函数与极限测试题及答案(一)
考研数学复习教程答案详解高数部分
第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
函数、极限与连续测试卷带答案
函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。
上海财经大学出版的高数习题集答案 第一章 函数与极限
（3）举例证明不一定存在，
x6 x6 x6 x6 x6 ， lim ( ) x 4 3 x 4 2 x 4 1 x x 4 1 x 4 3
lim(
x 0
sin 2 x e 2 ax 1 ) 2 2a a ，即 a 2 。 x x
x 1 x 1
由题知 lim x(
x
ln(1
f ( x) f ( x) ) tan x lim tan x lim f ( x) 2, x 0 x ln 3 x 0 x 2 ln 3 3x 1
x2 1 b x2 1 b a ) 0 ，则 lim ( a )0 x x ( x 1) x( x 1) x x
（4） lim
2 sin x sin 2 x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x(1 cos x) lim lim x 0 x 0 x 0 xa xa xa 2 x 2x lim a2 lim x a 3 1, 所以 a 3 。 x 0 x 0 x
sin x 2 x2 sin x 2 为 x 0 时的无穷小， lim 0 ，所以 x 0 ln(1 2 x ) x 0 2 x ln(1 2 x)
1 1 （7）A： lim (1 ) x 1 ，因为由第三章第三节介绍的罗比达法则 lim (1 ) x x 0 x 0 x x
f (5) 11 。由 f (0) 1 和 f (1) 1 知 f ( x) 在 (0,1) 内至少有一个实根。
（1） ① lim
x 0
由 f (0) 1 和 f (1) 5 知 f ( x) 在 (1,0) 内至少有一个实根。由 f (0) 1 ，
(完整版)高等数学测试题及解答(分章)
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
函数与极限测试题及答案一
函数与极限测试题（一）一、 填空题 二、1、若1ln 11ln x f x x+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()f x =_____。
三、2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。
四、3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。
五、4、设()()21lim 1n n x f x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =_____。
六、 单选题七、 1、当0x →时，变量211sinx x是（ ） 八、A 、无穷小B 、无穷大九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、2、设函数()bx xf x a e=+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ）十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232xxf x =+-，则当0x →时（ ）十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞-=⎡⎤⎣⎦，则()lim x f x →∞为（ ）十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11,,221x x f x x g x x x x ϕ==+=+++ 二十、 求下列极限 二十一、1、2241limsin x x x x x+-+、()221212lim 1xx x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭二十二、确定,a b 的值，使()322ln 101tan 1sin 011ln 01ax x x x f x bx x x x x x x ⎧+⎪<+-+⎪⎪==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩在(),-∞+∞内连续。
极限计算测试题及答案高中
极限计算测试题及答案高中一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在点x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. 无穷大D. 不存在2. 如果\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 2 \)，那么\( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \)等于（）A. 1B. 2C. 无穷大D. 不存在3. 函数\( f(x) = x^2 \)在x=2处的极限是（）A. 4B. 2C. 0D. 无穷大4. 函数\( f(x) = \sin(x) \)在x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. -1D. 不存在5. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)在x=2处的极限是（）A. 2B. 4C. 8D. 12二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)在x=2处的极限是______。
7. 如果\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 0 \)，那么\( \lim_{x \to 3} \frac{1}{x - 3} \)等于______。
8. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。
9. 函数\( f(x) = \frac{\tan(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。
10. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=π处的极限是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 计算函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的左极限和右极限，并判断其极限是否存在。
12. 证明函数\( f(x) = x^2 \)在任何实数x处的极限都存在，并求出这个极限。
13. 给定函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)，计算其在x=1处的极限，并说明其性质。
极限练习题含答案
极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。
下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。
练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以\( x^2 \)，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当\( x \)趋近于1时，\( x - 1 \)趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以\( \sin x \)，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当\( x \)趋近于无穷大时，\( \sin x \)的值在-1和1之间波动，但相对于\( x \)来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。
淮海工学院高等数学目标与测试第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。
（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。
（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。
（ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。
Ⅱ 基本题型（ⅰ）有关确定函数定义域的题型1．（4分）1)2ln()(+-=x x x f 的定义域为 21<<-x2．（4分）)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 [))2,1(1,1 -3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域：（1）（6分）)(2x f []1,1-∈x ，（2）（6分）)2(xf (]0,∞-∈x（3）（7分）)31()31(-++x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x xf cos 1)2(sin+=，则)(x f =)1(22x - 6．（4分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f7．求下列函数的反函数（1）（4分）31+=x y 1,133-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-=11 xxy y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x（3）（6分）)2ln(1++=x y 2211-=⇒-=--x y e y e x8．（7分）已知：,2sin )(,)(3x x x x x f =-=ϕ 求)].([)],([x f x f ϕϕ解：x x x x x f 2cos 2sin 2sin 2sin )]([233-=-=-=ϕϕϕ)(2s i n )(2s i n )]([3x x x f x f -==ϕ9．（10分）设x e x g x x x x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=)(,1||,11||,01||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这两个函数的图形。
厦门理工学院高数练习题答案第一章 函数与极限
高等数学练习题 第一章 函数与极限________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______第一节 映射与极限一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ] （A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y = 二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 2 2. 已知,1)1(2++=+x x x f 则)(x f 12+-x x3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f x -114. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数 1102-+=x y5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=： x s s v v u u y ====,ln ,tan ,2(2) 32arcsin lg x y =：__ 32x t t s s v v u u y =====,arcsin ,lg ,, _三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域解：)(2x f 的定义域为[11,-] )(s i n xf 的定义域为)()(,[Z k k k ∈+ππ1222.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.解：01=)(ϕ 2321=-)(ϕ 2123=)(ϕ （ 图略 ）4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 40=ϕ（图1-22）。
第一章 函数与极限 单元测试题
第一章 函数与极限满分：100分 考试时间：150分钟一、选择题(每小题2分，共40分)1．设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin n x x 是比21x e -（）高阶的无穷小，则正整数n 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．设函数21()lim 1nn x f x x →∞+=+，则下列结论成立的是（ ） A ．()f x 无间断点 B ．()f x 有间断点1x =C ．()f x 有间断点0x =D ．()f x 有间断点1x =-3．1(23x n n ==，，）是函数1()f x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的（[]为取正整数）（ ） A ．无穷间断点 B ．跳跃间断点 C ．可去间断点 D ．连续点4．设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ）A ．()f x 与x 是等价无穷小量B ．()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量C ．()f x 与比x 较高阶的无穷小量D ．()f x 与比x 较低阶的无穷小量5．设数列的通项为2()/1/n n n n n x n n ⎧+ ⎪=⎨ ⎪⎩为奇数为偶数， 则当n →∞时，n x 是（ ） A ．无穷大量 B ．无穷小量 C ．有界变量 D ．无界变量6．设220()0x x f x x x x ⎧ ≤⎪=⎨+ >⎪⎩， 则（ ） A ．220()()0x x f x x x x ⎧ - ≤⎪-=⎨-+ >⎪⎩ B ．22()0()0x x x f x x x ⎧-+ <⎪-=⎨ - ≥⎪⎩ C ．220()0x x f x x x x ⎧ ≤⎪-=⎨- >⎪⎩ D ．220()0x x x f x x x ⎧- <⎪-=⎨ ≥⎪⎩ 7．设sin 2340()=sin d ()xf x t tg x x x =+⎰，，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）A ．等价无穷小B ．同阶但非等价的无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小8．当0x →时，变量211sin x x是（ ） A ．无穷小量 B ．无穷大量C ．有界的但不是无穷小D ．无界的但不是无穷大9．设220ln(1)()lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） A ．1a b ==-，5/2 B ．0a b ==-，2 C ．0a b ==-，5/2 D ．1a b ==-，210．cos ()sin ()x f x x x e x =-∞<<+∞是（ ）A ．有界函数B ．单调函数C ．周期函数D ．偶函数11．函数()sin f x x x =（ ）A ．当x →∞时为无穷大量B ．在()-∞+∞，内有界 C ．在()-∞+∞，内无界 D ．当x →∞时有有限极限 12．对于函数sin(tan )tan(sin )(0)/2y x x x x ππ=- ≤≤=，是（ ）A ．连续点B ．第一类间断点C ．可去间断点D ．第二类间断点13．单调有界函数若有间断点，则其类型为（ ）A ．必有第一类间断点B ．必有第二类间断点C ．第一类或第二类间断点D ．不能确定14．已知()f x 和()g x 在0x =点的某领域内连续，且0x →时()f x 是()g x 的高阶无穷小，则当0x →时，0()sin d xf t t t ⎰是0()d xtg t t ⎰的（ ） A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小C ．同阶但不等价无穷小D ．等价无穷小15．下列极限存在的是（ ）A ．0sin 1lim arctan x x x x→ B ．0sin 1lim arctan x x x x → C ．0sin 1lim arctan x x x x → D ．0sin 1lim arctan x x x x→ 16．下列命题中正确的是（ ）A ．()f x 为有界函数，且lim ()()0x f x α=，则lim ()0x α=B ．()x α为无穷小量，且()lim 0()x a x αβ=≠，则lim ()x β=∞ C ．()x α为无穷大量，且lim ()()x x a αβ=，则lim ()0x β=D ．()x α为无界函数，且lim ()()0f x x α=，则lim ()0f x =17．设{}{}{}n n n a b c ，，均为非负数列，且lim 0lim 1lim n n n n n n a b c →∞→∞→∞===∞，，，则必有（ ） A ．n n a b <对任意n 成立 B ．n n b c <对任意n 成立C ．极限lim n n n a c →∞不存在D ．极限lim n n n b c →∞不存在 18．设()f x 在()-∞+∞，内有定义，且1()0lim ()()00x f x f x a g x x x →∞⎧ ≠⎪==≤⎨⎪ =⎩，，则（ ） A ．0x =必是()g x 的第一类间断点B ．0x =必是()g x 的第二类间断点C ．0x =必是()g x 的连续点D ．()g x 在0x =处的连续性与a 的取值有关19．函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间有界（ ）A ．(10)-，B ．(01)，C ．(12)，D ．(23)， 20．设函数/(1)1()1x x f x e -=-，则（ ）A ．01x x ==，都是()f x 的第一类间断点B ．01x x ==，都是()f x 的第二类间断点C ．0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点D ．0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点二、填空题（每小题3分，共60分）1．已知函数f （x ）的定义域为[0，4]，则函数ψ（x ）＝f （x+1）+f （x -1）的定义域为__________。
高数 上 习题及答案 极限
x +1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎝ 2x ⎠
3
=
lim
x→∞
⎛⎜1 ⎝ ⎛⎜⎝1
+ +
3 2x 1 2x
x +1
⎞ ⎟ ⎠
x +1
⎞ ⎟⎠
3
⎡
⎤ 2x 2
=
lim
⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎝ 1 +
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
3
⎥
⎥ ⎥⎦
⎛⎜ 1 + ⎝
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
x→∞
1
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1
+
1 2x
2
⎞ ⎟ ⎠
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
ln lim y = ln e0 , lim y = 1
x→π
x→π
2
2
5
解： lim sin xln x
lim xsin x = lim esin xln x = ex→0+
x→0+
x→0+
ln x
lim sin xln x = lim
x→0+
1 x→0+
sin x
1
= lim
x→0+
x⋅
−cos x sin2 x
⎛⎜1
+
⎠⎝
3 n
⎞ ⎟ ⎠
=1
（18） lim sin 5x = （ ）
x→π sin 3x
（a） − 4 （b）-1 （c）1
3 分析：lim sin 5x = lim 5cos5x = 5
x→π sin 3x x→π 3cos 3x 3
（d） 5
3
（22） lim x2 +1 − 3x = （ ）
函数与极限测试题及答案一
函数与极限测试题（一）一、 填空题 二、 一、若1ln 11ln x f x x+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()f x =_____。
三、 二、函数()f x 的概念域为[],a b ，则()21f x -的概念域为_____。
四、3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。
五、 4、设()()21lim 1n n x f x nx →∞-=+，则()f x 的中断点为x =_____。
六、 单选题七、 一、当0x →时，变量211sin x x是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、二、设函数()bx xf x a e=+在(),-∞+∞上持续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 知足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232xxf x =+-，则当0x →时（ ）十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞-=⎡⎤⎣⎦，则()lim x f x →∞为（ ）十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不必然等于零 十八、 C 、必然不存在 D 、不必然存在 十九、 例：()()()11,,221x x f x x g x x x x ϕ==+=+++ 二十、 求下列极限二十一、一、limx 二、()221212lim 1xx x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭二十二、确信,a b 的值，使()322ln 10011ln 01ax x f x bx x x x x x x ⎧+<==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩在(),-∞+∞内持续。
高数第一章 函数与极限答案(2013)
第一章 函数与极限答案第一节 映射与函数1.填空题: （1）2,1-≥±≠x x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--+=10011x x x xy ； （3）{0}； （4）a ；（5）x x 1-， x ；（6）⎩⎨⎧≤<≤-=32231-x ()1-(2x x xx f ）2. 选择题:（1）C ； （2）A ； （3） B ； （4）B ； （5） B ； （6）C ； （7）C ； 3． 352)1(0,1,22++=+===x x x g c b a ；；4． )1(22x -；5. 22()0()()()0x x f x x x x ⎧--≤-=⎨-+-->⎩，即：220()0x x f x x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 6. 解：22()(1)f x f x x +-= （1）令1x t =- 得22(1)()(1)f t f t t -+=-22(1)()(1)f x f x x -+=- （2）由（1）和（2）得；221()3x x f x +-=7． （1）|sin |y x =； （2）sin ||y x =； （3）2sin 2x y =.8．设[()]f g x 由(),()y f u u g x ==复合而成的，证明：（1） 若()g x 是偶函数，则[()]f g x 是偶函数。
（2） 若()f x 单调增加，()g x 单调减少，则[()]f g x 单调减少。
（略）第二节 数列的极限1.填空题:（1）0； （2）0； （3）6,0==b a ；（4）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的必要条件. 数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的充分条件. 2．选择题:（1）B ； （2） D ； （3） D ； 3. 根据数列极限的定义证明: （略）4. 若a u n n =∞→lim ，证明a u n n =∞→lim .并举例说明反之不成立.提示：利用不等式：a u a u a u n n n -≤-≤-5. 设数列{}n x 有界，又0lim =∞→n n y ，证明:0lim =∞→n n n y x . （略）第三节 函数的极限1．填空题:（1）=+)0(f b ，=-)0(f 1 . 当=b 1 时，1)(lim 0=→x f x .（2） 充分必要（3） 必要；充分；必要；充分；充分必要. 2．选择题:（1） A ； （2） C ； （3） D ； （4） C 3. 根据函数极限的定义证明: 8)13(lim 3=-→x x ； （略）4．证明xx 1sinlim 0→不存在. 提示：取2个子序列趋于0，但极限不等。
高数函数的极限连续习题精选及答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a nn =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x8、 01sin lim lim 1sinlim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00l i m 1l i m00-=--→x x x ，=+→xx x 00lim 1lim 00=+→x xx ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）； （３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x xx ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()2211212112lim lim lim 1x x x b ab ab x b ab a →+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）．11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→xxx sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1s i nlim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x x x x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x ()[]1)1(11)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x kkx x kx x e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、lim sin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），l i ms i n (a r c c o t )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界 5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x 6、设函数()x f xx sin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
考研数学二(函数、极限、连续)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)＝∫0sinrsin(t2)dt，g(x)＝x3＋Lz一x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B 涉及知识点：函数、极限、连续2．设f(x)有连续的导数，f(0)＝0．f(0)≠0，F(x)＝∫0x(x2－t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A．1．B．2C．3D．4正确答案：C 涉及知识点：函数、极限、连续3．设，其中a2＋c2≠0，则必有A．b＝4d．B．b＝－4d．C．a＝4c．D．a＝－4c．正确答案：D 涉及知识点：函数、极限、连续4．设函数f(x)＝xtanxesinx，则f(x)是A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B 涉及知识点：函数、极限、连续5．函数在下列哪个区间内有界A．(－1，0)．B．(0，1)．C．(1，2)．D．(2，3)．正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续6．设f(x)＝2x2＋3x－2，则当x→0时A．f(x)与x是等价无穷小．B．f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C．f(x)是比x更高阶的无穷小．D．f(x)是比x较低阶的无穷小．正确答案：B 涉及知识点：函数、极限、连续7．下列各式中正确的是A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续8．当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量A．x2．B．1－cosx．C．D．x－tanx．正确答案：D 涉及知识点：函数、极限、连续9．设对任意的x，总有ψ(x)≤f(x)≤g(x)，且A．存在且等于零．B．存在但不一定为零．C．一定不存在．D．不一定存在．正确答案：D 涉及知识点：函数、极限、连续10．设函数，讨论函数f(x)的间断点，其结论为A．不存在间断点．B．存在间断点x＝1_C．存在间断点x＝0．D．存在间断点x＝－1．正确答案：B 涉及知识点：函数、极限、连续11．设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数A．在xz＝0处左极限不存在．B．有跳跃间断点x＝0．C．在x＝0处右极限不存在．D．有可去间断点x＝0．正确答案：D 涉及知识点：函数、极限、连续12．设f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，且则A．x＝0必是g(x)的第一类间断点．B．x＝0必是g(x)的第二类间断点．C．x＝0必是g(x)的连续点．D．g(x)在点x＝0处的连续性与a的取值有关．正确答案：D 涉及知识点：函数、极限、连续13．设数列则当n→∞时，xn是A．无穷大量．B．无穷小量．C．有界变量．D．无界变量．正确答案：D 涉及知识点：函数、极限、连续填空题14．＝_______．正确答案：；涉及知识点：函数、极限、连续15．＝_______．正确答案：e6；涉及知识点：函数、极限、连续16．＝8，则以＝_______．正确答案：ln2；涉及知识点：函数、极限、连续17．＝_______．正确答案：；涉及知识点：函数、极限、连续18．已知当x→0时，与cosx－1是等价无穷小，则常数a＝_______．正确答案：；涉及知识点：函数、极限、连续19．极限＝_______．正确答案：2；涉及知识点：函数、极限、连续20．＝_______．正确答案：；涉及知识点：函数、极限、连续21．设＝_______．正确答案：；涉及知识点：函数、极限、连续22．若，则a＝_______，b＝_______．正确答案：1，－4；涉及知识点：函数、极限、连续23．极限＝_______．正确答案：2；涉及知识点：函数、极限、连续24．设f(x)有连续的导数，f(0)＝0且f’(0)＝b，若函数F(x)＝在x＝0处连续，则常数A＝_______．正确答案：a＋b；涉及知识点：函数、极限、连续25．＝_______．正确答案：；涉及知识点：函数、极限、连续26．设函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，则＝_______．正确答案：；涉及知识点：函数、极限、连续27．若a＞0，b＞0均为常数，则＝_______．正确答案：；涉及知识点：函数、极限、连续28．极限＝_______．正确答案：e2；涉及知识点：函数、极限、连续29．＝_______．正确答案：1；涉及知识点：函数、极限、连续30．_______．正确答案：；涉及知识点：函数、极限、连续31．＝_______．正确答案：；涉及知识点：函数、极限、连续32．＝_______．正确答案：2 涉及知识点：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
函数的极限练习题
函数的极限练习题函数的极限练习题在数学中，函数的极限是一个重要的概念。
它描述了当自变量趋向于某个特定值时，函数的取值会趋近于一个确定的值。
函数的极限在微积分、数学分析等领域中有着广泛的应用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解函数的极限。
1. 练习题一：求函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 在 x = 2 处的极限。
解答：要求函数在 x = 2 处的极限，我们需要计算当 x 趋近于 2 时，函数 f(x)的取值趋近于多少。
首先，我们可以直接代入 x = 2，得到 f(2) = 2(2)^2 - 3(2)+ 1 = 9。
但是这只是函数在 x = 2 处的取值，并不能代表极限。
为了求得极限，我们需要通过一些特定的方法。
我们可以通过代入一些接近 2 的数值来观察函数的取值情况。
当 x = 1.9 时，f(x) = 2(1.9)^2 - 3(1.9) + 1 ≈ 7.51；当 x = 1.99 时，f(x) = 2(1.99)^2 - 3(1.99) + 1≈ 8.9501；当 x = 1.999 时，f(x) = 2(1.999)^2 - 3(1.999) + 1 ≈ 8.995001。
可以看出，当 x 趋近于 2 时，函数 f(x) 的取值趋近于 9。
因此，我们可以得出结论：函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 在 x = 2 处的极限为 9。
2. 练习题二：求函数 g(x) = sin(x) / x 在 x = 0 处的极限。
解答：要求函数在x = 0 处的极限，我们同样需要通过一些特定的方法来计算。
直接代入 x = 0，我们会得到一个无法计算的形式，即 0/0。
这时，我们需要利用三角函数的性质和极限的定义来求解。
首先，我们可以利用泰勒级数展开式来近似表示函数g(x)。
根据泰勒级数展开，sin(x) 可以近似表示为 x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...，而 x 可以看作是 x^1。
(完整版)函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222nn n n n n n n 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
12、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
13、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时，x1是比3-+x15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x xx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a=。
20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是 。
21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为 。
22、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数与极限测试题（一）
一、
填空题
1、若1ln 1
1ln x f x x
+⎛⎫=
⎪-⎝⎭，则()f x =_____。
2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。
3、若0x →时，无穷小2
21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。
4、设()()2
1lim 1
n n x
f x nx →∞
-=+，则()f x 的间断点为x =_____。
二、
单选题
1、当0x →时，变量
2
11
sin x x
是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大
C 、有界的，但不是无穷小
D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x
f x a e
=+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ）
A 、0,0a b <<
B 、0,0a b >>
C 、0,0a b ≥<
D 、0,0a b ≤> 3、设()232x
x
f x =+-，则当0x →时（ ）
A 、()f x 与x 是等价无穷小
B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小
C 、()f x 是x 的高阶无穷小
D 、()f x 是x 的低阶无穷小
4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞
-=⎡⎤⎣⎦，
则()lim x f x →∞
为（ ）
A 、存在且等于零
B 、存在但不一定等于零
C 、一定不存在
D 、不一定存在
例：()()()11
,,22
1
x x f x x g x x x x ϕ==+
=+
++ 三、 求下列极限
1
、
lim
x 2、()2
21212lim 1x
x x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭
四、
确定,a b 的值，使()
32
2ln 10
011ln 0
1ax x f x b
x x x x x x x ⎧+<==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩
在(),-∞+∞内连续。
五、
指出函数()1
11x
x x
e e
f x e e
--=
-的间断点及其类型。
六、
设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程
31240123
a a a a
x x x x +++=---有且仅有三个实根。
七、
设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明：
在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。
函数与极限测试题答案（一）
一、1、
11x
x
e
-+； 2、
11,
2
2a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； 3、
4-； 4、0
；
二、1—4、DCBD
三、1
、解：原式lim
3x ==；
2、解：原式()()2
22211
2
11211lim 11x x x x x x e x -
++---→⎡⎤⎛⎫⎢⎥
--=+= ⎪⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
四、解：注意当4
2
x π
π
-
<<-
时，无意义，所以不存在,a b 的值使()f x 在
(),-∞+∞内连续。
此题应把“在(),-∞+∞内连续”改为“在0x =处连续”。
改后即要求()()0
lim 0x f x f b →==，此式等价于()()()0
lim lim 0x x f x f x f b +-
→→===，即 22220002ln 11121lim ln lim lim 211x x x x x x x x b x x x x x x +++
→→→-⎛
⎫+ ⎪-+-++⎝⎭===-=++++
()
330
ln 1ln 1lim lim tan sin x x ax ax x x
-
-
→→+
+=-
3
3
lim 4212
x ax a b x -
→====- 所以1,22
a b =-=-。
五、解：0,1x x ==-是此函数的间断点，因为0x -
→时，1x
→-∞，1
0x e e -∞
→=，
所以1101lim x
x
x x e e
e e e -→--=-，0x +
→时，又因为1x
→+∞，1
x
e e +∞→=+∞，1
10x
e →，所以1111
0111
lim lim 11
x
x
x x
x x x
x e e e
e e
e e
e
+
+-→→---==--，0x =是跳跃间断点。
因为111
1lim
1x
x x x
e e
e e
→---=-，1x =是可去间断点。
六、证明：因为()()()()()()()()()()()()
12343124123231312123123a x x x a x x x a x x x a x x x a a a a
x
x x x x x x x ---+--+--+--+
++=------ 分子是一个三次多项式，根据代数基本理论，分子最多有三个实的零点，即原方程最多有三
个实根；又因为31
240
lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞
⎪---⎝⎭
31241lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭，31
241lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞ ⎪---⎝⎭ 31242lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭，31242lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞ ⎪---⎝⎭ 31243lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭
，所以利用零点定理，在区间 ()()()0,1,1,2,2,3原方程分别至少有一个实根。
所以原方程有且仅有三个实根。
七、证明：在区间[],a b 上考虑函数()()()F x f x g x =-，由已知可得()F x 在[],a b 上连续。
()()()()()()0,0F a f a g a F b f b g b =-≤=-≥ 1）如果()0F a =或()0F b =，则ξ可取a 或b 。
2）如果()0F a <且()0F b >，由零点定理，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()0F ξ=即
()()f g ξξ=。