第八章复合函数的微分法

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复合函数微分法

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注上面第一个等式中，左边的 d z 是作为一元函数 dt
的复合函数对 t 求导数 (这种导数又称为“全导数”);
右边的
z t
是外函数
(作为
u,
v,
t
的三元函数)
对
t
求偏导数．二者所用的符号必须有所区别．
例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:
(1)
y

x
x
x
;
(1 x2 )ln x
(2) y
.
sin x cos x
解 (1) 令 y u v , v w x , u x, w x, 从而有
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dy dx

y u

du dx

y v
v

w

dw dx

v x

v uv1 uv ln u [ x w x1 w x ln w ]
(1
x2 )ln x

(
sin
x

cos
x
)(
2
x
ln
x

1
x x
2
)
.
由此可见，以前用 “对数求导法” 求一元函数导数
的问题, 如今可用多元复合函数的链式法则来计算.
例 5 设 f ( x, y) 为可微函数, f (1,1) 1, fx (1,1) a,
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f y (1,1) b, ( x) f ( x, f ( x, f ( x, x))), 试求 (1). 解令 ( x) f ( x, y), y f ( x, z), z f ( x,u), u x,

4.1 复合函数微分法

在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元函数的导数记号。
例如：设 z f (u , v ) ， u ( x, y ) 和 v ( x) ，则 z f [ ( x, y ), ( x )] ，
z z u z dv x u x v d x z z u y u y
dz z du z dv （全导数公式）。 dx u d x v d x
证明：给 x 以增量 x ，则 u、v 相应的增量 u, v ，
从而 z f (u, v ) 有全增量 z f (u u, v v ) f (u, v ) ，
2
第五章
x u y z v x
9
第五章
复合函数微分法
特殊地 z f ( u, x , y )
其中 u ( x , y )
即 z f [ ( x , y ), x , y ],
z f u f , x u x x
z
z f u f . y u y y
u x y
区别类似
x
y
两者的区别
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
把 z f ( u, x , y ) 变而对 x 的偏导数
把复合函数 z f [ ( x , y ), x , y ] 中的 u 及 y 看作不
z z 有时采用下面的记号更为方便清晰： f1 u1 f 2 , f1 u2 f 3 x y 其中 f i ( i 1, 2, 3) 表示函数 f 对第 i 个变量的偏导数． 10
复合函数微分法
∵ z f (u, v ) 在 ( u, v ) 处可微，

高等数学：第八讲复合函数微分法二

u
x
zv
w
y
复合函数中全是中间变量，且中间变量中有多个自变量
如果 u f (v, w), v v(x, y, z)，w w(x, y, z)
且上述函数满足定理的相应条件，则
u u v u w x v x w x u u v u w y v y w y u u v u w z v z w z
x u x v x
变量是非常重要
z z u z v 8yvuv1 8yuv ln u y u y v y
的，往往关系到运算的难易程度.
例题2：
设
z
e3x2 4 y2
ln(2x
y2 ),
求
z , z . x y
u
x
z
v
y
解设 u 3x2 4 y2 , v 2x y2 , z eu ln v, 则
复合函数微分法（二）
复合函数中全是中间变量，且中间变量中有多个自变量
对于有两个以上的中间变量和两个以上的自变量的形式，有相类似
的链导法则.
如果 z f (u, v, w), u u(x, y)，v v(x, y)，w w(x, y)
且上述函数满足定理的相应条件，则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
v
x
u
y
w
z
复合函数中既有中间变量，又有自变量
如果 z f (u, v, x, y), u u(x, y)，v v(x, y)，
且上述函数满足定理的相应条件，则
z f u f v f x u x v x x z f u f v f y u y v y y

§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用

8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。

下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。

第八章 4复合函数求导法则

dz ∂z du ∂z dv = + ． dt ∂u dt ∂v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况如
dz ∂ z du ∂ z dv ∂ z dw = + + dt ∂ u dt ∂ v dt ∂ w dt
z
u v w
t
dz 全导数. 以上公式中的导数称为全导数. dt 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况： z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )].
= 2ye
x2 + y2 +z2
+2ze
x2 + y2 +z2⋅ x2 cos y
= 2( y + x sin y cos y ) e
4
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
f 有阶例4 设w = f ( x + y + z, xyz)，具二
此公式可以推广到任意多个中间变量 z 和任意多个自变量的情形
u v w
x
y
u v 例1 设z = e sinv， u = xy， = x + y ，而
∂z ∂z 和 . 求 ∂x ∂y 解 ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x u u = e u ( y sin v + cos v ), = e sin v ⋅ y + e cos v ⋅ 1
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )] 在对应点( x , y ) 两个偏导数存在，两个偏导数存在，且可用下列公式计算

复合函数的微分法

ux z
vy
求偏导数
z z u z v x u x v x
两条路径： zz
u v
x x
z z u z v y u y v y
两条路径： zz
u v
y y
口诀: 并联相加，串联相乘；一元全导，多元偏导.
一、复合函数的微分法
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数
类比：二元复合函数求偏导
z f x, y, x, y
复合关系
z f u,v,u x, y,v x, y
结构图
ux
z vy
微分法
? ? z
z
x
y
一、复合函数的微分法
情形1：复合函数的中间变量为一元函数
z f x, x
复合关系 z f u,v,u x,v x
结构图求全导数
z
复合函数微分法的步骤：
第一步：根据复合函数拆解复合关系；
第二步：结合结构图分析路径；
第三步：根据路径求全导数或者偏导数.
口诀:
并联相加，串联相乘；一元全导，多元偏导.
二、典型例题
例1
设 z uv,u et , v cos t ，求 dz .
dt
解： dz z du z dv
dt u dt v dt
z z u z dv y u y v dy
2ueu2v2 x2 cos y 2veu2v2 sin y
ex4 sin2 ycos2 y x4 1 sin 2 y
小结
复合函数的微分法
复合关系结构图求偏(全)导
y
二、典型例题
例3
设 z eu2v2 ,u x2 sin y,v cos y , 求 z , z .

复合函数微分法

§2 复合函数微分法1．求下列复合函数的偏导数或导数： (1) 设 )arctan(xy z =, xe y =, 求dxdz ; (2) 设xyy x e xyyx z 2222++=,求yz x z ∂∂∂∂,; (3) 设22y xy x z ++=,2t x =,t y =,求dtdz ; (4) 设y x z ln 2=,v u x =,v u y 23−=,求求vz u z ∂∂∂∂,;(5) 设),(xy y x f u +=,求yux u ∂∂∂∂,; (6) 设),(z y y x f u =,求zu y u x u ∂∂∂∂∂∂,,. 解：(1) 令xy u =, 则 u z arctan =, xe y =,x x =,xxx ex e x y x xe y x y dx dy y u du dz x u du dz dx dz 2222221)1(11++=+++=∂∂+∂∂=. (2)xyy x xyy x e y x y x y xy y x e y x y x y x z 22222222222222)()(++−⋅++−=∂∂xyy x e xy yx yx y x 22)1(22222+++−=.xyy x e xy yx xy y x y z 22)1(22222+++−=∂∂(3)t t t y x t y x dtdy y z dt dx x z dt dz 2341)2(2)2(23++=⋅++⋅+=∂∂+∂∂= (4)]233)23ln(2[311ln 222v u uv u vu y x v y x u y y z u x x z u z −+−=⋅⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ]231)23ln(1[222v u v u vv u v yy z v x x z v z −+−−=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5) 由于xdy f ydx f dy f dx f xy d f y x d f du 221121)()(+++=++=dy xf f dx yf f )()(2121+++=所以2121,xf f yu yf f x u +=∂∂+=∂∂. (6)22121,1,1f z y z u f z f yx y u f y x u −=∂∂+−=∂∂=∂∂. 2．设 )(22y x f yz −=,其中f 为可微函数，验证211y z y z y x z x =∂∂+∂∂. 证：设22y x u −=，则)()(22u f u f xy x u u z x z ′=∂∂∂∂=∂∂，)()()(222u f u f u f y y z +′=∂∂，所以 22)()(2)()(211yz u f u f y yu f u f y yzy x z x =′++′−=∂∂+∂∂. 3．设 )sin (sin sin y x f y z −+=，其中f 为可微函数，证明：1sec sec =∂∂+∂∂y yzx x z . 证：设y x u sin sin −=, 则x u f x z cos )(′=∂∂，y u f yzcos ))(1(′−=∂∂，所以 1))(1()(sec sec =′−+′=∂∂+∂∂u f u f y yzx x z 4．设 ),(y x f 可微，证明: 在坐标旋转变换θθsin cos v u x −=，θθcos sin v u y +=之下,22)()(y x f f +是一个形式不变量，即若),cos sin ,sin cos (),(θθθθv u v u f v u g +−=则必有2222)()()()(v u y x g g f f +=+ (其中旋转角θ是常数).证：因为θθsin cos y x u f f g +=，θθcos )sin (y x v f f g +−=，22)()(v u g g +θθθθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 2sin cos 22222222y x y x y x y x f f f f f f f f −+++= 22222222)()()cos (sin )cos (sin y x y x f f f f +=+++=θθθθ故2222)()()()(v u y x g g f f +=+.5．设)(u f 是可微函数, )23()2(),(t x f t x f t x F −++=，试求:)0,0(x F 与)0,0(t F解：f f f F x ′=⋅′+′=43, 0)2(2=−⋅′+⋅′=f f F t 故 )0(4)0,0(f F x ′=, 0)0,0(=t F .6．若函数),,(z y x F u =满足恒等式),,(),,(z y x F t tz ty tx F k= )0(>k ,则称),,(z y x F 为k 次齐次函数. 试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数 ),,(z y x F 为k 次齐次函数的充要条件是：),,(),,(),,(),,(z y x kF z y x zF z y x yF z y x xF z y x =++，并证明：xy yx xy z −+=222为2次齐次函数.证明：必要性：设),,(),,(z y x F t tz ty tx F k=,令tz ty tx ===ζηξ,,，代入上式并两边对t 求导得),,(),,(),,(),,(1z y x F kt zF yF xF k −=++ζηξζηξζηξζηξ.令1=t , 则有),,(),,(),,(),,(z y x kF z y x zF z y x yF z y x xF z y x =++.充分性：设),,(1),,,(tz ty tx F t t z y x G k= )0(>t ，令tz ty tx ===ζηξ,,, 求G 关于t 的偏导数得[]{}),,(),,(),,(),,(11ζηξζηξζηξζηξζηξkF t zF yF xF tt G k −++=∂∂+. 由已知 0=∂∂t G,于是G 仅是关于z y x ,,的函数. 记 ),,(),,(z y x G z y x =ϕ, 所以),,(),,(tz ty tx F z y x t k =φ, 令1=t , 则有),,(),,(z y x F z y x =φ.因此),,(),,(tz ty tx F z y x F t k =.故F 为k 次齐次函数. 因为 ),())(()()())((),(2222y x z t ty tx ty tx ty tx ty tx z =−+=，所以),(y x z 为2次齐次函数.7．设),,(z y x f 具有性质),,(),,(z y x f t z t y t tx f nmk= )0(>t ，证明: (1) ,,1(),,(m knxz x y f x z y x f =; (2) ),,(),,(),,(),,(z y x nf z y x mzf z y x kyf z y x xf z y x =++. 证：(1) 在),,(),,(z y x f t z t y t tx f nmk=中令 xt 1=，得),,(),,1(z y x f x x z x y f n m k −=，即),,1(),,(mk nx z x y f x z y x f =(2) 令z t y t tx mk===ζηξ,,，并对),,(),,(z y x f t z t y t tx f nmk=两边关于t 求导得),,(),,(),,(),,(111z y x f nt zf mt yf kt xf n m k −−−=++ζηξζηξζηξζηξ，令1=t , 则有),,(),,(),,(),,(z y x nf z y x mzf z y x kyf z y x xf z y x =++.8．设由行列式表示的函数)( )( )( )()(1111t a t a t a t a t D nn n n "##"=，其中 ),,2,1,( )(n j i t a ij "= 的导数都存在，证明∑=′′=nk nn n kn kn t a t a t a t a t a t a dt t dD 111111)( )( )( )( )( )()("##"##" . 证：记 ),,2,1,( )(n j i t a x ij ij "==,且nnn n n nnn ij x x x x x x x x x x x x x f ),,,,,(2122221112111211"""""""""=, (1)由行列式定义知f 为2n 元可微函数，易见))(,),(,),(),(()(1211t a t a t a t a f t D nn ij ""=.于是由复合函数求导法则知)()(1,1,t a x fdt dx x f t D ijijnj i ij ij nj i ′⋅∂∂=⋅∂∂=′∑∑==. (2) 记(1)的右边行列式中ij x 的代数余子式为ij A ,则ij ij nj i nn ij A x x x x x f ∑==1,1211),,,,,(""，从而 ij ij A x f=∂∂ 代入(2)得)()()(11t A t a t D ij ijn i nj ′==′∑∑==.其中)(t A ij 是将ij A 的元素kL x 换为)(t a kL 后得的1−n 阶行列式，它恰为行列式)( )( )( )( )( )( )( )( )(212111211t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n n kn k kn "###"###"′′′ 中)(t a ij′的代数余子式, 于是由(3)知 ∑=′′′=′n i nn nn n ini i n t a t a t a t a t a t a t a t a t a t D 112111211)( )( )( )( )( )( )( )( )()("###"###".。

复合函数微分

复合函数微分什么是复合函数微分？在数学中，一种被广泛应用的工具就是函数。

如果两个（或更多）函数相互作用，形成了新的函数，那么这种构成新函数的方式就被称为“复合函数”，也被称作“组合函数”。

复合函数的微分，也被称为复合函数的导数，指的是在函数中进行微分时，相继执行的一系列函数的导数相乘的结果。

关于复合函数微分，也就是求 $y = f(g(x))$ 的导数，我们已有一个方法：链规则。

假设我们有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，那么它们的复合函数$h(x) = f(g(x))$。

那么复合函数的导数就可以表示为：$$\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dg} \times \frac{dg}{dx}$$这种方法就是链规则，它是一种用于计算复合函数导数的方法。

需要注意的是，由于两个函数组成了复合函数，所以在微分的时候，要先求出里面最先执行的函数的导数，再求下一个，一直到最后一个函数。

举个例子，假设我们有一个函数 $h(x) = (x^2 + 3)^3$，我们现在要求它的导数，也就是 $h'(x)$。

那么我们可以使用链规则来求解。

我们可以将 $h(x)$ 分开成两个函数：$$f(x) = x^3$$$$g(x) = x^2 + 3$$相应地，可以写出它们的导数：$$f'(x) = 3x^2$$$$g'(x) = 2x$$将它们代入链规则的公式中，就可以求出 $h'(x)$：$$(x^2 + 3)^3)' = 3(x^2 + 3)^2 \times (x^2 + 3)'$$$$= 3(x^2 + 3)^2 \times 2x$$$$= 6x(x^2 + 3)^2$$总结一下，复合函数微分是一种计算复合函数导数的方法。

其核心就是链规则，在求解中，我们需要分别求出每个函数的导数，并进行相应的处理。

除了求导数之外，复合函数还可以应用在微积分、概率论等数学领域，成为一个非常重要的概念。

8-4复合函数微分法

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例 1：设z eu sin v ，u xy，v x y，求 z 和 z 。
x y
解： z z u z v eu sin v y eu cosv 1
x u x v x eu( ysinv cosv) e xy[ ysin( x y) cos( x y)]
x
f x
. (u,v , x )
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备用题
1、利用全微分形式不变性再解例1.
解： dz d( eu sin v ) eu cos v dv d (x y)
( yd x xd y) e x y[ y sin( x y) cos( x y)]d x
d(x y) (dx d y)
则 dz f du f dv f ，试问 dz 与 f 是否相
dx u dx v dx x
dx x
同？为什么？
思考题解答：不相同等式左端的 z是作为一个自变量 x 的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为 u,v, x的三元函数，
即
dz dx
x
f u
(
u,v
,
x
)
du dx
x
f v
dv (u,v,x) dx
lim o( ) ( xu )2 ( xv )2 0
x0
x
x
故（1）式两边取极限，令 x 0 ，则有
z z u z v x u x v x
同理可证 z z u z v y u y v y
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链式法则如下图所示
u
z v
x
z z u z v x u x v x
y z z u z v

复合函数微分法

z z u z v x u x v x

f11
f 2 1
z
uv
z z u z v y u y v y

f12 f2 2
x yx y
即书P88定理9.8
3) 中间变量有三个，自变量有2个，例如 z f (u,v, w) ,
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t, 则相应中间变量有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v 则有u 0, v 0,
u du , v dv t dt t dt
解: z x
z v v x
eu sin v eu cos v 1
x y z
uv
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
x yx y
例2. u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
解: u f x x

2xex2 y2
z2
2ze x2
y2

z
2

2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin 2 y) e x2 y2 x4 sin2 y
xyz
u y

f y

f z

z y

2ye
x2

y2

z2
2ze
x2

y2

z
2

d uv vdu udv,

第八章4复合函数求导法则

x x(r, ), y y(r, )
均满足复合函数求偏导数的条件计算 w , w
（两重复合问题）
r
解由链式法则 u
x
r
w
v
y
w w u w v u u x u y r u r v r r x r y r
v v x v y r x r y r
故
w w (u x u y) w (v x v y) r u x r y r v x r y r
复合函数求导法则
先回忆一下一元复合函数的微分法则
若y f (u)而u ( x)可导则复合函数
y f [( x)] 对 x 的导数为 dy dy du
dx du dx
这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元
一、链式法则
定理如果函数u (t) 及v (t ) 都在t点可
导，函数 z f (u,v) 在对应点(u,v) 具有连续偏
导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应t点可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？
这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数
如 z f ( x2 y2, xy) 它是由 z f (u,v)
及u x2 y2,v xy 复合而成的由于 f 没有具体给出在求 z , z 时
x y

复合函数微分法

z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
z
u v
x y x y
类似地 z f (u ,v , t), 而u u( x, y), v v( x, y), t t(x, y),
则 z f [u( x, y) ,v( x, y) , t( x, y)], 有 z z u z v z t , x u x v x t x z z u z v z t . y u y v y t y
x zuy
vx
若z f (u , x, y), u ( x, y), 则z f [( x, y), x, y], 有
z f u f , x u x x z f u f . y u y y
u
x y
zx
y
注意：这里 z 与 f 是不同的， z 是把复合函数
x x
x
z f [( x, y) ,x , y]中的 y 看作不变而对 x 的偏导数，
全导数可形象地表示为
zut vt
简言之“按路与路之间用乘法，步与步之间用加法”.
类似地 z f (u,v,w)，而 u u(t), v v(t), w w(t) ，
则 z f [u(t),v(t),w(t)]，有
dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt
y y2 yx
f
解：
z y
x3(
f1
x
f2
1 x
)
x4
f1
x2
f2
，
x
1y
2
x y
2z y 2
x 4 ( f11 x
f12
1) x
x 2 ( f21 x

微积分,赵树嫄编,第八章6

F y 2 y Fz 2z 4
Fy z y y Fz 2 z
x Fx z x 2 z Fz
z ( 2 z ) x( ) 2 2 2z z ( 2 z ) x x 2 2 (2 z ) x x x (2 z ) 3来自 2z 4 2 0 x
z y y 2 z
6
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x z z z 例3 设 ln , 求 , z y x y
x z 解: 令 F ( x , y , z ) ln z y
1 1 Fx , Fy , y z
x 1 xz Fz 2 2 z z z
5
上页下页返回结束
解法2 利用隐函数求导两边对 x 求导
x 2 y 2 z 2 4z 0
同理
z z 2 x 2z 4 0 x x
再对 x 求导
z x 两边对 y 求导 x 2 z z z 2 y 2z 4 0 y y
2
z 2 1 ( ) x
不能设为
F ( x, y ) x 2 y 2
解法1 利用公式，设
F ( x, y ) x 2 y 2 1,
dy x Fx dx Fy y
d 2 y d dy y xy y2 x2 1 3 2 2 3 dx dx dx y y y
v 1 1 (a b)( x y ) cxy (a b)v( ) cxy x y xy
w v (a b) cy 0 2 x x
解得 x y
3
a
x
z a
y
w v (a b) cx 0 2 y y

复合函数微分不定积分定积分

例16 求
∫
1 dx (a > 0). 2 2 x +a
2
解令 x = a tan t ⇒ dx = a sec tdt
− π, π t ∈ 2 2
∫
1 1 dx = ∫ ⋅ a sec 2 tdt a sec t x2 + a2
= ∫ sec tdt = ln(sec t + tan t ) + C
(11) ∫ csc x cot xdx = − csc x + C ;
e x dx = e x + C ; ∫ ax x (13) ∫ a dx = + C; ln a (14) ∫ sinh xdx = cosh x + C ; (12)
(15) ∫ cosh xdx = sinh x + C ;
′ x xµ+1 实例 = xµ ⇒ ∫ xµdx = + C. µ +1 µ + 1 (µ ≠ −1)
µ +1
能否根据求导公式得出积分公式？启示能否根据求导公式得出积分公式？
结论
既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 因此可以根据求导公式得出积分公式
x = ln + a
x +a + C. a
2 2
x2 + a2 t
x a
例17 求解令
x = sin t dx = cos tdt
2
∫
1 − x 2 dx .
− π, π t ∈ 2 2
∫
1 − x dx = ∫ 1 − sin t ⋅ cos tdt

高等数学第八章第四节

则复合函数 z = f [ ( t ),ψ ( t )]在对应点 t可导, 且
其导数可用下列公式计算: 其导数可用下列公式计算 d z z d u z d v . = + d t u d t v d t
证设 t 获得增量 t,
则 u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );
问: 项数每一项中间变量的个数的个数.
例设 y = (cos x )
sin x
dy , 求 dx
法一:对数求导法解法一对数求导法
v 法二令u = cos x , v = sin x , 则y = u
dy y du y dv = + dx u dx v dx
= vu
v 1
( sin x ) + u ln u(cos x )
例
设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶
w 2 w 连续偏导数, 连续偏导数,求和 . x xz
解令 u = x + y + z, 记
v = xyz;
f ( u , v ) f1′ = , u ′′ f11 ,
2 f ( u, v ) ′′ f12 = , u v ′′ f 22 .
z z u z v z w + = + x u x v x w x
z z u z v z w = + + y u y v y w y
z
u v w
x
y
例设z =
1
u2 + v 2 + w 2 w = 2xy . 求 z x

复合函数微分法

复合函数微分法复合函数微分法是一种求解复合函数的数学方法，它是一种运用微积分求解连续复合函数的数学方法。

它是用微分学的结果来求复合函数的微分形式，对连续复合函数进行一阶或多阶的求导，从而解决复杂的函数方程。

复合函数微分法的定义及基本原理复合函数微分法是指在一次函数或多次函数的基础上，把另一函数加进去，构成复合函数，然后通过求导来求得复合函数的微分形式。

基本原理是，假设有一组未知函数f(x)，其中f是复合函数，它由一个函数g(x)和另一个函数h(g(x))组成，即f(x)=h(g(x))。

进行复合函数微分法时，首先求g(x)的导数，然后再求取h(g(x))的导数，从而得到f(x)的导数。

复合函数微分法的具体应用复合函数微分法可以应用于各种函数的求解，比如求复杂函数的微分形式、求函数及其极限、求积分等。

具体来说，复合函数微分法可以帮助解决有一次函数和多次函数组成的复合函数方程，其中可包括多项式函数、指数函数、对数函数等。

一次函数求导时，可以用一次函数微分法，求出函数的导数；多次函数求导时，可以用链式法则，求出函数的导数。

另外，对于函数的极限或积分的求解，都可以用复合函数微分法。

比如，求取指数函数的极限时，可以用复合函数微分法，从而很容易求取指数函数的极限。

复合函数微分法的优势复合函数微分法具有很多优势，比如：（1）复合函数微分法可以解决复杂的函数方程，这是其最大的优势；（2）复合函数微分法能同时运用一次函数微分法和链式法则，可以求出各种复杂函数的导数；（3）复合函数微分法可以计算函数的极限，也可以计算积分，从而方便得到方程的解析解。

总结复合函数微分法是一种求解复合函数的数学方法，它是用微分学的结果来求复合函数的微分形式，用于求解复杂函数方程、函数极限和积分等问题。

复合函数微分法具有解决复杂函数方程、同时运用一次函数微分法和链式法则、计算函数极限和积分等优势，是一种有效的复合函数求解方法。

第八章 复合函数的微分法

复合函数微分法

4.1 复合函数微分法

高等数学：第八讲 复合函数微分法 二

§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用

第八章 4复合函数求导法则

复合函数的微分法

复合函数微分法

复合函数微分

8-4复合函数微分法

复合函数微分法

第八章4复合函数求导法则

复合函数微分法

微积分,赵树嫄编,第八章6

复合函数微分 不定积分 定积分

高等数学第八章 第四节

复合函数微分法

第八章复合函数的微分法

高等数学：第八讲复合函数微分法二

复合函数微分不定积分定积分

高等数学第八章第四节