行列式的性质

c
d0
0c
d
0 … 0d
c0 … 0
= ad D2(n1) bc D2(n1)
= (ad bc) D2(n1) = (ad bc)2D2(n2) = (ad bc)3D2(n3) = … = (ad bc)n1 D2 = (ad bc)n.
…
, D2 =
…
b11 … b1n bn1 … bnn
…
,
D3 =
…
c11 … c1n cn1 … cnn
…
,
D4 =
…
d11 … d1n dn1 … dnn
…
,
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
二. 行列式按行(列)展开定理
讨论将n阶行列式转化为n-1阶行列式计算 的问题,即“降阶”.
§1.3 行列式的性质
性质4. (分拆)如果行列式某行(列)的所有元 素都是两数之和，则该行列式为两个行列式 之和,即
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
性质5. (消法)将行列式的某一行(列)的各元 素乘以常数加到另一行(列)的对应元素上去, 则行列式的值不变,即
第一章 行列式和线性方程组的求解
…
证明: D = D1D2.
第一章 行列式和线性方程组的求解
a11 … a1n c11 … c1n
§1.3 行列式的性质
…
…
…
…
× 问题
an1 … ann cn1 … cnn d11 … d1n b11 … b1n
=
D1D2 D3D4 ？
…
…
…
…
d11 … dnn bn1 … bnn
…
a11 … a1n D1 = an1 … ann
第一章 行列式和线性方程组的求解
例1. 计算
§1.3 行列式的性质
解 通过行变换将D化为上三角行列式
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
小结 任一行列式总可以通过行（或列）的
“换法”、“倍法”、“消法” 化成上（或下）三角形行列式.
“三角形法”
第一章 行列式和线性方程组的求解
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
推论.两行(列)相同，行列式值为零,即
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
性质3. (倍法)把行列式的某一行(列)的所有 元素同乘以数k,等于用数k乘以这个行列式,即
推论. 如果行列式有两行(列)成比例，则该 行列式为零．
第一章 行列式和线性方程组的求解
, DT =
a12 …
a22 … an2 ………
an1 an2 … ann
a1n a2n … ann
称DT为D的转置行列式.
性质1. (转置)行列互换值不变,即 DT = D.
注：性质1表明关于行的性质对列也成立.
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
性质2. (换法)两行(列)互换，行列式的值变号.
0 ...
+(1)2n+1b
0 ...
a . . . a b. . .b . .. c d. . .
c
d0
0c
d
0 … 0d
c0 … 0
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
=a
a . . . a b. . .b . .. c d. . .
0 ...
+(1)2n+1b
0 ...
a . . . a b. . .b . .. c d. . .
性质1. (转置)行列互换值不变,即 DT = D.
证 令DT = |bij | n×n ,则 bij = aji, 则 DT
= D.
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.2 n阶行列式的概念
一. 行列式的基本性质
a11 a12 … a1n
a11 a21 … an1
定义 设D =
a21 …
a22 … a2n ………
第一章 行列式和线性方程组的求解
例3. 在行列式
§1.3 行列式的性质
中
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
定理1.2. Laplace行列式按行(列)展开定理
n阶行列式D=|aij |n×n等于它的任意一行 (列) 的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和
,即
注1. 将行列式“降阶” 注2. 可作为行列式的等价定义
行列式的性质
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.2 n阶行列式的概念
一. 行列式的基本性质
a11 a12 … a1n
a11 a21 … an1
定义 设D =
a21 …
a22 … a2n ………
, DT =
a12 …
a22 … an2 ………
an1 an2 … ann
a1n a2n … ann
称DT为D的转置行列式.
行列式性质小结
§1.3 行列式的性质
性质1 (转置) DT = D.
性质2 (换法)换行(列)变号.
推论 两行(列)同，值为零.
性质3 (倍法)某行(列)乘数 k, 值变为kD.
推论 两行(列)成比例,值为零.
性质4 (分拆)D可按某行(列)分拆成两行列式 之和.
性质5 (消法)D的某行(列)乘数 k 加至另行 (列),行列式值不变.
a 例4. 计算2n阶行列式 D2n =
§1.3 行列式的性质
b
ab cd
c
d
(未写出的元素都是0).
第一章 行列式和线性方程组的求解
解: D2n=
a0 … 0b
0 ...
0
a ...
c
.
.
.
… ab
.
.
..
cd …
.
. .
.b ...
. d
0 ...
0
c0 … 0d
§1.3 行列式的性质
Biblioteka Baidu=a
a . . . a b. . .b . .. c d. . .
a11 … a1m c11 … c1n
§1.3 行列式的性质
…
…
…
…
例2. 设D = am1 … amm cm1 … cmn ,
0 … 0 b11 … b1n
…
…
…
…
0 … 0 bn1 … bnn
…
a11 … a1m D1 = am1 … amm ,
…
…
b11 … b1n D2 = bn1 … bnn ,
第一章 行列式和线性方程组的求解
证
§1.3 行列式的性质
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
推论. n阶行列式D=|aij |n×n中，有
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
证设
第i 行 第j 行
由降阶法,将 G 按第 j 行展开有
第一章 行列式和线性方程组的求解
定义：在n阶行列式 D=|aij |n×n 中, 把元素 aij 所 在的第i 行和第j 列的元素划去, 剩余元素构成 的n1阶行列式称为元素aij 的余子式, 记作Mij .
令 Aij = (1)i+jMij ,
称Aij 为元素aij 的代数余子式.
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质