海淀区高三数学第二学期期中考试试卷
北京市海淀区高三下学期期中考试(一模)数学理试题 Word版含答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|(1)0A x x x =+≤，集合{}|0B x x =>，则A B = （ ） A ．{}|1x x ≥-B ．{}|1x x >-C ．{}|0x x ≥D ．{}|0x x >2.已知复数()z i a bi =+（a ，b R ∈），则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A ．220a b +≠B ．0ab =C ．0a =，0b ≠D ．0a ≠，0b =3.执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ）A ．0B ．3C ．6D ．84.设a ，b R ∈，若a b >，则（ ） A ．11a b< B ．22a b>C ．lg lg a b >D ．sin sin a b >5.已知1a xdx =⎰，12b x dx =⎰，c =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.已知曲线C：x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=，则实数a 的取值范围为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C．⎡⎣D ．[]2,2-7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A ．12B ．40C ．60D ．808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===； 项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===； 项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=︒； 项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若等比数列{}n a 满足245a a a =，48a =，则公比q = ，前n 项和n S = ．10.已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，满足12||||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为 ．11.在ABC ∆中，cos c a B =．①A = ；②若1sin 3C =，则cos()B π+= ．12.若非零向量a ，b 满足()0a a b ⋅+= ，2||||a b =，则向量a ，b 夹角的大小为 ． 13.已知函数21,0,()cos ,0.x x f x x x π⎧-≥=⎨<⎩若关于x 的方程()0f x a +=在(0,)+∞内有唯一实根，则实数a 的最小值是 ．14.已知实数u ，v ，x ，y 满足221u v +=，10,220,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则z ux vy =+的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知3π是函数2()2cos sin 21f x x a x =++的一个零点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8 10万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X 的数学期望（不需要计算过程）．17.如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，90BAC ∠=︒，1AB =，12BC BB ==，1C D CD =1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证：1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BPBC的值，若不存在，说明理由．18.已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <． （Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由； （Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立，求a 的取值范围．19.已知椭圆G ：2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20.已知含有n 个元素的正整数集{}12,,,n A a a a =…（12n a a a <<<…，3n ≥）具有性质P ：对任意不大于()S A （其中12()n S A a a a =+++…）的正整数k ，存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k ． （Ⅰ）写出1a ，2a 的值；（Ⅱ）证明：“1a ，2a ，…，n a 成等差数列”的充要条件是“(1)()2n n S A +=”； （Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时n a 的最大值．海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案一、选择题1-5:ADBBC 6-8:CDB二、填空题9.2，21n- 10.2213y x -= 11.90，13- 12.120 13.12- 14.三、解答题15.解：（Ⅰ）由题意可知()03f π=，即22()2cossin10333f a πππ=++=，即21()2()1032f π=++=，解得a = （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()2cos 21f x x x =+cos222x x =+52sin(2)26x π=++， 函数sin y x =的递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由5222262k x k πππππ-<+<+，k Z ∈， 得236k x k ππππ-<<-，k Z ∈， 所以，()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 16.解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大． （Ⅱ）设事件A ：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨． 根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56， 其中超过55百万吨的月份有8个， 所以，82()123P A ==． （Ⅲ）X 的数学期望8EX =．17.（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，故1AC CC ⊥，由平面1CC D ⊥平面11ACC A ，且平面1CC D 平面111ACC A CC =， 所以AC ⊥平面1CC D ， 又1C D ⊂平面1CC D ， 所以1AC DC ⊥．（Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又90BAC ∠=︒，所以，如图建立空间直角坐标系A xyz -，依据已知条件可得(0,0,0)A，C，1C ，(0,0,1)B ，1(2,0,1)B，(1D ，所以1(2,0,0)BB =，(1BD =， 设平面1DBB 的法向量为(,,)n x y z =，由10,0,n BB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0,x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1y =，则z =0x =，于是(0,1,n =，因为M 为1DC中点，所以3(2M，所以3(2AM = ，由3((0,1,02AM n ⋅=⋅= ，可得AM n ⊥ ，所以AM 与平面1DBB 所成角为0， 即//AM 平面1DBB ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面1BB D的法向量为(0,1,n =．设BP BC λ=，[]0,1λ∈，则,1)P λ-，(11)DP λ=---．若直线DP 与平面1DBB 成角为3π，则|||cos ,|2||||n DP n DP n DP ⋅<>===⋅， 解得[]50,14λ=∉， 故不存在这样的点．18.解：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+可得函数()f x 定义域为(1,)-+∞．4(1)'()221a f x x a x -=-++22(1)(2)1x a x a x ⎡⎤+-+-⎣⎦=+， 令2()(1)(2)g x x a x a =+-+-，经验证(1)0g =，因为3a <，所以()0g x =的判别式222(1)4(2)69(3)0a a a a a ∆=---=-+=->， 由二次函数性质可得，1是函数()g x 的异号零点， 所以1是'()f x 的异号零点， 所以1x =是函数()f x 的极值点． （Ⅱ）已知(0)0f =，因为[]2(1)(2)'()1x x a f x x ---=+，又因为3a <，所以21a -<，所以当2a ≤时，在区间[]0,1上'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，所以有()0f x ≤恒成立；当23a <<时，在区间[]0,2a -上'()0f x >，所以函数()f x 单调递增， 所以(2)(0)0f a f ->=，所以不等式不能恒成立； 所以2a ≤时，有()0f x ≤在区间[]0,1恒成立．19.解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得110,1,x y =⎧⎨=⎩224,31.3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以AB 中点21(,)33M -， 于是直线OM 的斜率为113223=--．（Ⅱ）假设存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以||2AM =，||||11)1CM DM ⋅==，矛盾； 故可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程， 得2222(21)42(1)0k x k x k +++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122421k x x k +=-+，21222(1)21k x x k -=+，于是21212222(1)(1)222121y y x x k kk k k k ++=⋅+=⋅-+=++， 点M 的坐标为2222(,)2121k kk k -++，22(1)||21k AB k +===+. 直线CD 的方程为12y x k =-⋅，联立椭圆G 的方程，得222421k x k =+， 设00(,)C x y ，则2222200022141||(1)421k OC x y x k k +=+=+=+， 由题知，222||4||||4(||||)(||||)4(||||)AB CM DM CO OM CO OM CO OM =⋅=+-=-，即22222222228(1)41(41)4()(21)21(21)k k k k k k k +++=-+++，化简，得212k =，故k =，所以直线l 的方程为1)2y x =+，1)2y x =-+. 20.解：（Ⅰ）11a =，22a =. （Ⅱ）先证必要性：因为11a =，22a =，又1a ，2a ，…，n a 成等差数列，故n a n =，所以(1)()2n n S A +=； 再证充分性：因为12n a a a <<<…，1a ，2a ，…，n a 为正整数数列，故有11a =，22a =，33a ≥ ，44a ≥，…，n a n ≥，所以12(1)()122n n n S A a a a n +=+++≥+++=……， 又(1)()2n n S A +=，故m a m =（1m =，2，…，n ），故1a ，2a ，…，n a 为等差数列． （Ⅲ）先证明12m m a -∀≤（1m =，2，…，n ）． 假设存在12p p a ->，且p 为最小的正整数．依题意3p ≥，则121p a a a -+++ (2)112221p p --≤+++=-…，，又因为12n a a a <<<…，故当1(21,)p p k a -∈-时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即12m m a -∀≤（1m =，2，…，n ）成立．因此112201712221n n n a a a -=+++≤+++=-……，即22018n ≥，所以11n ≥．因为2017S =，则1212017n n a a a a -+++=-…，若20171n n a a -<-时，则当(2017,)n n k a a ∈-时，集合A 中不可能存在若干不同元素的和为k ，故20171n n a a -≥-，即1009n a ≤.此时可构造集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A =.因为当{}2,21k ∈+时，k 可以等于集合{}1,2中若干个元素的和；故当{}22222,21,22,23k ∈+++时，k 可以等于集合{}21,2,2中若干不同元素的和； ……故当{}88882,21,22,,2255k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2…中若干不同元素的和；故当{}4973,4974,,497511k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2,497…中若干不同元素的和；故当{}1009,10091,10092,,10091008k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2,497,1009…中若干不同元素的和， 所以集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A =满足题设，所以当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009．。
北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学理科
北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分） 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若ααα则角且,0cos ,02sin <>是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2．函数12)(+=x x f 的反函数的图象大致是 （ ）3．若向量a 、b 满足b a a b a 与则向量),2,1(),1,2(=-=+的夹角等于 （ ） A ．45° B ．60° C ．120° D ．135°4．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 （ ）A ．若βαβα//,//,//则l lB ．若βαβα⊥⊥l l 则,//,C ．若βαβα⊥⊥则,//,l lD ．若ββαα//,//,//l l 则5．已知实数a ，b ，c 成公差不为零的等差数列，那么下列不等式不成立．．．的是 （ ） A ．2|1|≥-+-bc a b B ．444333c b a a c c b b a ++≥++C ．ac b ≥2D ．||||||||b c a b -≤-6．“4=ab ”是“直线022012=-+=-+y bx ay x 与直线”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．已知实数)0,0(1,2222>>=-b a by a x y x 满足，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．x a b y <|| B ．||2x a b y -> C ．x a b y ->|| D ．||2x aby < 8．对于数列}{n a ，若存在常数M ，使得对任意1*,+∈n n a a n 与N 中至少有一个不小于M ，则记：,}{M a n 那么下列命题正确的是（ ） A ．若}{,}{n n a M a 则数列 的各项均大于或等于M B ．若M b a M b M a n n n n 2}{,}{,}{ +则C ．若22}{,}{M a M a n n 则D ．若12}12{,}{++M a M a n n 则第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．在复平面内，复数)(1R ∈+a iai对应的点位于虚轴上，则a = . 10．在)()11(*N ∈+n xn 的展开式中，所有项的系数之和为64，则其展开式中x 1的系数是.（用数字作答）11．已知A 、B 、C 三点在球心为O 的球面上，AB=AC=2，∠BAC=90°，球心O 到平面ABC 的距离为2，则异面直线OA 与BC 所成角的大小是 ，球O 的表面积为 . 12．已知n S n na S n a S n n n n n 关于则若项和的前是数列),,3,2,1(1,}{ =-=的表达式为n S = .13．已知圆x y C P y x A 4:,2)3(:222==+-是抛物线点上的动点，过点P 作圆A 的两条切线，则两切线夹角的最大值为 .14．已知函数.)22)(1(sin )(22+-+=x x x xx f π 那么方程0)(=x f 在区间[—100，100]上的根的个数是 ；对于下列命题：①函数)(x f 是周期函数；②函数)(x f 既有最大值又有最小值；③函数)(x f 的定义域是R ，且其图象有对称轴；④对于任意),0,1(-∈x 函数)(x f 的导函数.0)(<'x f 其中真命题的序号是 .（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知.60,7,2 ===B b a（I ）求c 的值及△ABC 的面积S ； （II ）求.)2sin(的值C A + 16．（本小题共13分）已知函数.ln 2)(x x x f -= （I ）写出函数)(x f 的定义域，并求其单调区间；（II ）已知曲线.,2))(,()(00的值求处的切线是在点k kx y x f x x f y -== 17．（本小题共14分）如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=4，点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，且EF//BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P —EF —B 的大小为60°. （I ）求证：EF ⊥PB ；（II ）当点E 为线段AB 的中点时，求PC 与平面BCFE 所成角的大小； （III ）求四棱锥P —EFCB 体积的最大值.18．（本小题共13分）3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作.（I ）若每名志愿者在5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志原者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；（II ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量ξ的分布列.19．（本小题共14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，短轴两个端点为A 、B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形.（I ）求椭圆的方程；（II ）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连结CM ，交椭圆于点P ，证明：⋅为定值；（III ）在（II ）的条件，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20．（本小题共13分）对于各项均为正数且各有m 项的数列}{},{n n b a ，按如下方法定义数列,0:}{0=l t n}{}{),,,2,1(,111n n n n nnn n n n n b a m n a t b a t b a t t 到并规定数列 =⎩⎨⎧<≥+-=---的“并和”为.21m m ab t a a a S ++++=（I ）若m =3，数列}{n a 为3，7，2，数列}{n b 为5，4，6，试求出t 1、t 2、t 3的值以及数列ab n n S b a 的并和到}{}{；（II ）若}{,4n a m 数列=为3，2，3，4，数列5:,17,,,1,6}{≤=y S y x b ab n 求证且为；（III ）若}{},{,6b a m 下表给出了数列=；ab 试求S ab 的最小值，并说明理由.参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 1—5 CADCB 6—8 CDD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．0 10．15 11．90°，16π 12．1+n n13．60° 14．201，②③ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）解：（I ） 60,7,2===B b a ，由余弦定理可得分分舍或分分6.233233221sin 214.3).(13.0323.212272.cos 222222 =⨯⨯⨯==∴=∴-==∴=--∴⨯⨯⨯-+=∴-+=B ac S c c c c c c c B ac c a b（II ）在△ABC 中， 60,7,2===B b a ，,12018011.772cos .,9.721sin 8.sin 260sin 7 =-=+=∴∴<=∴=∴B C A A A b a A A分为锐角分分.1421sin 21cos 23)120sin()2sin(=-=+=+∴A A A C A…………13分 16．（本小题共13分）解：（I ）函数).,0(:)(+∞=的定义域为x f y ………………1分分则令3.2,0)(.12)(,ln 2)( =='-='∴-=x x f xx f x x x f当)(),(,),0(x f x f x '+∞上变化时在的变化情况如下表的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是……6分 （II ）由题意可知：000ln 2)(x x x f -=， …………7分 曲线.12)())(,()(000-='==ax x f k x f x x f y 处的切线斜率为在点 …………8分).)(12()(:000x x x x f y --=-∴切线方程为 …………9分分10.2ln 2)12().)(12()ln 2(000000 -+-=∴--=--∴x x x y x x x x x y由题意知，切线方程为.2-=kx y .22ln 20-=-∴x .10=∴x.112))(,()(000=-==∴x k x f x x f y 处的切线的斜率在点曲线 …………13分 17．（本小题共14分）（I ）证明：在Rt △ABC 中，EF//BC ， ∴EF ⊥AB.∴EF ⊥EB ，EF ⊥EP. 又∵EB ∩EP=E ，∴EF ⊥平面PEB. ………………2分 又∵PB ⊂平面PEB ，∴EF ⊥PB. ………………4分（II ）解法一：过点P 作PD ⊥EB 交EB 于D ，连结DC ，∵EF ⊥平面PEB ，PD ⊂平面PEB ， ∴EF ⊥PD.∵EF ∩EB=E ，∴PD ⊥平面BCFE. ∴DC 是PC 在平面BCFE 内的射影，∴∠PCD 是PC 与平面BCFE 所成的角 …………6分∵点E 为线段AB 的中点，AB=BC=4， ∴PE=EB=2.∵EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，∴∠PEB 是二面角P —EF —B 的平面角. …………8分 ∵二面角P —EF —B 的大小为60°， ∴∠PEB=60°.在Rt △PDE 中，PD=PE 360sin =⋅ ， DE=PE .160cos =⋅∴BD=1，在Rt △DBC 中，.174122=+=DC 在Rt △PCD 中，.1751tan ==DC PD PCD ∴PC 与平面BCFE 所成角的大小为.1751arctan………………19分 解法二：如图，以E 为原点建立空间直角坐标系E —xyz. ∵点E 为线段AB 的中点，AB=BC=4， ∴PE=EB=2.∵EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，∴∠PEB 是二面角P —EF —B 的平面角， ∵二面角P —EF —B 的大小为60°， ∴∠PEB=60°. ………………6分分所成角的大小为与平面的法向量且平面则可得9.1015arcsin.1015,cos ).1,0,0(),3,4,1().0.4,2(),3,0,1( BCFE PC n CP n BCFE C P ∴=>=<∴=--=（III ）设)4,0(,∈=x x AE 则，同（II ）可求得.23x PD =分的体积取得最大值为四棱锥时当单调递减时当单调递增时当得由则设分中在等腰直角三角形14.932,334.)16()(,4334;)16()(,3340.3340)(,316)(),4,0(),16()(11).16(12331).16(21,,222222 EFCB P x x x x f x x x x f x x x f x x f x x x x f x x PD S V x S S S x AE EF AEF BCFE EFCB P ABF ABC BCFE -=∴-⋅=<<-⋅=<<=='-='∈-⋅=-⋅=⋅=∴-=-=∴==-∆∆ 18．（本小题共13分）解：（1）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有53种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等. ………………1分设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A ，则该事件共包括333A 种不同的结果， ………………3分 所以.1251853)(333==A A P ………………5分 答：3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为.12518………………6分（II ）解法1：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3 ………………7分分11.1258)()()3(,12536)()()1(,12554)()()1(,12527)()()0(22531432524214234232241413323324 ============C C P C C C C P C C C C P C C P ξξξξ解法2：每名志愿者在10月1日参加社区服务的概率均为.522514==C C P (7)分则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数).52,3(~B ξ .3,2,1,0,)53()52()(33===-i C i P iiiξ ………………11分19．（本小题共14分） 解：（I ）如图，由题意得，.2222==c b .2,2===∴a c b∴所求的椭圆方程为.12422=+y x ………………3分 （II ）由（I ）知，).0,2(),0,2(D C - ………………4分分分分得得整理由分由题意可设9.421)21(42144214228).214,2142(.214)2(72142.21482.0488)21(,,)2(1245).4,2(,).,(),2(:2222222221122122122222211 =++=+⋅++-⋅=⋅∴++-+=+=∴+-=+-=-=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+∴⊥+=k k k k k k k kk k k P kkx k y k k x k k x k x k x k x k y y x k M CD MD y x P x k y CM（III ）设.2),0,(00-≠x x Q 且若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则0,=⋅∴⊥DP MQ 恒成立. ………………10分由（II ）可知).214,218(),4,2(2220k kk k k x ++-=-= ………………12分.0.0218.02144218)2(00222220=∴=⋅+=+⋅++-⋅-=⋅∴x x k k kkk k k x 恒成立即 ∴存在Q （0，0），使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点. (14)分 20．（本小题共13分） 解：（I ）由数列,5:}{11==b t t n 的定义可知分4.20,8,43321332322 =+++==+-===t a a a S b a t t b t ab（II ）证法一：分成立必有综上所述则有时即当则有时即当分而分得由9.5,.5277,2,2,;5,,2,6,2,5,65.5)(172434434443332322121143214 ≤=-≤-=+-=+-=≥≥===<<+=+-==+-====+++-==y x y y x b a t t x a t y y b t x a t x b a t t b a t t b t a a a a S t S ab ab证法二：分故得由可见有时即当有时即当9.5}4,max{,5)(17},,max{,,;,4343214111111 ==+-≤=+++-==+-=+-=≥+-≥=<+=<------t y t y y a a a a S t S b a t b t b a t t b b a t a t b t b b a t a t ab ab n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n（III ）S 的最小值为51，当表格如下排列（记作排列※）时可取到最小值：证法一： ,61时当≤≤n 由（II ）知,},,max{11n n n n n n n n n b a t t b a t b t +-≥+-=--则即,,,,,33234434554566561a b t t a b t t a b t t a b t t a b t t n n n n -≥--≥--≥--≥--≥--于是.2212a b t t -≥-综上述不等式相加得).()(63263216a a a b b b t t ++--+++≥- …………11分).()()(.)(63263216216621a a a b b b t a a a S t a a a S ab ab +++-++++++++≥∴++++=.46)(163211a b b b b a S ab +=+++++≥∴ ①将前4个不等式相加得).()(6543654326a a a a b b b b t t +++-+++≥- 类似地，可整理得.)46(21212a a b b t S ab ++--+≥ ② 若5,311≥≠a a 可见，由①得51461≥+≥a S ab ； 若.,1,1,32221111b t a b t b a =<====故那么则此时由②得.534846)46(221121212≥+=++-=++--+≥a a a b a a b b t S ab 综上所述，51≥ab S 总是成立的. ………………13分证法二：对于由表格排列得到的数列},min{},min{},{},{11i i i i n n b a b a b a --<若存在（其中62≤≤i ），则交换表格的第}.{},{,1n n B A i i 得到新数列列列与第-则对原数列，有},max{},max{}.,,max{},,max{,},,,max{},max{111112111112111211i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a b b b b a b b b a b a t b a b b B A B A T B A B B T b a b a t b a b b b a t b t --++=+-+-+-+-=+-+-+-=+-+-+-=+-=------------------注意到有而对新数列},max{},min{},min{1111111--------++=-+>-+=i i i i i i i i i i i a b b b a b b b a b b b}.,max{111---+-=i i i i b a b b这就说明.},max{},max{,11111111++-+++++=+-≥+-=≥i i i i i i i i i i i i T b a T b b a t b t T t 那么依此类推可得.,66AB ab S S T t ≥≥则可见，交换第1-i i 列与第列后，新数列的并和不会增加. ………………12分对于任何一种由表格排列得到的数列}{},{n n b a ，可以通过上述有限次调整，得到排列※，这是因为考查表格中最小的数，可以经过有限次调整，将它调整到※中的位置，固定该列后再考察余下数中最小的那一个，依此类推即可.在调整的过程中，数列}{}{n n b a 到的并和ab S 没有增加，因此调整前的ab S 一定不小于51.由}{},{n n b a 初始状态的任意性，可知ab S 的最小值就是51. …………13分说明：其他正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区2022年第二学期高三数学期中练习含答案
海淀区2021~2022学年第二学期期中练习高三数学参考答案 2022.03一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
说明： 12题、14题两空前3后2；15题全选对5分，漏选1个3分，漏选2个2分，不选0分。
三、解答题共6小题，共85分。
（16）（本小题共14分）解：（Ⅰ）()f x 满足条件②和条件③.由()2sin cos cos2f x x x A x =+，得()sin 2cos2)f x x A x x ϕ=+=+,ππ(,tan )22A ϕϕ-<<= 所以()f x由条件②：()f x，=，得1A =±.当1A =时，π())4f x x =+，π()8f =，满足条件③，当1A =-时，π())4f x x =-，π()08f =，不满足条件③，所以，()f x 满足条件②和③，且π())4f x x =+. （Ⅱ） 方法1:当0x m <<时，πππ22444x m <+<+,因为()f x 在区间(0,)m 上有且只有一个零点， 所以ππ22π4m <+≤， 得3π7π88m <≤， 所以m 的取值范围是3π7π(,]88. 方法2: 令π2π,4x k k +=∈Z ， 得1ππ,28x k k =-∈Z . 所以()f x 的所有零点为1ππ,28k k -∈Z ，即π3π7π,,,,888-因为()f x 在区间(0,)m 上有且只有一个零点，所以该零点为3π8, m 的取值范围是3π7π(,]88（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，取棱AD 中点为O ，因为11AA A D =，所以1AO AD ⊥.又因为平面11A ADD ⊥平面ABCD ，且平面11A ADD 平面ABCD AD =， 所以1A O ⊥平面ABCD .所以1A O AB ⊥.因为底面ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥，因为1AD AO O =， 所以AB ⊥平面1A AD .所以AB ⊥1A D ，即1A D AB ⊥.（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系O xyz -，设1OA 长度为a ，因为正方形ABCD 的边长2AD =，则(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，(2,1,0)B -，(0,1,0)D ，1(0,0,)A a ，1(2,2,)C a .所以(2,0,0)AB =，1(0,1,)A D a =-，11(2,2,0)A C =.设平面11A DC 的法向量为(,,)n x y z =，则1110,220,n A D y az n A C x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令1z =，则,y a x a ==-，于是(,,1)n a a =-.因为AB 与平面11A DC所以cos ,2AB nAB n AB n⋅<>===⋅⨯， 所以 a所以12AA ===.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组.（Ⅱ）X 的取值范围是{0，1，2，3}，033411=055125P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）= 12134112=155125P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）= 21234148=255125P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）= 30334164=355125P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）= 所以随机变量X 的分布列为：所以随机变量X 的数学期望11248641201231251251251255E X=⨯+⨯+⨯+⨯=（）. （Ⅲ）这种说法不正确.1例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均值为00.001510.111660.346760.486910.056⨯+⨯+⨯+⨯+⨯00.001660.346760.486910.056510.056510.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯00.001660.346760.486710.112510.055<⨯+⨯+⨯+⨯+⨯760.001760.346760.486760.112760.05576<⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以这种说法不正确.法2. 例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均值为00.001510.111660.346760.486910.056⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0510.12660.35760.50910.0672.6876<+⨯+⨯+⨯+⨯=<.所以这种说法不正确.（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为2()(1)e x f x ax x =-+，所以()01f =，()()21e x f x x ax a '=+-，所以()00f '=，所以切线为：1y =.（Ⅱ）()()21e x f x x ax a '=+-.（1）当0a =时，()e x f x x '=-，令()0f x '=，得0x =，()f x 与()f x '的情况如下：此时，()f x 在0x =处取得极大值，符合题意；（2）当0a >时，令()0f x '=，得0x =，或12x a =-. ①当102a <<时, 120a ->,()f x 与()f x '的情况如下：此时，()f x 在0x =处取得极大值，符合题意； ②当12a =时，120a -=，()0f x '≥，()f x 单调递增，无极大值，不符合题意；③当12a >时, 120a -<,()f x 与()f x '的情况如下： 此时，()f x 在0x =处取得极小值，不符合题意；（3）当0a <时，120a -<.()f x 与()f x '的情况如下：此时，()f x 在0x =处取得极大值，符合题意. 综上，1,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭. （Ⅲ）10,4⎛⎤⎥⎝⎦. （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由11:(2)2l y x =-可知(0,1),(2,0),A B -椭圆方程22:14x C y +=,所以，离心率e . （Ⅱ）方法一：由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=， 由2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，得2241k m +>. 设1122(,),(,),P x y Q x y则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， 由题意得111111(,1),(,2)2D x xE x x y ---， 因为,,B E Q 三点共线，且直线BQ 斜率存在， 所以BQ BE k k =，即21121222y x y x x --=--， 所以 122110(2)(2)(2)x y x x y =-----12211(2)()(2)(2)x kx m x x kx m =-+-----1212(21)(22)()(44)k x x m k x x m =-++-+-+ 222448(21)(22)()(44)4141m km k m k m k k -=-++---+++化简得，2(41)2(21)0m k m k k ++++=. 所以(2)(2+1)=0m k m k ++.又因为2(2,0)B l ∉，所以20,2+1=0m k m k +≠+,所以2l 恒过定点(2,1)-.方法二：下面证明2l 恒过定点(2,1)G -. 设1122(,),(,),P x y Q x y 则111111(,1),(,2)2D x x E x x y ---, 所以1111111221222BP BE y x y x k k x x x ---+=+==---, 设直线:(2)BP y n x =-，代入2244x y +=, 得：2222(41)161640n x n x n +-+-=, 因为2222164822,4141P P n n x x n n --==++，所以24(2)41P P n y n x n -=-=+, 所以2222411(21)418224241P PG P n y n n k n x n -++--+===---+， 用1n -代替n ，得22[2(1)1](21)44QGn n k -----==. 所以PG QG k k =，所以,,P Q G 三点共线, 所以2l 恒过定点(2,1)G -.（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为n a n =， 所以111k k a k a +=+=+． 所以{}n a 是1P 数列．（Ⅱ）因为{}n a 是2P 数列， 所以112t s s t t t ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩．，，解得01s t ⎧⎨⎩==-．，（Ⅲ）① 先证明2121k k a a +=+(1 2k =⋅⋅⋅，，)． 则2122221222112k k k k k k a a a a a a ++++⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩．，，所以2121k k a a +=+(1 2k =⋅⋅⋅，，)． ②再证明6616263k k k k a a a a +++，，，(1 2k =⋅⋅⋅，，)是公差为1的等差数列． 设6k a b =，611k a b +=+，62k a c +=，631k a c +=+， 则213c b c b ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩．，所以2c b =+．所以6616263k k k k a a a a +++，，，(1 2k =⋅⋅⋅，，)是公差为1的等差数列． ③接下来证明636261k k k a a a ---，，(1 2k =⋅⋅⋅，，)是公差为1的等差数列． 设63k a d -=，62k a e -=，611k a e -=+，6k a f =， 则123e d f e f d ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩．，，所以1e d =+．所以636261k k k a a a ---，，(1 2k =⋅⋅⋅，，)是公差为1的等差数列． ④由①、②、③，6616265 k k k k a a a a +++⋅⋅⋅，，，，(1 2k =⋅⋅⋅，，)是公差为1的等差数列．因为82a =，所以67891011012345a a a a a a ======，，，，，． 因为6510a a =+=， 所以51a =-．又由①、③，所以23454321a a a a =-=-=-=-，，，． 因为2114a a =+=，10a <， 所以15a =-．所以6n a n =-(1 2 11n =⋅⋅⋅，，，)．⑤最后证明666k a k =-(1 2k =⋅⋅⋅，，)，从而6n a n =-． 当1k =时，已证．（反证法）假设存在k 使得666k a k =-不成立，且此时最小的k 为(2)r r ≥． 则6(1)6(1)6r a r -=--，即66612r a r -=-． 所以61670r a r -=->． 所以661166r r a a r -=+=-． 又因为6666120r r a a r ->=-≥， 所以666r a r =-，与假设矛盾．所以666k a k =-(1 2k =⋅⋅⋅，，)恒成立，从而6n a n =-．。
北京市海淀区2024届高三下学期期中练习(一模)数学试题(解析版)
海淀区2023—2024学年第二学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U A =ð（）A.(2,1)--B.[2,1]--C.(2,1){2}-- D.[2,1){2}-- 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，所以[2,1){2}U A =-- ð.故选：D2.若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是()A.1i --B.1i +C.1i -+D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z 即可求解结果．【详解】解：复数z 满足i 1i z =+，所以()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--．所以z 的共轭复数是1i +．故选：B ．3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求出1a 和d 的关系，代入0m S =计算可得m 的值.【详解】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去）故选：B.4.已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】将||2a b +=两边同时平方，将条件带入计算即可.【详解】由已知||2,2a b ==，所以()22224222cos ,44a b a b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：C.5.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为（）A.2214x y -= B.2212x y -= C.2212y x -= D.2214y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a b =，c =，再结合222+=a b c ，求出,a b ，即可求出结果.【详解】由题知c =，根据题意，由双曲线的定义知2a b =，又222+=a b c ，所以255a =，得到221,4a b ==，所以双曲线的方程为2214y x -=，故选：D.6.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A .7.已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B 【解析】【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.8.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（）A.sin cos tan ααα-≤B.sin cos tan ααα-≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>【答案】C 【解析】【分析】对A 、B ：举出反例即可得；对C 、D ：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin 0α<、cos 0α<，tan 0α>，对A ：当sin 0α-→时，cos 1α→-，则sin cos 1αα-→，tan 0α→，此时sin cos tan ααα->，故A 错误；对B ：当5π4α=时，1sin cos sinc 5π5π5π0tan 44os 4αα-=-=<=，故B 错误；对C 、D ：22sin sin cos cos cos tan cos ααααααα⋅=⋅=⋅，由1cos 0α-<<，故()2cos 0,1α∈，则2cos tan tan ααα⋅<，即sin cos tan ααα⋅<，故C 正确，D 错误.故选：C.9.函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A.[0,2]B.[3,0][3,4)-C.(5,0][2,4)-D.(4,0][2,3)- 【答案】D 【解析】【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，112111221112A A A A OA ==….若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.【详解】由题意可知，114cm OA =，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在11OA 方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离依次为：1114,2,222482⨯⨯⨯ ，则31353842155722244+⨯++⨯=+>+=，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在11OA 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即1311432164316841+281142282331144++⎛⎫⎛⎫++++++≈+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，综合可得培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为8cm ，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在11OA 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知ln 2ab=，则22ln ln a b -=_______.【答案】4【解析】【分析】直接利于对数的运算性质求解.【详解】因为ln2ab=，所以22222ln ln ln ln 2ln 4a a a a b b b b ⎛⎫-==== ⎪⎝⎭.故答案为：4.12.已知22:(1)3C x y -+= ，线段AB 是过点(2,1)的弦，则AB 的最小值为_______.【答案】2【解析】【分析】借助直径与弦AB 垂直时，AB 有最小，计算即可得.【详解】由22(21)123-+=<，故点(2,1)在圆的内部，且该圆圆心为()1,0设圆心到直线AB 的距离为d ，由垂径定理可得2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即AB =，故当d 取最大值时，AB 有最小值，又max d ==故2AB =≥=.故答案为：2.13.若443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则0a =_______；13024a a a a a +=++_______.【答案】①.16②.4041-【解析】【分析】借助赋值法，分别令0x =、1x =、=1x -计算即可得.【详解】令0x =，可得40(02)a -=，即40216a ==，令1x =，可得443210(12)a a a a a -=++++，即()44321011a a a a a ++++=-=，令=1x -，可得443210(12)a a a a a --=-+-+，即()443210381a a a a a -+-+=-=，则()()()4321043210420218182a a a a a a a a a a a a a +++++-+-+=++=+=，即42082412a a a ++==，则()42103114140a a a a a =-++==-+-，故130244041a a a a a +=-++.故答案为：16；4041-.14.已知函数π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________；函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为_______.【答案】①.1-②.π(,0)4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数表达式，代入即可求出5π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的函数值，根据条件，先求出使()0f x =的一个取值π4x =-，再证明π(,0)4-是()f x 的一个对称中心即可.【详解】因为π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以55ππππsin()sin(214444f ⎛⎫=+⨯=- ⎪⎝⎭，因为()f x 定义域为R ，当π4x =-时，ππππ()sin sin()04442f ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，下证π(,0)4-是()f x 的一个对称中心，在π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上任取点()00,P x y ，其关于π(,0)4-对称的点为00π(,)2P x y '---，又00000000ππππππ()sin sin 2()sin()sin(π2)sin()sin(2)224244f x x x x x x x y ⎛⎫--=--+--=----=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为π(,0)4-，故答案为：1-；π(,0)4-（答案不唯一）15.已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -=-=kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x +=或242k x -=（负值舍去），则20122k x ++=>=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x =或242k x +=（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则22211711744242412222k t x ⎫⎛⎫---⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===>=-，即212k x =>-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，sin cos 2b C B c =.（1）求B ∠；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sin 2B B +=，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中π6B =及条件，由余弦定理得到22126c b c +-=，再结合4b c +=，即可求出2c =，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【小问1详解】因为sin cos 2b C B c =，由正弦定理可得sin sin cos 2sin B C C B C =，又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，得到sin 2B B +=，即π2sin(23B +=，所以πsin()13B +=，又因为(0,π)B ∈，所以2ππ3B +=，得到π6B =.【小问2详解】由（1）知π6B =，所以2223cos 22a cb B ac +-==，又a =，得到22126c b c +-=①，又4b c +=，得到4b c =-代入①式，得到2c =，所以ABC 的面积为11πsin 2sin 226ABC S ac B ==⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC M //为BP 的中点，//AM 平面CDP .（1）求证：2BC AD =；（2）若,1PA AB AB AP AD CD ⊥====，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P ABCD -存在且唯一确定.（i ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（ⅱ）设平面CDP ⋂平面BAP l =，求二面角C l B --的余弦值.条件①：BP DP =；条件②：AB PC ⊥；条件③：CBM CPM ∠=∠.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）77【解析】【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；（2）（i ）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.【小问1详解】取PC 的中点N ，连接,MN ND ，因为M 为BP 的中点，所以1,//2MN BC MN BC =，因为//AD BC ，所以//AD MN ，所以,,,M N D A 四点共面，因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =，AM ⊂平面MNDA ，所以//AM DN ，所以四边形AMND 为平行四边形，所以MN AD =，所以2BC AD =；【小问2详解】（i ）取BC 的中点E ，连接,AE AC ，由（1）知2BC AD =，所以EC AD =，因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以1,EC AD AE CD ===，因为1AB CD ==，所以112AE BC ==，所以90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，选条件①：BP DP =，因为1,AB AD PA PA ===，所以PAB 与PAD 全等，所以PAB PAD ∠=∠，因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=o ，所以90PAD ∠= ，即AP AD ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ；（ⅱ）由（i ）知AP ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AP AC ⊥，因为,1PA AB AP ⊥=，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,1,0,,,22P C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,12222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z = ,则0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102213022x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令x =，则1,y z =-=，于是1,n =-，因为AC 为平面PAB 的法向量,且7cos ,7AC n AC n AC n ⋅===-⋅,所以二面角C l B --的余弦值为77.选条件③：CBM CPM ∠=∠，(i)因为CBM CPM ∠=∠，所以CB CP =，因为1,AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC △全等，所以90∠=∠= PAC BAC ，即PA AC ⊥，因为PA AB ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i ）可得AB AC ⊥，又PA AB ⊥，PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，即AB PC ⊥是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90100x ≤≤4108090x ≤<3a 7080x ≤<2b 6070x ≤<123060x ≤<02（1）当35a =时，（i ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X 为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X 的数学期望()E X ；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y .若根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立，直接写出a 的最小值.【答案】（1）（i ）0.45；（ⅱ）589；（2）7.【解析】【分析】（1）（i ）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X 的所有可能值，由（i ）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.（2）求出1Y 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值2Y 的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.【小问1详解】当35a =时，（i ）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545+=，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100=，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109=+，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29，X 的所有可能值为6，7，8，7749(6)9981P X ==⨯=，7228(7)29981P X ==⨯⨯=，224(8)9981P X ==⨯=，所以X 的数学期望4928458()6788181819E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由表知，10232100a b ++++=，则65b a =-，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，则1Y 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y ，要12Y Y ≤恒成立，当且仅当2min ()69Y ≥，显然2Y 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此2min 1683()108070(65)602302]10010a Y a a +=⨯++-+⨯+⨯=，则6836910a+≥，解得7a ≥，所以根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立的a 的最小值是7.19.已知椭圆22:G x my m +=的离心率为12,,2A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（1）求m 的值及点F 的坐标；（2）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M .比较2MP 与12MA MA ⋅的大小.【答案】（1）2m =，()1,0F （2）122MA A MP M <⋅【解析】【分析】（1）借助离心率计算即可得；（2）设()00,P x y ，表示出M 与Q 点坐标后，可得2MP 、12MA MA ⋅，借助作差法计算即可得.【小问1详解】由22:G x my m +=，即22:1x G y m+=，由题意可得1m >，故2=，解得2m =，故22:12x G y +=1=，故()1,0F ；【小问2详解】设()00,P x y ，00,0x y ≠，0x <<，有220012x y +=，由PF FQ ⊥，则有()()001210Q x y y -⋅-+⋅=，即01Q x y y -=，由0PQ k ≠，故有0002Q My y y x x x -=--，即有()()()2000000000200000022211M Q y x y x y x x x x x x y y x y y y ---=-=-=------()200320000022000012222422x x x x x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=-=---()()32320000002200000002222242222x x x x x x x x x x x x x ----+=-==---，由22:12x G y +=可得()1A、)2A ，则22222222000000022200002444441322x x MP x y x y x x x x x ⎛⎫=-+=-++=-++-=-+ ⎪⎝⎭，1220002242MA MA x x x ⎛⋅==- ⎝，则222001222004432122x x MP MA MA x x -⋅=-+-+=-，由0x <<，故20102x -<，即212MP MA MA <⋅.20.已知函数12()ea x f x x -=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞（2）1a ≥-【解析】【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222ee e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【小问1详解】易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+.【小问2详解】令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.21.已知：()2*12:,,,2,m Q a a a m m ≥∈N为有穷正整数数列，其最大项的值为m ，且当0,1,,1k m =- 时，均有(1)km i km j a a i j m ++≠≤<≤.设00b =，对于{0,1,,1}t m ∈- ，定义{}1min ,t t n b n n b a t +=>>，其中，min M 表示数集M 中最小的数.（1）若:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，写出13,b b 的值；（2）若存在Q 满足：12311b b b ++=，求m 的最小值；（3）当2024m =时，证明：对所有2023,20240Q b ≤.【答案】（1）11b =，36b =（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义逐个计算出1b 、2b 、3b 即可得；（2）当3m =时，可得12310b b b ++≤，故4m ≥，找到4m =时符合要求的数列Q 即可得；（3）结合题意，分两段证明，先证10122024b ≤，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，再证得2024k C b k ≤，即可得证,【小问1详解】由:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，00b =，则{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，故23b =，则{}3min 3,2n b n n a =>>，故36b =；【小问2详解】由题意可知，3m ≥，当3m =时，由1n a ≥，{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，由题意可得123a a a ≠≠，故2a 、3a 总有一个大于1，即22b =或23b =，{}32min ,2n b n n b a =>>，由456a a a ≠≠，故4a 、5a 、6a 总有一个大于2，故36b ≤，故当3m =时，12310b b b ++≤，不符，故4m ≥，当4m =时，取数列:4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4Q ，有11b =，23b =，37b =，即12311b b b ++=，符合要求，故m 的最小值为4；【小问3详解】因为{}11min ,,0,1,,2023t n b nn b a t t +=>>= ∣，所以11,0,1,,2023i b b t +>= ，(i)若12024t b +≤，则当1t n b +<时，至少以下情况之一成立：①n a t ≤，这样的n 至少有t 个，②存在,i i t b n ≤=，这样的n 至多有t 个，所以小于1t b +的n 至多有2t 个，所以1121t b t t t +≤++=+，令212024t +≤，解得11012t +≤，所以10122024b ≤，(ii)对*k ∈N ，若12024t t b k b +≤<，且()1202420241t l k b k ++<≤+，因为{}1min ,t l t l n b nn b a t l +++=>>+∣，所以当()12024,t l n k b ++∈时，至少以下情况之一成立：①n a t l ≤+，这样的n 至多有t l +个；②存在,i t i i l <≤+且i b n =，这样的n 至多有l 个，所以120241202421t l b k t l l k t l ++≤++++=+++，令212024t l ++≤，解得20232t l -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即202512t t l +⎡⎤++≤⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，所以当12024t t b k b +≤<时，()2025220241t b k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤+；综上所述，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则2024k C b k ≤，依次可得：2345671518,1771,1898,1961,1993,2009C C C C C C ======，89102017,2021,2023C C C ===，所以202320241020240b ≤⨯=.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。
2022-2023学年第二学期海淀区高三数学期中练习参考答案
海淀区2022—2023学年第二学期期中练习高三数学 参考答案一、选择题二、填空题（11）(,2)(1,)−∞−+∞ （12）2（13）2π （答案不唯一，[,]62ϕππ∈） （14）1；(,0][2,)−∞+∞（15）①③三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由直三棱柱111−ABC A B C 可知1BC CC ⊥，又因为AC BC ⊥，且1ACCC C =,所以BC ⊥平面11CC A A .由1C D ⊂平面11CC A A ，所以1BC C D ⊥.在矩形11CC A A 中，111,2AD DA CC ===，所以1DC DC == 可得22211C C C D CD =+，所以1C D CD ⊥.又因为BCCD C =，所以1C D ⊥平面BCD .（Ⅱ）由题意可知，1,,CA CB CC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C xyz −，则(0,0,0)C ，(1,0,1)D ，(0,1,0)B ，1(0,0,2)C ， (1,1,1)BD =−，1(0,1,2)BC =−,(1,0,1)CD =.设平面1BC D 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y z y z −+=⎧⎨−+=⎩令1z =，则2y =，1x =， 得(1,2,1)=n .设直线CD 与平面1BC D 所成角为θ，则sin |cos ,|θ⋅=<>==CD CD CD n n n， 所以直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值为3.（17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）由sin 23sin b Aa B 及正弦定理，得sin sin 23sin sin B AA B .由倍角公式得2sin sin cos 3sin sin B A A A B .在ABC △中，sin 0,sin 0A B，得3cos 2A .因为π(0,)2A ， 所以π6A.（Ⅱ）记ABC △的面积为ABC S △.选条件②： 由（Ⅰ）知π6A ，又由题知33ABC S △，可得1sin 2△ABC S bc A 得123bc.又由条件②，即334b c，解得33,4b c .由余弦定理，得2222cos 32716233427a b c bc A ，所以7.a选条件③：又由条件③，即cos C =(0,π)C ∈，可得sin C =. 所以sin sin()sin cos cos sinB AC A C A C=+=+12=+= 由（Ⅰ）知π6A ， 又由题知33ABC S △，可得1sin 2△ABCS bc A . 得123bc.由正弦定理得::sin :sin :sin 7:a b cA B C ==.可设7,,a kbc ===.由bc =k =.得a =（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）设该户网购生鲜蔬菜次数超过20次为事件C ，在A 组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则3()10P C =.（Ⅱ）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为310，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为710. X 的取值范围为{}0,1,2.3721(0)(1)(1)1010100P X ==−⨯−=， 373729(1)(1)(1)1010101050P X ==⨯−+−⨯=， 3721(2)1010100P X ==⨯=. 212921()012110050100E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）12()()D D ξξ=.19. （本小题14分） 解：（Ⅰ）依题意可得：22,b =⎧⎪⎨=⎪⎩解得 1.a b ⎧⎪⎨=⎪⎩椭圆E 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）依题意, 可设直线l 方程为(0)y kx m km =+≠，1122(,),(,)M x y N x y .联立方程221,5.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(51)10550k x kmx m +++−=.22222(10)4(51)(55)10020200km k m k m ∆=−⋅+−=−+>，即2251k m >−.1221051km x x k +=−+，21225551m x x k −=+.在直线l 方程y kx m =+中，令0y =，得mx k=−，得(,0)m P k −.依题意得11'(,)M x y −，得直线'M N 方程为211121()y y y x x y x x −=+++. 令0x =，得122112Q x y x y y x x +=+.所以△OPQ 的面积为1221121122OPQ P Q x y x y m S x y k x x ∆+=⋅=⋅+. 122112211212()()2()x y x y x kx m x kx m kx x m x x +=+++=++222225510102515151m km k k k k k −−=⋅−=+++.即1102210OPQ m k S k km=⋅=△，解得14k =±，经检验符合题意.所以k 的值为14±.解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =−.则(0)1f =.求导得'()e 1x f x =−，得'(0)0f =.所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）求导得'()e 1ax f x a =−.当0a ≤时，'()0f x <恒成立，此时()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令'()0f x =，解得ln =ax a−.()f x 与()f x '的变化情况如下：由上表可知，()f x 的减区间为ln (,)aa−∞−，增区间为ln (,)a a −+∞. 综上，当0a ≤时，()f x 的减区间为(,)−∞+∞，无增区间；当0a >时，()f x 的减区间为ln (,)aa−∞−，增区间为ln (,)a a −+∞. （Ⅲ）将()f x 在区间[1,1]−上的最大值记为max ()f x ，最小值记为min ()f x .由题意，若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，即max ()3f x ≥或min ()3f x ≤−. 当[1,1]x ∈−时，()e 1ax f x x x =−>−≥−.所以若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，只需max ()3f x ≥.由（Ⅱ）可知()f x 在区间[1,1]−上单调或先减后增，故max ()f x 为(1)f −与(1)f 中的较大者， 所以只需当(1)3f −≥或(1)3f ≥即可满足题意. 即(1)e 13a f −−=+≥或(1)e 13a f =−≥.解得ln2a ≤−或ln 4a ≥.综上所述，a 的取值范围是(,ln 2][ln 4,)−∞−+∞.解：（Ⅰ）（ⅰ）不满足.令3i j ==，16i j a a =不是数列{}n a 中的项.（ⅱ）满足. 对于任意()i j b b i j ,≥，(21)(21)2(21)1i j b b i j ij i j =−−=−−+−.由于211ij i j −−+≥，故令21k ij i j =−−+即可.（Ⅱ）（1）对于有穷数列{}n a 记其非零项中，绝对值最大的一项为p a ，绝对值最小的一项为q a .故令i j p ==时，存在一项2||||k i j p a a a a ==.又p a 是数列{}n a 非零项中绝对值最大的，所以2||p p a a ≥，即0||1p a <≤. 再令i j q ==时，存在一项2||||k i j q a a a a ==.又q a 是数列{}n a 非零项中绝对值最小的，所以2||q q a a ≤，即||1q a ≥. 又1||||1q p a a ≤≤≤,所以数列所有非零项的绝对值均为1.又数列{}n a 的各项均不相等，所以其至多有0,1,1−共3项. 所以3m ≤.（2）构造数列{}:0,1,1n a −.其任意两项乘积均为0,1,1−之一，满足性质①. 其连续三项满足0(1)10−−−=，满足性质②.又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时3m =. （3）由（1）（2），m 的最大值为3.（Ⅲ）（1）首先证明：当120,1a a ><−时，数列满足2120,0,t t a a −><且2||||,1,2,3,t t a a t +<=.（*）因为对于任意数列的连续三项12,,n n n a a a ++，总有12121()()02n n n n n n a a a a a a ++++−−−−=.即21n n n a a a ++=−或2112n n n a a a ++=−. 不论是哪种情形，均有当10n n a a +>>时，21102n n n n a a a a ++≥−>>，即2||||n n a a +>.当10n n a a +<<时，21102n n n n a a a a ++≤−<<，亦有2||||n n a a +>.又1201a a >>−>，故性质（*）得证.（2）考虑123,,a a a 三项，有312a a a =−或31212a a a =−.若312a a a =−, 则1321a a a =+<，此时令1i j ==，有211a a <，由性质（*）知不存在k 使得0k a >，且211k a a a =<.故只有31212a a a =−，此时1321322a a a =+<.因为534323311155()22242a a a a a a a ≥−≥−−>=,所以令1i j ==时，21594a a <<. 由性质（*）知，只有211a a =或213a a =.当213a a =时，12132()4a a a a ==−=，此时令2,1i j ==，214a a =−但423152a a a ≤−=，即421||||a a a >，由性质（*）知不存在k 使得21k a a a =.所以211a a =，即11a =，从而22a =−.（3）经验证，数列{}n a ：1222,2,n n n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数，是偶数满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列.假设s a 是第一个不满足上述通项公式的项，4s ≥.当21,2s t t =+≥时，只能为11212122(2)32t t t t t t a a a −−+−=−=−−=⋅. 令21,3i t j =−=，则2t i j a a =.但21212t t t a a −+<<，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =.当2,2s t t =≥时，只能为11222221112232222t t t t t t t a a a −−−−−=−=−−=−⋅>−.则2222122122211115119()222224216t t t t t t t t t t a a a a a a a a ++−−≤−≤−−=−=−⋅<−.令22,3i t j =−=，则2t i j a a =−，但2222t t t a a +>−>，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =. 故不存在不满足上述通项公式的项.综上，数列{}n a 的通项公式为1222,2,n n n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数,是偶数.。
北京市海淀区高三数学下学期期中练习试题 文(扫描版)
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDCABAB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）说明：1.第9题,学生写成 1x ≥的不扣分 2.第13题写成开区间 5ππ(π,π),1212k k k -++∈Z 的不扣分, 没有写k ∈Z 的,扣1分 3. 第14题有错写的，则不给分只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分 写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.解：(Ⅰ) 方法一：在ABC ∆中，因为sin sin a cA C=， ……………………….2分 即614sin 32A =……………………….3分9． [1,)+∞10． 211. 22(2,0),122x y -=12．1213．5ππ[π,π],1212k k k -++∈Z 14． 5 6 7 8，，，所以33sin 14A =. ……………………….5分方法二：过点B 作线段AC 延长线的垂线，垂足为D 因为2π3BCA ∠=，所以π3BCD ∠= ……………………….1分在Rt BDC ∆中，3332BD BC == ………………….3分在Rt ABD ∆中，33sin 14BD A AB ==………………….5分 （Ⅱ）方法一： 因为1sin 2ABC S a b C ∆=⋅⋅⋅. ……………………….7分 所以1333622b =⨯⨯⨯，解得2b =. ……………………….9分 又因为2222cos c a b a b C =+-⋅⋅. …………………….11分 所以21436226()2c =+-⨯⨯⨯-, 所以52213c ==. …………………….13分方法二：过点A 作线段BC 延长线的垂线，垂足为D 因为2π3ACB ∠= , 所以π3ACD ∠=. 又因为12ABC S BC AD ∆=⋅⋅, ……………………….7分 即13362AD =⨯⨯ , 所以3 , 1AD CD ==.…………….9分在Rt ABD ∆中，222AB BD AD =+. ……………………….11分 所以52213AB ==.…………………….13分1462π3DCBA13ABCD2π3616.解：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公比为q ， 因为210S a +=，所以1120a a q +=. ……………………….1分因为10,a ≠所以2,q =- ……………………….2分 又因为23112a a q ==， ……………………….3分 所以13a =, ……………………….4分 所以13(2)n n a -=⨯-（或写成3(2)2n n a =-⨯-） ……………………….7分说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n 项和公式正确写出的，都给2分(Ⅱ)因为31(2)1(2)1(2)nn n S ⎡⎤⨯--⎣⎦==----. ……………………….10分令2016n S >, 即1(2)2016n-->，整理得(2)2015n -<-. ……………………….11分当n 为偶数时，原不等式无解；当n 为奇数时，原不等式等价于22015n>，解得11n ≥， 所以满足2016n S >的正整数n 的最小值为11. ……………………….13分17解：（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥. ……………………….1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥. ……………………….2分 又AB PA A =I ，,AB PA ⊂平面PAB ， ……………………….3分 所以BC ⊥平面PAB . ……………………….4分 因为BC ⊂平面PBC , 所以平面PBC ⊥平面PAB . ………………….5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知, BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥. ………………….6分在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以//MN BC ， ……………………….7分 又BC ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ， …………………….9分 所以MN //平面ABCD . …………………….10分（Ⅲ）解：因为//MN BC , 所以MN ⊥平面PAB ， …………………….11分 而AM ⊂平面PAB ，所以MN ⊥AM ， …………………….12分 所以AM 的长就是点A 到MN 的距离， …………………….13分 而点M 在线段PB 上所以A 到直线MN 距离的最小值就是A 到线段PB 的距离， 在Rt PAB ∆中，3,4,AB PA ==所以A 到直线MN 的最小值为125. …………………….14分18.解:（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为12,x x .则16476777873.754x +++== ……………………….2分2567976708887766x ++++++== ……………………….4分（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. …………….7分（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A ， …………………….8分男生按成绩由低到高依次编号为1234,,,a a a a ， 女生按成绩由低到高依次编号为123456,,,,,b b b b b b ，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法 …………….10分11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，15(,)a b ，16(,)a b ， 21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ， 31(,)a b ，32(,)a b ，33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b ，其中两名同学均为优良的取法有12种取法 …………………….12分23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ，33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b所以121()242P A ==， 即两名同学成绩均为优良的概率为12. …………………….13分19. 解：（Ⅰ）由已知2AB =，得知22b =，1b =, ……………………….1分又因为离心率为32，所以32c a =. ……………………….2分 因为222a b c =+，所以2,a =, ……………………….4分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………….5分（Ⅱ）解法一：假设存在. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， ………………….8分 所以082MN m n x =-=-， ……………………….9分 线段 MN 的中点04(4,)y x ， ……………………….10分若以MN 为直径的圆经过点(2,0)， 则22200044(42)(0)(1)y x x -+-=-, ……………………….11分 因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=，代入化简得0810x -=， (13)分所以08x =， 而[]022x ∈-，，矛盾，所以这样的点P 不存在. ……………………….14分解法二：假设存在，记(20)D ，. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， ……………………….8分 所以 004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 因为MN 为直径，所以0DM DM ⋅=u u u u r u u u u r……………………….9分所以 DM DN ⋅=u u u u r u u u r0004(1)4(1)(2,1)(2,1)0y y x x -++⋅-= 所以 22002016(4)40y x DM DN x --⋅=+=u u u u r u u u r ……………………….11分 因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=， ……………………….12分代入得到22200000220048840x x x x x DM DN x x -+--⋅=+==u u u u r u u u r …………………….13分 所以 08x =，这与 0[2,2]x ∈-矛盾 …………………….14分 所以不存在法三 ：假设存在，记(20)D ，, (40)H ， 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， …………………….8分 所以 004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 因为DH MN ⊥, 所以2DH HN HM =⋅ ………………….9分 所以 4=00004(1)4(1)|1||1|y y x x -++⋅- 所以2200020161684=||y x x x -+- ……………………….11分 因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=， ……………………….12分代入得到0854||x x -=, 解得08x =或089x =……………………….13分 当08x =时，这与 0[2,2]x ∈-矛盾 当089x =时，点,M N 在x 轴同侧，矛盾所以不存在 ……………………….14分20.解：（Ⅰ）因为2'()ex x f x -=， ……………………….1分 所以'(0)2f =-. ……………………….2分 因为(0)1f =，所以曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y +-=.……………………..4分（Ⅱ）令1()0ex xf x -==，解得1x =， 所以()f x 的零点为1x =. ……………………….5分 由2'()0e xx f x -==解得2x =， 则'()f x 及()f x 的情况如下：x (,2)-∞2 (2,)+∞'()f x -0 +()f x]极小值21e-Z……………………….7分 所以函数()f x 在2x = 时,取得极小值21e - …………………….8分 （Ⅲ）法一：当1x >时，1()0e x xf x -=<. 当1x <时，1()0ex xf x -=>. ……………………….9分若1a ≤，由（Ⅱ）可知()f x 的最小值为(2)f ，()f x 的最大值为()f a ，…………….10分 所以“对任意12,[,)x x a ∈+∞，有1221()()e f x f x -≥-恒成立”等价于21(2)()ef f a -≥- 即22111e a a e e ---≥-， ……………………….11分 解得1a ≥. ……………………….12分 所以a 的最小值为1. ……………………….13分法二：当1x >时，1()0e x xf x -=<. 当1x <时，1()0ex xf x -=>. ……………………….9分且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为21(2)ef =-， …………………….10分若1a <，令122,[,1)x x a =∈，则12,[,)x x a ∈+∞而121121()()()0()(2)ef x f x f x f x f -<--=<=，不符合要求， 所以1a ≥. ……………………….11分当1a =时，12,[1,)x x ∀∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤ 所以12121()()()0(2)ef x f x f x f -≥-≥=-，即1a =满足要求， ………………….12分 综上，a 的最小值为1. ……………………….13分法三：当1x >时，1()0e x xf x -=<. 当1x <时，1()0ex xf x -=>. ……………………….9分且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为21(2)ef =-， ……………………….10分若2[,)a ∈+∞，即2a ≤时，令12,x =则任取2[,)x a ∈+∞, 有12222211()()(2)()()e ef x f x f f x f x -=-=--≥- 所以2()0f x ≤对2[,)x a ∈+∞成立，所以必有21x ≥成立，所以[,)[1,)a +∞⊆++∞，即1a ≥. ……………………….11分 而当1a =时，12,[1,)x x ∀∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤ 所以12121()()()0(2)e f x f x f x f -≥-≥=-，即1a =满足要求， ………………….12分 而当2a ≥时，求出的a 的值，显然大于1，综上，a 的最小值为1. ……………………….13分。
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北京市海淀区高三数学（文科）第二学期期中练习参考答案与评分标准2001.5一、选择题：（1）C ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）A ； （6）B ； （7）C ； （8）C ； （9）B ； （10）C ； （11）D ； （12）D. 二、填空题：（13）12； （14）{};12|<<-x x （15）(]2,0； （16）123,122,242（写出一个即可） 三、解答题：（17）解（I ）：设z =a +bi (a ,R b ∈) ∴abi b a z 2222+-=………………………………1分 由已知，有⎩⎨⎧=+=22222b a ab ，可解出⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a ∴i z +=11或i z --=12………………………………………………………………………3分 ∴4arg 1π=z ，π45arg 2z ………………………………………………………………………5分 ∴)4sin 4(cos21ππi z +=或)45sin 45(cos 22ππi z +=……………………………………7分 （Ⅱ）：当i z +=1时，可得i z 22=，i z z -=-12 ∴A （1，1），B （0，2），C （1，–1） ∴11221=⨯⨯=∆ABC S ………………………………………………………………………10分 ∴当i z --=1时，可得i z 22=，i z z 312--=- ∴A （–1，–1），B （0，2），C （–1，–3）∴11221=⨯⨯=∆ABC S 综上ABC ∆的面积为1.………………………………………………………………………12分 （18）（I ）证明：∵ABC ∆是正三角形，AF 是BC 边中线，∴AF ⊥BC .∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ， ∴AF ⊥DE . 又AF ∩DE =G ，∴G A '⊥DE ，FG ⊥DE ，又G A '∩FG =G ，∴DE ⊥平面FG A '.……………………4分又DE ⊂平面DECB ，∴平面FG A '⊥平面DECB .…………6分（Ⅱ）解：∵G A '⊥DE ，GF ⊥DE ，∴∠GF A '是二面角B DE A --'的平面角.………………………………………7分∵平面GF A '⊥平面BCED ，作O A '⊥AG 于O ，∴O A '⊥平面BCED .设BD E A ⊥',连结EO 并延长交AD 于H ， ∴EH ⊥AD . ∵AG ⊥DE ,.∴O 是正三角形ADE 的垂心也是中心. ∵AD =DE =AE =2a , ∴a AG G A 43==',a OG 123=. 在OG A Rt '∆中,31cos ='='∠G A OG GO A .∵GO A GF A '∠-='∠π,∴31cos cos -='∠-='∠GO A GF A .即当GF A '∠的余弦值为31-时,E A '与BD 互相垂直.…………………12分 （19）解（I ）：∵当2≥n 时，43-n S ，n a ，1232--n S 成等差数列， ∴1232432--+-=n n n S S a ，………………………………………………1分 ∴43-=n n S a （2≥n ）.由11=a ,可得4)1(322-+=a a ，∴212=a .………………………………2分 同理，可求出413-=a ，814=a .…………………………………………4分 （Ⅱ）：当2≥n 时，∵43+=n n a S ①，∴4311+=++n n a S ②， ②–①得 n n n a a a -=++113. ∴211-=+n n a a 为常数，……………………………………………………6分 ∴2a ，3a ，4a ，…，n a ，…成等比数列，其中首项212=a ，21-=q .… …………………………………………………………………………7分∴通项⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-==--)2()21()21(211)(n 112n a n n n .……9分 （Ⅲ）：∵)(13221n n n a a a a a a S ++++=+++=∴)(lim 1lim 32n n n n a a a S ++++=∞→∞→=34311)21(1211=+=--+…………………………………………12分 （20）解（I ）：∵)(x f y =是以5为周期的周期函数，∴)1()15()4(-=-=f f f .∵函数)(x f y = (11≤≤-x )是奇函数， ∴)4()1()1(f f f =-=-.∴0)4()1(=+f f .……………………………………………………………6分 （Ⅱ）：当[]4,1∈x 时，由题意，可设5)2()(2--=x a x f （0≠a ）， 由0)4()1(=+f f ，得05)24(5)21(22=--+--a a ，∴2=a .∴5)2(2)(2--=x x f (41≤≤x ). ……………………………………12分（21）解（I ）：由已知数据，易知)(t f y =的周期T =12， ………………………………1分∴62ππω==T . 由已知，振幅A =3，b =10，………………………………………………………3分 ∴106sin3+=t y π.…………………………………………………………………4分（Ⅱ）：由题意，该船进出港时，水深应不小于5.115.65=+（米）， ∴5.11106sin 3≥+t π.………………………………………………………………6分 即216sin≥tπ. 解得，πππππ652662+≤≤+k t k （Z k ∈）， ∴512112+≤≤+k t k （Z k ∈） .………………………………………………8分 在同一天内，取0=k 或1，∴51≤≤t 或1713≤≤t . …………………………10分 答：该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时 。
2019-2020学年海淀高三年级第二学期数学期中练习试题-附详细答案(理)
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2019.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}32<<x xB. {}32<≤x xC. {}322<≤-≤x x x 或D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0 B．1 C ．2 D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m 6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ，D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ， 则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：乙丙0.0002甲①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ；(Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；ACP BD A DFEB G C(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理）答案及评分参考 2019．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =-- , …………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. …………………5分 （II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分所以sin B=sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a =， …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥， 又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分 ∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分H ADFEBGC又,BH DH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0）， C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,6EB =<>==-θn ， …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为 …………………………14分 17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分 （Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP = ……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ ……………8分 设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++. ……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP ===== ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP <≤. ………………………13分 综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、， 由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①② ………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分 由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分因为12k≤，得23434k≤+≤，有2331443k≤≤+，2OP≤≤. ………………………13分所求OP的取值范围是. ………………………14分20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)jk k k k k j======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)mb b b b b m==+==++====112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g bg b bg b b bg b b b bg b b b b b=-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()mg m g m b n++-=-，根据“数列A含有n项”及jb的含义知1mb n+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg①…………………7分另一方面，设整数{}12max,,,nM a a a=，则当m M≥时必有mb n=，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M≥≥≥-==+=所以()g m的最小值为(1)g M-. …………………9分下面计算(1)g M-的值：1231(1)(1)Mg M b b b b n M--=++++--1231()()()()Mb n b n b n b n-=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]Mk k M k=-+++-12312(23)()M Mk k k Mk k k k=-++++++++123()n Ma a a a b=-+++++123()na a a a n=-+++++…………………12分∵123100na a a a n++++-=，∴(1)100,g M-=-∴()g m最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
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（Ⅲ）当 PA＝ AB＝ 2，二面角 C－ AN －D的大小为 时，求 PN 的长．
3
18．（本小题满分 13 分）
已知函数 f ( x) ＝ ln x＋ 1 － 1， g( x) x
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小值；
x1 ln x
（Ⅱ）求函数 g( x) 的单调区间；
（Ⅲ）求证：直线 y＝ x不是曲线 y ＝ g( x) 的切线。
，即
，………………… 10
AD n 0
2y 0
分
取 z 1, 得到 n (
1 ,0,1) ,
………………… 11
分 因为 AP (0,0,2) ， AC (2,2,0)
AP m 0
2c 0
所以
，即
，
AC m 0
2a 2b 0
取 a 1 得 , 到 m (1, 1,0) ,
分
π1
因为二面 C AN D 大小为 , 所以 |cos m, n | cos
3
………………… 9 分 ………………… 11 ………………… 13
16 解 : (I) 由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数
x 3.6 4.4 4.4 3.6 4 4
则山下试验田 100株青蒿的青蒿素产量 S 估算为
………………… 2 分
S 100x 400 g
………………… 3 分
在 ACD 中，由正弦定理 , 有 AC
AD
sin ADC sin
分
在 BCD 中，由正弦定理 , 有 BC
BD
sin BDC sin
分
因
为
A
D
Cπ
, B 所D
北京市海淀区高三数学下学期期中练习试题 理(扫描版)
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2016.4DABC阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADCACBCB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：（Ⅰ）在ACD ∆中，由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ …………………2分 在BCD ∆中，由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠ …………………4分因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ …………………6分 因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα=…………………7分（Ⅱ）因为π6α=，π2β=, 由（Ⅰ）得πsin32π23sin 6AC BC == …………………9分 设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理,2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠ …………………11分代入,得到222π1949223cos3k k k k =+-⋅⋅⋅, 解得1k =,所以3BC =. …………………13分9． 3± 10． 511.1212．2213y x -=13．4,6 14． 2,[62,2)[23,4]- U16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 3.6 4.4 4.4 3.644x +++== …………………2分则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为100400S x ==g …………………3分 （Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s 和22s ，结果为21s >22s .…………………6分（Ⅲ）依题意，随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，，，，，， …………………7分1(7.2)4P ξ==, 1(7.4)8P ξ== 1(8)4P ξ==, 1(8.2)8P ξ== 1(8.6)8P ξ==, 1(9.4)8P ξ== …………………9分随机变量ξ的分布列为…………………11分 随机变量ξ的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E ξ=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯. …………………13分 17解:（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥, …………………1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥. …………………2分 因为AB PA A =I ，且AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB …………………4分 （Ⅱ）证明：因为BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ,所以BC PB ⊥ …………………5分ξ 7.2 7.4 88.2 8.6 9.4p14 18 14 18 18 18在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥，所以MN BC P . …………………6分 在正方形ABCD 中，AD BC P , 所以MN AD P ， …………………7分 所以 MN AD ，,可以确定一个平面，记为α所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内 …………………8分 （Ⅲ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥,PA AD ⊥. 又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, …………………9分所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P .设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =r， 平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =u r,设PN PC λ=u u u r u u u r, [0,1]λ∈，因为(2,2,2)PC =-u u u r ，所以(2,2,22)AN λλλ=-u u u r，又(0,2,0)AD =u u u r ，所以0AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，…………………10分取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-=r , …………………11分因为(0,0,2)AP =u u u r ，(2,2,0)AC =u u u r所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r ，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，取1a =得, 到(1,1,0)m =-u r, (12)分因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>==u r r ,z xNM DCB AP所以211|cos ,|2||||12()1m nm n m n λλλλ-⋅<>===-+u r ru r r u r u u r 解得12λ=, 所以3PN = …………………14分 18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分22111'()x f x x x x -=-=…………………2分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：x(0,1)1 (1,)+∞'()f x -+()f x]极小值Z…………………4分 函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=，所以()f x 的最小值为0 …………………5分 （Ⅱ）解：函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞U ， …………………6分22211ln (1)ln 1()'()ln ln ln x x x f x x x g x x x x--+-=== …………………7分 由（Ⅰ）得，()0f x ≥，所以'()0g x ≥…………………8分所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞，无单调减区间. …………………9分 （Ⅲ）证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线. ………………10分设切点为00(,)x y ，则0'()1g x =，即00201ln 11ln x x x +-= …………………11分又000001,ln x y y x x -==，则0001ln x x x -=. …………………12分 所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =，与 0'()1g x =矛盾 所以假设不成立，直线y x =不是曲线()g x 的切线 …………………13分19解：（Ⅰ）由题意可得，1b =， …………………1分2c e a ==， …………………2分 得22134a a -=， …………………3分 解24a =， …………………4分椭圆C 的标准方程为2214x y +=. …………………5分 （Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点04(4,)y x ， …………………8分 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-， …………………9分 令0y =，则222002016(4)(1)4y xx x -+=-， …………………10分因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， …………………11分 所以28(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分设交点坐标12(,0),(,0)x x，则12||x x -=0825x <≤） 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分方法二：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 若以MN 为直径的圆与x 轴相交， 则004(1)[1]y x -+⨯004(1)[1]0y x +-<， …………………9分 即2000200016(1)4(1)4(1)10,y y y x x x --+-+-< 即2020016(1)810.y x x -+-< …………………10分 因为 220014x y +=，所以 2020114y x -=-, …………………11分代入得到 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|y y x x x -+---， 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-，该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()25,(2)5y x x x x --=-<≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分 方法三：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---， …………………8分 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， …………………9分若该圆与x 轴相交，则 04|1|x ->004||y x ， …………………10分 即2200044(1)()0y x x -->， 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, …………………11分所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈ …………………12分 该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()2525=22y x x x --=-≤-； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法四： 记(20)D ，, (40)H ，，设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+， 004(1)1y n x +=- ， ……………………….8分 所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ，因为EH MN ⊥， 所以2EH HN HM =⋅， ……………………….9分200004(1)4(1)(1)(1)y y EH HN HM x x -+=⋅=-+⋅-22000216168()y x x x -+-=- ……………………….10分 因为220014x y +=，所以2020114y x -=-, ……………………….11分 代入得到2EH =20020850x x x -=> 所以08(,2]5x ∈， ……………………….12分所以22EF EH ==≤=所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法五：设直线 OP 与4x =交于点T 因为//MN y 轴，所以有,,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT==== 所以AO BOTN TM=，所以TN TM =，所以T 是MN 的中点. ……………………….6分 又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP方程为y y x x =, ……………………….7分 令4x =,得004y y x =, 所以004(4)yT x ， ……………………….8分而41r TN x ==- ……………………….9分若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F 则00044||1y d r x x =<=- ……………………….10分所以220016(4)y x <-因为220014x y +=，所以2020114y x -=-,代入得到 ……………………….11分所以200580x x ->，所以085x >或00x < 因为点002x <≤，所以0825x <≤ ……………………….12分 而22220004422(1)()y EF r d x x =-=-- 088252522x =-≤-= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分 20解：（I ）依照题意，可以取{}5,7A =，{}4,8B =，{}1,2,3,6C = …………………3分（II ）假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合. 设3n k =，则依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆，故C S ≥2333632k kk +++⋅⋅⋅+=，而这n 个数的和为(1)2n n +，故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k+<, 矛盾，所以n 是3的倍数时，n U 一定不是可分集合 …………………7分 (Ⅲ)n =35. …………………8分 因为所有元素和为(1)2n n +，又B S 中元素是偶数，所以(1)32B n n S +==6m (m 为正整数) 所以(1)12n n m +=，因为,1n n +为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由（Ⅱ）知道，n 不是3的倍数，所以一定有1n +是3的倍数. 当n 为奇数时，1n +为偶数，而(1)12n n m +=，所以一定有1n +既是3的倍数，又是4的倍数，所以112n k +=,所以*121,n k k =-∈N . …………………10分定义集合{1,5,7,11,...}D =，即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成， 定义集合{2,4,8,10,...}E =，即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成， 根据集合,,A B C 的性质知道，集合,A D B E ⊆⊆， 此时集合,D E 中的元素之和都是224k ，而21(1)24232A B C n n S S S k k +====-，此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +--=-，2224(242)2k k k k --=,22(242)(246)4k k k k k ---=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是2k ，所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以26k ≥, 所以3k ≥，此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =， 集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =，检验可知，此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35. …………………13分。
北京市海淀区高三数学(文科)第二学期期中练习参考答案与评分标准
北京市海淀区高三数学（文科）第二学期期中练习参考答案与评分标准2001.5一、选择题：（1）C ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）A ； （6）B ； （7）C ； （8）C ； （9）B ； （10）C ； （11）D ； （12）D. 二、填空题：（13）12； （14）{};12|<<-x x （15）(]2,0； （16）123,122,242（写出一个即可） 三、解答题：（17）解（I ）：设z =a +bi (a ,R b ∈) ∴abi b a z 2222+-=………………………………1分 由已知，有⎩⎨⎧=+=22222b a ab ，可解出⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a ∴i z +=11或i z --=12………………………………………………………………………3分 ∴4arg 1π=z ，π45arg 2z ………………………………………………………………………5分 ∴)4sin 4(cos21ππi z +=或)45sin 45(cos 22ππi z +=……………………………………7分 （Ⅱ）：当i z +=1时，可得i z 22=，i z z -=-12 ∴A （1，1），B （0，2），C （1，–1） ∴11221=⨯⨯=∆ABC S ………………………………………………………………………10分 ∴当i z --=1时，可得i z 22=，i z z 312--=- ∴A （–1，–1），B （0，2），C （–1，–3）∴11221=⨯⨯=∆ABC S 综上ABC ∆的面积为1.………………………………………………………………………12分 （18）（I ）证明：∵ABC ∆是正三角形，AF 是BC 边中线，∴AF ⊥BC .∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ， ∴AF ⊥DE . 又AF ∩DE =G ，∴G A '⊥DE ，FG ⊥DE ，又G A '∩FG =G ，∴DE ⊥平面FG A '.……………………4分又DE ⊂平面DECB ，∴平面FG A '⊥平面DECB .…………6分（Ⅱ）解：∵G A '⊥DE ，GF ⊥DE ，∴∠GF A '是二面角B DE A --'的平面角.………………………………………7分∵平面GF A '⊥平面BCED ，作O A '⊥AG 于O ，∴O A '⊥平面BCED .设BD E A ⊥',连结EO 并延长交AD 于H ， ∴EH ⊥AD . ∵AG ⊥DE ,.∴O 是正三角形ADE 的垂心也是中心. ∵AD =DE =AE =2a , ∴a AG G A 43==',a OG 123=. 在OG A Rt '∆中,31cos ='='∠G A OG GO A .∵GO A GF A '∠-='∠π,∴31cos cos -='∠-='∠GO A GF A .即当GF A '∠的余弦值为31-时,E A '与BD 互相垂直.…………………12分 （19）解（I ）：∵当2≥n 时，43-n S ，n a ，1232--n S 成等差数列， ∴1232432--+-=n n n S S a ，………………………………………………1分 ∴43-=n n S a （2≥n ）.由11=a ,可得4)1(322-+=a a ，∴212=a .………………………………2分 同理，可求出413-=a ，814=a .…………………………………………4分 （Ⅱ）：当2≥n 时，∵43+=n n a S ①，∴4311+=++n n a S ②， ②–①得 n n n a a a -=++113. ∴211-=+n n a a 为常数，……………………………………………………6分 ∴2a ，3a ，4a ，…，n a ，…成等比数列，其中首项212=a ，21-=q .… …………………………………………………………………………7分∴通项⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-==--)2()21()21(211)(n 112n a n n n .……9分 （Ⅲ）：∵)(13221n n n a a a a a a S ++++=+++=∴)(lim 1lim 32n n n n a a a S ++++=∞→∞→=34311)21(1211=+=--+…………………………………………12分 （20）解（I ）：∵)(x f y =是以5为周期的周期函数，∴)1()15()4(-=-=f f f .∵函数)(x f y = (11≤≤-x )是奇函数， ∴)4()1()1(f f f =-=-.∴0)4()1(=+f f .……………………………………………………………6分 （Ⅱ）：当[]4,1∈x 时，由题意，可设5)2()(2--=x a x f （0≠a ）， 由0)4()1(=+f f ，得05)24(5)21(22=--+--a a ，∴2=a .∴5)2(2)(2--=x x f (41≤≤x ). ……………………………………12分（21）解（I ）：由已知数据，易知)(t f y =的周期T =12， ………………………………1分∴62ππω==T . 由已知，振幅A =3，b =10，………………………………………………………3分 ∴106sin3+=t y π.…………………………………………………………………4分（Ⅱ）：由题意，该船进出港时，水深应不小于5.115.65=+（米）， ∴5.11106sin 3≥+t π.………………………………………………………………6分 即216sin≥tπ. 解得，πππππ652662+≤≤+k t k （Z k ∈）， ∴512112+≤≤+k t k （Z k ∈） .………………………………………………8分 在同一天内，取0=k 或1，∴51≤≤t 或1713≤≤t . …………………………10分 答：该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时 。
2019年海淀高三年级第二学期数学期中练习试题-附答案(文)(精校版)
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文科） 2019.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}2 23x x x ≤-≤<或 B. {}32<<x x C. {}32<≤x x D. R2. 设0.5323, log 2, cos 3a b c π===，则A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a << 3．函数1()x f x x+=图象的对称中心为 A ．(0,0) B.(0,1)C. (1,0)D. (1,1)4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为A. 25 B ．24 C. 23 D ．225.从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为A ． 29 B. 13 C. 49D. 596. 在同一个坐标系中画出函数,sin xy a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是7.2a -≤≤A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是A ．22(1)1x y -+= B ．．2212x y += C. 2y x = D ．221x y -=非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 计算21i=+__________________. 10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3,s 则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_________.12. 已知函数()x f x xe =，则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______13. 已知向量(,2),(1,)a x b y ==，其中,0x y ≥.若4≤a b ，则y x -的取值范围为 .14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的PDCBA 1A 1D 1B 1C 左视主视乙丙甲定义域为________；()f x 的最大值为 ________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2B =，1tan 3C =,且1c =. (Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值.16. （本小题共13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.17. （本小题共13分）如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC 12AD CD AB ==，且O 为AB 中点.( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .18. （本小题共14分）已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.BACDOP19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； (II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文）答案及评分参考 2019．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1 12. (1)x x e +， y x = 13. [4,2]- 14. (2,4)，三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=- …………………3分 代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯. …………………6分 （II ）因为180A B C =-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C =-+=-+=- …………………9分又0180A <<，所以135A =. …………………10分 因为1tan 03C =>，且0180C <<，所以sin 10C = ， …………………11分 由sin sin a c A C=，得a =. …………………13分16. （共13分）解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分 即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分 所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ，所以{}n a 是等差数列， …………………4分 所以有212nn a a S n n n +=⋅=+ ，*N n ∈ …………………6分 （II ）存在. …………………7分 由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分 所以由 112339, b a b a b a ===，，则23123b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ，其通项公式为123n n b -=⋅ . ………………13分17. （共13分）证明: (I) 因为O 为AB 中点， 所以1,2BO AB =…………………1分 又//,AB CD 12CD AB =， 所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分所以ODCB 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD所以//BC 平面POD . …………………5分BAC DOP(II)连接OC .因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，所以 AC DO ⊥， …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，所以PO AB ⊥ ， …………………8 分又因为平面A B C D ⊥平面PAB ,平面A B C D 平面P A B A B= ， 所以PO ⊥平面ABCD ， …………………10分 而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PODO O =，所以AC ⊥平面POD . …………………12分又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . …………………13分18. （共14分） 解：（I ）因为2211'()a ax f x x x x-=-+= ， …………………2分 当1a =， 21'()x f x x-=， 令'()0f x =，得 1x =，…………………3分又()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以时，的极小值为5分()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； …………………6分（II ）解法一： 因为2211'()a ax f x x x x-=-+= ，且0a ≠， 令'()0f x =，得到1x a=， 若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，其充要条件是()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0即可. …………………7分BACDO P（1）当10x a=<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立， 所以，()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e e=+=+， 由10a e +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………9分 （2）当10x a=>，即0a >时， ① 若1e a≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 所以，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>， 显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10e a <<，即1a e>时，则有所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()lnf a a a a=+， 由11()ln(1ln )0f a a a a a a=+=-<， 得 1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：1(,)(,)a e e∈-∞-+∞符合题意. …………………14分解法二：若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立， 即001ln 0a x x +<， 因为00x >, 所以，只需001ln 0ax x +< …………………7分 令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间(0,]e 上的最小值小于0即可因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+， 令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1x e= …………………9分 （1）当0a <时：因为(0,)x e∈时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+， 只要10ae +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………11分 （2）当0a >时：所以，当 (0,]x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln1a g a e e e e=+⋅=-， 由10ae-<， 得 a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知，有1(,)(,)a e e∈-∞-+∞ . …………………14分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知，222214a b e a -==，所以2234a b =， ① …………………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ， ② …………………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，222(34)84120k x kmx m +++-=， …………………6分222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ③…………7分 设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则：012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分 由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=. ……… 9分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………10分 又点O 到直线l 的距离为：2d ===≥= ………11分 当且仅当0k =时等号成立 …………12分当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，从而P 点为(2,0),(2,0)-，直线l 为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1 ……13分所以点O 到直线l的距离最小值为2……14分 20. （共13分）解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . …………………3分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ① …………………5分 当且仅当1100m b +=时取等号. 因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m <<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ . …………………7分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-_.__._ 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++- 12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++， ∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-， ∴()g m 最小值为100-.…………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)试卷
北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）试卷2014.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是A B C D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -== ”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为A.1B.2C.3D.48. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则 A ．0a = B ．1a = C ．2a = D ．2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.11.如图，AB 切圆O 于B，AB =，1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______．13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠= ，45CAD ∠= ，3,2AB AC ==，则BDDC=_____________.14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n = ）.ABC俯视图主视图侧视图若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sin cos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t . （Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围.16. （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.BF18. （本小题满分13分）已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值； (Ⅱ)对任意实数a ，曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =- ， 则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由； （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.1图 图 2海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市海淀区2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题及参考答案
海淀区2022-2023第二学期期中练习高三数学2023.4一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}{}13,0,1,2,A x x B =<<=则A B =（A ）{2}（B ）{0，1}（C ）{1，2}（D ）{0，1，2}（2）若2,a i i b i a b R +=+∈（）（），其中i 是虚数单位，则a b += （A ）-1（B ）1（C ）-3（D ）3（3）在等差数列{}n a 中，241,5a a ==,则8a = （A ）9（B ）11 （C ）13 （D ）15（4）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 的横坐标为4，则PF = （A ）2（B ）3（C ）4 （D ）5（5）若4432432101x a x a x a x a x a -=++++（）,则 4321a a a a -+-=（A ）-1（B ）1（C ）15（D ）16（6）已知直线y x m =+与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，且△AOB 为等边三角形，则m 的值为（A ）（B ）（C ）2±（D ）（7）在△ABC 中，90C ∠=，30B ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D .若AD AB AC λμ=+()R λμ∈，则λμ= （A ）13（B ）12（C ）2（D ）3（8）已知二次函数()f x ，对任意的x R ∈，有()()22f x f x <,则()f x 的图象可能是（9）已知等比数列{}n a 的公比为q ,且1q ≠，记121,2,3n n T a a a n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅（），则“10a >且1q >”是“n T （）为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）即不充分也不必要条件（10）刘老师沿着某公园的环形跑道（周长大于1km ）按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km ，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数。
北京市海淀区高三年级第二学期期中练习(一模)数学(理科)(解析版)
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2019.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{}04P x x =<<，且M P ⊆，则M 可以是 (A) {}1，2 (B) {}2,4 (C) {}1,2- (D) {}0,5答案：A考点：集合的运算。
解析：依题意，M 是P 的子集，只有A 符合。
(2)若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+答案：D考点：三角函数的符号、诱导公式。
解析：角α的终边在第二象限，sin(+)2πα＝cos α＜0，A 不符；s(+)2co πα＝sin α-＜0，B 不符；sin()πα+＝sin α-＜0，C 不符； s()co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确。
(3)已知等差数列{}n a 满足324=3a a ，则{}n a 中一定为零的项是 (A) 6a (B) 8a (C) 10a (D)12a 答案：A考点：等差数列的通项公式。
解析：由324=3a a 得，114(+2d)=3()a a d +，解得：150a d +=，所以，6150a a d =+=，选A 。
(4)已知x y >，则下列各式中一定成立的是(A)11x y < (B) 12x y+> (C) 11()()22x y > (D) 222x y -+> 答案：D考点：不等式的性质，指数函数性质。
解析：x ，y 的符号不确定，当x ＝2，y ＝－1时，x y >，对于A ，11x y <不成立，所以，错； 对于B 、12102x y+=-=>也错； 对于C ，1()2x y =是减函数，所以，11()()22x y >也错；对于D ，因为0x y ->，所以，022********x y x y x y ---+>=>=g ，正确，选D 。
北京市海淀区高三第二学期期中练习(一模)数学(理)试卷(含答案)【精编】.doc
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{}0,A a =，{}12B x x =-p p ，且A B ⊆，则a 可以是 (A)1- (B)0 (C)l (D)2(2)已知向量a =(l ，2)，b =（1-，0），则a +2b =(A)（1-，2） (B)（1-，4） (C)(1，2)(D) (1，4）(3)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A)2 (B)6 (C)8 (D) 10(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ，(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为 (A)1 (B)2 (C)1- (D) 2-（5）已知a ，b 为正实数，则“1a f ，1b f ”是“lg lg 0a b +f ”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转 动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面 上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是(A)1 (B)65 (C)43 (D)32（7）下列函数()f x 中，其图像上任意一点(,)P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是 (A) 3()f x x = (B) ()f x x =(C)()1x f x e =- (D)()ln(1)f x x =+（8）已知点M 在圆1C ：22(1)(1)1x y -+-=上，点在圆2C ：22(+1)(+1)1x y +=上，则下列说法错误的是(A) OM ON u u u u r u u u rg 的取值范围为[322,0]-- (B )OM ON +u u u u r u u u r取值范围为[0,22](C)OM ON -u u u u r u u u r的取值范围为[222,222]-+(D)若OM ON λ=u u u u r u u u r，则实数λ的取值范围为[322,322]---+第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
海淀区高三数学年级第二学期期中练习
海淀区高三数学年级第二学期期中练习（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题共40分）注意事项 ：1．答卷前将学校、班级、姓名填写清楚.2．选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. （1）2)11(i i +-的值等于 （ ）（A ）1 （B ）i （C ）1- （D ）i -（2）若O 是△ABC 所在的平面内的一点，且满足()()0BO OC OC OA +⋅-=，则△ABC 一定是（ ）（A ）等边三角形 （B ）斜三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形（3）若函数()y f x =的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为 N ＝{y |0≤y ≤2},则函数()y f x =的图象可能是 （ ）（4）若集合{}21,A m =，集合{}2,4B =，则“2m =”是“{}4A B =”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知圆()2212x y +-=上任一点P (),x y ，其坐标均使得不等式x y m ++≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） （A ）[)1,+∞ （B ）(],1-∞ （C ）[)3,-+∞ (D) (],3-∞- （6） 2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组.如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有 （ ）（A ）36种 （B ）108种 （C ）216种 （D ）432种 （7）直线l 过抛物线x y =2的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角4πθ…,则|F A |的取值范围是（ ）（A ）)23,41[ （B）13(,442+ （C ）]23,41( （D ）]221,41(+(8) 定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函 数，已知函数)(x f y '=的图象如右图所示.若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则22b a ++的取值范围是 （ ） （A ）11(,)32 （B ）()1(,)3,2-∞+∞ （C ）1(,3)2（D ）(,3)-∞-海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科） 2008.04第II 卷（共110分）注意事项 ：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）若双曲线19222=-y ax ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a =__________. （10）若()()23*12311,n n x a x a x a x x n +=+++++∈N ，且12:1:3a a=，则=n .（11）在北纬60°圈上有A ，B 两地，它们在此纬度圈上的弧长等于2Rπ(R 是地球的半径)，则A ，B 两地的球面距离为______________.（12）若向量a ，b 满足：()()2-⋅+a b a b =4-， 且|a |=2，|b |=4，则a 与b 的夹角等于 . （13）已知点P ()2,2在曲线3y ax bx =+上，如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，那么ab = ；函数()3f x ax bx =+，3[,3]2x ∈-的值域为____________.（14）数列a n {}满足：1112,1(2,3,4,)n n a a n a -==-=，则4a = ；若a n {}有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++的通项公式，其中A , B , ω,ϕ均为实数，且0A >，0ω>，2πϕ<，则此通项公式可以为n a = （写出一个即可）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.（15）（本小题共12分）已知在△ABC 中，A B >，且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根. （Ⅰ）求)tan(B A +的值; （Ⅱ）若AB 5=，求BC 的长.（16）（本小题共13分）袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差.（17）（本小题共14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ．底面A B C D为梯形，//AB DC ，AB BC ⊥.PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2P E E B=． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （Ⅱ）求证：PD ∥平面EAC ； （Ⅲ）求二面角A EC P --的大小．（18）（本小题共14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,2(1)(1,2,3,).n n a S na n n n ==--=（Ⅰ）求证：数列}{n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式；（Ⅱ）求12231111lim n n n a a a a a a →∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n ? 若存在，求n 的值；若不存在，说明理由.（19）（本小题共13分）已知点,A B 分别是射线()1:0l y x x =≥，()2:0l y x x =-≥上的动点，O 为坐标原点，且OAB ∆ 的面积为定值2．（I ）求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程；（II ）过点()0,2N 作直线l ，与曲线C 交于不同的两点,P Q ，与射线12,l l 分别交于点,R S ，若点,P Q 恰为线段RS 的两个三等分点，求此时直线l 的方程．（20）（本小题共14分）一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f bf c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”．（I ）判断()1f x =，()2f x x =，()23f x x =中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II ）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保三角形函数”； （III ）若函数()sin F x x =，x ∈ ()0,A 是“保三角形函数”，求A 的最大值．（可以利用公式sin sin 2sincos 22x y x yx y +-+=）海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） （9）2 （10） 7 （11）3Rπ （12）120 （13）[]3,2,18-- （14）2，()2311sin[]332n k a n ππ+=-+（k ∈N ） （注意：答案不唯一，如写成21)332sin(3+-=ππn a n 即可）三、解答题（本大题共6小题,共80分.） （15）（共12分）解：（Ⅰ）由所给条件，方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==. 2分∴tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=- 4分231123+==--⨯6分(Ⅱ) ∵180=++C B A , ∴)(180B A C +-=.由（Ⅰ）知，1)tan(tan =+-=B A C ， ∵ C 为三角形的内角，∴sin 2C =8分 ∵ t a n 3A =，A为三角形的内角，∴sin A =10分 由正弦定理得：sin sin AB BCC A = 11分 ∴ BC == 12分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）记 “摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A ，摸出一球得白球的概率为25， 摸出一球得黑球的概率为35， 4分∴ P （A ）＝25×35＋35×25＝12.255分答：两球颜色不同的概率是12.25（Ⅱ）由题知ξ可取0，1，2， 6分依题意得32332233211(0),(1),(2)5410545455410P P P ξξξ==⨯===⨯+⨯===⨯=， 9分 则3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=， 11分22243434190125105551025.D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13分答： 摸出白球个数ξ的期望和方差分别是45，925.（17）（共14分）证明：（Ⅰ）∵P A ⊥底面ABCD ，∴PA BC ⊥．又AB ⊥BC ，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ． 2分又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB ． 4分 （Ⅱ）∵P A ⊥底面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 内的射影．又∵PC ⊥AD ∴AC ⊥AD ． 5分 在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB =BC ，得4BAC π∠=，∴4DCA BAC π∠=∠=．又AC ⊥AD ，故DAC ∆为等腰直角三角形．∴)2DC AB ===．连接BD ，交AC 于点M ，则2.DM DCMB AB== 7分 在BPD ∆中，2PE DMEB MB==， ∴//PD EM又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ，∴PD ∥平面EAC ． 9分 （Ⅲ）在等腰直角PAB ∆中，取PB 中点N ，连结AN ，则AN PB ⊥．∵平面PAB ⊥平面PCB ，且平面PAB 平面PCB =PB ，H∴AN PBC ⊥平面．在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连结AH ，由于NH 是AH 在平面CEB 内的射影，故AH CE ⊥．∴AHN ∠就是二面角A —CE —P 的平面角． 12分在Rt PBC ∆中，设C B a=，则PB ==，133BE PB ==，166NE PB a ==，3CE a ==， 由NH CE ⊥，EB CB ⊥可知：NEH ∆∽CEB ∆，∴.NH CBNE CE = 代入解得：NH =．在Rt AHN ∆中，2AN a =， ∴tan ANAHN NH== 13分即二面角A —CE —P 的大小为 14分解法二：（Ⅱ）以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系．设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，(),,0C a a ，()0,0,P a ，20,,33a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 5分设(),,0D a y ，则()(),,,,,0CP a a a AD a y =--=， CP AD ⊥，∴20CP AD a ay ⋅=--=，解得：y a =-．2DC AB ∴=．连结BD ，交AC 于点M ， 则2DM DC MB AB==. 7分 在BPD ∆中，2PE DMEB MB==， ∴//PD EM ．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ，∴PD ∥平面EAC ． 9分 （Ⅲ）设()1,,1x y =n 为平面EAC 的一个法向量，则11,AC AE ⊥⊥n n ，∴0,20.33ax ay ay a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：11,22x y ==-，∴111(,,1)22=-n ． 11分 设()2',',1x y =n 为平面EBC 的一个法向量，则22,BC BE ⊥⊥n n ，又(),0,0BC a =，(0,,)33a a BE =-，∴'0,'0,33ax ay a =⎧⎪-⎨+=⎪⎩解得：'0,'1x y ==，∴()20,1,1=n ． 12分121212cos ,6⋅==n n n n n n ． 13分 ∴二面角A —CE —P的大小为arccos 6． 14分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）当2n …时，)1(4)1(11----=-=--n a n na S S a n n n n n ， 2分 得14(2,3,4,)n n a a n --==. 3分∴数列}{n a 是以11a =为首项，4为公差的等差数列. 4分∴.34-=n a n 5分211()22n n S a a n n n =+=-. 6分（Ⅱ） lim n →∞12231111n n a a a a a a -⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=()()1111lim 155********n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯--⎝⎭=111111111lim()()()()415599134743n n n →∞⎛⎫-+-+-++- ⎪--⎝⎭8分 =11lim1443n n →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=41. 10分 （Ⅲ）由22n S n n =-得：21nS n n=-， 11分 ∴2321)12(753132n n nS S S S n =-+++++=++++. 13分令4002=n ，得20n =，所以，存在满足条件的自然数20n =. 14分 （19）（共13分） 解：（I ）由题可设()11,A x x ，()22,B x x -，(),M x y ，其中120,0x x >>.则1212,(1)2,(2)2x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 1分∵OAB ∆的面积为定值2，∴)121211222OAB S OA OB x x ∆=⋅===. 2分22(1)(2)-，消去12,x x ，得：222x y -=． 4分由于120,0x x >>，∴0x >，所以点M 的轨迹方程为222x y -=（0x >）． 5分（II ）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+．由222,2,y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得：()221460k x kx ---=， 6分 设点P 、Q 、R 、S 的横坐标分别是P x 、Q x 、R x 、P x ，∴由,0P Q x x >得()2222210,162410,40,160,1P Q P Q k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎨+=>⎪-⎪-⎪=>⎪-⎩8分解之得：1k <-．∴21P Q x x k -==-. 9分由2,,y kx y x =+⎧⎨=⎩消去y 得：21R x k =-，由2,,y kx y x =+⎧⎨=-⎩消去y 得：21S x k =--，∴241R S x x k -=-. 10分 由于,P Q 为RS 的三等分点，∴3R S x x -=P Q x x -. 11分解之得53k =-. 12分 经检验，此时,P Q 恰为RS 的三等分点，故所求直线方程为523y x =-+. 13分（20）（共14分）解：（I ）()()12,f x f x 是“保三角形函数”，()3f x 不是“保三角形函数”． 1分任给三角形，设它的三边长分别为,,a b c ，则a b c +>，不妨假设,a c b c 剟，0>>>，所以()()12,f x f x 是“保三角形函数”. 3分对于()3f x ，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但222335+<，所以不存在三角形以2223,3,5为三边长，故()3f x 不是“保三角形函数”． 4分（II ）设0T >为()g x 的一个周期，由于其值域为()0,+∞，所以，存在0n m >>，使得()()1,2g m g n ==，取正整数n mTλ->，可知,,T m T m n λλ++这三个数可作为一个三角形的三边长，但()1g T m λ+=，()()1,2g T m g n λ+==不能作为任何一个三角形的三边长．故()g x 不是“保三角形函数”． 8分（III ）A 的最大值为56π． 9分 一方面，若56A π>，下证()F x 不是“保三角形函数”. 取()55,,0,266A πππ∈，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但5151sin1,sin,sin 26262πππ===不能作为任何一个三角形的三边长，故()F x 不是“保三角形函数”. 11分另一方面，以下证明56A π=时，()F x 是“保三角形函数”． 对任意三角形的三边,,a b c ，若5,,(0,)6a b c π∈，则分类讨论如下：（1）2a b c π++…，此时5522663a b c πππππ-->--=…，同理，,3b c π>， ∴5,,(,)36a b c ππ∈，故1sin ,sin ,sin (,1]2a b c ∈，11sin sin 1sin 22a b c +>+=…． 同理可证其余两式.∴sin ,sin ,sin a b c 可作为某个三角形的三边长．（2）2a b c π++< 此时，22a b cπ++<，可得如下两种情况： 22a b π+≤时，由于a b c +>，所以，0222c a b π+<<≤. 由sin x 在(0,]2π上的单调性可得 0s i n s i n 122c a b+<<≤； 22a b π+>时，0222c a b ππ+<<-<， 同样，由sin x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性可得 0sin sin 122c a b +<<<； 总之，0sinsin 122c a b +<<≤. 又由56a b c π-<<及余弦函数在()0,π上单调递减，得5coscos cos cos 022212a b a b c π--=>>>， ∴sin sin 2sincos 2sin cos sin 2222a b a b c ca b c +-+=>=． 同理可证其余两式，所以sin ,sin ,sin a b c 也是某个三角形的三边长．故56A π=时，()F x 是“保三角形函数”．综上，A 的最大值为56π． 14分海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分。