高中数学知识点精讲精析 逻辑连接词“非”
《4.3逻辑联结词“非”》知识清单
《4.3逻辑联结词“非”》知识清单高中北师大版选修1 1第一章常用逻辑用语§4逻辑联结词“且”“或”“非”之4.3逻辑联结词“非”知识清单一、“非”的基本概念1、定义就像我们平常说的“不是”这种感觉。
在逻辑里，“非”是一种对命题的否定操作。
比如说，有一个命题“今天是晴天”，那它的“非”命题就是“今天不是晴天”。
简单吧？这就是逻辑联结词“非”的基本作用，就是把一个命题的真假性给反过来。
用数学的话来说，如果我们有一个命题\（p\），那么它的“非”命题就记作\（＼neg p\）。
这就像是给\（p\）戴了一个“否定”的帽子。
2、实例理解我给你讲个事儿。
有一次我去参加一个抽奖活动。
规则是如果一个小球是红色的，那你就能得到大奖。
这里“小球是红色的”就是一个命题\（p\）。
可是我一看，小球不是红色的，这时候“小球不是红色的”就是\（＼neg p\）。
结果我就没得到大奖，好可惜啊。
不过通过这个事儿，是不是对“非”的概念理解得更清楚了呢？二、“非”与命题真假性的关系1、规则当原命题\（p\）为真时，那么\（＼neg p\）就为假。
就像刚刚说的那个抽奖，如果小球真的是红色的（＼（p\）为真），那说小球不是红色的（＼（＼neg p\））就是假的。
反过来，当原命题\（p\）为假时，＼（＼neg p\）就为真。
要是小球实际上不是红色的（＼（p\）为假），那说小球不是红色的（＼（＼neg p\））这个说法就是真的。
2、更多例子命题\（p\）：“这个数是偶数”，如果这个数真的是偶数，比如\（2\），那\（p\）是真的，＼（＼neg p\）：“这个数不是偶数”就是假的。
但如果这个数是\（3\），＼（p\）是假的，＼（＼neg p\）就是真的。
再比如命题\（p\）：“小明的身高超过180厘米”。
如果小明实际身高是185厘米，＼（p\）为真，＼（＼neg p\）：“小明的身高不超过180厘米”就是假的；要是小明身高是175厘米，＼（p\）为假，＼（＼neg p\）就是真的。
逻辑联结词“或”、“且”、“非”-高中数学知识点讲解
逻辑联结词“或”、“且”、“非”1．逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p 或q”．规定：当p，q 两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq 是真命题；当p，q 两个命题都是假命题时，pⅤq 是假命题．例如：“2≤2”、“27 是 7 或 9 的倍数”等命题都是pⅤq 的命题．解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p 或q 表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p 真q 假②q 真p 假③p 真q 真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q 或r 表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．【且】一般地，用连接词“且”把命题p 和命题q 连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p 且q”．规定：当p，q 都是真命题时，p∧q 是真命题；当p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．例 1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；（2）p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数；（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p 且q 表示两个简单命题两个都成立，就是p 真并且q 真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．【非】一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定．规定：若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p ￢p真假假真解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p 或q”、“p 且q”的否定分别是“非p 且非q”和“非p 或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p 与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．。
高三数学一轮复习讲义逻辑连接词学生
课题：逻辑连接词知识点一、简单的逻辑联结词1.命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．（1）用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作p ∧q ，读作“p 且q ”．（2）用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作p ∨q ，读作“p 或q ”．（3）对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p ，读作“非p ”或“p 的否定”．2.简单复合命题的真值表：*p ∧q ： p 、q 有一假为假， *p ∨q ：一真为真， *p 与¬p ：真假相对即一真一假． 知识点二、量词1.全称量词与存在量词：（1）常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．（2）常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．（3）全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2.全称命题与特称命题：（1）含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．（2）含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”．3.命题的否定：（1）含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题.（2）含有逻辑连接词命题的否定“p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ；“p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”（3）“若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”【典型例题】【例1】已知条件p ：12x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≤-【例2】命题“2000,23x N x x ∃∈+≥”的否定为（ ）A ．2000,23x N x x ∃∈+≤ B ．2,23x N x x ∀∈+≤C ．2000,23x N x x ∃∈+< D ．2,23x N x x ∀∈+<【例3】命题“2,40x R x x ∀∈-+>”的否定是________.【例4】若命题p ：∀x ,y ∈R ，x2+y2－1＞0，则该命题p 的否定是__________．【举一反三】1．命题“020,log 0x R x ∃∈≤”的否定为 .2．命题“x R ∃∈，022≤--x x ”的否定是 ．3．已知全称命题[),,0:+∞∈∀x P 都有x x ≤sin .请写出:P ⌝ ，判断P ⌝的真假： .4．命题p ：x ∀∈R ，()f x m ≥．则命题p 的否定p ⌝是： 。
高二数学1.3逻辑连接词,第1课时,“且”“或”“非”的基本概念
1.3简单的逻辑连结词第1课时 “且”“或”“非”的基本概念一、知识与方法1．若p q ⇒，则称p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件。
若p q ⇒且q p ⇒，则称p 是q 的充要条件。
2．用集合法判断充要条件也是一种常用手段，从集合之间的关系上理解： ①若A B ⊆，则A 是B 的充分条件； ②若A B ⊇，则A 是B 的必要条件； ③若A B =，则A 是B 的必要条件；④若A B ⊄且B A ⊄，则A 既不是B 的充分条件，也不是B 的必要条件。
从集合的观点来判断充要条件的思考方法，可进一步加深对充要条件的理解。
基础性练习:1、命题“p ”或“非p ”( )A 、可能都是真命题B 、可能都是假命题C 、一真一假D 、只有p 是真命题2、“a+b>2c ”的一个充分不必要条件是（ ）A 、a>c 或b>cB 、a>c 且b<cC 、a>c 且b>cD 、a>c 或b<c3、用反证法证明命题“如果a>b,那么33b a >”时，假设的内容应是（ ） A 、33b a =B 、33b a <C 、且33b a =33b a <D 、或33b a =33b a <4、如果原命题的结论是“p 且q ”形式，那么否命题的结论形式是（ ）A 、q p ⌝⌝且B 、q p ⌝⌝或C 、q p 或⌝D 、p q 或⌝5、如果原命题的结论是“p 或q ”形式，那么否命题的结论形式是（ ）A 、q p ⌝⌝或B 、q p 或⌝C 、p q 或⌝D 、q p ⌝⌝且 巩固性练习：6、|x|+|y|0≠等价于（ ）A 、x=0且y=0B 、x=0或y=0C 、00≠≠y x 且D 、00≠≠y x 或7、命题“存在实数x,使|x+1|4,02<≤x 且”是（ ）A、“p或q”的形式B、“非p”的形式C、真命题D、假命题8、的是且""""BAxBxAx⋂∉∉∉（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件9、由命题p:6是12的约数，q: 6是24的约数,构成“p或q”的形式的命题是；“p且q”的形式的命题是；“非p”的形式的命题是；10、若把命题""BA⊆看成一个复合命题，那么复合命题的形式是，其中构成它的两个简单命题是、。
高中数学-逻辑连接词
【例 3】已知 c 0 ，设 P：函数 y c x 在 R 上单调递减
Q：不等式 x+ | x - 2c |> 1 的解集为 R.如果 P 和 Q 有且仅
有一个正确，求 c 的取值范围
解：函数 y c x 在 R 上单调递减 0 c 1.
不等式 x | R上恒大于1.
（3）P或q形式，其中p：4＞３，q：４＝３
（4）非p形式：其中p：平行四边形是梯形。
例2．已知命题 p : x2 mx 1 0 有两个不等的负 根；命题 q : 4x2 4(m 2)x 1 0无实根. 若命题p与 命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围.
m 3,或1 m 2
2.在一次投篮练习中，小王连投两次，设命题 p ：“第一次
投中”命题 q ：“第二次投中”.试用 p 、 q 和联接词“或、且、
非”表示命题“两次恰有一次投中”:(__p_且____q_.)或( p且q )
3.已知 c>0,设 p:函数 y cx 在 R 上递减; q:函数 f (x) x2 cx的
例1．已知复合命题形式，指出构成它的简单命题， （1）等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边， （2）垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的 两条弧，
（3）
（4）平4行四3 边形不是梯形
（1）P且q形式，其中p：等腰三角形顶角的角平分线垂直底 边， q：等腰三角形顶角的角平分线平分底边；
（2）P且q形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦， q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧
1．逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层 含义：
以“P或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立 但q成立，三是p成立且q成立， 2．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既 否定题设又否定结论
高考数学复习点拨：简单的逻辑联结词教材解读
简单的逻辑联结词-—教材解读一、课标解读1．理解逻辑联结词“且”“或”“非"的含义；2．会联结并会判断由“且”“或”“非”构成的新命题的真假。
二、要点剖析（一）逻辑联结词：“且”、“或”、“非"1．“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p q∧，读作“p且q"。
注：“且”是具有“兼有性"的逻辑联结词，“且”的记号由交集符号“”变来,意即“且、与”。
2．“或”一般地,用逻辑联结词“或”把命题p、q联结起来,就得到一个新命题，记作p q∨,读作“p或q”。
注：“或”是具有“选择性”的逻辑联结词,“或”的记号由并集符号“”变来,意即“或”。
3．“非"一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作p⌝，读作“非p”或“p的否定”。
注:“非”是具有“否定性”的逻辑联结词，“非”的记号由补集符号“”变来，意即“非"。
(二）真值表用逻辑联结词“且"、“或”、“非”把命题p、q联结就得到一个新命题。
注意：逻辑联结词“且”、“或”、“非”与日常生活中的“且"、“或"、“非"的意义不尽相同：（1）一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列关系的为“或”；（2）善于类比“交、并、补"揣摩“且、或、非”；（3）切实把握“真值表"，不钻“牛角尖”.三、典例剖析例1 分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题。
（1）p：π是无理数,q:e不是无理数；（2）p：方程2210++=两x x++=有两个相等的实数根,q：方程2210x x根的绝对值相等；（3）p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。
分析：本题主要考查对逻辑联结词“且、或、非”的理解。
解析：（1）“p或q”：π是无理数或e不是无理数，“p且q”:π是无理数且e不是无理数，“非p "：π不是无理数.(2)“p 或q ”：方程2210xx ++=有两个相等的实数根或两根的绝对值相等，“p 且q "：方程2210xx ++=有两个相等的实数根且两根的绝对值相等，“非p ”:方程2210x x ++=没有两个相等的实数根。
知识讲解_逻辑联接词“且”“或”“非”
简单的逻辑联结词【要点梳理】要点一：逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∧，读作：“p 且q ”． 规定：当p ，q 两命题有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题； 当p ，q 两命题都是真命题时，p q ∧是真命题． 要点诠释：p q ∧的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义．若开关p ，q 的闭合与断开分别对应命题p ，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p q ∧的真与假．2．与集合中的交集类比交集{|}A B x x A x B =∈∈I 且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念． 要点二：逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∨，读作：“p 或q ”． 规定：当p ，q 两命题有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p ，q 两命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 要点诠释：p q ∨的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义．若开关p ，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的p q ∨的真与假．2．与集合中的并集类比并集{|}A B x x A x B =∈∈U 或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念． 3．“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：qp（1）p 成立且q 不成立； （2）p 不成立但q 成立； （3）p 成立且q 也成立．要点三：逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p 全盘否定得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p ”或“p 的否定”． 规定：当p 是真命题时，p ⌝必定是假命题； 当p 是假命题时，p ⌝必定是真命题． 要点诠释：1．逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论 “非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究．2．下面是一些常用词的否定：注意：“一定”的否定不是“一定不”． 3．否命题与命题的否定之间的区别：否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即p ⌝．如：命题p ： 若1x =，则(1)(1)0x x -+=． 命题p 的否命题：若1x =/，则(1)(1)0x x -+=/． 命题p 的否定p ⌝：若1x =，则(1)(1)0x x -+=/． 4．“或”、“且”联结的命题的否定形式： “p 或q ”的否定⇔p ⌝且q ⌝； “p 且q ”的否定⇔p ⌝或q ⌝. 要点四：简单命题与复合命题 1. 定义：简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或” “且” “非”构成的命题叫做复合命题． 2. 复合命题的构成形式： （1）p 或q ；记作：p q ∨； （2）p 且q ；记作：p q ∧；（3）非p （即命题p 的否定）；记作：p ⌝. 3.复合命题的真假判断要点诠释：1. 当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；2. 当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”；3. “非p ”与p 的真假相反．【典型例题】类型一：复合命题的构成例1．分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题． （1）李明是老师，赵山也是老师； （2）1是合数或质数； （3）他是运动员兼教练员.【思路分析】观察命题结构，判断其中是否还有“或” “且” “非”等联结词或相似含义的联结词，利用“或” “且” “非”的概念对复合命题进行结构分解. 【解析】（1）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：李明是老师，q ：赵山是老师． （2）这个命题是“p 或q ”形式，其中p ：1是合数， q ：1是质数． （3）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：他是运动员，q ：他是教练员．【总结升华】正确理解逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的含义是解题的关键．根据上述各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式．举一反三：【高清课堂：简单的逻辑联结词395484例1】 【变式1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题： （1）p ： 平行四边形的对角线互相平分， q ：平行四边形的对角线相等； （2）p ： 集合A 是A B I 的子集， q ：集合A 是A B U 的子集； （3）p ： 211x +≥， q ：34>． 【答案】（1）p q ∧：平行四边形的对角线互相平分且相等； （2）p q ∧：集合A 是A I B 的子集，且是A U B 的子集； （3）p q ∧：211x +≥，且34>．【变式2】判断下列复合命题的形式，并写出构成其的简单命题 （1）1是奇数或偶数； （2）梯形不是平行四边形； （3）2是偶数也是质数． 【答案】（1）p 或q 的形式，其中p ：1是奇数， q ：1是偶数； （2）非p 的形式， 其中p ：梯形是平行四边形；（3）p 且q 的形式，其中p ：2是偶数， q ：2是质数．例2．判断下列命题中是否含有逻辑联结词“或” “且” “非”，若含有，请指出其中p q 、的基本命题． （1）正方形的对角线垂直相等； （2）2是4和6的约数；（3）不等式2560x x -+>的解为32x x ><或； （4）平行四边形的对角线不一定相等. 【解析】（1）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：正方形的对角线互相垂直；q ：正方形的对角线相等． （2）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：2是4的约数； q ：2是6的约数． （3）是简单命题，而不是用“或” “且” “非”联结的复合命题； （3）是“非p ”形式的命题，其中p ：平行四边形的对角线一定相等.【总结升华】对于用逻辑联结词“或” “且” “非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“或”、“且”、“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．举一反三：【变式】指出下列复合命题的结构，写出构成其的简单命题． (1) 菱形的对角线互相垂直平分；（3）6是12或18的约数． 【答案】（1）p 且q 的形式，其中p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形对角线互相平分；（2）非p 的形式，其中p（3）p 或q 的形式，其中p ：6是12的约数，q ：6是18的约数． 类型二：复合命题真假的判定例3．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假． （1）8或6都是30的约数； （2）矩形的对角线互相垂直平分； （3）方程210x x ++=无实根.【思路点拨】将复合命题写成“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”的形式，并一一判断p ，q 的真假，再由真值表判断复合命题的真假.【解析】（1）“p 或q ”形式．其中p ：8是30的约数， q ：6是30的约数， ∵p 假q 真，∴该复合命题为真．（2）“p 且q ”形式．其中p ：矩形的对角线互相垂直，q ：矩形的对角线互相平分， ∵p 假q 真，∴该复合命题为假．（3）“非p ”形式．其中p ： 方程210x x ++=有实根，∵p 假，∴该复合命题为真．【总结升华】 先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题，最后判断复合命题的真假．举一反三：【变式1】已知命题p 、q ，试写出p 或q 、p 且q 、非p 的形式的命题并判断真假． （1）p ：平行四边形的一组对边平行， q ：平行四边形的一组对边相等； （2）p ：2{1,3,5,7}∈， q ：2{2,4,6,8}∈； （3）p ：1{12}∈，， q ：{1}⊆{12}，； （4）p ：2{|1}x x ∅=<， q ：∅◊2{|1}x x <； （5）p ：34<， q ：34=． 【答案】（1） p 或q ：平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）；p 且q ：平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）； 非p ： 平行四边形的一组对边不平行（假命题）．（2） p 或q ：2{1,3,5,7}∈或2{2,4,6,8}∈，即2{1,2,3,4,5,6,7,8}∈（真命题）；p 且q ：2{1,3,5,7}∈且2{2,4,6,8}∈（假命题）； 非p ： 2{1,3,5,7}∈/（真命题）. （3） p 或q ：1{12}∈，或{1}⊆{12}，（真命题）； p 且q ：1{12}∈，且{1}⊆{12}，（真命题）； 非p ： 1{12}∈/，（假命题）. （4） p 或q ：2{|1}x x ∅=<或∅◊2{|1}x x <，即2{|1}x x ∅⊆< （真命题）；p 且q ：2{|1}x x ∅=<且∅◊2{|1}x x <（假命题）； 非p ： 2{|1}x x ∅=</（真命题）.（5） p 或q ：34<或34=，即34≤（真命题）；p 且q ：34<且34=（假命题）； 非p ： 34</，即34≥（假命题）． 【变式2】已知命题p ：33ß； q ：3＞4，则下列判断正确的是（ ） A ．p q ∨为真，p q ∧为真，p ⌝为假 B ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为真 C ．p q ∨为假，p q ∧为假，p ⌝为假 D ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假 【答案】D【解析】 p ：33ß，是真命题， q ：3＞4是假命题，根据真值表：p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假，所以选D ．【变式3】已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C【变式2】以下判断中正确的是（ ）A ．命题p 是真命题时，命题“p q ∧”一定是真命题B ．命题“p q ∧”为真命题时，命题p 一定是真命题C ．命题“p q ∧”为假命题时，命题p 一定是假命题D ．命题p 是假命题时，命题“p q ∧”不一定是假命题 【答案】B例4. 如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么 （ ） A .命题p 一定是真命题 B .命题q 一定是真命题 C .命题q 一定是假命题D .命题q 可以是真命题也可以是假命题【思路点拨】由“非p 是真命题”入手，可判断p 的真假性，再由“p 且q 是假命题”可知q 的真假. 【答案】D【解析】∵“非p ”是真命题， ∴p 是假命题，∵“p 且q ”是假命题，∴q 可以是真命题也可以是假命题， ∴选项为D.【总结升华】含逻辑联结词命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成命题的真值情况，再进行判断.【变式】如果命题“()p q ⌝∨”为假命题，则（ ） A. p q ，均为假命题 B. p q ，均为真命题C. p q ，中至少有一个为真命题D. p q ，中至多有一个为真命题 【答案】C类型三：命题的否定与否命题例5．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假． （1）p ：在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a b +是偶数； （2）p ：若0x ß且0y ß，则0x y +ß． 【解析】(1) p ⌝：在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a b +不是偶数（假命题）；p 的否命题是：在整数范围内，若a 、b 不都是偶数，则a b +不是偶数（假命题）； (2) p ⌝：若0x ≥且0y ≥，则0x y +<（假命题）； p 的否命题是：若0x <或0y <，则0x y +<（假命题）． 【总结升华】1. “0x ß且0y ß”的否定是“0x <或0y < ”；“a 、b 都是偶数”的否定为“a 、b 不都是偶数”.2. 命题的否定和否命题是不一样的．举一反三：【变式1】命题 “ABC ∆是直角三角形或等腰三角形”的否定是 ； 【答案】ABC ∆既不是直角三角形，也不是等腰三角形． 【变式2】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假． （1）p ：若220x y +=，则x ，y 全为零； （2）p ：若3x =且5y =，则8x y +=． 【答案】(1) p 的否定：若220x y +=，则x ，y 不全为零 （假命题）；p 的否命题：若220x y +=/，则x ，y 不全为零 （真命题）； (2) p 的否定：若3x =且5y =，则8x y +=/ （假命题）； p 的否命题：若3x =/或5y =/，则8x y +=/ （假命题）． 【变式3】 “220x y +=/”是指 （填出符合条件的所有选项） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x ≠或0y ≠C ．x ，y 至少有一个不是0D ．x ，y 都不是0E ．x ，y 不都是0 【答案】B 、C 、E【解析】220x y +=/是指x ，y 不同时为零，即x ，y 至少有一个不是0，亦即x ，y 不都是0，0x ≠或0y ≠． 类型四：复合命题的应用例6．已知命题2560p x x +：－ß；命题04q x <<：．若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．【解析】 由2560x x +－ß得x ≥3或x ≤2． ∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4．则{x |x ≥3或x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥4}＝{x |x ≤0或x ≥4}． ∴满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．【总结升华】解答这类问题，应先由每个简单命题为真，确定参数的取值范围，再由复合命题的真值，得参数所满足的条件，进而确定参数的取值范围．举一反三：【变式】已知命题p ：方程210x +mx+＝有两个不等的负实数根；命题q ：方程244(2)10x +m x+－＝无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p ⌝”为真命题，求m 的取值范围．【解析】∵方程210x +mx+＝有两个不等的负实数根， ∴2m >， ∵方程244(2)10x +m x+－＝无实数根，∴13m << 由条件可知，p 假q 真，。
高三数学高考基础知识复习：逻辑与关联词
高考数学基础知识复习：逻辑与关联词一、 知识清单： 1．常用逻辑用语 （1）命题命题：可以判断真假的语句叫命题； 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
2”325≠≠≠+b a b a 或，则.0>c x c y =1|2|>-+c x x 5____52x x x >><或,⇒12x y ≠≠且3x y +≠23.918K ≈2( 3.841)0.05P K ≥≈,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“mn 是偶数”的AA 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件12、（重庆理2）命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A ．若12≥x ，则或1-≤xB 若11<<-x ，则12<xC 若或1-<x ，则12>xD 若或1-≤x ，则12≥x 13、（重庆文5）“-1＜＜1”是“2＜1”的（A ）充分必要条件 （B ）充分但不必要条件（C ）必要但不充分条件（D ）既不充分也不必要条件14、（辽宁理10）设是两个命题：21251:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15、（辽宁文11）设是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 典型例题： 例1．写出由下述各命题构成的“21=m 03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线11+-x x 2a 1”20ax y +=1x y +=x R ∈3210x x -+≤x R ∈3210x x -+≤x R ∈3210x x -+≤x R ∈3210x x -+>x R∈3210x x -+>:2p m <-6m >2:3q y x mx m =+++():1;()f x p f x -=:()q y f x =:cos cos ;p αβ=:tan tan q αβ=:;p A B A ⋂=:U U q C B C A⊆(1),(2)(2),(3)(3),(4)(1),(4)2”0”M N，MN ≠∅MN ≠∅()2:400p b ac a ->≠()2:00q x ax bx c a ++=≠关于的方程32:()21p f x x x mx =+++()-∞+∞，4:3q m ≥212n na p a +=n *∈N :p x ∀∈R sin 1x ≤:p x ⌝∃∈R sin 1x ≥:p x ⌝∀∈R sin 1x ≥:p x ⌝∃∈R sin 1x >:p x ⌝∀∈R sin 1x >2x x >2,,acb a Rc b a 则若、、>∈1 :p x ∀∈R 02>x :p x ⌝∃∈R 02<x :p x ⌝∀∈R 02<x :p x ⌝∃∈R :p x ⌝∀∈R0x R∃∈3210x x -+>x R∀∈3210x x -+≤0x R∃∈3210x x -+<0x R∃∈3210x x -+≤x R ∈3210x x -+>1cos ,:≥∈∃⌝x R x p 1cos ,:>∈∃⌝x R x p 1xx -＜0A ”是“mB ”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7（08广东）已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝8．（06天津）设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（06年湖北卷）有限集合中元素个数记作card ，设、都为有限集合，给出下列命题：①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card card ； ②B A ⊆的必要条件是cardcard ； ③B A ⊄的充分条件是cardcard ； ④B A =的充要条件是card ()=A card 其中真命题的序号是 （ ）A ③、④B ①、②C ①、④D ②、③ 10．（08）若“且q ”与“q p 或⌝”均为假命题，则（ ）A ．真q 假B ．假q 真C ．与q 均真D ．与q 均假11．（08）已知是定义在R 上的函数，且满足)1()1(x f x f -=+，则“为偶函数”是“2为函数的一个周期”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。
高考数学数学逻辑知识点梳理
高考数学数学逻辑知识点梳理高考数学是每个学生都必须面对的一门重要考试科目，而数学逻辑作为其中的一个重要知识点，也是考生备考过程中需要重点掌握的内容之一。
本文将对高考数学中的数学逻辑知识点进行梳理，帮助考生更好地理解和应用相关概念。
一、命题逻辑命题逻辑是研究命题和命题之间关系的一门学科。
其中，命题是可以判断真假的陈述句，可以用符号P、Q、R等表示。
在命题逻辑中，常用的逻辑联结词有非、与、或、蕴含和等价等。
1. 非：用符号¬表示，表示“非真即假”，“非P”表示P的否定。
2. 与：用符号∧表示，表示“且”，“P∧Q”表示P和Q均为真。
3. 或：用符号∨表示，表示“或”，“P∨Q”表示P和Q至少一个为真。
4. 蕴含：用符号→表示，表示“如果……，则……”，“P→Q”表示P蕴含Q。
5. 等价：用符号↔表示，表示“当且仅当”，“P↔Q”表示P和Q等价。
二、集合与命题逻辑的联系在数学中，集合论与命题逻辑紧密相关。
集合是具有某种特定特征的个体的总体，而命题逻辑则是对命题进行推理和判断的系统。
集合与命题逻辑的联系主要体现在以下几个方面：1. 集合的相等与命题的等价：当两个集合中的元素完全相同时，这两个集合相等；而当两个命题的真值表完全相同时，这两个命题等价。
2. 集合的交、并与命题的与、或：集合的交表示两个集合中共有的元素，而命题的与表示两个命题均为真；集合的并表示两个集合中所有的元素，而命题的或表示两个命题至少一个为真。
3. 集合的差与命题的非：集合的差表示一个集合中去除另一个集合中的元素，而命题的非表示一个命题的否定。
三、判断题与选择题中的逻辑推理在高考数学中，判断题和选择题是考察数学逻辑知识的常见形式。
判断题需要考生判断一个命题的真假，而选择题则需要考生根据给出的条件进行逻辑推理。
在解答这类题目时，考生应注意以下几点：1. 判断题：判断题的关键在于理解题意和搞清楚逻辑关系。
通过分析命题的结构，运用命题逻辑中的联结词进行推理，判断命题的真假。
高中数学第一章常用逻辑用语1.2基本逻辑联结词1.2.2“非”(否定)b11b高二11数学
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3．命题 p：“∃x∈R，x2＋1＜2x”的否定﹁p：________； ﹁p 为________命题．(填“真”“假”) 答案：∀x∈R，x2＋1≥2x 真
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4．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：y＝sin x 是周期函数； (2)p：3<2. 解：(1)﹁p：y＝sin x 不是周期函数．是假命题． (2)﹁p：3≥2.是真命题．
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命题的否定 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：圆(x－1)2＋y2＝4 的圆心是(1，0)； (2)q：50 是 7 的倍数； (3)r：一元二次方程至多有两个解； (4)s：7<8.12/13源自2021第十页，共三十二页。
【解】 (1)“是”的否定词语为“不是”，利用命题的否定 的定义写出﹁p：圆(x－1)2＋y2＝4 的圆心不是(1，0)．因原 命题为真，故其否定为假． (2)﹁q：50 不是 7 的倍数．因原命题为假，故其否定为真． (3)“至多有两个”的否定词是“至少有三个”，利用命题 的否定的定义写出该命题的否定﹁r：一元二次方程至少有 三个解．因原命题为真，故其否定为假． (4)﹁s：7≥8.因原命题为真，故其否定为假．
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命题的否定的应用 已知命题 p：“至少存在一个实数 x∈[1，2]，使不 等式 x2＋2ax＋2－a>0 成立”为真，试求参数 a 的取值范围．
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【解】 由已知得﹁p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0 成 立． 所以设 f(x)＝x2＋2ax＋2－a， 则ff（ （12） ）≤ ≤00， ， 所以14＋＋24aa＋＋22－－aa≤≤00，，
高中数学 第一章 常用逻辑用语 4.3 逻辑联结词“非”课件 北师大版选修1-1.pptx
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(2)100是10或20的倍数. 解答 命题是“p或q”的形式，其中p：“100是10的倍数”；q：“100是 20的倍数”. 它的否定形式为“綈p且綈q”， 即“100不是10的倍数且不是20的倍数”是假命题.
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反思与感悟
(1)对命题“p且q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且” 变为“或”.对命题“p或q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还 需将“或”变为“且”. (2)命题p与命题p的否定綈p的真假相反.
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跟踪训练1 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：三角形的内角和等于180°； 解答 綈p：三角形的内角和不等于180°. 因为p为真，故綈p为假. (2)p：美国总统奥巴马是2009年度诺贝尔和平奖获得者. 解答 綈p：美国总统奥巴马不是2009年度诺贝尔和平奖获得者. 因为p为真，故綈p为假.
第一章 §4 逻辑联结词“且”“或”“非”
4.3 逻辑联结词“非”
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学习目标
1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题. 2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用. 3.理解命题的否定与否命题的区别.
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内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3
问题导学
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知识点一 命题的否定
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命题角度2 命题的否定与否命题 例2 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假. (1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数； 解答
命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题； 命题的否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数， 为假命题.
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(2)若x2－3x－10＝0，则x＝－2或x＝5. 解答 命题的否定：若x2－3x－10＝0，则x≠－2且x≠5，为假命题； 命题的否命题：若x2－3x－10≠0，则x≠－2且x≠5， 为真命题.
高一数学逻辑联结词与四种命题知识精讲
高一数学逻辑联结词与四种命题通用版【本讲主要内容】逻辑联结词与四种命题含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式；四种命题的关系，充分、必要条件。
【知识掌握】【知识点精析】1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
3、简单命题和复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。
简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题。
由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。
4、真值表：非或且真真假真真真假真假假真真真假假假假假为了正确判断复合命题的真假，首先应该确定复合命题的形式，然后指出其中简单命题的真假，再根据真值表判断这个复合命题的真假。
5、四种命题的形式：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。
把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。
把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的逆否命题。
原命题：若则；逆命题：若则；否命题：若则；逆否命题：若则。
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真；③原命题为真，它的逆否命题一定为真；④原命题的逆命题为真，原命题的否命题一定为真。
6、一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件；q是p成立的必要条件；如果既有，又有q p 那么我们就说是成立的充分必要条件。
【解题方法指导】例1. “已知、、、是实数，若，，则。
”写出上述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假。
点拨：“已知，，，是实数”是大前提，写四种命题时应该保留。
北师大版高中数学选修2-1逻辑联结词“非”
（１）p : ７是不大于５的实数；假 （２）p : 矩形的的对角线不互相垂直；真 （３）p : １６是５的倍数； 假 （４）p : 我们班上并非每个同学都能言善辩。真
课堂小结：
本节课学习了“非p”形式的命题，讨论了 如何判断其真假性的方法：
“非p”形式的命题的真假p与的真假相反；
思考：如何判定
p命题的真假？
由于 p是命题p的否定
因此，若 p是真命题，则 p 必是假命题 若p是假命题，则 p 必是真命题.
例1写出下列命题p的否定 ： （１）p：a是大于５的实数； （２）p：矩形的对角线互相垂直； （３）p：１６不是５的倍数； （４）p ：我们班上每个同学都能言善辩。
解：
（１）p : a是不大于５的实数； （２）p : 矩形的的对角线不互相垂直； （３）p : １６是５的倍数； （４）p : 我们班上并非每个同学都能言善辩。
例2 写出下列命题p的否定 ： （１）p：７是大于５的实数； （２）p：矩形的对角线互相垂直； （３）p：１６不是５的倍数； （４）p ：我们班上每个同学都能言善辩。
联结词＂非＂（not )
设p是一个命题，联结词＂非＂是对命 题p的否定，得到命题＂非p＂或＂不是p＂，
记作 p
例如：p：０.５是整数。
p : ０.５是 不非 是整数。
思考:命题的否定与 “若两个三角形全等，则它们相 否命题的区别？
似”
任何一个命题都有否定, 对于命题“若p,则 q”的否定 可表示为“若p,则非q”, 命题“若p,则 q”的否命题可表示为“若非p,则非q”
简单逻辑连接词或、且、非
目录
• “或”的逻辑 • “且”的逻辑 • “非”的逻辑 • “或”、“且”、“非”的组合逻辑 • 逻辑连接词在计算机科学中的应用
01 “或”的逻辑
“或”的定义
01
“或”表示两个命题中至少有一 个为真，则该复合命题为真。
02ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“或”可以用于连接两个命题， 表示它们之间的逻辑关系。
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且（AND）
逻辑且在人工智能中用于表示多个条件必须同时满足时，才触发某个事件或行为。例如， 在自然语言处理中，可以使用逻辑且来构建规则，要求多个语法规则同时满足时，才能识 别出某个短语或句子。
非（NOT）
逻辑非在人工智能中用于否定某个条件或规则。例如，在知识表示中，可以使用逻辑非来 否定某个事实或规则。
例如，“明天去游泳且看电影。”表 示两个活动同时进行。
03 “非”的逻辑
“非”的定义
“非”是逻辑中的基本否定词，表示 对某一命题的否定。
“非”通常用符号“¬”表示，置于 命题之前，表示该命题的否定。
“非”的逻辑性质
01
“非”具有传递性
如果命题A的否定是B，命题B的 否定是C，那么命题A和C是等价 的。
条件判断
在制定条件语句时，“或”用于表示满足任一条件即可。
02 “且”的逻辑
“且”的定义
1
“且”逻辑连接词表示两个或多个命题同时成立 。
2
在逻辑学中，“且”通常用符号“∧”表示。
3
在自然语言中，“且”通常用“和”或“并且” 来表示。
“且”的逻辑性质
01
02
03
结合律
p∧(q∧r)=(p∧q)∧r，即 “且”具有结合律，可以 任意组合。
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4.3 逻辑连接词“非”
1、对于一个命题p如果仅将它的结论否定，就得到一个新命题，记作┐p，读作“非p”。
2、命题┐p的真假的判定：
p ┐p
真假
假真
3．下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下：
1.若p:三角形的中位线平行于第三边,q:三角形的中位线等于第三边的两倍，写出
由命题p、q构成的“p或q”,“p且q”“非p”形式的复合命题，并指出其真假.
【解析】
.p或q:三角形的中位线平行于第三边,或等于第三边的两倍；p且q:三角形的中位线平行第三边且等于第三边的两倍；
非p:三角形的中位线不平行于第三边.
因为p真q假，所以“p或q”是真，“p且q”是假;“非p”是假.
2．已知两个命题:
p:方程2x2-26x+3=0的两根都是实数；
q:方程2x 2-26+3=0的两根都不相等.
写出由这组命题构成的“p或q”“p且q”,“非p”形式的复合命题，并指出其真假.
【解析】
.(1)“p或q”形式的命题为:方程2x 2-26x+3=0的两根都是实数或不相等.“p且q”形式的命题为:方程2x2-26x+3=0的两根是相等实数. “非p”形式的命题为:方程2x2-26x+3=0的两根都不是实数.
(2)因p真q假，故“p或q”为真;“p且q”为假;非p为假.。