初中数学例题：黄金分割
初中数学例题：黄金分割
第1 页共3 页初中数学例题：黄金分割5. 5. 如图所示，矩形如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.6180.618）），如果在其内作正方形CDEF CDEF，，得到一个小矩形ABFE ABFE，，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明＝即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为＝＝所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法择判断方法. .举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ABCD，取，取AB 的中点P ，连接PD PD，，在BA 的延长线上取点F ，使PF PF＝＝PD PD，，以AF 为边作正方形AMEF AMEF，，点M 在AD 上，如图所示，BC AB215-215-AB AE 215-AB AE ABED AB AD AB ED AD -=-21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=--（1）求AM AM，，DM 的长，的长，（2）试说明AM 2=AD =AD··DM（3）根据（）根据（22）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，中点，∴AD AD＝＝AB AB＝＝2，AP AP＝＝1，∠，∠BAD BAD BAD＝＝9090°，°，°，∴PD PD＝＝。
∵PF PF＝＝PD PD，，∴AF AF＝＝ ，在正方形ABCD 中，中，AM AM AM＝＝AF AF＝＝，MD MD＝＝AD AD－－AM AM＝＝3－（2）由（）由（11）得AD AD××DM DM＝＝2（3－）＝）＝66－2，∴AM 2=AD =AD··DM DM．．（3）如图中的M 点是线段AD 的黄金分割点．的黄金分割点．6.6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感时，越给人一种美感..某女士身高165cm 165cm，下半身长，下半身长与身高的比值是0.600.60，，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（为（ ））.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【答案】【答案】C. C.522=+AD AP 15-15-555526)15(22-=-=AM x l【解析】利用=0.618=0.618，列方程求解。
黄金分割经典例题
已知线段AB的长度为2，点C是AB的黄金分割点，求AC的长度。
已知矩形ABCD的长和宽分别为a和b，且a>b。
如果点E在AB上，且AE/EB=b/a，证明点E是线段AB的黄金分割点。
在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点。
如果一个身高为170cm的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段？（保留两位小数）
点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB。
设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小。
用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B'，因而EB'=EB。
类似地，在AB上折出点B''使AB''=AB'。
这时B''就是AB的黄金分割点。
证明上述的方法作岀的点B''是这条线段的黄金分割点。
已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD^2=BD*AB，求AD的长度。
五角星是我们常见的图形，其中，点C、D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长度。
初中黄金分割试题及答案
初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。
这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。
以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。
答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。
2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。
答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。
解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。
3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。
答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。
4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。
答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。
5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。
答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。
这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。
黄金分割练习题
黄金分割练习题1、 若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。
2、 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP ,且MP=)15(-cm,求MN 的值。
3、 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求ABBC 的值 。
4、 若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？5、 已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅6、 已知线段AB ，请利用尺规作图画出线段的黄金分割点。
（只画出一个即可）A CBA B7、如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且EC AE BD AD =, (1)你能说明ACEC AB BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。
(3)若3===DE AE AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。
7、 已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点，DC BD AC AB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm, 求BD , DC 的长。
5、（2007山东青岛）某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？B D C。
初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题(附答案详解)
解：由于D为线段AB=2的黄金分割点，
且AD>BD，
则AD= ×2=( )cm
∴BD=AB−AD=2−( )=
故选D．
【点睛】
本题考查了黄金分割.应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ,较长的线段=原线段的 ．
2．B
【解析】
【分析】
由AP＞BP知PA是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BP•AB．
5．已知线段AB的长为4，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则PA的长为()
A．2 ﹣2B．6﹣2√5C． D．4﹣2
6．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（）
A． B． C． D．
7．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）
【详解】
解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP2=BP•AB．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．
3．D
【解析】
【分析】
分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可．
【详解】
解：当AC＜BC时，BC= AB= ，
当AC＞BC时，BC= = ，
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
21．把宽与长之比为 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如图，四边形 是黄金矩形，如果在这个黄金矩形里画一个正方形，那么剩下的矩形（矩形： ）还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
黄金分割中考题精选
黄金分割中考题精选
黄金分割在中考中是一个常见的考点，以下是一些相关题目：
1. 设点 P 是线段 MN 上一点，NP > MP，若 NP^2 = MP MN，则称点P 是线段 MN 的黄金分割点。
在直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的高，BD > AD，若点 D 是线段 AB 的黄金分割点，给出下列说法：①AC = BD；②S△CBD = S△ADC S△ABC；③sinB = 5 - 12；
④tanA = 2。
其中正确的有（）
A. ①④
B. ②③
C. ①②③
D. ①②③④
2. 舞台主持人的位置是舞台的黄金分割点，此时观众看起来最舒服。
若舞台长为20米，则主持人从舞台一侧进入，至少走多少米时，才能恰好站在舞台的黄金分割点上？
以上题目主要考查了黄金分割点的定义和性质，以及如何根据实际情况应用这些性质来解决问题。
这些题目都是一些典型的例题，可以帮助你理解和学习黄金分割的相关知识。
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案: 1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，∴AD2=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD?AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=， ∴AD 2=AC?CD ．∴点D 是线段AC 的黄金分割点．（2）∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD=AC ，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB 作为三角形底边；②取AB 的一半作AB 的垂线AC ，连接BC ，在BC 上取CD=CA ．③分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为E ；④分别连接EA 、EB ，则△ABE 即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC ﹣CD=﹣1，=． 5．解：（1）由于P 为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣； （2）如图，点P 是线段AB 的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ，∵AC 2=BC?AB ，∴x 2=1×（1﹣x ），整理得x 2+x ﹣1=0，解得x 1=，x 2=（舍去），所以线段AC 的长度为； （2）设线段AD 的长度为x ，AC=l ，∵AD 2=CD?AC ，∴x 2=l×（l ﹣x ），∴x 1=，x 2=（舍去），∴线段AD 的长度AC ；（3）同理得到线段AE 的长度AD ； 上面各题的结果反映：若线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），则C 点为AB 的黄金分割点7．解：D 是AC 的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。
专题27.13 黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练
专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．12-B．9-C．4D．42．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA B1C．3D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．3B1C．1D．34．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A1B C35D．325．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么AC AB =D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．2020⎝⎭B ．2021⎝⎭C ．2020⎝⎭D ．2021⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（ ） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点 其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯” 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC= .17．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．18．已知线段4AB=，点P是线段AB的黄金分割点（AP BP>），那么线段AP=______.（结果保留根号）19．已知线段AB长为2cm，P是AB的黄金分割点，则较长线段PA＝___；PB＝______．200.61803398=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是．21．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝_____．22．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．三、解答题23．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(√5﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为 （填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ． 求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：△P为AB的黄金分割点（AP＞PB），△AP AB，△AB的长度为8cm，△AP×8=4（cm），△BP=AB-AP=8-（4）=12-故选：A．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB．2．C【分析】利用黄金分割比的定义即可求解.【详解】由黄金分割比的定义可知BC AB===21△21)3=-=-=AC AB BC故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.3．A【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.【详解】解: 较短的线段长=2⨯(1=2故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值是解题的关键.4．A【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP=，代入数据即可得出AP的长度．>得出AP AB【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则21==．ABAP=故选：A．35，2．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项． 【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么AC AB =D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误； 故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，1BP =则11AP ==2323,,AP AP ==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段20202020AP =⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确， 故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割．12 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 计算即可． 【详解】当PM ＞PN 时，，．是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC:AB=BC:AC，△AC:AB≈0.618，△AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．米【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分叫做黄金比．【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯米.是解的关键．15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解： 2.236≈，≈2.23612-≈0.62，故答案为：0.62．【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键．161【解析】21AC==17．()2cm．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．解：较长线段的长=×4=（2）cm．故答案为（2）cm．18．2【分析】计算即可.【详解】解：△点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）△AP2AB==故答案为：2.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)1cm (3cm【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段AB，则PB=AB-352AB，然后把AB=2cm代入计算即可．【详解】解：△P是AB的黄金分割点，△较长线段AB，△PB=AB-352AB，而AB=2cm，△PA=)1cm，PB=(3cm．故答案为：)1cm；(3cm．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分倍．20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．5【分析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC AB，代入数据即可得出AC的值．【详解】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC＝＝5．故答案为：5．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．22．5【解析】△P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB，△AB=10cm，△AP=105=.故答案为5．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】 根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。
最新中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练(有答案)
最最中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D. 0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割第 2 页 共 15 页C. 如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°，AD 、AE 将∠BAC 三等分交边BC 于点D ，点E ，则下列结论中错误的是( )A. 点D 是线段BC 的黄金分割点B. 点E 是线段BC 的黄金分割点C. 点E 是线段CD 的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9. 据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10. 如果线段AB =10cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，那么线段BP =________cm ． 11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割(BC <AC).已知AB =4 cm ，则BC 的长约为________cm.(结果精确到0.1)12. 在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62 cm ，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm ，则宽约为 ________ (精确到1 cm)．15. 已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，若P 点为线段AB 上的任意一点，则P 点出现在线段AC 上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。
黄金分割(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题4.4 黄金分割（知识讲解）【学习目标】1、理解黄金分割的概念；2、会找一条线段的黄金分割点；3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。
【要点梳理】要点一：黄金分割的定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BCAB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.特别说明：51AC AB -=≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点二： 作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.特别说明：一条线段的黄金分割点有两个.要点三： 黄金三角形和黄金矩形黄金三角形有2种:1、等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°;这种三角形既美观又标准。
这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比:； 2、等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°;这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比:黄金矩形:黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边为长边的 0.618倍。
黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。
在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子。
达芬奇的脸符合黄金矩形，同样也应用了该比例布局。
512512512【典型例题】类型一、黄金分割的作法1．作出线段AB 的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）【分析】作法：（1）延长线段AB 至F ，使AB BF =，分别以A 、F 为圆心，以大于等于线段AB 的长为半径作弧，两弧相交于点G ，连接BG ，则BG AB ⊥，在BG 上取点D ，使2ABBD =；（2）连接AD ，在AD 上截取DE DB =．（3）在AB 上截取AC AE =．点C 就是线段AB 的黄金分割点．解：如图，点C 即为所求．【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图．【变式1】黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计，下图是一个包装盒的俯视图，线段AB 是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB 上找到黄金分割点，安装视频播放器．（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）； （2）请证明你找到的点是黄金分割点．【分析】（1）过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ，使BC=12AB ，连接AC ，以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点；（2）设BC=a ，则AB=2a ，，通过计算证明2AE BE AB =⋅即可解决问题．解：（1）如图：点E 即为所求；（2）设BC=a ，则AB=2a ，， ∴CD=BC=a ，-a ，∴22226)AE a a =-=-，222(2)6AB BE a a a a ⋅=⋅+=-， ∴2AE BE AB =⋅，∴点E 是线段AB 的黄金分割点．【点拨】此题考查黄金分割，黄金分割的作图，勾股定理，正确掌握黄金分割的知识并熟练应用解决问题是解题的关键．【变式2】回顾：“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，通．的矩形叫做“黄金矩形” ． 若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD 剪出一个以AB 为边的“黄金矩形ABEF ”，请在BC 边上作出这个黄金矩形的顶点E ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚．）【分析】此题主要是确定矩形的长边，根据黄金比，只需要保证较短的边是较长的边倍即可，这里可以熟练的运用勾股定理进行分析．解：第一步，用圆规作出BC的中点H，则由题意可知112BH BC==，第二步，连接AH，以H为圆心，以BH为半径画弧交AH于O，由勾股定理知AH OH=HB所以AO=AH-OH1，第三步，以A为圆心，以AO为半径画弧交AD于F，过F点作FE∴BC交BC于E，∴AF=AO1，∴AFAB=故矩形ABEF即为所求．【点拨】本题考查了作图-应用与设计，矩形的性质，正方形的性质等知识，此题主要类型二、由黄金分割点求值2．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；（2）如图，C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，AB ＝4，求AC 的长．【答案】（1）3c =±；（2）2 【分析】（1）由c 是a ，b 的比例中项，可得29c ab ==，由此求解即可； （2）根据黄金分割点的定义进行求解即可． 解：（1）∴a ＝4.5，b ＝2，c 是a ，b 的比例中项，∴29c ab ==， ∴3c =±；（2）∴C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴2AC AB ==． 【点拨】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．【变式1】如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM DM ，的长；（2）点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）AM 1，DM =32）是，理由见分析 【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD =，则1AM AF =，3DM AD AM =-=（2）根据（1）中的数据得：AM AD =M 是AD 的黄金分割点．解：（1）在Rt APD 中，1AP =，2AD =，由勾股定理知PD1AM AF PF AP PD AP ∴==-=-，3DM AD AM =-=故AM 1，DM 的长为3 （2）点M 是AD 的黄金分割点．由于AMAD= ∴点M 是AD 的黄金分割点．【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM ，DM 的长，然后求得线段AM 和AD ，DM 和AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．【变式2】如图，设线段AC ＝1.（1）过点C 画CD∴AC ，使CD 12＝AC ；连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E ；以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B ．（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）作图见分析；（2）是，理由见分析 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）设AC ＝1，则DE ＝DC 12＝，利用勾股定理得到AD AE则AB B 是线段AC 的黄金分割点． 解：（1）如图，点B 为所作；（2）点B 是线段AC 的黄金分割点．理由如下：设AC ＝1，则CD 12＝，∴DE ＝DC 12＝，=∴AE ＝AD ﹣DE 12，∴ABBC ，BC AB =21AB AC =＝ 即BC ABAB AC＝， ∴点B 是线段AC 的黄金分割点． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键类型三、证明黄金分割点3．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN=352，求证：点A 是MN的黄金分割点【分析】首先得出AM 的长，进而得出2AM AN MN =求出即可． 证明：作下图：线段1MN =，在MN 上有一点A ，AN ， 1AM ∴== 22AM ∴= 2AM AN MN ∴=，∴点A 是MN 的黄金分割点．【点拨】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据已知得出2AM AN MN =． 【变式1】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF ＝EB ．类似的，在AB 上折出点M 使AM ＝AF ．则M 是AB 的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．【答案】是，证明见分析【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．解：M是AB的黄金分割点，理由如下：∴正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1∴AE∴EF＝BE＝1，∴AF＝AE﹣EF=1，∴AM＝AF=1，∴AM：AB1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫）叫做黄金比．【变式2】阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．=的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB(1)求黄金矩形ABCD 中BC 边的长；(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论．【答案】是黄金矩形，见分析 【分析】（1）根据黄金矩形的定义，列出比例式计算即可．（2）求得CD ，EC =BC -AB EC DC =即可．解：(1)∴ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD 的宽AB =∴AB BC ==，∴BC == (2)矩形DCEF 是黄金矩形．理由如下：∴ 黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，∴CD =AB =，EC =BC -AB∴EC DC=，故矩形DCEF 是黄金矩形．【点拨】本题考查了黄金矩形，二次根式的分母有理化，熟练掌握有理化的方法，理解定义是解题的关键．类型四、黄金分割点的应用4．梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，G 1和G 2分别为三角形AOB 和三角形COD 的重心．（1）求证：G 1G 2//AD ；（2）延长AG 1交BC 于点P ，当P 为BC 的黄金分割点时，求ADBC的值．【答案】（1）证明见分析；（2）AD BC 【分析】（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．易得EF 为AOD △的中位线，故EF//AD ，根据重心的性质可得12121=2EG FG BG CG =，即EF //12G G ，即可得证； （2）根据点P为黄金分割点，可得PC BC 解：（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．因为1G 、2G 为三角形AOB 和三角形COD 的重心， 所以点E 、F 为AO 、DO 的中点， 所以EF 为AOD △的中位线， 所以EF//AD ， 又因为12121=2EG FG BG CG =， 所以EF //12G G ， 所以12G G //AD ． （2）因为点P 为黄金分割点，所以PC BC 又因为RQ 是中位线，所以RQ//BC ，12RQ BC =， 因为AD//PQ ， 所以1=2PQ DQ RO BO AD OA OD DO ==，所以AD BC 【点拨】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键．【变式1】如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子的腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______cm ．（结果保留根号）【答案】88##88+885【分析】根据黄金分割的黄金数得腰节到脚尖的距离：脚尖到头顶距离即可解答．解：设腰节到脚尖的距离为x cm ，根据题意，得：176x =，解得：88x =，∴腰节到脚尖的距离为（88）cm ，故答案为：88．=较长线段：全线段是解答的关键．【变式2】（1）数学活动一的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图∴的方法折出一个正方形ABCD ，然后把纸片展平；第二步，如图∴，把这个正方形ABCD 对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平； 第三步，如图∴，折出内侧矩形EFBC 的对角线CF ，并把CF 折到图中所示FN 处； 第四步，如图∴，展平纸片，按照点N 折出NM ，得到矩形BNMC ．若2AD =，请证明矩形BNMC 是黄金矩形．（2）数学活动二如图∴，点C 在线段AB 上，且满足::AC BC BC AB =，即2BC AC AB =⋅，此时，我们说点C 是线段AB 的黄金分割点，且通过计算可得BC AB =．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图∴，折出右侧矩形EFBC 的对角线EB ，把AB 边沿BG 折叠，使得A 点落在对角线BE 上的K 点处，若2AD =，请通过计算说明G 点是AD 的黄金分割点．【答案】（1）证明见分析，（2）证明见分析【分析】（1）由正方形ABCD 的边长为2，根据折叠可知FB ，由勾股定理可得FC ，易得出BN 的值，再求BN ：BC 的值即可判断；（2）如图，连接,GE 设,AG x 则,2,GK x GD x 再利用轴对称的性质与勾股定理求解52,KE 再利用勾股定理建立方程求解x ，从而可得答案．证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD 是正方形，由正方形边长为2， 根据第二步可知，1,FB在∴FCB 中，根据勾股定理， 得22215,FC 根据第三步可知，5,FCFN ∴51,BN∴ 51.2BNBC ∴矩形BNMC 是黄金矩形．（2）如图，连接,GE 正方形的边长2,AD由对折可得：1,2,,90,AFBF CE DE BA BK AG GK A GKB 22215,52,90,BE EK GKE设,AG x,2,GK x GD x所以由勾股定理可得：22222152,x x解得：1,x = 51,2AGAD 所以G 点是AD 的黄金分割点． 【点拨】本题考查的是成比例线段，黄金分割点的含义，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，理解题意利用轴对称的性质逐步计算是解本题的关键．。
黄金分割-初中数学习题集含答案
黄金分割（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度是 ABCD ．2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到 A ．B ．C ．D ．4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于 A ．3.14B ．2.71C ．0.62D ．0.575．（2015秋•延庆县期末）把长的线段进行黄金分割，则较长线段的长，精确到是 A ．B ． C． D ．二．填空题（共6小题）6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的称为“黄金三角形”：①是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点，使得与所在边的对角顶点连线把分成两个不全等的等腰三角形．（1）中，，，可证是“黄金三角形”，此时的度数为 ．（2）中，，为钝角．若为“黄金三角形”，则的度数为 ．7．（2019秋•，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为 ．P AB AP BP >2AB cm =()1-3()AB 20m C AB ()AC BC <AC 0.1)(m )6.7m 7.6m 10m 12.4m ()10cm 2.236≈0.01)()3.09cm 3.82cm 6.18cm 7.00cm ABC ∆ABC ∆P P P ABC ∆ABC ∆AB AC =:1:2A C ∠∠=ABC ∆A ∠ABC ∆AB AC =A ∠ABC ∆A ∠0.618)ABCD 1AD =AB8．（2019秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割（黄金比为，则较长线段的长为 （结果精确到．9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：如图1，在线段上找一点，若，则称点为线段的黄金分割点，这时比值为名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点表示数0，点表示数2，过点作，且，连接；以为圆心，为半径作弧，交于；再以为圆心，为半径作弧，交于点，则点就是线段的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）线段长为 ，点在数轴上表示的数为 ；（2）在（1）中计算线段长的依据是 ．10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.710cm 0.618)cm 0.1)AB ()C AC BC >::BC AC AC AB =C AB 0.618≈O E E EF OE ⊥12EF OE =OF F EF OF H O OH OE P P OE OP P OP米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是 ”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的 知识，我要带 等测量工具”．11．（2013秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割， 则较长线段的长为 ．三．解答题（共4小题）12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在中，，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 度和 度；（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？（3）继续按以上操作发现：在中画条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程， 化简得，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：8cm cm ABC ∆AB AC =36A ∠=︒)ABC ∆ABC ∆n x y 11x x+=210x x -+=依题意，列出方程， 变形得 于是得到形如这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段的长度设为1，点是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为，试将表示为连分数的形式．14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离的近似值取．15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．11y y -=1111111111111111111y y y y =+=+=+=+++++++⋯1111111++++⋯AB M z z AB C C AB AC CB BC 2BC AB AC =g ABC 2.2)ABCDE AD DAE AD AE =BE DCF 1AB =+CF黄金分割（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度是 ABCD ． 【分析】【解答】解：点是的黄金分割点，，， 则短线段故选：．【点评】2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】关键黄金分割的比值是0.618，即可判断．【解答】解：观察图象可知，，，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②， 故选：．【点评】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是记住黄金分割的比值是0.618．3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台P AB AP BP >2AB cm =()1-3Q P AB AP BP >1AP AB ∴==-21)3BP AB AP =-=--=-D ()0.618AC AB ≈0.618DE CD ≈∴B (0.618)AB的长为，为的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到 A ．B ．C ．D ．【分析】根据黄金比值约为0.618进行计算即可．【解答】解：为的一个黄金分割点，， ，故选：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于 A．3.14 B ．2.71 C ．0.62D ．0.57【分析】 【解答】黄金矩形的宽与长的比， 四选项中更接近于这一比值的是0.62，故选：．【点评】本题考查了黄金分割的知识，熟记黄金分割比是解题的关键．5．（2015秋•延庆县期末）把长的线段进行黄金分割，则较长线段的长，精确到是 A ．B ．C ．D ．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【解答】解：根据题意得：较长线段的长是． 故选：．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的公式：较短的线段，较长的线段原线是本题的关键． 二．填空题（共6小题）6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的称为“黄金三角形”：20m C AB ()AC BC <AC 0.1)(m )6.7m 7.6m 10m 12.4m C Q AB 12.4BC AB cm ∴=≈2012.47.6AC cm ∴=-=B ()0.618=≈C 10cm 2.236≈0.01)()3.09cm 3.82cm 6.18cm 7.00cm 10100.618 6.18cm =⨯=C ==ABC ∆①是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点，使得与所在边的对角顶点连线把分成两个不全等的等腰三角形．（1）中，，，可证是“黄金三角形”，此时的度数为 ．（2）中，，为钝角．若为“黄金三角形”，则的度数为 ．【分析】（1）由得到，再根据和三角形内角和得到，然后可求出的度数；（2）如图，利用黄金三角形的定义得到和都为等腰三角形，设，则可表示出，，然后利用三角形内角和得到，解方程得到，然后计算即可．【解答】解：（1），，，而，，；（2）如图，为“黄金三角形”，和都为等腰三角形，设，，，，，，解得，．故答案为，．【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即ABC ∆P P P ABC ∆ABC ∆AB AC =:1:2A C ∠∠=ABC ∆A ∠36︒ABC ∆AB AC =A ∠ABC ∆A ∠AB AC =B C ∠=∠:1:2A C ∠∠=22180A A A ∠+∠+∠=︒A ∠ABD ∆ADC ∆B x ∠=C B CAD x ∠=∠=∠=2BDA BAD x ∠=∠=2180x x x x +++=︒36x =︒2x x +AB AC =Q B C ∴∠=∠:1:2A C ∠∠=Q 180A B C ∠+∠+∠=︒22180A A A ∴∠+∠+∠=︒36A ∴∠=︒ABC ∆Q ABD ∴∆ADC ∆B x ∠=AB AC =Q C B x ∴∠=∠=CAD x ∴∠=2BDA BAD x x x ∴∠=∠=+=2180x x x x ∴+++=︒36x =︒2108BAC x x ∴∠=+=︒36︒108︒AB AC ()BC AC BC >AC AB BC，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形．7．（2019秋•，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为 2 ．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．【解答】解：矩形是黄金矩形，且，，，故答案为2．【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．8．（2019秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割（黄金比为，则较长线段的长为 6.2 （结果精确到．【分析】根据黄金分割的定义：如图所示，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．即可求解．【解答】解：如图：设较长线段，则，根据黄金分割定义可知：，即，，::)AB AC AC BC =AB C AB 0.618AC AB AB =≈AB 0.618)ABCD 1AD =AB Q ABCD 1AD =-∴AD AB ==2AB ∴=10cm 0.618)cm 0.1)AB AC ()BC AC BC >AC AB BC AB C AB AC x =10BC x =-AC BC AB AC=2AC AB BC =g 210(10)x x ∴=-2101000x x +-=解得，（不符合题意，舍去）答：较长的线段的长约为．故答案为6.2．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：如图1，在线段上找一点，若，则称点为线段的黄金分割点，这时比值为名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点表示数0，点表示数2，过点作，且，连接；以为圆心，为半径作弧，交于；再以为圆心，为半径作弧，交于点，则点就是线段的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）线段 ，点在数轴上表示的数为 ；（2）在（1）中计算线段长的依据是 ．【分析】（1）根据勾股定理得到，根据线段的和差即可得到结论；（2）根据勾股定理求得，再由线段的和差求得，于是得到结论．【解答】解：（1），， ，，由作法知，，，点，；11) 6.18 6.2x =-≈≈25x =--6.2cm AB ()C AC BC >::BC AC AC AB =C AB 0.618≈O E E EF OE ⊥12EF OE =OF F EF OF H O OH OE P P OE OP 1P OP OF ===OF OP 2OE =Q 112EF OE ∴==EF OE ⊥Q OF ∴===1FH EF ==1OP OH OF FH ==-=-∴P 1-1-1-（2）在（1）中计算线段长时，首先根据勾股定理求得，再由求得，故答案为：勾股定理．【点评】本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是 黄金分割 ”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的 知识，我要带 等测量工具”．【分析】利用已知结合黄金分割比例和解直角三角形的应用分别填空得出答案．【解答】解：结合：，故明明说：“我的理由是黄金分割”明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度， 我想用学到的解直角三角形（答案不唯一）知识，我要带测角仪、皮尺（答案不唯一）等测量工具”．故答案为：黄金分割；解直角三角形（答案不唯一）；测角仪、皮尺（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了黄金分割以及解直角三角形的应用等知识，正确掌握黄金比例是解题关键．11．（2013秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割， 则较长线段的长为 ．OP OF OP OH OF FH ==-OP 41(10.618)15.7()m ⨯-≈8cm 1)cm【分析】根据黄金分割的定义，． 【解答】解： 较长线段的长度． 故答案为．【点评】本题考查了黄金分割： 把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项 （即，叫做把线段黄金分割， 点叫做线段的黄金分割点，其中，并且线段的黄金分割点有两个 ． 三．解答题（共4小题）12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在中，，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 108 度和 度；（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？（3）继续按以上操作发现：在中画条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．【分析】（1）可以根据，的条件，并利用平行线的知识画一条与三角形一边平行的线段，就可以求出2个等腰三角形的度数；（2）根据（1）和材料分析，画1条线段是利用平行的知识来作图，那么2条线段也可以的，3条也可以的，了解其画图的方法，那么就可以画出图形，并数出等腰三角形的个数；（3）根据（2）的图形规律，可以总结线段的数量与等腰三角形的个数之间的规律【解答】解：（1）如图1所示：，，81)cm cm ==-1)AB AC ()BC AC BC >AC AB BC ::)AB AC AC BC =AB C AB 0.618AC AB AB =≈AB ABC ∆AB AC =36A ∠=︒)ABC ∆ABC ∆n AB AC =36A ∠=︒AB AC =Q 36A ∠=︒当，则，则，则这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度．故答案为：108，36（2）如图所示：（3）根据（2）可知：如图所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；在中画条线段，则图中有个等腰三角形，其中个黄金等腰三角形．故答案为，【点评】该题主要考查等腰三角形、规律总结等知识；解题的思路：首先理解题意，什么是黄金等腰三角形，怎么去画等腰三角形；几何题目都需要结合图形才有利于解答，所有要画图分析；最后根据画的图分析并总结出线段的数量与等腰三角形的个数的规律．13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：∴AE BE =36A ABE ∠=∠=︒108AEB ∠=︒36EBC ∠=︒∴⋯ABC ∆n 2n n 2n n x y依题意，列出方程， 化简得，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：依题意，列出方程， 变形得 于是得到形如这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段的长度设为1，点是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为，试将表示为连分数的形式．【分析】（1）先求出根的判别式△的值，由△即可证明这个数不存在；（2）设其中较短的线段的长度为，则较长的线段的长度为，根据黄金分割的定义列出方程，再变形即可．【解答】（1）证明：△，因为这个方程无解，所以这个数不存在；（2）解：依据题意，得， 变形 得，展开，得，，两边同时除以，得， ．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两条线段，使其中较长的线段是较短线段和全线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．也考查了根的判别式以及学生的阅读理解能力．14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、11x x+=210x x -+=11y y -=1111111111111111111y y y y =+=+=+=+++++++⋯1111111++++⋯AB M z z 0<z 1z -111z z z -=-224(1)41130b ac =-=--⨯⨯=-<111z z z -=-2(1)z z -=231z z =-0z ≠Q ∴z 13z z=-13133z ∴=---⋯AB C C AB AC CB BC 2BC AB AC =g AB C建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离的近似值取．【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．【解答】解：设太和门到太和殿的距离为丈，由题意可得，解得，，（舍去）则，答：太和门到太和殿的距离为60丈．【点评】本题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而得出，根据相似三角形比例关系即可得出答案．【解答】解：四边形为平行四边形，，，，2.2)x 2100(100)x x =-150x =-+250x =--5050 2.260x ≈-+⨯=AB AC ()BC AC BC >AC AB BC AB ABCD E AD DAE AD AE =BE DCF 1AB =+CF CBF AEB ∠=∠BCF BAE ∠=∠BCF EAB ∆∆∽Q ABCD CBF AEB ∴∠=∠BCF BAE ∠=∠BCF EAB ∴∆∆∽，即， 把，解得：．故答案为：2．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，比较综合，难度适中．∴BC AE CF BA =AD CF AE AB=AD AE =1AB ==2CF =。
中考黄金分割知识点
中考黄金分割知识点同学们知道，黄金分割蕴涵着美，在实际生活和自然界中广泛存在．善于观察、挖掘的中考命题专家据此编制考题，既考查基础知识，又体现数学的趣味性和美感。
一、求线段的长例1如图1，已知线段AB=4，点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，求AC与BC。
分析：本题主要利用线段的黄金比进行有关计算。
因为本题有条件AC＞BC，若没有这个条件，则应分两种情形求解。
解：∵AB=4，C为AB的黄金分割点，且AC>BC，∴=，AC＝AB=2-2、∴BC=AB－AC=4－（2-2）=6－2、二、求面积比例2如图2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，设以AP为边长的正方形的面积为S，以BP和AB长为边的矩形的面积为S，试比较S 与S的大小。
分析：∵S=PA2，S=ABPB，∴要判断S与S的大小，就是比较PA2、PBPB的大小。
根据点P是线段AB的黄金分割点，抓住=这个定义关系式即可作出判断。
解：∵P是线段AB的黄金分割点，∴=，即PA2=ABBP，S=PA2，S=ABPB。
∴S=S。
三、确定黄金分割点的位置例3如图3，在△ABC中，AB=AC=2，BC=-1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，试说明点D是线段AC的黄金分割点。
分析：判定点D是不是线段AC的黄金分割点的关键是看是否有=。
解：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°。
∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°，∠1＝∠A，AD＝BD。
∴∠BDC＝∠1＋∠A＝72°，∠BDC＝∠C，从而有BC＝BD＝AD＝-1、∴=，即点D为线段AC的黄金分割点。
四、新定义题例4宽与长之比为∶1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感。
如图4，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．解析：留下的矩形CDFE是黄金矩形。
中考专题黄金分割
.中考中的黄金分割问题一、黄金分割点例1（湖北十堰）如图1，已知线段AB，点C在AB 上，且有AC BCAB AC，则ACAB的数值为______；若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____位置最好．2.（2005?太原）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC= cm，DC= cm．3.（2009?浙江）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A ．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm4．（2009?孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二、黄金三角形例1.（2010?本溪）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE= _________ ．2．（2010四川内江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F 分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE＝CF，D为BF的中点，则AE∶AF的值为 .3.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，交AC于D，若AC=4cm，则BC= cm．4．（2007·太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形.为此，请你解答问题(1).已知：如图(1)，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形图(1)归纳提升：本题综合考查等腰三角形的性质与判别，还可这样反思：条件改为“在△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC”，求△ABC中各内角的度数.(2)在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图(2)、(3)也具有这种特性请你在图(2)、图(3)中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；(3)接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形.请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数.说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形.三、黄金矩形例 1 （扬州市）若一个矩形的短边与长边的比值为51-（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图2所示的黄金矩形()ABCD AB AD>中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．1．宽与长的比是512-的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）： 第一步：作一个任意正方形ABCD ；第二步：分别取AD BC ，的中点M N ，，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过B 作EF AD ⊥交AD 的延长线于F ，请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形，（可取2AB =）2.（2010 嵊州市）如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F 、C ，CD ，垂足为D ，若CD ＝CF ，过点C 作AM 的垂线则=ADAE .3. 已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，以PB ，AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）A 、S 1＞S 2B 、S 1＜S 2C 、S 1=S 2D 、S 1≥S 2一、选择题1、若3a=4b ，则（a ﹣b ）：（a+b ）的值是（ ）A 、B 、7C 、﹣D 、﹣72、（2002?太原）已知，P 是线段AB 上一点，且，则等于（ ）A 、B 、C 、D 、3、已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，且MP=（﹣1）cm ，则MN 等于（ ）A 、2cmB 、4cmC 、6cmD 、无法计算4、如图所示，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，则AM 的长为（ ）A 、﹣1B 、C 、3﹣D 、6﹣2二、填空题5、若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则，= ．6、在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB= ，AB：PB= ．7、若点C是线段AB的黄金分割点，则等于．8.（2008?枣庄）将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为．。
黄金分割的公式和计算
黄金分割的公式和计算嘿，说起黄金分割，这可是个挺有趣的数学概念。
咱们先来讲讲黄金分割的公式。
简单来说，黄金分割点是把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。
这个比值约为 0.618 。
如果设线段的全长为 1 ，较长段为 x ，那公式就是：x / 1 = ( 1 - x ) / x ，通过解方程就能得到 x 约等于 0.618 。
那在实际计算中怎么用呢？我给您举个例子哈。
比如说，有一幅画，您想把它的上下比例弄得好看，符合黄金分割。
假设这画的高度是 100 厘米，那按照黄金分割，上面部分大约就是 38.2 厘米，下面部分大约就是 61.8 厘米，这样看起来就会更舒服、更美观。
再比如说，建筑师在设计建筑的时候，也会用到黄金分割。
像有些高楼大厦，从整体的外观比例，到窗户的分布，都可能藏着黄金分割的影子。
我之前去参观过一个新建成的图书馆，那建筑的外观比例简直绝了。
从远处看，整个大楼的高度和宽度之间，就像是被一只神奇的手按照黄金分割的比例塑造出来的。
走近一看，每一层楼窗户的分布，还有大门和整个建筑立面的比例，都有着黄金分割的韵味。
当时我就感叹，这设计师真是把黄金分割运用得炉火纯青，让这栋建筑不仅仅是一个实用的场所，更是一件精美的艺术品。
还有啊，在摄影中也能用到黄金分割。
您拍照的时候，如果把主体放在画面大约 0.618 的位置，照片往往会更有吸引力。
有一次我和朋友出去旅游，看到一处特别美的风景，我就想拍下来。
一开始怎么拍都觉得差点意思，后来我突然想到黄金分割，调整了拍摄的构图，把那最吸引人的部分放在了画面的黄金分割点上，哇，拍出来的效果就是不一样，朋友看了都赞不绝口。
在日常生活中，咱们的衣服设计、家具的尺寸比例等等，都可能会用到黄金分割。
就连一些音乐的节奏和旋律，有时候也会遵循黄金分割的规律，给人一种特别和谐、美妙的感觉。
所以说啊，黄金分割这东西，虽然听起来有点神秘，但其实就在咱们身边，影响着咱们生活的方方面面。
与黄金分割有关的中考题
与黄金分割有关的中考题作者：刘永中来源：《初中生·考试》2010年第03期黄金分割是美的象征,更是数学智慧的体现. 与黄金分割有关的题频频出现在中考中. 现以中考题为例,说明这类题的解法.一、黄金分割与设计例1 (2009年孝感市中考题)美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感. 如图1,某女士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( ).A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm解:设高跟鞋的高度为h cm.该女士下半身长x=165×0.60=99cm,根据已知得≈0.618,解得h≈8cm. 选C.例2 为了弘扬雷锋精神,某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像,向全体师生征集设计方案,小兵同学查阅了有关资料,了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中,图2是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案,其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0.01m)是( ). (参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)A. 0.62mB. 0.76mC. 1.24mD. 1.62m解:根据题目中的参考数据,可以用2×≈1.24m,亦可以直接用2×0.618≈1.24m,选C.例3 如图3,扇子的圆心角为x°,余下扇形的圆心角为y°,x与y的比通常按黄金分割比来设计,这样的扇子外形较美观. 若取黄金比为0.6,则x为( ).A. 216B. 135C. 120D. 108解:圆周角等于360°,则y= 360-x.由题意得=0.6,∴ x=135. 选B.二、黄金矩形例4 (2009年恩施土家族苗族自治州中考题)宽与长之比为∶1的矩形叫黄金矩形. 黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感. 如图4,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的结论.解:留下的矩形CDFE是黄金矩形 .证明:∵四边形ABEF是正方形,∴ AB=DC=AF.又∵ =,∴ =.即点F是线段AD的黄金分割点.∴ ==,即=.∴矩形CDFE是黄金矩形 .三、黄金三角形顶角为36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”. 它底角的平方线与对边的交点,正好是对边的黄金分割点.例5 如图5,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,那么,在下列三角形中,与△ABC相似的三角形有?摇?摇?摇?摇?摇?摇.A. △DBEB. △ADEC. △ABDD. △BDC解:由所给条件可知,△ABC、△ADE、△BDC都是有一个顶角为36°的等腰三角形,它们都是黄金三角形,所有的黄金三角形都相似.所以△ABC∽△ADE∽△BDC. 填B、D.例6 如图6,已知等腰△ABC中,顶角∠A=36°,BD为∠ABC的平分线,则的值等于( ).A. B.C . 1 D.解:△ABC是黄金三角形,BD为∠ABC的平分线,由黄金三角形的性质可知D为AC的黄金分割点,所以=. 选B.。
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD•AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE•AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD•AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△AB C的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF 是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案:1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD•AC，∴AD2=CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD•AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=，∴AD2=AC•CD．∴点D是线段AC的黄金分割点．（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD=AC，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，=．5．解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，∵AC2=BC•AB，∴x2=1×（1﹣x），整理得x2+x﹣1=0，解得x1=，x2=（舍去），所以线段AC的长度为；（2）设线段AD的长度为x，AC=l，∵AD2=CD•AC，∴x2=l×（l﹣x），∴x1=，x2=（舍去），∴线段AD的长度AC；（3）同理得到线段AE的长度AD；上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点7．解：D是AC的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC•CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB•HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC•DC，∵BC=AD，∴AD2=AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD•AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB•HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在R t△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。
人教版九年级数学上 黄金分割(含答案)-
C BA CBAC BA4.2 黄金分割一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 4.黄金分割比是( )D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( )6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( ) A.12 B.1211 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB =12,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.CBA2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB的黄金分割点.AB3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C为AB的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C、D两点都是AB的黄金分割点,AB=1,求CD的长.AD C B七、已知C、D是线段AB上的两点,且不难证明当AB=1时,C、D是线段AB的黄金分割点,试探究当AB任意长时,C、D是否是线段AB的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP==12,AP=12×AB=12×2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB=12,因为AB=1,所以AC=12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB ,BD AB因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以因此七、C、D是线段AB的黄金分割点.。
初中数学_怎样将一条线段任意黄金分割
怎样将一条线段任意黄金分割湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学赵国瑞在数学王国里有一个“数”像诗一样美妙，它就是美的密码——(准确值)=0.618(近似值)．两千多年前，古希腊的数学家欧克多索斯发现：将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段PB与大段AP的长度之比等于大段AP与全段AB的长度之比，即，如图1所示．此时线段AP叫做线段AP、PB的比例中项，则可得出这一比值为，这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．图1那么，应该怎样把一条线段进行黄金分割呢？或者说怎样作出已知线段的黄金分割点呢？下面提供一种作法：如图2，已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点．图2①过点B作BD⊥AB，使BD=AB；②连结AD，在AD上截取DE=DB；③在线段AB上截取AP=AE．则点P是线段AB上的一个黄金分割点．那么，为什么点P是线段AB上的一个黄金分割点呢？事实上，若设AB=a，AP=x，由作图过程可知AP=．在Rt△ABD中，由勾股定理可得.整理可得x2=a(a-x)．因此点P是线段AB上的一个黄金分割点．实际上，我们不仅可以把一条线段进行黄金分割，而且还可以把一条线段任意进行黄金分割，如何把一条线段任意进行黄金分割呢？为此我们先看一个与黄金分割有趣的数量关系．如图3，点C是线段AB的一个黄金分割点(其中点C靠近端点B)，由于对称性，在线段AB上必然还有另一个黄金分割点D(其中点D靠近端点A)．图3若设AB=a，由黄金分割的定义，得AC=BD=a，而，∴AD=BC=a．∴CD=BD-BC=a-a===a．∴．图4于是点C是线段DB的一个黄金分割点(靠近端点D)．利用对称性，再作出线段DB的另一个黄金分割点E(靠近端点B)，则点E一定是线段CB的一个黄金分割点(靠近端点B)，如图4所示．这样我们就可以不断地利用对称性对线段AB进行黄金分割．我们不但可以利用与黄金分割有趣的数量关系对一条线段任意进行黄金分割，还可以利用与黄金分割有关的几何图形对一条线段任意进行黄金分割．黄金矩形如果一个矩形的两边之比具有黄金分割比值，则称这种矩形为黄金矩形，它是由一个小正方形和另一个小黄金矩形组成的．事实上，如图5，设大黄金矩形的两边分别为a、b，则，分出一个正方形后，所余小矩形的两边分别为(a-b)和b，它们的比为．这样我们可以将一个黄金矩形无限分割下去，就可以得到无限多个黄金矩形．图5 图6黄金三角形顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形．其底与腰之比为黄金分割比值，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点．如图6，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分线CP交腰AB于P，则BC=CP=AP，且△ABC∽△CBP，∴，即AP2=BP·AB，∴．再作∠ABC的平分线交CP于P1，作∠BPC的平分线交BP1于P2，得到△BPP1，△PP1P2，均为黄金三角形．如此下去则可得到一系列的黄金三角形．亲爱的同学们，你知道怎样根据黄金矩形和黄金三角形的性质对一条线段任意进行黄金分割了吗？赶快动手试一试吧．。
初中数学九年级上册黄金分割
A
D E
CB
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
BD 1 ; AD
12
1
2
5 , AC AE
51
2
2 2
22
5 1, BC 1 AC 1 5 1 3 5 ;
2
2
2
5 1
3 5
AC 2 5 1, BC 2 3 5 2
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题
意知 AC2 BCgAB,
∴AC2=(10-AC)×10，解得AC≈6.2 cm.
3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端 点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点， 则AC=______cm，DC=_______cm.
D
因此 AH BH ,点H就是HB的黄金分割点. AB AH
G H
B
C
课堂小结
黄金 分割
定义
点C把线段AB分成两条线段AC和
BC,如果
AC AB
BC AC
, 那么称线段AB被
点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄
金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 :1
4. 如图:在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平 分∠ABC交AC于点D, 求证：D是AC的黄金分割点. 证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°， 所以∠ABC=∠C=72°， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=36°， 在△ACB和△BCD中，∠BDC=72° ∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°， ∴△ACB∽△BCD， ∴AC：BC=BC：DC；
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初中数学例题：黄金分割
5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？
【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为
，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明
＝即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．
理由如下：因为
＝
＝ 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．
【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.
举一反三：
【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，
BC AB 2
15-2
15-AB AE 215-AB AE AB ED AB AD AB ED AD -=-2
1512151)15)(15()
15(21152
-=-+=-+-+=--
（1）求AM ，DM 的长，
（2）试说明AM 2
=AD ·DM
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，
∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，
∴PD
＝。
∵PF ＝PD ，
∴AF ＝
，在正方形ABCD 中，AM ＝AF ＝，MD ＝AD －AM ＝3－ （2）由（1）得AD ×DM ＝2（3－）＝6－2，
∴AM 2
=AD ·DM ．
（3）如图中的M 点是线段AD 的黄金分割点．
6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）.
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
【答案】C.
522=+AD AP 15-15-555526)15(22-=-=AM x l
【解析】利用=0.618，列方程求解。
设她应穿的高跟鞋的高度为y,则解得y ≈8. 【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.
x l
+1650.60=0.618,+165y y。