六年级奥数专题十九近似值与估算

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六年级奥数专题十九:近似值与估算关键词:近似四舍近似值千分四舍五入法四舍五入尾数奥数舍去截取

在计数、度量和计算过程中,得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多数情况下,得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数,这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。例如,测量身高或体重,得到的就是近似数。又如,统计全国的人口数,由于地域广人口多,统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡,得到的也是近似数。

用位数较少的近似值代替位数较多的数时,要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数,取舍尾数的主要方法有:

(1)四舍五入法。四舍,就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时,就把尾数舍去;五入,就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时,把尾数舍去后,在它的前一位加1。例如:…,截取到千分位的近似值是,截取到百分位的近似值是。

(2)去尾法。把尾数全部舍去。例如:…,截取到千分位的近似值是,截取到百分位的近似值是。

(3)收尾法(进一法)。把尾数舍去后,在它的前一位加上1。例如:…,截取到千分位的近似值是,截取到百分位的近似值是。

表示近似值近似的程度,叫做近似数的精确度。

在上面的三种方法中,最常用的是四舍五入法。一般地,用四舍五入法截得的近似数,截到哪一位,就说精确到哪一位。

例1有13个自然数,它们的平均值精确到小数点后一位数是。那么,精确到小数点后两位数是多少

分析与解:13个自然数之和必然是整数,因为此和不是13的整数倍,所以平均值是小数。由题意知,≤平均值<,所以13个数之和必然不小于的13倍,而小于的13倍。

×13=,

×13=。

因为在与之间只有一个整数350,所以13个数之和是350。

350÷13=…

当精确到小数点后两位数时,是。

例1中所用的方法可称为“放缩法”。对于一个数,如例1中13个数的平均数,如果不知道它的确切数值,那么可以根据题设条件,适当地将它放大或缩小,再进一步确定它的具体数值。当然,这里的“放大”与“缩小”都要适当,如果放得过大或缩得过小,则可能无法确定正确值,这时“放缩”就失败了。

分析与解:真正计算出这个算式,再取近似值,几乎是不可能的。因为题目要求精确到小数点后三位数,所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。

若分子缩小、分母扩大,则分数变小;若分子扩大、分母缩小,则分数变大。利用这一点,使用放缩法就能估计算式的值的范围。分子、分母各取两位小数,有

…由… <原式<…,无法确定原式小数点后三位的近似值。缩放的范围太大,应使范围缩小些。

分子、分母各取三位小数,有

仍然无法确定,还应使范围缩小。

分子、分母各取四位小数,有

由…<原式<…知,原式小数点后三位肯定是“239”,第四位在5和8之间。按四舍五入法则,精确到小数点后三位数的近似值是。

由例2进一步看出“放缩”适度的重要性。取的位数少了,范围太大,无法确定;取的位数多了,例如取十位小数,计算量太大,繁琐且没有必要。

例3 求下式的整数部分:

分析与解:对分母使用放缩法,有

所以<原式<200,原式整数部分是199。

例4 求下式的整数部分:

×+×+×。

分析与解:在×,×与×中,各式的两个因数之和都相等。当两个数的和一定时,这两个数越接近,这两个数的乘积越大,于是得到

×<×<×。

因为×>×8,所以

原式>×8×3=;

因为×<×8,所以

原式<×8×3=30。

由<原式<30知,原式的整数部分是29。

前面讲过,四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在实际问题中,一定要注意灵活运用,特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。

例5某人执行爆破任务时,点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑,其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问:导火线的长度至少多长才能确保安全(精确到0.1米)

解:×(70÷5)

=×10

=≈(米)

答:导火线至少长1.2米。

此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米,执行任务的人还没跑到安全地带,炸药就被引爆,那可就太危险了。

例6某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时,飞去时速度为900千米/时,飞回时速度为850千米/时。问:该飞机最远飞出多少千米就应返回(精确到1千米)解:设该飞机最远能飞出x千米,依题意有

答:飞机最远飞出1748千米就应返回。

此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则,那么得到x≈1749,当飞机真的飞出1749千米再返回时,恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。

练习19

1.有17个自然数,它们的平均值精确到小数点后一位数是,那么精确到小数点后三位数是多少

2.老师在黑板上写了14个自然数,让小明计算平均数(保留三位小数),小明计算出的答案是。老师说小数点后第二位错了,其它的数字都对。正确答案应该是多少

3.计算下式的精确到小数点后三位数的近似值:68÷31。

4.求下式的整数部分:

11×22+12×33+13×44+…+17×88。

5.求下式的整数部分:

2. 45×+×+×+

2. 48×+×。

6.为了修水电站,需要在极短的时间内向河道中投入300米3石料,以截断河流。如果每台大型运输车一次可运石料1

7.5米3,那么为保障一次截流成功,至少需多少台运输车

7.一条单线铁路全长 240千米,每隔20千米有一个会车站(当两车相遇时,一车停在会车站内,另一车可通过)。甲、乙两列火车同时从两端出发,甲车每小时行75千米,乙车每小时行45千米。为保证快车正点运行,慢车应给快车让路。为使等候时间尽量短,乙车应在出发后的第几个会车站等候甲车通过

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