高斯函数在数学竞赛中的应用
数学竞赛中的高斯函数
数学竞赛中的高斯函数一、 知识概要1， 定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。
则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。
显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。
任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。
2，性质1，函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2，[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3，[][]11x x x x -<≤<+；4，若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5，对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6，若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥；7，[][][]1x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩8，若n N +∈，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当1n =时，[][]x x ⎡⎤=⎣⎦； 9，若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；10，x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；11，设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有：()()12!m m m n n n p n p n p p p p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
（x 不是整数时） （x 是整数时）证明：由于p 是素数，所有!n 中所含p 的方次数等于!n 的各个因数1,2,,n 所含p 的方次数之总和。
由性质10可知，在1,2,,n 中，有n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个p 的倍数，有2n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个2p 的倍数，有3n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个3p 的倍数， ，当1m m p n p +≤<时，120m m n n p p ++⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以命题成立。
高斯函数[x]在高中数学竞赛中的应用
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所以原方程共有3 个实根．
3．换元法
斯函数的性质：若[ “] 一[ 妇，则l 甜一秽J <1 ，求
出z 的取值区间．但此条件为原方程成立的必 要不充分条件，故还须 利用“一厂( z) 和口= g( z ) 的图像进行分析才能得到正确结果．
方程为 [M ] =口型的，通常由高斯函数的定 义和性质利用换元法来求解．
5040>1993， - [ 卉 ]_0’ ． ． o] 2[ 责 ] +
l 者 l 1+
。
8 ．若 咒∈ N ，z ∈R，则[ 船] 。≥咒[ z ] ．
9． 若 押 ∈ N。 ， z∈ R， 则 [ 詈 ] 一 [ 警 ] ； 特
殊当，z=1时，[ [ z] ] =[z] ．
更何况考证明题的弱点是给有的考生以投机取 巧的机会，省略中间过程 ，东拉西扯，最后还似 乎得到结果，给教师评卷也带来一些}i j 难．笔者 评阅第20 题就发现考生的证明五花八门，让评
题放在第 9题之后，第17 题放在第18 题之后．如
果仅就试 卷的知识特点， 逻辑结构来看按 试卷本
身的设置是有道理的．但高考的主体足考生，如
．2
--3
图1
图2
( 2) 问关于等比数列求和，再探究一个充要条件
( 第( 3) 问) ．可以通过此题考察学生的思维能力
阅老师如同雾里看花，看得头晕眼花，苦不堪
言．时间紧，任务重，评判失误就在所难免． 3．以平面几何模型为背景的应用题第17 题这本来是一个很好的问题，因为几何学的发 展就是以测量土地等为基础的。但是命题者对 学生的基 本情况缺乏深刻 的把握．问题出 在：其 一，很多 学生由于初中平 面几何知识不过 关，作
高中数学竞赛专题讲座竞赛中的数论问题
竞赛中的数论问题的思索方法一. 条件的增设对于一道数论命题，我们往往要首先解除字母取零值或字母取相等值等“平凡〞的状况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小依次、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。
1. 大小依次条件及实数范围不同，假设整数x ，y 有大小依次x <y ，那么必有y ≥1，也可以写成，其中整数t ≥1。
例1. 〔22〕设m ，n 是不大于1981的自然数，1)(222=--m nm n ，试求22n m +的最大值。
解：易知当时,222=+n m 不是最大值。
于是不访设n >m ,而令1，n >u 1≥1，得-2(m -1mu 1)(22112=--u mu m 。
同理，又可令 u 1+ u 2，m >u 2≥1。
如此接着下去将得1= 1，而11+-+=i i i u u u ，i ≤k 。
故n m u u u u k k ,,,,,,121 +是不大于1981的裴波那契数，故987，1597。
例 2. 〔匈牙利—1965〕怎样的整数a ，b ，c 满意不等式?233222c b ab c b a ++<+++解：假设干脆移项配方，得01)1()12(3)2(222<--+-+-c b b a 。
因为所求的都是整数，所以原不等式可以改写为：c b ab c b a 234222++≤+++，变形为：0)1()12(3)2(222≤-+-+-c b b a ，从而只有1，2，1。
2. 整除性条件对于整数x ，y 而言，我们可以讨论其整除关系：假设，那么可令；假设x ∤y ，那么可令，0<r ≤1。
这里字母t ，r 都是整数。
进一步，假设a q |，b q |且a b >，那么q a b +≥。
结合高斯函数，设n 除以k ，余数为r ，那么有r k k n n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=。
还可以运用抽屉原理，为同余增设一些条件。
奥数竞赛中的数论问题
摘要初等数论是研究整数最基本性质的一门学问，在中学数学学习过程中，初等数论的知识和思想方法是常见的。
初等数论知识和思想方法，一方面出现在日常教学中，另一方面是以竞赛的形式出现的，后者更为突出。
本文从数的整除、同余、不定方程这三个方面阐述了初等数论在中学解题中的具体应用。
数论问题在奥数竞赛中一直是热点和难点，本文精选了一部分奥数题作为典型例题进行剖析，希望能给读者一些助益。
关键词：奥数；初等数论；中学教学；解题应用AbstractElementary Number Theory is a basic knowledge on integral researching and its study method is very common in the middle school teaching. In particular, we often encounter such problem in all kinds of mathematics competition. In this paper, we elaborate the application of integer divisibility, integer congruence and indeterminate equation. Recently, Elementary Number Theory is a key problem in all kands of mathematics competition. So extensive research such problem will benefit much to common people.Keywords Mathematical Olympiad; elementary number theory; secondary teaching; problem-solving applications.湖南科技大学本科生毕业设计（论文）目录第一章前言 (1)第二章整数的可除性问题 (2)2.1 整数的相除 (2)2.2高斯函数 (6)第三章同余问题 (11)第四章不定方程问题 (16)第五章结论 (24)参考文献 (25)致谢 (26)第一章前言数论是一门古老而基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对于现代数学的发展起到了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。
高斯公式应用案例
高斯公式应用案例摘要：一、高斯公式的简介二、高斯公式的应用案例1.计算曲面的面积2.计算立体图形的体积3.计算质心4.计算转动惯量正文：高斯公式，又称高斯（Gauss）积分公式，是一种在微积分学中用于计算曲面积分和立体图形的体积的公式。
它具有广泛的应用，可以解决许多实际问题。
下面我们通过四个具体的应用案例来了解高斯公式的应用。
一、高斯公式的简介高斯公式是指在三维空间中，一个曲面的面积可以通过以下公式计算：A = ∫∫_S {dS} = _S {σdτ}其中，A 表示曲面的面积，S 表示曲面的微小面积元，dS 表示面积元的法向量，σ表示曲面上的应力，dτ表示微小体元的微元。
二、高斯公式的应用案例1.计算曲面的面积假设我们想要计算一个球面的面积，我们可以将球面分割成无数小的曲面元，每个曲面元可以用一个小的球冠来近似表示。
然后，我们计算每个球冠的面积，最后将所有球冠的面积加起来，就可以得到球面的面积。
这个过程实际上就是利用高斯公式来计算曲面的面积。
2.计算立体图形的体积高斯公式不仅可以计算曲面的面积，还可以计算立体图形的体积。
例如，我们可以用高斯公式来计算一个长方体的体积。
首先，我们将长方体分割成无数小的立方体，然后计算每个立方体的体积，最后将所有立方体的体积加起来，就可以得到长方体的体积。
3.计算质心质心是物体所有部分的平均位置，可以通过高斯公式来计算。
假设我们想要计算一个形状不规则的物体的质心，可以将物体分割成无数小的部分，每个部分可以用一个小的质量元来近似表示。
然后，我们计算每个质量元的质量，最后将所有质量元的质量加起来，并除以总质量，就可以得到质心的位置。
4.计算转动惯量转动惯量是物体旋转时抵抗改变自身形状的能力，也可以通过高斯公式来计算。
假设我们想要计算一个形状不规则的物体的转动惯量，可以将物体分割成无数小的部分，每个部分可以用一个小的质量元和一个小立方体来近似表示。
然后，我们计算每个质量元和小立方体的转动惯量，最后将所有转动惯量加起来，就可以得到物体的总转动惯量。
高斯函数[x]性质及其应用
![高斯函数[x]性质及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/29d2a1e30408763231126edb6f1aff00bed570c3.png)
高斯函数ｘ[]性质及其应用文贵双(甘肃省天水市一中㊀７４１０００)摘㊀要:高斯函数是一个有名的特殊的函数.教材以及各类考试中经常出现有关高斯函数的试题.文章列举了高斯函数的性质ꎬ举例说明高斯函数在考试中的各种应用.关键词:高斯函数ꎻ高考试题ꎻ教材中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５１－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:文贵双(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考试题根植于教材ꎬ但又不断创新ꎬ将教材内容与高等数学巧妙结合ꎬ成为高考㊁竞赛的热点.高斯函数就是一个好的结合点ꎬ高斯函数出现在教材的习题中ꎬ各类考试中都有高斯函数的 倩影 ꎬ此类问题新颖灵活ꎬ能更好考查学生的思维品质和数学素养.高斯函数也叫取整函数.取整函数ｘ[]表示不大于ｘ的最大整数ꎬ且由于对于任意的实数ｘꎬ对应的函数值ｘ[]都是整数ꎬ故称函数ｙ＝ｘ[]为取整函数.ｘ[]满足下面几条简单性质(１)ｘ[]是整数.(２)ｘ[]ɤｘ<ｘ[]＋１.(３)取整函数是一个不减函数ꎬ即对任意ｘ１ꎬｘ２ɪＲꎬ若ｘ１<ｘ２ꎬ则ｘ１[]ɤｘ２[](４)若ｘꎬｙɪＲꎬ则ｘ[]＋ｙ[]ɤｘ＋ｙ[]ɤｘ[]＋ｙ[]＋１(５)若ｎ是正整数ꎬｘɪＲꎬ则ｎｘ[]ȡｎｘ[](６)若ｍ是整数ꎬ则ｘ＋ｍ[]＝ｘ[]＋ｍꎬｙ＝ｘ[]的图象如图１所示.其图象是一组阶高为１的平行与ｘ轴的线段ꎬ不包括右端点ꎬ这组平行线段成阶梯状ꎬ故取整函数亦称阶梯函数.而函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]称为ｘ的非负纯小数部分ꎬ并用 ｘ{} 表示.任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和ꎬ即:ｘ＝ｘ[]＋ｘ{}ꎬ其中ｘ{}ɪ[０ꎬ１)称为小数部分函数.ｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]图象如图２所示ꎬ是一个周期函数.高斯函数ｘ[]是一个非常有趣的数论函数ꎬ在许多数学分支中都有广泛的应用ꎬ在高中数学竞赛和高考试题中也经常出现与高斯函数有关的试题.由于高斯函数ｘ[]性质不如初等函数(利如二次函数ꎬ指数函数㊁对数函数㊁三角函数)多ꎬ使用起来不方便.所以涉及取整函数ｘ[]的题目ꎬ有其特殊的技巧ꎬ下面举例说明其解法.㊀㊀一㊁有关高斯函数求值题例１㊀Ｓｎ为等差数列{ａｎ}的前ｎ项和ꎬ且ａ１＝１ꎬＳ７＝２８.记ｂｎ＝[ｌｇａｎ]ꎬ其中[ｘ]表示不超过ｘ的最大整数ꎬ如[０.９]＝０ꎬ[ｌｇ９９]＝１.(１)求ｂ１ꎬｂ１１ꎬｂ１０１ꎻ(２)求数列{ｂｎ}的前１０００项和.解㊀(１)设ａｎ{}的公差为ｄꎬＳ７＝７ａ４＝２８ꎬ由ａ４＝４ꎬ得ｄ＝ａ４－ａ１３＝１ꎬａｎ＝ａ１＋(ｎ－１)ｄ＝ｎ.故ｂ１＝ｌｇａ１[]＝ｌｇ１[]＝０ꎬｂ１１＝ｌｇａ１１[]＝ｌｇ１１[]＝１ꎬｂ１０１＝ｌｇａ１０１[]＝ｌｇ１０１[]＝２.(２)记ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｔｎꎬ则Ｔ１０００＝ｂ１＋ｂ２＋ ＋ｂ１０００＝ｌｇａ１[]＋ｌｇａ２[]＋ ＋ｌｇａ１０００[].当０ɤｌｇａｎ<１时ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ９ꎻ当１ɤｌｇａｎ<２时ꎬｎ＝１０ꎬ１１ꎬ ꎬ９９ꎻ当２ɤｌｇａｎ<３时ꎬｎ＝１００ꎬ１０１ꎬ ꎬ９９９ꎻ当ｌｇａｎ＝３时ꎬｎ＝１０００.故Ｔ１０００＝０ˑ９＋１ˑ９０＋２ˑ９００＋３ˑ１＝１８９３例２㊀求ｌｏｇ２１[]＋ｌｏｇ２２[]＋ｌｏｇ２３[]＋ ＋ｌｏｇ２２０１２[]的值.解㊀ｌｏｇ２１[]＝０ꎬｌｏｇ２２[]＝１ꎬｌｏｇ２３[]＝１ꎬｌｏｇ２４[]＝ｌｏｇ２５[]＝ｌｏｇ２６[]＝ｌｏｇ２７[]＝２ꎬ当２ｋɤｎ<２ｋ＋１时ꎬｌｏｇ２ｎ[]＝ｋꎬｋꎬｎ是自然数ꎬ故有:１５原式＝０＋１ˑ(２２－２)＋２ˑ(２３－２２)＋ ＋９ˑ(２１０－２９)＋１０ˑ(２０１２－１０２３)＝１ˑ２＋２ˑ２２＋３ˑ２３＋ ９ˑ２９＋９８９０＝８１９４＋９８９０＝１８０８４评注例１ꎬ例２不需要什么技巧ꎬ只要理解取整函数的概念即可解决问题.㊀㊀二㊁有关高斯函数图象题例３㊀已知ｘɪＲꎬ若函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ－ａꎬ(ｘʂ０)有且有３个零点ꎬ则ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.３４ꎬ４５æèç]ɣ４３ꎬ３２[öø÷㊀㊀Ｂ.３４ꎬ４５[]ɣ４３ꎬ３２[]Ｃ.１２ꎬ２３æèç]ɣ５４ꎬ３２[öø÷Ｄ.１２ꎬ２３[]ɣ５４ꎬ３２[]图３解㊀ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ－ａ的零点ꎬ就是方程ｘ[]＝ａｘꎬ(ｘʂ０)的根ꎬ即为函数ｙ＝ｘ[]ꎬｙ＝ａｘꎬ(ｘʂ０)交点的横坐标.作出两函数图象可知选Ａ.例４㊀已知ｘɪＲꎬ符号ｘ[]表示不超过ｘ的最大整数.若函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｍ[]ｘ－ｍꎬ其中ｍɪＮ∗ꎬ则给出以下四个结论其中正确的是(㊀㊀).Ａ.函数ｆ(ｘ)在ｍ＋１ꎬ＋¥()上的值域为１２ꎬ１æèç]Ｂ.函数ｆ(ｘ)图象关于直线ｘ＝ｍ对称Ｃ.函数ｆ(ｘ)在ｍꎬ＋¥()是减函数Ｄ.函数ｆ(ｘ)在ｍ＋１ꎬ＋¥()上的最小值为１２.图４解㊀函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ中ꎬ当０<ｘ<１时ꎬｆ(ｘ)＝０ꎻ当１ɤｘ<２时ꎬｆ(ｘ)＝１ｘꎻ当２ɤｘ<３时ꎬｆ(ｘ)＝２ｘꎻ 函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ在(０ꎬ＋¥)值域是１２ꎬ１æèç]ꎬ将函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ的图象向右平移ｍ个单位得到ｆ(ｘ)＝ｘ－ｍ[]ｘ－ｍ的图像ꎬ故选Ａ.评注㊀熟练地掌握函数ｙ＝ｘ[]ꎬｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]ꎬｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ的图像ꎬ由图定夺.㊀㊀三㊁有关高斯函数方程题例５㊀解方程５＋６ｘ８[]＝１５ｘ－７５解㊀令１５ｘ－７５＝ｎ(ｎɪＺ)ꎬ则ｘ＝５ｎ＋７１５ꎬ代入原方程得:１０ｎ＋３９４０[]＝ｎꎬ由取整函数的定义有０ɤ１０ｎ＋３９４０－ｎ<１ꎬ解得:－１３０<ｎɤ１３１０ꎬ则ｎ＝０ꎬ１.当ｎ＝０时ꎬ则ｘ＝７１５ꎻ当ｎ＝１时ꎬ则ｘ＝４５.例６㊀解方程１＋ｘ２[]＋３－２ｘ[]＝２解㊀设１＋ｘ２[]＝ｎꎬ３－２ｘ[]＝ｍꎬ则原方程ｎ＋ｍ＝２ꎬ且有ｎɤ１＋ｘ２<ｎ＋１ꎬｍɤ３－２ｘ<ｍ＋１ꎬ即２ｎ－１ɤｘ<２ｎ＋１ꎬ１－ｍ２<ｘɤ３－ｍ２ꎬ结合这两个不等关系ꎬ得１－ｍ２<２ｎ＋１２ｎ－１ɤ３－ｍ２ìîíïïïïꎬ即－ｍ<４ｎ４ｎ<５－ｍ{ꎬ又ｍ＝２－ｎꎬ解得ｎ＝０ꎬｎ＝１ꎬ进而可得ｎ＝０ｍ＝２{ꎬｎ＝１ｍ＝１{ꎬ得到方程的解为０<ｘɤ１２与ｘ＝１.评注㊀型如ａｘ＋ｂ[]＝ｃｘ＋ｄ或ａｘ＋ｂ[]＋ｃｘ＋ｄ[]＝ｅ的方程通常利用取整函数的定义与性质ꎬ结合换元法求解.㊀㊀㊀四㊁有关高斯函数的数列题例７㊀记[ｘ]为不超过实数ｘ的最大整数ꎬ例如ꎬ[２]＝２ꎬ[１.５]＝１ꎬ[－０.３]＝－１.设ａ为正整数ꎬ数列ｘｎ{}满足ｘ１＝ａꎬｘｎ＋１＝[ｘｎ＋[ａｘｎ]２](ｎɪＮ∗)ꎬ现有下列命题:①当ａ＝５时ꎬ数列ｘｎ{}的前３项依次为５ꎬ３ꎬ２ꎻ②对数列ｘｎ{}都存在正整数ｋꎬ当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎻ③当ｎȡ１时ꎬｘｎ>ａ－１ꎻ④对某个正整数ｋꎬ若ｘｋ＋１ȡｘｋꎬ则ｘｎ＝[ａ].其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)解㊀当ａ＝５时ꎬｘ１＝ａ＝５ｘ２＝５＋５５２＝３ꎬｘ３＝２５[３＋[５３]２]＝２ꎬ故①正确ꎻ当ａ＝１时ꎬｘ１＝１ꎬｘ２＝ｘ３＝ ＝ｘｎ＝１ꎬ但当ａ＝３时ꎬｘ１＝３ꎬｘ２＝２ꎬｘ３＝１ꎬｘ４＝２ꎬｘ５＝１ꎬｘ６＝２ꎬｘ７＝１ꎬ ꎬ此时可以看出数列ｘｎ{}ꎬ从第二项起是以２为周期重复出现ꎬ不存在正整数ｋꎬ使得当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎬ故②不正确.对于③ꎬｘ１＝ａ>ａ－１成立ꎬ因ｘｎ是整数ꎬ故若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正奇数ꎬ则ｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]－１２>ｘｎ＋ａｘｎ－２２ȡ２ａ－１２>ａ－１ꎬ若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正偶数ꎬｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]２>ｘｎ＋ａｘｎ－１２ȡ２ａ－１２>ａ－１.综上知③正确.对于④ꎬ由ｘｋ＋１ȡｘｋ得ａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬａｘｋ－ｘｋȡａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬｘｋɤａꎻ结合③有ａ－１<ｘｋɤａꎬ因此有ｘｋ＝ａ[]ꎬ④正确.综上知真命题是①③④.评注㊀本题借用取整函数ꎬ构造一个新数列ꎬ主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数(高斯函数)与数列二者交汇而成ꎬ设计新颖ꎬ构思精妙ꎬ难度较大.解此类题的关键是理解函数ｘ[]的意义.㊀㊀参考文献:[１]蒋孝国.数学竞赛中的高斯函数[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(１９):４５－４８.[责任编辑:李㊀璟]点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用武增明(云南省玉溪第一中学㊀６５３１００)摘㊀要:本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用ꎬ与同仁及同学们共飨.关键词:点差法ꎻ圆锥曲线ꎻ解题研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５３－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪市易门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁点差法的基本原理在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时ꎬ设出弦端点坐标ꎬ并分别代入圆锥曲线方程得两式ꎬ将其两式相减ꎬ可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式ꎬ这种解题方法叫做点差法.如ꎬ圆锥曲线ｍｘ２＋ｎｙ２＝１(ｍꎬｎɪＲꎬ且ｍʂ０ꎬｎʂ０ꎬ)上两点ＰꎬＱꎬ设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＰＱ的中点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ弦ＰＱ的斜率为ｋꎬ则ｍｘ２１＋ｎｙ２１＝１ꎬ①ｍｘ２２＋ｎｙ２２＝１ꎬ②{由①－②ꎬ得ｍ(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ｎ(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０ꎬ又ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｋ(ｘ１ʂｘ２)ꎬ于是ｍｘ０＋ｎｋｙ０＝０ꎬ这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.㊀㊀二㊁点差法的简单应用与弦中点相关的问题有三种ꎬ一是平行弦的中点轨迹ꎻ二是过定点的弦的中点轨迹ꎻ三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.１.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程此类问题是点差法的最基本的简单应用.例１㊀(２００２年高考江苏卷 文理２０)设ＡꎬＢ是双曲线ｘ２－ｙ２２＝１上的两点ꎬ点Ｎ(１ꎬ２)是线段ＡＢ的中点.３５。
高斯函数
平顶山学院本科毕业论文（设计）平顶山学院本科毕业论文（设计）- 1 -前言函数()[]f x x =早在十八世纪就为“数学王子”高斯所采用，因此，()[]f x x =得名为高斯函数．实际上高斯函数虽然定义简单，但它的应用却相当的广泛．高斯函数是一个常用的函数．在离散数学中，要用到高斯函数；在计算机算法分析中，常常用到高斯函数；在微积分中，也经常看到高斯函数的身影．然而与高斯函数最密切相关的就是竞赛数学了．为什么这样说呢?首先，高斯函数的定义域为全体实数，值域为全体整数．而数论研究整数性质的比较多，因而我们可以利用数论中的定理，公式来解决有关高斯函数的问题．数论题通常又是竞赛数学的压轴题，由此可见，高斯函数在竞赛数学中的重要地位；其次，高斯函数又与含阶乘的整除问题密切相关，这表明高斯函数又与组合数学息息相关．组合数学是数学竞赛的重要组成部分，所以，高斯函数在数学竞赛中的重要地位不容忽视．此外，课本中没有对高斯函数进行专门的讲解，但高斯函数的定义容易理解，做为竞赛题比较灵活，横跨课本，容易变通，尤其是利用高斯函数可以编出许多方程与不等式，它们是小学，中学乃至大学数学竞赛的重要组成部分．因此，本论文中主要探讨高斯函数在数学竞赛中的广泛应用．下面，我举两个例子简单的说明：例1 解方程[]33x x -= (1957年 原苏联)．解 根据题分析易知0x >.若0x ≤则30x ≤，[]0x ≤，且[]30x x -≤则原方程无实数解.由性质[]{}x x x =+知[]{}x x x =-,将此式代入原题可得{}33x x x -=-．注意{}01x ≤<，两式联立便可得出()2213x x <-≤且0x >, 解 不等式组很容易就得出12x <<，所以[]1x =，代入原方程知3x =4，x例2［１］ 证明方程[][][][][][]248163212345x x x x x x +++++=没有实数解． 证明 这道题从证明很难入手，在数学的思维中，解决这类问题，我们常采用反证法．假设方程有实数解x n a =+，,01n Z a ∈≤<.于是[]x n =，[]2x =高斯函数在数学竞赛中的应用- 2 -[]22n a +，[][]444x n a =+，[][]888x n a =+，[][]161616x n a =+，[]3232x n =+ []32a ．代入原方程化简、变形得到[][][][][][]24816321234563a a a a a a n +++++=-由于01a ≤<,因而[]01ka k ≤≤-,k Z ∈．故有0≤12345-63n ≤1+3+7+15+31=57.得1228863≤n ≤1234563,即195.04…≤n ≤195.95….与n 是整数矛盾，所以假设不成立，即原方程无实数解．由此可见高斯函数是一类重要的数论函数，尤其是高斯函数与数学竞赛息息相关，这就要求我们要深刻理解高斯函数的基本性质，掌握解决高斯问题的常用方法．为此，本文首先列举出了一些高斯函数的基本性质；其次，归纳和总结了解决高斯函数问题的常用方法;最后对高斯函数进行了进一步的探讨．平顶山学院本科毕业论文（设计）- 3 -第一章 高斯函数的基本知识1.1 概念定义 函数[]x 与{}x 是对于一切实数都有定义的函数，函数[]x 的值为不大于x 的最大整数；则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数．函数{}x 的值是[]x x -，{}x 叫做x 的小数部分．例 []3π=，[]2e =，[]4π-=-，203⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，315⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦； 3255⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭，{}0.14159...π-=，0.414...=，{}0.95840...π-=函数图像 []y x = 的定义域为R ， 值域为Z ；{}y x = 的定义域为R ，值域为[)0,1．图像如图1所示，{}y x =是以1为周期的周期函数．如图22.2 性质[1]由定义立即可得出函数[]x 与{}x 的基本性质．对任意的实数x ，y 有高斯函数在数学竞赛中的应用- 4 -甲 []{}x x x =+,且01x ≤<.乙 [][]11x x x x -<≤<+.丙 x y ≤，有[][]x y ≤．丁 [][]n x n x +=+ n Z ∈．戊 若0,0x y ≥≥,则[][][]xy x y ≥.己 对任意正整数n 和任意实数x ,有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 庚 [][][]1x x Z x x x Z⎧-∈⎪-=⎨--∉⎪⎩ ．辛 若,a b 是任意两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 壬 (1) [][][][][]1x y x y x y +≤+≤++，其中等号有且仅有一个成立；(2) [][][][]1x y x y x y -≤-≤-+，其中等号有且仅有一个成立；(3) [][][][][]22x y x y x y +≥+++；平顶山学院本科毕业论文（设计）- 5 -第二章 数学竞赛中解决高斯函数问题常用方法解决有关高斯函数的问题，不仅要了解高斯函数的定义、性质，而且要了解 解决高斯函数问题的常用方法．在此根据题目自身的特点归纳和总结了几种常用的解决高斯函数问题的方法．2.1 定义（或性质）法例1对于一切实数x ， 有()[]f x x =．计算：()()()0.31 1.3___f f f -++=；若*,,3n n n f n N S a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭为数列{}n a 的前n 项和，则30___S =． 分析 由高斯函数[]x 的定义第一小题不难解决，答案为1．第二小题把高斯函数和数列联系起来，由33n n n a f ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦知1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，333a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1=,4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,5513a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,663a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2=，…,于是有， 300213233343...9310145S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=．本题主要考察了对高斯函数定义的理解，简单易懂，我们不再深入研究．例2 (2008年上海市TI 杯高二年级数学竞赛)求出所有的正整数使得692345n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 分析 看到这个问题如果我们单从题出发，按照常规思路来解得话会有点难度，数学问题中如果直接不好得出答案，不妨转换一下思想，从侧面来解决问题．解 由性质乙可知，1222n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1333n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1444n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1555n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦， 由此得 4234523452345n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++-<+++≤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦高斯函数在数学竞赛中的应用- 6 - 化简可得423452345n n n n n n n n +++-<69≤+++最终我们可得出5357n <<．于是54,55,56n =，经检验55n =满足题意，故满足题意的正整数解为55n =．解答本题的关键是利用高斯函数的性质，先确定n 的范围，再代入原方程，求出符合题设条件的正确答案.2.2 反证法例3[2] 求证：不存在实数x ，使得[][][][][]24816307x x x x x ++++=．分析 要证明方程无实数解，常用反证法，我们可利用[]x 的性质，通过估计的方法来导出矛盾．解 由于[][][][][]248162481631x x x x x x x x x x x ++++≤++++=若原方程有解，则一定有31307x ≥即30731x ≥ 当10x ≥时，[][][][][]2481610204080160310307x x x x x ++++≥++++=> 即x 必须小于10． 当3071031x ≤<时， [][][][][]()()()()()248161012014018011601305307x x x x x ++++<-+-+-+-+-=<所以对于一切实数x ，原方程都不能成立，即原方程无解．2.3 换元法例4 [2]解方程[]13222x x +⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦． 分析 解决有关方程类型题的时候，直接从题本身出发不容易得出答案，我们可采用换原法，将问题转化为简单的问题．解 可设12x n +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]32x m -=则原方程可化为平顶山学院本科毕业论文（设计）- 7 -2m n += (1) 由定义可知，112x n n +≤<+，即 2121n x n -≤<+ (2)及321m x m ≤-<+，即12m -＜x ≤32m - (3) 可见，原方程的解均满足(1)、(2)、(3)中的x ．为此，设法求出的整数解(1)，事实上，由(2)、(3)得12123212m n m n ⎧-<+⎪⎪⎨-⎪-≤⎪⎩ 即4045n m n m +>⎧⎨+≤⎩，故045n m <+≤，又由,m n 是整数知 4n m +=1,2,3,4,5 (4)将(1)，(4)联立得两整数解02n m =⎧⎨=⎩ 或11n m =⎧⎨=⎩再分别代入到(2)，(3)得12x 0<≤与1x =，此即为原方程的解．2.4 分类讨论法所谓分类讨论，是当问题所给对象未能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论时”化整为零，各个击破，再积零为整“的数学策略．例5 (1991年北京市高中一年级数学竞赛)能使25n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为素数的所有自然数n 的倒数之和等于多少?解 设25n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，下面分情况讨论：高斯函数在数学竞赛中的应用- 8 - (1)当5n k =(k 是正整数)时，222555k m k ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，且当1k =时，m 为素数，此时5n =；(2)当51n k =+(k 为非负整数)时，22(51)152(52)55k m k k k k ⎡⎤+⎡⎤==++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且当k =1时，m 为素数，此时6n =；(3)当52n k =+(k 为非负整数)时，22(52)454(54)55k m k k k k ⎡⎤+⎡⎤==++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且当1k =时，9m =为合数，因此对所有正整数k ，m 都是合数；(4)当53n k =+(k 为非负整数)时，2(53)(1)(51)5k m k k ⎡⎤+==++⎢⎥⎣⎦，当0k =时 1m =，当k 为正整数时，m 为合数；(5)当54n k =+(k 为非负整数)时，2(54)(1)(53)5k m k k ⎡⎤+==++⎢⎥⎣⎦，当0k =时3m =是素数，此时4n =，当k 是正整数时，m 是合数．所以n =4,5,6时，25n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是素数，这样的n 的倒数之和为1113745660++=． 评注：采用分类讨论法时，一定要根据题目自身的特点，进行合理的分类，此题是按除5所得余数进行分组来分类讨论的，从而使问题得到简化．以后我们做题要因题而异，不要盲目下结论．2.5 数学归纳法例6[5] (1981年第10届美国数学奥林匹克)若x 为正实数，n 为正整数，证明：[][][][]2...12x x nx nx n ≥+++ 证 记[]1n n i ix x i ==∑，于是问题变为证明[]n nx x ≥．下面用数学归纳法证明这个不等式．(1)当n =1时，显然有[]1x x =，所以当n =1时，命题成立；(2)假设当k =l ，2，…，1n -时，命题成立，即[]k x kx ≤（1,2,...,1k n =-）由[]1k k kx x x k-=+得()[]111kk k kx k x x kx --=-++，对k 取,1,...,3,2n n -得 ()[]111,n n n nx n x x nx --=-++()()[]12212(1)n n n n x n x x n x ----=-++-， ()()[]23323(2)n n n n x n x x n x ----=-++-，……,[]322323x x x x =++， []21122x x x x =++，将以上(1)n -个不等式的两边分别相加，消去两边相同的项，得[][][]12211...(1)...2n n n nx x x x x x nx n x x --=+++++++-++由归纳假设如[][][][][][][][](1)(2)...2(1)...2n nx n x n x x x x nx n x x ≤-+-++++++-++ (1) 再由高斯函数的性质壬，对上式继续推导，(1)式右端等于[][]()[][]()[][][]()()()[][](1)(2)2...((1))122...1n x x n x x x n x nx n x x n x x x n x nx n nx -++-++++-+≤-++-++++-+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是[]k x kx ≤，即k n =时，命题成立．故对所有正整数n ，命题成立．2.6 枚举法例7 (1999年加拿大数学奥林匹克)求方程[]2440510x x -+=的所有实数解． 解 由高斯函数的定义知，[]x x ≤，因此原式可化为[]()()220440514405123217x x x x x x =-+≥-+=--即31722x ≤≤，于是[]x =l ，2，3，4，5，6，7，8． 当[]1x =时，方程化为2411x +=0，无实数解；当[]2x =时，方程化为24290x -=，得2x =；当[]3x =时，方程化为24690x -=，可得42x =>与[]3x =矛盾；当[]4x =时，方程化为241090x -=，可得5x =>与[]4x =矛盾；当[]5x =时，方程化为241490x -=，可得6x =>与[]5x =矛盾；当[]6x =时，方程化为241890x -=，可得x =，此时6=⎣⎦，因此2x =是方程的解；当[]7x =时，方程化为242290x -=，可得2x =，此时72=⎣⎦，因此x =是方程的解；当[]8x =时，方程化为242690x -=，可得x =，此时8=⎣⎦，因此x =是方程的解；综上可知，方程的解集为⎪⎪⎩⎭． 评注 此题可以改编为求方程[]2440510x x ++=的所有实数解，其解法与例6是一样的．枚举法相对比较简单，适合于中小学数学竞赛，但要注意枚举时千万不要漏举与多举．2.7 数形结合法在求解含有高斯函数的方程中，可以根据方程的特点，利用数形结和把方程转化为求两个图像的交点解决，但利用此法，只能从图像中找到解的大体位置及解的个数，因此，必须对此进行逐个的计算和检验，才能得到正确的答案．例8[3] 解方程1142x x +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 分析 本例为[][]u v =型的方程，首先由高斯函数的性质可知，若[][]u v =，则1u v -<，求出x 的区间，但此条件为原方程成立的必要但非充分条件，故还须对函数()u h x =和()v q x =的图像进行分析才能得到正确结果．由1u v -<得11142x x +--<-<1，得7x -1<<．令()()11,42x x h x q x +-==，在同一坐标系中画二者的图像：分析两者在区间(1,7)-内的图像，观察可知，当(1,1)x ∈-时，104x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而112x -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，方程不成立； 当[)1,3x ∈时，11042x x +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 当[)3,5x ∈时11142x x +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当[)5,7x ∈时，114x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而122x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，方程不成立． 综上所述，原方程的解是15x ≤<．2.8 [9]凑整、估值法针对求的[]x 值的题目，可以利用不等式中的放缩技巧或其他性质，将难以处理的求和转化为可以裂项相消的代数式之和，从而使问题迎刃而解．例9设1...S =+++，求[]S ． 分析 为求[]S 的值，如果对各项直接求解，会比较麻烦，这时我们就考虑有没有简单的方法来解决，而题中是一个和式问题，我们可以考虑来缩小它的范围，>最小的整数范围．解 设*1100,n n N <≤∈>><<，即22<<．不等式两边对n求和可得，1001001002222n n n ===<<∑∑故)212118S <-<=，但210- =17，2220317>>-=，所以1819S <<，即[]18S =．以上是我们常见的几种比较简单的方法，当然，解有关高斯函数题的方法还有很多，比如：分组拆项法、命题转化法、共轭因数法、不等式法等等，这就要求我们根据实际情况来选择合适的方法来进行求解，以便达到事倍功半的效果．第三章 关于高斯函数的进一步探讨高斯函数的许多问题在日常生活中有很广泛的应用，它们都是数学竞赛题的来源，在本章中我们主要讨论高斯函数在积分、数列以及高斯和式问题．3.1 积分问题[10]对于高斯函数[]x 的积分，由定义知高斯函数是一个具有第一类间断点的函数，只要在积分区间内有有限个这类间断点，则根据定积分的可积性知函数[]x 在积分区间上可积，下面来求如下积分． 例1 求积分[]0nx dx ⎰（n 为有限自然数）．解 [][]()()01111112nnnkk k k x dx x dx k n n -====-=-∑∑⎰⎰利用上述结果很容易求出斜坡函数[]x x -的积分，即[]{}[]()222000111222222nn nnn n n n x x dx xdx x dx x n n ⎡⎤-=-=--=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．例2 求积分ln(1)ln1n x e dx +⎡⎤⎣⎦⎰． 解 ()()ln(1)ln(1)ln(1)ln1ln ln 111[][]ln 1ln nnnn k k xxkkk k k e dx e dx k dx k k k +++======+-∑∑∑⎰⎰⎰()1ln!nn n +=上述关于高斯函数积分的问题即简单又有趣，下面来推导几个有关高斯函数积分的公式． 例3 求[]00x ny nx y dxdy ≤≤≤≤+⎰⎰．解首先将区域(){},0,0D x y x n y n=≤≤≤≤分为2n 个小区域，(){},1,0,0k D x y k x y k x y =-≤+<><，1,2,3 (2)n =，在1D 上[]0x y +=，在2D 上[]1x y +=，…，在1n D -上[]2x y n +=-，在n D 上[]1x y n +=-，在1n D +上[]x y n +=，…，在21n D -上[]22x y n +=-，在2n D 上[]21x y n +=-，且每个小区域的面积分别为1352131,,,,,,222222n -⋯于是有 21[][]knk DD x y dxdy x y dxdy =+=+∑⎰⎰⎰⎰1352121012(1)22222n n n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-+⨯+⋯ 31(22)(21)22n n +-⨯+-⨯1[132537(1)(21)(21)2n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+--+-+⋯(22)3(21)n n +-⨯+-⨯ 121()2s s =+ 其中12132537(1)(21)(21)(22)3(21)1s n n s n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+--=-+⋯+-⨯+-⨯经计算得2212(431),(831)66n ns n n s n n =--=-+，故 []()21212Dx y dxdy n n +=-⎰⎰． 利用上述公式可解下题： 例4 求[]0202x y x y dxdy ≤≤≤≤+⎰⎰的值．解 将2n =代入公式[]()21212Dx y dxdy n n +=-⎰⎰便有[]()202021222162x y x y dxdy ≤≤≤≤+=⨯⨯⨯-=⎰⎰ 例5 求22220,0x y x y nx y dxdy >>+≤⎡⎤+⎣⎦⎰⎰的值 ．解 将区域(){}22,,,0D x y x y n x y =+≤>分为n 个小区域，(){}22,1,,0kD x y k x y k x y =-≤+<>，1,2,3...,2k n =这n 个小区域的面积为4π，在这些区域上，函数22[]x y +的值分别为0,1,2,1n ⋯- 于是便有()()2222111114k knnnk k k DD D xy dxdy x y dxdy k dxdy k π===⎡⎤⎡⎤+=+=-=-⎣⎦⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰()18n n π=-上述两个积分公式在以后解决高斯函数积分问题上会有很大的帮助，如果我们进一步的研究将会得到更多更有用的结论．3.2 高斯和式问题定理（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x 为实数，则[]10n i i x nx n -=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑．证明 令[]10()n i i f x x nx n -=⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑则[]110011111n n i i i i f x x n x x nx n n n n n --==⎡⎤⎡+⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎤+=++-+=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎦⎣⎦⎣∑∑ [][][][]()101011n i n i i x x x nx n i x nx n f x -=-=⎡⎤=+-++--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦=∑∑故()f x 是以周期为1n 的周期函数．当1[0,)x n∈时，显然有()0f x =，故对上式任意实数x 均成立．例6 设n 为整数，计算和式232341222...2222n n n n ⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 解 上式可简化为232341222...2222n n n n ⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1022k k k n ∞+=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑ 由Hermite 恒等式可得，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，则[][]122x x x ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦．于是111112122222222k k k k k k k n n n n n n +++++⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此，1100022222k k k k k k n n n n n ∞∞++==⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑．例7 设n 为正整数， α，i x ，i y ()1,2,...,i n =为实数，证明：123...n x x x x ≤≤≤≤ 123,...n y y y y ≥≥≥≥．且满足1n i i ix =∑=1n i i iy =∑，则[][]11n ni i i i i y i x αα==≥∑∑．证明 记i i i x y z =-，则12...n z z z ≤≤≤且10ni i iz ==∑ 故只需证明[]10nii i zα=≥∑ (1)即可．令112211,0,...,0n n n z z z z z -∆=∆=-≥∆=-≥，则1ii j j z ==∆∑（1i n ≤≤），于是111110jn n i n i j j i i j j i iz i i ======∆=∆=∑∑∑∑∑从而211n njj i jni ii===∆=∆∑∑∑ (2)于是[][][][]11112211[]n n n i n n n n nn i j i j j j j n i i j j i j j i j j i i i i z i i i i i ααααα===========⎛⎫⎪ ⎪=∆=∆∆-∆ ⎪ ⎪⎝⎭=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑[][]121n n n ni ji j n nj i j i j i i i i i i αα======⎛⎫ ⎪ ⎪=∆- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 由于20n nj j i ji ==∆≥∑∑，则(1)式成立等价于[][][][][][]111111111111nn j j nn i ji ji i i i nnnj nj i ji i j i i i i i i i i i iiiiiiαααααα--======--======≥⇔≥⇔≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (3)故只需证明对任意的1k ≥，有[][]111111k ki i k ki i i i i iαα+==+==≥∑∑∑∑而上述不等式等价于()[]()[]()()1111102k ki i kk i k i k i ααααα==+≥⇔+--+-≥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑．注 有性质知[][][]x y x y +≥+对任意的,x y 均成立，上述不等式显然成立．参考文献[1]闵嗣鹤，严士健编.初等数论（第三版）高等教育出版社，2003．[2]梅向明．国际数学奥林匹克30年［Ｍ］．北京出版社，1991．[3]王朝霞.含有[x]或{x}的方程的解法[J].唐山师院学报,2004,(5)[4]刘诗雄等．奥数教程(高二年级)．(第二版)．华东师范大学出版社，2003.[5]陈景润著.初等数论Ⅱ.科学出版社.1980[6]宋庆龙．高斯函数的应用．唐山师范学院学报．2005，(3)．[7]余红兵著.奥数教程(高二年级).华东师范大学出版社.2006．[8]柳柏镰，吴康著.竞赛数学的原理与方法.广东高等教育出版社.2003．[9]殷堰工.整数部分[x]与小数部分{x}问题的解法[J]. 1994,(10-11)．[10]钱吉林等，高等数学辞典[M] 武汉：华中师范大学出版社，1999．平顶山学院本科毕业论文（设计）致谢在大学四年的学习过程中，我得到了数科院各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高．在此谨向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师李文老师，她严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；李老师以丰富的科研经历，解说学问，侄释为师之道，旁征博引，使我受益匪浅.在此向李老师表示衷心的感谢!感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是她们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩．她们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情．她们的待人处事,治学态度将会影响我的一生．在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！- 19 -。
高斯函数的应用
高斯函数的应用周莉莎;霍梦圆【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(029)001【摘要】Gaussian function is one of very important number theory functions ,and the questions can be simplified if Gaussian function is used to solve some mathematical contest questions. In this paper, another two kinds of proof are given for that Gaussian function is used to prove that combined number is a positive integer,and that the solving method for the last two-digit of （a√p＋b√q）t is provided,which embodies the advantage of Gaussian function.%高斯函数是一个非常重要的数论函数，利用高斯函数来解一些数学竞赛题，会使问题得到简化，利用高斯函数对组合数是一个正整数给出了另两种证明，并且给出了（a√p＋b√q）t的末两位数的求法，体现了高斯函数的优越性。
【总页数】3页(P8-10)【作者】周莉莎;霍梦圆【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆401331;重庆师范大学数学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O156.1【相关文献】1.基于高斯函数的风机特性曲线拟合及应用 [J], 郭佰灿;乔登攀;范凌云;程国祥;朱继龙2.基于高斯函数的春玉米叶片功能期模型构建与应用 [J], 李姚姚;范盼盼;明博;王春霞;王克如;侯鹏;谢瑞芝;李少昆3.高斯函数性质的应用 [J], 勉辉4.高斯函数[x]性质及其应用 [J], 文贵双5.基于高斯函数的小波基的构造方法及在滚动轴承故障诊断中的应用研究 [J], 王鹏;程秀芳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
初中数学竞赛代数专题讲义之高斯函数例题习题及详解
初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。
符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。
一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。
一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。
记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。
2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。
【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。
若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。
【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。
例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。
【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。
高斯积分的计算方法
高斯积分的计算方法在数学领域内，高斯积分是一类经典的数学积分，它不仅深受广大数学学者的喜爱，更在科学与工程领域内应用广泛。
高斯积分的计算方法在数学的发展史上也有着突出的地位。
高斯积分的概念及应用高斯积分是计算圆柱体体积的重要方法之一，它起源于高斯儿时曾在数学竞赛时受到圆柱体体积的启发，从而产生了求出圆柱体体积的积分方法，这就是高斯积分。
高斯积分包含两种类型，第一类和第二类。
第一类和第二类高斯积分分别用于计算复平面中的任意四边形及半平面上的积分问题，是极其有用的数学工具。
在物理学中，高斯积分也运用得非常广泛，可以用来求解电场、磁场、热力学等问题。
高斯积分的计算一般多使用复数表示，复数的实部和虚部对应于二维空间中的横坐标和纵坐标。
对于复平面上的第一类高斯积分，可以利用复变量的奇偶性质以及圆形映射将圆上的高斯积分转化为实轴上的积分问题，从进而求解高斯积分。
对于第二类高斯积分，通常采用变形的方式将积分式转化为反常积分，然后再利用数值解法或者级数展开法求解反常积分。
具体而言，我们将复平面的积分路径展开为两条道路，设积分函数为f(z)，则当选取的路径使得沿路径的积分无穷大时，在道路由初始点z1到终止点z2的方向上分别分割成R和r两段，则有以下套路的计算方式：∫(z1,z2)f(z)dz = ∫R f(z)dz + ∫r f(z)dz其中∫R f(z)dz表示对有限的路径积分进行求解，而∫r f(z)dz则表示计算路径积分的一部分，因此在变形之后我们只需要将∫r f(z)dz 根据变形后的路径进行求解即可。
总结高斯积分作为经典数学积分，在物理、工程以及金融领域都有着广泛的应用。
高斯积分的计算也有着不同的方法，需要根据实际问题的需求不断灵活运用。
不过，绝大多数情况下我们都可以采用圆形映射的方法统一化计算，以及采用变形的方式将积分式转化为反常积分进行求解。
高中数学竞赛专题讲义-高斯函数
高斯函数(1)[知识点金]1. 有关概念对于任意实数x ,[]x 为不超过x 的最大整数,,[]y x =称为取整函数或叫高斯函数,并将{}[]y x x x ==-称为小数部分函数,表示x 的小数部分.2. 重要性质(1) []y x =的定义域是R ,值域为Z ;(2) 如果,x R n Z ∈∈,则有[][]n x n x +=+;(3) 对任意x R ∈,有[][][]1,1x x x x x x ≤<+-<≤;(4) 当x y ≤时,有[][]x y ≤,即[]y x =是不减函数;(5) 对于,x y R ∈,有[][][][][]1x y x y x y +≤+≤++;(6) 如果,n N x R +∈∈,则[][]nx n x ≥;(7) 如果,n N x R +∈∈,则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 3. 常用方法(1) 定义法 (2) 讨论 (3) 分组法 (4) 去整法 (5) 构造法[例题精析]例1 求方程21310380x x +⎡⎤-⨯+=-⎣⎦的解的个数.例2 解方程 [][]83523x x -=.例3 求方程[]2lg lg 20x x --=的实数根的个数.例4 求函数15()1(0100)15x f x x x -⎡⎤⎡⎤=+<<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域.例5 求证:方程[][][][][][]248163212345x x x x x x +++++= 无实数解.例6 (1) ,x R n N ++∈∈,且1至x 之间的整数中,有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个是n 的倍数. (2) 在!n 中,质数P 的最高方次数是23(!)n n n P n p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ . (3) x 为实数,n 为正整数,求证: [][]121.n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦例7 若实数x 满足192091546100100100x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,求[]100x 的值.例8 求100123101n n =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑的值.例9 求2000010010103⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的个位数字.例10 设[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求集合2,12004,2005k n n k k N ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭的元素个数.[同步检测1]1.求232007232007⎡⎡⎡++++++⎢⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值. 2. 已知,x y 满足[][]23325y x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩,求x y +的取值范围. 3. 求方程[]2tan 2cos x x =的解集. 4. 解方程 []2440510x x -+=. 5. 求方程[]2870x x -+=的所有解. 6. 解方程[]33x x -=. 7. 求函数1122(),(0,90)1122x f x x x ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⋅∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域. 8. 求实数933110103⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的末两位数字.9. 对任意的n N +∈,计算和1022k k k n S ∞+=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑.10. 计算和式5020305503n n S =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑的值.11. 设M 为一正整数,问方程[]{}222x x x -=在[]1,M 中有多少个解?12. 对自然数n 及一切自然数x ,求证: [][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .13. 在区域{}(,),0,1x y x y x y >=中,求函数[][][][](,)1x yf x y x y x y +=⋅+++的值域,其中[]a 表示a 的整数部分.14. 设n 是给定的大于1的正整数,求证: 存在唯一的正整数2A n <,使得21n n A ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.高斯函数(2)前述部分重要性质的证明:性质5: []{}[]{}[][][]{}{},,x x x y y y x y x y x y ⎡⎤=-=-+=+++⎣⎦[][]0x y =++或1性质6: []{}[][]{}[]{}[],x x x nx n x n x n x n x n x ⎡⎤=+=+=+≥⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 性质7: []1x x x x x x x n x n n n x n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤<+⇒≤<+⇒≤<+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ [][]1x x x x x n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒≤<+⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 例11.从992到1992的整数中,有多少个数是7的倍数?如果79929931992k⋅⋅ ,求最大的正整数k .例12. 求1992!末尾的0 的个数.例13.在整数列22221231980,,,,1980198019801980⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 中,包含着多少个互不相等的整数?例14.求数列1,2,2,3,3,3,,,,,k k k k个的通项公式.[同步检测2]1.[][]x y =是1x y -<的 条件.A. 充分不必要 B 必要不充分 C. 充分必要 D.既不充分也不必要2.在1000!的十进制展开中,末尾有 个零.3.方程[]292x x -=的实数解为 .4.求和++++ .5.求证:对于任意实数,x y 都有[][][][][]22x y x x y y +≥+++6.对于n 为大于2 的正整数,求证:(1)1424n n n n ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.7.求和[]102421log N N =∑。
含有高斯函数方程组的解法
解 该 方 程 组 可 得 ｛ 三
因为［ Ｘ ］ ： ４ ， 所以４ ≤ ｘ ＜ ５ ， 所以１ ４ ≤ ｘ ＋ ｙ ＜ １ ５ ， 故ｘ ＋ ｙ ］ ： １ ４ ．
例３ （ ２ ０ ０ ４ 届第九届华杯赛初一总决赛）解方
１ ０ ≤ ＜ １ ／ ３ ．
２解题方法介绍
解 由 取整运算的性质可得 一 ２ ］ － ［ ｘ ］ － ２ ．
４ ８
福建 中学 数学
２ ０ １ ５ 年 第 ２期
代 入 原 方 程 组 整 理 得 』
一
２’
２ ２． ［ ３ ｔ ｘ Ｊ ＋ ｔ ｙ ｌ ＝
综 上 可 知 ， 原 方 程 组 的 解 为 ｛ ｌ ／ ３ ， 或
３
’
Ｈ＜ ；
（ ２ ）若［ Ｘ ］ ＝ ｎ ，贝 ０ ≤ ＜ ｎ ＋ １ ．
特 别 的 ，当 ＝０时 ，即若 ＝０，则 ０ ＜１ ；
２ ． ２性质法 例２ （ １ ９ ９ ６ 年山东省初中数学竞赛题 ・ ３ ）如
（ ３ ）对任意实数 和整数ｎ 有［ ＋ １ １ ］ ： ｎ 十 ， ｛ ｘ ＋ ｒ ｔ ） ＝ ∽ ；
方程 组 的题 目，这 类题 目理解 容 易 ，但 解 起 来却 十 分 棘 手 ．用解 方 程组 的常 规 方法 是 无能 为 力 的 ．这
２ ． １定 义法
例１ （ 第十五届华杯赛决赛 初一组 ・ ｌ ２ ）求
方程 组
十 一
类问题的解决主要在于对高斯 函数的定义、性质要 作深刻的理解 ，并且解题需要很强的技巧性 ．本文 先 介 绍高 斯 函 数 的定 义 和基 本 性质 ，为 探讨 高 斯 函 数 项方程 组 的求 解 方法做 准备 ． １概念与性质 定义 高斯函数 又称取整函数 ．设 ｘ 是实数 ， 表示不超过 Ｘ 的最大整数， 称为 的整数部分． 定
高斯公式应用案例
高斯公式应用案例高斯公式是数学中非常重要的公式之一，它在物理、工程、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
下面我将为你介绍一些与高斯公式相关的应用案例，帮助你更好地理解和应用这个重要的数学工具。
一、电场中的高斯公式应用在物理学中，高斯公式广泛应用于描述电场的分布情况。
当我们需要计算某处点电荷的电场强度时，可以使用高斯公式将电场的流量与所选闭合曲面的电通量关联起来。
这使得我们不必计算所有电荷对该点电场的贡献，而可以通过计算选定闭合曲面上的电通量得出结论。
这种应用方式大大简化了电场分布的分析和计算过程。
举例来说，假设我们需要计算一个均匀带电球面上某点的电场强度。
我们可以选择一个球形闭合曲面，然后利用高斯公式来计算球面上的电通量。
通过与待测点电荷的距离、球表面积等因素的关联，我们可以轻松地得出待测点的电场强度。
二、计算机图形学中的高斯公式应用在计算机图形学中，高斯公式被广泛应用于曲面的离散化表示和计算。
当我们需要在计算机程序中处理和操作复杂的曲面模型时，通常需要将曲面进行离散化，即将曲面分割成一系列小的平面片段或多边形。
高斯公式在这个过程中扮演了重要的角色，它可以帮助我们计算曲面的拓扑特性，比如曲面的亏格（Euler characteristic）和孔的个数。
这些信息对于曲面的表示和计算非常重要，可以帮助我们更好地理解和操作曲面模型。
三、物理学中的高斯定律应用高斯定律是物理学中描述电场、磁场和重力场的定律之一。
在这些领域中，高斯公式都有着重要的应用。
以电场为例，高斯定律描述了电场通量与电荷量之间的关系。
通过高斯公式，我们可以将电场的分布情况与所选闭合曲面上的电通量联系起来，从而得出有关电场的重要信息。
在磁场和重力场的描述中，高斯公式同样有着类似的应用。
通过选择合适的闭合曲面和利用高斯公式，我们可以得出关于磁场和重力场的重要信息，比如磁通量和重力通量。
这些信息对于分析和计算磁场、重力场的分布和特性非常重要。
高斯函数在数学竞赛中的应用
第27卷 第4期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 27 No.4 2007年 7 月 Journal of Science of Teachers′College and University Jul. 2007文章编号：1007-9831（2007）04-0080-03高斯函数在数学竞赛中的应用赵开明（重庆师范大学 数学与计算机科学学院，重庆 400047）摘要：高斯函数是一个非常重要的数论函数，其应用非常广泛．在数学竞赛中经常出现关于][x 的方程、等式、不等式、整除问题、格点问题、组合数问题以及二项式定理问题等，对高斯函数定理进行推论，并利用高斯函数对数学竞赛中的几道典型题目巧解，体现高斯函数的优越性． 关键词：高斯函数；数论函数；数学竞赛 中图分类号：O156.1 文献标识码：A][x 和}{x 是非常重要的数论函数，其他许多数学分支都要涉及到，在国内外的数学竞赛中也经常出现含有][x 和}{x 的问题，这类问题新颖独特，颇具启发性．定义1[1]8设∈x R ，不超过x 的最大整数称为高斯函数，记为][x ，称][x x −为小数部分或分数部分，记为}{x ．定理1[1]63-65 设x ，y 是实数，有（1）若y x ≤，则][][y x ≤，即有][x y =是不减函数；（2）对于任意整数m ，m x m x ==+][][，}{}{x m x =+，}{x 是周期为1的周期函数； （3）1][][][][][++≤+≤+y x y x y x ，其中等号有且仅有一个成立；}{}{}{y x y x +≤+． 定理2[2]对正整数m 有]/[]/][[m x m x =，∈x R ． 由定理2可推出结论：推论1 （1）][][][βαβα−=−或1][][][+−=−βαβα；（2）][][][]2[]2[ββααβα+++≥+． 证明（1）由于}]{}[{][][}]{}{][][[][βαβαβαβαβα−+−=−+−=−=⎩⎨⎧<−−≥−}{}{ 1][][}{}{ ][][βαβαβαβα，所以][][][βαβα−=−或1][][][+−=−βαβα．（2）由于}][{2}][{2][2][2]2[]2[βαβαβα+++=+，}][{2}][{][2][2][][][βαβαββαα+++=+++， 故只需要证明}]{}[{}]{2[}]{2[βαβα+≥+.若0}]{}[{=+βα．由0}{≥α，0}{≥β可得，}]{}[{}]{2[}]{2[βαβα+≥+；若1}]{}[{=+βα，则}{α和}{β中至少有一个不小于2/1，从而}{2α和}{2β中至少有一个不小于1，故}]{}[{}]{2[}]{2[βαβα+≥+． 定理3 ∈x R +，∈n N ．则1至x 之间的整数中，有]/[n x 个是n 的倍数．证明 因1]/[/]/[+≤≤n x n x n x ．即有n n x x n n x )1/]([]/[+≤≤，这说明不大于x 而且是n 的倍数的正整数只有下列]/[n x 个：n ，n 2，…，n n x ]/[．例 100～500中是11的倍数的数有36]11/100[]11/500[=−个．定理4[3] 在n ！的标准分解式中质因式p （n p ≤）的指数∑∞==++=1][][][r r n/p n/p n/p h L ．由定理4可得：收稿日期：2007-02-24作者简介：赵开明（1980-），男，重庆璧山人，在读研究生，从事数论方面研究．E-mail：zkm_1104@第4期 赵开明：高斯函数在数学竞赛中的应用 81推论２ 设n 是任一正整数，且L +++=2210p a p a a n ，p 是质数且p a i <≤0，在n ！的标准分解式中，质因式p 的指数是)1()(−−=p /S n h n ，其中L +++=210a a a S n ．证明 由于1)1/()1()]1(/[)1(/)1(/)(01111110<+−≤−−=+++<+++≤+++++r r r r r r r r r p p p p p a p p p a p p a p a a L L其中} , , ,max{10r a a a a L =．于是有L L L ++++++++++==∑∞=p a a p a p a a p a p a p a a p n h r r 4324323423211]/[L L L ++++++++++=243342324433221p a p a p a p a p a p a p a p a p a hp=+++++++++=−)()(43214433221L L a a a a p a p a p a p a h hp=+++++−+++++)()(4321044332210L L a a a a a p a p a p a p a an S n − 证毕．用定理1～定理4及推论1~推论2对数学竞赛中的3个典型题目进行巧解．例1 求方程051][4042=+−x x 的全部实根．解 由51][4042−=x x 是奇数，可设1242+=k x （∈k Z +），于是4/)12(+±=k x （负根不合题意， 舍掉），故2/)12(+=k x ．原方程化成20/)26(]2/)12([+=+k k ，由于左端是整数，则20/)26(+k 是整数，1420+=t k （0=t ，1，2，…），故120/)2(]2/)12([20/)20(++<+<+k k k ．解此不等式可得244<≤k 或14484≤<k ，其中满足1420+=t k 的有14，94，114，134，对应的解分别是2/291=x ，2/1892=x ，2/2293=x ，2/2694=x ．例1是对定理3的灵活应用．例2 求])2129[(000 2+的末2位数字．解 令2129+=α，2129−=β，则6092502+=α，6092502−=β，则10022=+βα，6422=βα，令2α=a ，2β=b ，则a ，b 是方程0641002=+−x x 的２个根．令2000=+=b a S ，111b a S +=，222b a S +=，…，n n n b a S +=，则064100012=+−S S S ，064100123=+−S S S ，…，2164100−−+−n n n S S S 0=，则)100(mod 366422−−≡−≡n n n S S S ．当000 1=n 时，)100(mod 62)(36)(3649900499998998×≡+=+≡b a b a S n ．即≡×≡+499000 2000 262βα)100(mod 32，所以000 2000 2)2129()2129(−++的末２位数是32．又121290<+<，121290<+<1)2129(0000 2<+<，故11])2129[(000 1000 2−=−=+S S n ，即])2129[(000 2+的末２位数是31．当遇到])[(n q b p a +形式时，往往与])[(n q b p a −同时考虑，由此可以化为整数．主要利用二项式定理和定理1．例3 设α，β为正无理数，并且1/1/1=+βα，则数列][αn a n =，][βn b n =（1=n ，2，…）都是严格递增的，并且1|{=n a n ，2，…1|{}=n b n I ，2，…φ=}，1|{=n a n ，2，…1|{}=n b n U ，2，…=}N ．证明 由1/1/1=+βα知1>α，1>β，因此}{n a ，}{n b 均为严格递增数列．任取∈c N ．设在) ,1[c 内，}{n a ，}{n b 分别有k h ,项，则])1[(][αα+≤<h c h ，即αα)1(+<<h c h ，1/+<<h c h α．同理有1/+<<k c k β，故有2//++<+<+k h c c k h βα，2++<<+k h c k h ，故1++=k h c ，即有−=+c k h 1．又由c 的任意性，在)1 ,1[+c 中，}{n a ，}{n b 共有c 项．于是)1 ,[+c c 中，}{n a 和}{n b 共有一项即c ，这表明任一自然数数列} ,2 ,1|{} ,2 ,1|{L U L ==n b n a n n =N ．同时c 也仅属于２个数列之一．命题得证． 满足φ===} ,2 ,1|{} ,2 ,1|{L I L n b n a n n 和===} ,2 ,1|{} ,2 ,1|{L U L n b n a n n N 的数列称为互补数列．该题也称为Beaty 定理，在有关][x 的竞赛题中经常出现．82 高 师 理 科 学 刊 第27卷参考文献：[1] 张君达．数论基础[M]．北京：北京科学技术出版社，2002：8，63-65．[2] 闵嗣鹤，严士健．初等数论[M]．2版．北京：高等教育出版社，1982：21．[3] 刘凯年．高中数学奥林匹克同步教材[M]．北京：北京理工大学出版社，1992：76-77．[4] 吴康．奥赛金牌之路[M]．桂林：广西师范大学出版社，2002：386．[5] 曾荣，王玉．基础数论典型题解300例[M]．长沙：湖南科学技术出版社，1981：156．[6] 华罗庚．数论导引[M]．北京：科学出版社，1957：222．Application of Gaussian function in the mathematics contestZHAO Kai-ming（School of Mathematics and Computer Science，Chongqing Normal University，Chongqing 400047，China）Abstract：Gaussian function is one of the important number theory function．It is applied very extensive．Usually appears in mathematics contest concerning of square distance，equation，inequality，divisible，lattice point，morse sequence，bonomial theorem．Mainly carried on to the Gaussian function axioms inference and made use of the Gaussian function logarithms to learn the contest in of a few typical models topic dexterity solution, reflected the better result of the Gaussian functionKey words：Gaussian function；number theory function；mathematics contest（上接第65页）参考文献：[1] 高岩，阴丽波，石桂玲．大豆油脚的主要成分及其综合利用[J]．黑龙江粮油科技，2000（2）：19-20．[2] 刘凯洋．高纯度大豆粉末磷脂的制取新工艺研究[J]．中国油脂，2000，25（3）：59-61．[3] 陈霞，赵贵兴，孙子重．大豆加工副产物——豆渣及油脚的利用[J]．黑龙江农业科学，2006（6）：57-60．[4] 王晓辉，司南，叶爱英．植物油脚的综合利用[J]．现代化工，2006，26（11）：21-24．[5] 刘玉兰．大豆油脚生产脂肪酸的工艺研究及经济效益评价[J]．中国粮油学报，2000，15（2）：32-36．[6] 卢艳杰，龚院生，张连富．油脂检测技术[M]．北京：化学工业出版社，2004：134-135，156-157．[7] 何照范，张迪清．保健食品化学及其检测技术[M]．北京：中国轻工业出版社，1998：95-98．Extracting method of soybean phospholipid in soybean oil sedimentsLIU Fu-di（Qiqihar Nanjiao Wastewater Treatment Company，Qiqihar 161055，China）Abstract：Soybean phospholipid was obtained by centrifuging，adding acetone to the center part，sucking filtration，and vacuum drying from the fresh soybean oil sediments．The results showed that the optimal parameters of a orthogonal optimize experiments are as fellows centrifuge speed is 5 000 r/ min，volume ratio of soybean phospholipid and acetone is 1∶6，the production was washed three times with acetone．The relative amount of lecithin had achieved 86.78%．Key words：soybean oil sediments；soybean phospholipid；extraction。
高斯函数
初始化数组
a_LBbh.RemoveAll();
a_WDbh.RemoveAll();
a_WJlj.RemoveAll();
a_DWbh.RemoveAll();
a_WDmc.RemoveAll();
a_GJz.RemoveAll();
附:
C++ Source Part One
Zdxxb.cpp: implementation of the CZdxxb class.
#include "stdafx.h"
#include "WordGLXT.h"
#include "Zdxxb.h"
#ifdef _DEBUG
#undef THIS_FILE
}
void CZdxxb::Load_dep()
{
连接数据库
ADOConn m_AdoConn;
m_AdoConn.OnInitADOConn();
设置SQL语句
_bstr_t vSQL;
vSQL="SELECTFROM Zdxxb ORDER BY WDbh";
_RecordsetPtr m_pRecordset;
}
void CZdxxb::sql_insert()
{
ADOConn m_AdoConn;
CString strLBbh;
strLBbh.Format("%d",LBbh);
CString strWDbh;
strWDbh.Format("%d",WDbh);
2013高中数学奥数培训资料之高斯函数
高斯函数数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1；}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，].[][ba nb na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][；特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.（8）]][[][nx n x=，其中*∈+∈N n R x ,.例题讲解1．求证：,2!211--=⇔k n n n 其中k 为某一自然数.2．对任意的∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和3．计算和式.]503305[502的值∑==n nS4．设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？5．求方程.051][4042的实数解=+-x x6．.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：].[]1[]2[]1[][nx nn x n x n x x =-+++++++ .8．求出]31010[10020000+的个位数字例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为∑∞==1].2[)!(2t t n n 若∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则故!.|21n n -反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是 ≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++由于12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s ts n n n p 则的方次数中含故则n !.这与已知矛盾，故必要性得证.2．解：因]212[]22[11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此， ].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k n n n又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而3．解：显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305=-n可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503)503(305[=-n 故 ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x +⋅+=代入原方程，化简得=}]{[2x x,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数..1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x5．解：.0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或 .2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】.,2,1,][2]2[][ =+++=k k kx x x A k 令由于.,1],[1命题成立时则==n x A.,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k7．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ⑴若|－2a|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|} 而f ⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2 ∴ M≥2＞21 ⑵|－2a|＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4a 2＋b|}≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4a 2＋b|) ≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4a 2＋b)] ＝)2a 2(412+≥21 综上所述，原命题正确.8．先找出3101010020000+的整数部分与分数部分.3101010020000+=31033103)10(100200100200200100+++-.3108110310910310310]31010[,131093103.310310,3)10(|310310|3)10(,)3(])10[(3)10(1005020000100100200001002002000100200001001001002001002002000022100100200200002210010021002100200200100+-=+-=+-=+<+=++--+---=-知显然是整数知又知其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.∫在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边多边形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
初中数学竞赛重要定理公式（代数篇）
初中数学竞赛重要定理公式（代数篇）初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ?ab+b2)=a3±b3多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时a n-b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。
重要公式（欧拉公式）(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f(x)=g(x)q(x)-r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。
高斯函数是非常好玩的函数
高斯函数是非常好玩的函数。
它的图象也很有趣，有很多好玩的性质。
我们初中仅仅接触高斯函数值中的一些知识点和简单的性质应用。
我们初中称为取整。
即[x]表示不超过x的最大整数.
例如：知道[2.3]=_____，知道[－2.3]=______，知道{3.7}=_____，知道{－3.7}=_____ 另外，要会解适当的高斯函数值方程.
当然也会有较难的习题。
下面给出一个例子。
从知识点说，对六年级的奥数人来说，应该没问题的。
但是能力要求比较高。
这个题目比较难。
不会做也不必气馁。
请会做的同学手写，做好后拍照，发在这里。
最好署名。
表明原著。
如果不会做，通过学习，父母教一教，学会了，也可以，发在这里。
表明，我是学习会的。
再解释一下：{x}表是x的正的纯小数部分.。