圆锥曲线培优

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高中数学压轴培优教程—圆锥曲线篇

高中数学压轴培优教程圆锥曲线篇目录第一章基础篇1.1曲线与方程 (1)1.2顶角最大问题 (19)1.3渐近线性质 (25)1.4共焦点问题 (35)1.5面积问题 (49)1.6抛物线的性质 (67)1.7定点问题 (83)1.8定值问题 (111)1.9最值与范围问题 (161)第二章技法篇2.1垂径定理与第三定义 (189)2.2点差法与定比点差法 (205)2.3点乘双根法 (225)2.4齐次化巧解双斜率问题 (233)2.5同构式方程简化运算 (251)2.6非对称韦达定理 (265)第三章观点篇3.1椭圆的共轭直径 (279)3.2圆锥曲线等角定理 (293)3.3蒙日圆及其应用 (307)3.4阿基米德三角形 (321)3.5椭圆中的蝴蝶模型 (335)3.6曲线系及其应用 (347)3.7极点极线与调和点列 (363)参考文献 (411)第二章技法篇2192.2 点差法与定比点差法一、知识纵横1、点差法的原理（1）假设点1111(,),(,)A x y B x y 在有心二次曲线22221±=x y a b 上，且弦AB 的中点为00(,)M x y ．,A B 代入曲线，有22112222222211⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，两式作差，得1212121222()()()()0+−+−±=x x x x y y y y a b ；左右两边同除以1212()()++x x x x ，得1212221212110+−±⋅⋅=+−y y y y a b x x x x ．变形得220201⋅=±=−AB y b k e x a ，其中e 为有心二次曲线的离心率(圆的离心率0=e )．（2）抛物线22=y px ，任意弦AB 的中点为00(,)M x y ，,A B 代入曲线，有21122222⎧=⎪⎨=⎪⎩y px y px ，两式作差，得121212()()2()+−=−y y y y p x x ，左右两边同除以12()−x x ，得0⋅=AB k y p ．2、有心二次曲线实仿射平面的有一个对称中心的常态二次曲线称为有心二次曲线，所有有心二次曲线都是椭圆或双曲线． 3、点差法基本题型（1）求以定点为中点的弦所在直线的方程（2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程（4）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题与中点有关的的几何特征：对称、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四边形等． 4、点差法在双曲线中的适用条件已知双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b，任意弦AB 的中点00(,)M x y ，若当中点00(,)M x y 满足22002201−x y a b ≤≤，则这样的双曲线的中点弦不存在（如图阴影部分）；若当中点00(,)M x y 满足2200221−>x y a b 或2200220−<x y a b，则这样的双曲线的中点弦存在．高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇5、定比分点若λ=AM MB ，则称点M 为点,A B 的λ定比分点．当0λ>时，点M 在线段AB 上，称为内分点；当0(1)λλ<≠−时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AM MB ，则点M 的坐标为1212(,)11λλλλ++++x x y y M ． 6、定比点差法原理：若λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则称,M N 调和分割,A B ，根据定义，那么,A B 也调和分割,M N ．定理：设,A B 为有心二次曲线22221±=x y a b上的两点，若存在,M N 两点，满足λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则一定有221⋅⋅±=M N M Nx x y y a b ．证明：（1）设点1122(,),(,)A x y B x y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，因为λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则由定比分点坐标公式可得1212(,)11λλλλ++++x x y y M ，1212(,)11λλλλ−−−−x x y y N (1)λ≠±，将,A B 代入曲线，有221122222222 1 1 ⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩①②x y a b x y a b ，2222222222 λλλλ⨯±=②③得x y a b ①-③，得21212121222()()()()1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b．这样就得到了12121212221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，则221⋅⋅±=M N M N x x y y a b ．（2）若点(,)M M M x y 为异于原点的定点，则点N 在直线221⋅⋅±=M M x x y ya b 上． 7、定比点差法基本题型（1）求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围；（2）简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题；二、典型例题第二章技法篇2211、点差法关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，主要有以下四种基本题型． 1．1、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1．已知双曲线2212−=y x ，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于,P Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【解析】假设这样的直线存在，设点11(,)P x y 、22(,)Q x y 点B 是线段PQ 的中 121222+=⎧⎨+=⎩x x y y ，221122221212⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩y x y x 两式相减得：121212121()()()()02+−−+−=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得121212121102+−−⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即001111022−⋅⋅=−⋅=PQ PQ y k k x ，解得2=PQ k ，又直线l 过,,P Q B 三点，所以l 的方程为12(1)−=−y x ，即210−−=x y ．联立直线与双曲线2212210⎧−=⎪⎨⎪−−=⎩y x x y ，消去y 得22430,162480−+=∆=−=−<x x ，此方程无实数解，与假设矛盾，所以满足题设的直线不存在．【注】本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心．由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要．若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在． 1．2、求过定点的弦或平行弦的中点轨迹例2．已知椭圆22143+=x y 的弦AB 所在直线过点(1,1)E ，求弦AB 中点F 的轨迹．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 的中点(,)F x y ，若直线AB 的斜率存在，将,A B 代入椭圆，的22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式作差，得12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇得1212121211043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即121211043−+⋅⋅=−y y y x x x ，又四点,,,A B E F 共线，所以直线EF 的斜率11−−y x 等于直线AB 的斜率1212−−y y x x ，则1110431−+⋅⋅=−y y x x ，整理得2234340+−−=x y x y ．若直线AB 的斜率不存在，则AB 的方程为1=x ，代入椭圆方程解得,A B 的坐标为33(1,),(1,)22−，所以(1,0)F 也满足上述方程．故2234340+−−=x y x y 为所求点F 的轨迹方程．【注】不难看出，在求满足一定条件的动弦的中点轨迹方程时，利用点差法可以大大减少计算量，简化推理过程．1．3、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例3．已知中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线:32=−l y x 截得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程．【解析】设椭圆的方程为22221+=y x a b ，则2250−=a b ┅┅①设弦端点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，弦PQ 的中点00(,)M x y ，则012=x ， 001322=−=−y x 所以12021+==x x x ，12021+==−y y y ,P Q 两点代入椭圆方程，得22112222222211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x a b y x a b ，两式相减得1212121222()()()()0+−+−+=y y y y x x x x a b ，即221212()()0−−+−=b y y a x x ，所以 212212−=−y y a x x b ，即 223=a b┅┅② 联立①②解得275=a ，225=b ，故所求椭圆的方程是2217525+=y x ． 1．4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例4．已知椭圆22143+=x y ，试确定的m 取值范围，使得对于直线4=+y x m ，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称．【解析】设111(,)P x y ，222(,)P x y 为椭圆上关于直线4=+y x m 的对称两点，00(,)P x y 为弦12PP 的中点，第二章技法篇223则22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式作差得：12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得1212121211043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，由题意可知：1202+=x x x ，1202+=y y y ，121214−=−−y y x x ，所以003=y x ，即00(,3)P x x ．由P 在直线4=+y x m 上得00034=+⇒=−x x m x m ，即(,3)−−P m m ．因为弦12PP 的中点P 必在椭圆内，所以22()(3)143−−+<m m，解得<m ．例5．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y E a b a b的离心率=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆E 的方程．（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点(,0)−A a ，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4⋅=QA QB ，求0y 的值．【解析】（1）由==c e a ，得2234=a c ．由222=−c a b ，得2=a b ．由题意可知12242⋅⋅=a b ，即2=ab ．解方程组22=⎧⎨=⎩a b ab ，得2,1==a b ．所以椭圆E 的方程为2214+=x y ．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点为33(,)M x y ，当直线l 与x 轴重合时，(2,0),(2,0)−A B ，于是00(2,),(2,)→→=−−=−QA y QB y ．由2000(2,)(2,)44⋅=−−⋅−=−+=QA QB y y y，解得0=±y 当直线l 不过原点O 且不平行于x 轴时，于是321213,−==−l OM y y y k k x x x ，又221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减，得121212121()()()()04+−++−=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得2112211214−+⋅=−−+y y y y x x x x ，所以3314⋅=−l y k x ，则3314=−⋅l xk y ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇又333330330333124114⎧==−⋅⎪+⎪⎨−−⎪⋅=−⋅⋅=−⎪⎩l ly x k x y y y x y y k x y x ，所以30223330134(2)49⎧=−⋅⎪⎪⎨⎪+=−=−⋅⎪⎩y y x x y y ，因为M 为线段AB 的中点，所以2322=+x x ，231302223=−==−⋅y y y y y ，20303055(2,)(22,)2(22)433⋅=−−⋅+−=−++=QA QB y x y x y ，解得2305212=−x y ，所以22203300455(2)(2)(22)91212−⋅=+=−−+y x x y y，解得0=y ，综上所述：0=±y05=±y ． 2、定比点差法关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，下面主要从三方面来研究． 2．1求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围例6．已知椭圆22194+=x y ，过定点(0,3)P 的直线与椭圆交于两点,A B （可重合），求PA PB 的取值范围．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AP PB ，则12120131λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，即120λ+=x x ，123(1)λλ+=+y y ，将,A B 两点代入椭圆方程：221122222221,(1)94,(2)94λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)λ−⋅得212121212()()()()194λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，即124(1)3λλ−=−y y所以：132135(1)(1)2366λλλ=++−=+y ，又因为1[2,2]∈−y ，则1[5,]5λ∈−−，1[,5]5∈PA PB．【注】根据两个调和调和定比分点的联立，将坐标求出与比值的关系式，两个定比分点的式子将问题解决，这就是定比点差法的核心．例7．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b b a的上下两焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于,M N 两点，2∆MNFC ．第二章技法篇225（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知O 为坐标原点，直线:=+L y kx m 与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4λ+=OA OB OP ，求m 的取值范围．【解析】（1）由题设条件得椭圆的方程为：2214y x +=．（2）当0m =时，1λ=−，显然成立；当0m ≠时，4OA OB OP λ+=144OP OA OB λ⇒=+，因为,,A P B 三点共线，所以3λ=；所以3AP PB =，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121233(,)1313x x y y P ++++，所以1234y y m +=，将,A B 两点代入椭圆方程：22112222 1 4 1 4y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②得：12121212(3)(3)(3)(3)84y y y y x x x x +−+−+=−，即1283y y m−=−，由上可知：224(2,2)33y m m =+∈−，所以2(3,3)m m+∈−，解得：(2,1)(1,2)m ∈−−，综上所述：m 的取值范围为(2,1)(1,2){0}−−．2．2简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题例8．设椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b过点M，且左焦点为1(F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足⋅=⋅AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【解析】（1）由题意：222222212,1,=+==−c c a b a b，解得224,2==a b ，所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．（2）证明：设点为(,)Q x y ，12(,)A x y ，22(,)B x y ．由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记λ==AP AQ PBQB，则01λλ>≠且，又,,,A P B Q 四点共线，将点(4,1)P 代入椭圆方程得2241142+>，则点P 在椭圆外，又因为点Q 在线段AB 上，从而λ=−AP PB ，λ=AQ QB ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇于是12124,1(1)1,1λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩x x y y 1212,1(2),1λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x x y x y 又点AB 在椭圆C 上，即221122221,(3)421,(4)42⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(3)(4)λ−⋅，得212121212()()()()142λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，即12121212()()()()111411211λλλλλλλλ+−+−⋅⋅+⋅⋅=+−+−x x x x y y y y ，将（1），（2）代入得1,2202+=+−=即yx x y ．综上所述，点(,)Q x y 总在定直线220+−=x y 上．例9．已知12(,0),(,0)−F c F c 为有心二次曲线2222:1(0)±=>>x y E a b a b 的左、右两个焦点，P 为曲线上任意一点，直线12,PF PF 分别交曲线E 异于P 的点,A B ，设11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，证明：λμ+为定值．【解析】证明：设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，因为11λ=PF F A ，可得011101λλλλ+⎧=−⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x c y y ，将1100(,),(,)A x y P x y ，代入曲线方程有2200222211221,(1)1,(2)⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，2(2)λ⨯得222221122,(3)λλλ+=x y a b ，(1)(3)−得20101010122()()()()1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b．两边同除以21λ−整理得01010101221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，所以01211λλ−−⋅=−x x c a ，即201(1)λλ−=−a x x c ．又01,1λλ+−=+x x c即01(1)λλ+=−+x x c ．两式相加得：222202λ−+=−a c a c x c c同理：222202μ+−=−a c a c x c c ，所以22222λμ++=⋅−a c a c．【注】若将11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，换成11λ=AF F B ，22μ=BF F P ，则有2222112λμ++=⋅−a c a c 为定值，11()()24μλλμλμλμ++=++≥，得22min 22()2λμ−+=⋅+a c a c ．第二章技法篇227例10．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为23，半焦距为(0)>c c ，且1−=a c ，经过椭圆的左焦点F ，斜率为11(0)≠k k 的直线与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当11=k 时，求∆AOB S 的值；（3）设(1,0)R ，延长,AR BR 分别于椭圆交于,C D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值．【解析】（1）由题意：得231⎧=⎪⎨⎪−=⎩c a a c 解得32=⎧⎨=⎩a c 所以2225=−=b a c ，故椭圆C 的标准方程22195+=x y ． (2)由（1），知(2,0)−F 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12187+=−x x ，12914=−x x ，12|||=−=AB xx 307=，设O 点到直线AB 的距离为d，则=d1130||227∆=⋅=⨯AOB S AB d ． (3)设AB 直线方程：(2)=+y k x ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AR RC ，μ=BR BD ，将,,,A B C D 坐标代入椭圆得：221122331,(1)951,(2)95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，222222441,(3)951,(4)95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−得：213131313()()()()195λλλλλ−+−++=−x x x x y y y y ，2(3)(4)μ−得：224242424()()()()195μμμμμ−+−++=−x x x x y y y y ，13131101λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，24241101μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，所以1391λλ−=−x x ，2491λμ−=−x x ，由上式得：125445λλ=−⎧⎪⎨=−⎪⎩x x ，245445μμ=−⎧⎪⎨=−⎪⎩x x ，所以12123434224444(5)(5)λμλμλμλμ−−++−−+−==−−−−−+y y kx kkx ky y x x (54)2(54)2117()7441144()λμλμλμλμλμ−+−+−+−−===−+−−k kk kk k ．【注】综上可知，若出现相交弦共点在坐标轴上的时候，常规联立非常繁琐，那么将坐标变换成比值，达到事半功倍的效果，其结果就是几步秒杀．例11．已知椭圆22143+=x y ，点(4,0)P ，过点P 作椭圆的割线PAB ，C 为B 关于x 轴的对称点，求证：直线AC 恒过定点．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)−C x y ，设AC 与x 轴的交点为(,0)M m ，λ=AP PB ，μ=AM MC ，则1212(,)11λλλλ++++x x y y P ，1212(,)11μμμμ+−++x x y y M ，于是124(1)λλ+=+x x ，120λ+=y y ，12(1)μμ+=+x x m ，120 (1)μ−=y y ，则μλ=−，由点,A B 在椭圆上得：221122221,(1)431,(2)43⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)μ−⨯得：212121212()()()()143μμμμμ+−+−+=−x x x x y y y y ，所以124(1)μμ−−=x x m ，124(1)λλ++=x x m，由(1)可知：1=m ，综上可知：直线AC 恒过定点(1,0)．【注】因为,,A B P 三点共线，,,A C M 三点也共线，且,,A B C 三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．例12．（2018·全国卷Ⅰ）设椭圆22:12+=x C y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程．（2）设O 为坐标原点，证明：∠=∠OMA OMB ．【解析】（1）由已知得(1,0),F l 的方程为1=x ，由已知可得点A的坐标为或(1,，所以AM的方程为2=−y x2=−y x （2）当l 与x 轴重合时，00∠=∠=OMA OMB ．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠=∠OMA OMB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，点B 关于x 轴对称的点22(,)'−B x y ，229根据几何性质可得：令ON 为∠ANB 的角平分线，AB 与x 轴交点为2F ，下面通过证明N 与M 重合来证明∠=∠OMA OMB ，根据角平分线定理有：22=='AF AN AN F B NB NB ，令λ'=AN NB ，则12(,0)1λλ++x x N ，由122211λλλ−=−⇒=−x x AF F B ，,A B 代入椭圆方程221122221,(1)21,(2)2⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−⨯得：212121212()()()()12λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ，即21212121011(2,0)21112λλλλλλ+−−⋅⋅+⋅=⇒=⇒+−−F N x x x x x x y y N ，即N 与M 重合，所以∠=∠OMA OMB ．例13．（2018·北京文）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y M a b a bk 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B ，（1）求椭圆M 的方程．（2）若1=k ，求||AB 的最大值．（3）设(2,0)−P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71(,)44−Q 共线，求k ．【解析】（1）由题意得2=cc=c e a=a 2221=−=b a c ，所以椭圆M 的标准方程为2213+=x y ．（2）设直线AB 的直线方程为=+y x m ，由2213=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y x m x y ，消去y 可得2246330++−=x mx m ，则2223644(33)48120∆=−⨯−=−>m m m ，即24<m ，1122(,),(,)A x y B x y ，1232+=−mx x ，212334−=m x x ，12|||=−=AB x x=，易得当20=m时，max ||=AB ||AB．（3）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AP PC ，2424(,)(2,0)11μμμμ++=−++x x y y P ，有22112233 1 (1)3 1 (2)3⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，2(1)(2)λ−⨯得：213131313()()()()13λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ，即13(2)()13(1)λλ−−=−x x ，1311333171244(3)172441λλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x ，同理2422443171244(4)172441μλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x 故121()(5)4λμ−=−−x x ，同时1324λμ⎧=⎪−⎪⎨⎪=⎪−⎩y y y y ，由于CD 过定点71(,)44−Q ，故21341234111114444()(6)711144444μλλμλμ−−−−−−=⇒=⇒−=−−+−−−y y y y y y x x ，结合（5）（6）可得12121−=−y y x x ，即1=k ．例14．已知点(0,1)P ，椭圆22:(1)4+=>x C y m m 上两点,A B 满足2=AP PB ，则当m 为何值时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,),(0,1)B x y P ，则22112222,(1)4,(2)4⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y m x y m ，由2=AP PB 得121220122112+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+x x y y ， 2(1)(2)2−⋅得222222212122(2)(12)4−⋅+−⋅=−x x y y m ，即1212121222221412121212+−+−⋅⋅+⋅=+−+−x x x x y y y y m ，则，122−=−y y m ，1223+=y y ，则234+=my ，所以2223()44++=x m m ，即2221094−+−=m m x ，当5=m 时，()22max 4=x ，则2max2=x ．三、方法总结点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法．当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题．在解答圆锥曲线231的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程．当1λ=时，点M 为弦AB 的中点．若1λ≠时，点M 不再是中点，就成了定比分点．这时就会出现12λ+x x 这样形式的式子，若果再凑出12λ−x x ，我们就会想到222121212()()λλλ+−=−⋅x x x x x x ，则在有心二次曲线的方程上乘以2λ再作差，就会得到这样的式子，因此我们想到了“定比点差法”．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．综上所述，在研究点差法及定比点差法时，主要核心思想统一体现为减元、消元以及方程的思想．四．巩固练习1．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的一条准线方程是1=x ，有一条倾斜角为4π的直线交椭圆于、A B 两点，若AB 的中点为11,24⎛⎫− ⎪⎝⎭C ，则椭圆方程为．【答案】2211124+=x y【解析】设()()1122,,、A x y B x y ，则121211,2+=−+=x x y y ，且2211221+=x y a b ①， 2222221+=x y a b②， −①②得：2222121222−−=−x x y y a b ，()()221212221212112+−−∴=−=−⋅−+b x x y y b x x a y y a ，21221221−∴===−AB y y b k x x a，222∴=a b ③又21=a c ，2∴=a c ④ 而222=+a b c ⑤由③④⑤可得212=a ，214=b ，所求椭圆方程为2211124+=x y ． 2．已知椭圆221259+=x y 上不同的三点()()11229,,4,,,5⎛⎫⎪⎝⎭A x yBC x y 与焦点()4,0F 的距离成等差数列．（1）求证：128+=x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．【解析】（1）略；（2）解128+=x x ，∴设线段AC 的中点为()04,D y ．又、A C 在椭圆上，∴22111259+=x y ①，22221259+=x y ②，−①②得：22221212259−−=−x x y y ， ()()1212121200998362525225+−∴=−=−⋅=−−+x x y y x x y y y y ． ∴直线DT 的斜率02536=DT y k ，∴直线DT 的方程为()0025436−=−y y y x ．令0=y ，得6425=x ，即64,025⎛⎫ ⎪⎝⎭T ，∴直线BT 的斜率9055644425−==−k ． 3．若抛物线2:=C y x 上存在不同的两点关于直线():3=−l y m x 对称，则实数m 的取值范围是．【答案】(【解析】当0=m 时，显然满足．当0≠m 时，设抛物线C 上关于直线():3=−l y m x 对称的两点分别为()()1122,,、P x y Q x y ，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211=y x ①，222=y x ②， −①②得：221212−=−y y x x ，1212120112−∴===−+PQ y y k x x y y y ，又1=−PQ k m ，02∴=−m y ．中点()00,M x y 在直线():3=−l y m x 上，()003∴=−y m x ，于是052=x ．中点M 在抛物线2=y x 内部，200∴<y x ，即2522⎛⎫−< ⎪⎝⎭m，解得<m综上可知，所求实数m的取值范围是(．4．（2011浙江理）设1F ，2F 分别为椭圆2213+=x y 的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若125=F A F B ，则点A 的坐标是．233解答：记直线1F A 反向延长交椭圆于1B ，由125=F A F B 及椭圆对称性得1115=AF F B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y，(F ．①定比分点公式得：12125155015+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x yy 1212550⎧+=−⎪⇒⎨+=⎪⎩x x y y ②又⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩221122221(1)31(2)3x y x y 221122221(1)4252525(3)3x y x y ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩③由（1）-（3）得+−++−=−12121212(5)(5)(5)(5)243x x x x y y yy ⇒−=125x x ，又+=−125x x ⇒=10x ⇒±(0,1)A ．5．（2009江理）双曲线()222210,0−=>>x y a b a b的右顶点A 作斜率为1−的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若12=AB BC ，则双曲线的离心率是（）ABCD【答案】C【解析】设11(,)C x y ，22(,)B x y ，(,0)A a ，由12=AB BC ，由12=AB BC 得121212112102112⎧+⎪=⎪⎪+⎪⎨⎪+⎪=⎪+⎪⎩a x x y y 12123230−=−⎧⇒⎨−=⎩x x a y y ．又22112222222200⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩x y a b x y a b 2211222222220 990 ⎧−=⎪⎪⇒⎨⎪−=⎪⎩①②x y a b x y a b ，由①-②得：1212121222(3)(3)(3)(3)0+−+−−=x x x x y y y y a b 1230⇒+=x x ，又1232−=−x x a所以1=−x a ，所以(,)−C a b ，所以01−=−=−−AC b k a a2⇒=ba ⇒=e 6．已知椭圆22162+=x y 的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11λ=PF F A ，22μ=PF F B ．若2λ=，求μ的值．【解析】设()00,P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由11λ=PF F A 得()0101010111001λλλλλλλ+⎧−=⎪⎧+=−+⎪⎪+⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y 由22μ=PF F B 得()02020********μμμμμμμ+⎧=⎪⎧+=−++⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y由22002222112211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a bx y a b ⇒2200222222211221 λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②x y a bx y ab235由①-②得：()()()()010*******21λλλλ−+−++=−x x x x y y y yx ab()()()()()()20101201111λλλλλλ−+⇒=⇒−=−−−+x x x x a a x x c ，又()()011λλ+=−+x x c所以222202λ−+=−a c a c x c c ，同理可得222202μ−+=−+a c a c x c c 所以()()2222222222108λμλμμ−+++=⋅⇒+=⋅=⇒=−a c a c a c c c a c ． 7．已知椭圆22:12+=xy C ，设过点()2,2P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B ，点Q 是线段AB 上的点，且112+=PA PB PQ，求点Q 的轨迹方程．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，()00,Q x y ，由112+=PA PB PQ 22−+⇒+=⇒+=PQ PQ PA AQ PB QB PA PB PA PB0−⇒+=⇒=AQ QB PA AQ PAPBPBQB，记()0λλ==>AP AQ PBQB，即λ=−AP PB ，λ=AQ QB ．由λ=−AP PB 得:()()1212121222112121λλλλλλλλ−⎧=⎪⎧−=−⎪⎪−⇒⎨⎨−−=−⎪⎪⎩=⎪−⎩x x x x y y y y由λ=AQ QB 得:()()1201201212001111λλλλλλλλ+⎧=⎪⎧+=+⎪⎪+⇒⎨⎨++=+⎪⎪⎩=⎪+⎩x x x x x x y y y y y y又221122222222⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x y x y 221122222222 222 λλλ⇒⎪⎧+=⎪⎨+=⎩①②x y x y 由①-②得：()()()()()212121212221λλλλλ+⋅−+⋅+⋅−=−x x x x y y y y ()()()()()20021141121λλλλλ⇒+⋅−+⋅+⋅−=−x y 00242⇒+=x y ，即00210+−=x y ．注意到在椭圆内，故点Q 的轨迹方程为()2221022+−=+<x y x y ．8．（2019全国卷理）已知抛物线2:3=C y x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点分别为，A B ，与x 轴的交点为P ．（1）若4+=AF BF ，求直线l 的方程；（2）若3=AP PB ，求AB ．【答案】（1）3728=−y x ；（2）=AB 【解析】（1）设直线l 的方程为：32=+y x m ，与抛物线方程联立可得：()22239330342⎧=⎪⇒+−+=⎨=+⎪⎩y xx m x m y x m ，设()()1122,,，A x y B x y ，故()12413+=−x x m 由抛物线定义可得：()12431432+=++=−+=AF BF x x p m ，解得78=−m ．故直线方程为：3728=−y x ．（2）设直线l 的方程为：32=+y x m ，联立22322032⎧=⎪⇒−+=⎨=+⎪⎩y xy y m y x m设()()()11220,,,0，，A x y B x y P x ，则1212 2 2 +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩①②y y y y m 由3=AP PB 可得()12030−=−y y ，即123=−y y ③237由①②解得1231=⎧⎨=−⎩y y ，代入③式得32=−m ，故直线方程为3322=−y x ．解得：()53,3,13⎛⎫− ⎪⎝⎭，A B，故=AB ．联系2675512809购买。

(新课标)名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练3 新人教A版

名校专题----圆锥曲线培优训练31、点P 在以21,F F 为焦点的双曲线1:2222=-by a x E )0,0(>>b a 上，已知21PF PF ⊥，||2||21PF PF =，O 为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率e ；（Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线渐近线相交于21,P P 两点，且42721-=⋅OP OP ，221=+PP ，求双曲线E 的方程；（Ⅲ）若过点)0,(m Q （m 为非零常数）的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且λ=（λ为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使)(21F F λ-⊥？若存在，求出所有这种定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（I ）a PF a PF a PF PF PF PF 2||,4||2|||||,|2||212121==∴=-= 5)2()2()4(22221=∴=+∴⊥e c a a PF PF（II ）14:2222=-a y a x E 渐近线为x y 2±=设),(),2,(),2,(222111y x P x x P x x P - 494273212121=∴-=-=⋅x x x x OP OP ，221=+PP 3)2(2,322121x x y x x x -=+=∴代入E 化简2892221=∴=a a x x 18222=-∴y x （III ）假设在x 轴上存在定点)0,(t G 使)(21F F λ-⊥，设),(),,(,:4433y x N y x M m ky x l +=联立l 与E 的方程得0848)14(222=-++-m kmy y k 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=+)2(1484)1(1482243243k m y y k km y y )0,102(),,(214343=-+--=-F F y y t x t x λλλλ)(21GN GM F F λ-⊥)3(0)1()1()(04343=-+-+-⇔=+--⇔t m y y k t x t x λλλλλ由λ=043=+∴y y λ)4(43y y λ-=∴∴（3）即为)5(0)1()1(23=-+-+t m ky λλ，将（4）代入（1）（2）有kmm y 22)1(23--=λ代入（5）得m t 2=故在x 轴上存在定点)0,2(mG 使)(21F F λ-⊥。

高考数学压轴培优教程—圆锥曲线 pdf

高考数学压轴培优教程—圆锥曲线 pdf引言概述：高考数学是每个学生都需要面对的一项重要考试，其中圆锥曲线是高考数学中的重点内容之一。

为了帮助学生更好地掌握圆锥曲线知识，提高数学成绩，特推出了一份名为《高考数学压轴培优教程—圆锥曲线》的PDF教材。

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正文内容：1. 圆锥曲线基础知识1.1 椭圆的定义和性质1.2 双曲线的定义和性质1.3 抛物线的定义和性质1.4 圆锥曲线的方程及其一般性质1.5 圆锥曲线的参数方程及其应用2. 圆锥曲线的图形性质2.1 椭圆的图形性质2.1.1 长轴、短轴和焦点的关系2.1.2 椭圆的离心率和焦点的位置2.1.3 椭圆的切线和法线方程2.2 双曲线的图形性质2.2.1 双曲线的渐近线和渐近距离2.2.2 双曲线的离心率和焦点的位置2.2.3 双曲线的渐近线方程2.3 抛物线的图形性质2.3.1 抛物线的焦点和准线2.3.2 抛物线的切线和法线方程2.3.3 抛物线的顶点和对称轴3. 圆锥曲线的应用3.1 椭圆的应用3.1.1 椭圆的几何性质在实际问题中的应用3.1.2 椭圆的参数方程在物理问题中的应用3.2 双曲线的应用3.2.1 双曲线的几何性质在实际问题中的应用3.2.2 双曲线的参数方程在物理问题中的应用3.3 抛物线的应用3.3.1 抛物线的几何性质在实际问题中的应用3.3.2 抛物线的参数方程在物理问题中的应用4. 圆锥曲线的解析几何方法4.1 椭圆的解析几何方法4.1.1 椭圆的坐标平移和坐标旋转4.1.2 椭圆的标准方程和一般方程的相互转化4.2 双曲线的解析几何方法4.2.1 双曲线的坐标平移和坐标旋转4.2.2 双曲线的标准方程和一般方程的相互转化4.3 抛物线的解析几何方法4.3.1 抛物线的坐标平移和坐标旋转4.3.2 抛物线的标准方程和一般方程的相互转化5. 圆锥曲线的题型讲解与解题技巧5.1 椭圆的题型讲解与解题技巧5.1.1 椭圆的参数方程题型讲解与解题技巧5.1.2 椭圆的标准方程题型讲解与解题技巧5.2 双曲线的题型讲解与解题技巧5.2.1 双曲线的参数方程题型讲解与解题技巧5.2.2 双曲线的标准方程题型讲解与解题技巧5.3 抛物线的题型讲解与解题技巧5.3.1 抛物线的参数方程题型讲解与解题技巧5.3.2 抛物线的标准方程题型讲解与解题技巧6. 圆锥曲线的习题与答案解析6.1 椭圆的习题与答案解析6.2 双曲线的习题与答案解析6.3 抛物线的习题与答案解析总结：通过《高考数学压轴培优教程—圆锥曲线》的学习，学生们可以全面掌握圆锥曲线的基础知识、图形性质、应用和解析几何方法。

圆锥曲线培优讲义

一原点三角形面积公式1. 已知椭圆的离心率为，且过点．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积．2. 己知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D ．记△AOC 的面积为S ．（1）设A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)．用A ，C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S =12∣x 1y 2−x 2y 1∣；（2）设l 1:y =kx ，C (√33,√33)，S =13，求k 的值．（3）设l 1与l 2的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论l 1与l 2如何变动，面积S保持不变．3. 已知椭圆()0,01:2222>>=+b by x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -,椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ∆中，满足.127,121221ππ=∠=∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程；（2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ⋅=⋅，求22OC OB +的值.4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率之积为14-(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设点1122(,),(,)A x y B x y 是轨迹C 上相异的两点．(I)过点A ，B 分别作抛物线2y =的切线1l 、2l ，1l 与2l 两条切线相交于点()N t ，证明：0NA NB =u u u r u u u rg ；(Ⅱ)若直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明：AOB S ∆为定值，并求出这个定值·5. 已知A 、B 分别是x 轴和y 轴上的两个动点，满足∣AB∣=2，点P 在线段AB 上，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =tPB ⃗⃗⃗⃗⃗ （t 是不为0的常数），设点P 的轨迹方程为C ．（1）求点P 的轨迹方程C ；（2）若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，试求实数t 的取值范围；（3）若t =2，点M ，N 是曲线C 上关于原点对称的两个动点，点Q 的坐标为(32,3)，求△QMN 的面积S 的最大值．6. 已知椭圆C 1的焦点在x 轴上，中心在坐标原点；抛物线C 2的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点．在C 1，C 2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：x 3−24√2y 9208√22（1）求C 1，C 2的标准方程；（2）已知定点C (0,18)，P 为抛物线C 2上一动点，过点P 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值．7. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．（1）若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 8. 设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：y =x 2−1与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点．（1）求椭圆C 1的方程；（2）设M (0,−45)，N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求△MPQ 面积的最大值．二定点定值问题9. 动点P 在圆E ：22(1)16x y ++=上运动，定点(1,0)F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ．（Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；x yNMAO （Ⅱ）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．10. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是双曲线D ：22123y x -=的中心，抛物线C 的焦点与双曲线D 的焦点相同．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若点(,1)P t (0)t >为抛物线C 上的定点，A ，B 为抛物线C 上两个动点．且PA ⊥PB ，问直线AB 是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√63，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A,B 两点．当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为2√63．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点E 的坐标为(√32,0)，点A 在第一象限且横坐标为√3，连接点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求△PAB 的面积；（3）是否存在点E ，使得1EA 2+1EB 2为定值若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．12. 已知椭圆的左焦点为F ，不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．（1）如果直线FA ，FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（2）如果FA ⊥FB ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．13. 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l 的斜率为1k .（Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.14. 如图，椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率是√22，过点P (0,1)的动直线l与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2√2．（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得∣QA∣∣QB∣=∣PA∣∣PB∣恒成立若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15. 已知动圆过定点(p2,0)，且与直线x =−p2相切，其中p >0．（1）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（2）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．16. 已知抛物线E:y 2=2px (p >0)的准线与x 轴交于点K ，过点K 做圆C:(x −5)2+y 2=9的两条切线，切点为M ，N ，|MN|=3√3．（1）求抛物线E 的方程；（2）设A ，B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ OB⃗⃗⃗⃗⃗ =94（其中O 为坐标原点）．①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点Q 的坐标；②过点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G ，D 两点，求四边形AGBD 面积的最小值．17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M(x0，y0)是椭圆C ：2212x y +=上一点，从原点O 向圆M:22002()()3x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，直线OP 、OQ 的斜率分别记为k1，k2 (1)求证：k1k2为定值;(2)求四边形OPMQ 面积的最大值.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q . （1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值；（3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.三中点弦问题19. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为22，P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，2A 为椭圆C 的右顶点，点M 为线段2PA 的中点，且直线2PA 与直线OM 的斜率之积为12-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，N 点的横坐标的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，求线段AB 的长的取值范围.20. 在平面直角坐标系xoy 中，过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点的直线20x y +-=交椭圆C 于,M N 两点，P 为,M N 的中点，且直线OP 的斜率为13．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设另一直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，原点O 到直线l 的距离为3，求AOB ∆面积的最大值．21. 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>左右顶点为A 、B ，左右焦点为1212,,4,23F F AB F F ==，直线(0)y kx m k =+>交椭圆E 于点C 、D 两点，与线段12F F 椭圆短轴分别交于M 、N 两点（M 、N 不重合），且CM DN =. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线,AD BC 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的取值范围.22. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a bya x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||OM AE AD +的最小值.23. 已知椭圆M:x 2a +y 2b =1(a >b >0)过点A (0,−1)，且离心率e =√32．（1）求椭圆M 的方程；（2）若椭圆M 上存在点B,C 关于直线y =kx −1对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k ∈S ，BC 的中点恒在一条定直线上． 24. 如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1,12)到抛物线C:y 2=2px (p >0)的准线的距离为54．点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM平分．（1）求p ，t 的值；（2）求△ABP 面积的最大值．25. 已知抛物线C:y 2=4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点P 1，P 2和点P 3，P 4，线段P 1P 2，P 3P 4的中点分别记为M 1，M 2．（1）求△FM 1M 2面积的最小值；（2）求线段M 1M 2的中点P 满足的方程．26. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>3抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；PD MAOy E（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．四定比分点27. 已知点)0,2(-E ，点P 是椭圆F ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线FP 交于点M ，点M 的轨迹记为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点,交y 轴于点N ，已知m =，n =，求n m +的值.28. 在直角坐标系xOy 上取两个定点12(6,0) ,(6,0),A A -再取两个动点1(0 , )N m ，2(0 , )N n ，且2mn =．（Ⅰ）求直线11A N 与22A N 交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过(3 , 0)R 的直线与轨迹C 交于P ,Q ，过P 作PN x ⊥轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若(1)RP RQ λλ=>u u u r u u u r ，求证：NF FQ λ=u u u r u u u r. 29. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=()0a b ＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=u u u r u u u r．（1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF △的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率12,2e ∈⎡⎢⎣，求实数λ的取值范围．五结论30. 已知椭圆20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点(2 2，且离心率等于2，点 A B ，分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2） M N ，是椭圆C 上非顶点的两点，满足 OM AP ON BP ∥，∥，求证：三角形MON 的面积是定值.31. 过点(1,√32)，离心率为√32．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为−14的直线分别交椭圆C 于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线MN 是否过定点D 若过定点D ，求出点D 的坐标，若不过点D ，请说明理由． 32. 已知椭圆的两个焦点为()15,0F -，)25,0F ，M 是椭圆上一点，若120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r，128MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ．（1）求椭圆的方程；（2）点P 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12PA PA ，与直线352x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.33. 已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q,且5.4QF PQ =（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A,D 两点，与圆()2211x y +-=相交于B,C 两点（A ，B 两点相邻），过A,D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求ABM ∆与CDM ∆的面积之积的最小值.34. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其右准线l 与x 轴交于点A ，椭圆的上顶点为B ，过它的右焦点F 且垂直于长轴的直线交椭圆于点P ，直线AB 恰经过线段FP 的中点D ．（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的左、右顶点分别是A 1、A 2，且BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设Q 是椭圆右准线l 上异于A 的任意一点，直线QA 1，QA 2与椭圆的另一个交点分别为M 、N ，求证：直线MN 与x 轴交于定点． 35. 已知点(1,0)A -，(1,0)B ，直线AM 与直线BM 相交于点M ，直线AM 与直线BM 的斜率分别记为AM k 与BM k ，且2AM BM k k ⋅=-．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过定点(0,1)F 作直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，OPQ ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出OPQ ∆面积的最大值；若不存在，请说明理由．36. 已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C 的方程；(2) 过点F （0,2)做两条可相垂直的直线21,l l ，设1l 与曲线C 交于A,B 两点,2l 与曲线C 交于C,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，M,N 两点。

圆锥曲线培优讲义全

一原点三角形面积公式 1. 已知椭圆的离心率为，且过点．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积．2. 己知椭圆 x 2+2y 2=1，过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别与椭圆交于点 A ，B 和C ，D ．记 △AOC 的面积为 S ．（1）设 A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)．用 A ，C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距离，并证明 S =12∣x 1y 2−x 2y 1∣；（2）设 l 1:y =kx ，C (√33,√33)，S =13，求 k 的值．（3）设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 m ，求 m 的值，使得无论 l 1 与 l 2 如何变动，面积 S 保持不变．3. 已知椭圆()0,01:2222>>=+b by x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -,椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ∆中，满足.127,121221ππ=∠=∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程；（2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ⋅=⋅，求22OC OB +的值.4. 在平面直角坐标系，动点与两定点，连线的斜率之积为 (1)求动点的轨迹的方程；(2)设点是轨迹上相异的两点．(I)过点A ，B 分别作抛物线的切线、，与两条切线相交于点，证明：；xoy (,)M x y (2,0),(2,0)-14-M C 1122(,),(,)A x y B x yC 2y =1l 2l 1l 2l ()N t 0NA NB =(Ⅱ)若直线OA 与直线OB 的斜率之积为，证明：为定值，并求出这个定值·5. 已知 A 、 B 分别是 x 轴和 y 轴上的两个动点，满足 ∣AB∣=2，点 P 在线段 AB 上，且 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =tPB ⃗⃗⃗⃗⃗ （t 是不为 0 的常数），设点 P 的轨迹方程为 C ．（1）求点 P 的轨迹方程 C ；（2）若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，试数 t 的取值围；（3）若 t =2，点 M ，N 是曲线 C 上关于原点对称的两个动点，点 Q 的坐标为 (32,3)，求 △QMN 的面积 S 的最大值．6. 已知椭圆 C 1 的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点；抛物线 C 2 的焦点在 y轴上，顶点在坐标原点．在 C 1，C 2 上各取两个点，将其坐标记录于表格中： x3−24√2y908√2（1）求 C 1，C 2 的标准方程；（2）已知定点 C (0,18)，P 为抛物线 C 2 上一动点，过点 P 作抛物线 C 2的切线交椭圆 C 1 于 A ，B 两点，求 △ABC 面积的最大值．7. 已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点．（1）若 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线 AB 的斜率；（2）设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C ，求四边形 OACB 面积的最小值．8. 设椭圆 C 1：x 2a +y 2b =1 (a >b >0) 的左、右焦点分别是 F 1 、 F 2，下顶点为 A ，线段 OA 的中点为 B （O 为坐标原点），如图．若抛物线 C 2：y =x 2−1 与 y 轴的交点为 B ，且经过 F 1，F 2 点．（1）求椭圆 C 1 的方程；14-AOB S∆（2）设 M (0,−45)，N 为抛物线 C 2 上的一动点，过点 N 作抛物线 C 2 的切线交椭圆 C 1 于 P 、 Q 两点，求 △MPQ 面积的最大值．二定点定值问题9. 动点P 在圆E ：22(1)16x y ++=上运动，定点(1,0)F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ．（Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．10. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是双曲线D 抛物线C 的焦点与双曲线D 的焦点相同．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若点(,1)P t (0)t >为抛物线C 上的定点，A ，B 为抛物线C 上两个动点．且PA⊥PB ，问直线AB 是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为√63，直线 l 与 x 轴交于点 E ，与椭圆 C 交于 A,B 两点．当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦 AB 的长为2√63．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 E 的坐标为 (√32,0)，点 A 在第一象限且横坐标为 √3，连接点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P ，求 △PAB 的面积；（3）是否存在点 E ，使得 1EA 2+1EB 2 为定值?若存在，请指出点 E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．12. 已知椭圆的左焦点为F ，不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．（1）如果直线FA ，FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（2）如果FA ⊥FB ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值围．13. 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线l 的斜率为k . （Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点恒过定点，请说明理由.14. 如图，椭圆 E:x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率是√22，过点 P (0,1) 的动直线 l 与椭圆相交于 A ，B 两点．当直线 l 平行于x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2√2．（1）求椭圆 E 的方程；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得∣QA∣∣QB∣=∣PA∣∣PB∣ 恒成立? 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15. 已知动圆过定点 (p2,0)，且与直线 x =−p2 相切，其中 p >0．（1）求动圆圆心 C 的轨迹的方程；（2）设 A 、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点，直线 OA 和 OB的倾斜角分别为 α 和 β，当 α，β 变化且 α+β 为定值 θ(0<θ<π) 时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．16. 已知抛物线 E:y 2=2px (p >0) 的准线与 x 轴交于点 K ，过点 K 做圆C:(x −5)2+y 2=9 的两条切线，切点为 M ，N ，|MN|=3√3．（1）求抛物线 E 的方程；（2）设 A ，B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =94 （其中 O 为坐标原点）． ①求证：直线 AB 必过定点，并求出该定点 Q 的坐标；②过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G ，D 两点，求四边形 AGBD 面积的最小值．17.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M(x0，y0)是椭圆C ：2212x y +=上一点，从原点O 向圆M:22002()()3x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，直线OP 、OQ 的斜率分别记为k1，k2 (1)求证：k1k2为定值;(2)求四边形OPMQ 面积的最大值.19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值；（3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.三中点弦问题20. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，2A 为椭圆C 的右顶点，点M 为线段2PA 的中点，且直线2PA 与直线OM 的斜率之积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，N 点的横坐标的取值围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，求线段AB 的长的取值围.21. 在平面直角坐标系xoy 中，过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点的直线20x y +-=交椭圆C 于,M N 两点，P 为,M N 的中点，且直线OP 的斜率为13．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设另一直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，原点O 到直线l ，求AOB ∆面积的最大值．22. 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>左右顶点为A 、B ，左右焦点为1212,,4,23F F AB F F ==，直线(0)y kx m k =+>交椭圆E 于点C 、D 两点，与线段12F F 椭圆短轴分别交于M 、N 两点（M 、N 不重合），且CM DN =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线,AD BC 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的取值围.23. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a bya x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||OM AE AD +的最小值.24. 已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过点 A (0,−1)，且离心率 e =√32．（1）求椭圆 M 的方程；（2）若椭圆 M 上存在点 B,C 关于直线 y =kx −1 对称，求 k 的所有取值构成的集合 S ，并证明对于 ∀k ∈S ，BC 的中点恒在一条定直线上．P DMA Oxy E25. 如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P (1,12) 到抛物线 C:y 2=2px (p >0) 的准线的距离为 54．点 M (t,1) 是 C 上的定点，A ，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分．（1）求 p ，t 的值；（2）求 △ABP 面积的最大值．26. 已知抛物线 C:y 2=4x ，过其焦点 F 作两条相互垂直且不平行于 x 轴的直线，分别交抛物线 C 于点 P 1，P 2 和点 P 3，P 4，线段 P 1P 2，P 3P 4 的中点分别记为 M 1，M 2．（1）求 △FM 1M 2 面积的最小值；（2）求线段 M 1M 2 的中点 P 满足的方程．27. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>3，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．四定比分点28. 已知点)0,2(-E ，点P 是椭圆F ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线FP 交于点M ，点M 的轨迹记为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点,交y 轴于点N ，已知m =，BF n NB =，求n m +的值.29. 在直角坐标系xOy 上取两个定点12(A A 再取两个动点1(0 , )N m ，2(0 , )N n ，且2mn =．（Ⅰ）求直线11A N 与22A N 交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过(3 , 0)R 的直线与轨迹C 交于P ,Q ，过P 作PN x ⊥轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若(1)RP RQ λλ=>，求证：NF FQ λ=.30. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=()0a b ＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=．（1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF △的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率1,2e ∈⎡⎢⎣，数λ的取值围．五结论31. 已知椭圆 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点(2 2，2，点 A B ，分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2） M N ，是椭圆C 上非顶点的两点，满足 OM AP ON BP ∥，∥，求证：三角形MON 的面积是定值.32. 过点 (1,√32)，离心率为 √32．过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为 −14 的直线分别交椭圆 C 于 M ，N 两点．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）直线 MN 是否过定点 D ?若过定点 D ，求出点 D 的坐标，若不过点 D ，请说明理由．33. 已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，若，．（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上任意一点，分别是椭圆的左、右顶点，直线与直线分别交于两点，试证：以为直径的圆交轴于定点，并求该定点的坐标.34. 已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q,且5.4QF PQ =（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A,D 两点，与圆()2211x y +-=相交于B,C 两点（A ，B 两点相邻），过A,D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求ABM ∆与CDM ∆的面积之积的最小值.()15,0F -)25,0F M 120MF MF ⋅=128MF MF ⋅=P 12A A 、12PA PA ，352x =,E F EF x35. 已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其右准线 l 与 x 轴交于点 A ，椭圆的上顶点为 B ，过它的右焦点 F 且垂直于长轴的直线交椭圆于点 P ，直线 AB 恰经过线段 FP 的中点 D ．（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的左、右顶点分别是 A 1 、 A 2，且 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设 Q 是椭圆右准线 l 上异于 A 的任意一点，直线 QA 1，QA 2 与椭圆的另一个交点分别为 M 、 N ，求证：直线 MN 与 x 轴交于定点．36. 已知点(1,0)A -，(1,0)B ，直线AM 与直线BM 相交于点M ，直线AM 与直线BM的斜率分别记为AM k 与BM k ，且2AM BM k k ⋅=-．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过定点(0,1)F 作直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，OPQ ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出OPQ ∆面积的最大值；若不存在，请说明理由．37. 已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 过点F （0,2)做两条可相垂直的直线21,l l ，设1l 与曲线C 交于A,B 两点, 2l 与曲线 C 交于C,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，M,N 两点。

高二数学培优秘籍9--圆锥曲线

高二数学培优秘籍8-----圆锥曲线题型一数形结合：确定直线和圆锥曲线的位置关系
简单题型未总结。

题型二弦的垂直平分线问题
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。

题型三动弦过定点的问题
题型四过已知曲线上定点的弦的问题
题型五共线向量问题
类型一求待定字母的值
类型二
求动点的轨迹
类型三
证明定值问题
类型四探索点、线的存在性
类型五求相关量的取值范围
存在、向量。

圆锥曲线最值问题(培优)

第一讲：圆锥曲线最值问题 (理科)典型例题分析：例1：已知P 是椭圆2214x y +=在第一象限内的点，A （2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB 的例2：已知△OFQ 的面积为OF FQ m ⋅=（1m ≤≤OFQ ∠正切值的取值范围；（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），2||,(1)4OF c m c ==- 当 ||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程。

例3：已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4P A P B +的最小值；（2）求||||PA PB +的最小值和最大值例4：如图所示，设点1F ，2F 是22132x y +=的两个焦点，过2F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，求△1F AB 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。

例5：A 、B 是经过椭圆2222 1.x y a b+=(0)a b >> 右焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的弦//MN AB ，求证：2||MN ：||AB 是定值例题答案：例题2解析：（1）设OFQ θ∠=||||cos()1||||sin 2OF FQ mOF FQ πθθ⎧⋅-=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩tan θ⇒=6m ≤≤4tan 1θ-≤≤-（2）设所求的双曲线方程为221111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b-= >> =-则∴11||||2OFQ S OF y ∆=⋅=1y = 又∵OF FQ m ⋅=，∴2111(,0)(,)()1OF FQ c x c y x c c c ⋅=⋅-=-⋅=-)21,||4x OQx ∴= ∴==当且仅当4c=时，||OQ 最小，此时Q 的坐标是或22222266141216a ab b a b ⎧⎧-==⎪⎪∴ ⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩，所求方程为22 1.412x y -= （借助平面向量，将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结合起来，综合考察学生应用相关知识点解题的能力例题3分析：（1）A 为椭圆的右焦点。

高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练

1、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0），P （1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF （2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆证明：（1）在21F PF ∆βαβαsin sin ||||)sin(221++=+PF PF c ∴βαβαsin sin )sin(2+=+c∴2cos 2cos2cos 2sin 22cos 2sin 2sin sin )sin(22βαβαβαβαβαβαβαβα-+=-++⋅+=++==a c e （2）在21F PF ∆中由余弦定理可知--+=⋅⋅-+=||||2|)||(|2cos ||||2||||)2(212212122212PF PF PF PF PF PF PF PF c θ)2cos 1(||||2)2(2cos ||||221221θθ+⋅⋅-=⋅⋅PF PF a PF PF∴θθ2cos 122cos 14421||||22221+=+-⋅=⋅b c a PF PF∴θθθθtan 2cos 12sin 2sin ||||21222121⋅=+⋅=⋅⋅=∆b b PF PF S F PF 。

1. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足1||2.FQ a =u u u r 点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足220,||0PT TF TF ⋅=≠u u u r u u u r u u u r 。

（1）设x 为点P 的横坐标，证明1||c F P a x a=+u u u r；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使 △F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由．解：（1）设点P 的坐标为（x,y ）,由P （x,y ）在椭圆上，得22222212||()()b F P x c y x c b x a=++++-u u u r 2().c a x a =+又由,x a ≥-知0c a x c a a +≥-+>，所以1||.cF P a x a=+ （2）当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上．当||0PT ≠u u u r且2||0TF ≠u u u r 时，由2||||0PT TF ⋅=u u u r u u u r ，得2PT TF ⊥u u u r u u u r ．又2||||PQ PF =u u u r u u u u r，所以T 为线段F 2Q 的中点．在△QF 1F 2中，11||||2OT FQ a ==u u u r u u u r，所以有222.x y a += 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是222.x y a +=（3） C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是2220020,12||.2x y a c y b ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩③④由③得a y ≤||0，由④得.||20cb y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M ．当cb a 2≥时，100200(,),(,)MFc x y MF c x y =---=--u u u u r u u u u r，由2222221200MF MF x c y a c b ⋅=-+=-=u u u u r u u u u r ， 121212||||cos MF MF MF MF F MF ⋅=⋅∠u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，212121||||sin 2S MF MF F MF b =⋅∠=u u u ur u u u u r ，得.2tan 21=∠MF F 2.的球投影在水平地面上，形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →的取值范围．解答：（1）设椭圆方程是x 2a 2 + y 2b 2 = 1 ，由题知b2aa =2所求椭圆的标准方程是x 24 + y 23= 1 ．（2）设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），A 、B 关于坐标原点O 对称， CA → =（x 1＋4,y 1），CB →=（x 2＋4,y 2）， CA →·CB →=（x 1＋4,y 1）·（x 2＋4,y 2）=x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2= x 1x 2＋16＋y 1y 2 AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程是y=kx ，代入椭圆方程x 24+ y 23= 1 得21212221212,3434k x x y y k k --==++ ，CA → ·CB → =231334k -+ 由于k 可以取任意实数，故CA → ·CB →∈[12，13），AB 与x 轴垂直时，|CA → |=|CB →ACB 21319CA →·CB →=13，∴CA →·CB →∈[12，13]．3. 已知椭圆C ：22ax ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。

高中数学培优点08圆锥曲线中非对称韦达定理的应用(2大考点+强化训练)(习题版)

培优点08圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（2大考点+强化训练）在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x 1－x 2|，x 21＋x 22，1x 1＋1x 2之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x 1，x 2的不同系数的代数式的运算，比如求x 1x 2，3x 1x 2＋2x 1－x 22x 1x 2－x 1＋x 2或λx 1＋μx 2之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”．知识导图考点分类讲解考点一分式型规律方法非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义等方法，将其转化为对称结构计算．【例1】(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为 5.(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点(－4,0)的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P .证明：点P 在定直线上．【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为12,F F ，点()1,2P -在C 的渐近线上，且满足12PF PF ⊥.(1)求C 的方程；(2)点Q 为C 的左顶点，过P 的直线l 交C 于,A B 两点，直线AQ 与y 轴交于点M ，直线BQ 与y 轴交于点N ，证明：线段MN 的中点为定点.【变式2】（23-24高三上·江苏·开学考试）已知双曲线22:1C x y -=．(1)求C 的右支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数．(2)记C 的左、右顶点分别为12A A ，，过点()2,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上．【变式3】（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-，离心(1)求C的方程；(2)记C的右顶点为A，过点A作直线,MA NA与C的左支交于,M N两点，且MA NA⊥，AD MN⊥，D为垂足．证明：存在定点Q，使得||DQ为定值．考点二比值型规律方法比值型问题适用于x1＝λx2型，可以采用倒数相加，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此时采用待定系数法，例如x1＝－3x2＋4，可以转化x1－1＝－3(x2－1)，得到x1－1x2－1＝－3，继续采用倒数相加解决．【例2】(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝33x，且点P(3，2)在C上．(1)求C的方程；(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且AF→＝7BF→，求l的斜率．【变式1】（2024·河南·模拟预测）已知12,A A 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右顶点，122A A =，动直线l 与双曲线C 交于,P Q 两点．当//PQ x 轴，且4PQ =时，四边形12PQA A 的面积为(1)求双曲线C 的标准方程．(2)设,P Q 均在双曲线C 的右支上，直线1A P 与2A Q 分别交y 轴于,M N 两点，若2ON OM =，判断直线l 是否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=的左右顶点为A ，B ，点P 为椭圆C 上不同于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 的斜率之积为12-．(1)求椭圆的离心率；(2)设()1,0F -为椭圆C 的左焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，且3MF FN =，求直线l的斜率．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点()2,2P 在C 上，点P 与C 的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为12-．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点()0,1A 的直线1l 与双曲线C 交于E ，F 两点(异于点P )，过点F 作平行于x 轴的直线2l ，直线PE 与2l 交于点D ，且2DF BF =求直线AB 的斜率．强化训练一、单选题1．（2023·江西·一模）已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为,F A ，且焦距等于4，AF 的延长线交椭圆于点B ，5OF OB⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A B C D ．352．（2023·内蒙古包头·一模）已知点(2,1)P 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，斜率为k 的直线l 过点(0,2)A -且不过点P ．若直线l 交C 于M ，N 两点，且MP NP ⊥，则k =（）A ．16-B ．16C ．32-D ．323．（2023·河南·三模）过抛物线24y x =的焦点F 作斜率为k 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点M 的坐标为()1,1-，若0MA MB ⋅=，则k =（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（23-24高二下·吉林·开学考试）如图，已知抛物线21:4C y x =，圆222:(1)1C x y -+=，过圆心2C 的直线l与抛物线和圆依次交于P M N Q 、、、，则4PN QM +的最小值为（）A ．14B ．23C ．18D ．155．（2024·江苏南通·二模）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，C 的准线与x 轴交于点A ，过A 的直线与C 在第一象限的交点为M ，N ，且||3||FM FN =，则直线MN 的斜率为（）A 32B ．12C 33D ．236．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆22:14x M y +=的上、下顶点为,A B ，过点()0,2P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点,C D （C 在线段PD 之间），则OC OD ⋅的取值范围为（）A ．()1,16-B ．[]1,16-C ．131,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．131,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭7．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆()2222:10y x M a ba b =>>+的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆M 的上焦点F 作斜率为()0k k >的直线l ，直线l 交椭圆M 于,A B 两点，若4AF FB =，则k =（）A 23913B ．396C 235D ．213138．（2023·内蒙古包头·一模）已知点()2,1P 在双曲线C ：222211x ya a -=-（1a >）上，斜率为k 的直线l 过点()0,2A -且不过点P ．若直线l 交C 于M ，N 两点，且以线段MN 为直径的圆过点P ，则k =（）A ．16-B ．16C ．32-D ．32二、多选题1．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知椭圆2222:1(1,0)x y E a b a b+=>>，直线1y x =+与E 相交于,A B 两点，(1,0),0P AP BP ⋅=，若椭圆E 恒过定点00(,)M x y ，则下列说法正确的是（）A ．2200327x y +=B ．||4OM =C ．|AB |的长可能为3D ．|AB |的长可能为42．（23-24高三上·江苏·阶段练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A ．存在直线l ，使得AP ORB ．l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C ．若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值D ．若直线l 的方程为)y x a =-，RS 2SB = ，则双曲线C 3．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知椭圆22:143x y E +=左焦点F ，左顶点C ，经过F 的直线l 交椭圆于,A B 两点（点A 在第一象限），则下列说法正确的是（）A ．若2AF FB =，则l 的斜率2k =B ．4AF BF +的最小值为274C ．以AF 为直径的圆与圆224x y +=相切D ．若直线,AC BC 的斜率为12,k k ，则1294k k ⋅=-三、填空题1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，直线:30l x y c -+=与C 交于A ，B 两点，若3AB AF =，则C 的离心率是.2．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线22:1C x y -=，过点()0,2B 的动直线与C 交于两点P ，Q ，若曲线C 上存在某定点A 使得Q PA A k k +为定值λ，则定点A 的坐标为．3．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线C 的焦点在y 轴上，对称中心O 为坐标原点，焦距为过点(A ，则C 的标准方程为；若斜率为2的直线l 与C 交于P ，Q 两点．且2119⋅=- OP OQ ，则PQ ＝．四、解答题1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，直线l ：()0x t t =<与C 的渐近线相交于点A ，B ，且ABF △2-.(1)求C 的标准方程；(2)过点F 作直线l '与C 的右支相交于M ，N 两点，若x 轴上的点G 使得等式MF MG NFNG=恒成立，求证：点G 的横坐标为12.2．（2024·河北·一模）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过点81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，且其离心率为13．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()1,0-的斜率不为零的直线与椭圆E 交于C ，D 两点，A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，直线AC ，BD 交于一点P ，M 为线段PB 上一点，满足OM PA ∥，问⋅OA OM 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O 为坐标原点）．3．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为过点(1,0)P 斜率存在且不为0的直线l 与椭圆有两个不同的交点A B ，．(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆左右顶点为M N ，，设AB 中点为Q ，直线OQ 交直线4x =于点()BN AM PR R k k k -，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．4．（23-24高三上·福建福州·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别是A ，B ，点E （异于A ，B 两点）在椭圆C 上，直线EA 与EB 的斜率之积为12-，椭圆C 的短轴长为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P ，N ，若11||||PQ QN +为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．5．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，C上的点到1F 的最小距离为1，P 是C 上一点，且12PF F △的周长为6．(1)求C 的方程；(2)过点2F 且斜率为k 的直线l 与C 交于M ，N 两点，过原点且与l 平行的直线与C 交于A ，B 两点，求证：2ABMN为定值．。

圆锥曲线(2)培优

圆锥曲线（二）姓名考点四：求圆锥曲线的方程圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是曲线的类型未知，根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”.①直接法：②代定系数法：③定义法：④相关点法：⑤已知渐近线方程为y k x =，求双曲线方程1、两点A B （-2，0），（1，0），如果动点P 满足||2||PA PB =，求点P 的轨迹所包围的图形的面积。

2、设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;3、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，则椭圆C 的方程：4、设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为5、已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=∙PF PF ，则该双曲线的方程是6、已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .7、已知双曲线的一条渐近线为2y x =，且过，则双曲线方程为8、已知圆922=+y x ，从圆上任意一点P 向x 轴作垂线段/PP ，点M 在/PP 上，并且/2MP PM =，求点M 的轨迹。

9、一动圆与两圆：012812222=+-+=+x y x y x 和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程是什么？（2000全国）考点五、直线与二次曲线的关系直线与圆锥曲线相交的弦长计算(1)要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦长（弦长公式）(2)对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；1、已知椭圆x y 2291+=，过左焦点F 1倾斜角为π6的直线交椭圆于A B 、两点。

高考数学高分专题篇圆锥曲线(培优)

圆锥曲线【知识要点】1．你知道圆锥曲线有两种定义吗？2．我们应该掌握圆锥曲线的哪几方面的性质？请把它们放在一起作比较？3．你能把圆锥曲线问题归结成两种问题（给性质——求方程；给方程——求性质）并分别说出解题的基本思路吗？【典型例题】例1．设P 是曲线24y x =上的一个动点。

（1）求点P 到A （1，-1）的距离与点P 到1x =-的距离之和的最小值；（2）若点B 为（2，2），求PB PF +的最小值。

例2．已知双曲线的离心率为2，12,F F 为左右焦点，P 为双曲线上的点，1260F PF ∠=︒，12PF F S ∆=学习笔记：例3．已知某椭圆的焦点是()()124,0,4,0F F -，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1210FB F B +=，椭圆上不同的两点()()1122,,,A x y C x y 满足条件：222,,F A F B F C 成等差数列。

（1）求椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为,y kx m m =+求的范围。

例4．设点P 到M （1，0），N （-1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。

例5．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且()0AF FB λλ=>，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

（1）证明：FM AB ⋅为定值；（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并写出S 的最小值。

例6．已知椭圆C 的中点在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

圆锥曲线综合精准培优专练

培优点十八圆锥曲线综合1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且PQ = （1）求C 的方程；（2）若直线l 是圆228x y +=上的点()2,2处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析，()2,1．【解析】（1）由已知，设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，因为PQ =(P c -，代入椭圆方程得22221c a b+=，又因为c e a ==，所以21212b+=，b c =，所以24b =，2228a b ==，所以C 的方程为22184x y +=．（2）依题设，得直线l 的方程为()22y x -=--，即40x y +-=，设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由切线MA 的斜率存在，设其方程为()11y y k x x -=-，联立()1122184y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩得，()()()2221111214280k x k y kx x y kx ++-+--=，由相切得()()()222211111682140Δk y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦，化简得()221184y kx k -=+，即()22211118240x k x y k y --+-=，因为方程只有一解，所以1111122111822x y x y x k x y y ===---，所以切线MA 的方程为()11112x y y x x y -=--，即1128x x y y +=，同理，切线MB 的方程为2228x x y y +=，又因为两切线都经过点()00,M x y ，所以101020202828x x y y x x y y +=+=⎧⎨⎩，所以直线AB 的方程为0028x x y y +=，又004x y +=，所以直线AB 的方程可化为()00248x x x y +-=，即()02880x x y y -+-=，令20880x y y -=-=⎧⎨⎩，得21x y ==⎧⎨⎩，所以直线AB 恒过定点()2,1．2．面积问题例2：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y x c=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=，则tan b cα=，又222a b c =+，得sin b a α=，cos c a α=，()12122sin9012||sin sin 90F F c a ce b c a EF EF b c aa aαα︒∴======++︒-++，解得222a bc c b c =+⇒==，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=．（2）设直线2l 方程：+y x m =-，()11,C x y 、()22,D x y ，由22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得A ⎛ ⎝，B，得AB =，由直线2l 与线段AB 相交于点P，得m ⎛∈ ⎝，12CD x -==而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，12ACBD S AB CD ∴=⨯=由m ⎛∈ ⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦3232,93⎛⎤⎥⎝⎦， ∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．3．参数的值与范围例3：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，点()1,2A 在抛物线C 上，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点．（1）求抛物线C 的方程以及AF 的值；（2）记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ，若MF FN λ=u u u u r u u u r ，2240BM BN +=，求λ的值．【答案】（1）24y x =，2AF =；（2）2λ=±．【解析】（1）Q 抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，12p∴=，则24p =，抛物线方程为24y x =； Q 点()1,2A 在抛物线C 上，122pAF ∴=+=．（2）依题意，()1,0F ，设:1l x my =+，设()11,M x y 、()22,N x y ，联立方程241y xx my ==+⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my -=-．所以121244y y m y y +==-⎧⎨⎩ ①，且112211x my x my =+=+⎧⎨⎩，又MF FN λ=u u u u r u u u r，则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入①得()222414y y mλλ⎧-=--=⎪⎨⎪⎩，消去2y 得2142m λλ=+-，()1,0B -，则()111,BM x y =+u u u u r ，()221,BN x y =+u u u r，则()()222222221122||11BM BN BM BN x y x y +=+=+++++u u u u r u u u r u u u u r u u u r ()222212121222x x x x y y =++++++()2222121212(1)(1)222my my my my y y =+++++++++ ()()()2221212148m y y m y y =+++++()()22421168448164016m m m m m m =+++⋅+=++，当4216401640m m ++=，解得212m =，故23λ=±．4．弦长类问题例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右顶点是双曲线222:13x C y -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C 的渐近线的距离为3．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线l 与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ ⋅=-u u u u r u u u u r ，求12M M 的取值范围．【答案】（1）2213x y +=；（2）(0,10⎤⎦．【解析】（1）由题意可知：23a =，又椭圆1C 的上顶点为()0,b ，双曲线2C 的渐近线为：330y x x y =±⇔±=，由点到直线的距离公式有：331b b +=⇒=，∴椭圆方程2213x y +=．（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得：()222136330k xkmx m ----=，要与2C 相交于两点，则应有：()()222222221301303641333013k k k m k m m k -≠⎧-≠⎪⇒⎨----->+>⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩，设()111,Q x y ，()222,Q x y ，则有：122613kmx x k +=-，21223313m x x k --⋅=-．又()()()()22121212121212121OQ OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++u u u u u u u r u r．又：125OQ OQ ⋅=-u u u u ru u u u r ，所以有：()()()22222221133613513k m k m m k k⎡⎤+--++-=-⎣⎦-， 2219m k ⇒=-，②将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m +++-=，要有两交点，则()()2222223641333031Δk m k m k m =-+->⇒+>．③ 由①②③有2109k <≤．设()133,M x y 、()244,M x y ．有342613kmx x k -+=+，23423313m x x k -⋅=+，12M M=将2219mk =-代入有1212M M M M ==12M M ⇒=2t k =，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()()()()()2311'1313t t tf t f t t t +-=⇒=++，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．所以()'0f t >在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，故函数()f t 在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内单调递增，故()(1250,72f t M M ⎛⎤∈⇒∈ ⎥⎝⎦．5．存在性问题例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F，点1,2A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =u u u u r u u u r？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c =，∵A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，∴122a AF AF =+==∴a 2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，353,P x ⎛⎫⎪⎝⎭，()44,Q x y ，MN 的中点为()00,D x y ，由22222y x t x y =++=⎧⎨⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=， ∴1229ty y +=，且()2243680Δt t =-->，故12029y y t y +==且33t -<<，由PM NQ =u u u u r u u u r，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， ∴405329y t y +==，得42159t y -=，又33t -<<，可得4713y -<<-，∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．一、解答题1．已知动圆P 过点()22,0F 并且与圆()221:24F x y ++=相外切，动圆圆心P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()22,0F 的直线1l 与轨迹C 交于A 、B 两点，设直线1:2l x =，设点()1,0D -，直线AD 交l 于M ，求证：直线BM 经过定点．【答案】（1）()22103y x x -=>；（2）见解析．【解析】（1）由已知12| | 2PF PF =+，12| | 2PF PF -=，P 轨迹C 为双曲线的右支，22a =，1a =，12| 24F F c ==，2c =∴曲线C 标准方程()22103y x x -=>．（2）由对称性可知，直线BM 必过x 轴的定点，当直线1l 的斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，知直线BM 经过点()1,0P ，当直线1l 的斜率存在时，不妨设直线()1:2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，直线()11:11y AD y x x =++，当12x =时，()11321M y y x =+，()1131,221y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭， ()22233y k x x y =--=⎧⎪⎨⎪⎩得()()222234430k x k x k -+-+=，212243k x x k -+=-，2122433k x x k +=-，下面证明直线BM 经过点()1,0P ，即证PM PB k k =，即1212311y yx x -=+-，即12112233y x y x y y -+=+，由112y kx k =-，222y kx k =-，整理得，()12124540x x x x -++=，即()22222243434450333k k k k k k -+⋅-⋅+=--- 对点增分集训即证BM 经过点()1,0P ，直线BM 过定点()1,0．2．已知点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上，设A ，B 分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O 到直线AB 的距离（1）求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 在第一象限内一点，直线PA ，PB 分别交y 轴、x 轴于D ，C 两点，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）22143x y +=；（2）【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，有229141a b +=，由等面积法，可得原点O 到直线AB=联立两方程解得2a =，b =，所以椭圆E 的方程为22:143x y E +=．（2）设点()()00000,,0P x y x y >>，则2200143x y +=，即2203412x y +=．直线()00:22y PA y x x =++，令0x =，得0022D yy x =+．从而有00022y BD x =+=+，同理，可得AC =．所以四边形的面积为1122AC BD ⋅=221122====．所以四边形ABCD的面积为3．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()1,0A 和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=u u u r u u r u u ，2AP AM =u u u u r u u u r ．（1）当点P 在圆上运动时，判断Q 点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，且3445OF OF ≤⋅≤u u ur u u u r （其中O 是坐标原点），求k 的取值范围．【答案】（1）是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为2212x y +=；（2）⎡⎢⎣⎦⎣⎦U ．【解析】（1）由题意MQ 是线段AP 的垂直平分线，所以2CP QC QP QC QA CA =+=+==，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为∴a 1c =，1b ==，故点Q 的轨迹方程是2212x y +=．（2）设直线l ：y kx b =+，()11,F x y ，()22,H x y ，直线l 与圆221x y +=1=，即221b k =+，联立2212x y y kx b +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得：()222124220k x kbx b +++-=，()()()2222222164122182180Δk b k b k b k =-+-=-+=>，得0k ≠，122412kbx x k +=-+，21222212b x x k -=+， ∴()()()()()222221212121222122411212k b kb OF OH x x y y k x x kb x x b kb b k k +--⋅=+=++++=++++u ur u u u u u r()()222222222124111121212k k k k k k k k k +++=-++=+++，所以223144125k k +≤≤+，得21132k ≤≤，k ≤≤，解得k ≤≤k ≤≤故所求范围为⎡⎢⎣⎦⎣⎦U ． 4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB △面积的最大值为2．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点P ，Q ，求PQ 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=，221x y +=；（2）⎡⎢⎣⎦．【解析】（1）设B 点到x 轴距离为h ，则1111222A AB A OB S S AO h a h ==⋅⋅⋅=⋅△△，易知当线段AB 在y 轴时，max h BO c ==，12A AB S a c ∴=⋅=△，12c e a ==Q ，2a c ∴=，2a ∴=，1c =，b = 所以椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y +=．（2）当直线L 的斜率不存在时，直线L 的方程为1x =±，此时223b PQ a ==；设直线L 方程为：y kx m =+，直线为圆的切线，1d ∴==，221m k ∴=+，直线与椭圆联立，22143y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，判别式()248320Δk =+>，由韦达定理得：122212284341243km x x k m x x k -+=+-⋅=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以弦长12PQ x =-=，令2433t k =+≥，所以PQ ⎛= ⎝⎦；综上，463,PQ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5．如图，己知1F、2F是椭圆()2222:10x yG a ba b+=>>的左、右焦点，直线():1l y k x=+经过左焦点1F，且与椭圆G交A，B两点，2ABF△的周长为43．（1）求椭圆G的标准方程；（2）是否存在直线I，使得2ABF△为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22132x y+=；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆G的半焦距为c，因为直线l与x轴的交点为()1,0-，故1c=．又2ABF△的周长为4322443AB AF BF a++==3a=222312b a c=-=-=．因此，椭圆G的标准方程为22132x y+=．（2）不存在．理由如下：先用反证法证明AB不可能为底边，即22AF BF≠．由题意知()21,0F，设()11,A x y，()22,B x y，假设22AF BF=()()2222112211x y x y-+=-+又2211132x y+=，2222132x y+=，代入上式，消去21y，22y得：()()121260x x x x-+-=．因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以12x x≠，故126x x+=．(与13x，23x≤12236x x+≤矛盾）联立方程()221321x yy k x+==+⎧⎪⎨⎪⎩，得：()2222326360k x k x k+++-=，所以21226632kx xk+=-=+矛盾．故22AF BF ≠．再证明AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰．假设2ABF △为等腰直角三角形，不妨设A 为直角顶点．设1AF m =，则2AF m =，在12AF F △中，由勾股定理得：()224m m +=，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．。

高三培优圆锥曲线专题(一)

第十七讲圆锥曲线专题（一）【知识要点】1.圆锥曲线中的面积问题2.圆锥曲线中的动直线过定点问题3.圆锥曲线中的动直线斜率为定值问题【典型例题】1.设F 是抛物线G:24x y =的焦点，设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C,D ，求四边形ABCD 面积的最小值。

2. P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。

3.A 、B 是抛物线24y x =上的两点，且满足()为原点O OB OA ⊥，求证：直线AB 经过一个定点。

4.已知离心率为25的双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2在x 轴上，双曲线C 的右支上一点A 使021=⋅AF AF 且21AF F ∆的面积为1。

（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线m kx y l +=:与双曲线C 相交于E 、F 两点（E 、F 不是左右顶点），且以EF 为直径的圆过双曲线C 的右顶点D ,求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

y P O x A B 5.如图，过抛物线24y x =上一定点()1,2P ，作两条直线分别交抛物线于A （）， B （22,y x ），当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB 的斜率为定值。

6.已知，椭圆C 以过点A （1，32），两个焦点为（－1，0），（1，0）（1）求椭圆C 的方程（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值【课堂练习】1.以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为 ( )A.430x y --=B.430x y ++=C.430x y +-=D.430x y ++= 2.抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差数列，则（）A.321,,x x x 成等差数列B.231,,x x x 成等差数列C.321,,y y y 成等差数列D.231,,y y y 成等差数列3.已知抛物线y =2x 2上两点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称, 且x 1x 2=12-, 那么m 的值为 ( ) A.25 B.23 C. 2 D.3 4.已知抛物线24y x =-上存在关于直线0x y +=对称的两点A 、B ，则|AB|等于5.过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为____ __6.1F 、2F 是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为 7.知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为_______8.椭圆22143x y +=的两个焦点为12,F F ，点P 为左准线上的任意一点，当12F PF ∠取到最大值时，点P 的坐标为9. 直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_______ ___。

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高三培优专题圆锥曲线
一.离心率与焦点三角形
1. 已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且，则此椭圆的离心率的取值范围为________
2. 已知是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D,且2BF FD ,
则椭圆C 的离心率为 3.直线l 经过.双曲线22
221x y a b
-=的右焦点F ，与一条渐近线垂直且垂足为A ，与另一条渐近线交于B ，且12AF FB ，则双曲线的离心率为 4 .若椭圆2
21x y m （1)m 与双曲线2
21(0)x y n n
有公共焦点12,F F ，P 是椭圆与双曲线的一个公共交点，则12PF F 的面积为
5（2016年浙江高考）已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：2
2x n –y 2=1(n >0)的焦点重
合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）
A ．m >n 且e 1e 2>1
B ．m >n 且e 1e 2<1
C ．m <n 且e 1e 2>1
D ．m <n 且e 1e 2<1
6.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(5,0)A -和(5,0)C 。

顶点B 在双曲线221169x y -=上，则sinB sinA sin C
-为 ( ) A. 32 B. 23 C. 54 D . 45
7.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )
（A ）（
-3
，3）（B ）（
-6
，6
）（C ）
（
）（D ）
（
） 8.（2010全国卷1）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上， 1F 2F 1:22
22=+b
y a x C a b P C 21PF PF ⊥1F 2F 221x y -=
∠P =，则P 到x 轴的距离为(A) (B) (C) (D) 9（2013浙江卷）如图,21,F F 是椭圆14
:22
1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是
A ．2
B ．3
C ．23
D ．2
6 10[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233
C ．3
D ．2 11.【2016高考浙江理数】如图，设椭圆（a ＞1）. （I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；
（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围
1F 2F 0603262
362
221x y a
+=O
x y
A
B
F 1 F 2
二．圆锥曲线的切线问题
12．[2014·辽宁卷] 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )
A.12
B.23
C.34
D.43
13【2013年大纲全国理】已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A B 、两点，若0MA MB •=，则k =（）
A ．12 B
．2 C
．2
14..已知抛物线px y 22=（0P ），过其焦点F 的直线与抛物线交与,A B 两点，该抛物线在,A B 两点处的切线交于C ，设AF a ，BF b ，则CF （）
A
B
C 2a b
D
15．（2013新课标2卷）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为
（）
A ．或
B ．或
C ．或
D ．或
16.过点M ()p 22-，作抛物线py x 22=()0>p 的两条切线，切点为A B 、.若线段AB 的中点纵坐标为6.则实数=p
17.在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的
椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与轴的交点分别为A 、B ，且向量。

求：
（Ⅰ）点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）
的最小值。

xOy (10,F (2F 2x y 、OM OA OB =+OM
18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0,-1），B 点在直线y = -3上，M 点满足，，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

三．圆锥曲线的中点弦及对称问题
19（2013新课标卷1）已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于
A 、
B 两点。

若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )
A 、x 245＋y 236＝1
B 、x 236＋y 227＝1
C 、x 227＋y 218＝1
D 、x 218＋y 29＝1
20（2011新课标卷1）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程为 (A) 22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22
154
x y -= 21（2014郑州一测）已知抛物线px y 22=（0P ）
，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则该抛物线准线方程是（）
A 1x
B 2x
C 1x
D 2x
22.已知椭圆22
143
x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同的两点关于直线4y x m =+对称。

23. 已知双曲线C: x 2－2
2
y =1,过点A(2,1)的直线L 与C 交于P 1、P 2两点 (1)求线段P 1P 2中点P 的轨迹方程
（2）过点B(1,1)能否作直线m 交双曲线C 于M ，N 两点，且B 是线段MN 的中点。

//MB OA MA AB MB BA ⋅=⋅
四．圆锥曲线的弦长及面积问题
24.【2017课标1】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
25.设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．求四边形面积的最大值．
26.已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．
五．圆锥曲线的定值定点问题
27．已知抛物线px y 22
=（p ＞0）与直线l 交于A,B 两点(异于原点O),且以AB 为直径的圆恰好过原点.
(1)求证:直线l 过定点.
(2)求:OAB ∆面积的最小值.
(20)(01)A B ，，
，)0(>=k kx y AEBF 22
132
x y +=1F 2F 1F B D ，2F A
C ，AC B
D ⊥P P 00()x y ，2200132
x y +<ABCD
28.已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1
2 ），P 4（1
，2
）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
29.已知点M 是椭圆C ：2222=1x y a b
+（a>b>0）上一点，，分别为左、右焦点，且4||21=F F ，，02160F =∠MF 21MF F ∆的面积为3
34 （1）求椭圆C 的方程（2）设）
，（20N ，过点)2,1P --（作直线l 交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率为21,k k . 证明：21k k +是定值.
30.已知椭圆（＞＞0）的左焦点)0,F c -（是长轴的四等分点，A ，B 是长轴的左右顶点，过F 且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆于C ，D.记直线AD ，BC 的斜率为21,k k . 求证 21:k k 为定值.
1F 2F 1:22
22=+b
y a x C a b。