的余弦值．解：①(1)证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系O －xyz .设A (0,0，t )．由已知条件知C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，CE →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，2，－t )，所以CE →·AD →＝0，得AD ⊥CE .(2)作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图②所示．②设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →＝(0，2，0)，CF →·BE →＝0，故CF ⊥BE .又AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥平面ABE ，故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°. 由CE ＝6，得CF ＝ 3.又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，因此A (0,0，3)．作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE .在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23|AD |.故G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，223，33，GC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－223，－33， GE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，23，－33. 又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0，GE →·AD →＝0，所以GC →与GE →的夹角等于二面角C －AD －E 的平面角．故二面角C －AD －E 的余弦值cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →|＝－1010.。
高中数学选修2-1 各章节同步练习及答案解析
第一章 1.1第1课时一、选择题1．下列语句中命题的个数为()①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数()A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关[答案]B[解析]当a>1时，指数函数f(x)＝a x是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数”是真命题．3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α[答案]D[解析]验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α.4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案]B[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是()A. a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案]B[解析]A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D 选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c)6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形[答案]C[解析]该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．二、填空题7．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是__________________(写出所有真命题的编号)．[答案]②④[解析]②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__________________．[答案]0[解析]∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；(3)余弦函数是周期函数吗？(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．[解析](1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．[解析](1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[答案]A[解析]“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.2．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β；③如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c ⊂α，∴c 与β无公共点，∴c ∥β，故②正确；由c ∥γ，c ⊂β，β∩γ＝m 得c ∥m ，同理可得c ∥n ，∴m ∥n ，故③正确．3．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题； 当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．4．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使a ＝λb ＋y e ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．二、填空题5．给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b； ④若a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9. 其中正确命题的序号是__________________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ②④[解析] ①在a >b >0两端同乘以1ab 可得1b >1a，故①错； ②由于⎝⎛⎭⎫a －1a －⎝⎛⎭⎫b －1b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0， 故②正确；③由于2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b <0，即2a ＋b a ＋2b <a b， 故③错；④由2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2a b，即a ＝b ＝13时取得等号，故④正确． 6．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是__________________．[答案] ①④[解析] 由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)方程x 2－2x －3＝0的解为x ＝3或x ＝－1.[解析] (1)若ac >bc ，则a >b .(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． (3)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4， 所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．第一章 1.1 第2课时一、选择题1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.2．“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为( )A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1[答案]C[解析]“若p则q”的否命题形式为“若¬p则¬q”．3．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[答案]B[解析]命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．4．“a2＋b2≠0”的含义是()A．a、b不全为0B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0[答案]A[解析]若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0，或a＝0且b≠0，或a≠0且b＝0，即a、b不全为0，故选A.5．原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是()A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[答案]C[解析]否命题是“非圆内接四边形不是等腰梯形”，为真命题．6．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案]D[解析]命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.二、填空题7．(2015·福建八县一中高二期末测试)命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__________________．[答案]假[解析]原命题的否命题是“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．8．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．[答案]若a∉B，则a∉A[解析]一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．三、解答题9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．10．判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[解析]逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
2022-2021年《金版学案》数学·人教A版选修2-1练习：模块综合评价
模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a＞b，则1a＜1b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．答案：B2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A3．若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是() A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．b＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)解析：若l∥α，则b·n＝0.将各选项代入，知D正确．答案：D4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是() A.12 B.32C．1 D. 3答案：B5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627 B.637 C.607 D.657答案：D6．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．30°D．0°解析：由于|a|＝|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.故向量a＋b与a－b的夹角是90°.答案：A7．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x答案：B8．三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则AB→·CD→等于()A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6 答案：C10．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105 答案：D11．已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y28＝1(x ＞0)D ．x 2－y210＝1(x ＞1)解析：如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，又由题意知点P 不能在x 轴上，所以点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支并除去与x 轴的交点．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P 点的轨迹方程为x 2－y28＝1(x ＞1)．答案：A12．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知命题p ：∀x ∈R(x ≠0)，x ＋1x ≥2，则綈p ：_____________．解析：首先将量词符号转变，再将x ＋1x ≥2改为x ＋1x＜2.答案：∃x ∈R(x ≠0)，x ＋1x ＜214．给出下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0，则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0， 则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)． 解析：对于①，命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；对于②，当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③.答案：①③15．在四周体O -ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x 4OB →＋x 4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．答案：116．与双曲线x 2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．解析：依题意设双曲线的方程x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1.答案：x 23－y 212＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设p ：函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增；q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0的解集只有一个子集，若“p ∨q ”为真，“(綈p )∨(綈q )”也为真，求实数a 的取值范围．解：当p 为真时，应有a ＞1；当q 为真时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解，所以Δ＝4－4log a 32＜0，解得1＜a ＜32.由于“p ∨q ”为真，所以p 和q 中至少有一个为真．又“(綈p )∨(綈q )”也为真，所以綈p 和綈q 中至少有一个为真，即p 和q 中至少有一个为假，故p 和q 中一真一假．p 假q 真时，a 无解；p 真q 假时，a ≥32，综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 18．(本小题满分12分)已知两点M (－2，0)、N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )． 所以|MN →|＝4，|MP →|＝（x ＋2）2＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2)，代入|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，即（x ＋2）2＋y 2＝2－x ，化简整理，得y 2＝－8x ，故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .19．(本小题满分12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点．(1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．解：(1)由⎩⎨⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎨⎧3－a 2≠0，Δ＞0，即－6＜a ＜6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a2，x 1x 2＝－23－a2.由于以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.所以(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a2＋1＝0， 所以a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.20.(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的全部棱长都为2，D 为CC 1的中点．(1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ； (2)求二面角A -A 1D B 的余弦值．(1)证明：如图，取BC 的中点O ，连接AO .由于△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .由于在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)，C (－1，0，0)，所以AB 1→＝(1，2，－3)，BD →＝(－2，1，0)，BA 1→＝(－1，2，3)． 由于AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0， AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1. 又BD 与BA 1交于点B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . (2)解：连接AD ，设平面A 1AD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．AD →＝(－1，1，－3)，AA 1→＝(0，2，0)． 由于n ⊥AD →，n ⊥AA 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量． 由(1)知AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→为平面A 1BD 的法向量． cos 〈n ·AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32×22＝－64，故二面角A -A 1D B 的余弦值为64. 21．(本小题满分12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎨⎧|CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎨⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，所以||CF 1|－|CF ||＝4. 由于|F 1F |＝25＞4，所以圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1. (2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，所以当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，且|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2.直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655.此时y ＝－255.所以当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255. 22．(本小题满分12分)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图②.图① 图② (1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成的角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． (1)证明：由于AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC . 所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC .所以DE ⊥A 1C .又由于A 1C ⊥CD ，所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)解：如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A 1(0，0，23)，D (0，2，0)，M (0，1，3)，B (3，0，0)，E (2，2，0)． 设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0.又A 1B →＝(3，0，－23)，BE →＝(－1，2，0)，所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3，所以n ＝(2，1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ. 由于CM →＝(0，1，3)，所以sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM→|n ||CM →|＝48×4＝22.所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)解：线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．理由如下： 假设这样的点P 存在，设其坐标为(p ，0，0)，其中p ∈[0，3]． 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，则m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0. 又A 1D →＝(0，2，－23)，DP →＝(p ，－2，0)，所以⎩⎨⎧2y ′－23z ′＝0，px ′－2y ′＝0.令x ′＝2，则y ′＝p ，z ′＝p3，所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p ，p 3.平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0. 解得p ＝－2，与p ∈[0，3]冲突．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．。
金版新学案(人教版)高中数学选修1-1练习：2.3.2.2抛物线方程及性质的应用(含答案)
第二章 2. 3.2.2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是()
A.π
6
或
5π
6
B．
π
4
或
3π
4
C.π
3
或
2π
3
D．
π
2
解析：抛物线的焦点为3
2
，0，过焦点垂直于x轴的弦长为6≠12，
∴该弦所在直线的斜率存在．
设直线方程为y＝k x－3
2
，与方程y2＝6x联立得：4k2x－(12k2＋24)x＋9k2＝0.
设直线与抛物线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴x1＋x2＝3k2＋6
k2
，
∴x1＋x2＋3＝3k2＋6
k2
＋3＝12.
∴k2＝1，∴k＝±1.
答案： B
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析：抛物线的焦点F p
2
，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－p
2
，即x
＝y＋p 2，
将其代入y2＝2px＝2p y＋p
2
＝2py＋p2，
所以y2－2py－p2＝0，所以y1＋y2＝2p＝4，∴p＝2
所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案： B
3．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为()。
2019秋+金版学案设计+数学·选修2-1(人教版)演练：模块综合评价+Word版含解析
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A2．命题：“∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1≤0B ．∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1>0C ．∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1≤0D ．∃x 0∈R ，使x 2－x 0＋1<0答案：C3．在空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，则该四面体的体积为( )A ．2B.43C.223D.23答案：D4．在空间四边形ABCD 中，AB →·AD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．不确定 答案：B5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，2]C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案：C6．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0° 解析：因为|a |＝|b |＝2，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值等于( )A.13B.14C.19D.35答案：A8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.答案：A9．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 1|－|PF 2|＝±6，所以|PF 2|＝9或－3(舍去)．答案：B10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33答案：D11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线焦点坐标为( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)解析：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，所以p 2＝1，所以该抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：B12．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.22答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知命题p ：∀x ∈R(x ≠0)，x ＋1x≥2，则¬p ：____________． 解析：首先将量词符号改变，再将x ＋1x ≥2改为x ＋1x＜2. 答案：∃x 0∈R(x 0≠0)，x 0＋1x 0＜2 14．设F 1，F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF 2＝________． 答案：3515．在四面体O -ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x 4OB →＋x 4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．答案：116．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案：不存在三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由题意p ：－2≤x －3≤2，所以1≤x ≤5.所以¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，所以¬q ：x <m －1或x >m ＋1.又因为¬p 是¬q 的充分而不必要条件，所以⎩⎨⎧m －1≥1，m ＋1≤5，解得2≤m ≤4， 所以m 的取值范围为[2，4]．18．(本小题满分12分)求适合下列条件的标准方程．(1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，求它的标准方程；(2)已知双曲线的离心率e ＝2，经过点M (－5，3)，求它的标准方程．解：(1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，可得焦点在x 轴，所以a ＝5，b ＝3，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为离心率e ＝2，所以a ＝b ，又因为双曲线经过点M (－5，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－9b 2＝1，a ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－25b 2＝1，a ＝b ，解得：a 2＝b 2＝16或⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－25b 2＝1，a ＝b无解．所以双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1. 19．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <3)的焦点为F ，点Q (m ，22)在抛物线C 上，且|QF |＝3.(1)求抛物线C 的标准方程及实数m 的值；(2)直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，若△AOB (O 为坐标原点)的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)因为抛物线C 过点Q (m ，22)，所以2pm ＝8，又因为|QF |＝3，m ＋p 2＝3， 因为0<p <3，解得p ＝2，m ＝2，所以y 2＝4x ，m ＝2.(2)因为y 2＝4x 的焦点F (1，0)，设所求的直线方程为x ＝my ＋1.由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得：y 2－4my －4＝0， 因为直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，所以Δ＝16m 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝16m 2＋16，所以△AOB 的面积为12×|OF ||y 1－y 2|＝1216m 2＋16＝4， 解得m 2＝3，所以m ＝±3，所以所求直线l 的方程为x ＝±3y ＋1.20．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．(1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(2)求二面角A -A 1D -B 的余弦值．(1)证明：如图，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)， B 1(1，2，0)，C (－1，0，0)，所以AB 1→＝(1，2，－3)，BD →＝(－2，1，0)，BA 1→＝(－1，2，3)．因为AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0，AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1.又BD 与BA 1交于点B ，所以AB 1⊥平面A 1BD .(2)解：连接AD ，设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．AD →＝(－1，1，－3)，AA 1→＝(0，2，0)．因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→，所以⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0， 即⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量．由(1)知AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→为平面A 1BD 的法向量．cos 〈n ·AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32×22＝－64， 故二面角A -A 1D -B 的余弦值为64. 21．(本小题满分12分)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E -AG -C 的大小．解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ⊂平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，又∠EBC ＝120°，因此∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0，0，3)，E (2，0，0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2，0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2，0，3)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎨⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0， 取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由⎩⎨⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0， 取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝12. 因此二面角E -AG -C 为60°.22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，且过点(2，2)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)M ，N ，P ，Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点F 1，F 2，且这两条直线互相垂直，求证：1|MN |＋1|PQ |为定值． (1)解：因为e ＝c a ＝22，所以b 2a 2＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12， 所以a 2＝2b 2，所以椭圆C 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.又点(2，2)在椭圆上，所以222b 2＋（2）2b 2＝1，解得b 2＝4，所以a 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：由(1)得椭圆C 的焦点坐标为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由已知直线MN 的斜率不为0，设其方程为y ＝k (x ＋2)，由直线MN 与PQ 互相垂直，可得直线PQ 的方程为y ＝－1k(x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 28＋y 24＝1，消去y 整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－82k 2＋1， 所以|MN |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝42（1＋k 2）2k 2＋1.同理|PQ |＝42（1＋k 2）k 2＋2. 所以1|MN |＋1|PQ |＝2k 2＋142（1＋k 2）＋k 2＋242（1＋k 2） ＝3k 2＋342（1＋k 2）＝328. 所以1|MN |＋1|PQ |＝328为定值．。
高中数学选修2-1全册综合测试题含答案
选修2-1综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( ) A ．(116，0) B ．(－116，0) C ．(0,1) D ．(0，－1)3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－3,0) C ．(－12,0) D ．(－60，－12)5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．36．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( ) A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12D ．－5，－2 8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．4 29．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53D ．210．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．14．已知命题p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．15．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.16．如图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．1．解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件．答案 D2．解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．答案 C2．解析 命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．解析 由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k 4<4.∴4<4－k <16，∴－12<k <0.答案 C5．解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12.答案 A 8．解析 设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p 216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p 2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4.答案 C9．解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a 3.又|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a .∴c a ≤53.即e ≤53.答案 C10．解析 建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)．BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12， 故EF 与BC 1所成的角为60°.答案 B11．解析 直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.答案 D12．解析 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21， 而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12. 答案 A13．解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案 任意一个三角形都有外接圆14．解析 “p 是q 的必要不充分条件”的逆否命题是“q 是p 的必要不充分条件”．∴{x |1≤x ≤2}{x |a ≤x ≤a ＋2}，∴0≤a ≤1. 答案 0≤a ≤115．答案 －14 816．解析 由题意知，AC 1＝22＋22＋1＝3，AC ＝22＋22＝22，在Rt △AC 1C 中，cos ∠C 1AC ＝AC AC 1＝223.答案 22317．解 由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0，∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 不存在． 若p 假q 真，则⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，∴1≤m <2.综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．解 显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1.① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎨⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧ a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2.而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．① 由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0.解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105.由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为10 5.22．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D 1E ∥A 1B .又D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴D 1E ∥平面A 1BD .(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA ＝1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,2,2)，A 1(1,0,2)．∴DA 1→＝(1,0,2)，DB →＝(1,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0，取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →， 得⎩⎨⎧ 2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)．设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33.∴cosθ＝3 3，即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为3 3.。
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第一章 1.1.1
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若A，B是两个集合，则下列命题中为真命题的是()
A．如果A⊆B，那么A∩B＝A
B．如果A∩B＝A，那么(∁U A)∩B＝∅(U为包含A与B的集合)
C．如果A⊆B，那么A∪B＝A
D．如果A∪B＝A，那么A⊆B
解析：由集合的运算性质知选A.
答案： A
2．下列命题中是假命题的是()
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若x∈R，则x2＋1>x
D．正三棱锥的侧面是等腰三角形
解析：若|a|＝|b|，则a＝±b.
答案： B
3．下列命题正确的是()
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
解析：利用线面位置关系的判定和性质解答．
A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，△ABC 的三个顶点中，A，B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A，B，C三点到平面α距离相等，但两平面相交；D错误；如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.
答案： C
4．下列四个命题中的真命题是()
A．若sin A＝sin B，则A＝B
B．若lg x2＝0，则x＝±1
C．若一个四边形的对角线互相垂直且平分，则该四边形为正方形
D．若集合M＝{x|x2＋x＜0}，N＝{x|x＞0}，则M⊆N
解析：当A＝30°，B＝150°时，sin A＝sin B，故A为假命题；若lg x2＝0，则x＝±1，故B为真命题；C也可为菱形；D中的集合M＝{x|－1＜x＜0}，M⃘N.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．下列语句中是命题的有________．
①“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；②“一个数不是正数就是负数”；③“大角所对的边大于小角所对的边”；④“x＋y为有理数，则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC ∽△A′B′C′”．
解析：先根据命题的概念，判断所给语句是不是陈述句，若是，再判断真假．
①疑问句．没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．②是假命题.0既不是正数也不是负数．③是假命题．没有指明是在同一个三角形中．④是假命题．如x＝3，y＝－ 3.⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④
6．给出下列几个命题：
(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；
(2)若a＞b，则a2＞b2；
(3)若x＞－3，则x2＋x－6≤0；
(4)一个正数不是素数就是合数．
其中的真命题有____________个．
解析：(1)是真命题，(2)(3)(4)是假命题．
答案： 1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)若x<2，则x<1；
(2)x2＋2x－1＝0；
(3)存在实数x，使得不等式x2－3x＋1<0成立．
解析：(1)是命题．因为由x<2不能推出x<1，可以作出判断．
(2)不是命题．因为字母的性质不明确，所以不是命题．
(3)是命题．因为根据不等式的解法我们可以求得不等式x2－3x＋1<0的解，所以是命题．
8．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x ，y 为非零自然数，当y －x ＝2时，y ＝4，x ＝2.
解析： (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a >－1，则方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根，是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．
(4)已知x ，y 为非零自然数，若y －x ＝2，则y ＝4，x ＝2，是假命题．
9.(10分)已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．
解析： 由lg(x 2－2x －2)≥0，
得x 2－2x －2≥1，
即x 2－2x －3≥0.
解得x ≤－1或x ≥3.
故命题p ：x ≤－1或x ≥3.
又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假．
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4， 所以x ≤－1或x ≥4.
所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞).。