三维欧氏空间中的张量

32 (3.5)
其它情况
如：123 1
共27个分量，6个不为零
构成三阶全反对称张量
Q ijk jik ik j k ji
全反对称张量
(3.6)
● 3×3矩阵的行列式的计算为
A1 A2 A3
detB1 B2 B3ijkAiBjCk
C1 C2 C3
(3.7)
易验证 det(AT)detA
T T T 2 [i1 i2]Lin
i1 i2L in i2 i1 L in
(2.6)
则
T T T i1 i2Lin {i1 i2}Lin [i1 i2]Lin
(2.7)
取n=2可得结论：任意二阶张量都可以表示为 一个对称张量(矩阵）和一个反对称张量(矩阵)之和
§1.3 物理量在空间反演变换下的分类
例3.2 是i j 一个二阶对称张量,而且是不变张量
证明: Q e ie j e je i ijji 二阶对称张量
又二阶张量 为i j 一单位矩阵 I
故 IaIaTaaTI 不变张量
1.3.4 符号 和i j 的 关i j k 系
Levi-Civita 符号的定义
1
1
ijk
1
0
i,j,k为(1,2,3)的正循环 i,j,k为(1,2,3)的逆循环
OPxkek
因为转动前后位矢相等，故有 xkek xjej
用 e i 点乘，有 xkekeixjejei 得 xi aij xj (1.5) 即转动后坐标满足 x i a i1 x 1 a i2 x 2 a i3 x 3 a ijx j i 1,2,3
x1 a11 a12 a13 x1
(1.1)
则 eigej aij
利用Einstein求和约定,有 ei aije j i 1,2,3 (1.2)
一对重复指标(哑指标)表示对从1到3求和
写成矩阵表示形式
e1 a11 a12 a13 e1
e2
a21
a22
a23
e2
e3 a31 a32 a3 e3
(1.3)
则为真正的张量,简称张量
若n阶张量T的分量按照下式变换
T () T i1i2Lin
n1 i1i2Lin
称为赝张量
n ()n 称为场的空间宇称
(3.2) (3.3)
常见的空间宇称为
标量 n 1 (极)矢量 n 1 二阶张量 n 1
赝标量 n 1 (轴)矢量 n 1 二阶赝张量 n 1
1.3.1 空间反演 定义为 eiei,i1,2,3
变换矩阵 aij ij
xixi,i1,2,3
1 0 0
a
0
1
0
0 0 1
(3.1)
z
S
e3 x e1 O
e2 y
右旋
x
P
y O
特点： 改变了坐标系
左旋 z
S 的左、右旋
1.3.2 赝张量，赝矢量，赝标量
在空间反演下,若 T 的( n ) 分量按n个坐标乘积的 反演变换规律变换,即 Ti1i2Lin ()nTi1i2Lin
(三维空间的)场：物理量是空间坐标的函数
标量场: 一个量 且 空间转动变换下不变,即满足
(rr)(rr)
(2.1)
矢量场: 三个量 A i(r r)(i在 空1 ,2 间,3 转)动变换下像
坐标 x i一样变换,即 A i(rr)aijA j(rr) (2.2)
A1
A
2
A 3
记为
r A
(
rr
利用公式 d e t(A B ) d e t(A )d e t(B )可得
i1
ijklm nd etj1
i2 j2
i3 1l j32l
1m 2m
1 2n n d et ijll
im jm
in jn
k1
k2
k3 3l
3m 3n
三维矢量 eii
例2.2 试证 是i j 三维欧氏空间中的二阶张量
证明: 由 ei aije j 有 eiailel, ejajm em
可得 eiej ailajmelem
由于基矢正交性,得 ij ailajmlm
●
若张量 T i1 i2 L in
满足
T T i1i2Lin
i2i1Lin
(2.5)
讨论绕原点的坐标系转动。考虑右旋直角坐标系
基矢的变换
转动前坐标系为 S:Ox1，x2x基3 矢为 转动后坐标系为 S:Ox1，x2基x3矢为
e1, e2 , e3
e1
,
e
2
,
e3
有
ee21
a11e1 a21e1
a12e2 a22e2
a13e3 a23e3
e3 a31e1 a32e2 a33e3
即 eT eTa
(1.11)
其分量形式 ej eiaij 对坐标变换成立，即 xj xiaij
(1.12) (1.13)
对(1.5)和(1.13)式两边微商后可将 a写i j 成
aij
x
i
x j
x j
x
i
正交关系(1.7)式写成
x
i
x j
x
i
xk
jk
(1.14) (1.15)
§1.2 物理量在空间转动变换下的分类
类似地, 3 个n 量 T i 1 i 2 L i n ( r r )( i 1 ,i 2 , 在L 转,i n 动 变1 ,2 换,3 下)
像n个坐标分量的乘积 x i1 x i2 L x in (i1 ,i2 ,L ,in 1 ,2 ,3 )变换 即 T i 1 i 2 L i n ( r r ) a i 1 j 1 a i 2 j 2 L a i n j n T j 1 j 2 L j n ( r r )(2.4)
称为n阶张量
T
(
n)
r (r
)
r Ti1i2L in (r)
是 T(n)(第rr )
(i1,i个2,L分,i量n)
标量是零阶张量,矢量为一阶张量
四维空间：n阶张量: 4 n个分量
张量的判断
例2.1 试证
i
是 三维矢量 xi
证明: 由
Y(xj(xi))Yxj xj
xi
xj xi xi xi xj
即得 i aij j
第一章 三维欧氏空间中的张量
§1.1 正交坐标系的转动 §1.2 物理量在空间转动变换下的分类 §1.3 物理量在空间反演变换下的进一步分类 §1.4 张量代数 §1.5 张量分析
§1.1 正交坐标系的转动
1.1.1 坐标系
直角坐标系 xi (i 1,2,3)
方向矢量(基矢)记为
e
,满足
i
ei
ej
可写成
x2
a21
a22
a23
x2
及
x3 a31 a32 a3 x3
x ax
(1.6)
1.1.3 变换矩阵的特性
OP的间距为L x 2x 1 2x 2 2x 3 2x ix i 因为间距与坐标系转动无关，故 x2 x2
将(1.5)式代入得 x i x i ( a i jx j) ( a i k x k ) a i ja i k x jx k x jx j
ij
0, 1,
ij ij
z(x3)
e3 e2 e1O
正交曲线坐标系
x ( x1)
如：直角坐标系; 球坐标系; 柱坐标系
S y(x2)
右旋直角坐标系: e1(e2e3)1
左旋直角坐标系: e1(e2e3)1
z(x3)
z(x3)
O
x ( x1)
y(x2)
右旋系
O y(x2)
x ( x1) 左旋系
1.1.2 转动变换矩阵
aim ain ajm ajn akm akn
相邻两列交换改变符号 相邻两行交换改变符号
将 l m移n 到等式左边得:
a1l a1m a1n
deta2l
a2m
a2n
lmndet(a)
aபைடு நூலகம்l a3m a3n
类似de地t(a)ijkdetaaij11
ai2 aj2
ai3
aj3 ijk lmnailajmakn
即 T ij(r r) a ila jm T lm (r r)
(2.3)
记为 T (rr )
Tij ( rr ) :第 ( i ,个j ) 分量
3*3矩阵表示
T T
11 21
T12 T 22
T13 T 23
T 3 1 T 3 2 T 3 3
补充:坐标表示 T T 1 1 e 1 e 1 T 1 1 e 1 e 2 T 1 3 e 1 e 3 T 2 1 e 2 e 1 T 2 2 e 2 e 2 L
)
Ai (rr ) :第i个分量
列矢形式, 行矢: r
A1, A2, A3
坐标表示 A A 1 e 1 A 2 e 2 A 3 e 3
二阶张量: 九个量 T ij(r r)(i,且j 在1 ,空2 ,3 间)转动变换下
像两个坐标分量的乘积 xixj (i,j一1,样2,变3)换
(两个坐标分量乘积的变换为 xixj aila ) jmxlxm
故有
aijaik jk
(1.7)
写成矩阵形式,有 aTa I (1.8) I :3*3单位矩阵
三维转动变换系数矩阵a 是正交矩阵
又由(1.8)式有 aT a1 因而 aaT I
(1.9)
其分量形式为 ajiaki jk (1.10)
对(1.4)式 e ae 转置有 eT eTaT 上式右乘a可得 eTaeTaTaeT
ijkkkl detijm m
ik jk
detijll ijm miljmimjl
(3.13)
ijklm k il jm imjl
(3.14)
上式中取 m j
ijk ljk detijll
ij jj
detijll
ij
3
3il ijjl 2il
(3.15)
上式中取 l ，i 有
ijkijk2ii233! (3.16)
对于一个二阶张量 a ,以其分量 为a i j矩阵元的行列式为
a11 a12 det(a)deta21 a22
a31 a32
a13
a23 lmna1la2ma3n
a33
(3.8)
上式可写成
a1l
lmndeta2l
a3l
a1m
a2m
a1n a2nijk
ail lmndetajl
a3m a3n
akl
标量 坐标系反演时数量和符号不变 如质量，电荷，温度等
赝标量 反演时符号改变。如极矢量Ar,Br,的Cr 混合乘积 rrr C(AB)
1.3.3 不变张量: 若张量 T i1i2 L在in 坐标转动变换不变
T i1 i2 L in (r r) T i1 i2 L in (r r)
(3.4)
例3.1 不变矢量是零矢量 证明: Q A a A A a A A Q a I A 0
ak1 ak2 ak3
(3.9)
相邻两行交换改变符号
a 的转置矩阵
a11 a21 a31
aT
det
a12
a22
a32
a13 a23 a33
a1i
deta1j
a2i a2j
a a3 3ijlm naliam jankijkdet(aT)ijkdet(a)
a1k a2k a3k
(3.10)
a11 a12 a13
记
a
21
a22
a23
a
a31 a32 a3
(1.3)可写为 e ae
(1.4)
坐标的变换u u u r考虑空间P点,在S系中坐标为 (x1, x2, x3)
位矢 O P x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x j e j uuur
在 S 系 中坐标为 (x1, x，2, x位3)矢为
e3
A3
B1 B2 B3
(3.19)
(Ar Br)Cr detBA11
A2 B2
A3
则分别称张量T相当于指标 ( i1 , i是2 ) 对称的和反对称的 如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵 Tij Tji
● 构造张量T关于指标 ( i1 , i的2 ) 对称部分和反对称部分
对称部分 反对称部分
T T T 2 {i1 i2}L in
i1 i2L in i2 i1 L in
例3.3 证明 i满j k 足
ijk(eiej)ek
(3.17)
其中: “+”号适用右旋系,“-” 适用左旋系
证明: 正交坐标系中的基矢满足关系
ei ej ek (3.18) “+”:右旋系,“-” :左旋系 其中(i, j, k)是(1,2,3)的正循环
于是
r A
r B
det
e1 A1
e2 A2
kl km kn
(3.12)
如上式中第一行第一列满足 i11 l i22 l i33 l ipp l il
在(3.12)式中取 n k
ijklmkdetijll kl
im jm
ijkkdetijll
km kk
kl
im jm
ijkk
km 3
3detijll
ijm mkmdetijll
当 aijij (aI,d et(a)1 )则由(3.9)(3.10)两式得
ijk detij11
i2 j2
ij33det11ij
2i 2j
3i 3j
k1 k2 k3
1k 2k 3k
(3.11)
由此得
ijklmndetij11
i2 j2
ij33det12ll
k1 k2 k3 3l
1m 1n 2m 2n 3m 3n