高三数学不等式的基本性质知识点

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理科高三数学知识点总结(最新)

理科高三数学知识点总结等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：(1)a>bb(2)a>b,b>ca>c(传递性)(3)a>ba+c>b+c(c∈R)(4)c>0时，a>bac>bcc<0时，a>bac运算性质有：(1)a>b,c>da+c>b+d。

(2)a>b>0,c>d>0ac>bd。

(3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。

(4)a>b>0>(n∈N,n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

高中数学集合复习知识点任一A，B，记做ABAB，BA，A=BAB={|A|，且|B|}AB={|A|，或|B|}Card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)(1)命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q，则p(2)AB,A是B成立的充分条件BA,A是B成立的必要条件AB,A是B成立的充要条件1.集合元素具有①确定性;②互异性;③无序性2.集合表示方法①列举法;②描述法;③韦恩图;④数轴法(3)集合的运算①A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)②Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB(4)集合的性质n元集合的字集数：2n真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2高中数学集合知识点归纳1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些制定的且不同的对象集合在一起就称为一个集合。

高三不等式知识点归纳总结

高三不等式知识点归纳总结不等式在高中数学中占有重要的地位，它是数学中一种常见的关系式。

在高三数学学习过程中，我们需要掌握并灵活运用各种不等式知识点，以提升解题能力。

本文将对高三不等式相关知识进行归纳总结，帮助大家系统地掌握不等式的内容。

一、基本不等式基本不等式是不等式的基础，它通过对大小关系的描述，为其他类型不等式的证明提供了依据。

常见的基本不等式有以下几种：1. 正数不等式：若a>0，则a的平方大于0，即a²>0；a与-b的乘积小于0，即ab<0。

2. 负数不等式：若a<0，则a的平方大于0，即a²>0；a与-b的乘积小于0，即ab>0。

3. 平方不等式：若a>b≥0，则a的平方大于b的平方，即a²>b²。

4. 平均不等式：若a1，a2，...，an为正数，则它们的算术平均大于等于它们的几何平均，即(a1+a2+...+an)/n≥(a1*a2*...*an)^(1/n)。

二、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b为常数。

我们可以通过移项和分析a的正负来求解不等式。

1. 求解步骤：a) 对不等式进行变形，将不等式变为ax>c的形式，其中c为常数。

b) 根据a的正负确定不等式的方向，若a>0，则不等式为单调递增，解集为x>c/a；若a<0，则不等式为单调递减，解集为x<c/a。

2. 注意事项：a) 在乘以或除以负数的过程中，需注意不等式方向的变化。

b) 当a为0时，不等式变为bx>c，若b>0，则不等式为恒成立；若b<0，则不等式无解。

三、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为常数。

我们可以通过求解二次方程和分析a的正负来求解不等式。

高三选修不等式知识点

高三选修不等式知识点不等式是高中数学中的一个重要内容，它在数学建模、优化问题以及各种实际应用中都起着重要的作用。

在高三数学的选修课中，不等式是必不可少的内容之一。

本文将详细介绍高三选修不等式的知识点，包括不等式的基本概念、性质和解法等。

一、不等式的基本概念不等式是数学中用不等号连接的数字或者表达式的关系式。

与等式不同，不等式所表示的是一种不严格的大小关系。

不等式可以分为严格不等式和非严格不等式两种形式。

严格不等式使用“<”和“>”表示，而非严格不等式使用“≤”和“≥”表示。

不等式的基本概念为后续的解法提供了基础。

二、不等式的性质1. 加减性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方向保持不变，即若a < b，则a + c b，则a - c >b - c。

2. 乘除性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向保持不变，即若a < b（或a > b），c > 0，则ac < bc（或ac > bc）；若a < b（或a > b），c < 0，则ac > bc（或ac < bc）；若a >b（或a < b），c > 0，则ac > bc（或ac < bc）；若a > b（或a < b），c < 0，则ac < bc（或ac > bc）。

3. 倒置性质：若不等式两边的不等号互换，则不等式的方向也需要互换，即若a < b，则b > a；若a > b，则b < a。

三、不等式的解法1. 图像法：对于给定的一元不等式，可以通过绘制相关函数的图像来确定不等式的解集。

通过观察图像上的位置可以得到不等式的解集。

2. 区间法：对于一元一次不等式或二次不等式，可以将解集表示为一个或多个区间的交集或并集的形式。

不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习

常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋－nn＝＝2－，1，解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.

高三数学高考第一轮复习课件：不等式

４．构造函数，进而通过导数来证明不等式或解决不等式恒成立的问题是高考热点问题．
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动编读互动
第34讲 │ 知识要点知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明．（２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（４）掌握简单不等式的解法．（５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲不等式的概念与性质第35讲均值不等式第36讲不等式的解法第37讲不等式的证明第38讲含绝对值的不等式
第六单元不等式
第六单元 │ 知识框架知识框架
第六单元 │ 考点解读考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化

重庆高三数学不等式知识点

重庆高三数学不等式知识点不等式是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题、理解函数性质、证明数学命题等方面都有着广泛的应用。

对于重庆的高三学生来说，掌握不等式的相关知识点对于提高数学成绩至关重要。

本文将详细介绍不等式的基本概念、性质、解法以及在高考中的应用。

一、不等式的基本概念不等式是表示两个数或者两个代数式之间大小关系的数学符号。

常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”。

例如，a < b表示a小于b，a ≤ b 表示a小于或等于b。

在数轴上，不等式可以直观地表示两个数的位置关系。

二、不等式的基本性质不等式具有以下基本性质：1. 加法性质：如果a < b，那么对于任意实数c，有a + c < b + c。

2. 乘法性质：如果a < b且c > 0，那么ac < bc。

3. 除法性质：如果a < b且c > 0，那么a/c > b/c。

4. 同向不等式性质：如果a < b且c < d，那么a + c < b + d。

5. 反向不等式性质：如果a < b且c > d，那么a - c > b - d。

需要注意的是，当c为负数时，乘法和除法性质中的不等号方向会发生改变。

三、不等式的解法1. 一元一次不等式：形如ax + b > 0的不等式，通过移项、合并同类项、化系数为1等步骤求解。

2. 一元二次不等式：形如ax^2 + bx + c > 0的不等式，通常需要先求出对应方程的根，然后根据根的位置判断不等式的解集。

3. 绝对值不等式：形如|ax + b| < c的不等式，需要分情况讨论x的取值范围，去掉绝对值符号后解不等式组。

4. 分式不等式：形如(a(x)/b(x)) > 0的不等式，需要考虑分母不能为零的情况，通常转化为一元一次不等式组求解。

四、不等式在高考中的应用在高考数学试题中，不等式常常出现在选择题、填空题和解答题中。

高三不等式复习知识点

高三不等式复习知识点在高三数学中，不等式是一个重要的知识点，它在解决实际问题和推理推导中有广泛的应用。

接下来，我们将回顾一些高三不等式的基本概念和解题方法。

一、不等式的基本概念不等式是一种数学表达式，它描述了两个数之间的大小关系。

常见的不等式符号有"<"（小于）、">"（大于）、"≤"（小于等于）和"≥"（大于等于）。

例如，对于实数a和b，如果a<b，则我们可以写作a<b；如果a≤b，则表示a小于或等于b。

二、不等式的性质1. 等式性质：不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式保持不变。

例如，对于不等式a<b，如果两边同时加上一个相同的数c，则不等式变为a+c<b+c。

2. 倍数性质：不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等式的方向保持不变；如果乘以（或除以）一个负数，不等式的方向则反向。

例如，对于不等式a<b，如果两边同时乘以一个正数c，则不等式变为ac<bc；如果乘以一个负数c，则不等式变为ac>bc。

3. 倒置性质：不等式两边同时取倒数，不等式的方向需要反向。

例如，对于不等式a<b，如果两边同时取倒数，则不等式变为1/a>1/b。

三、不等式的解法1. 图解法：对于一元一次不等式，我们可以将其在数轴上进行图解。

根据不等式的形式，判断出解的范围。

2. 等效变形法：通过一系列的等式性质和倍数性质的变形，将不等式转化为更简单的形式，从而得到解。

例如，对于不等式3x-5<2x+7，我们可以通过将同类项合并，得到x<12。

3. 区间法：对于一些复杂的不等式，我们可以通过设定合适的区间范围来求解。

例如，对于不等式2x^2-7x+3>0，我们可以通过解二次方程2x^2-7x+3=0得到其零点，然后通过分析函数图像和函数值的正负来确定解的范围。

高三数列不等式知识点总结

高三数列不等式知识点总结数列不等式是数学中的重要概念，也是高中数学中的一个重要知识点。

在高三数学学习中，数列不等式常常作为数列章节的延伸和拓展，对于学生来说是一个较为复杂的内容。

下面将从不等式基本概念、解不等式的方法以及解决实际问题等几个方面对高三数列不等式进行总结。

一、不等式基本概念1. 不等式的定义：不等式是表示两个数之间的大小关系的数学式子，其形式通常为a < b、a ≤ b、a > b、a ≥ b等。

2. 不等式的性质：不等式具有传递性、对称性、加法性和乘法性等性质。

学生需要熟练掌握这些性质，以便在解不等式时能够合理运用。

二、解不等式的方法1. 穷举法：对于一些简单的不等式，可以通过列举出数值的方式来得到不等式的解集。

2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以用数轴上的点来表示不等式中的数，通过观察数轴上的点的位置关系，判断不等式的解集。

3. 对称性法：当不等式中含有绝对值符号时，可以利用对称性来求解不等式。

4. 区间法：对于一些复杂的不等式，可以利用区间的概念，将数轴分为若干段，然后通过每个区间上符号的变化情况来求解不等式。

5. 函数法：通过对不等式进行等价变形，转化为函数的性质，然后利用函数的性质来解不等式。

三、解决实际问题1. 关于数列的不等式问题：在数列中常常会出现一些不等式问题，例如求数列的最大值、最小值、数列元素的范围等，这些问题都可以通过对数列不等式的分析和求解来得到答案。

2. 关于应用问题的不等式问题：不等式在实际生活中有着广泛的应用。

例如金融领域中的利润和损失、生活中的成本问题等，都可以通过建立不等式模型来解决。

3. 关于优化问题的不等式问题：在一些最优化问题中，不等式常常作为约束条件来限制优化问题的解集，通过解不等式可以得到最优解。

综上所述，高三数列不等式作为数列章节的重要延伸内容，对于学生来说是一项重要且复杂的知识点。

学生需要充分了解不等式的基本概念、掌握解不等式的方法以及能够应用不等式解决实际问题。

不等式知识点职高高三

不等式知识点职高高三不等式是高中数学中的重要知识点之一，也是高职高三数学难点中的一个重要内容。

掌握不等式的相关知识，对于考生提高数学成绩、应对高考具有重要意义。

下面将从不等式的基本定义、性质和解不等式的方法等几个方面来探讨不等式知识点。

一、基本定义不等式是数学中的一种关系式，用来比较两个数或者表达两个数之间的数量关系。

不等式的基本符号有"大于"和"小于"两种，分别用>和<表示。

当两个数之间满足大小关系时，就可以用不等式来表示。

二、性质1. 不等式的传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

这个性质可以推广到多个数之间的关系，非常有用。

2. 不等式的加减性：如果a > b，那么a+c > b+c。

同样地，如果a > b，那么a-c > b-c。

通过这个性质，我们可以对不等式进行加减运算，简化形式，求得更简洁的解。

3. 不等式的乘除性：如果a > b，c > 0，那么ac > bc。

同样地，如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

这个性质可以帮助我们对不等式进行乘除运算，找到不等式的解集。

4. 不等式的倒置性：如果a > b，那么-b > -a。

这个性质告诉我们，对于不等式两边同时取负号，不等号方向需要倒置。

三、解不等式的方法1. 利用不等式性质简化问题：通过不等式的加减性、乘除性和倒置性，可以将不等式简化为更简单的形式，进而求解。

例如，对于不等式3x - 2 > 4x + 1，可以依次进行加2、减3、除-1的操作，得到x < -1，即可求得不等式的解集。

2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以通过画图来找到解。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 < 0，可以将不等式左边的二次函数图像画出来，找到函数图像位于x轴下方的部分，即可求得不等式的解集。

高三数学不等式知识点总结

高三数学不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

在高三数学学习中，掌握不等式的相关知识点对于理解和解决问题至关重要。

本文将对高三数学中的不等式知识点进行总结。

1. 不等式的基本性质不等式的基本性质包括：- 加法性质：如果a > b，那么a + c > b + c。

- 减法性质：如果a > b，那么a - c > b - c。

- 乘法性质：如果a > b，c > 0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 除法性质：如果a > b，c > 0，那么a/c > b/c；如果a > b，c < 0，那么a/c < b/c。

2. 不等式的解集表示法解不等式时常常需要表示出解集，常见的表示方法有：- 图形表示法：将不等式的解集在数轴上用图形表示出来，例如用方向箭头表示不等式的解集。

- 区间表示法：使用区间表示法表示解集，例如(a, b)表示开区间，[a, b]表示闭区间，(a, b]表示半开半闭区间，等等。

- 集合表示法：使用集合的符号表示解集，例如{x | a < x < b}表示大于a小于b的x的集合。

3. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。

解一元一次不等式的方法与解方程类似，不同的是在解的过程中需要注意保持不等式的方向性。

- 加减法解不等式：通过加减同一个数使得不等式简化，确定不等式的方向。

- 乘除法解不等式：通过乘除同一个正数或负数使得不等式简化，确定不等式的方向。

4. 一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。

解一元二次不等式的关键是确定二次函数的图像与x轴的位置关系。

- 求解不等式组：将二次不等式转化为不等式组的形式，通过观察二次函数的变化趋势求解。

- 图像法求解：绘制二次函数的图像，根据图像与x轴的位置关系得出解集。

中职对口升学-高三数学第一轮复习：不等式的基本性质及区间

解析
对于本题选项A ,若c = 0 ,则 ac = bc = 0 ,A选项不成立 ; 对于选项B和选项D ,可以通过特殊值来判断,令a=0,b=1,c=-2,d=-3,可排除选项B和D. 本题选项C正确.
技巧点拨
解答此类题目,要注意不等式性质的正确应用,同时也要考虑其他知识另外也可用特殊值法来判断.
典例解析
例3 已知的取值范围.
解析
对于a +b ,a b 的取值范围可直接利用不等式的同向可加性和同向可乘性求
得.对a - b 和的取值范围,应先求出-b 和的取值范围.
根据不等式的同向可加性可知8<a +b <13;根据不等式的同向可乘性可知
12<a b <30;
因为2<b <3,所以-3<-b <-2.
第一轮复习
第一节不等式的基本性质及区间
知识梳理知识点一不等式的基本性质
1.不等式的定义表示不等关系的式子称为不等式，满足不等式的未知数的取值的集合称为不等式的解集.
知识点一不等式的基本性质
2.实数的大小比较基本性质
（1）作差比较法.对于任意两个实数a,b.
（2）作商比较法.对于任意两个实数a,b.
又因为6<a <10,所以6-3<a -b <10-2,即3<a -b <8.
又因为
所以
既
技巧点拨
利用不等式的性质求取值范围时一定要熟练掌握不等式的性质,特别是同向可加性和同向可乘性.
同学们！再见！
知识点一不等式的基本性质
3.不等式的基本性质
性质1 性质2 性质3
如果a >b ,并且b >c ,那么a >c 如果a >b ,那么a +c >b +gt;b c ;如果a >b ,c <0,那么a c <b c

3、不等式基本性质

第2章不等式【教材解读】用不等式表示的不等关系是数学中的一种基本数量关系．本章内容包括不等式的性质、不等式的解法，两个基本不等式及其应用．不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据．在不等式的解法中，重点是解一元二次不等式，其它不等式一般都是通过等价变换化为一元一次或一元二次不等式（组）来解．本章的重点内容是不等式的性质和一元二次不等式的解法．难点是用不等式解决实际应用问题．不等式是高考必考的热点内容，往往与函数等其它知识相结合，主要考查学生分析问题、解决问题的能力与综合运用知识及逻辑推理能力．在复习中，我们必须注意以下几个方面：1．掌握不等式的性质，会对这些性质进行证明；会应用不等式的性质判断大小或证明简单的不等式．掌握比较法、综合法和分析法的基本思想．2．理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，能熟练地解一元二次不等式，会对含有字母参数的一元二次不等式问题进行讨论．3．对分式不等式、含有绝对值的不等式和其它不等式，会运用转化的方法化为一元一次或一元二次不等式（组），但在复习中要注意控制这类不等式的难度．4．理解基本不等式，掌握它们的证明方法，会应用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的实际问题，要注意基本不等式的应用条件．5．在应用不等式解决函数、方程等方面的问题时，关键要将问题转化、化归为不等式问题，在转化和化归时，尤其要注意等价性，即注意在转化过程中一些变量的范围和式的等价变形．6．不等式的应用常见于解决实际问题，这时，要通过阅读充分理解背景材料，寻找材料中量与量之间的内在联系，抽象出材料中的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学关系式，从而建立起最佳数学模型，然后用不等式知识解决问题．7．函数、不等式、方程密不可分，它们之间既相互联系，也可以相互转化．因此，要加强不等式、函数、方程三部分知识的综合训练．8．要加强分类讨论思想的训练，如遇到含参数的问题，注意对参数进行分类讨论，在讨论的过程中，要合理分类，做到不重不漏．【知识结构】【教案样例】不等式的性质解不等式基本不等式一元二次不等式其它不等式不等式应用问题不等式的证明1．不等式的性质【教学目标】1．掌握不等式的性质并能加以证明，会用不等式性质判断大小关系． 2．会用比较法比较两个代数式的大小或证明简单的不等式．3．会用综合法证明简单的不等式．掌握综合法和分析法的基本思路及其表达．【教学重点】1．应用不等式的性质判断大小关系． 2．用比较法比较大小和证明不等式．【教学难点】用不等式的性质判断大小关系．【教学过程】一．知识整理1．不等式的性质．性质1 如果b a >，c b >，那么c a >．性质2 如果b a >，那么c b c a +>+．性质3 如果b a >，0>c ，那么bc ac >；如果b a >，0<c ，那么bc ac <．推论1 如果b a >，d c >，那么d b c a +>+．推论2 如果0>>b a ，那么nn b a >（*N n ∈）推论3 如果0>>b a ，那么n n b a >．2．用比较法判断或证明大小关系的依据．0>-b a b a >⇔；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0．二．例题解析【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】给出下列命题，①若b a >，且d c =，则22bd ac >；②若b a <，则33b a <；③若0<；④若0>>b a ，0>>dc ，则dbc a >；⑤若0<ab ；②bda c >；③ad bc >．以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成_____________个正确命题．并加以证明．【解答】答案：3．证明如下：（1）若0>ab ，bda c >，在第二个不等式两边同乘以ab 得ad bc >．（2）若b d a c >，ad bc >，由条件知0≠ab ，假设0<ab ，在bda c >两边同乘以ab 得ad bc <，与ad bc >矛盾．（3）若0>ab ，ad bc >，在ad bc >两边同除以ab ，得bda c >．所以所得三个命题都是正确的．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，中，运算【题目】设a 、R b ∈，比较222c b a ++与24614a b c -+-的大小．【解答】解：0)3()2()1()14642(222222≥-+++-=-+--++c b a ca b a c b a ，当且仅当1=a 且2-=b 且3=c 时等号成立．所以，当1=a 且2-=b 且3=c 时，222c b a ++=14642-+-ca b a ；当1≠a 或2-≠b 或3≠c 时，222c b a ++>14642-+-ca b a ．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，证明题，中，分析问题解决问题【题目】已知a 、+∈R b ，*N n ∈，求证：n n n n ab b a b a +≥+++11．证明：))(()()()(11n n n n n n n n b a b a b a b b a a ab b a b a --=---=+-+++，因为a 、+∈R b ，*N n ∈，所以当b a >时，n n b a >；当b a =时，nn b a =；当b a <时，nn b a <，即只要b a ≠总有0))((>--n n b a b a ．所以n n n n ab b a b a +≥+++11（当且仅当b a =时等号成立）．【属性】高三，不等式，大小关系的判断，证明题，难，逻辑思维【题目】设1a ，2a ，1b ，R b ∈2，证明不等式2221122212221)())((b a b a b b a a +≥++．将此不等式进行推广（只要写出推广后的不等式，不必证明）．【解答】证明：因为0)()())((212212221122212221≥-=+-++b a b a b a b a b b a a ，所以 2221122212221)())((b a b a b b a a +≥++．推广：设1a ，2a ，…，n a ，1b ，2b ，…，R b n ∈，则222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ ．三．课堂反馈【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】下列命题中，真命题的序号是_________________．①若b a >，则22bc ac >；②若22cb c a >，则b a >；③若0>>b a ，0>>d c ，则d bc a >；④不等式b a >与不等式ba 22>等价．【解答】答案：②④【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，易，运算已知x 、R y ∈，比较22y x +与524--y x 的大小．【解答】解：0)1()2()524(2222≥++-=---+y x y x y x ，所以52422--≥+y x y x （当2=x 且1-=y 时等号成立）．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，证明题，中，分析问题解决问题【题目】设x 、R y ∈，求证：y x xy y x ++≥++122．【解答】证法一：0])1()1()[(21)(122222≥-+-+-=++-++y x y x y x xy y x ．证法二：因为x 、R y ∈，所以xy y x 222≥+，x x 212≥+，y y 212≥+，将这三个不等式相加得，y x xy y x 22222222++≥++，即y x xy y x ++≥++122．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，中，分析问题解决问题【题目】已知11<<-a ，比较a -1与a+11的大小．【解答】解：aa a a +-=+--11112，因为11<<-a ，所以01>+a ，02≤-a ，所以a a +≤-111（当且仅当0=a 时等号成立）．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，中，分析问题解决问题【题目】已知m 是实常数，解关于x 的不等式x m mx 242+<+．【解答】解：原不等式可化为4)2(2-<-m x m ．所以，当2=m 时，原不等式解集为空集；当2>m时，原不等式解集为{}2+>m x x ；当2<m 时，原不等式解集为{}2+<m x x ．四．课堂小结1．在应用不等式的性质进行不等式的推导、证明时，一是要注意不等式性质成立的条件．二是要防止由思维定势造成的错误——将等式性质迁移到不等式．2．用比较法判断或证明大小关系的基本步骤．（1）作差；（2）变形（因式分解或配方）；（3）判断符号．在比较两个正数的大小时，也可以用作商后与1比较的办法．如已知0>>b a ，比较b a ba 与abb a 的大小．可用1>⎪⎭⎫⎝⎛=-ba ab b a b a b a b a ．五．课后作业【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】若01<<<-βα，则βα-的取值范围是______________．【解答】答案：)0,1(-【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，逻辑思维【题目】能由条件y x <推得的结论序号有_____________．①y x y x ->+；②xy x >2；③0))((≥-+y x y x ；④x y y x -<-；⑤y x 32<【解答】答案：④【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】设1>a ，01<<-b ，将a 、a -、b 、b -、ab -按照从小到大的次序用“<”号排列起来为__________________________．【解答】答案：a ab b b a <-<-<<-【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】“d b c a +>+”是“b a >且d c >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】答案：B【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】设a 、b 是非零实数，若b a <，则下列不等式中成立的是（）A ．22b a a ，2>b ，试比较ab 与b a +的大小．【解答】解：1)1)(1()(---=+-b a b a ab ，由已知2>a ，2>b ，所以11>-a ，11>-b ，所以1)1)(1(>--b a ，即0)(>+-b a ab ．于是b a ab +>．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，中，逻辑思维【题目】已知||||b a b a m -++=，则以下不等式恒成立的是（）A ．||2a m ≤B ．||2b m ≤C ．||2a m ≥D ．|)||(|2b a m +≥【解答】答案：C ．利用||2|)()(|||||a b a b a b a b a =-++≥-++．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，难，逻辑思维【题目】设bx ax x f +=2)(满足2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f ，求)2(-f 的取值范围．【解答】解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，则b m n a n m b a )()(24-++=-，所以⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ，解得⎩⎨⎧==13n m ，所以)1()1(3)2(f f f +-=-，又因为2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ，即]10,5[)2(∈-f ．【题目资源】【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，运算【题目】若a 、R b ∈，则“0<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】答案：A【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，运算【题目】在下列命题中，真命题是（）A ．若b a >，则c b c a ->-B ．若b a >，则cb c a > C ．若bc ac >，则b a > D ．若b a >，则22bc ac >【解答】答案：A【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】已知a ，b ，c ，d 为实数，且d c >，则“b a >”是“d b c a ->-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】答案：D【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】正数a 、b 、c 满足c b d a +=+||||c b d a -<-，则（）A ．bc ad =B ．bc ad <C ．bc ad >D ．ad 与bc 的大小不确定【解答】答案：C【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，逻辑思维【题目】若b a >，则下列不等式中正确的是________________．①22b a >；②1<a b ；③0)lg(>-b a ；④ba⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121；⑤x b x a lg lg >（0>x ）⑥22bx ax >（R x ∈）；⑦xx b a 22⋅>⋅（R x ∈）；⑧ba 11<．【解答】答案：④⑦【属性】高三，不等式，大小判断，选择题，易，逻辑思维【题目】若0>>b a ，0>m ，则下列不等式中成立的是（）A ．m a m b a b ++>B ．m b m a b a -->C ．m a m b a b ++<D ．mb m a b a --<【解答】答案：C【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，逻辑思维【题目】若02<+x x ，则2x ，x ，2x -，x -从小到大的排列是___________________．【解答】答案：x ，2x -，2x ，x -【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，易，逻辑思维【题目】已知a 、b 、+∈R c 且c b <，比较ab 与bc ac +的大小．【解答】解：bc b c a ab bc ac +-=-+)(，因为a 、b 、+∈R c 且c b <，所以0)(>-b c a ，0>bc ，所以0>-+ab bc ac ，即bc ac ab +<．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，中，逻辑思维【题目】适当地添加条件，使下列各命题成为真命题：（1）若b a >，则bc ac ≤；（2）若b a >，d c >，则bd ac >；（3）若b a >，则ba 11<；（4）若44b a >，则b a >．【解答】答案：（1）0≤c ．（2）0>a ，0>d 或0>b ，0>c 或0≥b ，0≥d ．（3）0<a 或0>b ．（4）0>a ．（本题答案不唯一）【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，中，运算【题目】若0<c ，则下列各式成立的是（）A ．cc 3> B ．c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛>31 C ．c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛<313 D ．cc ⎪⎭⎫ ⎝⎛>313【解答】答案：C【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，中，运算【题目】如果01<<<-b a ，则有（）A ．2211b a b a <<x 时，3x 与12+-x x 的大小关系为_________________________．【解答】答案：123+->x x x ．0)1)(1()1()()1(22323>+-=-+-=+--x x x x x x x x ．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，中，运算【题目】已知0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小．【解答】解：])())[(())(())((2222222y x y x y x y x y x y x y x +-+-=+---+)(2y x xy --=，因为0<<y x ，所以0<-y x ，0>xy ，所以0))(())((2222>+---+y x y x y x y x ，即))(())((2222y x y x y x y x +->-+．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，中，运算【题目】对于对于实数a ，b ，c ，有下列命题：①若b a >，则22bc ac >；②若22bc ac >，则b a >；③若0<>；④若0>>>b a c ，则b c b a c a ->-；⑤若b a >，ba 11>，则0>a ，0可得02>c ；③正确，因为由b a <，0)(2>-=-b a a ab a ，0)(2>-=-b a b b ab ；④正确，因为由0>>>b a c 得0>-a c ，0>-b c ，0>-b a ，b c b a c a ---0))(()(>---=b c a c b a c ；⑤正确，因为由b a >，b a 11>得0<-a b 且011>-=-aba b b a ，所以0<ab ，所以0>a ，0<b ．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，中，逻辑思维【题目】已知函数x x x f +=3)(，1x ，2x ，R x ∈3且021<+x x ，032<+x x ，013<+x x ，那么)()()(321x f x f x f ++的值（）A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．不能确定符号【解答】答案：B ．由已知，)(x f 为奇函数且在R 上是增函数，由021<+x x 得21x x -<，所以)()(21x f x f -<，即0)()(21<+x f x f ，同理0)()(32<+x f x f ，0)()(13<+x f x f ，因此0)()()(321<++x f x f x f ，故选B ．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，难，逻辑思维【题目】若直线1=+bya x 经过点)sin ,(cos ααM ，则（）A ．122≤+b aB ．122≥+b a C ．11122≤+b a D ．11122≥+ba【解答】答案：D ．由已知，1sin cos =+ba αα，)sin(cos sin 22ϕααα++=+=b a b a ab ，所以2222b a b a +≤，两边同除以22b a 得11122≥+ba ．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，难，运算【题目】若1≥a ，试比较a a P -+=1和1--=a a Q 的大小．【解答】解：1111)1()1(-+-++=----+=-a a aa a a a a Q P0)1)(1(11<-++++--=a a a a a a ，所以Q P <．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，难，运算【题目】已知0>a 且1≠a ，10<<x ，用作商法比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a =的大小．【解答】解：|)1(log ||)1(log ||)1(log |)1(x x x x a a -=+-+，因为10<<x ，所以11>+x ，1102<-<x ，0)1(log 2)1(<-+x x ，所以1)1(log 111log )1(log |)1(log |2)1(2)1()1(>--=+--=--=-+++x xx x x x x x ，所以|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，难，逻辑思维【题目】已知c ax x f -=2)(且1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，求)3(f 的取值范围．【解答】解：由已知14-≤-≤-c a ，541≤-≤-c a ，而c a f -=9)3(，令)4()(9c a n c a m c a -+-=-，则⎩⎨⎧=+=+194n m n m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3835n m ，所以]20,1[)3(-∈f ．【属性】高三，不等式，判断大小，解答题，难，逻辑思维【题目】已知R m ∈，1>>b a ，1)(-=x mxx f ，试比较)(a f 与)(b f 的大小．【解答】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111)(x m x f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111)(a m a f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111)(b m b f ．由1>>b a 得011>->-b a ，所以111111-+<-+b a ．所以，当0>m 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111111b m a m ，即)()(b f a f <；当0=m 时，)()(b f a f =；当0<m 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111111b m a m ，即)()(b f a f >．。

3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)

2
（3）
a
2
b
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • • • •
小结
主要内容基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。

高三数学第一轮复习：4-5 第一章不等式的基本性质(理)人教实验B版知识精讲

高三数学第一轮复习：4－5 第一章不等式的基本性质（理）人教实验B 版【本讲教育信息】一. 教学内容：4－5 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a ，b ，有000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．【单向性】（1）c a c b ,b a >⇒>>（2）d b c a d c ,b a +>+⇒>> （3）bc ac 0c ,b a >⇒>> （4）bc ac 0c ,b a <⇒<>（5）bd ac 0d c ,0b a >⇒>>>>（6）n n b a R n ,0b a >⇒∈>>+ 【双向性】（1）000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩（2）a b b a >⇔<（3）a b a c b c >⇔+>+单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如nx a >的高次不等式时，若n 为偶数时要注意讨论． 3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“11,0a b ab a b>>⇒<”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得11a b a b>⇒<，要么是强化了条件，而得110a b a b>>⇒<【基本不等式】定理1 设R b ,a ∈，则ab 2b a 22≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

高三数学知识点不等式公式

高三数学知识点不等式公式高三数学知识点：不等式与公式在高中数学中，不等式和公式是学习数学的基础知识点之一。

掌握不等式和公式的性质和应用，能够帮助学生更好地理解和解决数学问题。

本文将从不等式和公式的定义、性质和应用几个方面来探讨这个主题。

一、不等式的定义和性质不等式是数学中一种用来表达大小关系的符号集合。

常见的不等号有大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)等。

例如，对于任意实数a和b，a > b可以表示a大于b。

不等式有一些基本性质。

首先，两个数的大小关系可以通过它们的差来确定。

例如，若a > b，则a - b > 0。

其次，不等号在两边同时乘以或除以一个正数时，不等号的方向不变；而当乘以或除以一个负数时，不等号的方向要反向。

例如，若a > b，且c > 0，则ac > bc；若a > b，且c < 0，则ac < bc。

最后，对于两个不等式，我们可以根据它们的大小关系进行合并。

例如，若a > b，且c > d，则a + c > b + d。

二、公式的定义和应用公式是数学中描述事物间关系的等式或近似等式。

它们可以准确地计算数值，提供一种快速、简便的方法来解决问题。

在高三数学中，我们熟悉的一些公式包括平方差公式、勾股定理以及二次函数的解法公式等。

平方差公式是用来求两个数平方之差的公式。

它的表达形式是(a + b)(a - b) = a² - b²。

这个公式的应用十分广泛，例如在因式分解、证明等方面都能发挥重要作用。

勾股定理是描述直角三角形边长关系的公式。

以三角形的直角为顶点，直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

则有a² +b² = c²。

勾股定理的应用非常广泛，可以用于解决三角形相关的计算和证明问题，也是建立数学模型的重要工具。

二次函数的解法公式则是用来求解二次方程的公式。

高三数学不等式的性知识点

高三数学不等式的性知识点在高中数学的学习过程中，不等式是一个非常重要的知识点。

特别是在高三这一年，不等式是数学考试中常常出现的题型之一。

掌握不等式的性质和解题技巧对于高考成绩的提升起着关键作用。

本文将重点介绍高三数学不等式的性知识点，以帮助大家更好地理解和应用这一知识。

一、不等式的基本性质不等式是比较两个数的大小关系的一种数学表达式。

不等式的基本性质包括：1.永真性：对于任何实数a，a≤a永真成立；对于任何实数a和b，若a≤b且b≤a，则a=b；2.传递性：对于任何实数a、b和c，若a≤b且b≤c，则a≤c；3.等式性：若a=b，则对于任意实数c，有a+c=b+c；4.加法性：对于任意实数a、b和c，若a≤b，则a+c≤b+c；5.乘法性：对于任意实数a、b和c，若a≤b且c>0，则ac≤bc；若a≤b且c<0，则ac≥bc。

二、不等式的运算法则不等式的运算法则主要包括加法法则和乘法法则。

1.加法法则：若对于实数a、b和c，有a≤b，则a+c≤b+c成立；2.乘法法则：若对于实数a、b和c，有a≤b且c>0，则ac≤bc成立；若对于实数a、b和c，有a≤b且c<0，则ac≥bc成立。

三、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和绝对值法等。

1.图像法：可以通过绘制函数图像或者数轴上的点来解不等式，例如对于不等式x-3>0，我们可以将其转化为x>3，并在数轴上标出x>3的区间。

2.代数法：利用代数运算的方法解不等式，例如对于不等式x^2-4<0，可以将其化简为(x-2)(x+2)<0，再根据乘积为负数的性质求解得到-2<x<2。

3.绝对值法：对于带有绝对值的不等式，可以进行绝对值的分情况讨论，例如对于不等式|2x-1|<3，可以分别讨论2x-1>0和2x-1<0两种情况，然后解得-1<x<2和x>\frac{2}{3}。

不等式性质和解法

φ
φ
【典型例题分析】
例1．解下列不等式：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
解：(1)方程的解为．根据的图象，可得原不等式
的解集是．
(2)不等式两边同乘以，原不等式可化为．
方程的解为．
根据的图象，可得原不等式的解集是．
(3)方程有两个相同的解．
根据的图象，可得原不等式的解集为．
范围是_________
解析由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0
5．已知不等式的解集为求不等式的解集．
解：由题意，即．
代入不等式得：．
即，所求不等式的解集为．
6 一个厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元
例3.已知x>y，且y≠0，比较与1的大小
解：
∵x>y，∴x-y>0
当y<0时， <0，即 <1
当y>0时， >0，即 >1
例4.已知且，求证： (相除法则)
证：∵ ∴
变式训练1：根据下列的取值范围，求的取值范围．
（1）；（2）且；（3）且．
解：（1），∴ ，所以的取值范围是．
解：由题意可知：
（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）
＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）
＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1
＝x2
∵x≠0∴x2＞0
∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0