线性空间中向量之间线性关系共25页文档
向量间的线性关系
1 2 0 1 2 1 1 0 2 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
∴ 1 , 2 为一个极大无关组.且 1 3 1 2 ， 4 1 2 2
证毕
注：此定理给出了线性相关与线性组合的关系
例 设向量组 1 (1 , 1, 1, 0) ， 2 (1 , 0, 3 ( 0, 1, 0, 0) ，验证向量组线性相关. 解
∵ 1 2 3
1, 0) ，
∴ 1 , 2 , 3 线性相关.
定理5 如果向量组 1 , 2 ,......, , s 线性无关，则向量 可以由 向量组 1 , 2 ,......, s 线性表示，且表示法 唯一. 证明 (1)先证 可由1 , 2 ,......, s 线性表示
矩阵的列秩： 称矩阵A的列向量组的秩为矩阵A 的列秩.
定理9
A 为m n 矩阵，r ( A) r
A 的列秩与行秩相等，且为 r.
求向量组的极大无关组的方法：
1 给定向量组 1 , 2 ,......, n ，以 1 , 2 ,......, n 为列向量构成一个矩阵 1 2 ...... n ，然 后进行初等行变换，求得矩阵的秩，即是极大 无关向量组所含向量的个数. 2 而不为零的 r 阶子式所对应的向量组，即 是极大无关组.
.......... .......... .......... .......... ... n k1n 1 k2 n 2 ... krn r
（2）证明题：
由于证明题中向量组中向量的分量一般不给出， 固不能按上述方法来判定向量组相关性，而应 按照相关无关的定义来证明.
线性代数第2章第3节向量间的线性关系
T T T 1 , 2 , 2
4 2 1 3 1 1 0 5 1 11 1
1
4 0 5 5 0 3 4 0 9 9
1 2 4 0 1 1 . 0 0 1 0 0 0
第二章 线性方程组
第三节 向量间的线性关系
一、向量的线性组合
二、线性相关与线性无关
1
一、向量的线性组合
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
x 即有方程组的向量形式： 11 x2 2 xn n
2
线性方程组(2.3.1)是否有解，就相当于是是否存在一组 数：x1=k1， x2=k2，…， xn=kn，使线性关系式
x11 x2 2 xn n
成立． 即常数列向量β是否可以表示成上述列向量组α1， α2，…， αn 的线性关系．如果可以，则方程组有解；否则方 程组无解． β可以表示成上述关系时，称向量β是向量组α1，α2，…， αn 的线性组合，或者称β可由向量组α1，α2 ，…， αn 的线性
表示．
3
定义2.8 设α1，α2，…， αs ， β∈Rn(s为正整数），如 果存在一组数k1， k2，…， ks ∈R，使得
k11 k2 2 ks s
称向量β 可以表示为向量组 α1，α2，…， αs 的线性组合， 或者称β可由向量组α1，α2 ，…， αs 的线性表出(或线性
有解．
7
例：设 1 1, 3, 2 , 2 3, 2, 1 , 3 2, 5, 1 ,
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56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
空间中向量关系
空间中向量关系
嘿，咱今儿就来聊聊这空间中向量的关系。
你说这向量啊，就像是咱生活中的那些有方向的力量。
你看啊，向量有大小还有方向，这不就跟咱走路似的嘛，走多远就是大小，往哪儿走就是方向。
要是你在操场上跑步，那速度和跑的方向不就是个向量嘛。
想象一下，空间里有好多向量，它们就像一群小伙伴，各自有着自己的特点和脾气。
有的向量长得长，那就是力量大呗；有的向量歪歪斜斜的，那就是方向特别。
两个向量之间还能相加呢！这就好比你和朋友一起用力，把你们的力量合起来。
比如说你往东推一个箱子，你朋友往西推，那最后箱子会往哪儿走呢，不就得看你们俩谁的力气大，谁的方向更占优势嘛。
还有啊，向量和向量之间也会有夹角。
这夹角可重要啦！就好像你和朋友之间的关系，有时候亲密无间，夹角就小；要是闹别扭了，那夹角可能就大啦。
而且这夹角还能决定很多事情呢，比如两个向量一起能产生多大的作用。
咱再说说向量的乘法。
这就像是不同的力量组合起来能产生奇妙的效果。
有时候一个小向量和一个大向量相乘，可能会得出一个意想不到的结果，就像小蚂蚁和大象合作，也能做出大事情来。
你说这向量的世界是不是很神奇？它们在空间里来来去去，相互作
用，构成了一个丰富多彩的世界。
就好像我们的生活，每个人都有自己的方向和力量，大家在一起相互影响，共同创造出美好的世界。
所以啊，可别小瞧了这向量关系，它们在数学里、在生活中都有着重要的地位呢！它们让我们看到了事物之间的联系和变化，让我们能更好地理解这个世界。
你说是不是呢？。
向量组间的线性关系
也线性无关。
例10 已知 证明 设存在数
线性无关，证明 线性相关.
使得
即 已知
线性无关， 只有
不全为零，故向量组线性相关。
三、线性组合与线性表示
定义2 设有m维向量组
则称 的线性组合 称
如果存在一组数 是向量组 为组合系数.
若存在一组数
使得
称 可由
线性表示。
1、线性表示
观察四个向量 之间的关系有
例1
即 线性相关。
例2 当向量组含两个非零向量时，
设
，
与 线性相关
与 对应分量成正比
证明 与 线性相关
或
或
即 与 的对应分量成比例
例3 对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例，
几何上说向量
共线。
线性相关。
求证含有零向量的向量组必线性相关。
例4 证明 设向量组中 取数 必有
则此向量组必定线性相关。
例13 判断 是否为向量组 的线性组合？ 对矩阵
4
3
0 11
1
2
4
1 2 4
1
1
2
1 5
2
2
1
1 1
2
1 5
1 1 1
3
0 11
~
0
0 0
1 0 0
1
1 0
线性无关，
01
定理6
02
03
线性相关，则
可由A线性表示且表法唯一。
已知向量组
例14 证明 ①
②
0 1 0 2
0 0
0 0
1 0
-1 0
1 1 2 2 0 2 -1 5
空间向量的线性关系与应用
空间向量的线性关系与应用在线性代数中，空间向量的线性关系及其应用是一项重要的研究内容。
本文将介绍空间向量的线性关系，分析其应用，并探讨其在实际问题中的应用案例。
一、空间向量的线性关系在三维空间中，向量是由坐标表示的，可以表示为(A1, A2, A3)，其中A1、A2、A3分别代表向量在X、Y、Z轴上的分量。
当多个向量之间存在线性关系时，我们可以通过线性组合的方式来表达这种关系。
具体来说，假设有n个向量v1、v2、v3......vn，每个向量都可以表示为(v1, v2, v3)、(v4, v5, v6)......(vn-2, vn-1, vn)。
如果存在一组实数k1、k2、k3......kn，使得k1v1 + k2v2 + k3v3 + ......+ knvn = 0，则称这些向量之间存在线性关系。
二、空间向量的应用空间向量的线性关系有很多实际应用，下面将介绍其中几个常见的应用。
1. 平面几何在平面几何中，通过空间向量的线性关系可以进行平面求交、相交线的夹角等计算。
通过求解线性方程组，可以确定平面的位置关系，帮助我们更好地理解和解决平面几何问题。
2. 向量运算空间向量的线性关系在向量运算中起着重要作用。
通过对向量的线性组合，我们可以进行向量的加法、减法、数量积、向量积等运算，进一步拓展了向量的应用领域。
3. 物理学空间向量的线性关系在物理学中也有广泛的应用。
以力学为例，我们可以通过空间向量的线性关系来描述物体所受到的力的合成和分解，进而求解物体的运动状态和受力分析。
三、空间向量线性关系的应用案例下面将通过一个实际问题案例来说明空间向量线性关系的应用。
案例：假设有一辆汽车在平面上行驶，其行驶速度可以表达为一个向量v1。
另外，还有两个力F1和F2作用在汽车上，分别表示汽车所受到的推力和阻力，它们也可以用向量表示。
根据牛顿第二定律，我们知道力的合成可以通过向量的线性组合来表示。
假设F1的大小为a，方向与行驶方向相同，F2的大小为b，方向与行驶方向相反。
2.3向量及其线性关系
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 ( 2.10 ) 2n n 2 M 即 am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm x1α1 + x2α 2 + ... + xnα n = β
2 0 0 0 β = 1 β = 0 例 β 1 = 2 3 称 β 1 , β 2 , β 3 线性无关. 线性无关. 0 1 1 2 0 0 0 0β 1 + 0β 2 + 0β 3 =0 0 + 0 1 + 0 0 = 0 0 1 1 0 k1β1 + k2 β 2 + k3 β 3 = k1 = 0 2 0 0 2k1 0 0 +k 1 + k 0 = k = 0 k2 = 0 k1 2 2 3 如果 k = 0 0 1 1 k2 +k3 0 3 都是0 只有当系数 k1 , k2 , k3 都是0时,才有 k1β1 + k2 β 2 + k3 β 3 = o
1 = −2 ≠ 0 det A = x1 − x2 = 2 1 −1 方程组可写为： x 方程组有唯一解： 方程组有唯一解： 1 = 6 x2 = 4 方程组可写为：
10 1 1 1 x1+ −1 x2 = 2 2 x1 + 2 x2 = 4 10 1 1 表法唯一； =6 +4 表法唯一； 2 1 −1
§3.2 向量之间的线性关系
有
2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 2 5 3 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1
即 = 2 1 5 2 3 3 0 4
二 向量的线性相关性
定理1 向量组 a1 a2 am(m2)线性相关的充要条件是在 向量组中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 证明 必要性 如果向量组a1 a2 am线性相关 则存在不全为0的 k1 k2 km，使得 k1a1k2a2 kmam0 不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam) 即a1能由a2 am a 2 , , a n
则方程组的向量表示为
x1 a 1 x 2 a 2 x n a n b
(参见P62)
若 C m n A m s B s n ，则矩阵 矩阵 A 的列向量组线性表示， 矩阵：
C 的列向量组能由 B 为这一表示的系数
定理1 向量组 a1 a2 am(m2)线性相关的充要条件是在 向量组中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 证明 充分性 如果向量组中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向 量线性表示 即有1 2 m1 使 am1a12a2 m1am1 于是 1a12a2 m1am1(1)am0 因为1 2 m1 1不全为0 所以向量组A线性相关
解
例4
已知
1
1 1 ， 1
2
0 2 ， 5
3
2 4 ， 7
.
试讨论向量组
1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性
解 因为
1 0 2 5 2 4 0 7
1 , 2 , 3 1
线性空间中向量之间线性关系-精品文档
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
引 问题Ⅰ （基的问题） 入 如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ
（坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？ 怎样才能便于运算？
若向量组
可经向量组
为等价的．
, 2 , , 1 r 线性表出；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组
, , , V ，若存在不全为零的数 （ 3） 1 2 r
kk ,2 , , k P ，使得 1 r
则称向量组
k k k 0 1 1 2 2 r r
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关
0 . 0 单个向量 线性无关
, , , 中有一个向量可经其余向量线性表出． 1 2 r
, 2 , 向量组 1
, 线性相关 r
, 2 , , （2）若向量组 1 r 线性无关，且可被
向量组
, 2 , , 1 s 线性表出，则 r s ;
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间 （ 1） 1 , , , V ( r 1 ) ,, k k , , k P , 和式 2 r 1 2 r 称为向量组 的一个线性组合． , 2 , , 1 r
k k k 1 1 2 2 rr
,a , ,a 证明：∵ a 1 2 n线性无关，
∴V的维数至少为 n ． 任取V中 n＋1个向量 由ⅱ)，向量组
空间向量探索向量的线性组合与共线关系
空间向量探索向量的线性组合与共线关系在空间几何中，向量是一种有大小和方向的量，用于描述物体的位移或变化。
空间向量的线性组合是指通过对向量进行加法和标量乘法运算来表达新的向量。
共线关系指两个或多个向量在空间中共线或者平行。
一、向量的线性组合向量的线性组合是指用给定向量组中的向量进行加法和标量乘法运算来生成新的向量。
假设有向量组V = {v1, v2, ..., vn}，其中vi表示向量的第i个分量，向量u可以表示为向量组V的线性组合：u = a1v1 + a2v2 + ... + anvn在这个表达式中，a1, a2, ..., an表示标量（也称为系数或权重），用来为每个向量指定加权值。
通过改变标量的取值，可以得到许多不同的线性组合。
示例：假设有向量组V = {v1, v2}，其中v1 = (1, 2, 3)，v2 = (4, 5, 6)，则向量u可以表示为：u = a1v1 + a2v2 = a1(1, 2, 3) + a2(4, 5, 6)二、向量的共线关系向量的共线关系是指两个或多个向量在空间中共线或者平行。
如果两个向量可以通过乘以一个常数（标量）得到相等的结果，则它们是共线的。
设v1和v2是两个非零向量，若存在一个非零标量k，使得v2 =kv1，则称向量v1和v2共线。
共线的向量在空间中沿相同的直线或反向的直线上。
示例：假设有两个向量v1 = (1, 2, 3)和v2 = (2, 4, 6)，我们可以发现：v2 = 2v1因此，向量v1和v2共线。
三、向量的线性组合与共线关系向量的线性组合和共线关系在空间几何中密切相关。
当向量组中的向量存在线性组合时，说明这些向量之间存在某种关系，可能是共线的。
考虑一个向量组V = {v1, v2, ..., vn}，其中vi表示向量的第i个分量。
如果向量组中的向量存在一组非零标量a1, a2, ..., an，使得a1v1 + a2v2 + ... + anv1 = 0则向量组V中的向量共线。
线性空间中向量之间的线性关系重点
5)
a | bi , 而ci Z , i 1, 2,, t a | (b1c1 bt ct )
每一个整数都可以1和 - 1整除。
6) 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 7)
- a整除
a | b且b | a b a或b a
定理1.4.1（带余除法） 设a，b 是整数且 a 0 ，那么 存在一对整数q和r，使得
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的. 证 令 S {b ax | x Z , b ax 0} .因为 a 0 ，所以S 是N 的一个非空子集.根据最小数定理（对于N），S 含有一 个最小数.也就是说，存在 q Z ，使得 r b aq 是S 中 最小数.于是 b aq r，并且 r 0.如果 r | a | ，那 么 r | a | r , r 0 ，而
b a(q 1), 若a 0; r b a(q 1), 若a 0
所以 r S且r r .这是与r是S中最小数的事实矛盾.因 此r a . 假设还有 q , r Z ，使得
b aq r 且0 r | a | 于是就有 a(q q ) r r .如果 q q 0 .那么 | r r || a(q q) || a | . 由此或者 r | a | r | a |，或者 r | a | r | a | 。不论是哪 一种情形，都将导致矛盾.这样,必须 q q 0 ，从而 r r 0 ，也就是说 q q, r r.
二、最大公因数
设a，b是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫做a与b 的最大公因数：
(i
向量组之间的线性关系
回顾
证明 已知向量组 , , 线性无关，证明向量组 , , 仍线性无关.
线性代数
向量组之间的线性关系
定义 设 1,2 ,L ,s 和 1, 2 ,L , t 是两组向量. 若每一个 i , 1 i t 均可由 1,2 ,L ,s 线性表出， 则称向量组 1, 2 ,L , t可由向量组 1,2 ,L ,s 线性表出.
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第四章 向量间的线性关系
4.4.1 向量组之间的线性关系
向量组之间的线性关系
定义 设 1,2 ,L ,s 和 1, 2 ,L , t 是两组向量. 若每一个 i , 1 i t 均可由 1,2 ,L ,s 线性表出， 则称向量组 1, 2 ,L , t可由向量组 1,2 ,L ,s 线性表出.
( A) 1 ,2 ,3 (B) 1 1 22 , 2 2 3 , 3 32 , 4 1 2 3
线性代数
向量组之间的线性关系
定义 设 1,2 ,L ,s 和 1, 2 ,L , t 是两组向量. 若每一个 i , 1 i t 均可由 1,2 ,L ,s 线性表出， 则称向量组 1, 2 ,L , t可由向量组 1,2 ,L ,s 线性表出.
进一步，如向量组 1,2 ,L ,s 也可由向量 组 1, 2 ,L , t 线性表示，则称两个向量组等价.
线性代数
向量组之间的线性关系
注意 两个向量组等价，这两个向量组所含的向量 的数目不一定一样多.
线性代数
线性代数
向量组之间的线性关系
向量组 1, 2 ,L , t 可由向量组 1,2 ,L ,s 线性表出.
k11 k12 L k1t
1, 2 , L , t 1, 2 , L
向量间的线性关系
k11 k2 2 ks s O ()
则称 1， 2， ， s 线性相关； （2）若只有 k1 k2 ks 0 时才有 k11 k2 2 ks s O 则称 1， 2， ， s 线性无关。
思考题：若当 k1 k 2 k s 0时，有
即当且仅当 x1 x2 xn 0 ，有
x1 1 x2 2 xn n O
故结论成立。
(4)
两个向量线性相（无）关
它们的对应分量（不）成比例。 证 “” 设1与 2线性相关, 则存在不全 为零的 k1，k2，使得 :
k11 k2 2 O
1 1 1 1 3 1 初等行变换 0 T T T 2 ( 1 2 3 ) 0 0 0 1 0 1 1 0
T T T r ( 1 2 3 ) 3（向量个数） T T T 1 , 2 , 3 线性无关。
n维单位向量
线性无关。
x1 1 x2 2 xn n O
1 0 0 0 x 1 x 0 O x1 2 n 0 0 1
x1 0 x2 0 x 0 n
1 1 1 1 0 1 0 0
例 （逆问题） 设 1 (1, 1, 1), 2 (a , 0, b), 3 (1, 3, 2) a,b 满足什么关系时，向量组线性相关？ 解 由1 , 2 , 3 线性相关 1 a 1 1 0 3 a 2b 0 得 a 2b
2 4 1 1 0 0 0 0
解 m 4, n 3, 用定理3.5
向量间的线性关系
定义2.8 1,2 ,, s Rn , k1, k2 ,, ks R
线性组合： k11 k2 2 ks s 线性表出： k11 k2 2 ks s 1 如 (2,1,1),1 (1,0, ), 2 (0,3,0), 2 1 21 2 . 3 注： 1. 零向量可由任一向量组线性表出. 2. 向量组中的任一向量都可由此向量组线性表出.
a11 a21 r a m1 a12 a22 am 2 a1n a11 a2 n a21 r a amn m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b1 b2 . bm
定理2.7 设向量可由向量组1 , 2 ,, s 线性表出， 则表出方式唯一 1 , 2 , , s 线性无关.
向量组必线性相关 ; 例7 (1)某一部分组线性相关的 (2)线性无关的向量组的任 一部分组必线性无关 .
例9 设向量组1 , 2 ,, s 线性无关, 而1 , 2 ,, s , 线性相关, 则可由1 , 2 , , s 唯一线性表出 . 例10（1）在线性无关的向量组的每个向量的相同位置上 都添加任意一个分量所得的向量组仍线性无关. （2）在线性相关的向量组的每个向量的相同位置上都去 掉一个分量所得的向量组仍线性相关. 注：可推广到添加或去掉多个分量的情形.
s s 1 , 试判断1 , 2 ,, s的线性相关性 .
解 : s为奇数时 , 线性无关; s为偶数时 , 线性相关 .
▌
a11 a12 a1s a21 a22 a2 s , , s 线性相关 定理2 向量组1 , 2 a a a m1 m2 ms a11 x1 a12 x2 a1s xs 0 a x a x a x 0 2s s 线性方程组 21 1 22 2 有非零解， am1 x1 am 2 x2 ams xs 0 线性无关 仅有零解.
向量的线性运算与空间几何关系
定义：向量积是一个向量运算，可以用来表示两个向量的垂直关系
性质：向量积满足交换律和结合律，但不符合数乘分配律
几何意义：向量积可以表示一个向量在另一个向量上的投影长度和方向
应用：向量积在解决空间几何问题中有着广泛的应用，例如求点到平面的距离、 判断两直线是否平行或垂直等
向量的混合积与空 间几何关系
添加项标题
向量的混合积定义：三个向量的混合积是一个标量，记作 ( a × b ) ·c ， 其 值 为 ( a ·c ) × b - ( b ·c ) × a
添加项标题
几何意义：混合积的几何意义是表示以a、b、c为棱的平行六面 体的体积
添加项标题
性质：混合积的值为0当且仅当向量a、b、c共面
向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量c，其模长为|c|=|a||b|sinθ，其中θ为 a和b之间的夹角。
向量的向量积方向：向量积的方向与a和b的夹角垂直，即与a和b构成的平面垂直。
向量的向量积几何意义：向量积表示一个向量在另一个向量上的投影面积。
向量的向量积与空间几何关系：向量积可以用于描述空间几何形状，例如旋转、方向等。
性质：向量减法不满足交换律，即a-b≠b-a，除非两向量相等
添加标题
定义：两个向量a和b的向量积是 一个向量，其模长等于以a和b为 邻边的平行四边形的面积，方向 垂直于a和b所在的平面，与a和b 都垂直。
添加标题
几何意义：向量积可以表示为 两个向量的外积，其几何意义 为一个以a和b为邻边的平行四 边形的有向面积。
添加标题
性质：向量积满足反对称性， 即a×b=-b×a。
添加标题
运算规则：向量积的运算规则 包括分配律、结合律和数乘性 质等。
线性代数向量间的线性关系
若向量组(1)与(2)可互相线性表示，则称向量组(1)与(2)等价
记作
{1,2, ,m} {1, 2, , n}
山东财经大学数学与数量经济学院
等价向量组具有的性质：
（1）反身性 即 {1,2 , ,m}{1,2, ,m}
（2）对称性 即 {1,2, ,m} {1, 2, , n}
（3）传递性
{1, 2, , n} {1,2, ,m}
山东财经大学数学与数量经济学院
例3.2.8 若向量组1,2, ,r线性相关,则向量组1,2, ,r , r1, ,s必线性相关.
证明： 因为 1,2 , ,r 线性相关， 则存在有不全为零的数 k1, k2 , , kr 使
k11 k22 krr o
从而存在一组不全为零的数 k1, k2 , , kr , 0, , 0, 使
(2)称为(1)的 向量表示形式
x11 x22 xnn (2)
山东财经大学数学与数量经济学院
1.线性组合
定义3.2.1 设 ,1,2, ,n是一组m维向量.如果存在数
k1, k2 , , kn , 使得
k11 k22 knn
称向量 是向量组1 , 2 ,
,
的线性组合，
n
或称可由向量组1,2 ,
解 设 =k11 k22 k33 , 即
(3, 2, 4) k1(1, 0, 1) k2(2, 1, 0) k3(1, 1, 2)
( k1 2k2 k3 , k2 k3 , k1 2k3 )
因此
k1 2k2 k3 3
k2 k3 2
k1 2k3 4
解方程组得
k1 k2
线性表出，并且表示法不惟一；
（3）方程组无解 不能够由向量组 j ( j 1, 2, , n)
向量的线性关系
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共线、 3. 共线、共面与相关性二者关系 由前面几个命题及推论可知, 由前面几个命题及推论可知 线性相关; 两向量 a, b 共线 ⇔ a, b 线性相关 线性无关; 两向量 a, b 不共线 ⇔ a, b 线性无关 线性相关; 三向量 a, b, c 共面 ⇔ a, b, c 线性相关 线性无关. 三向量 a, b, c 不共面 ⇔ a, b, c 线性无关
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是向量, 定义2 定义 设a1, a2, …, an 是向量 若存在不全为零 的实数 k1, k2, …, kn, 使得 k1a1+ k2a2+ …+ knan = 0, 向量组a 线性相关, 则称 向量组 1, a2, …, an 线性相关 否则, 称向量组 1, a2, …, an 线性无关 线性无关. 否则 称向量组a
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上页下页Biblioteka 返回结束补充：向量的共线、 补充：向量的共线、共面与线性关系
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.共线和共面条件 定义1 定义 个向量(向量组 向量组)经平移可移到同 若 k 个向量 向量组 经平移可移到同 一直线（平面) 个向量共线( 一直线（平面)上，则称此 k个向量共线(共 面) . 显然，共线的向量组一定共面， 显然，共线的向量组一定共面，两个向量 一定共面． 一定共面． 定理1 定理 设 a 为非零向量 , 则 (λ 为唯一实数 (∗) λ 为唯一实数)
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推论2 向量a, 不共面的充分必要条件是: 推论 向量 b, c 不共面的充分必要条件是 由k1a + k2b + k3c = 0 可以推出 k1 = k2 = k3= 0 . 由于上述命题, 由于上述命题 使得向量的线性运算可以用 来解决有关点的共线或共面问题以及线段的 定比分割问题. 定比分割问题 设向量a, 共面. 例1 设向量 b, c , 证明 a + b, b + c, c − a 共面 证: 因为 1⋅(a + b) + (−1)⋅(b + c) + 1⋅(c − a)=0, ⋅ − ⋅ ⋅ 且 1, −1, 1 不全为零, 不全为零 由命题3可知 共面. 由命题 可知, a + b, b + c, c − a 共面 可知