哈尔滨工程大学硕士研究生随机过程测试第1页
(完整word版)随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
哈工大信号检测与处理第1章随机过程15-1
1.2 高斯分布与高斯噪声
2 x ( t ) 式中， a 为噪声 的均值； 为噪声 x ( t ) 的方差。称 x ( t ) 是服从均值为 a ， 2 2 x ( t ) ~ N ( a , ) 。 为标准差。特别当 方差为 的高斯分布或正态分布，记作 2 a 0 ， 1 时， x ( t ) 的分布称为标准正态分布。
1
1.2.3 高斯分布特性的应用
高斯分布最直观的应用是考虑其对数据处理影响程度的分析，如 3 法则。 ： 3 法则（标准） 该法则的意义是当噪声服从高斯分布时，噪声的影响主要集中在正负3 倍的标准差之内，即1σ 只考虑了68%的噪声影响，而3σ 几乎考虑了其全部 影响。 大多数噪声（随机过程）瞬时幅度的概率分布是正态的即
F ( x) 1 2
xa xa
用误差函数表示 F(x)的好处是，借助于一般数学手册所提供的误差函数表，可方 便查出不同 x 值时误差函数的近似值，还可以在 Matlab 程序中直接调用 erf(x) 或 erfc(x)计算，避免了复杂积分运算。
误差函数和余补误差函数的主要性质： （1）误差函数是递增函数，它具有如下性质 1） erf ( x) erf ( x) ； 2） erf () 1 。 （2）余补误差函数是递减函数，它具有如下性质 1） erfc() 0 ； 2） erfc( x) 1 exp(x2 ), x x
1 Pn Pn ( )d R(0) 2 2
2）高斯噪声的一维概率密度函数具有如下特性： （1） p( x ) 对称于 x a 直线，即有
p(a x ) p( a x )
（2） p( x ) 在 ( , a ) 内单调上升，在 ( a , ) 内单调下降， 且在点 a 处达到极大值
研究生《随机过程》教材课后作业答案
1.1 证明：∵1111,,,,,A F F F F ∈ΩΦ∈ΩΩ∈Φ∈Ω-Φ∈ΩΦ∈ 且∴1F 是事件域。
∵222,,,,cA A F F A F A A ∈Ω∈Ω∈-Φ∈=Ω-∴22222,,,,c c A F A F A F A F A F ∈-Φ∈-Φ∈Ω-∈Ω-∈ 且2,ccA A A A F ΦΩ=ΩΦΩ∈ ∴2F 是事件域。
且12F F ∈。
∵2ΩΩ∈∴3F Ω∈∴3F 是事件域。
且23F F ∈∴123,,F F F 皆为事件域且123F F F ∈∈。
1.2一次投掷三颗均匀骰子可能出现的点数ω为(),,,,,,16,16,16i j k i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤≤≤≤≤∴样本空间()61,,6=,,n i j k i j k =≤≤Ω事件(){},,|,,i j k A i j k ωω==，,,,1,,6i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤ 事件域2F Ω= 概率测度(),,1P 216i j k A =，,,,1,,6i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤ 则(),,F P Ω为所求的概率空间。
1.3 证明：（1）由公理可知()0P Φ=（2）有概率测度的可列可加性将第n+1个集合往后都取为空集，即可得结论()11n nk k k k P A P A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ （3）∵,,A B F A B ∈⊂ ∴B A F -∈,()A B A -=Φ由概率测度的可列可加性可得：()()()()P B P A B A P A P B A =+-=+-即()()()P B A P B P A -=-有概率测度的非负性可得()()()0P B P A P B A -=-≥，即()()P B P A ≥ （4）若B =Ω,由（3）则有()()1P A P A =- （5）∵()()()()121212P A A P A P A P A A +=+- 假设()()()()()11211111m m m k k i j i j k m k i j m i j k m k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑ 成立，则()()()()()()()()()11111111111111211111+1m m m m k k m m k m k k k k k mm k iji j k k i j mi j k mm m m m k k m k i j i k i j mP A P A A P A P A P A A P A P A P A A P A A A P A A A P A A P A P A A P A A ++++====+=≤<≤≤<<≤++=+=≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-+∑∑∑∑∑()()()()()()()()()()()()1121111121111212111111111n j k m i j k mm i j m i j k m m m i j m i j k m m m k i j i j k m k i j m i j k m A P A A A P A A A P A A A A P A A A A P A P A A P A A A P A A A +≤<<≤++++≤<≤≤<<≤+++=≤<≤+≤<<≤+-+-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭=-+-+-∑∑∑∑∑∑也成立由数学归纳法可知()()()()()11211111n n n k k i j i j k n k i j n i j k n k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑()()()()()()111122212123231231n nn n k k k k k k k k n n n k k k k k k nk k nk k P A P A A P A P A P A A P A P A P A P A A P A A P A P A P A P A =========⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭≤≤∑1.4 （1）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21040114P AB P A P B P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P AB P A P B P AB P A P A B P A P A P A ≤-≤-≤≤-≤-=-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≤-≤（2）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()if =1else if =P AB P BC P AB P BC P AB P AC P A B C P ABC P AB P BC P AC P A B C P ABC P BC P A B C P AB P BC P AB P BC --+=++-+=++-≤+≤--- 可由这个式子的轮换对称性证明这种情况（3）()()()()()()()()()()11111111111n nk k k k n nn nk k k k k k k k nk k nk k A A A AP A P A P A P A n P A P A n P A P A P A n ========⊂∴⊃⎛⎫≤≤=-=- ⎪⎝⎭-≤-∴≥--∑∑∑∑∑1.5()1(1)k nkk A P X k n--== 1.6由全概率公式()()()()()()()()()()()()100112211110101=1424P Y X P Y P X P Y P X P Y P X P Y P Y P Y e -≥=≥=+≥=+≥==+-=+-=-=-1.7 证明： 显然()()()()111111122,,,,,,0n n n n n F x x F x x F y x P x X y x X x X ∆=-=≤≤≤≤≥假设()()121111222,,,,,,,0i n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤≥ 成立 从而()()()()12+11111222111112221111122211122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0i i n i i i i i n n i i i i i n n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X P x X y x X y x X y y X x X P x X y x X y x X y x X x X +++++++++∆∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤-≤≤≤≤≤≤≤≤=≤≤≤≤≤≤≤≤≥ （分布函数对于每一变元单调不减）也成立有数学归纳法可知()()121111222,,,,0n n n n n F x x P x X y x X y x X y ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≥1.8()()()()()()()()()()()''''''',,0','x y x y x x y x y x y x y x y x x y y h x y eeh x y eeeee e e e x x y y -+-+-+-+-+-+----∆=-∆∆=---=--≥≤≤所以h 是二元单调不减函数。
随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解1、（15分)设随机过程C t R t X +⋅=)(,),0(∞∈t ,C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
(1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (２）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数；(2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=; （３)参数为λ的指数分布,概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ,分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4)2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ,分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ,若1,0==σμ时，其为标准正态分布。
【解答】本题可参加课本习题２.1及2.2题。
(1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。
由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ,一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tC x C x x F ,1,,0)(;(2)根据相关定义,均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s C st t X s X E t s R X +++==；协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数) 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==２、(1５分)设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
哈尔滨工程大学随机过程课后答案
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a aττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t t at at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !N k N N kkN N kk N N kN kq t qt N N kN kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N Nq t q t N k N →∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：()!lim 1N k k k k kk N q t N qt qt -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=(){}()()()()!1lim 1!!!N k kN kqtP X t k N q t q t N k k qt e k -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
随机信号分析答案 哈工大
0 ≤ x <1 ，求 Y=5X+1 的概率密度函 其他
1.6 设随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 在[a , b] 上均匀分布，且互相独立。若 Y = ∑ X i ,求
i =1
n
（1）n=2 时，随机变量 Y 的概率密度。 （2）n=3 时，随机变量 Y 的概率密度。
⎧ 1 a≤ x≤b ⎪b − a ⎪ 解： f i ( xi ) = ⎨ i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ⎪0 其它 ⎪ ⎩ n=2 时， f Y ( y ) = f X 1 ( y ) ∗ f X 2 ( y )
-∞
⎧1 1.5 设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) = ⎨ ⎩0 数。 解：反函数 X = h(y) = (Y-1)/5 1≤y≤6 h′(y) = 1/5 fY (y) = fX (h(y))｜h′(y)∣= 1 ×1/5 = 1/5 1≤ y ≤ 6 ⎧1 / 5 f Y ( y) = ⎨ 于是有 其他 ⎩ 0
⎧ X 1 = a1Y1 + b1Y2 ⎨ ⎩ X 2 = c1Y1 + d1Y2
（ Y1 , Y2 ）的联合概率密度为 证明：
⎧Y1 = aX 1 + bX 2 ⎨ ⎩Y2 = cX 1 + dX 2
f Y1Y2 ( y1 , y 2 ) =
1 f X X (a1 y1 + b1 y 2 , c1 y1 + d1 y 2 ) ad − bc 1 2
（4） F ( x) =
第二次作业：练习一之 4、5、6、7 题 1.4 随机变量 X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因 X 在[α，β]上均匀分布 ⎧ 1 α≤下≤β ⎪ f ( x) = ⎨ β − α ⎪ 其他 ⎩0
哈尔滨工程大学研究生课程：随机过程大作业答案
1．答：(1)前50个数为:0.9862 0.8479 0.0301 0.1746 0.91000.8853 0.5268 0.9537 0.8352 0.67650.4048 0.8074 0.7144 0.9701 0.62320.6271 0.3935 0.6465 0.1350 0.51220.3855 0.9617 0.4467 0.2510 0.00350.8479 0.0301 0.1746 0.9100 0.22690.5268 0.9537 0.8352 0.6765 0.97850.8074 0.7144 0.9701 0.6232 0.86130.3935 0.6465 0.1350 0.5122 0.01440.9617 0.4467 0.2510 0.0035 0.4858(2) 分布检验:(3)均值检验:0.5042(4) 方差检验：0.0832(5) 计算相关函数分布：p =199 178 207 193 211 193 206 216 191 206本题运用MATLAB进行编程,程序如下：for n=1:2000xt(n)=unifrnd(0,1); %产生2000个（0，1）均匀分布白序列endsubplot(2,1,1);plot(xt),title('2000个(0,1)均匀分布的白噪声');for i=1:5for j=1:10sc(j,i)=xt((i-1)*5+j);end;end;disp([sc]) %打印前50个数mx=mean(xt) %求平均数并输出dx=cov(xt) %求方差并输出subplot(2,1,2);p=hist(xt,10) %将产生的2000个随机数分为10组p=p/100; t=0.025:.1:.975; %求概率密度bar (t,p,1);title('0-1均匀分布的白噪声直方图');xlabel('x');ylabel('f(x)');[bx,i] = xcov(xt,10); %τ取-10到10Bx=bx/2000; %求自相关函数Bx(τ)figuresubplot(2,1,1);plot(i,Bx),title('自相关函数Bx分布图');xlabel('τ');ylabel('Bx(τ)');[tx,i] = xcorr(xt,10); %τ取-10到10Tx=tx/2000;subplot(2,1,2);plot(i, Tx),title('自相关函数Γx分布图');xlabel('τ');ylabel('Γx(τ)');2.答：(1)前50个数为:-0.4326 1.1909 -0.1867 0.1139 0.2944-1.6656 1.1892 0.7258 1.0668 -1.33620.1253 -0.0376 -0.5883 0.0593 0.71430.2877 0.3273 2.1832 -0.0956 1.6236-1.1465 0.1746 -0.1364 -0.8323 -0.69181.1909 -0.1867 0.1139 0.2944 0.85801.1892 0.7258 1.0668 -1.3362 1.2540-0.0376 -0.5883 0.0593 0.7143 -1.59370.3273 2.1832 -0.0956 1.6236 -1.44100.1746 -0.1364 -0.8323 -0.6918 0.5711(2) 分布检验: 如下图所示。
哈尔滨工程大学2017年随机过程上机作业
物业化管理调研报告8篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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哈工程复试-离散ds2004
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三、计算题（每小题5分，共15分）
1．设个体域D ＝{a,b,c}，消去下式的量词： ∀x ∃y(F(x)∧G(y))
2．求命题合式公式(P →(Q ∨R))∧(⌝P ∨(Q ↔R))的主析取范式。
3． 已知无向树T 中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树。
四、证明题（共45分）
1．（10分）利用推理理论证明下述推理的有效性：
不存在能表示成分数的无理数，有理数能表示成分数，因此有理数都不是无理数。
2．（10分）设R 是A 上的自反关系，证明R 是A 上等价关系的充分必要条件是： 若<a,b>∈R 且<a,c>∈R ，则有<b,c>∈R 。
3．（10分）设<G, *>为群，证明e 为G 中唯一的幂等元。
4．（10分）设A,B,C,D 是任意集合，f 是A 到B 的双射，g 是C 到D 的双射。
令： h ：A ⨯C →B ⨯D ，且∀<a,c>∈A ⨯C ，h(<a,c>)＝<f(a),g(c)> 证明：h 是双射。
5．（5分）<G,*>为群，a,b,c ∈G ，ab ＝cba ，ac ＝ca ，bc ＝cb ， 证明：若a,b 的阶分别为m,n ，则c 的阶整除m 与n 的最大公因子。
2013级研究生随机过程期末考试试题
2013级研究生第一学期考试试题(共2页第1页)考试科目：随机过程及应用任课教师：吴秋新考试日期：2013年11月19日设随机过程,其中随机变量A的分布为：，，随机变量B的分布为：，，且A与B独立，试求：（1）一维分布函数和；（2）二维分布函数；（3）均值函数，协方差函数。
(注：要求先写出概率分布表，再写分布函数) （12分）设随机过程，其中为常数，相互独立且服从正态分布，相互独立且服从（0，π）上均匀分布，且与相互独立，求X(t)的均值函数和自相关函数，并判断是否为平稳过程。
（12分）设在时间区间[0,t]内到达商场的顾客数N(t)是强度为λ的泊松过程，每个顾客购买货物概率为p，不购买货物概率为1-p，0<p<1，且他们是否购买货物是相互独立的，令Y(t)为[0，t]内购买货物的顾客数，为[0，t]内第k个购买货物的顾客的购买金额数，k=1,2,…，它们独立同分布，数学期望为a元。
(1)试证{Y(t)，t≥0}是一个以λp为强度的泊松过程；(2)求第三个时间单位里有两个顾客购买货物的概率；(3)写出该商场[0,t]内的收入总金额表达式和其数学期望。
（12分）设齐次马尔可夫链状态空间为E={1,2,3}，一步转移概率矩阵为：，另外已知初始分布为：(12分)试求：（1）两步转移概率矩阵，绝对分布；(2) 证明该链是遍历链；(3) 求该链的平稳分布；(4) 画出状态转移图，并分析状态2的分类属性。
一质点在1，2，3点上作随机游动。
若在时刻t质点位于这三个质点之一，则在[t，t+h]内，它以概率分别转移到其它二点之一。
试求：(1) 质点随机游动的速度矩阵Q和柯尔莫哥洛夫后退方程；(2)求该过程转移概率，；(3)求平稳分布。
（12分）2013级研究生第一学期考试试题(共2页第2页)考试科目：随机过程及应用任课教师：吴秋新考试日期：2013年11月19日设有随机过程X(t)=A sin(λt)+B cos (λt)，其中A、B是均值为0，方差为的相互独立的正态随机变量。
2012秋研究生随机过程试题
三. （15 分）设 1 , 2 ..., n ,... 为一列独立同分布的离散型随机变量并且仅取值于 1, 1 以
及对应的分布律为 P 1 1 P 1 1 0.5 。定义离散时间随机过程：
Sn k ,
k 1
n
n 1, 2,3,...
试完成以下问题： (1) 计算过程 S Sn : n 1, 2,3,... 的协方差函数。 (2) 证明过程 S Sn : n 1, 2,3,... 是一个齐次马氏链。 (3) 设泊松过程 N Nt : t 0 与过程 S Sn : n 1, 2,3,... 相互独立， 试画出复合泊松过 程 S Nt : t 0 的一条样本轨道（假设 S0 0 ） 。
西安电子科技大学
研究生课程考试试题
考试科目： 随机过程 课程编号： 日 考试时间： 0721001 150 班号 学 号： 分
考试日期： 2013 年 1 月
考试方式：( 闭卷) 任课教师： 学生姓名：
一.（15 分）设 W Wt : t 0 是一个标准布朗运动。定义随机过程：
X t t W2t ,
七. （8 分）设 i 是齐次马氏链的常返状态，令
S (i) { j : i j}
证明： S (i ) 是不可约闭集。 八. （15 分）设齐次马尔可夫链 X X n , n 0,1, 2,... 的状态空间为 S {0,1, 2,3, 4,5, 6} ， 一步转移概率矩阵为
t
独立的离散型随机变量，且有 P ( 1) P ( 1) 0.5 。 试完成以下问题： （1）计算 X= {X t , t 0} 的相关系数，并判断 X = {X t , t 0} 的功率谱密度。
研究生《随机过程》考试题
随机过程考试题（2009）一，（12分）已知12,X X 为独立同指数分布(1)EXP 的随机变量。
（1） 证明12X X +与112X X X +独立；（2） 令112212,Y X X Y X X =+=-,求12,Y Y 的联合概率密度. 二，（10分）设随机变量X 的分布律为{}11,0,1,2,.2x P X x x +=== 令 (){}min ,,0,1,2,.X n X n n ==求随机过程(){},0X X n n =≥的一维分布律及均值函数. 三，（12分）设(){},0N N t t =≥的强度为0λ>的Possion 过程， （1） 证明：若0,1s t n <<≥，则()(){}1kn kk n s s P N s k N t n C t t -⎛⎫⎛⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2） 设随机变量T 与N 相互独立，且{},0.tP T t et μ->=>证明：(){},0,1,2,.kP N t k k μμλμλμ⎛⎫===⎪++⎝⎭四，（12分）设Markov 链的状态空间{}1,2,3S =，初始分布(){}014,12,14π=，一步转移概率矩阵为11124411022010⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 求：（1） 二步转移概率矩阵()2P（2） ()(){}22,42;P X X == （3） ()()321.E X X ⎡⎤=⎣⎦设Markov 链的状态空间{}1,2,3,4,5S =,一步转移概率矩阵为113001312140140000100010000001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P（1） 画出状态转移图；（2） 指出哪些是非常返态？哪些是常返态？ （3） 求常返态的周期及平均回转时间； （4） 给出状态空间S 的分解。
六（12分）设(){},X t t -∞<<+∞是均方可导的平稳过程，其自相关函数为{}.X R τ令 ()(),dX t Y t t dt=-∞<<+∞（1） 求()Y t 的自相关函数（2） 问(){},Y t t -∞<<+∞是否为平稳过程？为什么？ 七，（12分）已知下列平稳过程X 的相关函数为{}.X R τ（相应地，谱密度()X S ω），求X 的谱密度（相应地，相关函数）： （1）{}()()4cos 3X R ecos ττπττ-=+（2）()()651,15150,15X S ωδωωωω⎧⎛⎫+-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩（已知：()()()()11000cos ;12;fff f ωτπδωωδωωπδω---++⎡⎤⎣⎦ ()()()()10222200cos 0.f a f aaea aaτωτωωωω--+>-+++ ）八，（8分）设有二阶矩随机变量X 及普通实函数()()f t t -∞<<+∞，证明：若f 在0t t =点可导， 则()()00t t Xf t Xf t ='=⎡⎤⎣⎦设有如图所示的交通网络，流入的为图示强度的Possion 过程（假定各过程独立），而在交会处车辆按图示的概率选择行走方向（假定方向的选择也相互独立）.描述三个出口处的交通的情况.随即过程试题（2006）1， 已知()()123123123,06,,,0x x x x x x e f x x x others -++⎧<<<⎪=⎨⎪⎩112213323,22,y x y x x y x x ==-=-求： （1）123,,y y y 的概率密度（2）1Ey ,1Dy2，设X 的均值函数为()X m t ，自相关函数为()12,X R t t ，用()X m t 和()12,X R t t 来表示()()(),,X X X D t C t t ϕ3，,X Y 两个随机变量均值函数和方差分别为,,,X Y X Y m m δδ,相关系数为ρ，设Z X t Y =+,求()(),Z Z m t R t4，一强度为λ的Passion 过程，求： （1）()(){}P x t m x j n ==（2）若(){}110P N e -==,求()()23E N N ⎡⎤⎣⎦（3或者5）5，设()h x 为平方可积函数。
工程硕士研究生随机过程复习题
工程硕士随机过程复习题1 设有随机过程)cos()(t A t X ⋅=ω, 其中∞<<t 0,ω为常数, A 是服从[1,2]上的均匀分布, 确定t 分别为ωπ和ωπ4时, 求随机变量)(t X 的概率密度. (12分)解 (1) 当t πω=时 ()c o s X t A Aπωω==- 而 ()A f x =112x ≤≤⎧⎨⎩其它所以, ()X t 的概率密度为:121()()0A A y f y f y --≤≤-⎧=-=⎨⎩其它(2) 当4t πω=时()c o s42X t A πωω==))*20A y y f ≤≤==⎪⎩其它2设随机过程At e t X -=)(，0>t ，其中A 是在区间（1，2）上服从均匀分布的随机变量，求随机变量)1(X 的一维概率密度函数)1;(x f 和一维分布函数)1;(x F 。
解 (1) 当1=t 时 AAtee t X --==)(而 ()A f x =112x ≤≤⎧⎨⎩其它所以, ()X t 的分布函数为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<+≥=22/10/1/1,ln 2/1,1)1;(e x e x e x e x x F X (2) ⎪⎩⎪⎨⎧<<=ex e x x f X /1/1,/1,0)1;(2其他3设随机过程)cos()sin()(t B t A t X ⋅+⋅=ωω,其中∞<<t 0,ω为常数, A 和B 互不相关,2,0δ====DB DA EB EA , 求)(t X 均值函数和自相关函数. (12分)解：E t X E =)]([()cos()sin(t t ⋅+⋅ωηωξ)=)cos()sin(t E t E ⋅⋅+⋅⋅ωηωξ=0 由于ξ和η互不相关，0=⋅=ηξξηE E E 。
又222δηξ==E E因此)()(),(ττ+=+t X t EX t t Rωτδτωωητωωξcos )(sin )sin()(cos cos 222=+⋅⋅++⋅⋅=t t E t t E4 令)(t N ，∞<<∞-t 是参数为λ的泊松过程，计算)()(s t N t EN +。
哈尔滨工程大学 研究生 随机过程课程实验报告~.
第一题：用PC机产生[0,1]均匀分布的白色序列{}kkX(=,3,2,1),2000(1) 打印出前50个数{}iiX=),,(3,2,150(2) 分布检验(3) 均值检验(4) 方差检验(5) 计算出相关函数{}±±=iB(±i),10,2,,0,1x源程序:clear;clc;x=rand(1,2000);fprintf('1.输出前50个数:');for i=1:5j=1:10;X(i,j)=x((i-1)*10+j);endX % 打印出前50个数y1=x(find(x>=0&x<0.1));t(1)=length(y1);y2=x(find(x>=0.1&x<0.2));t(2)=length(y2);y3=x(find(x>=0.2&x<0.3));t(3)=length(y3);y4=x(find(x>=0.3&x<0.4));t(4)=length(y4);y5=x(find(x>=0.4&x<0.5));t(5)=length(y5);y6=x(find(x>=0.5&x<0.6));t(6)=length(y6);y7=x(find(x>=0.6&x<0.7));t(7)=length(y7);y8=x(find(x>=0.7&x<0.8));t(8)=length(y8);y9=x(find(x>=0.8&x<0.9));t(9)=length(y9);y10=x(find(x>=0.9&x<1));t(10)=length(y10) ;fprintf('2.分布检验:');tsubplot(2,1,1);hist(x,10); % 分布检验fprintf('3.均值检验:');EX=mean(x) % 均值检验fprintf('4.方差检验:');DX=var(x) % 方差检验fprintf('5.计算相关函数:');for m=-10:1:10j=2000-abs(m);for i=1:jC(i)=(x(abs(m)+i)-EX).*(x(i)-EX);endB(m+11)=sum(C)/j;endfor i=1:3j=1:7;Bx(i,j)=B((i-1)*7+j);endBx % 计算相关函数subplot(2,1,2)m=-10:10;plot(m,B)1.输出前50个数:X =Columns 1 through 80.1315 0.6175 0.4759 0.0236 0.8753 0.0960 0.5479 0.07460.8483 0.4888 0.4260 0.5609 0.6730 0.1103 0.7614 0.49120.5077 0.5892 0.0702 0.0386 0.4879 0.3002 0.0358 0.79340.4440 0.4423 0.5000 0.0325 0.0196 0.2932 0.0558 0.72080.8507 0.1279 0.4534 0.6225 0.4175 0.6702 0.0820 0.8725 Columns 9 through 100.9542 0.25160.5314 0.59830.5083 0.01650.8429 0.54420.4153 0.55662.分布检验:t =210 192 197 202 197 214 198 191 188 211图（1）分布检验3.均值检验:理论值：EX =0.5实际值：EX =0.49914.方差检验:理论值：DX =1/12实际值：DX =0.0839均值和方差表：5.计算相关函数:Bx =0.0022 0.0011 -0.0010 -0.0014 -0.0013 0.0034 -0.0051-0.0026 0.0018 -0.0019 0.0838 -0.0018 0.0019 -0.0025 -0.0051 0.0033 -0.0014 -0.0015 -0.0013 0.0009 0.0020图（2）相关函数第二题：用PC机产生()1,0kkX(=),N分布的正态序列{},20003,2,1(1)打印出前50个数{}ii=X3,2,1,(50),(2)分布检验(3)均值检验(4)方差检验(5)计算出相关函数{}±±=iB(±i),10,2,,0,1x源程序：clear;clc;x=randn(1,2000);fprintf('1.输出前50个数:');for i=1:5j=1:10;X(i,j)=x((i-1)*10+j);endX % 打印出前50个数y1=x(find(x>=0&x<0.1));t(1)=length(y1);y2=x(find(x>=0.1&x<0.2));t(2)=length(y2);y3=x(find(x>=0.2&x<0.3));t(3)=length(y3);y4=x(find(x>=0.3&x<0.4));t(4)=length(y4);y5=x(find(x>=0.4&x<0.5));t(5)=length(y5);y6=x(find(x>=0.5&x<0.6));t(6)=length(y6);y7=x(find(x>=0.6&x<0.7));t(7)=length(y7);y8=x(find(x>=0.7&x<0.8));t(8)=length(y8);y9=x(find(x>=0.8&x<0.9));t(9)=length(y9);y10=x(find(x>=0.9&x<1));t(10)=length(y10) ;fprintf('2.分布检验:');tsubplot(2,1,1);hist(x,10); % 分布检验fprintf('3.均值检验:');EX=mean(x) % 均值检验fprintf('4.方差检验:');DX=var(x) % 方差检验fprintf('5.计算相关函数:');for m=-10:1:10j=2000-abs(m);for i=1:jC(i)=(x(abs(m)+i)-EX).*(x(i)-EX);endB(m+11)=sum(C)/j;endfor i=1:3j=1:7;Bx(i,j)=B((i-1)*7+j);endBx % 计算相关函数subplot(2,1,2)m=-10:10;plot(m,B)1.输出前50个数:X =Columns 1 through 8-1.0457 -1.0045 -0.7384 -0.9445 -0.1354 -0.4226 1.5979 -0.38110.3409 0.5486 -1.0160 -1.6335 -1.8104 -0.0349 0.6758 -0.8909-0.9381 -1.5436 0.1596 -0.3688 -1.0122 0.1134 0.8850 -0.5823 -0.3197 1.6065 1.0613 0.3005 0.3511 0.9522 -0.6329 -0.8587 -0.0243 0.9170 -0.5015 -0.2513 1.6728 -1.3644 -0.3351 1.2946 Columns 9 through 100.2348 -0.3093-1.8913 2.2175-0.7176 -0.67331.7461 -0.55610.4811 -0.25202.分布检验:t =71 81 70 78 66 62 71 71 58 49图（3）分布检验3.均值检验: 理论值：EX =0实际值：EX = -0.0054 4.方差检验: 理论值：DX =1实际值：DX = 0.9916 均值和方差表：5.计算相关函数: Bx =-0.0097 -0.0258 -0.0077 0.0131 0.0244 -0.0224 0.0590 0.0228 0.0272 0.0208 0.9911 0.0212 0.0271 0.0224 0.0588 -0.0223 0.0238 0.0125 -0.0083 -0.0255 -0.0082图（4）相关函数第三题：设{}1000,3,2,1),( =k k ε为正态白色序列，服从()1,0N 分布，()()()14-+=k k k X εε，1000,3,2,1 =k 求(1) ()()∑==1000110001k k X k EX (2) ()()∑==100012210001k k X k EX(3) ()()()[]22k EX k EX k DX -=(4) ()()[]()[]{}∑-=--+=mn xxx m n X m m n X m B 1000110001，10,,2,1,0±±±= m ，并画出x B (m)图源程序：clfclearp=randn(1,1001);k=2:1001;x=p(k)+4.*p(k-1);m=mean(x)m1=mean(x.^2)s=m1-m.^2for i=-10:10l=0;p=1000-abs(i);for k=1:pl=l+[x(k+abs(i))-m]*[x(k)-m];endb(i+11)=l/p;endi=-10:10;plot(i,b)1. 均值EX：理论值：EX =0实际值：EX =-0.02092.均方值：EX^2：理论值：EX^2= 17实际值：EX^2= 16.39993. 方差DX：理论值：DX = 17实际值：DX = 16.3995均值和方差表：4. 相关函数：B(m) =x0.1462 0.6689 -0.0319 0.1473 0.1085 -0.3709 0.2299 0.6721 0.1214 4.4418 16.8904 4.4418 0.1214 0.6721 0.2299 -0.3709 0.1085 0.1473 -0.0319 0.6689 0.1462图（5） 相关函数第四题：设{()k ξ,k=0,1,2,…}为N （0，1）正态白序列，()k ξ~N(0,1) 令()()()0.7071X k X k k ξ+-=，k =1,2,…,1000; ()10X -=。
2013级硕士研究生随机过程测试第1页
第1 页 共 14页哈尔滨工程大学2013级硕士研究生随机过程第一次测试1、已知随机过程)(t X ，x 是任一实数，定义另一个随机过程⎩⎨⎧>≤=x t X xt X t Y )(,0)(,1)( 试求：)(t Y 的均值和自相关函数。
解：均值为：[]()1{()1}0{()0}E Y t P Y t P Y t =⨯=+⨯={()}P X t x =≤(;)X F x t =相关函数为：[]1212(,)()()Y R t t E Y t Y t =1221{()1,()1}0{()0,()0}P Y t Y t P Y t Y t =⨯==+⨯== 1122{(),()}P X t x X t x =≤≤1212(,;,)X F x x t t =2、随机过程00()cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω为常数，A 、B 均为高斯变量，并且[][]0E A E B ==，222[][]E A E B σ==。
（1） 若A 、B 相互独立，判断该过程是否宽平稳、是否严平稳。
（2） 若A 、B 相互独立，求(0)X 和(1)X 的一维概率密度。
（3） 若A 、B 正交，判断该过程是否宽平稳、是否严平稳。
解：（1）]sin []cos []sin cos [)]([t B E t A E t B t A E t X E ωωωω+=+=t B E t A E ωωsin ][cos ][+=0= （0][][==B E A E ） )]sin cos )(sin cos [()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==]sin sin cos sin sin cos cos cos [2122121212t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωω+++= 2121221212[]c o s c o s [][]c o s s i n[][]s i n c o s []s i n s i n E A tt E A E B t t E A E B t t E B t t ωωωωωωωω=+++212212sin sin ][cos cos ][t t B E t t A E ωωωω+= （22])[(][][X E X D X E +=） )(cos 122t t -=ωσ)(cos 2τωσ= （12t t -=τ）22[()](0)X X D X t R m σ=-= 可见()X t 是宽平稳随机过程。
最新哈工大研究生入学复试（面试）题库（控制科学与工程相关专业）
最新哈⼯⼤研究⽣⼊学复试（⾯试）题库（控制科学与⼯程相关专业）⼀、1.时域闭环系统的动态性能指标都有哪些？（请具体描述三个Tr tp ts td 超调量2.时域闭环系统的稳态性能指标都有哪些？（解答出3种）稳态误差3.分析时域系统稳定的充分必要条件是什么参数。
（举例说明）所有的闭环特征根均具有负实部4.分别说出系统的开环传递函数和闭环传递函数是如何定义的。
传递函数的定义是线性定常系统输出拉式变换与输⼊拉式变换之⽐，开环指断开主反馈回路。
5.时域系统稳定的充分必要条件是什么？（注：⽤ζ解答）ζ要⼤于0⼩于16.如何⽤劳斯判据判断系统的稳定性，并简述该⽅法的优点。
第⼀列均为正数则是稳定的。
不必求解⽅程就可以判定⼀个多项式⽅程中是否存在位于复平⾯右半部的正根。
7.如何应⽤劳斯（Routh）稳定性判据来判别系统的稳定性？同上8.在时域中，⼆阶系统稳定的充分必要条件是什么？（提⽰：⽤阻尼⽐的概念解答）阻尼⽐⼤于0，ζ>0.9.应⽤根轨迹⽅法分析在什么情况下系统稳定？⽆论K为何值，其特征根始终位于复平⾯的左半平⾯。
10.应⽤什么⽅法能使被控系统的频带加宽，加宽中频带对系统的性能有什么影响？可串联超前校正补偿原系统中频段过⼤的负相⾓。
加宽中频带可以保证系统具有适当的相⾓裕度。
11.简述绘制常规根轨迹的⼋条规则。
1)根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终⽌于开环零点。
K=0的点称为g→∞的点称为终点。
起点，Kg2)根轨迹的分⽀数与开环有限零点数m和有限极点数n中的⼤者相等，它们连续且对称于实轴。
3) 当极点数n ⼤于零点数m 时，有(n-m)条根轨迹分⽀沿着与实轴交⾓为a ?、交点为a σ的⼀组渐近线趋向于⽆穷远处，且有 4) 实轴上的某⼀区域，若其右边开环实数零、极点个数为奇数，则该区域必是根轨迹。
5) 根轨迹的分离点，两条或两条以上根轨迹分⽀在s 平⾯上相遇⼜⽴刻分开的点。
坐标是下列⽅程的解：1111mn i j i j d z d p ===--∑∑11n m j ij i a p z n m σ==-=-∑∑6) 根轨迹的起始⾓与终⽌⾓。
概率论与随机过程习题集(北邮研一专硕)
2.1 设随机过程 X (t ) = Vt + b，t ∈(0,∞)，b 为常数，V 服从正态分布 N (0,1) 的随机变量，求
X (t ) 的一维概率密度、均值和相关函数。
解：由V ∼ N (0,1) ，则： E (V ) = 0，D(V ) = 1
则 X (t ) 的均值函数为： E ⎡⎣ X (t )⎤⎦ = E (Vt + b) = tE (V ) + b = b
Y (t ) = X (t ) +ϕ (t ) ，求随机过程Y (t ) 的均值和协方差函数。
解：由Y (t ) = X (t ) +ϕ (t ) ，ϕ (t)为普通函数
则随机过程Y (t ) 的均值函数为： mY (t ) = E ⎡⎣Y (t )⎤⎦ = E ⎡⎣ X (t ) + ϕ (t )⎤⎦ = mX (t ) + ϕ (t )
⎢ ⎣
2
⎡⎢⎣cos
⎛ ⎜⎝
π
i1 4
⎞ ⎟⎠
−
1⎤⎥⎦
⎤ ⎥ ⎦
2
=
9 4
-end-
2.4 设有随机过程 X (t ) = Acos (ωt ) + B sin (ωt )，其中ω 为常数， A, B 是相互独立且服从正态
( ) N 0,σ 2 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
解：由于 A, B ∼ N (0,σ 2 ) ，则 E ( A) = E ( B) = 0，D( A) = D ( B) = σ 2
( ) X (t ) 的相关函数为： RX (t1,t2 ) = E ⎡⎣ X (t1 ) X (t2 )⎤⎦ = E (vt1 + b)(vt2 + b) = t1t1E v2 + b2 = t1t1 + b2
哈尔滨工程大学硕士研究生随机过程测试第1页
第1 页 共 14页哈尔滨工程大学2013级硕士研究生随机过程第一次测试1、已知随机过程)(t X ，是任一实数,定义另一个随机过程⎩⎨⎧>≤=x t X xt X t Y )(,0)(,1)( 试求:)(t Y 的均值和自相关函数。
解:均值为:[]()1{()1}0{()0}E Y t P Y t P Y t =⨯=+⨯={()}P X t x =≤ (;)X F x t =相关函数为：[]1212(,)()()Y R t t E Y t Y t =1221{()1,()1}0{()0,()0}P Y t Y t P Y t Y t =⨯==+⨯==1122{(),()}P X t x X t x =≤≤1212(,;,)X F x x t t =2、随机过程00()cos sin X t A t B t ωω=+,其中为常数,、均为高斯变量，并且[][]0E A E B ==,222[][]E A E B σ==。
（1） 若、相互独立,判断该过程是否宽平稳、是否严平稳. （2） 若、相互独立，求(0)X 和(1)X 的一维概率密度。
（3） 若、正交,判断该过程是否宽平稳、是否严平稳.解:(1）]sin []cos []sin cos [)]([t B E t A E t B t A E t X E ωωωω+=+=t B E t A E ωωsin ][cos ][+= （0][][==B E A E ))]sin cos )(sin cos [()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==]sin sin cos sin sin cos cos cos [2122121212t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωω+++=2121221212[]cos cos [][]cos sin [][]sin cos []sin sin E A t t E A E B t t E A E B t t E B t t ωωωωωωωω=+++212212sin sin ][cos cos ][t t B E t t A E ωωωω+=（22])[(][][X E X D X E +=） )(cos 122t t -=ωσ)(cos 2τωσ=(12t t -=τ）22[()](0)X X D X t R m σ=-= 可见()X t 是宽平稳随机过程.第3页 共14页 4、0()cos()()X t A t N t ω=+Φ+,0ω、A 为常数，在(0,2)π上均匀分布,0()2N S N ω=，、()N t 统计独立，()X t 通过传输函数为1()1H j RCωω=+的积分电路，试求输出信号()t Y 的均值、自相关函数和功率谱密度函数。
2022级工程硕士研究生随机过程试卷
2022级工程硕士研究生随机过程试卷
1、什么是随机过程的状态？状态空间？（6分）
2、什么是Poion过程？其中参数的物理意义？（6分）
3、什么是马
尔可夫过程？什么是马尔可夫条件？（6分）
4、什么是随机信号的功率谱密度？它与自相关函数有什么关系？（6分）
5、什么是遍历性过程？（6分）
6、随机相位的正弦波过程：tAcot，其中振幅A为常数，角频
率取常数，相位是一个均匀分布于,间的随机变量。
（1）求该过程的
均值和相关函数；（10分）（2）判断（t）的广义平稳性。
（5分）（3）试计算它的时间平均值和时间相关函数；问该过程是否具有各
态历经
性？（10分）7、设随机过程teUt（t>0），其中随机变量U具有在
区间
（0，T）中的均匀分布。
试求随机过程（t）的数学期望和自相关函数。
（15分）8、马氏链的一步转移概率矩阵为：
121p401202203423（1）画出该过程的状态传递图并说明其状态是常
返态还是非常返态；（10分）（2）求出极限分布。
（10分）
9、说明如何利用相关法对混有噪声的弱周期信号进行检测？（10分）
共1页第1页。
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哈尔滨工程大学理学院 化学危险物品安全监督管理办法页脚内容哈尔滨工程大学2013级硕士研究生随机过程第一次测试1、已知随机过程)(t X ，x 是任一实数，定义另一个随机过程⎩⎨⎧>≤=x t X xt X t Y )(,0)(,1)( 试求：)(t Y 的均值和自相关函数。
解：均值为：[]()1{()1}0{()0}E Y t P Y t P Y t =⨯=+⨯={()}P X t x =≤(;)X F x t =相关函数为：[]1212(,)()()Y R t t E Y t Y t =1221{()1,()1}0{()0,()0}P Y t Y t P Y t Y t =⨯==+⨯== 1122{(),()}P X t x X t x =≤≤1212(,;,)X F x x t t =2、随机过程00()cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω为常数，A 、B 均为高斯变量，并且[][]0E A E B ==，222[][]E A E B σ==。
（1） 若A 、B 相互独立，判断该过程是否宽平稳、是否严平稳。
（2） 若A 、B 相互独立，求(0)X 和(1)X 的一维概率密度。
（3） 若A 、B 正交，判断该过程是否宽平稳、是否严平稳。
解：（1）]sin []cos []sin cos [)]([t B E t A E t B t A E t X E ωωωω+=+=t B E t A E ωωsin ][cos ][+=0= （0][][==B E A E ）)]sin cos )(sin cos [()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==]sin sin cos sin sin cos cos cos [2122121212t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωω+++=2121221212[]cos cos [][]cos sin [][]sin cos []sin sin E A t t E A E B t t E A E B t t E B t t ωωωωωωωω=+++212212sin sin ][cos cos ][t t B E t t A E ωωωω+= （22])[(][][X E X D X E +=）)(cos 122t t -=ωσ)(cos 2τωσ= （12t t -=τ）22[()](0)X X D X t R m σ=-=可见()X t 是宽平稳随机过程。
在任意时刻对()X t 采样得到高斯变量A 、B 的线性组合，可见()X t 为一高斯随机过程. 所以它也是严平稳的。
（2）一维概率密度：22(,0)(,1)2X X x f x f x σ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭ （3）A 、B 为高斯随机变量，所以不相关与统计独立等价，又因为这两个变量均值为零，所以不相关与正交等价。
因此在A 、B 正交的情况与A 、B 统计独立情况等价，()X t 为宽平稳过程，也为严平稳过程3、)(t X 和)(t Y 联合平稳过程定义了一个随机过程t t Y t t X t V 00sin )(cos )()(ωω+= （1）)(t X 和)(t Y 数学期望和相关函数满足那些条件可使)(t V 是平稳过程。
（2）在（1）结果的基础上用)(t X 和)(t Y 的功率谱密度和互谱密度表示的)(t V 的功率谱密度。
（3）如果)(t X 和)(t Y 不相关，那么)(t V 的功率谱密度是什么？解：（1）00[()][()cos ()sin ]E V t E X t t Y t t ωω=+00[()]cos [()]sin E X t t E Y t t ωω=+欲使)]([t V E 与时间无关，不随时间函数t 0cos ω、0sin ωt 变化，)(t X 和)(t Y 的数学期望必须是0)]([,0)]([==t Y E t X E ；哈尔滨工程大学理学院 化学危险物品安全监督管理办法页脚内容)(sin sin )()(cos sin )()(sin cos )()(cos cos )()(sin sin )]()([)(cos sin )]()([)(sin cos )]()([)(cos cos )]()([)}](sin )()(cos )(}{sin )(cos )([{)]()([),(00000000000000000000τωωττωωττωωττωωττωωττωωττωωττωωττωττωτωωττ+++++++=+++++++++++=++++++=+=+t t R t t R t t R t t R t t t Y t Y E t t t X t Y E t t t Y t X E t t t X t X E t t Y t t X t t Y t t X E t V t V E t t R Y YX XY X V在)()(),()(ττττYX XY Y X R R R R -==时，上式与时间起点无关： τωττωττ00sin )(cos )()(XY X V R R R +=因此，当0)]([,0)]([==t Y E t X E ，)()(),()(ττττYX XY Y X R R R R -==时，)(t V 是平稳过程。
（2）对τωττωττ00sin )(cos )()(XY X V R R R +=两边同时作傅氏变换：000000()()[()cos ()sin ]11[()()][()()]22j j V V X XY X X XY XY S R ed R Re d S S S S jωτωτωτττωττωττωωωωωωωω∞∞---∞-∞==+=-+++--+⎰⎰（3）)(t X 和)(t Y 不相关，)(t V 的互功率谱密度为零。
)]()([21)(00ωωωωω++-=X X V S S S4、0()cos()()X t A t N t ω=+Φ+，0ω、A 为常数，Φ在(0,2)π上均匀分布，0()2N S N ω=，Φ、()N t 统计独立，()X t 通过传输函数为1()1H j RCωω=+的积分电路，试求输出信号()t Y 的均值、自相关函数和功率谱密度函数. 解：计算()X t 的均值与自相关函数，[][]0()cos()()0E X t E A t N t ω=+Φ+={}{}{}000(,)cos()()cos()()X R t t E A t N t A t N t τωωωττ+=+Φ+++Φ++=()()200cos 22N A ωτδτ+ []2000()()()22X N A S πωδωωδωω=-+++可见)(t X 是广义平稳的,因此[]()(0)0X E Y t m H == 2()()()Y X S S H j ωωω=[][]20002200022222201()()221()()()2(1)2(1)N A RC N AR C R C πδωωδωωωπδωωδωωωω⎧⎫=-+++⨯⎨⎬+⎩⎭=-+++++1()()2j Y Y R S e d ωττωωπ∞-∞=⎰=2002220cos 2(1)4RCN A e R C RCτωτω-++哈尔滨工程大学2013级硕士研究生随机过程第二次测试1、设窄带平稳随机过程00()=()cos -()sin X t a t t b t t ωω的功率谱密度()X S ω满哈尔滨工程大学理学院 化学危险物品安全监督管理办法页脚内容足：0000()=02(+)=()0X X X S S S ωωωωωωωωω⎧≥⎪⎨-≤≤⎪⎩ 求()X t 的自相关函数及自相关函数的预包络（等效带通形式）和包络。
解：()=[()()]X R E X t X t ττ+00000000=()cos cos (+)()cos sin (+)()sin cos (+)+()sin sin (+)a ab ba b R t t R t t R t t R t t τωωττωωττωωττωωτ--因为()=()a b R R ττ，()=()ab ba R R ττ-所以00()=()cos +()sin X a ba R R R ττωττωτ 根据题意知()X S ω在频带内关于中心频率0ω对称，所以()=0ba R τ，0()=()cos X a R R ττωτ 自相关函数的预包络0()=()j X a R R e ωτττ；包络为()a R τ2、某接收机如图所示，乘法器和低通滤波器构成同步检波器。
其中窄带中放1()H f 的幅频特性表示为，()1H f K =（00,f f f f f ±≤∆∆）。
低通滤波器2()H f 的幅频特性表示为()21H f =（f f ≤∆）。
输入信号中()0[1()]cos i S t A mx t tω=+(其中A 、0ω为常数)，()X t 是包含有用信息的遍历随机信号，其等效噪声带宽小于f ∆。
()i N t 是功率谱密度为20N 的白噪声。
求同步检波器输出信噪比以及与输入信噪比之间的关系。
(i S )解：窄带中放的输出信号为()0[1()]cos S t KA mx t tω=+输出噪声为窄带高斯噪声00()=()cos ()sin N t a t t b t t ωω-经过乘法器后输出记为()Z t ，则。