函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一）

一、

填空题

1、若1ln 1

1ln x f x x

+⎛⎫=

⎪-⎝⎭，则()f x =_____。

2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。

3、若0x →时，无穷小2

21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2

1lim 1

n n x

f x nx →∞

-=+，则()f x 的间断点为x =_____。

二、

单选题

1、当0x →时，变量

2

11

sin x x

是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大

C 、有界的，但不是无穷小

D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x

f x a e

=+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ）

A 、0,0a b <<

B 、0,0a b >>

C 、0,0a b ≥<

D 、0,0a b ≤> 3、设()232x

x

f x =+-，则当0x →时（ ）

A 、()f x 与x 是等价无穷小

B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小

C 、()f x 是x 的高阶无穷小

D 、()f x 是x 的低阶无穷小

4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞

-=⎡⎤⎣⎦，

则()lim x f x →∞

为（ ）

A 、存在且等于零

B 、存在但不一定等于零

C 、一定不存在

D 、不一定存在

例：()()()11

,,22

1

x x f x x g x x x x ϕ==+

=+

++ 三、 求下列极限

1

、

lim

x 2、()2

21212lim 1x

x x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭

四、

确定,a b 的值，使()

32

2ln 10

011ln 0

1ax x f x b

x x x x x x x ⎧+<==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩

在(),-∞+∞内连续。

五、

指出函数()1

11x

x x

e e

f x e e

--=

-的间断点及其类型。

六、

设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程

31240123

a a a a

x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、

设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明：

在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。

函数与极限测试题答案（一）

一、1、

11x

x

e

-+； 2、

11,

2

2a b ++⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

； 3、

4-； 4、0

；

二、1—4、DCBD

三、1

、解：原式lim

3x ==；

2、解：原式()()2

22211

2

11211lim 11x x x x x x e x -

++---→⎡⎤⎛⎫⎢⎥

--=+= ⎪⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭

⎣⎦

四、解：注意当4

2

x π

π

-

<<-

时，无意义，所以不存在,a b 的值使()f x 在

(),-∞+∞内连续。此题应把“在(),-∞+∞内连续”改为“在0x =处连续”。改后即要求()()0

lim 0x f x f b →==，此式等价于()()()0

lim lim 0x x f x f x f b +-

→→===，即 22220002ln 11121lim ln lim lim 211x x x x x x x x b x x x x x x +++

→→→-⎛

⎫+ ⎪-+-++⎝⎭===-=++++

()

330

ln 1ln 1lim lim tan sin x x ax ax x x

-

-

→→+

+=-

3

3

lim 4212

x ax a b x -

→====- 所以1,22

a b =-=-。

五、解：0,1x x ==-是此函数的间断点，因为0x -

→时，1x

→-∞，1

0x e e -∞

→=，

所以1101lim x

x

x x e e

e e e -→--=-，0x +

→时，又因为1x

→+∞，1

x

e e +∞→=+∞，1

10x

e →，所以1111

0111

lim lim 11

x

x

x x

x x x

x e e e

e e

e e

e

+

+-→→---==--，0x =是跳跃间断点。 因为111

1lim

1x

x x x

e e

e e

→---=-，1x =是可去间断点。

六、证明：因为()()()()()()()()()()()()

12343124123231312123123a x x x a x x x a x x x a x x x a a a a

x

x x x x x x x ---+--+--+--+

++=------ 分子是一个三次多项式，根据代数基本理论，分子最多有三个实的零点，即原方程最多有三