Solid_Angle 立体角计算
立体角理解及应用
立体角在国家法定计量单位所采用的国际单位制(SI)中，除了7个基本单位外，还有两个辅助单位，一个是平面角(一般简称角度)，一般记为希腊小写字母α等，单位为弧度，记为rad，另一个是立体角，记为大写希腊字母Ω，单位为球面度，记为sr。
立体角涉及光度学、电磁辐射、球面天文学等许多领域的基本概念，如(热、光或其它电磁波、声音或其它机械波的)辐射通量、星座所占天球区域的“面积”(实际为立体角)大小等等，因此立体角概念本身的重要意义和实用价值不言而喻，可谓理解客观世界的空间形式和许多科学原理的一把钥匙。
通常的初等数学教育对平面角讲得很详尽，但对立体角的介绍则远不充足。
对三维空间、立体几何有兴趣者，不妨读读本文，希望您有所获益。
您斧正拙文之谬误、拓展和深化拙文所涵盖的内容，尤为笔者所企冀。
平面上，多边形内角和可表为(n-2)π，那么相应地，多面体内立体角之和如何？答曰：它在一定区间内变化，关于这一点，以后再展开叙述。
1、立体角定义与量度1.1立体角的概念当我们看到远处的两个物体，欲表达其相对方位时，用从这两个物体到眼睛的视线之间的夹角这个概念。
例如，可以选择月亮的上边缘顶点与下边缘顶点，由人眼到这两个点的视线之间的夹角较为稳定，可以称为月亮的“视直径”。
而当形容“挂在树梢上的月亮像月饼这么大”时，人们就一面犯了错误，一面已经在冥冥之中与立体角概念的幽灵相接近。
月亮、月饼当然不一样大，而且大小相差悬殊，但是当月饼与人眼之间为一定距离时，看起来它的确跟月亮“差不多一般大”。
月饼比月亮小得多，但当把月饼放在眼前时，它却能完全挡住月亮，这样就清楚了，随着距离变远，形象就变小。
这不仅是“视直径”的变化，其实也是另一个量，“立体角”的变化。
假设制作一个代表立体直角坐标系的三维“十字架”，使之穿过两个半径相差一倍的同心球面，球心在坐标系原点，自球心发出无数条射线，这些射线在球面上的投影点形成一条连续的闭合的曲线，那么这样的一条曲线在小球面上所限定的面积为在大球面上所限定面积的1/4。
solidangle 立体角计算
dω =(cosφ/r2)dA . (1)
To find the solid angle subtended by a surface of finite size we have to integrate (1), obtaining
ω=∫dω=∫(cosφ/r2)dA.
AA
We'll perform the integral for three cases.
the arc length is 0.l meters, the angle is 0.1 radians. If an arc completely
surrounds P it subtends 2π radians, the circumference of the unit circle.
Note that the radian, being the quotient of two lengths, is a unitless
quantity.
C2
1
A2
P A1 C1
unit circle
Figure 1. In radian measure the subtense of the arc C1C2 at point P is the length of arc A1A2 on the unit circle.
solid angle, page 1
ω=∫dω=∫(cosφ/r2)dA=(cosφ/r2)∫dA
or
ω=Acosφ/r2 … for a small area.
solid angle, page 4
© W. F. Long, 1992
Another important case is the angle subtended by an area on a sphere of radius R at the center of the sphere (figure 5). In this case φ=0 for any point on the surface and r equals the radius of the sphere for any point on the surface, hence the integral reduces to
空间中的立体角的计算
空间中的立体角的计算主题：空间中的立体角的计算导语：在空间几何中，立体角是一种重要的概念，它用于描述物体的形状和方向。
立体角的计算涉及到几何图形的投影、体积和角度等知识。
本教案将以立体角的计算为主题，通过实际例子和具体计算方法，帮助学生理解和掌握立体角的概念和计算方法。
一、立体角的概念和性质1. 什么是立体角立体角是指由三个相交于一点的光线所张开的空间区域，用来度量物体在空间中占据的体积。
立体角的大小与光线的方向及夹角有关。
2. 立体角的特点立体角的大小与物体的形状、投影、角度等因素有关。
在立体角的计算中，我们需要考虑几何图形的高度、底面积、体积和角度等。
二、立体角的计算方法1. 立体角的计算公式a. 计算棱锥的立体角：对于一个棱锥，其立体角等于底面的面积与顶点处的球面的面积之比。
计算公式为：立体角 = 底面积 / （半径^2）。
b. 计算棱台的立体角：对于一个棱台，其立体角等于上底面的面积与下底面的面积之差除以顶点到底面的距离。
计算公式为：立体角= （上底面积- 下底面积）/ 距离。
2. 立体角的具体计算步骤以一个正方形金字塔为例，讲解立体角的具体计算步骤：a. 计算金字塔的底面积和高度。
b. 根据底面和高度计算金字塔的体积。
c. 根据金字塔的底面积和半径计算金字塔顶点处的球面的面积。
d. 根据计算结果可以得到金字塔的立体角。
三、立体角的应用举例1. 计算正方体的立体角以一个正方体为例，讲解立体角的应用：a. 计算正方体的体积和表面积。
b. 分析正方体中的一条对角线和一个表面的夹角，计算其立体角。
c. 利用立体角的计算结果，分析正方体的空间形状和方向。
2. 计算圆锥的立体角以一个圆锥为例，讲解立体角的应用：a. 分析圆锥的底面、侧面和顶点，计算其立体角。
b. 利用立体角的计算结果，描绘圆锥的空间位置和方向。
四、立体角的深入研究1. 立体角与空间几何的关系立体角作为空间几何的重要概念，与其他几何图形的性质有着密切的关系。
空间几何的立体角计算
空间几何的立体角计算在空间几何中，立体角是指球心所在的立体角。
它是一个以球心为顶点，包含在球面上的一个锐角空间图形。
计算立体角的方法有很多种，下面将介绍几种常见的计算方法。
一、球体的立体角计算对于球体而言，可以通过球的半径和球心与球面上两点之间的弧长计算立体角。
假设球心为O，球面上两点为A和B，对应的单位法向量为a和b。
则球体的立体角可以用以下公式表示：Ω = acos(a·b)其中，·表示向量的点积运算，acos表示反余弦函数。
上述公式表示了向量a和向量b的夹角。
二、多面体的立体角计算对于多面体，可以将其分解为若干个共有顶点的面组成的角。
然后根据面的法向量来计算每个面对应的立体角，并将其相加得到总的立体角。
比如，假设有一个四面体，顶点分别为A、B、C和D，面分别为ABC、ACD、ADB和BDC。
其中，每个面都可以计算对应的立体角。
假设面ABC与面ACD的夹角为α，面ABC与面ADB的夹角为β，面ABC与面BDC的夹角为γ，则四面体的立体角Ω可以用以下公式表示：Ω = α + β + γ而计算每个面对应的立体角，可以使用球体的立体角计算方法进行计算。
三、棱锥的立体角计算对于棱锥而言，可以通过棱锥的顶角和侧面法向量计算立体角。
假设棱锥的顶点为O，底面上一点为A，底面上的两条棱为OB和OC，顶角为∠BOC，底面上的法向量为n，则棱锥的立体角可以用以下公式表示：Ω = 2π - ∠BOC其中，∠BOC可以通过向量OB和向量OC的点积计算得到。
四、扇形的立体角计算对于扇形而言，可以通过确定扇形对应的圆锥的顶角和底面法向量计算立体角。
圆锥的底面是扇形的圆心O、半径r和夹角θ所在的圆。
假设圆锥的顶点为O，扇形上的两点为A和B，顶角为α，则扇形的立体角可以用以下公式表示：Ω = α - sinα其中，α可以通过扇形的半径r和夹角θ计算得到：α = rθ。
以上是几种常见的空间几何中立体角的计算方法，可以根据不同的几何形状选择合适的方法进行计算。
立体角计算公式
立体角计算公式立体角，又称夹角、内角、拱角，是指在立体空间内三条曲线汇合成的一种特殊的角，它体现了空间几何学的概念。
它的计算通常使用三角函数和立体几何的相关参数。
立体角的计算都是围绕着一个拱角内三个平面之间的夹角来完成的。
基本计算公式二维平面立体角的计算公式如下：夹角=sin-1[(b x c)/(|b||c|)]其中，b和c是向量，|b|和|c|分别是b和c的模长，x表示叉乘。
三维平面立体角的计算公式如下：夹角=cos-1[(a x b)c/(|a||b||c|)]其中，a、b和c是向量，|a|、|b|和|c|分别是a、b和c的模长，x和表示叉乘和点乘。
立体几何计算公式立体几何的计算公式可以用来表示立体角的特性，以此来计算夹角的大小。
1.体积公式：V＝abc其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，V表示立体角的体积。
2.表面积公式：S＝ab+bc+ca其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，S表示立体角的表面积。
3.距离公式：D＝√(a+b+c)其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，D表示立体角的距离。
4.角平分公式：α/β/γ＝a/b/c其中，α、β和γ是各角的大小，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长。
5.体积中垂线公式：V＝abc sin其中，V表示立体角的体积，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，α表示立体角的内角大小。
立体角的应用立体角计算公式广泛应用于几何学、机械工程、电子学等领域，它可以用来计算空间坐标系的定位，构建复杂的几何体，也可用来测量空间距离、角度、体积等。
比如，在机械结构设计中，立体角的计算公式可以用来计算连接的螺栓的角度、位置和大小，为准备安装和维护机械设备提供依据。
在电子工程中，立体角的计算公式也可以用来计算电子元件之间的位置、距离和角度，这些参数对正确构建电子系统非常重要。
总结立体角是一种有三条曲线汇合而成的特殊角，它体现了空间几何学的概念。
光强中什么是立体角及它的计算公式
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0 引言 光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”， 一般以 I 表示。若在某微小立体角 dΩ内的光通量为 dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。 式中，dΩ的单位为 sr（球面度），光强的单位为 cd（坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr。 但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员 带来很大的困惑。
1
∂x ∂y
1− x2 − y2
（3） （4） （5）
代入（1）式得：
∫∫ A=
dxdy
D 1− x2 − y2
(6)
利用极坐标，得：
rdrdθ
∫∫ A=
D 1− r2
(7)
易知，积分区域在 xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：
x 2 +y2=1
(8)
sin 2 α
x2 + y2 =1
参考文献 ⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11 ⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12 ⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1
注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海
150° 0.506 1.011 1.515 2.016 2.514 3.008 3.492 3.964 4.411 4.811
165° 0.519 1.038 1.557 2.075 2.592 3.108 3.621 4.130 4.632 5.115 5.544
立体角
数学术语
01 定义
03 常见
目录
02 应用
立体角（Solid Angle），常用字母Ω表示，是一个物体对特定点的三维空间的角度，是平面角在三维空间 中的类比。它描述的是站在某一点的观察者测量到的物体大小的尺度。例如，对于一个特定的观察点，一个在该 观察点附近的小物体有可能和一个远处的大物体有着相同的立体角。
对于任意一个四面体OABC,其中O,A,B,C分别为四面体的四个顶点。下面给出一个公式，计算从O点观察三角 形ABC的立体角Ω的方便简单的公式。令α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB(均为各自平面内两条直线的夹角，可以 采用平面三角形的余弦公式计算求得)，。
谢谢观看
锥体的立体角大小定义为，以锥体的顶点为球心作球面，该锥体在球表面截取的面积与球半径平方之比，单 位为球面度。
定义
公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 任意定向曲面
单位 封闭曲面
在球坐标系中，任意球面的极小面积为： 因此，极小立体角（单位球面上的极小面积）为： 所以，立体角是投影面积与球半径平方值的比，这和“平面角是圆的弧长与半径的比”类似。对极小立体角 做曲面积分即可得立体角：
常见
圆锥球冠
任意四面体
顶角为2的圆锥的立体角为一个单位球的球冠。 （上面结果由下式得到） 应该注意阿基米德在2200年前不用微积分证明了球冠的表面积与半径为球冠边沿到球冠最低点的距离的圆的 面积相等。球冠边沿到球冠最低点的距离为 显然，在单位圆中球冠立体角为 当θ=π，立体角涵盖整个球体，球冠变为有着立体角 4π的球，我们将4π称为全方位立体角。当θ=π/2， 球冠变为有着立体角 2π的半球。
一个完整的球面对于球内任意一点的立体角为4πsr（对于球外任意一点的立体角为0sr）： 这个定理对所有封闭曲面皆成立，它也是高斯定律的主要依据。
平面对一点立体角的计算方式
平面对一点立体角的计算方式
平面对一点立体角的计算方式是通过求解平面内一条线段与该点所张成的角来得到。
假设该线段端点为A，点为O，且点O不在线段AB 所在直线上。
首先，通过计算线段OA和线段OB的长度，得到两个向量OA和OB。
然后，计算向量OA和向量OB的内积，再除以向量OA和向量OB的模的乘积，即可得到平面对点O立体角的计算结果。
也可以使用坐标表示的方法，给线段AB确定一个坐标系，然后通过计算点O 与坐标原点和线段的两个端点所形成的三个向量之间的积来求解立体角。
立体角和球面角的计算
立体角和球面角的计算立体角是用来度量几何体内部的角度的概念，常用于计算体积、投影面积等几何问题。
球面角是度量球面上的角度的概念，常用于计算球体表面积、球冠体积等球面几何问题。
在本文中，我们将介绍立体角和球面角的计算方法。
一、立体角的计算立体角是用立体上两条射线之间的夹角来度量的。
在三维空间中，可以通过将立体分割为多个小面元，再计算每个小面元上的角度之和来获得立体角。
以下是几种常见的立体角计算方法：1. 平面上的立体角对于平面上的立体角，可以通过计算其边界上的线段与原点之间的夹角来求得。
具体计算步骤如下：- 将平面分割成多个小区域，如三角形、四边形等。
- 计算每个小区域的边界上的线段与原点之间的夹角。
- 将每个小区域的夹角相加，得到平面的立体角。
2. 立体图形的立体角对于立体图形，可以通过计算其面上的法线与原点之间的夹角来求得立体角。
具体计算步骤如下：- 将立体图形划分为多个小面元，每个小面元的面积为A。
- 计算每个小面元的法线与原点之间的夹角。
- 根据每个小面元的夹角和面积，计算每个小面元上的立体角。
- 将每个小面元上的立体角相加，得到立体图形的立体角。
二、球面角的计算球面角是度量球面上某一部分的大小的概念。
在球面几何学中，可以通过计算球面上两条弧的夹角来求得球面角。
以下是几种常见的球面角计算方法：1. 以球心为顶点的球面角对于以球心为顶点的球面角，可以通过计算球心到两条弧的夹角来求得。
具体计算步骤如下：- 已知球心和两条弧的切点，计算球心到切点的距离为R。
- 计算球心到两条弧的夹角。
- 根据夹角和球半径R，计算球面角。
2. 不以球心为顶点的球面角对于不以球心为顶点的球面角，可以通过计算两个球心角和球半径的乘积来求得。
具体计算步骤如下：- 已知两条弧上的两个切点与球心的连线长度分别为r1和r2。
- 计算两个切点到球心的连线与球半径的夹角。
- 根据两个夹角和球半径R，计算球面角。
总结：立体角和球面角是重要的几何概念，用于度量立体体积和表面积。
几何形的平面角度和立体角度的度量
几何形的平面角度和立体角度的度量在几何学中，角度是一种度量平面中或空间中图形之间相对位置或转动程度的重要概念。
角度的度量有两种形式，分别是平面角度和立体角度。
本文将详细介绍这两种角度的度量方法和应用。
一、平面角度的度量平面角是指两条射线在同一平面内相交所形成的角。
为了度量平面角，我们需要引入一个度量单位——度。
一个完整的圆周被分成360个等分，称为度。
我们通常将一个角度大小以一个希腊字母“θ”表示，其单位为度。
在度量平面角时，我们需要使用一个基准射线，通常被称为始边。
然后，我们沿着始边顺时针或逆时针旋转，直到转到目标射线，此时形成的角度即为所求的平面角度。
以一个实例来说明平面角度的度量方法。
假设有两条射线AB和AC，其中AB作为始边，AC作为目标射线。
为了度量角BAC，我们需要找到一个合适的方向进行旋转，直到始边AB与目标射线AC重合。
我们记录下旋转过程中所经历的圆周等分数，即为平面角BAC的度量值。
需要注意的是，在度量平面角时，始边和目标射线的位置并不重要，旋转的方向和经过的圆周等分数才是决定角度大小的关键。
二、立体角度的度量立体角是指由空间中的三个或更多射线所包围的角。
我们可以将立体角度量化为体积的比值。
在度量立体角时，我们使用一个特殊的度量单位——球面度。
一个完整的球面被分成360个球面度，通常用符号“ω”表示。
与平面角度的度量类似，度量立体角时我们同样需要选择一个基准射线作为始边，并以顺时针或逆时针方向旋转，直到形成立体角所需的射线个数。
与平面角度不同的是，立体角的度量结果是一个比值，表示所包围立体角的体积与基准射线的长度之比。
以一个例子来说明立体角度的度量方法。
设立体角由射线OA、OB 和OC所包围，其中OA作为基准射线。
我们将OB和OC分别逆时针旋转，直到它们与基准射线OA重合。
此时，所包围立体角的体积与基准射线OA的长度之比即为立体角的度量值。
需要注意的是，在度量立体角时，射线的排列顺序也并不重要，旋转的方向决定了度量结果的正负。
立体角的分解
立体角的分解
立体角是以圆锥体的顶点为球心，半径为1的球面被锥面所截得的面积来度量的，度量单位称为"立体弧度"。
和平面角的定义类似。
在平面上我们定义一段弧微分S与其矢量半径r 的比值为其对应的圆心角记作dθ=ds/r;所以整个圆周对应的圆心角就是2π;与此类似，定义立体角为曲面上面积微元ds与其矢量半径r的二次方的比值为此面积微元对应的立体角，记作dΩ=ds/r^2;由此可得，闭合球面的立体角都是4π。
锥体的立体角为，以锥体的顶点为球心作球面，该锥体在球表面截取的面积与球半径平方之比。
单位为球面度。
立体角计算公式1
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
在数学和物理学中，空间角是一种非常重要的概念。
物体在空间中的角度关系经常被用到各种计算和分析中。
因此，求解空间角的方法也变得尤为重要。
本文将按类划分，总结空间角的求法方法。
立体角的求法
立体角是三维空间中用来描述四面体的角度大小的量，并且与其各个顶点相对应。
求解四面体的立体角可以通过以下公式进行计算：
V5 = 1/3(arccos(A1) + arccos(A2) + arccos(A3) - π )
其中V5指四面体的立体角，A1、A2、A3为三个向量的夹角余弦，pi 为圆周率。
平面角的求法
平面角是在二维平面中两个射线之间的角度大小，于是端点重合，两条射线叫做角的顶点，并记为O。
平面角的计算公式如下：
cosθ = a·b / |a||b|
其中，a和b分别表示两个向量，|a|和|b|表示向量的模，lala和lblb都为0，则cosθ没有定义。
球面角的求法
球面角是指在球面上相互靠近的两条弧（或线）之间的角度大小。
求解球面角需要先计算其对应的球面扇形的面积，然后进行换算即可，具体公式如下：
S = R²θ
其中R表示球体半径，θ表示对应的球面角。
总结
空间角的求法方法主要包括立体角、平面角和球面角三种。
其中立体角的求解需要根据四面体的三个向量夹角余弦值计算，平面角的计算需要先计算两个向量的点积并除以其模，而球面角的求解则需要先计算出对应的球面扇形面积。
这些空间角的求法方法可以帮助我们更准确地分析并解决各类问题。
立体角公式
立体角公式
立体角公式是描述物体或空间中某一部分俯视角度或覆盖面积大小的公式。
在几何学中，立体角是四维空间中一个方向上的角度，类似于三维空间中的角度。
由于立体角的定义涉及到高维空间，因此它们通常更难以理解和计算。
常见的立体角公式如下：
1.球面角公式。
球面角公式用于计算圆锥、圆柱等等立体角。
如果一个面对着半径为r的球面，那么它的立体角θ可以根据如下公式计算：
θ=S/r²。
其中S是这个面所覆盖球面的表面积。
2.多面角公式。
多面角公式用于计算由多个平面相交而成的角。
如果一个多面体有m 个面，并且每个面的立体角为θ₁，θ₂，…，θm，那么它的总立体角可以根据如下公式计算：
Ω=(θ₁+θ₂+…+θm)-(m-2)π。
这里的“m-2”表示公式中所有独立的棱和点的数量之和。
3.双曲面角公式。
双曲面角公式用于计算双曲面上两个点之间的角度大小。
如果在双曲面上，一个点与另一个点之间的距离为d，那么夹角α可以根据如下公式计算：
cos α = cosh² d₁ + cosh² d₂ - cosh² d / 2sinh d₁ sinh d₂。
其中cosh和sinh是双曲函数。
总之，立体角是描述物体或空间中某一部分俯视角度或覆盖面积大小的概念，其计算公式有多种形式，具体可以根据需要选择相应的公式进行计算。
立体角计算公式
立体角计算公式初醒悟摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。
关键词：立体角，发光角。
0引言光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。
若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为：I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。
式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。
1 cd=1 lm/sr 。
但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。
这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。
1立体角的定义将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。
即：Ω=2rA图1平面角（单位：弧度rad ） 图2立体角（单位：球面度sr ）2立体角的计算设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。
设0<2α<π，0<2β<π不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。
根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。
由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。
图3 计算示意图曲面面积计算公式为： A=⎰⎰∂∂+∂∂+Dyz x z 22)()(1dxdy （1） 上半球球面方程为：Z=221y x -- （2）由 x z ∂∂=221yx x --- （3）221yx y y z ---=∂∂ （4） 得 222211)()(1yx y z x z --=∂∂+∂∂+ （5）代入（1）式得： A=⎰⎰--Dyx dxdy 221 (6)利用极坐标，得： A=⎰⎰-Drrdrd 21θ (7)易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：α22sin x +y 2=1 (8) x 2+β22sin y =1 (9)交点坐标（βαβα22sin sin 1cos sin -,βααβ22sin sin 1cos sin -)φ1=arctg αβtg tg (10)φ2=arctg βαtg tg (11)将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α222sin cos sin 11Φ+Φ=r (12)β222sin sin cos 12Φ+Φ=r (13)图4 xy 面投影XY12Dr1r2根据对称性，有：A=4(A1+A2) (14) A1=⎰⎰-ΦΦ102101r r rdr d A2=⎰⎰Φ-Φ2221r rrdrd于是， A1=10121(r r d ⎰Φ--Φ=⎰ΦΦ+Φ--1222sin cos sin 111(α）dΦ=Φ1-⎰ΦΦ+Φ-102222cos sin sin sin 1ααdΦ =Φ1-⎰ΦΦ+Φ-ΦΦ10222sin sin sin 1cos cos ααd设t=sinΦ，则cosΦdΦ=dt A1=Φ1-⎰Φ-1sin 022cos 1cos tdt αα =Φ1-⎰Φ-1sin 022cos /1tdtα =Φ1-arcsin(cos α·t)1sin 0Φ=Φ1-arcsin(cos αsinΦ1) (15) 同理，A2=Φ2-arcsin(cosβsinΦ2) (16)带入（14）式,得出最终结果：A=4(arctgαβtg tg -arcsin(cos αsin(arctg αβtg tg )) +arctg βαtg tg -arcsin(cosβsin(arctg βαtg tg ))) (17)特别地，当α=β时，Φ1=Φ2=π/4， A1=A2=π/4-arcsin(cos α/2)3数值结果参考文献⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海。
光度立体法计算公式(一)
光度立体法计算公式(一)光度立体法计算公式本文将介绍光度立体法计算公式，包括定义、相关公式以及示例解释。
光度立体法是一种计算物体亮度、表面亮度分布的方法，常用于光学工程、摄影学和人眼视觉等领域。
1. 定义光度立体法是根据物体单位面积上发射或反射出的光通量来计算亮度分布的方法。
它基于光通量与单位面积上的光亮度之间的关系，通过将物体视为一组微小面元的集合，对每个面元的光通量进行积分来计算整个物体的亮度分布。
2. 计算公式光度立体法包括以下两个关键公式：光通量公式光通量（Luminous Flux）是指单位时间内通过某个表面的光功率，用单位流明（lm）表示。
光通量与亮度之间的关系可以通过以下公式表示：L = Ω * I其中，L为光通量（lm），Ω为立体角（sr），I为光亮度（cd/m²）。
立体角公式立体角（Solid Angle）是指空间中某点在球面上所覆盖的面积与球半径平方之比，用单位球面度（sr）表示。
立体角与视角之间的关系可以通过以下公式表示：Ω = A / r²其中，Ω为立体角（sr），A为表面面积（m²），r为物体到观察点的距离（m）。
3. 示例解释假设有一个球形灯泡，半径为，发射出的光通量为1000lm。
我们想要计算离灯泡表面的某一点在该球面上所覆盖的立体角，以及该点的光亮度。
首先，我们可以通过立体角公式计算出该点的立体角。
假设表面面积为1m²，距离观察点的距离为1m，则立体角为：Ω = 1 / 1² = 1 sr接下来，我们可以利用光通量公式计算出该点的光亮度。
将光通量和立体角代入公式中，可得：I = L / Ω = 1000 lm / 1 sr = 1000 cd/m²因此，该点的光亮度为1000 cd/m²。
总结光度立体法是一种计算物体亮度、表面亮度分布的方法。
通过光通量公式和立体角公式，我们可以计算物体的光亮度分布。
立体角的单位
立体角的单位立体角是描述两个平面之间的角度的一种角度单位。
在三维几何中，我们常常需要计算或描述不同平面之间的角度，而立体角就是一种用来度量这种角度的单位。
我们来了解一下立体角的定义。
当一个点位于一个球面上，球心位于另一个球面的中心时，我们可以通过在球心处画一条射线，将球面分割成一个个小的面元。
立体角就是这些小面元所对应的固定的立体角的总和。
换句话说，立体角是指一个球面上的一小部分所对应的固定的立体角。
对于一个球面上的小面元，我们可以通过度量它所占据的空间来计算它的立体角。
立体角的计算公式为：立体角 = 小面元 / 球的半径的平方。
其中，小面元指的是球面上的一小块面积，球的半径是球面的半径。
立体角的单位是球面上的一小块面积除以球的半径的平方。
常见的立体角单位有：1. 平方度（square degree）：指的是球面上的一小块面积等于球的半径的平方的立体角。
平方度是一种非常常见的立体角单位，用于度量天体的大小或亮度等。
2. 平方弧度（square radian）：指的是球面上的一小块面积等于球的半径的平方的立体角。
平方弧度是一种用于度量球面上小面元的单位，常用于物理学和数学中。
3. 球面度（steradian）：指的是球面上的一小块面积等于球的半径的平方的立体角。
球面度是国际单位制中的正式立体角单位，用于度量球面上的立体角。
4. 球面分（sphere minute）：指的是球面上的一小块面积等于球的半径的平方的立体角。
球面分是一种非常小的立体角单位，常用于度量微小的角度。
除了以上几种常见的立体角单位，还有一些其他的单位，如球面秒、球面毫弧度等。
这些单位通常用于特定领域的计算或度量中。
在实际应用中，立体角常常用于度量光源的亮度、辐射场的强度等。
例如，在照明工程中，我们需要计算光源所发出的光线在不同方向上的亮度，就可以使用立体角来描述这些光线的分布情况。
在天文学中，我们常常使用立体角来度量天体的大小或亮度，以便研究宇宙中的恒星、行星等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
or simply
ω = A / R 2 … for an area on a sphere.
A
P
.
R
Figure 5.
Subtense of an area on a sphere at its center.
Now let's go to the three dimensional case. Consider a point P and a surface of area A somewhere in space. We want a measure of the subtense of the area at P. Taking our cue from the two dimensional case, construct a unit sphere, a sphere of radius 1, around P. The subtense of A is measured by the area it cuts out of the unit sphere, as illustrated in figure 2. This is the area which would be cut out by lines drawn from P to every point on the periphery of A . This area is the solid angle subtended by A . The unit of measurement of the solid angle is the steradian, abbreviated str, the three dimensional analog of the radian. For example, if the unit sphere has a one meter radius and A cuts out an area of 6 m2 on the unit sphere, A subtends a solid angle of 6 steradians. The usual symbol for solid angle is ω .
ω = ∫ d ω = ∫ (cos φ / r 2 )d A.
A
A
We'll perform the integral for three cases.
φ
A r
P
Figure 4. Subtense of a small area at a point.
The first case is that of a small, flat area with linear dimensions<<r . In this case the distance from P to any part of the area is about the same so r is effectively constant over the area. Likewise φ is effectively constant over the area, so
SOLID ANGLES
CONSTRUCTION OF A SOLID ANGLE
Before going on to a discussion of light sources it's necessary to make a mathematical detour in order to discuss a geometric entity, the solid angle. First let's review, with the help of figure 1, the radian measure of angles in two dimensions. To find the angle subtended in radians by a line segment C 1 C 2 at a point P, construct a circle of radius 1, a unit circle, around P. Next measure the length of the circular arc A1 A 2 of the unit circle cut off by the straight lines C1 P and C2 P. The length of the arc A 1 A 2 equals the number of radians subtended by C1 C 2 . It is important that the arc length A1 A 2 be measured in the same units as the radius of the unit circle. For example, if the circle has a radius of one meter and the arc length is 0.l meters, the angle is 0.1 radians. If an arc completely surrounds P it subtends 2π radians, the circumference of the unit circle. Note that the radian, being the quotient of two lengths, is a unitless quantity.
1
P
ω
unit sphere
Figure 2.
A
The solid angle subtended by area A at point P is measured by the area ω on the surface of the unit sphere centered at P.
solid angle, page 2 © W. F. Long, 1992
solid angle, page 5 © W. F. Long, 1992
a
α
R
P
Figure 6.
A disk of radius a subtending half angle α at a point P.
The final, and most complex case is that of the solid angle subtended by a disk at a point P on its axis, as shown in figure 6.
the ratio,
s /σ = r/ 1
since 1 is, of course, the radius of the unit sphere. Combining these last two equations we get d W /d ω =( r /1) 2 = r 2 , or simply d ω =d W / r 2 . But since dW =cos φ d A , we obtain our final result, d ω =(cos φ / r 2 )d A . (1) To find the solid angle subtended by a surface of finite size we have to integrate (1), obtaining
ω = ∫ d ω = ∫ (cos φ / r 2 )d A =(cos φ / r 2 ) ∫ d A
or
ω = A cos φ / r 2 … for a small area.
solid angle, page 4 © W. F. Long, 1992
Another important case is the angle subtended by an area on a sphere of radius R at the center of the sphere (figure 5). In this case φ =0 for any point on the surface and r equals the radius of the sphere for any point on the surface, hence the integral reduces to
a
ρ α
R
ρ +d ρ
P
r
Figure 7.
To sk at point P, break the disk up into infinitesimally thin rings.
To apply (1), first break the circle up into a series of concentric ring shaped areas as in figure 7. The inside radius of each of these areas is ρ and the outside radius is (ρ +d ρ ) so that the area of each ring is d A = π ( ρ +d ρ ) 2 - πρ 2 =2 πρ d ρ , where higher order terms in dρ have been dropped since dρ is infinitesimally small.
C2 1 P A1 C1 A2
unit circle Figure 1. In radian measure the subtense of the arc C1 C 2 at point P is the length of arc A1 A 2 on the unit circle.
solid angle, page 1 © W. F. Long, 1992