随机过程第四章期末练习题

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填空题Hale Waihona Puke Baidu
1、若零均值二维联合正态分布随机变量 X 、 Y 的联合概率密度分布函数为
f XY ( x, y )

1 2 A
exp{(
x 2 xy y 2 )} ,则随机变量 X 的方差为 6 9 13.5
,A 。
/ 2
, Y 的方差
, X 、 Y 的相关系数为
2、平稳高斯过程 X ( t ) 的相关函数为 RX ( ) 6e
湖南大学信息科学与工程学院
Tb N0 的正态白色噪声,且有 cos(2t )dt 0 ;定义一个接 0 2
其中 v(t ) 为功率谱密度为 收端的检验统计量 S

Tb
0
x(t ) cos(t )dt ,并定义一个接收判决准则:当 S>0 时,认为发送
端发送的是 H0 信号;当 S<0 时,则认为发送端发送的是 H1 信号。试证:当发送端发送 H0 信号时,接收端将其判决成 H1 信号的错误概率为:



xf X |Y ( x | y )dx 不一定为 0 值。 (V)
随机变量 X 、 Y 服从联合正态分布,则 Var[ X | Y ] Var[ X ] 。 (V) 如果两个随机变量 X1 和 X2 是联合正态的, 则它们的条件分布也是正态分布的。 (V) 若正态随机过程平稳,则其均值函数及相关函数可以确定其全部统计特性。 (V) 如果正态随机过程是广义平稳的,则必定是严格平稳的。 (V) 若正态随机过程在某两个时刻互不相关,则在该两个时刻相互独立。 (V) 若正态随机过程是窄带的,则该窄带过程及其同相分量、正交分量三者具有相同 的一维概率密度分布函数,且正交分量与同相分量相互独立。 (V) 不管白色噪声服从何种分布,通过有限带宽线性系统后,输出过程为正态随机过 程。 (V) 对于正态过程而言,广义平稳与狭义平稳的概念是等价的。 (V) 一般平稳正态噪声与信号之和是非平稳的正态过程。 (V) 平稳白噪声的自相关函数是冲激函数。 (V)
计算题
1、设随机过程 X ( t )= U c o s ωt + V sin ωt ,其中ω为常数,U 和 V 是两个相互独立的 高斯随机变量。已知 E[U]=E[V]=0,E[U2]=E[V2]=σ2, 求 X ( t ) 的一维和二维概率密度。 2、一正态随机过程的均值为 mX(t)=3,协方差为 K(t1,t2)=4cosπ(t1-t2),求当 t1=1/2、t2=1 时的二维概率密度。 3、随机变量 X 、 Y 的均值为 0,方差分别为 4,9;相关系数为 0.5; 它们服从二维联 合正态分布,则 X Y 的二维联合概率密度 f XY ( x, y ) 是多少?
P ( H1 | H 0 ) P ( S 0 | H 0 ) erfc[ A2Tb / N 0 ]
注: erfc( x)


x
1 x2 e dx 。提示:计算 H 0 情况下正态随机变量 S 的均值、方差。 2
2
6、设一个通信系统中的发送端可能发送 H0 和 H1 两种信号,这两种信号定义如下:
,则随机变量 X ( t ) , X ( t + 1 ) ,
1
应用统计与随机过程课程习题集
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X ( t + 2 ) 和 X ( t + 3 ) 的协方差矩阵 K=_______________。
3、当白噪声通过带通滤波器后,其输出是____。 4、系统的噪声等效通能带表示____。 5、常见的限带随机信号有____和____。 6、当白噪声通过低通滤波器后,其输出是____。 7、对平稳离散时间白色噪声序列 X (1), X (2),..., X ( n) 按从小到大的顺序排序,得到新 的随机序列 Y (1), Y (2),..., Y (n) , 若序列 X 的一维概率分布函数为 FX ( x) , 则随机变量 Y (2) 的一维概率分布函数为 FY ( y, 2) 概率分布函数为 FY ( y,1) 。 。随机变量 Y (1) 的一维
5、设一个通信系统中的发送端可能发送 H0 和 H1 两种信号,这两种信号定义如下:
H 0 : x(t ) A cos(t ) v(t ) H1 : x(t ) A cos(t ) v(t )
2
(0 t Tb ) (0 t Tb )
应用统计与随机过程课程习题集

Tb
0
cos(21t )dt cos(22t )dt 0 ; 定 义 一 个 接 收 端 的 检 验 统 计 量
0 Tb Tb 0 0
Tb
S x(t ) cos(1t )dt x(t ) cos(2t )dt ,并定义一个接收判决准则:当 S>0 时,认为发
送端发送的是 H0 信号;当 S<0 时,则认为发送端发送的是 H1 信号。试证:当发送端发送 H0 信号时,接收端将其判决成 H1 信号的错误概率为:
P ( H1 | H 0 ) P ( S 0 | H 0 ) erfc[ A2Tb / (2 N 0 )] 。
注: erfc( x)


x
1 x2 e dx 2
2
3
4 、 假 设 X (t ) 为 零 均 值 正 态 平 稳 随 机 过 程 , 相 关 函 数 为 RX ( ) e
| |
,已知
Y (t )
1 t 2 2 1 2 2 t X ( s )ds , 求 Y (t ) 的均值函数 mY (t ) , 证明其方差函数 Y (t ) 2 (1 e ) , 0 t t t
并说明当 t 足够大时, Y (t ) 趋近于常数 1。 提示:先计算均值函数与均方值函数,并利用零均值正态过程的矩特性:对于任意的 t1、 t2 、 t3 、 t4 , 有 E[X(t1)X(t2)X(t3)X(t4)]=E[X(t1)X(t2)]E[X(t3)X(t4)]+E[X(t1)X(t3)]E[X(t2)X(t4)]+ E[X(t1)X(t4)]E[X(t2)X(t3)]
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第四章练习题 判断题
如果两个随机变量服从正态分布,则它们一定服从联合正态分布。 (X) 如果两个随机变量的联合概率密度为二维联合正态分布,则它们分别服从正态分 布。 (V) 如果两个随机变量 X1 和 X2 是联合正态的, 则它们的边缘分布也是正态分布的。 (V) 两个正态随机变量如不相关,则必相互独立。 (V) 如果两个随机变量的联合分布不是联合正态分布,则至少有一个变量不服从正态 分布。 (X) 如果两个随机变量 X 、Y 服从联合正态分布,则条件分布 f X |Y ( x | y ) 为正态分布。 (V) 零均值随机变量 X 、 Y 服从联合正态分布, 则
H 0 : x(t ) A cos(1t ) v(t ) H1 : x(t ) A cos(2t ) v(t )
其中 v(t ) 为功率谱密度为
(0 t Tb ) (0 t Tb )
Tb N0 的正态白色噪声,且有: cos(1t ) cos(2t )dt 0 、 0 2
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