2019-2020学年广东省珠海一中、惠州一中高一上学期期中联考数学试题(解析版)
广东省六校(东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中)2024届高三上第一次联考 数学答案
东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学2024届高三第一次六校联考数学参考答案一､单选题，二多选题：三､填空题（第16题第一问2分，第二问3分）13.7.8514.6240x 15.-216.223,55x y r +=-≤≤四､解答题17.解：（1）解法一：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，因为()218n n a n n k +=-+，所以12371215,,234k k k a a a ---===.因为数列{}n a 是等差数列，所以2132a a a =+，即127152324k k k ---⨯=+，解得9k =-所以()()()218919n n a n n n n +=--=+-，所以9n a n =-.解法二：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()111n a a n d dn a d =+-=+-.所以()()()22111118n n a n dn a d dn a n a d n n k +=++-=++-=-+，所以118,9d a k =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以9n a n =-（2）因为193n n n n a n c b --==，当8n ≤时，0n c <；当9n =时，0n c =；当10n 时，0n c >.当10n时，11891920333n n n n n n n nc c +-----=-=<，即，1n n c c +<.所以数列{}n c 的最大项是第10项10913c =18.解：（1）在BCD中，2,3,BD BC CD ===，由余弦定理可知2224971cos 22322BC BD CD B BC BD +-+-===⨯⨯⨯⨯，因为0B π<<，所以3sin 2B =，所以1sin 2ABC S AB BC B =⨯⨯= ；（2）在ACD 中，设,2ACD BAC ∠θ∠θ==，则由正弦定理sin2sin CD ADθθ=，即722sin cos sin θθθ=，得()7cos ,0,4θθπ=∈ ，所以3sin 4θ=，2371sin22sin cos 2cos 188θθθθθ===-=-，所以2ADC ∠πθθ=--，所以()377139sin sin 2848416ADC ∠θθ=+=⨯=，.由正弦定理得：sin sin AC ADADC ACD∠∠=92316324AC ⨯==.19.解：（1）证明：因为BC ∥平面,PAD BC ⊂平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以BC AD ∥.取PA 的中点F ，连接BF EF ､，因为E 是棱PD 的中点，所以，EF AD ∥且12EF AD =，因为BC AD ∥且12BC AD =，所以，EF BC ∥且EF BC =，所以，四边形BCEF 为平行四边形，则CE BF ∥，因为CE ⊄平面,PAB BF ⊂平面PAB ，所以CE ∥平面PAB ..（2）取AD 的中点O ，连接PO .因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ，所以，PO ⊥平面,.ABCD .因为1,,2BC AD BC AD O =∥为AD 的中点，所以，BC AO ∥且BC AO =，所以，四边形ABCO 为平行四边形，则CO AB ∥，因为AB AD ⊥，则CO AD ⊥，以点O 为坐标原点，OC OD OP ､､所在直线分别为x y z ､､轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()()(()0,1,01,0,00,1,0A C P D -､､､，所以()1,1,0AC =，设(()0,0,DE DP λλλ==-=-，其中01λ，则()()()0,2,00,0,2AE AD DE λλ=+=+-=-，设平面ACE 的法向量()111,,n x y z =，所以()1111020n AC x y n AE y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12z λ=-，得),,2n λ=-，设点B 到平面ACE距离为,d d ==当0λ=时，0d =；当01λ<≤时，11λ≥，则2107d <==，当且仅当1λ=时等号成立.综上，点B 到平面ACE距离的取值范围是0,7⎡⎢⎣⎦.20.解：（1）由题意得列联表如下：一等品非一等品合计甲7525100乙483280合计12357180()()()()222()180(75324825) 4.6211235710080n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯0.054.621 3.841x >= 依据小概率值0.05α=的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联.（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为23282431004++=，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为1517163805++=，ξ的所有可能取值为0,1,2，则()()()1221132393390,1,24520104554204520P P P ξξξ==⨯====⨯+⨯===⨯=ξ∴的分布列为：ξ012P110920920()19927012.10202020E ξ=⨯+⨯+⨯=（3）由已知零件为三等品的频率为4221118020+++=，设余下的40个零件中三等品个数为X ，则140,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()1402,20E X ∴=⨯=设检验费用与赔偿费用之和为Y ，若不对余下的所有零件进行检验，则205120Y X =⨯+，所以()()100120100240340E Y E X =+⨯=+=，若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为605300⨯=元，340300,>∴ 应对剩下零件进行检验..21.解：（1）由题意知32c e a ==，四边形1122B F B F为菱形，面积为2bc =，又222a c b =+，解得2224,1,3a b c ===，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(),0M m ，直线AB 的方程为()()1122,,,,x ty m A x y B x y =+，由2AM MB = 得122y y =-，联立221,4,x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2224240t y tmy m +++-=，()()()22222Δ(2)444164tm t m m t =-+-=---则212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，由2122122222,2y y y y y y y y =-+=-+=-，得()()2212121222y y y y y y ⎡⎤=--+=-+⎣⎦，所以222242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简得()()2222448m t t m -+=-，易知原点O 到直线AB的距离d =又直线AB 与圆224:7O x y +=相切，=2271,4t m =-由()()222222448714m t t m t m ⎧-+=-⎪⎨=-⎪⎩，得422116160m m --=，即()()2234740m m -+=，解得243m =，则243t =，满足Δ0>，所以23,03M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，在Rt OMN中，42121MN ==.22.解：（1）由题意，当1a =时，设()()()h x f x g x =-，则()221ln 1ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->，()()()221112121x x x x h x x x x x'+---=--==，令()0h x '=，得1x =（舍负），.所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()min ()10h x h ∴==.根据题意t 的取值范围为(]0,1（2）设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线，则()()()()121212,f xg x f x g x x x -='-'=211212121ln 12x ax x ax a x x x -+--∴-==-，12122ax x ∴=+，代入21211221ln .x x x ax x a x -=+--.得222221ln 20424a a x a x x ++++-=∴问题转化为：关于x 的方程221ln 20424a ax a x x ++++-=有解，设()221ln 2(0)424a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点，()211ln 24F x a x a x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，当2a x e -=时，()2ln 20,e0ax a F -+-=∴>.∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0.()23231121222a x ax F x x x x x--=--+='，设()20002100x ax x --=>，则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>.()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()F x ∴的最小值为()2002001ln 2424a a F x x a x x =++++-.由200210x ax --=知0012a x x =-，故()20000012ln 2F x x x x x =+-+-.设()212ln 2(0)x x x x x xϕ=+-+->，则()211220x x x xϕ=+++>'，故()x ϕ在()0,∞+上单调递增，()10,ϕ=∴ 当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤，()F x ∴的最小值()00F x ≤等价于001x ≤≤.又 函数12y x x=-在(]0,1上单调递增，(]0012,1.a x x ∞∴=-∈-。
2019-2020学年广东省广州二中,珠海一中,中山纪中三校联考高三(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年广东省广州二中，珠海一中，中山纪中三校联考高三（上）期中数学试卷一．选择题（本题12小题，满分60分）1．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A与B的大小关系为（）A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A、B的大小关系不能确定2．已知△ABC中，sin A：sin B：sin C＝k：（k+1）：2k（k≠0），则k的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（，2）D．（，+∞）3．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝14．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的（）A．离心率相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．焦距相等5．在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2＜b2+c2，求A的取值范围（）A．（0°，180°）B．（0°，90°）C．（60°，90°）D．（60°，180°）6．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，下列选项中不可能是{S n}的图象的是（）A．B．C．D．7．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是此数列中的（）A．第48项B．第49项C．第50项D．第51项8．数列{a n}满足a1＝，a n+1＝a n2﹣a n+1（n∈N*），则++……+的整数部分是（）A．0B．1C．2D．39．已知﹣1≤x+y≤4，且2≤x﹣y≤3，则z＝2x﹣3y的取值范围是（）A．[3，8]B．[3，6]C．[6，7]D．[4，5]10．设S n，T n分别是两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和．若对一切正整数n，＝恒成立，则＝（）A．B．C．D．11．已知椭圆与双曲线C2：﹣y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜112．已知双曲线与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝（）A．B．﹣C．2D．﹣2二．填空题（本题4小题，满分20分）13．S n是等差数列{a n}的前n项和，如果S10＝120，那么a1+a10的值是．14．已知椭圆C：+＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|＝．15．已知x＞0，y＞0，，不等式m2﹣8m﹣x﹣y＜0恒成立，则m的取值范围是．（答案写成集合或区间格式）16．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝，则a n＝三．解答题（本题6小题，满分70分）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b sin A （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cos A+sin C的取值范围．18．已知双曲线，过点P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是AB的中点？19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．20．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣8，g（x）＝2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．21．如图，椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF|＝2+|＝2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e．22．已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，S n＝b1+b2+…+b n，对任意正整数n，S n+（n+m）a n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．2019-2020学年广东省广州二中，珠海一中，中山纪中三校联考高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题12小题，满分60分）1．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A与B的大小关系为（）A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A、B的大小关系不能确定【解答】解法一：∵△ABC中，0°＜A+B＜180°，∴当0°＜A＜90°时，sin A＞sin B⇔A＞B．当90°＜A＜180°时，∵sin A＞sin B，A+B＜180°，∴0°＜B＜90°，所以A＞B．故选A．解法二：由正弦定理知，∵sin A＞sin B，∴a＞b，∴A＞B．故选：A．2．已知△ABC中，sin A：sin B：sin C＝k：（k+1）：2k（k≠0），则k的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（，2）D．（，+∞）【解答】解：∵在三角形ABC中，sin A：sin B：sin C＝k：（k+1）：2k，∴由正弦定理知，a：b：c＝k：（k+1）：2k，由三角形的边关系知k＞0，k+2k＞k+1，且2k﹣（k+1）＜k，解之：k＞，故k的取值范围为（，+∞），故选：D．3．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．4．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的（）A．离心率相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．焦距相等【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25曲线﹣＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2＝25，b2＝9﹣k，c2＝34﹣k，曲线﹣＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2＝25﹣k，b2＝9，c2＝34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：D．5．在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2＜b2+c2，求A的取值范围（）A．（0°，180°）B．（0°，90°）C．（60°，90°）D．（60°，180°）【解答】解：∵不等边△ABC中，a是最大的边，则角A大于60°．若a2＜b2+c2，则有2bc•cos A＝b2+c2﹣a2＞0，即cos A＞0，故角A为锐角．故选：C．6．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，下列选项中不可能是{S n}的图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：因为{S n}是等差数列{a n}的前n项和，所以设S n＝an2+bn（a，b为常数，n∈N+），则其对应函数y＝ax2+bx的图象是过原点的一条曲线．当a＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C；当a≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．故选：D．7．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是此数列中的（）A．第48项B．第49项C．第50项D．第51项【解答】解：由题意，此数列分母与分子之和为2的有一个，为3的两个，为4的有三个，按此规律，知出现在和为11那一组中又每一组的数都是以分子为1开始，故是分子分母和为11那一组的第五个数由于5为11的是第十组，前九组共有9×＝45个数，故是第50个数，即第50项故选：C．8．数列{a n}满足a1＝，a n+1＝a n2﹣a n+1（n∈N*），则++……+的整数部分是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：，且a n+1﹣1＝a n（a n﹣1）（n∈N*），∴a n+1﹣a n＝a n2+1＞0，∴a n+1＞a n，∴数列{a n}是单调递增数列，可得a2﹣1＝+1＝，a3﹣1＝＝，a4﹣1＝＞1，…，∴a2018﹣1＞1．∴＝＝﹣，可得：＝﹣，则＝+++…+＝3﹣∈（2，3）．∴的整数部分是2．故选：C．9．已知﹣1≤x+y≤4，且2≤x﹣y≤3，则z＝2x﹣3y的取值范围是（）A．[3，8]B．[3，6]C．[6，7]D．[4，5]【解答】解：设2x﹣3y＝λ（x+y）+μ（x﹣y），则（λ+μ）x+（λ﹣μ）y＝2x﹣3y，所以解得所以z＝﹣（x+y）+（x﹣y）．因为﹣1≤x+y≤4，所以﹣2≤﹣（x+y）≤．①因为2≤x﹣y≤3，所以5≤（x﹣y）≤．②①+②得，3≤﹣（x+y）+（x﹣y）≤8，所以z的取值范围是[3，8]．故选：A．10．设S n，T n分别是两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和．若对一切正整数n，＝恒成立，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵S n，T n分别是两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和．对一切正整数n，＝恒成立，∴＝＝＝＝＝＝．故选：B．11．已知椭圆与双曲线C2：﹣y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜1【解答】解：由题意可得m2﹣1＝n2+1，即m2＝n2+2，又m＞1，n＞0，则m＞n，由e12•e22＝•＝•＝＝1+＞1，则e1•e2＞1．故选：A．12．已知双曲线与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝（）A．B．﹣C．2D．﹣2【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），则x1+x2＝2x，y1+y2＝2yM，N代入双曲线y2﹣＝1两式相减可得：（y1﹣y2）×2y﹣（x1﹣x2）×2x＝0，∵直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OM的斜率为k2，∴k1k2＝．故选：A．二．填空题（本题4小题，满分20分）13．S n是等差数列{a n}的前n项和，如果S10＝120，那么a1+a10的值是24．【解答】解：由题意得S10＝a1+a2+…+a10＝（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）＝5（a1+a10）＝120所以a1+a10＝24故答案为2414．已知椭圆C：+＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|＝12．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|＝2a＝6，∴|AN|+|BN|＝12．故答案为：12．15．已知x＞0，y＞0，，不等式m2﹣8m﹣x﹣y＜0恒成立，则m的取值范围是（﹣1，9）．（答案写成集合或区间格式）【解答】解：不等式m2﹣8m﹣x﹣y＜0恒成立，即m2﹣8m＜（x+y）min，由x+y＝（x+y）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当y＝2x时“＝”成立，故m2﹣8m＜9，即m2﹣8﹣9＜0，解得：﹣1＜m＜9，故答案为：（﹣1，9）．16．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝，则a n＝【解答】解：由，可得，可得数列{}为，公差为3的等差数列，求得数列{}递推式为，可求出数列{a n}的通项公式为，故答案为．三．解答题（本题6小题，满分70分）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b sin A （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cos A+sin C的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）＝＝＝．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cos A+sin C的取值范围为（，）．18．已知双曲线，过点P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是AB的中点？【解答】解：设过点P（1，1）的直线方程为y＝k（x﹣1）+1或x＝1（1）当k存在时，有y＝k（x﹣1）+1，，得（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3＝0 （1）当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△＝（2k2﹣2k）2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+2k﹣3）＞0，k＜，又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标∴x1+x2＝，又P（1，1）为线段AB的中点∴＝1，即＝1，k＝2．∴k＝2，使2﹣k2≠0但使△＜0因此当k＝2时，方程（1）无实数解故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在．（2）当x＝1时，直线经过点P但不满足条件，综上，符合条件的直线l不存在．19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解答】解：（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+）升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用：y＝＝（50≤x≤100）（2）y＝≥26，当且仅当，即时，等号成立∴当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．20．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣8，g（x）＝2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【解答】解：由g（x）＝2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）＝x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x＝3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．21．如图，椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1|＝2+|＝2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅰ）若|PF（Ⅱ）若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a＝|PF1|+|PF2|＝2++2﹣＝4，故a＝2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c＝|F1F2|＝＝2，即c＝，从而b＝＝1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|＝2a，|QF1|+|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|+|QF2|，有|QF1|＝4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|＝4a﹣2|PF1|，解得|PF1|＝2（2﹣）a，从而|PF2|＝2a﹣|PF1|＝2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c＝|F1F2|＝，因此e＝＝＝＝＝．22．已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，S n＝b1+b2+…+b n，对任意正整数n，S n+（n+m）a n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）＝a2+a4，代入a2+a3+a4＝28，得a3＝8．∴a2+a4＝20．∴解之得，或又{a n}单调递增，∴q＝2，a1＝2，∴a n＝2n，（2）b n＝2n•log2n＝﹣n•2n，∴﹣S n＝1×2+2×22+3×23++n×2n①﹣2S n＝1×22+2×23++（n﹣1）2n+n•2n+1②①﹣②得，S n＝2+22+23++2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝2n+1﹣2﹣n•2n+1由S n+（n+m）a n+1＜0，即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，∴m•2n+1＜2﹣2n+1．对任意正整数n，m＜﹣1恒成立．∵﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。
广东省珠海市2019-2020学年高一上学期期末数学数学试题(解析版)
广东省珠海市2019-2020学年高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2,0,2A =-,{}2,B y y x x A ==∈,则A B =U ( )A ．{}4,2,0±±B ．{}2,0,4±C ．{}4,0,2±D ．{}0,2,4[答案]B[解析]因为{}{}2,0,4B y y x x A ==∈=，{}2,0,2A =-，所以{}2,0,2,4A B =-U .故选：B2．已知扇形的圆心角为1,弧长为2,则扇形面积为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4[答案]B[解析]因为扇形的圆心角为1,弧长为2,所以扇形面积为：1112222221l S lr l α==⋅⋅=⨯⨯=. 故选：B3．下列函数是偶函数的是( ) A ．()122xx f x =+B ．()1log log a a f x x x=+ C ．()1f x x x =+ D ．()3lg3xf x x-=+ [答案]A[解析]A ：该定义域为实数集. 因为()()112222xxx x f x f x ---=+=+=，所以该函数是偶函数，本选项符合题意；B ：该函数的定义域为：{0x x >且}1x ≠，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意； C ：该函数的定义域为非零的实数集，因为()()()11()f x x x f x f x x x-=-+=-+=-≠-，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意； D ：该函数的定义域为：{}33x x -<<. 因为()()()33lg lg 33x xf x f x f x x x-+-==-=-≠+-，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意.故选：A4．在平面直角坐标系xOy 中,若角α终边过点()5,12P -,则cos α=( ) A ．1213-B ．513C ．512D ．512-[答案]B[解析]因为角α终边过点()5,12P -,所以有5cos 13α==. 故选：B5．函数a y x =,xy a =,log ay x =,其中0a >,1a ≠,存在某个实数a ,使得以上三个函数图像在同一平面直角坐标系xOy 中,则其图像只可能是( )A ．B ．C ．D ．[答案]C[解析]A ：假设指数函数x y a =的图象是正确的，所以有1a >，这时对数函数log a y x =是单调递增的，但是选项中的图象是单调递减的，所以假设不成立，故本选项不正确； B ：假设指数函数x y a =的图象是正确的，所以有01a <<，这时对数函数log a y x =是单调递减的，但是选项中的图象是单调递增的，所以假设不成立，故本选项不正确； C ：假设指数函数x y a =的图象是正确的，所以有01a <<，这时对数函数log ay x =是单调递减的，选项中的图象是单调递减的，假设不成立，这时幂函数图象有可能正确，也有可能错误，故存在某个实数a ,使得这三个图象是正确的，故本选项正确； D 假设指数函数x y a =的图象是正确的，所以有1a >，这时对数函数log ay x =是单调递增的，选项中的图象是单调递增的，所以假设成立，这时幂函数a y x =的图象是不正确的，因为这时的幂函数的定义域是全体实数集，故本选项不正确. 故选：C6．要得到函数πsin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像,只需将函数πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像( )A ．横坐标缩小到原来的12,纵坐标不变 B ．横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变 C ．纵坐标缩小到原来的12,横坐标不变 D ．纵坐标扩大到原来的2倍,横坐标不变 [答案]A[解析]函数πsin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，横坐标缩小到原来的12,纵坐标不变，就得到函数 πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.故选：A7．已知32a =,2log 3b =,0.2log 0.3c =,0.2log 3d =,则a ,b ,c ,d 的大小顺序是( ) A ．a b c d <<< B ．b c d a <<<C ．d b c a <<<D ．d c b a <<<[答案]D[解析]因为0.20.20.20.2log 3log 10log 0.3log 0.21<=<<=3222log 2log 3log 422=<<=<，所以d c b a <<<. 故选：D 8．已知5π1sin 73α⎛⎫-=⎪⎝⎭,则2πsin 7α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．3 B ．3-C ．13-D ．13[答案]D [解析]5π1sin 73α⎛⎫-= ⎪⎝⎭Q ,2π5π5π1sin sin πsin 7773ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：D9．已知函数()f x 满足()1f x +的定义域是[)0,31,则()2x f 的定义域是( )A ．[)1,32B ．[)1,30-C ．[)0,5D ．()2,log 30-∞[答案]C [解析]()1f x +Q的定义域是[)0,31,即031x ≤<,1132x ∴≤+<,()f x ∴的定义域为132x ≤<,()2xf ∴的定义域为：05212322x =≤<=,05x ∴≤<.故选：C10．如图,平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,AD 中点,EF 与AC 交于点G ．若AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r ,则DG =u u u r( )A ．1344a b -r rB ．1344a b -+r rC ．1344a b --r rD ．1344a b +r r[答案]A[解析]Q 平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,AD 中点,EF 与AC 交于点G14AG AC ∴=u u u r u u u r ,AB a =u u u r r Q ,AD b =u u u r r ,()1144AG AC a b ∴==+u u ur u u u r r r()113444DG DA AG b a b a b ∴=+=-++=-u u u r u u u r u u u r r r r r r .故选：A11．锐角ABC ∆中,下列不等关系总成立的是( ) A ．sin cos A B < B ．sin cos B A <C ．sin sin A B >D ．sin cos B A >[答案]D[解析]A ：Q 锐角ABC ∆中,π0π2C A B <<<+<ππ022A B ∴>>-> πsin sin cos 2A B B ⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭，故本选项不正确；B ：Q 锐角ABC ∆中,π0π2C A B <<<+< ππ022A B ∴>>->πcos cos sin 2A B B ⎛⎫∴<-= ⎪⎝⎭，故本选项不正确，D 选项正确； C ：当3A B C π===时，显然sin sin A B =，故本选项不正确. 故选：D12．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是( )A ．18B ．26C ．28D ．30[答案]B[解析]令()20log h x x =，定义域为非零的实数集，()()2020log log h x x x h x -=-==，所以该函数为偶函数，又()f x Q 是偶函数()g x ∴是偶函数，且0x ≠， 由()()20log 0g x f x x =-=得()20log f x x = 当0x >时有()20log f x x =Q 偶函数()f x 的图象关于32x =对称， ()()f x f x ∴-=且()()3f x f x =-，()()()()333f x f x f x f x ∴+=-+=-=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是3T =的周期函数，32kx ∴=,k ∈Z 为()f x 的对称轴 Q 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =∴()()()()()2021111120f f f f h =-=-===当(]0,20x ∈,()f x ,()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(]0,20上有13个交点即()g x 在(]0,20上有13个零点()g x Q 是偶函数()g x ∴在[]20,20-上共有26个零点．故选：B二、填空题 13．计算：1log 237121255log 7log 9log 6log 2-⋅-⋅++=______．[答案]0[解析]原式125log 5237125log 7log 3log 12=-⋅+ 123752log 7log 311210=-⋅+=-+=.故答案为：0 14．tan 600=o ．[答案[解析]试题分析：tan 600tan(603180)tan 60=+⨯==o o o o15．已知函数()f x 为奇函数,0x >时,()531xf x x =+-,则0x <时,()f x =______．[答案]531x x --+[解析]Q 函数()f x 为奇函数,0x >时,()531xf x x =+-∴当0x <,则0x ->,则()()531x f x x f x --=-+-=-0x ∴<时,()531xf x x -=-+.故答案为：531x x --+16．函数()sin y A ωx φ=+（0A >,0>ω,π02ϕ<<）在一个周期上的图像如图所示,则这个函数解析式是______．[答案]3π2sin 25x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭[解析]由图像知,2A =.设函数的最小正周期为T ，8π2π2π215153T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,43T π∴=， 2π3304π223ωωω∴==>∴=Q ，把点2π,015⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解析式中有：由32πππ()()0215525k k Z k k Z πϕπϕπϕϕ-⋅+=∈⇒=+∈<<∴=Q ，所以函数的解析式为：3π2sin 25x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故答案为：3π2sin 25x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ 17．幂函数()f x x α=,α为常数,满足()()9813f f =,则()2f =______． [答案]16[解析]()()4938133f f α===Q4α∴=()4f x x ∴=()42216f ∴==. 故答案为：1618．已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是______（请把正确的序号填到横线处）①()f x 的一个周期是4π- ②()f x 的一个对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭③()f x 的一条对称轴方程是65x π=-④()f x 在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数[答案]①②③[解析]①: ()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是的最小正周期是2π，所以4π-也是它的一个周期，故本结论正确；②：当3x π=-时，ππππcos cos 03362f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数关于,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称，故本结论正确； ③：当65x π=-时，5π5ππcos 1666f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数5π6x =-是函数的一条对称轴，故本结论正确； ④：()πcos 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间为：π7π22()2π2π()666k x k k Z k x k k ππππ≤-≤+∈⇒+≤≤+∈Z ，当1k =时，766x ππ≤≤，故本结论不正确. 故答案为：①②③19．函数()f x 为R 上的奇函数,在(),0-∞上是增函数,()50f =,则()0xf x >的解集是______．[答案]()(),55,-∞-+∞U[解析]解析：()f x Q 为R 上的奇函数,()00f ∴=,()f x Q 在(),0-∞上是增函数,()50f =()f x ∴在()0,∞+上是增函数,()50f -=即函数的图象大致如下图所示：()0xf x >Q 等价于x 与()f x 同号∴解集是()(),55,-∞-+∞U .故答案为：()(),55,-∞-+∞U20．已知点()11,A x y ,()22,B x y 是原点为圆心,2为半径的圆上两点,AOB α∠=为锐角,π5cos 413α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则1212x x y y +=______．[答案[解析]02πα<<Q ,3444πππα∴<+<,5cos 413πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭Q ,12sin 413πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭cos cos cos sin 44244ππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦12122622x x y y OA OB OA OB +⋅===⨯u u u r u u u ru u u r u u u r121213x x y y ∴+=.三、解答题21．已知2a =r ,3b =r,a b +=r r（1）求a r 与b r的夹角θ；（2）求a r 在b r上的投影．解：（1）2a =r Q ,3b =r,a b +=r r222192492a b a b a b a b ∴=+=++⋅=++⋅r r r r r r r r ，得3a b ⋅=r r，a r Q 与b r的夹角θ，31cos 232a b a b θ⋅∴===⨯⋅r r r r ，0θπ≤≤Q3πθ∴=；（2）2a =r Q ,3πθ=a ∴r 在br 上的投影为1cos 212a θ=⨯=r . （另法：3ab ⋅=r rQ ,3b =ra ∴r 在b r 上的投影为3cos 13a b a bθ⋅===r rr r ） 22．已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin 3=-a （1）求tan α； （2）若()3cos 5αβ+=-,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求sin β． 解：（1）3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,2sin 3=-a ，cos α∴==sin tan cos ααα∴==（2）3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 2παβπ∴<+<()3cos 5αβ+=-Q ()4sin 5αβ∴+==-()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα∴=+-=+-+⎡⎤⎣⎦4326535315⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯---⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 23．已知函数()()()22log 1log 7f x x x =++- （1）求()f x 的定义域；（2）若x 是不等式411933x --⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的解,求()f x 的最大值．解：（1）()f x 有意义,则有1070x x +>⎧⎨->⎩解得17x -<< ()f x ∴的定义域是()1,7-；（2）411933x --⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭等价于214333x -≤≤ 即214x ≤-≤得35x ≤≤()()()()()()22222log 1log 7log 17log 67f x x x x x x x =++-=+-=-++⎡⎤⎣⎦当35x ≤≤时,2126716x x ≤-++≤()()222log 67log 164f x x x ∴=-++≤=()f x ∴的最大值为4．24．已知()sin ,cos a x x ωω=r ,()sin ,2sin cos b x x x ωωω=-r ,()0,4ω∈,若()2f x a b=⋅r r 其图像关于点,08M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 （1）求()f x 的解析式；（2）直接写出()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （3）当a b ⊥r r 时,求x 的值．解：（1）()sin ,cos a x x ωω=r ,()sin ,2sin cos b x x x ωωω=-r()2222sin 4sin cos 2cos f x a b x x x x ωωωω∴=⋅=+-r r2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()f x Q 的图象关于点,08M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 284k ππωπ∴⋅-=,k Z ∈即41k ω=+,k Z ∈()0,4ω∈Q1ω∴=()24f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭． （2）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为：3222()()24288k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈； 单调递减区间为：337222()()24288k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒+≤≤+∈； 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）a b ⊥r r Q ()2204f x a b x π⎛⎫∴=⋅=-= ⎪⎝⎭r r 即24x k ππ-=,k Z ∈ 解得28k x ππ=+,k Z ∈ 25．已知函数()313xxa f x +=+是R 上的奇函数 （1）求a ；（2）用定义法讨论()f x 在R 上的单调性；（3）若21121042x x f k k f -⎛⎫⎛⎫-⋅++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在x ∈R 上恒成立,求k 的取值范围． 解：（1）Q 函数()313x x a f x +=+是R 上的奇函数 ()()331313x xx xa a f x f x --++∴-==-=-++即3133113x xx xa a +--=++ 即()()3131x x a +=-+解得1a =-； （2）由（1）知()3131-=+x x f x ()()12121231313131x x x x f x f x ---=-++ ()()()()()()122112313131313131x x x x x x -+--+=++ ()()()12122333131x x x x -=++设12x x <,则12033x x <<故12330x x -<,1310x +>,2310x +>故()()120f x f x -<即()()12f x f x <()f x ∴是R 上的增函数．（3）()f x Q 是R 上的奇函数,()f x 是R 上的增函数21121042x x f k k f -⎛⎫⎛⎫∴-⋅++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在x ∈R 上恒成立 等价于2111122244x x x f f k k f k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>--⋅=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴等价于2112142x x k k -⋅-<+在x ∈R 上恒成立 即()2212420x x k k +⋅+⋅->在x ∈R 上恒成立“”令20x t =>则“”式等价于()22140k t t k ++->对0t >时恒成立“”①当210k +=,即12k =-时“”为1402t +>对0t >时恒成立 ②当210k +≠,即12k ≠时,“”对0t >时恒成立 须()210164210k k k +>⎧⎨∆=++<⎩或2102021k k k +>⎧⎪⎪-≤⎨+⎪-≥⎪⎩ 解得102k -<≤综上,k 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
广东省珠海市第一中学2019～2020学年度高一上学期期中考试数学试题及参考答案
2019～2020学年上学期高一级期中考试题数学2019年11月本试卷共4页,22小题,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
3.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
一、 单选题（本大题共10小题,共50.0分）1. 设全集}987654321{，，，，，，，，=U ,{1357}A =，，，,{123469}B =，，，，，,则UB A =（）A. }31{， B. }642{，， C. }9642{，，， D. }8642{，，，2. 函数21()log (1)f x x =-的定义域为( )A.),1(+∞B.),2(+∞C.1,2(2,)+∞（） D.1,3(3,)+∞（） 3. 设554log 4,log 3,log 5a b c ===,则（ ）A.B.C.D.4. 已知点1(,)8a 在幂函数()(1)b f x a x =-的图象上,则函数()f x 是（ ）A. 定义域内的减函数B. 奇函数C. 偶函数D. 定义域内的增函数5. 已知函数2,10(),01x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩,则下列图象错误．．的是 A. 的图象 B. 的图象C. 的图象D. 的图象6. 设()f x 是定义在实数集R 上的函数,且(2)()f x f x -=,当1x ≥时,()21x f x =-,则2()3f ,3()2f ,1()3f 的大小关系是（ ） A.231()()()323f f f << B. 123()()()332f f f <<C. 132()()()323f f f <<D. 312()()()233f f f <<7. 某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表:记录时间 累计里程(单位:公里) 平均耗电量(单位: kW · h /公里) 剩余续航里程 (单位:公里)2019年1月1日 4000 0.125 280 2019年1月2日41000.126146(注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,,）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是( ) A. 等于B.到之间 C. 等于D. 大于8. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,(1)5f =,且(4)()f x f x +=-,则(2019)(2020)f f +的值为（ ）A. 0B. C. 2 D. 59. 函数22()log (3)f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数,则a 的取值范围是（ ）A. (],4-∞B. (]4,4-C. (],2-∞D.(]4,2-10. 已知定义在R 上的函数()f x 与(2)f x +均为偶函数,且在区间[]0,2上()f x x =,若关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根,则a 的范围为（ ）A.6,10B.6,22C. (2,22D.()2,4二、多项选择题（本大题共2小题,每小题至少有2个正确选项,共10.0分） 11. 关于函数1()ln1xf x x-=+,下列选项中正确．．的有（ ） A. ()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞ B.()f x 为奇函数C.()f x 在定义域上是增函数D. 函数()f x 与ln(1)ln(1)y x x =--+是同一个函数12. 给出下列命题,其中正确．．的命题有（ ） A. 函数()(21)1a f x log x =--的图象过定点(1,0) B. 已知函数是定义在R 上的偶函数,当时()(1)f x x x =+,则的解析式为2()||f x x x =-C. 若1log 12a>,则a 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. 若22ln ln()(0,0)x y x y x y -->--><则0x y +< 三、填空题（本大题共4小题,共20.0分） 13. 若函数11()1x f x x-=+, 则(2)f = _____.14. 计算:71log 2338log 27lg 25lg 47()27-+++-=______. 15. 函数()f x 在[1,1]-上为奇函数并在[0,1]上单调递减,且(1)(12)0f a f a -+-<,则a 的取值范围为______.16. 已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,现给某病人静脉注射了该药物2500mg ,设经过x 个小时后,药物在病人血液中的量为y mg . （1）y 与x 的关系式为______；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上,才有疗效；而低于500mg ,病人就有危险,要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过______小时（精确到0.1）.（参考数据:0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1） 四、解答题（本大题共6题,共80.0分）17.（10分）已知全集U R =,集合2{|60}P x x x =-≥,{|24}M x a x a =<<+. （1）求集合UP ；（2）若UMP M =,求实数a 的取值范围.18.（12分）已知函数4,0(),0ax x f x log x x +⎧=⎨>⎩且点(4,2)在函数()f x 的图象上.（1）求函数()f x 的解析式,并在图中的直角坐标系中画出函数()f x 的图象； （2）求不等式()1f x <的解集；（3）若方程()20f x m -=有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围. 19. （12分）已知函数1()21f x x x=+- . （1）判断函数()f x 在2()2+∞上的单调性并用定义法证明. （2）若对任意1[,)2x ∈+∞,都有()tf x x≥恒成立,求t 的取值范围. 20.（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P 和Q （万元）,事先根据相关资料得出它们与投入资金x （万元）的数据分别如下表和图所示:其中已知甲的利润模型为P ax b =+,乙的利润模型为Q b ax α=+(,,0)a b a α≠为参数,且.（1）请根据下表与图中数据,分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金x （万元）的函数模型（2）今将300万资金投入生产甲、乙两种产品,并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元.设对乙种产品投入资金m （万元）,并设总利润为y （万元）,如何分配投入资金,才能使总利润最大？并求出最大总利润.21. （12分）已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数,且当01x <<时,4()=42xx f x +,（1）求()f x 在()1,1-上的解析式； （2）求()f x 在()1,1-上的值域；（3）求1352017++++2018201820182018f f f f（）（）（）（）的值. 22. （12分）已知函数()g x 对一切实数x ,y ∈R 都有()()(22)g x y g y x x y +-=+-成立,且(1)0g = ()()g x f x x=（1）求(0)g 的值和()g x 的解析式；x 2040 60 80P 33 36 39 42（2）若关于x的方程2(|21|)30|21|xxkf k-+-=-有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.2019～2020学年上学期高一级期中考试数学试题答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C CD B C A D D B A BD BCD三、填空题13.1314. 4 15.2[0,)3 16. y =2500×0.8x 7.212.【解析】A .由2x ﹣1＝1得x ＝1,此时f （1）＝log a 1﹣1＝0﹣1＝﹣1,即函数f （x ）过定点（1,﹣1）,故A 错误；B .若x ＞0,则﹣x ＜0,则f （﹣x ）＝﹣x （﹣x +1）＝x （x ﹣1）＝x 2﹣x , ∵f （x ）是偶函数,∴f （﹣x ）＝x 2﹣x ＝f （x ）,即f （x ）＝x 2﹣x , 即f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |,故B 正确；C .若,则log a ＞log a a ,若a ＞1,则＞a ,此时a 不成立, 若0＜a ＜1,则＜a ,此时＜a ＜1, 即a 的取值范围是,故C 正确；D .若2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）,则2﹣x ﹣ln x ＞2y ﹣ln （﹣y ）, 令f （x ）＝2﹣x ﹣ln x （x ＞0）,则函数f （x ）在（0,+∞）单调递减, 则不等式2﹣x ﹣ln x ＞2y ﹣ln （﹣y ）等价为f （x ）＞f （﹣y ）（y ＜0）, 则x ＜﹣y ,即x +y ＜0,故D 正确.17. 【解答】解:（1）由260x x -,得0x 或6x ,{|0P x x ∴=或6}x ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） {|06}U P x x ∴=<<.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）{|06}UP x x =<<.{|24}M x a x a =<<+,UMP M =UM P ∴⊆,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）∴当M =∅时,24a a +,解得4a -符合题意.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 当M ≠∅时,4a >-,且0246a a <+,解得01a ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 综上:a 的取值范围为(-∞,4][0-,1].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）18. 【解答】解:（1）由()f x 的图象经过点(4,2),可得log 42a =,即24a =,解得2a =,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分） 则24,0(),0x x f x log x x +⎧=⎨>⎩,函数()f x 的图象如右图:⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） （2）()1f x <即为041x x ⎧⎨+<⎩或201x log x >⎧⎨<⎩,即3x <-或02x <<,则解集为(-∞,3)(0-⋃,2)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分） （3）()20f x m -=有两个不相等的实数根,即有()y f x =的图象和直线2y m =有两个交点,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 由图象可得24m ,即2m ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 可得m 的取值范围是(-∞,2].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）19. 解:(1). 对任意122,)x x ∈+∞,且12x x <⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）则:12121211()()2211f x f x x x x x -=-+--+ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 2112122()x x x x x x -=-+12121221()x x x x x x -=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）12121,20x x x x -><⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） 12121221()0x x x x x x -∴-<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）()f x ∴在(,)2+∞为单调递增函数 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） (2) 方法一:即1[,)2x ∈+∞上有()tf x x≥恒成立,所以 221t x x ≤-+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）2172()48t x ≤-+,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）令2172(),48y x =-+时,1[2∞在,+)上单调递增， 12=x 当,1min y =所以 (,1]t ∴∈-∞⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）20.解:（1）由甲的数据表结合模型P ax b =+代入两点可得（20,33）（40,36） 代入有20334036a b a b +=⎧⎨+=⎩得3,3020a b == 即330,020P x x =+≥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 由乙的数据图结合模型Q b ax α=+代入三个点可得(0,40),(36,58),(100,70)可得04013658,3,40,210070b b a a b b a ααα+=⎧⎪+====⎨⎪+=⎩即0x ≥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）根据题意,对乙种产品投资m （万元）,对甲种产品投资(300)m -（万元）,那么总利润33(300)30401152020y m m =-+++=-+,⋯⋯⋯⋯（8分） 由7530075m m ⎧⎨-⎩,解得75225m ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）所以311520y m =-+,令t =[75m ∈,225],故t ∈,15], 则22333115(10)1302020y t t t =-++=--+, 所以当10t =时,即100x =时,130max y =,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 答:当甲产品投入200万元,乙产品投入100万元时,总利润最大为130万元⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）21解:（1）当10x -<<时,01x <-<,41()=42124x x xf x ---=++⋅, ……………………………….1分因为()f x 是()1,1-上的奇函数,所以1()()=124xf x f x -=--+⋅, ...............................2分当=0x 时,(0)=0f , ...............................3分所以,()f x 在()1,1-上的解析式为1,10124()=0,04,0142x x x x f x x x ⎧--<<⎪+⋅⎪=⎨⎪⎪<<⎩+； .....................4分（2）当10x -<<时,131214(,1),124(,3),(,)4212433xxx -∈+⋅∈∈--+⋅,......5分当01x <<时,21244222124(1,4),(,),1(,)423342424233x x xx x x x+-∈∈==-∈++++,..........7分所以,()f x 在()1,1-上的值域为{}2112(,)0(,)3333--； ................................8分（3）当01x <<时,4()=42x x f x +,114444()+(1)=1424242424x x x x x x xf x f x ---+=+=++++⋅,10分所以120173201552013+=+=+==201820182018201820182018f f f f f f （）（）（）（）（）（）1.........11分故135********++++=20182018201820182f f f f（）（）（）（）. ................................12分22.【解答】解:（Ⅰ）令x ＝1,y ＝0得g （1）﹣g （0）＝﹣1,∵g （1）＝0,∴g （0）＝1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 令y ＝0得g （x ）﹣g （0）＝x （x ﹣2）,即g （x ）＝x 2﹣2x +1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） （2）当x ＝0时,2x ﹣1＝0则x ＝0不是方程的根, 方程f （|2x ﹣1|）3k ＝0可化为:|2x ﹣1|2﹣（2+3k ）|2x ﹣1|+（1+2k ）＝0,|2x ﹣1|≠0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 令|2x ﹣1|＝t ,则方程化为t 2﹣（2+3k ）t +（1+2k ）＝0,（t ＞0）,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） ∵方程f （|2x ﹣1|）3k ﹣1＝0有三个不同的实数解,∴由t ＝|2x ﹣1|的图象知,t 2﹣（2+3k ）t +（1+2k ）＝0,（t ＞0）,有两个根t 1、t 2, 且0＜t 1＜1＜t 2或0＜t 1＜1,t 2＝1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 记h （t ）＝t 2﹣（2+3k ）t +（1+2k ）, 则,此时k ＞0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）或,此时k无解,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）综上实数k的取值范围是（0,+∞）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）11。
2019-2020学年广东省珠海市一中高中部高一数学理联考试题含解析
2019-2020学年广东省珠海市一中高中部高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系内，与点O（0，0）距离为1，且与点B（-3，4）距离为4的直线条数共有（）A.条B.条C.条D.条参考答案：C略2. 函数y＝－xc os x的部分图象是（）参考答案：D略3. 某班运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人、羽毛球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当抽取样本的容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除一个个体，则样本容量n= ( )A. 6B. 7C. 12D. 18参考答案：A【分析】根据容量为采用系统抽样法和分层抽样法，都不用剔除个体可得为6的倍数，再利用样本容量为时，采用系统抽样法需要剔除1个个体，验证排除即可.【详解】因为采用系统抽样法和分层抽样法，不用剔除个体，所以为的正约数，又因为，所以为6的倍数，因此，因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以为35的正约数，因此，故选A.【点睛】本题主要考查分层抽样与系统抽样的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.4. 集合M=｛x|x= k·90°450}与P=｛x|x=m·45°}之间的关系为（）A．M P B．P M C．M=P D．M∩P=参考答案：A5. 直线L经过两点A（﹣1，3），B（2，6），则直线L的斜率是（）A．K AB=1 B．K AB=﹣1 C．D．K AB不存在参考答案：A【考点】I3：直线的斜率．【分析】直接利用斜率公式求出直线的斜率即可．【解答】解：直线L经过两点A（﹣1，3），B（2，6），则直线L的斜率是：K AB==1．故选A．6. 已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为 ( )A. B. C. D.参考答案：D略7. 为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移参考答案：C略8. （4分）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；转化思想．分析：本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可解答：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z 轴，建立空间坐标系，∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故选C点评：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．9. 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．用排除法即可得出．【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．10. 函数f（x）=的零点的情况是（）A．仅有一个或0个零点B．有两个正零点C．有一正零点和一负零点D．有两个负零点参考答案：C【考点】函数的零点．【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象，从而化函数的零点情况为函数的图象的交点的情况，从而解得．【解答】解：作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象如下，，∵函数y=log2（x+4）与y=2x的图象有两个交点，且在y轴的两侧，故选：C．【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为．参考答案：33.75由图可知，的频率为的频率为的频率为的频率为的频率为前两组频率前三组频率中位数在第三组设中位数为x，则解得故该组数据的中位数为12. 如果函数g（x）满足：对任意实数m，n均有g（mn+1）﹣g（m）g（n）=2﹣g（n）﹣m成立，那么称g（x）是“次线性”函数．若“次线性”函数f（x）满足f（0）=1，且两正数x，y使得点（x2﹣1，3﹣2xy）在f（x）的图象上，则log（x+y）﹣log4x的最大值为_________ ．参考答案：-113. 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T={f（x）|x∈S}；（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①S={0，1，2}，T={2，3}；②S=N，T=N*；③S={x|﹣1＜x＜3}，T={x|﹣8＜x＜10}；④S={x|0＜x＜1}，T=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是（写出所有“保序同构”的集合对的序号）．参考答案：②③④【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用：两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S到T的函数y=f （x）即可判断出结论．【解答】解：①由于不存在一个从S到T的函数y=f（x），因此不是“保序同构”的集合对．②令f（x）=x+1，x∈S=N，f（x）∈T；③取f（x）=x﹣，x∈S，f（x）∈T，“保序同构”的集合对；④取f（x）=tan，x∈S，f（x）∈T．综上可得：“保序同构”的集合对的序号是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了两个集合“保序同构”的定义、函数的解析式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若a cos B＋b cos A＝c sin C.S＝(b2＋c2－a2)，则角B＝________.参考答案：45°略15. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．参考答案：函数的定义域为，∴恒成立，当时，恒成立，满足题意；当时，，即，解得；综上，实数的取值范围是．故答案为：．16. （5分）某射手射中10环、9环、8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，那么，在一次射击训练中，该射手射击一次不够8环的概率是．参考答案：0.29考点：互斥事件的概率加法公式．专题：计算题．分析：由已知中射手射击一次射中10环、9环、8环为互斥事件，我们可以计算出射手射击一次不小于8环的概率，再由射击一次不小于8环与不够8环为对立事件，代入对立事件概率减法公式，即可得到答案．解答：由已知中某射手射中10环、9环、8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，则射手射击一次不小于8环的概率为0.24+0.28+0.19=0.71，由于射击一次不小于8环与不够8环为对立事件则射手射击一次不够8环的概率P=1﹣0.71=0.29[来源:学科网]故答案为：0.29．点评：本题考查的知识点是互斥事件的概率加法公式，其中分析出已知事件与未知事件之间的互斥关系或对立关系，以选择适当的概率计算公式是解答本题的关键．17. 不等式3﹣2x﹣2＞（）x+1的解集为．参考答案：（﹣∞，﹣1）【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由已知得3﹣2x﹣2＞3﹣x﹣1，由指数函数的性质得到﹣2x﹣2＞﹣x﹣1，由此能求出不等式3﹣2x﹣2＞（）x+1的解集．【解答】解：∵3﹣2x﹣2＞（）x+1，∴3﹣2x﹣2＞3﹣x﹣1，∴﹣2x﹣2＞﹣x﹣1，解得x＜﹣1．∴不等式3﹣2x﹣2＞（）x+1的解集为（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要注意指数函数的性质的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东珠海一中等六校2019高三第三次(12月)联考-数学理
广东珠海一中等六校2019高三第三次（12月）联考-数学理六校分别为：广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中本试卷总分值150分，考试时间120分钟考生本卷须知1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第二卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清晰。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．。
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：假如事件A 与B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)假如事件A 与B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) I 卷(选择题)一、 选择题：(本大题共8小题，每题5分，共40分,在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求,把答案填涂在答卷相应地方上)1. 复数z 满足(1)2z i i +=,那么z等于()A 、C.2D.32、设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，那么U AB =ð〔〕A 、{|01}x x ≤< B.{|01}x x <≤ C.{|0}x x < D.{|1}x x > 3、甲：11a b >⎧⎨>⎩,乙：21a b ab +>⎧⎨>⎩，那么甲是乙的〔〕A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、非充分非必要条件 4.函数()2sin 3x f x π⎛⎫=+ ⎪3⎝⎭的最小正周期为()A.3πB.23πC.3πD.6π 5.等差数列{}n a 中，61030a a +=，410a =，那么16a 的值为()A 、15B 、20C 、25D 、306、假设m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，那么以下命题中的真命题是〔〕A 、假设m βαβ⊂⊥，，那么m α⊥B 、假设//m m βα⊂，，那么αβ∥C 、假设m β⊥，m α∥，那么αβ⊥D 、假设αγ⊥，αβ⊥，那么//βγ7.实数,a b 满足1111a b a b -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩,那么2a b +A.1B.2C.3D.48.利用随机模拟方法可可能某无理数m 的值，为此设计如右图所示的程序框图，其中rand() 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 为s 与n 之 比值，执行此程序框图，输出结果P 是m 的 可能值，那么m 是() A.1eB.1πC.ln2D.lg3II 卷(非选择题)【二】填空题：(本大题共6小题，每题5分,共30分，把答案填在答卷相应地方上〕〔一〕必做题：第9~13题为必做题9.统计某校1000名学生的数学期中考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，假设不低于80分 即为优秀。
解析版广东省珠海一中、惠州一中高一(上)期中数学试卷
(1)判断函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)求函数 f(x)在[0,1]上的最大值 g(a)的解析式．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：∵函数 f(x)=ax+1，其中 a>0，a≠1， 令 x=0，可得 y=1+1=2， 点的坐标为(0,2)， 故选：D 已知函数 f(x)=ax+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点． 本题主要考查指数函数的性质及其特殊点，是一道基础题．
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∴根据零点存在定理，可得函数 f(x)=4x−x2 的零点所在的大致区间是(−1,12)， 故选：A． 确定 f(−1)，f(12)函数值的符号，通过函数的连续性，根据零点存在定理，可得结论． 本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意：A={x|−1<x<3}，B={x|−3<x<2}，A∩B={x|−1<x<2}，由根与 系数的关系可知：a=−1，b=−2， 故选 A． 解方程 x2−2x−3=0 和 x2+x−6=0，求得集合 A 和 B，求出 A∩B，根据韦达定理求得 a，b． 考查不等式解集和相应方程根之间的关系，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：A 由于图象开口向下，所以 a<0． 由图象可知 f(0)=c>0，
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又抛物线对称轴 x=−b2a<0，∴b<0， ∴abc>0，与已知 abc<0 矛盾 所以 A 不可能 B 由于图象开口向上，所以 a>0． 由图象可知 f(0)=c<0， 又抛物线对称轴 x=−b2a<0，∴b>0， 符合已知 abc<0 所以 B 正确．
2019-2020学年广东省惠州一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年广东省惠州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−2,0，1，2)，B ={x|x 2=2x}，则A ∩B =( )A. {2}B. (0,2)C. {−2,2}D. {0,2}2. 已知函数f(x)={x 2−5x −6,x >0,2x+3,x ≤0,则f [f (5)]=( ) A. 12 B. 14 C. 18 D. 116 3. 下列函数中，满足“f (x +y )=f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A. f (x )=x 12B. f (x )=x 3C. f (x )=(12)xD. f (x )=3x 4. 若函数f(x)={a(x −1)+1,x <−1a −x ,x ≥−1(a >0，且a ≠1)是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,13)B. (13,1)C. (0,13]D. [13,1) 5. 函数f(x)=1x +ln|x|的图象大致为( )A. B.C. D.6. 已知f(x)=|lnx|，若0<a <b ，且f(a)=f(b)，则下列说法正确的是( )A. 0<ab <1B. ab =1C. ab >1D. ab 与1的大小关系不确定 7. 已知函数f(x)是定义在[1−a,5]上的偶函数，则a 的值是( )A. 0B. 1C. 6D. −68.函数y=xa x|x|(a>1)的图像的大致形状是()A. B.C. D.9.用二分法求函数f(x)在区间(1,2)内的零点近似值的过程中，经计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(2)>0，则下一次应计算x0=()时，f(x0)的值．A. 1.75B. 1.625C. 1.375D. 1.2510.某市原来居民用电价为0.52元/kw⋅ℎ，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/kw⋅ℎ，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw⋅ℎ.对于一个平均每月用电量为200kw⋅ℎ的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为()A. 110kw⋅ℎB. 114kw⋅ℎC. 118kw⋅ℎD. 120kw⋅ℎ11.设a>0，则函数y=|x|(x−a)的图象的大致形状是()A. B.C. D.12.已知函数f(x)={x2−2x+1,x≤01og12x,x>0，若函数y=f(x)−a有2个零点，则α的取值范围是()A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合A={1,3,5}，B={3,5,7}，则A∪B=_________．14.幂函数f(x)的图象过点(4,2)，那么f(16)的值为______．15. 已知函数f(x)在定义域R 是偶函数，且当x ≥0,f(x)=x+2x+1时，若对任意实数a ∈[−2,1]，都有f(a −t)<f(a)恒成立，则实数t 的取值范围是______．16. 已知函数f(x)={|log 3x|,0<x <3sin πx 6,3≤x ≤15，若直线y =m(m ∈R)与函数f(x)的图象有四个交点，且交点的横坐标从小到大依次为a ，b ，c ，d ，则(c−1)(d−1)ab 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 求值：lg500+lg 85−12lg64+50(lg2+lg5)2．18. 已知函数y =√x +2+√5−x 的定义域是集合Q ，集合P ={x|a +1≤x ≤2a +3},R 是实数集．⑴若a =3，求(C R P)∪(C R Q)⑴若P ∪Q =Q ，求实数a 的取值范围．19. 利用函数f(x)=2x 的图象，分别作出下列函数的图象．(1)f(x −1)；(2)f(|x |)；(3)f(x)−1；(4)−f(x)；(5)|f(x)−1|．20.已知函数f(x)=a+1，2x−1(1)求f(x)的定义域，(2)是否存在实数a，使f(x)是奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．(3)在(2)的条件下，令g(x)=x3⋅f(x)，求证：g(x)>0．21.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5万元.经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；t2(万元)，(0<t≤5)，其中t是产品售出的数量(单位：百台)．(说明：销售收入为R(t)=6t−12①利润=销售收入−成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润.)(1)把年利润y表示为年产量x(x>0)(单位：百台)的函数；(2)当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？22.已知函数g(x)=2ax2−4ax+2+2b(a>0)，在区间[2,3]上有最大值8，有最小值2，设f(x)=g(x)．2x(1)求a,b的值；(2)不等式f(2x)−k•2x≥0在x∈[−1,1]时恒成立，求实数k的取值范围；−3)=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．(3)若方程f(|e x−1|)+k(2|e x−1|-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力．属于基础题．【解答】解： 因为B ={0,2}，所以A ∩B ={0,2}．故选D ．2.答案：C解析：【分析】本题考查了分段函数的函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于基础题． 先求出f(5)，再求f [f (5)]，由此能求出结果．【解答】解：f(x)={x 2−5x −6,x >0,2x+3,x ≤0,f(5)=52−5×5−6=−6，∴f [f (5)]=f(−6)=2−6+3=18． 故选C ． 3.答案：D解析：【分析】本题主要考查指数函数的性质和指数运算．【解答】解：根据各选项知，选项C ，D 中的指数函数满足f (x +y )=f (x )⋅f (y )．又f (x )=3x 是单调递增函数，所以选项D 满足题意．故选D ．4.答案：D解析：【解答】解：∵a>0，∴当x<−1时，函数f(x)为增函数，∵函数在R上的单调函数，∴函数为单调递增函数，则当x≥−1时，f(x)=(1a)x，为增函数，则1a>1，即0<a<1，同时a≥−2a+1，即3a≥1，即a≥13，综上13≤a<1，故选：D．【分析】根据分段函数单调性的关系进行求解即可．本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．5.答案：B解析：【分析】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．当x<0时，函数f(x)=1x +ln(−x)，由函数的单调性，排除CD；当x>0时，函数f(x)=1x+ln(x)，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，即得．【解答】解：当x<0时，函数f(x)=1x+ln(−x)，由函数y=1x 、y=ln(−x)递减知，函数f(x)=1x+ln(−x)递减，排除CD；当x>0时，函数，此时，f(1)=11+ln1=1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确．故选B．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查对数函数的图象与性质，重点考查数形结合思想以及推理与运算能力，属基础题．【解答】解：由题意，可得函数，作出f(x)的图象，如图所示．因为0<a<b，且f(a)=f(b)，所以0<a<1<b，所以−lna=lnb，所以ln(ab)=0，所以ab=1．故选B．7.答案：C解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．由于函数f(x)是定义在[1−a,5]上的偶函数，可知1−a+5=0，解得a即可．【解答】解：∵函数f(x)是定义在[1−a,5]上的偶函数，∴1−a+5=0，解得a=6．故选：C．8.答案：C解析：【分析】本题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．分x>0与x<0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当x>0时，|x|=x，此时y=a x(a>1)，当x<0时，|x|=−x，此时y=−a x(a>1)，则函数y=xa x|x|(a>1)的图象的大致形状是．故选C．9.答案：D解析：解：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴根据函数零点存在定理，函数零点落在区间(1,1.5)内，取x0=1.25．故选D．根据题意可得，f(1)<0，f(1.5)>0，函数零点落在区间(1,1.5)内，再由二分法的步骤，应该计算区间中点的函数值，即1.25对应的函数值，判断符号，可以进一步确定零点的范围．本题主要考查二分法以及零点存在定理，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题考查函数模型的应用，根据已知列出不等式即可求出结果，属于基础题．根据题意列，即可得到答案．【解答】解：设每月峰时段的平均用电量为xkw⋅ℎ，则谷时段的用电量为(200−x)kw⋅ℎ；根据题意，得：，解得x⩽118．所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118kw⋅ℎ，故选C．11.答案：B解析：【分析】本题考查分段函数，考查函数的化简，考查数形结合的数学思想，属于中档题．确定分段函数的解析式，与x 轴的交点坐标为(a,0)，(0,0)，及对称性即可得到结论．【解答】解：函数y =|x|(x −a)={x(x −a),x ≥0−x(x −a),x <0, ∵a >0，当x ≥0，函数y =x(x −a)的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x 轴的交点坐标为(0,0)，(a,0) 当x <0时，图象为y =−x(x −a)的图象为开口先向下的抛物线的一部分，故选B ．12.答案：D解析：【分析】此题考查函数的 零点与 方程跟的 关系和 分段函数，难度一般．需要每一段函数 进行零点分析，再综合考虑．【解答】解：(1)当x ≤0时，y =x 2−2x +1−a ，有当a ≥1时，函数y =f(x)−a 有1个零点，当a <1时，函数y =f(x)−a无零点．(2)当x >0时，，有当a ≥1时，函数y =f(x)−a 有1个零点，当a <1时，函数y =f(x)−a 无零点．综合(1)(2)可得若函数y =f(x)−a 有2个零点，则α的取值范围为a ≥1，故答案选D ． 13.答案：{1,3,5,7}解析：【分析】本题考查集合的并集，属于基础题.根据并集的定义求解即可．【解答】解：A ={1,3,5}，B ={3,5,7}，A ∪B ={1,3,5,7}．故答案为{1,3,5,7}．14.答案：4解析：解：设幂函数f(x)=x a，x>0∵幂函数f(x)的图象过点(4,2)，∴4a=2，x>0，∴a=12，∴f(x)=x12，∴f(16)=1612=4．故答案为：4．设幂函数f(x)=x a，x>0.由幂函数f(x)的图象过点(4,2)，知x4=2，x>0，故f(x)=(√24)x，由此能求出f(16)．本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．15.答案：(−∞,−4)∪(2,+∞)解析：【解答】解：当x≥0,f(x)=x+2x+1=1x+1+1，故f(x)在[0,+∞)递减，而f(x)在定义域R是偶函数，故f(x)在(−∞,0)递减，若对任意实数a∈[−2,1]，都有f(a−t)<f(a)恒成立，则对任意实数a∈[−2,1]，|a−t|>|a|，即2at<t2在a∈[−2,1]恒成立，①t>0时，只需t>(2a)max成立即可，故t>2，②t<0时，只需t<(2a)min成立即可，故t<−4，故答案为：(−∞,−4)∪(2,+∞)．【分析】求出函数的单调性，根据函数的奇偶性求出函数在R的单调性，去掉f，得到2at<t2在a∈[−2,1]恒成立，通过讨论t的范围，求出t的具体范围即可．本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．16.答案：(28,55)解析：【分析】本题考查分段函数，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．【解答】解：根据图象可得：①ab=1；②c+d=18；③c∈(3,6)，d∈(12,15)；因此则(c−1)(d−1)ab=(c−1)⋅(d−1)=cd−(c+d)+1=−(c−9)2+64∈(28,55)．故答案为：(28,55)．17.答案：解：lg500+lg85−12lg64+50(lg2+lg5)2=lg(500×85×18)+50=2+50=52．解析：利用对数的性质和运算法则求解．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要注意对数的性质和运算法则的合理运用．18.答案：解：(1)由{x+2≥05−x≥0，得−2≤x≤5，即Q={x|−2≤x≤5}，所以C R Q={x|x<−2或x>5}，当a=3时，P={x|4⩽x⩽9}，所以C R P={x|x<4或x>9}，所以(C R P)∪(C R Q)={x|x<4或x>5}；(2)由P∪Q=Q，得P⊆Q，当P=⌀时，即2a+3<a+1，得a<−2，此时有P=⌀⊆Q；当P≠⌀时，由P⊆Q得：{a+1⩾−22a+3⩽5a+1⩽2a+3，解得−2⩽a⩽1；综上，实数a的取值范围是a⩽1．解析：本题考查函数的定义域的求解、集合的运算及集合关系中参数的取值范围，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)求出Q，P，C R P，C R Q，进而即可求得结果；(2)由P∪Q=Q，得P⊆Q，然后分类讨论求解即可．19.答案：见解析解析：(1)f(x−1)图像是在f(x)图像的基础上向右平移1个单位，所以其图像为(2)f(|x|)是将函数f(x)的图像左边去掉，将右边图像关于y轴对称过去得到的，其图像如图(3)f(x)−1是将函数f(x)的图像想下平移一个单位得到的，其图像如图(4)−f(x)是将函数f(x)的图像关于x 轴对称得到的，其图像如图(5)|f(x)−1|的图像是将f(x)−1图像x 轴以下的图像关于x 轴对称上去得到的，其图像如图20.答案：(1)解：由2x −1≠0得：x ≠0∴f(x)的定义域为{x|x ≠0}；(2)解：由于f(x)的定义域关于原点对称，要使f(x)是奇函数，则对于定义域{x|x ≠0}内任意一个x ，都有f(−x)=−f(x)即：a +12−x −1=−(a +12x −1)， 整理得：(2a−1)(2x −1)2x −1=0，∴2a −1=0，解得：a =12， ∴存在实数a =12，使f(x)是奇函数；(3)证明：在(2)的条件下，即a =12，则g(x)=x 3⋅f(x)=(12+12x −1)x 3，g(x)的定义域为{x|x ≠0}关于原点对称，且g(−x)=(−x)3f(−x)=x 3f(x)=g(x)则g(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称．当x >0时，2x >1，即2x −1>0，又2x +1>0，x 3>0．∴g(x)=(12+12x −1)x 3=2x +12(2x −1)⋅x 3>0．当x <0时，由对称性得：g(x)>0．综上：g(x)>0成立．解析：(1)由分式的分母不等于0直接求解函数的定义域；(2)函数的定义域关于原点对称，假设存在实数a 使f(x)是奇函数，由奇函数的定义，对于定义域内的任意实数xf(−x)=−f(x)恒成立，代入函数解析式后整理可求得实数a 的值；(3)把a =12代入函数f(x)的解析式，把g(x)=x 3⋅f(x)整理后可证明函数函数g(x)为偶函数，再证明当x >0时g(x)>0，根据函数是偶函数可得x <0时g(x)>0，则问题得证．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数奇偶性的判断，判断一个函数是否具有奇偶性，首先判断定义域是否是关于原点对称，若定义域关于原点对称，然后用定义判断，否则，函数为非奇非偶函数，此题是中档题． 21.答案：解：(1)当0<x ≤5时f(x)=6x −12x 2−0.5−2.5x =−12x 2+3.5x −0.5， 当x >5时f(x)=6×5−12×52−0.5−2.5x =17−2.5x ，即f(x)={−0.5x 2+3.5x −0.5(0<x ≤5)17−2.5x(x >5); (2)当0<x ≤5时f(x)=−12(x 2−7x +1)=−12(x −72)2+458，∴当x =3.5∈(0,5]时，f(x)max =458=5.625，当x >5时，f(x)为(5,+∞)上的减函数f(x)<f(5)=17−2.5×5=4.5又5.625>4.5，∴f(x)max =f(3.5)=5.625故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大．解析：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用二次函数性质求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)利润函数y =销售收入函数R(x)−成本函数，讨论x 的大小，利用分段函数表示出年利润y 表示为年产量x(x >0)的函数；(2)由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x 的值，比较两段的最大值即可求出所求．22.答案：解：(1)由条件得：{a >0g(2)=2+b =2g(3)=18a −12a +2+b =8，解得a =1,b =0． (2)∵g(x)=2x 2−4x +2，∴f(x)=x 2−2x+1x ，令2x =t ，∵x ∈[−1,1]，∴t ∈[12,2]，不等式f(2x )−k ·2x ⩾0可化为：t 2−2t+1t −kt ⩾0， 问题等价于t 2−2t+1t −k ·t ⩾0在t ∈[12,2]时恒成立， 即k ⩽(1t )2−2·1t +1在t ∈[12,2]时恒成立，∵1t ∈[12,2]，∴(1t )2−2·1t +1=(1t −1)2≥0所以k ≤0;(3)令m =|e x −1|，则方程f(|e x −1|)+k(2|e x −1|−3)=0有三个不同的实数解⇔关于m 的方程f(m)+k(2m−3)=0有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一个根大于0且小于1； f(m)+k(2m −3)=0可化为：m 2−2m+1m +k(2m −3)=0 化简得：m 2−(2+3k)m +1=0，当一根等于1时，k =0不满足题意，所以它的两根分别属于(0,1)和(1,+∞)，又因为m =0时，1>0恒成立，所以只要12−(2+3k)·1+1<0，解得k >0，∴实数k 的取值范围为(0,+∞).解析：(1)根据二次函数的性质，由条件列出关于a ，b 的方程组求解即可；(2)不等式f(2x )−k ·2x ⩾0可化为：t 2−2t+1t −kt ⩾0，即k ⩽(1t )2−2·1t +1在t ∈[12,2]时恒成立，因为(1t )2−2·1t +1=(1t −1)2≥0，所以k ≤0；(3)利用换元法，方程f(|e x −1|)+k(2|e x −1|−3)=0有三个不同的实数解可转化为关于m 的方程f(m)+k(2m −3)=0有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一个根大于0且小于1，再利用根的分布即可求出k 的取值范围．。
2019-2020学年广东省珠海一中、惠州一中高一上学期期中联考数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省珠海一中、惠州一中高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．函数y=a x +1（a ＞0且a≠1）的图象必经过点（ ） A ．（0，1） B ．（1，0） C ．（2，1） D ．（0，2）【答案】D【解析】试题分析：已知函数f （x ）=a x +1，根据指数函数的性质，求出其过的定点． 解：∵函数f （x ）=a x +1，其中a ＞0，a≠1， 令x=0，可得y=1+1=2， 点的坐标为（0，2）， 故选：D【考点】指数函数的单调性与特殊点．2．函数2-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（ ） A ．[-2，2] B ．[-1，2] C ．[-2，-1] D ．[-1，1]【答案】A【解析】试题分析：函数()222112y x x x =--=--在区间[]0,1上递减，在区间[]1,3上递增，所以当x=1时，()()min 12f x f ==-，当x=3时，()()max 32f x f ==，所以值域为[]2,2-。
故选A 。
【考点】二次函数的图象及性质。
3．已知集合{}0,1,2A =，集合{}0,2,4B =,则A B ⋂=（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}0,2C ．{}0,4D ．{}0,2,4【答案】B【解析】试题分析：两集合的交集为两集合相同的元素构成的元素，所以{}0,2A B ⋂= 【考点】集合的交集运算4．函数2()4x f x x =-的零点所在的大致区间是（ ） A ．1(1,)2- B ．1(0)2-，C ．1(0,)2D ．1(1)2，【答案】A【解析】利用零点存在定理计算区间(,)a b 端点的函数值，满足()()0f a f b <时可确定答案. 【详解】计算137(1)()()()0244f f -=-<，11()(0)()(1)024f f -=>，17(0)()(1)()024f f =>，1()(1)02f f >，由零点存在定理得函数()f x 在1(1,)2-存在零点.故选A.【点睛】本题考查函数的零点，零点存在定理的应用，注意若函数()f x 在(,)a b 存在零点，不一定有()()0f a f b <，考查计算能力，属于基本题.5．已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b=( ) A ．-3 B ．1 C ．-1 D ．3【答案】A【解析】由题意得，A={x|-1<x<3}，B={x|-3<x<2}， 故A∩B={x|-1<x<2}．即不等式x 2+ax+b<0的解集为{x|-1<x<2}， ∴-1，2是方程20x ax b ++=的两根， ∴(12)1,122a b =--+=-=-⨯=-。
2019-2020学年广东省珠海市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省珠海市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2,0,2A =-,{}2,B y y x x A ==∈,则A B =U ( )A ．{}4,2,0±±B ．{}2,0,4±C ．{}4,0,2±D ．{}0,2,4【答案】B【解析】用列举法表示集合B ，结合并集的定义求解即可. 【详解】因为{}{}2,0,4B y y x x A ==∈=，{}2,0,2A =-，所以{}2,0,2,4A B =-U .故选：B 【点睛】本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的并集运算，属于基础题. 2．已知扇形的圆心角为1,弧长为2,则扇形面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】直接根据扇形面积公式求解即可. 【详解】因为扇形的圆心角为1,弧长为2,所以扇形面积为：1112222221l S lr l α==⋅⋅=⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查了扇形的面积公式和弧长公式，考查了数学运算能力. 3．下列函数是偶函数的是( ) A ．()122xxf x =+B ．()1log log a a f x x x=+ C ．()1f x x x =+ D ．()3lg3xf x x-=+ 【答案】A【解析】根据偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A ：该定义域为实数集. 因为()()112222xx x x f x f x ---=+=+=，所以该函数是偶函数，本选项符合题意；B ：该函数的定义域为：{0x x >且}1x ≠，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意；C ：该函数的定义域为非零的实数集，因为()()()11()f x x x f x f x x x-=-+=-+=-≠-，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意；D ：该函数的定义域为：{}33x x -<<. 因为()()()33lg lg 33x xf x f x f x x x-+-==-=-≠+-，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意. 故选：A 【点睛】本题考查了偶函数的判定，考查了求函数的定义域，考查了代数式的恒等变形的能力. 4．在平面直角坐标系xOy 中,若角α终边过点()5,12P -,则cos α=( ) A ．1213-B ．513C ．512D ．512-【答案】B【解析】利用余弦函数的定义直接求解即可. 【详解】因为角α终边过点()5,12P -,所以有225cos 135(12)α==+-. 故选：B 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，属于基础题.5．函数a y x =,xy a =,log ay x =,其中0a >,1a ≠,存在某个实数a ,使得以上三个函数图像在同一平面直角坐标系xOy 中,则其图像只可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】在同一选项中的三个函数的图象，假设其中的一个正确去判断另外两个是否正确，这样就可以选出正确答案.【详解】A ：假设指数函数x y a =的图象是正确的，所以有1a >，这时对数函数log ay x =是单调递增的，但是选项中的图象是单调递减的，所以假设不成立，故本选项不正确；B ：假设指数函数xy a =的图象是正确的，所以有01a <<，这时对数函数log ay x =是单调递减的，但是选项中的图象是单调递增的，所以假设不成立，故本选项不正确；C ：假设指数函数x y a =的图象是正确的，所以有01a <<，这时对数函数log ay x =是单调递减的，选项中的图象是单调递减的，假设不成立，这时幂函数图象有可能正确，也有可能错误，故存在某个实数a ,使得这三个图象是正确的，故本选项正确； D 假设指数函数x y a =的图象是正确的，所以有1a >，这时对数函数log ay x =是单调递增的，选项中的图象是单调递增的，所以假设成立，这时幂函数a y x =的图象是不正确的，因为这时的幂函数的定义域是全体实数集，故本选项不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了同一直角坐标系对数函数、指数函数、幂函数的图象，考查了数形结合思想.其时本题也可以这样思考，因为指数函数xy a =和对数函数log ay x =具有相同的单调性，这样直接可以排除A ，B ，再根据幂函数的图象性质，结合指数函数或对数函数的单调性可以排除D.6．要得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像( ) A ．横坐标缩小到原来的12,纵坐标不变 B ．横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变 C ．纵坐标缩小到原来的12,横坐标不变 D ．纵坐标扩大到原来的2倍,横坐标不变 【答案】A【解析】根据函数解析式的变化直接求解即可. 【详解】 函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，横坐标缩小到原来的12,纵坐标不变，就得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.故选：A 【点睛】本题考查了已知函数解析式的变化求函数图像变换的过程，属于基础题.7．已知32a =,2log 3b =,0.2log 0.3c =,0.2log 3d =,则a ,b ,c ,d 的大小顺序是( ) A ．a b c d <<< B ．b c d a <<<C ．d b c a <<<D ．d c b a <<<【答案】D【解析】利用对数函数的单调性结合指数函数的单调性直接求解即可. 【详解】 因为0.20.20.20.2log 3log 10log 0.3log 0.21<=<<=3222log 2log 3log 422=<<=<，所以d c b a <<<. 故选：D 【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的单调性进行指数式、对数式的大小比较，属于基础题.8．已知51sin 73πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则2sin 7πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．3B ．3-C ．13-D ．13【答案】D【解析】结合已知利用诱导公式直接求解即可. 【详解】51sin 73πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭Q ,2551sin sin sin 7773πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：D 【点睛】本题考查了正弦函数的诱导公式，属于基础题. 9．已知函数()f x 满足()1f x +的定义域是[)0,31,则()2x f 的定义域是( )A ．[)1,32B ．[)1,30-C ．[)0,5D ．()2,log 30-∞【解析】由()1f x +的定义域求出()f x 的定义域，最后结合指数函数的单调性，求出()2x f 的定义域.【详解】()1f x +Q 的定义域是[)0,31,即031x ≤<,1132x ∴≤+<,()f x ∴的定义域为132x ≤<,()2xf ∴的定义域为：05212322x =≤<=,05x ∴≤<.故选：C 【点睛】本题考查了复合函数的定义域，考查了指数函数的定义域，考查了数学运算能力. 10．如图,平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,AD 中点,EF 与AC 交于点G ．若AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r,则DG =u u u r ( )A ．1344a b -r rB ．1344a b -+r rC ．1344a b --r rD ．1344a b +r r【答案】A【解析】利用平行四边形的性质，结合平面向量的加法的几何意义、平面向量共线定理、平面向量基本定理，直接求解即可. 【详解】Q 平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,AD 中点,EF 与AC 交于点G14AG AC ∴=u u u r u u u r ,AB a =u u u r r Q ,AD b =u u u r r,()1144AG AC a b ∴==+u u u r u u u r r r()113444DG DA AG b a b a b ∴=+=-++=-u u u r u u u r u u u r r r r r r .故选：A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理，考查了平面向量共线定理，考查了平面向量的加法的几何意义，属于基础题.11．锐角ABC ∆中,下列不等关系总成立的是( ) A ．sin cos A B <B ．sin cos B A <C ．sin sin A B >D ．sin cos B A >【解析】根据锐角三角形的性质，结合正弦函数和余弦函数的单调性求解即可. 【详解】A ：Q 锐角ABC ∆中,02C A B ππ<<<+<022A B ππ∴>>->sin sin cos 2A B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭，故本选项不正确；B ：Q 锐角ABC ∆中,02C A B ππ<<<+<022A B ππ∴>>->cos cos sin 2A B B π⎛⎫∴<-= ⎪⎝⎭，故本选项不正确，D 选项正确；C ：当3A B C π===时，显然sin sin A B =，故本选项不正确. 故选：D 【点睛】本题考查了余弦函数和正弦函数的单调性的应用，考查了锐角三角形的性质. 12．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是( )A ．18B ．26C ．28D ．30【答案】B【解析】令()20log h x x =，判断该函数的奇偶性，进而判断()g x 的奇偶性，问题是判断()()20log g x f x x =-的零点个数，即()20log f x x =也说是判断两个函数的图象的交点个数.利用已知可以判断出()f x 的周期性，这样在同一直角坐标系内，画出()f x ,()h x 的图象，利用数形结合可以判断出(]0,20x ∈交点的个数，再利用奇偶函数的性质，问题解决即可. 【详解】令()20log h x x =，定义域为非零的实数集，()()2020log log h x x x h x -=-==，所以该函数为偶函数，又()f x Q 是偶函数()g x ∴是偶函数，且0x ≠， 由()()20log 0g x f x x =-=得()20log f x x = 当0x >时有()20log f x x =Q 偶函数()f x 的图象关于32x =对称， ()()f x f x ∴-=且()()3f x f x =-， ()()()()333f x f x f x f x ∴+=-+=-=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是3T =的周期函数， 32kx ∴=,k Z ∈为()f x 的对称轴 Q 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =∴()()()()()2021111120f f f f h =-=-===当(]0,20x ∈,()f x ,()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(]0,20上有13个交点即()g x 在(]0,20上有13个零点()g x Q 是偶函数()g x ∴在[]20,20-上共有26个零点．故选：B 【点睛】本题考查了求函数零点的个数，考查了函数性质的综合应用，考查了数形结合思想.二、填空题 13．计算：1log 5237121255log 7log 9log 6log 2-⋅-⋅++=______．【答案】0【解析】结合指数幂的运算公式、对数的运算公式，对数式与指数式的恒等式直接求解即可. 【详解】原式125log 5237125log 7log 3log 125=-⋅+ 123752log 7log 3112105=-⋅+=-+=.故答案为：0 【点睛】本题考查了对数的运算公式，考查了指数幂的运算公式，考查了对数式与指数式的恒等式，考查了数学运算能力. 14．tan 600=o ． 【答案】3.【解析】试题分析：tan 600tan(603180)tan 603=+⨯==o o o o ． 【考点】任意角的三角函数值．15．已知函数()f x 为奇函数,0x >时,()531xf x x =+-,则0x <时,()f x =______．【答案】531x x --+【解析】利用奇函数的性质直接求解即可. 【详解】Q 函数()f x 为奇函数,0x >时,()531x f x x =+-∴当0x <,则0x ->,则()()531x f x x f x --=-+-=-0x ∴<时,()531xf x x -=-+.故答案为：531x x --+ 【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求解析式，属于基础题. 16．函数()sin y A ωx φ=+（0A >,0>ω,02πϕ<<）在一个周期上的图像如图所示,则这个函数解析式是______．【答案】32sin 25x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】通过图象的最高点或最低点可以直接求出A ，结合函数相邻零点求出2T（T 为函数的最小正周期），最后利用正弦型函数最小正周期公式求出ω，最后把其中一个点的坐标代入函数解析式中求出ϕ的值，最后写出正弦型函数的解析式. 【详解】由图像知,2A =.设函数的最小正周期为T ，822215153T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,43T π∴=， 23304223πωωωπ∴==>∴=Q ，把点2,015π⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式中有： 由32()()0215525k k Z k k Z ππππϕπϕπϕϕ-⋅+=∈⇒=+∈<<∴=Q ，所以函数的解析式为：32sin 25x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故答案为：32sin 25x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了通过函数图象求函数的解析式，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.17．幂函数()f x x α=,α为常数,满足()()9813f f =,则()2f =______． 【答案】16【解析】利用()()9813f f =，结合指数幂的运算公式求出α，最后求值即可. 【详解】()()4938133f f α===Q4α∴=()4f x x ∴=()42216f ∴==. 故答案为：16 【点睛】本题考查求幂函数解析式并求函数值问题，考查了数学运算能力. 18．已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是______（请把正确的序号填到横线处）①()f x 的一个周期是4π- ②()f x 的一个对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭③()f x 的一条对称轴方程是65x π=-④()f x 在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数【答案】①②③【解析】利用余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】①: ()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是的最小正周期是2π，所以4π-也是它的一个周期，故本结论正确； ②：当3x π=-时，cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数关于,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称，故本结论正确； ③：当65x π=-时，55cos 1666f πππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数65x π=-是函数的一条对称轴，故本结论正确； ④：()cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间为：722()22()666k x k k Z k x k k Z ππππππππ≤-≤+∈⇒+≤≤+∈，当1k =时，766x ππ≤≤，故本结论不正确. 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了余弦型函数的对称性、周期性、对称性，属于基础题.19．函数()f x 为R 上的奇函数,在(),0-∞上是增函数,()50f =,则()0xf x >的解集是______．【答案】()(),55,-∞-+∞U【解析】利用奇函数的单调性的性质，结合已知，画出图象的大致形状，最后数形结合求解即可. 【详解】解析：()f x Q 为R 上的奇函数,()00f ∴=,()f x Q 在(),0-∞上是增函数,()50f =()f x ∴在()0,∞+上是增函数,()50f -=即函数的图象大致如下图所示：()0xf x >Q 等价于x 与()f x 同号∴解集是()(),55,-∞-+∞U .故答案为：()(),55,-∞-+∞U【点睛】本题考查了奇函数的单调性的性质，考查了数形结合思想，考查了求解不等式解集问题. 20．已知点()11,A x y ,()22,B x y 是原点为圆心,2为半径的圆上两点,AOB α∠=为锐角,5cos 413πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则1212x x y y +=______． 【答案】14213【解析】先求出4πα+的取值范围，利用同角的三角函数关系式中的平方和关系求出角4πα+的正弦值，再利用两角差的余弦公式求出cos α的值，最后利用平面向量夹角公式求解即可.【详解】02πα<<Q ,3444πππα∴<+<,5cos 413πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭Q ,12sin 413πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 2cos cos cos sin 4444ππππαααα⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 121222622x x y y OA OB OA OB+⋅===⨯u u u r u u u r u u u r u u u r 1212213x x y y ∴+=. 故答案为：213【点睛】 本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了同角三角函数的关系式，考查了两角差的余弦公式，考查了数学运算能力.三、解答题 21．已知2a =r ,3b =r,a b +=r r （1）求a r 与b r的夹角θ； （2）求a r 在b r 上的投影．【答案】（1）3π ；（2）1 【解析】（1）对a b +=r r a r 与b r 的夹角θ；（2）利用平面向量数量积的几何意义进行求解即可.【详解】 （1）2a =r Q ,3b =r,a b +=r r222192492a b a b a b a b ∴=+=++⋅=++⋅r r r r r r r r ，得3a b ⋅=r r ，a r Q 与b r 的夹角θ，31cos 232a b a b θ⋅∴===⨯⋅r r r r ， 0θπ≤≤Q3πθ∴=；（2）2a =r Q ,3πθ= a ∴r 在b r 上的投影为1cos 212a θ=⨯=r . （另法：3ab ⋅=r r Q ,3b =ra ∴r 在b r 上的投影为3cos 13a b a bθ⋅===r r r r ） 【点睛】本题考查了平面向量的夹角公式，考查了平面向量的几何意义.22．已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin 3=-a （1）求tan α；（2）若()3cos 5αβ+=-,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求sin β．【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）根据同角的三角函数关系中的平方和关系求出cos α的值，再利用同角的三角函数关系式中的商关系求出tan α；（2）根据同角的三角函数关系中的平方和关系求出()4sin 5αβ+=-的值，最后利用两角差的正弦公式求出sin β．【详解】（1）3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,2sin 3=-a ，cos α∴==sin tan cos 5ααα∴== （2）3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 2παβπ∴<+<()3cos 5αβ+=-Q ()4sin 5αβ∴+==- ()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα∴=+-=+-+⎡⎤⎣⎦4326535315⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯---⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式，考查了两角的差的正弦公式，考查了数学运算能力. 23．已知函数()()()22log 1log 7f x x x =++-（1）求()f x 的定义域；（2）若x 是不等式411933x --⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的解,求()f x 的最大值．【答案】(1) ()1,7- (2) 最大值为4．【解析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组，解不等式组求出()f x 的定义域；（2）利用指数函数的单调性求解指数不等式，然后根据对数复合函数的单调性求出函数的最大值.【详解】（1）()f x 有意义,则有1070x x +>⎧⎨->⎩解得17x -<<()f x ∴的定义域是()1,7-；（2）411933x --⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭等价于214333x -≤≤ 即214x ≤-≤得35x ≤≤()()()()()()22222log 1log 7log 17log 67f x x x x x x x =++-=+-=-++⎡⎤⎣⎦当35x ≤≤时,2126716x x ≤-++≤()()222log 67log 164f x x x ∴=-++≤=()f x ∴的最大值为4．【点睛】本题考查了对数型函数的定义域，考查了解指数不等式，考查了对数复合函数的最大值，考查了数学运算能力.24．已知()sin ,cos a x x ωω=r ,()sin ,2sin cos b x x x ωωω=-r ,()0,4ω∈,若()2f x a b =⋅r r 其图像关于点,08M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 （1）求()f x 的解析式；（2）直接写出()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （3）当a b ⊥r r 时,求x 的值．【答案】（1）()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ ；（2） 增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）28k x ππ=+,k Z ∈. 【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合二倍角的正弦、二倍角的余弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数的对称点，求出ω的值即可；（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（3）根据数量积的坐标表示公式，结合两向量垂直它们的数量积为零，再结合特殊角的三角函数值求出x 的值．【详解】（1）()sin ,cos a x x ωω=r ,()sin ,2sin cos b x x x ωωω=-r()2222sin 4sin cos 2cos f x a b x x x x ωωωω∴=⋅=+-r r2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()f x Q 的图象关于点,08M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 284k ππωπ∴⋅-=,k Z ∈即41k ω=+,k Z ∈()0,4ω∈Q1ω∴=()24f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭． （2）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为：3222()()24288k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈； 单调递减区间为：337222()()24288k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒+≤≤+∈； 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）a b ⊥r r Q ()2204f x a b x π⎛⎫∴=⋅=-= ⎪⎝⎭r r 即24x k ππ-=,k Z ∈解得28k x ππ=+,k Z ∈ 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了正弦型函数的单调性，考查了利用正弦型函数的对称性求解析式，考查了二倍角的正弦、二倍角的余弦公式、辅助角考查了数学运算能力.25．已知函数()313xx a f x +=+是R 上的奇函数 （1）求a ；（2）用定义法讨论()f x 在R 上的单调性；（3）若21121042x x f k k f -⎛⎫⎛⎫-⋅++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在x ∈R 上恒成立,求k 的取值范围． 【答案】（1）1a =-；（2） ()f x 是R 上的增函数；（3）1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）利用奇函数的定义直接求解即可；（2）用函数的单调性的定义，结合指数函数的单调性直接求解即可；（3）利用函数的奇函数的性质、单调性原问题可以转化为2112142x x k k -⋅-<+在x ∈R 上恒成立，利用换元法，再转化为一元二次不等式恒成立问题，分类讨论，最后求出k 的取值范围.【详解】（1）Q 函数()313x x a f x +=+是R 上的奇函数 ()()331313x xx x a a f x f x --++∴-==-=-++ 即3133113x xx x a a +--=++ 即()()3131x x a +=-+解得1a =-； （2）由（1）知()3131-=+x x f x()()12121231313131x x x x f x f x ---=-++ ()()()()()()122112313131313131x x x x x x -+--+=++()()()12122333131x x x x -=++设12x x <,则12033x x <<故12330x x -<,1310x +>,2310x +>故()()120f x f x -<即()()12f x f x <()f x ∴是R 上的增函数．（3）()f x Q 是R 上的奇函数,()f x 是R 上的增函数21121042x x f k k f -⎛⎫⎛⎫∴-⋅++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在x ∈R 上恒成立 等价于2111122244x x x f f k k f k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>--⋅=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴等价于2112142x x k k -⋅-<+在x ∈R 上恒成立 即()2212420x x k k +⋅+⋅->在x ∈R 上恒成立“”令20x t =>则“”式等价于()22140k t t k ++->对0t >时恒成立“” ①当210k +=,即12k =-时“”为1402t +>对0t >时恒成立 ②当210k +≠,即12k ≠时,“”对0t >时恒成立 须()210164210k k k +>⎧⎨∆=++<⎩或21020210k k k +>⎧⎪⎪-≤⎨+⎪-≥⎪⎩解得10 2k-<≤综上,k的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了奇函数的定义，考查了函数单调性的定义，考查了指数函数的单调性的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了换元法，考查了数学运算能力.。
2019-2020学年广东省珠海一中、惠州一中高一（上）期中数学试卷（含答案解析）
2019-2020学年广东省珠海一中、惠州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 函数y = + “a > o,a 装1)的图象必经过点()A. (0,1)B. (1,2) C, (1,1) D. (2,1)2. 函数y = x2-4x+3・x G [-1,1]的值域为()A. [-L0]B. [0,8]C. [-1,8]3.己知集合』={1,2, 5}, B = [x\x < 2).则AC\B = ()D・[3,8]A. {1} B. (5) C. {1,2} D. (2,5)4.函数户(Q = 3' + 5x 的零点所在的区间是()A. (—I, — ?)B.(—!，— ：)C.(—9D.(—j,0)5. 已知集合A =。
| 一 1 V x V 3}, B = {x \x 2 + 2x -8>Q).则 A C\B = {)6. A. 0 B. (—1,2)C・(2,3)D・(2,4)函数f （x ）在（-x.+x ）单调递减,且为奇函数.若/*（1） = 一1,则满足一 1＜了。
一2）＜1的x 的取值范围是（ ）A. [-2,2]B. [-14]C. [0,4]D・[1,3]7.函^Ly = ax 2 + bx +。
与、=ax + b （ab 黄0）的图象叩能是（）A. Ob> aB. b>c> aC. b> a> c D・ a > b > c 9.函数f （x ）=岑碧的定义域为（）VAT • OA. (-3,2)10.若函数f(x) =B. [一3,2)C. [一3,+8)D. (一8,2)A. (1,+8)ax 2t x > 1(4 一沪 + 2/V 1B. (1,8)11-已知函颇小｛盘:制,。
是增函数，则实数a 的取值范围是（）C. （4,8） D. [4,8）若/'（0・1）2 /则实数a 的取值范围是（）A.(-2JJB.|-t2]C.(-8l2]U[1,+8)D・(-8,-1]U[2.+8)12.已知函数/(乂)=半(％6/?)，若关于x的方程/⑴一m+l=O恰好有3个不相等的实数根，则实数，”的取值范围为()A.(1,寺+1)B.(0,寺)C, (1,|+1) D.(手1)二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.己知幕函数/'(X)的图象过点(8,2),则尸(号)=.14.己知尸⑴是定义在R上的奇函数，且当x＜。
2019-2020学年广东省珠海一中、惠州一中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年广东省珠海一中、惠州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每题只有一个选项符合题目要求）1. 函数y=a x+1(a>0且a≠1)的图象必经过点()A.(0, 1)B.(1, 0)C.(2, 1)D.(0, 2)【答案】D【考点】指数函数的图象【解析】已知函数f(x)=a x+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解答】解：∵函数y=a x+1，其中a>0，a≠1，令x=0，可得y=1+1=2，∴函数y=a x+1(a>0且a≠1)的图象必经过点(0, 2).故选D.2. 函数y=x2−2x−1，x∈[0, 3]的值域为()A.[−1, 2]B.[−2, 2]C.[−2, −1]D.[−1, 1]【答案】B【考点】函数的值域及其求法【解析】配方便得到y=(x−1)2−2，从而可看出x=1时y取最小值，x=3时，y取最大值，这样即可得出该函数的值域．【解答】解：y=x2−2x−1=(x−1)2−2；∴x=1时，y取最小值−2；x=3时，y取最大值2；∴该函数的值域为[−2, 2]．故选B．3. 已知集合A＝{0, 1, 2}，集合B＝{0, 2, 4}，则A∩B＝（）A.{0, 1, 2}B.{0, 2}C.{0, 4}D.{0, 2, 4}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义求解．【解答】∵集合集合A＝{0, 1, 2}，集合B＝{0, 2, 4}，∴A∩B＝{0, 2}．4. 函数f(x)＝4x−x2的零点所在的大致区间是（）A.(−1,12) B.(−12,0)C.(0,12)D.(12,1)【答案】 A【考点】 函数的零点 【解析】确定f(−1)，f(12)函数值的符号，通过函数的连续性，根据零点存在定理，可得结论． 【解答】∵ 函数f(x)＝4x −x 2是连续函数，f(−1)=14−1=−34<0，f(12)＝2−14=74>0，f(−1)⋅f(12)<0，∴ 根据零点存在定理，可得函数f(x)＝4x −x 2的零点所在的大致区间是(−1, 12)，5. 已知不等式x 2−2x −3<0的解集为A ，不等式x 2+x −6<0的解集为B ，不等式x 2+ax +b <0的解集为A ∩B ，则a +b ＝（ ） A.−3 B.1 C.−1 D.3 【答案】 A【考点】 交集及其运算一元二次不等式的应用 【解析】解方程x 2−2x −3＝0和x 2+x −6＝0，求得集合A 和B ，求出A ∩B ，根据韦达定理求得a ，b ． 【解答】由题意：A ＝{x|−1<x <3}，B ＝{x|−3<x <2}，A ∩B ＝{x|−1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝−1，b ＝−2，6. 函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是（ ） A.[−2, 2] B.[−1, 1] C.[0, 4] D.[1, 3] 【答案】 D【考点】抽象函数及其应用 【解析】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性． 【解答】解：∵ 函数f(x)为奇函数． 若f(1)=−1，则f(−1)=1，又∵ 函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，−1≤f(x −2)≤1， ∴ f(1)≤f(x −2)≤f(−1)， ∴ −1≤x −2≤1， 解得：x ∈[1, 3]， 故选D .7. 已知abc<0，则在下列四个选项中，表示y＝ax2+bx+c的图象只可能是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】根据各选项的图象，确定出a，b，c的正负，验证是否符合abc<0，作出解答．【解答】A由于图象开口向下，所以a<0．由图象可知f(0)＝c>0，又抛物线对称轴x=−b2a<0，∴b<0，∴abc>0，与已知abc<0矛盾所以A不可能B由于图象开口向上，所以a>0．由图象可知f(0)＝c<0，又抛物线对称轴x=−b2a<0，∴b>0，符合已知abc<0所以B正确．同样的方法得出C，D均不可能．8. 设a=log123，b＝(13)0.2，c=213，则（）A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c 【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】∵a=log123<0，0<b＝(13)0.2<1，c=213>1，∴a<b<c．9. 函数y=√log0.5(4x−3)+1的定义域为（）A.(−∞, 54] B.(34, 54] C.(34, 1] D.[54, +∞)【答案】B【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可． 【解答】函数f(x)=√log 0.5(4x −3)+1， 令log 0.5(4x −3)+1≥0， 解得log 0.5(4x −3)≥−1， 即0<4x −3≤2， 解得34<x ≤54；所以函数f(x)的定义域为(34, 54]．10. 已知函数f(x)={−x 2−ax −5,(x ≤1)a x ,(x >1) 在(−∞, +∞)上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.(−∞, −2]B.[−2, 0)C.[−3, 0)D.[−3, −2]【答案】 D【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】根据分段函数的性质，f(x)={−x 2−ax −5,(x ≤1)ax ,(x >1) 在(−∞, +∞)上是增函数，二次函数开口向下，∴ (−∞,−b2a )是增函函，故得对称轴x =−a2≥1，那么反比例函数ax 在(1, +∞)必然是增函数．从而求解a 的取值范围．【解答】由题意：函数f(x)={−x 2−ax −5,(x ≤1)ax ,(x >1) 在(−∞, +∞)上是增函数， ∴ 二次函数−x 2−ax −5，开口向下，∴ (−∞,−b 2a)是增函函，故得对称轴x =−a2≥1，解得：a ≤−2．反比例函数ax 在(1, +∞)必然是增函数，则：a <0； 又∵ 函数f(x)是增函数，则有：a1≥−(1)2−a ×1−5，解得：a ≥−3．所以：a 的取值范围[−3, −2]．11. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为（ ） A.1500元 B.1550元 C.1750元 D.1800元 【答案】 A【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，可得到获得的折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝50>25，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案． 【解答】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元 由题可知：y ={0,0<x ≤8000.05(x −800),800<x ≤13000.1(x −1300)+25,x >1300∵ y ＝50>25 ∴ x >1300∴ 0.1(x −1300)+25＝50 解得，x ＝1550， 1550−50＝1500，故此人购物实际所付金额为1500元．12. 已知函数f(x)={ln(x +1)+m,x ≥0ax −b +1,x <0 (m <−1)，对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ，使得f(s)＝f(t)，且s ≠t ，若关于x 的方程|f(x)|=f(m2)有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A.(−4, −2) B.(−1, 0) C.(−2, −1)D.(−4, −1)∪(−1, 0) 【答案】 A【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】根据f(x)在[0, +∞)上的单调性和值域结合函数性质判断f(x)在(−∞, 0)上的单调性和值域，得出a ，b ，m 的关系，根据|f(x)|＝f(m2)有4个不相等的实数根可知0<f(m2)<−m ，由此求出a 的范围得答案 【解答】由题意可知f(x)在[0, +∞)上单调递增， 值域为[m, +∞)，∵ 对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ， 使得f(s)＝f(t)，且s ≠t ，∴ f(x)在(−∞, 0)上是减函数，值域为(m, +∞)， ∴ a <0，且−b +1＝m ，即b ＝1−m ．∵|f(x)|＝f(m2)有4个不相等的实数根，∴0<f(m2)<−m，又m<−1，∴0<am2<−m，即0<(a2+1)m<−m，∴−4<a<−2，∴则a的取值范围是(−4, −2)，二、填空题（本题满分20分，每小题5分）已知幂函数f(x)的图象过点(8, 12)，则此幂函数的解析式是f(x)＝________．【答案】x−1 3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设f(x)＝xα，将点(8, 12)的坐标代入可求得α，从而可得答案．【解答】设f(x)＝xα，∵幂函数f(x)的图象过点(8, 12)，∴8α=12，即23α＝2−1，∴3α＝−1，∴α=−13．∴f(x)=x−13．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x−1，则f(log210)＝________．【答案】910【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】由f(−x)＝−f(x)，可得f(log210)＝−f(−log210)，代入x<0的表达式求出即可．【解答】已知f(x)为R上的奇函数，f(−x)＝−f(x)，∴f(log210)＝−f(−log210)＝−(2−log210−1)=−110+1=910，设a，b是关于x的一元二次方程x2−2mx+m+6＝0的两个实根，则(a−1)2+(b−1)2的最小值是________． 【答案】 8【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】根据二次函数根与系数的关系确定参数m 的取值范围，从而求解(a −1)2+(b −1)2的值域． 【解答】∵ a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2−2mx +m +6＝0的两个实根， ∴ △＝(−2m)2−4(m +6)≥0，解得：m ≤−2或m ≥3， 且由根与系数的关系得：a +b ＝2m ，ab ＝m +6，∴ (a −1)2+(b −1)2＝a 2−2a +1+b 2−2b +1＝a 2+b 2−2(a +b)+2＝(a +b)2−2ab −2(a +b)+2＝(2m)2−2(m +6)−2×2m +2 ＝4m 2−6m −10=4(m −34)2−494，∵ m ≤−2或m ≥3， ∴ 4(m −34)2−494≥4(3−34)2−494=8，从而(a −1)2+(b −1)2≥8，所以其最小值为8．设函数f(x)=(x+1)2+tx x 2+1(t >0)的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝________．【答案】 2【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】把已知函数解析式变形，可得f(x)＝1+(t+2)xx 2+1，证明函数g(x)=(t+2)x x 2+1(t >0)为定义域上的奇函数，再由奇函数图象关于原点对称求解．【解答】 f(x)=(x+1)2+tx x 2+1=x 2+1+(t+2)xx 2+1=1+(t+2)x x 2+1，令g(x)=(t+2)x x 2+1(t >0)，函数的定义域为R ，且g(−x)=−(t+2)x x 2+1=−g(x)，则函数g(x)为奇函数，设其最大值为S ，则其最小值为−S ， ∴ M ＝1+S ，m ＝1−S ， ∴ M +m ＝2．三、解答题（本题满分70分，17-18题每题10分，19-21题每题12分，22题14分）求下列各式的值：（1）(2764)23⋅24+(0.008)−23−(√2√2)43−√24×80.25；（2）(log 34+log 38)(log 43+log 163)． 【答案】(2764)23⋅24+(0.008)−23−(√2√2)43−√24×80.25 =[(34)3]23⋅24+[(0.2)3]−23−(234)43−214⋅234＝9+25−2−2＝30；(log 34+log 38)(log 43+log 163)=(21og 32+3log 32)⋅(12log 23+14log 23)=(51og 32)⋅(34log 23)=154．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】（1）化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值； （2）直接利用导数的运算性质化简求值． 【解答】(2764)23⋅24+(0.008)−23−(√2√2)43−√24×80.25=[(34)3]23⋅24+[(0.2)3]−23−(234)43−214⋅234＝9+25−2−2＝30；(log 34+log 38)(log 43+log 163)=(21og 32+3log 32)⋅(12log 23+14log 23)=(51og 32)⋅(34log 23)=154．已知集合A ={y|y =(12)x 2−x}，B ={x|y =√−x 2+3x −2}，求A ∩B ．【答案】x 2−x =(x −12)2−14≥−14， ∴ 0<(12)x2−x≤(12)−14=214，∴ A =(0,214]，解−x 2+3x −2≥0得，1≤x ≤2， ∴ B ＝[1, 2]， 故A ∩B =[1,214]． 【考点】 交集及其运算 【解析】通过配方即可得出x 2−x ≥−14，从而得出A =(0,214]；通过解不等式−x 2+3x −2≥0即可求出B ＝[1, 2]，然后进行交集的运算即可． 【解答】x 2−x =(x −12)2−14≥−14，∴ 0<(12)x2−x≤(12)−14=214，∴ A =(0,214]，解−x 2+3x −2≥0得，1≤x ≤2， ∴ B ＝[1, 2]， 故A ∩B =[1,214]．已知函数的解析式为f(x)={−x 2+4(x >1)|e x −1|(x ≤1) ．（1）求f(f(√6))；（2）画出这个函数的图象，并写出函数的值域；（3）若函数F(x)＝f(x)−k 有三个零点，求k 的取值范围． 【答案】根据题意，f(f(√6))=f(−2)=1−1e 2． 函数f(x)={−x 2+4(x >1)|e x−1|(x ≤1) 图象如下：根据图象观察可得： 值域为(−∞, 3)．函数F(x)＝f(x)−k 有三个零点，即k ＝f(x)，函数y ＝k 与y ＝f(x)有三个交点， 由图象知，k 的范围是(0, 1)． 【考点】分段函数的应用【解析】（1）根据分段函数求值f(f(√6))=f(−2)=1−1e 2；（2）（3）画出函数图象，观察可得到答案． 【解答】根据题意，f(f(√6))=f(−2)=1−1e 2． 函数f(x)={−x 2+4(x >1)|e x−1|(x ≤1) 图象如下：根据图象观察可得： 值域为(−∞, 3)．函数F(x)＝f(x)−k 有三个零点，即k ＝f(x)，函数y ＝k 与y ＝f(x)有三个交点， 由图象知，k 的范围是(0, 1)．已知函数y =log 12(x 2−2mx +3)．(Ⅰ)如果函数的定义域为R ，求m 的范围；(Ⅱ)在(−∞, 1)上为增函数，求实数m 的取值范围． 【答案】（I ）要使函数函数y =log 12(x 2−2mx +3)的定义域为R ， 必须x 2−2mx +3>0恒成立，∴ △＝4m 2−12<0，解得−√3<m <√3， (II)令y =log 12u(x)，则此函数在(0, +∞)单调递减， 要f(x)在(−∞, 1)上为增函数，则u(x)＝x 2−2mx +3在(−∞, 1)递减，且恒为正， u(1)＝4−2m ≥0，且m ≥1，求得1≤m ≤2，故实数m 的取值范围为[1, 2]． 【考点】复合函数的单调性 【解析】(Ⅰ)由题意利用复合函数的单调性，可得x 2−2mx +3>0恒成立，故有△＝4m 2−12<0，由此求得m 的范围．(Ⅱ)令u(x)＝x 2−2mx +3，则u(x)＝x 2−2mx +3在(−∞, 1)递减，且恒为正，故有u(1)＝4−2m ≥0，且m ≥1，由此求得实数m 的取值范围． 【解答】（I ）要使函数函数y =log 12(x 2−2mx +3)的定义域为R ， 必须x 2−2mx +3>0恒成立，∴ △＝4m 2−12<0，解得−√3<m <√3， (II)令y =log 12u(x)，则此函数在(0, +∞)单调递减，要f(x)在(−∞, 1)上为增函数，则u(x)＝x2−2mx+3在(−∞, 1)递减，且恒为正，u(1)＝4−2m≥0，且m≥1，求得1≤m≤2，故实数m的取值范围为[1, 2]．已知函数f(x)=1−42a x+a(a>0a≠1)为奇函数．（1）求a的值；（2）求函数f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明．【答案】根据题意，因为函数f(x)=1−42a x+a(a>0a≠1)为奇函数且其定义域为R，所以f(0)=1−42+a=0，解可得：a＝2；当a＝2时，可得f(−x)+f(x)＝0，则f(x)为奇函数，所以a＝2；根据题意，令y＝f(x)，即y＝1−42×2x+2，变形可得2x=−1−yy−1>0，解可得−1<y<1；所以f(x)的值域为(−1, 1)；f(x)为R上的增函数．证明：对任意的x1，x2∈R，不妨设x1>x2，f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−1+22x2+1=22x2+1−22x1+1=2⋅(2x1−2x2)(2x1+1)⋅(2x2+1)，又由x1>x2，则x1−x2>0，则2x1+1>0，2x2+1>0，2x1−2x2>0；所以f(x1)−f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，所以f(x)为R上的增函数．【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=1−42+a=0，解可得a的值，验证即可得答案；（2）根据题意，将函数的解析式变形可得2x=−1−yy−1>0，解可得y的范围，即可得答案；（3）根据题意，由作差法分析可得结论．【解答】根据题意，因为函数f(x)=1−42a x+a(a>0a≠1)为奇函数且其定义域为R，所以f(0)=1−42+a=0，解可得：a＝2；当a＝2时，可得f(−x)+f(x)＝0，则f(x)为奇函数，所以a＝2；根据题意，令y＝f(x)，即y＝1−42×2x+2，变形可得2x =−1−y y−1>0，解可得−1<y <1；所以f(x)的值域为(−1, 1)； f(x)为R 上的增函数．证明：对任意的x 1，x 2∈R ，不妨设x 1>x 2，f(x 1)−f(x 2)=1−22x 1+1−1+22x 2+1=22x 2+1−22x 1+1=2⋅(2x 1−2x 2)(2x 1+1)⋅(2x 2+1)， 又由x 1>x 2，则x 1−x 2>0，则2x 1+1>0，2x 2+1>0，2x 1−2x 2>0； 所以f(x 1)−f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)， 所以f(x)为R 上的增函数．设函数f(x)＝x|x −a|．（1）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）求函数f(x)在[0, 1]上的最大值g(a)的解析式． 【答案】当a ＝0时，f(x)＝x|x|，f(−x)＝−x|−x|＝−x|x|＝−f(x)， 所以f(x)为奇函数；当a ≠0时，f(x)＝x|x −a|，f(1)＝|1−a|，f(−1)＝−|−1−a|， 则f(−1)≠f(1)且f(−1)≠−f(1)， 所以f(x)为非奇非偶函数；f(x)=x|x −a|={x 2−ax,(x ≥a)−x 2+ax,(x <a)={(x −a 2)2−a 24,(x ≥a)−(x −a 2)2+a 24,(x <a)， 当a <0时，f(x)在[0, 1]上是单调递增函数，f(x)max ＝f(1)＝1−a ．当0≤a2≤12,0≤a ≤1时，f(x)在[0,a2],[a,1]上是单调递增函数，在[a2,a]上是单调递减函数． 其中f(a2)=a 24,f(1)=1−a ，当a ∈[0,−2+2√2)时a 24<1−a ，f(x)max ＝f(1)＝1−a ， 当a ∈[−2+2√2,1]时a 24≥1−a ，f(x)max =f(a2)=a 24，当12<a2≤1,1<a ≤2时，f(x)在[0,a2]上是单调递增函数，在[a2,1]上是单调递减函数.f(x)max =f(a2)=a 24，当a2>1,a >2时，f(x)在[0, 1]上是单调递增函数，f(x)max ＝f(1)＝a −1，所以函数f(x)在[0, 1]上的最大值的解析式g(a)={a −1,a >2a 24,−2+2√2≤a ≤21−a,a <−2+2√2．【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】（1）当a ＝0时，当a ≠0时，利用函数的奇偶性的定义判断即可．（2）化简函数为分段函数，当0≤a2≤12,0≤a ≤1时，当12<a2≤1,1<a ≤2时，当a 2>1,a >2时，通过函数的单调性求和函数的最大值，然后求解函数f(x)在[0, 1]上的最大值的解析式即可． 【解答】当a ＝0时，f(x)＝x|x|，f(−x)＝−x|−x|＝−x|x|＝−f(x)， 所以f(x)为奇函数；当a ≠0时，f(x)＝x|x −a|，f(1)＝|1−a|，f(−1)＝−|−1−a|， 则f(−1)≠f(1)且f(−1)≠−f(1)， 所以f(x)为非奇非偶函数；f(x)=x|x −a|={x 2−ax,(x ≥a)−x 2+ax,(x <a) ={(x −a2)2−a 24,(x ≥a)−(x −a 2)2+a 24,(x <a)， 当a <0时，f(x)在[0, 1]上是单调递增函数，f(x)max ＝f(1)＝1−a ．当0≤a2≤12,0≤a ≤1时，f(x)在[0,a2],[a,1]上是单调递增函数，在[a2,a]上是单调递减函数． 其中f(a2)=a 24,f(1)=1−a ，当a ∈[0,−2+2√2)时a 24<1−a ，f(x)max ＝f(1)＝1−a ， 当a ∈[−2+2√2,1]时a 24≥1−a ，f(x)max =f(a2)=a 24，当12<a2≤1,1<a ≤2时，f(x)在[0,a2]上是单调递增函数，在[a2,1]上是单调递减函数.f(x)max =f(a2)=a 24，当a2>1,a >2时，f(x)在[0, 1]上是单调递增函数，f(x)max ＝f(1)＝a −1，所以函数f(x)在[0, 1]上的最大值的解析式g(a)={a −1,a >2a 24,−2+2√2≤a ≤21−a,a <−2+2√2．。
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忽视对数有意义的条件，考查计算能力，属于中档题.
10．已知函数
f
x
x2 ax
a x
,
x
1
5,
x
1
在
,
上是增函数，则
a
的取值范围
是（ ）
A． , 2
B．2, 0
C．3, 0
D．3, 2
【答案】D
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x2 ax 5， x 1
【解析】由题意：函数 f（x）={
a，
故选：D. 【点睛】 本题考查奇函数的性质，根据函数的单调性解不等式，属于简单题.
7．已知 abc 0 ，则在下图的四个选项中，表示 y ax2 bx c 的图像只可能是
（ ）。
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】【详解】
A 中， a 0, b 0, c 0abc 0 ； 2a
B 中， a 0, b 0, c 0abc 0 ； 2a
上递增，所以当 x=1
时，
f
x min
f
1
2 ，当 x=3 时，
f
x max
f
3
2 ，所
以值域为2, 2 。故选 A。
【考点】二次函数的图象及性质。
3．已知集合 A 0,1, 2，集合 B 0, 2, 4 ,则 A B （ ）
A．0,1, 2
B．0, 2
C．0, 4
D．0, 2, 4
【答案】B
【点睛】
本题考查函数的零点，零点存在定理的应用，注意若函数 f (x) 在 (a, b) 存在零点，不一
定有 f (a) f (b) 0 ，考查计算能力，属于基本题.
5．已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+x-6<0 的解集为 B,不等式 x2+ax+b<0 的
解集为 A∩B,则 a+b=( )
x
x＞1 在（﹣∞，+∞）上是增函数，
∴二次函数﹣x2﹣ax﹣5，开口向下，∴
，
b 2a
是增函函，故得对称轴
x=﹣
a 2
≥1，解得：a≤﹣2．
a
反比例函数 在（1，+∞）必然是增函数，则：a＜0；
x
又∵函数 f（x）是增函数，
则有： a (1)2 a 1 5 ，解得：a≥﹣3． 1
所以：a 的取值范围[﹣3，﹣2]．故选 D．
答案.
【详解】
计算 f (1) f (1) ( 3)(7) 0 ， f ( 1) f (0) (1)(1) 0 ， f (0) f (1) (1)(7) 0
2 44
2
4
2
4
， f (1 ) f (1) 0 ，由零点存在定理得函数 f (x) 在 (1, 1 ) 存在零点.故选 A.
2
2
的范围，解得 x 的范围.
【详解】
因为 f x 为奇函数，且 f 1 1，
所以 f 1 f 1 1，
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因为函数 f (x) 在 R 上单调递减，
所以 1 f (x 2) 1， 可得 1 x 2 1， 所以1 x 3 ，
故满足要求的 x 的取值范围为1,3 .
C 中， a 0, b 0, c 0abc 0 ； 2a
D 中， a 0, b 0, c 0abc 0 ； 2a
所以选 B.
8．设
，
， 则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】先分析得到 【详解】 由题得
，再比较 b,c 的大小关系得解. .
,
所以
.
故选：D
【点睛】
令 x=0，可得 y=1+1=2，
点的坐标为（0，2），
故选：D
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
2．函数 y x2 -2x 1 ， x [0, 3] 的值域为（ ）
A．[-2，2]
B．[-1，2]
C．[-2，-1]
D．[-1，1]
【答案】A
【解析】试题分析：函数 y x2 2x 1 x 12 2 在区间 0,1 上递减，在区间1, 3
式（组）,确定函数的定义域. 【详解】
要使函数有意义，只需 log0.5 (4x 3) 1 0 ， log0.5 (4x 3) 1，由函数
f
(x)
log0.5
x
在
(0,
)
是减函数，所以
4x 4x
3 3
0 2
，得
3 4
x
5 4
，故选
B.
【点睛】
本题考查函数的定义域，利用对数函数的单调性解不等式，易错点是化简对数不等式时
本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平，属于基础题.
9．函数 y log0.5 4x 3 +1 的定义域为( )
A．
-
，5 4
B． ( 3 , 5] 44
C． ( 3 ,1] 4
D．
5 4
,
【答案】B
【解析】由函数式列出使函数式有意义的不等式（组） log0.5 (4x 3) 1 0 ，解不等
2019-2020 学年广东省珠海一中、惠州一中高一上学期期中联 考数学试题
一、单选题 1．函数 y=ax+1（a＞0 且 a≠1）的图象必经2，1）
D．（0，2）
【答案】D
【解析】试题分析：已知函数 f（x）=ax+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点． 解：∵函数 f（x）=ax+1，其中 a＞0，a≠1，
【解析】试题分析：两集合的交集为两集合相同的元素构成的元素，所以 A B 0, 2
【考点】集合的交集运算
4．函数 f (x) 4x x2 的零点所在的大致区间是（ ）
A． (1, 1) 2
【答案】A
B． ( 1 ，0) 2
C． (0, 1) 2
D． (1 ，1) 2
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【解析】利用零点存在定理计算区间 (a, b) 端点的函数值，满足 f (a) f (b) 0 时可确定
∴a+b= - 3．选 A．
6．函数 f (x) 在 R 上单调递减，且为奇函数．若 f (1) 1，则满足 1 f (x 2) 1
的 x 的取值范围是（ ）
A． [2, 2]
B． [1,1]
C．[0, 4]
D． [1, 3]
【答案】D
【解析】根据奇函数 f (x) ，可得 f 1 f 1 1，再由 f x 单调性，求得 x 2
A．-3
B．1
C．-1
D．3
【答案】A 【解析】由题意得，A={x| - 1<x<3}，B={x| - 3<x<2}， 故 A∩B={x| - 1<x<2}． 即不等式 x2+ax+b<0 的解集为{x| - 1<x<2}，
∴ - 1，2 是方程 x2 ax b 0 的两根，
∴ a (1 2) 1,b 1 2 2 。