高中数学人教A版选修2-2学案(合情推理、演绎推理、综合法、法)

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人教版高中数学选修2-2学案：2.1.2演绎推理

2.1.2演绎推理【学习目标】1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.【新知自学】知识回顾：1.归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.2.类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由到的推理.3. 和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.新知梳理：1.问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；2.定义：演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到的推理.3.观察下面例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？→→大前提——；小前提——；结论——.对点练习：.（1）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以2007不能被2整除；（2）两条直线平行，同旁内角互补.如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么A=B.2.因为指数函数x y a =是增函数，1()2x y =是指数函数，则1()2x y =是增函数.这个结论是错误的，这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3.归纳推理是由到的推理；类比推理是由到的推理；演绎推理是由到的推理.4.合情推理的结论；演绎推理的结论 .【合作探究】典例精析：ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.例2．证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数.(体会演绎推理在每一步推理中的应用)例3.下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形. （结论）规律总结：1.应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.2.（1）合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确. （2）在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.【课堂小结】【当堂达标】1.用演绎推理证明函数3y x =是增函数时的大前提是（）.A.增函数的定义B.函数3y x =满足增函数的定义C.若12x x <，则12()()f x f x <D.若12x x <, 则12()()f x f x >2.在ABC ∆中，AC BC >，CD 是AB 边上的高，求证ACD BCD ∠>∠.证明：在ABC ∆中，,CD AB AC BC ⊥>，所以AD BD >，于是ACD BCD ∠>∠.指出上面证明过程中的错误.3.用三段论证明：通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列.4.证明函数2()4f x x x =-+在[2,)+∞上是减函数.【课时作业】1.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3.下列推理过程是演绎推理的有________(填上所有正确的序号)．(1)两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°；(2)某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班级人数超过50人；(3)由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质；(4)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，由此归纳出{a n }的通项公式． 4.用三段论证明：在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC ，则B C ∠=∠.5.用三段论证明：3()()f x x x x R =+∈为奇函数.6.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n ·S n (n ∈N ＋)，用三段论的形式证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n＋1＝4a n.。

人教A版选修2-2 2.1.1合情推理学案

第二章第1节合情推理与演绎推理一、合情推理课前预习学案一，预习目标：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理。

二，预习内容：（1）从______________推出___________的结论，这样的推理通常称为归纳推理. 归纳推理的思维过程大致是试验、观察 —— 概括、推广 —— 猜测一般结论（2）已知数列{}a n的每一项均为正数，a 1=1，1221+=+a an n （n=1，2，……），试归纳数列{}a n的一个通项公式。

（3）根据两个对象之间在某些方面的____________,推演出它们在其他方面也______________,这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程大致为观察、比较 —— 联想、类推 —— 猜测新的结论（4）类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。

三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。

二、学习过程：例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个交点；… …；从中归纳一般结论，n 条直线相交，最多有几个交点？例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中的正六边形地板砖有多少块？小结归纳推理的特点：例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。

练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。

小结类比推理的特点：当堂检测：1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是_______2、在等差数列{}a n中，na aa c n n +•••++=21也成等差数列，在等比数列{}b n中，dn=____________________ 也成等比数列课后练习与提高1、右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 82、下列推理正确的是(A) 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+． (B) 把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+． (C) 把()nab 与 ()na b + 类比，则有：nnn()x y x y +=+．(D) 把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号44、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数（1）1，5，9，13，17，（）；（2（）．5、从222576543,3432,11=++++=++=中，得出的一般性结论是．第三次第二次第一次开始合情推理一、教材分析数学归纳法是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。

(完整word版)人教版高中数学选修2-2教学案2.1合情推理与演绎推理(教师版)

合情推理与演绎推理1推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理•推理一般分为合情推理与演绎推理两类•2•合情推理3•演绎推理(1) 定义：从一般性的原理岀发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理:(2) 特点：演绎推理是由一般到特殊的推理:(3) 模式：三段论•“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：1例1设f(x)= 屛书，先分别求f(0) + f(1), f(—1) + f(2), f(-2)+ f(3)，然后归纳猜想一般性结论, 并给出证明•思维启迪解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明•1 * 1 1+ .3 3+ ；3同理可得：f( — 1) + f(2)=f,f(— 2) + f(3) = £，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于归纳猜想得：当X 1 + X 2= 1时，均为f(X 1)+ f(X 2) =3* 3 4.1.证明：设X 1+ X 2= 1 ,T f(X 1)+ f(X 2) = 1 1------------ + --------------- X 1. X23+ 3 3+ '3X 1X 23 + ,3 + 3+ 3X1X23+ 3 + 2 . 3X 1X 23+ ,'3 3+ '3X13X 2为 X 23 3 + 3 + 3X 1X 23+ 3 + 2 3X 1X 23+ 3 + 2 3；3 3X1 + 3X2f(0)+ f(1)=_1_ 31 + ■：..n n + 2*⑵f(2n )> 厂(n >2, n € N)解析 (1)由于 1 = 12,2+ 3 + 4= 9= 323+ 4 + 5 + 6+ 7 = 25= 524+ 5+ 6 + 7+ 8+ 9 + 10= 49= 72,所以第五个等式为 5+ 6 + 7 + 8+ 9+ 10+ 11+ 12+ 13= 92= 81. ⑵由题意得 f(22)>|, f(23)>|, f(24)>|, f(25)>2, n + 2所以当n 》2时，有f(2n )> — n + 2故填 f(2n )> —(n >2, n € N *).题型二类比推理差数列{a n }的上述结论，对于等比数列 {b n }( b n >0, n € N *),若b m = c , b n = d(n — m 》2, m , n € N *), 则可以得到b m + n =.思维启迪等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运解析设数列｛ a n ｝的公差为d ,数列｛b n ｝的公比为q.nb — ma因为 a n = a 1 + (n — 1)d , b n = b 1q n — 1, a m + n =n — mn —所以类比得b m + n =思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2) 类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等(3) 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找例2已知数列｛a n ｝为等差数列，若 a m = a , a n = b(n — m 》1, m ,* nb — ma _n * N)，则am + n=二—7 .类比等两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等跟氐训练2 (1)给出下列三个类比结论：①(ab)n= a n b n与(a+ b)n类比，则有(a+ b)n= a n+ b n；②log a(xy)= log a x+ log a y 与sin( a+ ® 类比，则有sin( a+ 3 = sin a sin 3；③(a+ b)2= a2+ 2ab+ b2与(a+ b)2类比，则有(a + b)2= a2+ 2a b+ b2.其中结论正确的个数是()A. OB.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r = 叮"(其中a, b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a, b, c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R= _________ .a2+ b2+ c2答案(1)B ⑵亠解析⑴①②错误，③正确•(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径题型三演绎推理例 3 已知函数f(x) = - aX^a a(a>0，且1).(1) 证明：函数y= f(x)的图象关于点g, - 1)对称；(2) 求f( —2)+ f( —1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3)的值.思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y= f(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上•小前提是f(x) = —^a(a>0且1)的图象关于点&, —2)对称.(1) 证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x, y),1 1 它关于点(2，—刁对称的点的坐标为(1 —x,—1 —y).由已知得y=—-—，则一1 —y=— 1 + -4 = ——a x+诵a x W a a x+V af(1 —)__ v a =_ v a =_ v a a x=_ a xa1-x+诵-0- +百a+T^a X a x^/a，a v••• — 1 —y= f(1 —x),即函数y= f(x)的图象关于点(1，—》对称.(2) 解由(1)知一1 —f(x)= f(1 —x)，即f(x) + f(1 —x) = —1.••• f(—2)+ f(3) = - 1 , f( —1) + f(2) = - 1 , f(0) + f(1) = - 1.则f(- 2) + f(- 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = - 3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提•跟腺训练3已知函数y= f(x),满足：对任意a, b€ R, a工b，都有af(a) + bf(b)>af(b)+ bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数.证明设X1, X2€ R，取X1<X2,则由题意得X1f(X1)+ X2f(X2)>X1f(X2) + X2f(X1),•- X1[f(X1) - f(X2)] + X2[f(X2)- f(X1)]>0 ,[f(X2) —f(X1)](X2 —X1)>0 ,T X1<X2, •. f(X2) —f(X1)>0 , f(X2)>f(X1 ).所以y= f(x)为R上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…，第n个n n +1 1 1三角形数为一2 =尹2+ 2n，记第n个k边形数为N(n, k)(k> 3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：1 1三角形数N( n,3) = ?n2+尹,正方形数N( n,4) = n2,3 1五边形数N(n ,5) = ?n2-刃,六边形数N(n,6) = 2n2- n可以推测N(n, k)的表达式，由此计算N(10,24) = ____________ .思维启迪从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n, k)，然后求N(10,24).k—2 4—k 解析由N(n,4)= n2, N(n,6) = 2n2-n,可以推测：当k为偶数时，N(n, k)=一^n2+一^n,24 —2 4 —24• N(10,24) = X 100 + X 10=1 100- 100= 1 000.答案 1 0002 2(2)(5分)若P o(x o, y o)在椭圆拿+ b2= 1(a>b>0)外，过P o作椭圆的两条切线的切点为P i, P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是X0X+翠=1,那么对于双曲线则有如下命题：若P o(x o, y o)在双曲线£—b2= 1(a>0, b>0)外，过P o作双曲线的两条切线，切点为P i, P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是思维启迪直接类比可得• 解析设P1(x1, y1), P2(x2, y2),则P1 , P2的切线方程分别是X1X y1y X2X y2y尹—b2 = 1,歹—b2 = 1.因为P o(x o, y o)在这两条切线上,故有警-章=1,a bX2x o y2y o苜—b2 = 1, 这说明P1(X1, y1), P2(X2, y2)在直线X"2X—yoy= 1 上,a b故切点弦P1P2所在的直线方程是X^—yb y= 1.答案xo x—y°y= 1a b⑶(5分)在计算“ 1X 2+ 2X 3+-+ n(n+1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项:1k(k+ 1) = 3【k(k+ 1)(k+ 2)—(k —1)k(k+ 1)],由此得11 x 2= 3(1 x2 x 3—o x 1 x 2),12 x 3= 3(2 x3 x 4—1 x 2x 3),1n(n + 1)=破n(n + 1)(n + 2) —(n —1)n(n+ 1)].1相加，得 1 x 2+ 2x 3 + …+ n(n + 1) = §n(n+ 1) (n + 2).类比上述方法，请你计算“ 1 x 2x 3+ 2 x 3x 4+-+ n(n+ 1) (n + 2)”，其结果为_______________ .思维启迪根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证1解析类比已知条件得k(k+ 1)(k + 2) = yk(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) —(k—1)k(k+ 1)(k+ 2)],1 由此得1 x 2x 3= 4(1 x 2x 3x 4 —o x 1 x 2x 3),n(n + 1)(n + 2) = f[n(n + 1)(n + 2)(n + 3)- (n - 1)n(n + 1)(n + 2)]. 以上几个式子相加得： 1X 2X 3 + 2 X 3X 4+ - + n(n + 1)(n + 2)1=4"(n + 1)(n + 2)(n + 3). 答案 *n(n + 1)(n + 2)( n + 3)1•判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确 ( X ) (2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理 ( V ) (3) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(X )(4) “所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理,但其结论是错误的• ( V )2. 数列2,5,11,20,x,47,…中的x 等于 ()A.28B.32C.33D.27答案 B解析 5- 2= 3,11-5 = 6,20- 11 = 9, 推出 x - 20= 12,所以 x = 32. 3.观察下列各式：55=3 125,56= 15 625,57 = 78 125,…，则52 011的后四位数字为 ( )解析 55= 3 125,56= 15 625,57= 78 125,58= 390 625,59= 1 953 125，可得 59与 55 的后四位数字相同，…，由此可归纳出5叫4k 与5m (k € N *, m = 5,6,7,8)的后四位数字相同，又 2 011 = 4X 501 + 7,所以52 011与57后四位数字相同为 8125,故选D. 4.观察下列等式2 X 3X 4= 4(2X 3X 4X 5- 1 X 2X 3X 4), 3X 4X 5= X 4X 5X 6- 2X 3X 4X 5),A.3 125 答案 DB.5 625C.0 625D.8 1251 ⑸一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n = n(n € N +).( X ) 数)，则可以推测a = 35, b = 6. (V )12= 112-22=- 312— 22+ 32= 612— 22+ 32 — 42 = — 10照此规律，第n 个等式可为 _________ .答案 12— 22 + 32— 42+…+ (— 1)n +1n 2= (— 1)n +1 n n j 1解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第 n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(一1)n + 1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21,….设此数列为｛a n ｝，贝U a 2 — a 1= 2, a 3 — a 2= 3, a 4 — a 3= 4, a 5 — a 4= 5,…，a n — a nn n + 1—1= n ,各式相加得 a n — a 1 = 2+ 3 + 4 +…+ n ,即a n = 1 + 2 + 3+…+ n =2•所以第n 个等式5. 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,贝yS 4, S 8 — S 4, S 12—S 8, S 16 — S 12成等差数列.类比以上结论有设解析对于等比数列，通过类比，有等比数列｛b n ｝的前n 项积为T n ,贝U T 4 = a 1a 2a 3a 4, T 8 = a£2…a 8, T 12= a 1a 2…a 12,T 16= a£2 …a 16,因此T 4, Ti T 2,筈成等比数列基础巩固A 组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题12 — 22 + 32 — 42+ …+ (— 1)n +1 n 2= (— 1)n +1n n + 12等比数列｛b n ｝的前n 项积为T n ,则T 4, ,芸成等比数列.答案 T 8 T 4 T 12 T? 因此 T 8T 4 =a 5a 6a 7a 8T 12 T 8 =a 9a 1o ana 12,T^兀=a 13a 14a 15a 16,而T 4 ,T 8 T 12 T 16T 4‘ T 8 , T 12的公比为q 16,1.观察下列各式：a+ b= 1, a2+ b2= 3, a3+ b3= 4, a4+ b4= 7, a5+ b5= 11,…，贝V a10+ b10等于解析观察规律，归纳推理•从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10+b 10= 123.2•定义一种运算“ * ” ：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1*1=1 , (2) (n +1) *1= n*1+1，贝U n*1 等于 ( )A.nB.n +1C. n — 1D.n 2答案 A解析由(n + 1)*1 = n*1 + 1,得 n*1 = (n — 1)*1 + 1 = (n — 2)*1 + 2=…=1*1+ (n — 1). 又•/ 1*1=1 ,••• n*1 = n 3. 下列推理是归纳推理的是( )A. A , B 为定点，动点 P 满足|PA|+ |PB|= 2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B. 由a 1= 1, a n = 3n — 1，求出S, S 2, S 3,猜想出数列的前 n 项和S n 的表达式C. 由圆x 2 + y 2= r 2的面积n 2,猜想出椭圆冬+占=1的面积S = jaba b D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析从S 1, S 2, S 3猜想出数列的前n 项和S n ,是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳推理，故应选B.4. 已知△ ABC 中，/ A = 30° / B = 60° 求证：a<b. 证明：•••/ A = 30° / B = 60° , A< / B.• a<b ，其中，画线部分是演绎推理的 ( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论答案 B解析由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提A.28B.76 答案 CC.123D.199数列｛C n ｝是等比数列，且｛d n ｝也是等比数列，则 d n 的表达式应为()5.若数列｛a n ｝是等差数列, 则数列{b n }( b n = a 1+ a 2+…+n也)也为等差数列.类比这一性质可知,若正项A.d n =C 1+ C 2+・・・+CB. d n =C 1 C 2 …C n二 f2(X )= f(x x + 2)=x + 2x + 2x 3x + 4n — 1 d d2 d = ^n + a 1 — 2，即｛b n ｝为等差数列;若｛C n ｝是等比数列，则C i C 2…C n = c i q 1 + 2+ + (n -°=岀二d n =守C 1 C 2…C n = C 1 q~^~，即｛d n ｝为等比数列，故选 D. 二、填空题6.仔细观察下面O 和•的排列规律：o• oo • ooo • oooo • OOOOO •OOOOOO •……若依此规律继续下去，得到一系列的o 和•，那么在前120个o 和•中，•的个数是 ________ . 答案 14解析进行分组O ・|OO ・ |OOO ・ |OOOO ・ |OOOOO ・ |OOOOOO ・|……,n n + 3则前n 组两种圈的总数是 f(n)= 2 + 3+ 4+ •+ (n + 1) = 2—，易知 f(14) = 119, f(15) = 135,故 n = 14.7.若函数 f(x)= ------- (x>0)，且 f 1(x) = f(x)= ---- ，当 n € N *且 n > 2 时,f n (x)= f[f n - 1(x)]，则 f 3(x) = ____x ~H 2 x ~H 2 猜想f n (x)(n € N *)的表达式为 _________ . XX7x + 82n — 1 x + 2nxT f 1(x)=, f n (x)= f[f n — 1(x)]( n > 2),x + 2C.d n = n n nnc i + C 2 +…+ c nD.d n =址1 C 2 …C n答案解析若｛a n ｝是等差数列，则a i + a 2+••• + a n = na i +n n — 1 2 d ,--b n = a i +答案解析在三棱锥A — BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A — CD — B 且与AB 相交于点E ,则类比得到的结论是 _________解析易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等, 故 V E -BCD = BE = 0BCD 故 V E —ACD = EA = & ACD . 三、解答题9•已知等差数列｛a n ｝的公差d = 2，首项a i = 5. (1) 求数列｛a n ｝的前n 项和S n ；(2) 设 T n = n(2a n — 5)，求 S 1, S 2, S 3, S 4, S; T 1, T 2, T a , T 4, T 5，并归纳出 3 与 T n 的大小规律故 f n (x)=2n— 1 x + 28•在平面几何中，△ ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE ACEB = BC 把这个结论类比到空间:答案 BE = S ^ BCDEA S ^ ACD解(1)由于 a 1 = 5, d = 2,(2) T T n = n(2a n — 5) = n[2(2 n + 3) — 5] = 4n 2+ n. --T 1 = 5, T 2= 4 x 2?+ 2 = 18, T 3= 4x 32+ 3 = 39, T 4= 4X 42+ 4 = 68, T 5= 4X 52+ 5= 105. S 1= 5, S 2= 2 x (2 + 4) = 12, S 3= 3X (3 + 4)= 21, S 4= 4 x (4 + 4) = 32 , S 5= 5X (5 + 4) = 45. 由此可知S 1= T 1,当n > 2时，3<T n .归纳猜想：当n = 1时，S n = T n ；当n 》2, n € N 时，S n <T n .11110.在Rt △ ABC 中，AB 丄AC , AD 丄BC 于D ，求证：2= 2+ 2,那么在四面体 ABCD 中，类AD AB AC 比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解如图所示，由射影定理 AD 2= BD DC , AB 2= BD BC , AC 2= BC DC ,Si = 5n +n n — 12~x 2= n(n + 4).丄- 1AD 2=BD DCBC 2 _______ BC 2BD BC DC BC = AB 2 AC 2.B 组专项能力提升（时间：30分钟）1•给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：① “若 a , b € R ，贝U a — b = 0? a = b ” 类比推出“若 a , b € C ,贝U a — b = 0? a = b ”； ② “若 a , b , c , d € R ，则复数 a + bi = c + di? a = c , b = d ” 类比推出“若 a , b , c , d € Q ,贝U a + b 眨=c + d '2? a = c , b = d ”；③ 若“ a , b € R ，贝U a — b>0? a>b ”类比推出“若 a , b € C ,贝U a — b>0? a>b ” .其中类比结论正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3答案 C解析 ①②正确，③错误•因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小2•设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集若对于任意a , b € A ,有a b € A ,则称A 对运算封闭下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）又 BC 2= AB 2 + AC 2,1AB 2 + AC 2A^= AB 2 AC 21 1 A^+A^.猜想，四面体 ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE 丄平面BCD ,1111则走=届+ A^+时证明：如图，连接 BE 并延长交CD 于F ，连接AF. •/ AB 丄 AC ，AB 丄 AD , ••• AB 丄平面ACD. ••• AB 丄 AF.在 Rt A ABF 中，AE 丄 BF , • 1 _ 1 丄 1 …AE 2= AB2+AF 2.1 1 1在Rt A ACD 中，AF 丄CD , •洁=応+荷, 1 _ 1 1A E 2= A?+ A?*1 A D ^-C.有理数集D.无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭 3•平面内有n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为答案n 2 + n + 22解析 1条直线将平面分成1 + 1个区域；2条直线最多可将平面分成 1 + (1 + 2) = 4个区域；3条直线最多可将平面分成1 + (1 + 2+ 3) = 7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1+ (1 + 2+ 3n n + 1 n 2+ n + 2+ …+ n) = 1 + 一2一 = 一2 ------ 个区域•n + 2 * 4•数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ,已知a 1= 1, a n +1= J$(n € N ).证明： (1) 数列｛半｝是等比数列； (2) S n + 1 = 4a n .、n + 2证明 ⑴-a n + 1 = S n + 1 — S n , a n + 1 = ~n~S n , ••• (n + 2)S n = n(S n +1 — S n ), 即 nS n +1= 2(n + 1)S n .故 =2总，(小前提)n +1 n故為是以2为公比，1为首项的等比数列• (结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了 )S n + 1 S n — 1 ⑵由(1)可知 =4厂 (n > 2),n + 1 n — 1S n — 1 n — 1 + 2••• S n +1 = 4(n + 1) • = 4 - S n — 1 = 4a n (n 》2).(小前提)n — 1 n — 1 又■/a 2= 3S 1= 3, S 2= a 1 + a 2= 1 + 3 = 4= 4a 1, •••对于任意正整数n ,都有S n +1 = 4a n . (除数不等于零)四则(小前提) (结论)第13页第22页的导数，若方程f " (x)= 0有实数解x o ,则称点(x o , f(x o ))为函数y = f(x)的"拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f(x) = 3y 3 4 — 2x 5 + 3x — 12，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)= 3x 3 — *x 2+ 3x —12的对称中心;1 2 3 4 2 012⑵计算 fq 013)+ f(2 013) + f(2 013) + f(2 013)+^+ f(2 013).解 (1)f ' (x) = x 2 — x + 3, f " (x)= 2x — 1,1 由 f " (x) = 0,即 2x —1= 0,解得 x = ^.3 2 010 _f(2 013)+ f(2 013) = 2,4 2 3 4 2 012所以 f(2 013) + f(2 2 0131111£)= 3 x (夕3 -孑 1 2(2)2+3第23页11 5 1 由题中给出的结论，可知函数 f(x) = §x 3 — qx 2+ 3x —12的对称中心为(㊁,1).11 51 ⑵由(1)，知函数f(x) = §x 3— ^x2 + 3x —12的对称中心为(-,1),1 1所以 f(，+ x) + f (2 — x) = 2, 即 f(x) + f(1 — x)= 2. ,,1 2 012故 f(2 013)+ f(2 013)= 2, 2 2 011 _f(2 013)+ f(2 013) = 2,为 X 2 + 2X 3 .'3 3 + 3 + 2 .'3思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围•(2) 归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的(3) 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用跟麻训练(1)观察下列等式1= 12+ 3+ 4= 93 + 4+ 5+ 6 + 7= 254 + 5+ 6+ 7+ 8 + 9+ 10 = 49.2 012上 f(2 013)+ f( 1 2 013) = 2.-X 2 X 2 012= 2 012.2照此规律，第五个等式应为___________________________ .11 1 5 7⑵已知f(n)= 1 + 2+ 3+…+N*)，经计算得f(4)>2 ,f(8)>2，f(16)>3 , f(32)>?,则有答案(1)5 + 6+ 7+ 8 + 9 + 10+ 11+ 12+ 13= 81第24页。

人教版高中数学选修2-2学案：2.1.1合情推理(二)

2.1.1 合情推理 (二)【学习目标】1.联合已学过的数学实例，认识类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，领会并认识合情推理在数学发现中的作用.【新知自学】知识回首：1.归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的的推理，或许由的推理 .简言之，归纳推理是由的推理 .2.归纳推理的思想过程大概是：实验、察看归纳、推行猜想一般性结论.3.归纳推理的一般步骤：①经过察看个别状况发现某些同样的性质；②从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.新知梳理：问题 1：鲁班由带齿的草发明锯；人类模仿鱼类外形及沉浮原剪发明潜水艇；问题2：地球上有生命，火星与地球有很多相像点，如都是绕太阳运转、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节更改，温度也合适生物生计，科学家猜想：火星上有生命存在.以上都是类比思想，即类比推理.2.类比推理就是由两类对象拥有和其中简言之，类比推理是由，推出另一类对象也拥有这些特点的推理到.行3.和，而后提出的推理 .都是依据已有的事实，经过察看、剖析、比较、联想，再进的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获取的结论，只是是一种猜想，未必靠谱.对点练习：1.以下说法中正确的选项是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理D.类比推理是从特别到特别的推理2. 下边使用类比推理正确的选项是（）.A. “若 a 3b3,则a b ”类推出“若 a 0b0,则 a b ”B. “若(a b)c ac bc ”类推出“(a b)c ac bc ”C. “若 (a b)c aca b a b（ c≠0）”bc ”类推出“c ccna n n”类推出（“ ananbnD.（“ab）b b）3.类比等差数列的性质，写出等比数列的近似性质:等差数列a n等比数列bna1 a n n 1 dd a m a nm n若 m n p q ，m, n, p, q N *，则a m a n a p a q，S1a1 a2a n ,S2a n 1a n 2a2n , S3a2 n 1a2 n 2a3 n ,则 S1, S2 , S3也是等差数列4．三角形的面积为S 1(a b c) r ，a, b, c为2三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，获取四周体的体积为______________.【合作研究】典例精析：例 1. 类比实数的加法和乘法，列出它们相像的运算性质.类比实数的加法实数的乘法角度运算结果运算律逆运算单位元变式练习：找出圆与球的相像之处，并用圆的性质类比球的相关性质圆的观点和性质球的近似观点和性质.圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点 ( x0 , y0 ) 为圆心， r为半径的圆的方程为( x x0 )222 ( y y0 )r例 2. 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四周体性质的猜想.变式练习：用三角形的以下性质类比出四周体的相关性质.三角形四周体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为1S(a b c) r（ r 为三2角形内切圆的半径）规律总结：1．类比推理是由特别到特别的推理.2.类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相像性或一致性；②用一类事物的性质去推断另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3.合情推理仅是“符合情理”的推理，它获取的结论不必定真，但合情推理经常帮我们猜测和发现新的规律，为我们供给证明的思路和方法.【讲堂小结】【当堂达标】1.若数列 {a n} 是等差数列，关于1a n ) ，则数列b n也是等差数列 . 类比上b n(a1 a2n述性质，若数列 c n是各项都为正数的等比数列，关于 d n 0 ，则 d n=时，数列 d n也是等比数列.2.在ABC中，不等式1119建立；在四边形 ABCD中，不等式A B C111116建立；在五边形 ABCDE 中，不等式1 1 1 1125建立 .猜想，A B C D2ABCD E3在 n 边形 A1 A2A n中，有如何的不等式建立？3.如图，若射线 OM，ON上分别存在点M1,M2与点N1,N2，则三角形面积之比S OM1N1OM 1ON1.若不在同一平面内的射线，，点Q,Q和点OP OQ 上分别存在点 P , PSOM2N2OM 2ON21212R1, R2，则近似的结论是什么？【课时作业】1.线段 AB两端点的坐标为 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则线段AB的中点坐标为G (x1x2 ,y1y2),类比得：三角形ABC 三极点坐标为A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3 ) ，则三角22形 ABC的重心 G 的坐标为.2.在等差数列{ a n}中，若a100，则有a1a2a n a1a2a19 n (n 19,且n N * ) 建立。

2019-2020学年人教A版选修2-2 合情推理学案

合情推理[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用.知识点一推理的定义与结构形式1.定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识.2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫做结论.思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？(2)推理一般用哪些关联词？答案(1)不一定完全可靠.(2)推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为……所以……”“根据……可知……”“如果……那么……”“若……则……”.知识点二归纳推理与类比推理思考归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠. 知识点三合情推理1.合情推理的含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想思考由合情推理得到的结论可靠吗？答案一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.题型一归纳推理的应用例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝2，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式.解 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1,2，…)，∴a 1＝21，a 2＝21＋2＝23，a 3＝231＋23＝25，a 4＝251＋25＝27.由此发现分母依次为1,3,5,7，…，分子都是2. ∴归纳猜想得a n ＝22n －1(n ∈N *).反思与感悟求数列{a n }的通项公式的一般方法：(1)根据已知条件求出数列的前几项(有时题目已给出)，如a 1，a 2，a 3等；(2)通过这些项找出项与序号之间的一般规律，归纳出数列的一个通项公式.跟踪训练1 已知数列11×3，13×5，15×7，…，1(2n －1)(2n ＋1)(n ∈N *)的前n 项的和为S n .(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4；(2)猜想该数列的前n 项和S n 并证明. 解 (1)S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49.(2)猜想S n ＝n2n ＋1(n ∈N *).证明如下：∵1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1(n ∈N *). 题型二类比推理的应用例2 在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边AB ，BC 所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明.解如图(1)，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想若其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图(2)，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.反思与感悟类比推理是一种主观的不充分的推理，因此，要确认其猜想的正确性，还必须经过严格的逻辑论证.一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得到的命题就越可靠.类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性或相似性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.跟踪训练2 “若直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r ＝a 2＋b 22”.对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a ，b ，c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R ＝__________. 答案a 2＋b 2＋c 22解析由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.合情推理的应用归纳推理、类比推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；而类比推理则是通过某两类对象在对比中启发猜想结论.这些结论未必正确，要进一步验证(或证明)其正确性.例3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确.解f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数，∴归纳猜想：当n∈N*时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数.验证：当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41.∴f(40)是合数，∴由上面归纳推理得到的猜想不正确.1.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，….若 6＋a b ＝6a b(a ，b ∈R ), 则( )A.a ＝5，b ＝24B.a ＝6，b ＝24C.a ＝6，b ＝35D.a ＝5，b ＝35答案 C解析观察式子的特点可知，分式ab 的分子a 与根号外的数相同，而分母b 则为该数的平方减1.2.在数学解题中，常会碰到形如“x ＋y1－xy ”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设a ，b是非零实数，且满足a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan 8π15，则ba 等于( )A.4B.15C.2D. 3 答案 D解析将已知式变形，则有a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝a tan π5＋b a －b tan π5＝tan π5＋b a 1－b a tanπ5＝tan 8π15，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，可知只有当b a ＝tan π3＝3时，上式成立.3.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，类比有x ＋ax n ≥n＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析由类比推理可得x ＋a x n ＝...n x x n n ++个＋a xn ≥(n ＋1)·x n ·x n ·…·x n ·ax n ＝n ＋1，此时a ＝n n .4.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案1275.根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1；(2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(3)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a (n ∈N *).(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1， ∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *).1.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).2.类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想).一、选择题1.已知a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a33为()A.3B.－3C.6D.－6答案 A解析∵a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3, ∴周期T＝6，∴a33＝a3＝3.2.如图所示，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记其前n项和为S n，则S19等于()A.129B.172C.228D.283答案 D解析由组合数的性质，如数列1,3,3,4,6,5,10，…，其实是由组合数C22，C13，C23，C14，C24，C15，C25，…组成的.∴S19＝C22＋C13＋C23＋C14＋C24＋…＋C111＋C211＝C33＋C23＋C24＋…＋C211－C23＋C23＋C13＋C14＋…＋C111＝C312＋C212－3＝283.3.数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A.47B.65C.63D.128答案 B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.4.根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111 … A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 5.设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n 等于( )A.2cosθ2nB.2cosθ2n －1C.2cos θ2n ＋1D.2 sin θ2n答案 B解析方法一 ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝21＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n ＝2cosθ2n －1. 方法二验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.6.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ，类比这个结论可知：四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体ABCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.二、填空题7.已知数列{a n}满足条件(n－1)·a n＋1＝(n＋1)·a n－n－1，且a2＝6，设b n＝a n＋n(n∈N*)，则数列{b n}的通项公式b n＝________.答案2n2解析a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.可以通过求数列{a n}的通项公式来求数列{b n}的通项公式.我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；…，猜想a n＝n×(2n－1)，进而猜想b n＝2n2－n＋n＝2n2.8.将自然数按如下规则排列在平面直角坐标系中：①每一个自然数对应一个整点(横、纵坐标均为整数的点)；②0在原点，1在(0,1)，2在(1,1)，3在(1,0)，4在(1，－1)，5在(0，－1)，9在(－1,2)，…，所有自然数按顺序顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上且所有整点上均有自然数，则数字(2n＋1)2(n∈N*)的坐标为__________.答案(－n，n＋1)解析9的坐标为(－1,2)，且9＝(2×1＋1)2,25的坐标为(－2,3)，且25＝(2×2＋1)2,49的坐标为(－3,4)，且49＝(2×3＋1)2，…，所以(2n＋1)2的坐标为(－n，n＋1).9.如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是____________.12 34 6 5812107162420149324840281811…答案 3×2n －2n －3解析根据规律观察可得每排的第一个数1,2,4,8,16，…构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以第n 群的第一个数是2n －1，第n 群的第2个数是3×2n －2，…，第n 群的第n －1个数是(2n －3)×21，第n 群的第n 个数是(2n －1)×20，所以第n 群的所有数之和为2n －1＋3×2n－2＋…＋(2n －3)×21＋(2n －1)×20，根据错位相减法求和得其和为3×2n －2n －3.10.设f (x )＝12x ＋2.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________. 答案 3 2解析 ∵6－(－5)＝11，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)，共有12项.课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法是倒序相加法，即 ∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a n ＋a 1，令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1， ∴2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2.同理，∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2×2x ＝2＋2x2(2x ＋2)＝22. 令T n ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6)，则T n ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2T n ＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (6)＋f (－5)] ＝12×22＝6 2. ∴T n ＝3 2. 三、解答题11.在平面几何中，有这样一个命题：一边长为a 的正三角形内任意一点P 到三边的距离之和等于边长的32倍.请你用类比推理的方法，在立体几何中寻找一个类似的命题.解在棱长为a 的正四面体S －ABC 中，P 为正四面体内任意一点，连接P A ，PB ，PC ，PS (如图所示)，则正四面体被分割为四个小三棱锥P －ABC ，P －SAB ，P －SBC ，P －SCA ，设P 到四个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4.由于正四面体的四个面的面积相等，故V S －ABC ＝V P －ABC ＋V P －SAB ＋V P －SCA ＋V P －SBC＝13S △ABC (h 1＋h 2＋h 3＋h 4). 又S △ABC ＝34a 2，V S －ABC ＝212a 3， ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a . 故在立体几何中可得到的命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点P 到四个面的距离之和等于棱长的63倍. 12.如图所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系，并予以证明.(1)证明 ∵CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，∴CC 1⊥平面PMN .∴CC 1⊥MN .(2)解在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1 cos x ，其中x 为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角.∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP .在△PMN 中，PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP .∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP . ∵SBCC 1B 1＝PN ·C 1C ，SACC 1A 1＝MN ·CC 1，SABB 1A 1＝PM ·BB 1，∴S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1 cos x .13.(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).(1)证明设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a ). 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)解－(a 2＋b 2).。

2019-2020学年高中人教A版数学选修2-2学案：2.1.1 合情推理含解析

同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案,气象专家怎样预测天气,数学家怎样论证命题的真伪吗?这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯。

2.1 合情推理与演绎推理2。

1。

1 合情推理Q错误!错误!《内经·针刺篇》记载了这样一个故事:有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾,出了一点血，但头不疼了．当时他没有注意．后来头疼复发,又偶然碰破同一脚趾,头疼又好了．这次引起了他的注意，以后每次头疼时,他就有意刺破该处,都有效应(这个樵夫碰的地方,即现在所称的“大敦穴"）．现在我们要问,为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎样的数学知识呢？X错误!错误!1．归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2。

合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程错误!→错误!→错误!→错误!Y错误!错误!1．(2019·周口期末)下列表述正确的是( A ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理;③类比推理是由特殊到一般的推理；④演绎推理是由一般到特殊的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①④⑤B．②③④C．②③⑤D．①⑤［解析] 根据题意，归纳推理,就是由部分到整体的推理．故①对②错；由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故④对；类比推理是由特殊到特殊的推理．故⑤对③错，则正确的是①④⑤，故选A．2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯"开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了（ B ）A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．3．等差数列｛a n｝中，a n>0,公差d〉0，则有a4·a6〉a3·a7，类比上述性质，在等比数列｛b n｝中，若b n>0，q〉1，写出b5，b7,b4，b8的一个不等关系b4＋b8〉b5＋b7.[解析］将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.［解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方,个数也依次加1,因此,第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2.H错误!错误!命题方向1 ⇨归纳推理典例1 已知下列等式成立：错误!＝错误!，错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!，……，试根据以上几个等式，归纳出一个一般性结论，用等式表示，并用数列中的方法加以证明．［思路分析] 分析给出的各个等式左边的项数，各项的分母的取值特点,分析等号右边的结果与项数的关系,从而写出一般性的结果．[解析］从给出的各个等式可以看出：第1个等式左边有1项,右边为错误!，第2个等式左边有2项，右边为错误!，第3个等式左边有3项,右边为错误!，第4个等式左边有4项，右边为错误!，由此可以归纳出的一般性的结论为错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!(n∈N*）．以下用数列的方法证明该等式成立．错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!（错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!）＝错误!（错误!－错误!）＝错误!。

人教A版高中数学高二版选修2-2学案合情推理(1) 归纳推理

高二数学科学案课题：第二章推理与证明§2.1.1 合情推理（1）——归纳推理【学习目标】1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.【学习难点】利用归纳法进行简单的推理【课题导入】在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯；（3）张三今天没来上课，推断张三一定生病了。

像这样，根据一个或几个已经的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理。

推理是人们思维活动的过程，那么本节我们就来学习一种常用的推理思维方法——归纳推理。

【问题导学】预读教材第70—72页有关内容回答下列问题：1.哥德巴赫猜想：6=3+3,8=5+3，10=5+5,12=5+7，14=7+7,16=5+11，……，1002=139+863，……，猜想：2.由铜、铁、铝、金、银能导电，推导出：3.从结构上说，推理一般分推理的前提和结论两部分，前提结论。

如何理解前提、结论这两个概念。

4.体会“归纳推理”的思想方法，并叙述“归纳推理”，并总结出归纳推理的一般模式和一般步骤。

归纳推理的定义：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.归纳推理的一般模式：归纳推理的一般步骤：5.归纳推理的结论一定是真的吗？【实践演练】观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24， 1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？【基础练习】1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（）. A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数3..已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（）.A.4()22x f x =+B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+4. 三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内和是5400，试猜想凸n 边形的内角和5.,333232,232232,131232++<++<++<由此我们可猜想 6.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.7. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ .8.平面中有n 个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成()n f 块区域，有()21=f ，()42=f ，()83=f ，……，则()n f 的表达式是___________.9. 写出下列推理的前提的结论（1）对顶角相等；（2）,,c b b a ⊥⊥则c a ⊥；（3）张三和李四是同学，李四和王五是同学，我们说张三和王五是同学。

新人教A版高中数学(选修2-2)2.1《合情推理与演绎推理》word学案

课题:合情推理（一）时间：2010.03●学习目标：知识与技能：（1）了解归纳推理的含义（2）掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

过程与方法：由部分到整体，由个别到一般，通过“自主、合作与探究”掌握归纳推理的方法和步骤，实现“一切以学生为中心”的理念。

（3）情感态度、价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

●学习重点：归纳推理及方法的总结。

●学习难点：归纳推理的含义及其具体应用。

●教具准备：辅助课件 ●学习过程：一.问题情境 (1)原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。

世界近代三大数学难题之一。

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。

欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.1.2演绎推理

2．1.2演绎推理[目标] 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．[重点] 演绎推理的含义及三段论推理模式的应用．[难点] 三段论模式及其应用．知识点演绎推理[填一填]1．演绎推理的含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．演绎推理的一般模式三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提：已知的一般原理；小前提：所研究的特殊情况；结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．“三段论”的常用格式大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.[答一答]1．阅读下面的材料：(1)自然数都是整数，因为3是自然数，所以3是整数．(2)一次函数是单调函数，y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数．回答下列问题：(1)上面推理的共同特点是什么？(2)材料(1)(2)中的推理形式是否满足“三段论”？(3)演绎推理的结论一定正确吗？提示：(1)都是由一般到特殊的推理．(2)此推理形式满足“三段论”．(3)演绎推理的结论不会超出前提所界定范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．2．如何区别演绎推理与合情推理？提示：(1)演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理．(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．1．“三段论”的理解(1)三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．(2)三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式(即S与M的包含关系)是否正确．注意：运用三段论推理时，常可省略大前提或小前提，对于复杂的证明，也常把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．2．合情推理与演绎推理的区别与联系(1)合情推理的特点是从特殊到一般，结论不一定正确；演绎推理的特点是从一般到特殊，只要前提和推理形式正确，结论一定正确．(2)在认识世界的过程中，合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的，二者相辅相成，紧密联系．类型一把演绎推理写成三段论【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的底角，则A＝B；(3)通项公式a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列；(4)函数f(x)＝x3是奇函数．【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①明确每一个题的大前提、小前提、结论；②每个题都能用三段论的形式表述．解答本题可先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再利用三段论形式写出来．【解】(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分．(结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)A，B是等腰三角形的底角，(小前提)A＝B.(结论)(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，(大前提)通项公式a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式a n＝2n＋3表示的数列{a n}为等差数列．(结论)(4)对于定义域关于原点对称的函数f(x)，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，(大前提)函数f(x)＝x3的定义域关于原点对称，f(－x) ＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，(小前提)所以函数f(x)＝x3是奇函数．(结论)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提.有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提同时省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)三角形内角和都为180°，所以等边三角形的内角和为180°；(2)两直线平行，同位角相等，如果A和B是两平行直线的同位角，那么A＝B.解：(1)每一个三角形的内角和都为180°，(大前提)等边三角形是三角形，(小前提)所以，等边三角形内角和为180°.(结论)(2)两直线平行，同位角相等，(大前提)A和B是两平行直线的同位角，(小前提)所以，A＝B.(结论)类型二判断演绎推理的正确性【例2】指出下面推理中的错误：(1)常函数的导函数为0，(大前提)函数f(x)的导函数为0，(小前提)f(x)为常函数．(结论)(2)中国的大学分布在中国各地，(大前提)北京大学是中国的大学，(小前提)所以，北京大学分布在中国各地. (结论)【解】(1)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(2)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而在小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误，得到错误的结论．(1)做此类题目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正确，即M是P，S是M，S是P.(2)三段论的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”．简言之，“全体概括个体”，M、P、S三个概念之间的包含关系表现为：如果概念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概念S(如下图①)；如果概念P排斥概念M，则必排斥M中的任一概念S(如下图②)．弄清以上道理，才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误．因为指数函数y ＝a x 是增函数，(大前提)而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是指数函数，(小前提) 所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是增函数．(结论) (1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？解：(1)上述推理的形式正确，但大前提是错误的；(2)推理的结论错误，这是因为指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数，所以所得到的结论是错误的．类型三用三段论证明数学问题【例3】梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角．已知：在梯形ABCD 中(如右图)，AB ＝DC ＝AD ，AC 和BD 是它的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .【证明】 (1)等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，DA 、DC 是两腰，(小前提)∠1＝∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角，(小前提)∠1＝∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)∠2和∠3都等于∠1，(小前提)∠2＝∠3，(结论)即AC平分∠BCD.(4)同理，DB平分∠CBA.这个证明中如果把(4)也详细地写出，则一共通过六次三段论的形式．因此一个命题的证明形式，确切地常叫做复合三段论的形式，或说命题的推证方法是复合三段论法，但是事实上，每一次三段论的大前提并不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也就不再写出了．如例3的证明可写成：∵DA＝DC(省略了大前提)，∴∠1＝∠2.∵AD∥BC，且被AC截得的内错角为∠1和∠3(省略大前提)，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD(省略大前提，小前提)．同理可证DB平分∠CBA.这样，一般地在推证命题时所采用的这种表达的方法，就叫做简化的复合三段论法．用三段论证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．证明：任取x1、x2∈(－∞，1]，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝(－x21＋2x1)－(－x22＋2x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)．因为x1<x2，所以x2－x1>0.因为x1、x2≤1，x1≠x2，所以x2＋x1－2<0.因此f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．于是根据“三段论”，得f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．“三段论”中大(或小)前提用错演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．【例4】用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)自然数是整数，所以6是整数；(2)y＝sin x(x∈R)是周期函数．【错解】(1)自然数是整数，(大前提)6是整数，(小前提)所以6是自然数．(结论)(2)函数是周期函数，(大前提)y＝sin x(x∈R)是函数，(小前提)所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)【错因分析】(1)推理形式错误．M是“自然数”，P是“整数”，S是“6”，故按规则“6”应是自然数(M)(此时的小前提错误)，推理形式不对．(2)推理形式正确，但大前提错误，M是函数改为M为三角函数即可．【正解】(1)自然数是整数，(大前提)6是自然数，(小前提)所以6是整数．(结论)(2)三角函数是周期函数，(大前提)y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)下列推理是否正确，将有错误的指出其错误之处．(1)已知2和3是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题意知2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证a2＋b2＝c2.证明：∵a＝c sin A，b＝c cos A，∴a2＋b2＝c2sin2A＋c2cos2A＝c2(sin2A ＋cos2A)＝c2.解：(1)使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此结论的真实性仍无法断定．(2)本题的论题就是我们熟知的勾股定理，证明中用了“sin2A＋cos2A＝1”这个公式，按照现行中学教材的系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证的命题作为证明的论据，犯了循环论证的错误．1．“因为我们是共青团员，所以我们要在学习和工作中起带头作用．”它的大前提是(C)A．我们是共青团员B．我们在学习和工作中起带头作用C．共青团员应在学习和工作中起带头作用D．以上都不是2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(C)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．故选C.3．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形，结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是矩形的对角线相等．解析：由“三段论”的一般模式，可知应补充的大前提是：矩形的对角线相等．4．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为m<n.解析：当0<a<1时，函数f(x)＝a x为减函数，(大前提)a＝5－12∈(0,1)，(小前提)所以函数f(x)＝(5－12)x为减函数．(结论)故由f(m)>f(n)，得m<n.5．用三段论证明通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}为等差数列．证明：若数列{a n}满足a n＋1－a n＝d(常数)，则数列{a n}是等差数列，(大前提)通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}，满足a n＋1－a n＝a1＋nd －a1－(n－1)d＝d，(小前提)所以通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}是等差数列．(结论)。

高中数学 2.1.1合情推理学案新人教A版选修2-2

2．1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．用归纳和类比进行推理，作出猜想．基础梳理1．归纳推理由于某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．2．类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．想一想：(1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？(2)根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．1 111 110B．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113(3)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________．(1)解析：归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然性的，而是偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，也不一定可靠，因此也不一定正确．(2)解析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111.故选B. 答案：B(3)分析：从方法的类比入手．解析：原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12×ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是高的14.答案：正四面体的内切球半径是高的14自测自评1．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为(A ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6解析：a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，…，故{a n }以6个项为周期循环出现，a 33＝a 3＝3.2．由“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”得到“若a ＞b ，则ac ＞bc ”采用的是(C ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．数学证明解析：由加法类比乘法． 3．设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2－1）x ＋2．基础巩固1．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(D )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等A ．①B ．③C ．①②D ．①②③2．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为(D )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1253．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝(D )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：归纳所给出的导函数知，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，根据这一规律可知，f (x )为偶函数，其导函数g (x )必为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．4．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列几式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x4≥3，……，类比有x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝_______________．解析：根据已知等式类比可得a ＝n n. 答案： n n能力提升5．已知对正数a 和b ，有下列命题： ①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤(B ) A ．2 B.92C ．4D ．56．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的直线方程为(A )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zca＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1 7．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于(B ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27解析：5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9推出x －20＝12，x ＝32.故选B. 8．(2014·高考陕西卷)观察分析下表中的数据：解析：①三棱锥：F ＝5，V ＝6，E ＝9，得F ＋V －E ＝5＋6－9＝2； ②五棱锥：F ＝6，V ＝6，E ＝10，得F ＋V －E ＝6＋6－10＝2； ③立方体：F ＝6，V ＝8，E ＝12，得F ＋V －E ＝6＋8－12＝2；所以归纳猜想一般凸多面体中，F ，V ，E 所满足的等式是：F ＋V －E ＝2，故答案为F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝29．点P 是三角形ABC 内切圆的圆心，半径是r ，三角形ABC 的面积是12(AB ＋BC ＋CA )r .类比写出三棱锥S ABC 的一个相似的结论．解析：假设点P 是三棱锥SABC 内切球的球心，半径是R ，则三棱锥SABC 体积是13(S △SAB ＋S △SBC ＋S △SCA ＋S △ABC )R . 10．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n 条直线最多有多少个交点．解析：设直线条数为n ，最多交点个数为f (n )，则f (2)＝1， f (3)＝3＝1＋2， f (4)＝6＝1＋2＋3， f (5)＝10＝1＋2＋3＋4， f (6)＝15＝1＋2＋3＋4＋5，……由此可以归纳出，n 条直线交点个数最多为f (n )＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2.。

新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案

高中数学教案选修全套【选修2-2教案｜全套】目录目录 (I)第一章导数及其应用 (1)§1.1.1变化率问题 (1)导数与导函数的概念 (4)§1.1.2导数的概念 (6)§1.1.3导数的几何意义 (9)§1.2.1几个常用函数的导数 (13)§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16)§1.2.2复合函数的求导法则 (20)§1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (23)§1.3.2函数的极值与导数（2课时） (28)§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (32)§1.4生活中的优化问题举例（2课时） (35)§1.5.3定积分的概念 (39)第二章推理与证明 (43)合情推理 (43)类比推理 (46)演绎推理 (49)推理案例赏识 (51)直接证明--综合法与分析法 (53)间接证明--反证法 (55)数学归纳法 (57)第3章数系的扩充与复数的引入 (69)§3.1数系的扩充和复数的概念 (69)§3.1.1数系的扩充和复数的概念 (69)§3.1.2复数的几何意义 (72)§3.2复数代数形式的四则运算 (75)§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (75)§3.2.2复数代数形式的乘除运算 (79)第一章导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

人教A版高中数学高二版选修2-2学案合情推理(2) 类比推理、合情推理

高二数学科学案§2.1.1 合情推理（2）——类比推理、合情推理【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识类比推理在数学发现中的作用【学习难点】利用归纳法进行间接的类比推理【问题导学】预读教材第71—77页有关内容回答下列问题：1.试将平面上的圆与空间的球进行类比，填写教材表格提示：圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合球的定义：对应的类比圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积2.什么是类比推理？其基本步骤是什么？3.类比推理的特点以及类比的原则是什么？4.类比推理的结论一定正确吗？5.什么叫做合情推理，用框图的形式将合情推理的过程写出来。

并叙述合情推理在数学中的作用。

【实践演练】用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.【基础练习】1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是类比推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()bc ac c b a -=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“cb c a c b a +=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）3.三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,21⋅++=为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A 、abc V 31=B 、Sh V 31= C 、()r S S S S V 432131+++= （4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）D 、)(,)(31为四面体的高h h ac bc ab V ++=. 4.判断下列推理那些是合情推理，那些是不合情推理：（1）c b b a //,//，则c a //；（2）c b c a ⊥⊥,，则c a ⊥（3）三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形的内角和为540°；（4）今天星期日，七天之后也是星期日5.在等差数列{}n a 中，若010=a 有等式n n a a a a a a -+++=+++192121 ()*,19N n n ∈<成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有什么等式成立？注意阅读导学方案中的“点拨”体会推理的特征。

人教A版选修2-2 2.1.1 合情推理与演绎推理学案

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1 观察如图所示的“三角数阵” 1............第1行 2 2............第2行 3 4 3............第3行 4 7 7 4............第4行 5 1114115 (5)…………记第n (n ＞1)行的第2个数为a n (n ≥2，n ∈N *)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________； (2)依次写出a 2、a 3、a 4、a 5； (3)归纳出a n ＋1与a n 的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数． (1)6,16,25,25,16,6(2)a 2＝2，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝11(3)∵a 3＝a 2＋2，a 4＝a 3＋3，a 5＝a 4＋4 由此归纳：a n ＋1＝a n ＋n .规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1； (2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(3)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1，a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a3－2a， a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a .猜想a n ＝n －1－n －2an －n －1a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．要点二类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三平面图形与空间图形的类比例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案 C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是( )A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案 B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案 A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．答案n 2－n ＋62解析前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________．答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )A．47 B．65C．63 D．128答案 B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65. 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.3．设0<θ<π2，已知a1＝2cos θ，a n＋1＝2＋a n，猜想a n＝( )A．2cos θ2nB．2cosθ2n－1C．2cos θ2n＋1D．2 sinθ2n答案 B解析法一∵a1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋a 2＝21＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n ＝2cosθ2n －1. 法二验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心答案 D解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________．答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”．证明设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ，由PC ⊥PA ，PC ⊥PB 得PC ⊥面PAB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α，cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h PA ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16PA ·PB ·PC ＝13⎝ ⎛12PA ·PB cos α＋12PB ·⎭⎪⎫PC cos β＋12PC ·PA cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos αPC ＋cos βPA ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2013·陕西)观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n 个等式可为________．答案 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝－1n ＋12n (n ＋1)解析分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n n ＋12.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n n －12＋n 2＝n n ＋12.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝－1n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sinα)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新 13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。

人教版高中数学选修2-2教案：2.1.1合情推理

普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]2.1.1合情推理教学目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学过程一、引入新课1归纳推理(一)什么是归纳推理归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。

归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。

也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。

拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。

由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。

”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。

这里就有着归纳推理的运用。

(二)归纳推理与演绎推理的区别和联系归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。

其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。

一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。

而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。

也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。

人教新课标版数学高二-人教A版选修2-2学案综合法

打印版高二数学学科学案课题：综合法【学习目标】了解直接证明的基本方法——综合法，了解综合法的思考过程和特点；能证明数学问题。

【学习重点】学会用综合法证明数学问题【学习难点】学会用综合法证明数学问题【学习指导】1.对于任意实数,a b ，如何证明：222a b ab +≥2.回顾基本不等式：2a b +≥ (0,0)a b >> 3.写出正弦定理、余弦定理公式：【自主学习】预习教材85-86页的有关内容回答下列问题1.已知a ＞0，b ＞0，如何证明不等式2222()()4a b c b a c abc +++≥，证明过程中用了哪些知识点？2.什么是综合法？用框图表示综合法。

【实践演练】典型例题看课本例1.例2，例3。

基础练习1. 已知,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂，若,αβ为异面直线，则（）.A ． a 、b 都与相交B ． a 、b 中至少一条与相交C ． a 、b 中至多有一条与相交D ． a 、b 都与相交2.已知a b ==+ ，则 a 与 b 的大小关系是（）.A. a< bB. a= bC. a> bD. 无法判定3. 设 x,y 为正数, 则14()()x y x y++的最小值为（）. A. 8 B.9 C.12 D.154.求证：对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=。

·打印版5.已知A ，B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：4A B π+=。

拓展提升6.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证:3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>7.如图，PD ABC ⊥平面，AC BC =，D 为AB 的中点，求证：AB PC ⊥。

小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.DC B AP。

高中数学人教A版选修2-2《合情推理》word学案

与球心距离相等的两截面圆面积相等；与球心距离不等的两截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大。
以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x -x0)2＋(y-y0)2=r2
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径的q球面的方程为
(x-x0)2＋(y-y0)2+(z-z0)2=r2
例4、已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO 、 CO并延长交对边于A′,
【总结提升】
【拓展﹒延伸】
1、数列中，，试推测出数列的通项公式
解：
结论：F+V-E=2
回顾知识
了解新知
引入新知
点推到线，线推到面，长度关系推到面积关系。
由平面推到空间
一、预习问题：
1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?
2、合情推理的主要形式有和.
3、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式
特点是:
4、类比推理是从推出另一类对象的一种推理模式。
特点是 :
【自主合作探究】
课堂引入：
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
由书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？
类比推理的特征是什么？：
由特殊到特殊的推理
例2、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：
(1)a=ba+c=b+c a>ba+c>b+c
(2)a=bac=bc a>b,c>0ac>bc
(3)a=ba2=b2a>b>0a2>b2
问：这样猜想出的结论是否一定正确？为什么？
探究三
例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

人教版高中数学选修2-2学案：第二章2.12.1.1合情推理

合情推理与演绎推理2．1.1合情推理预习课本P70～ 77，思虑并达成以下问题(1)概括推理的含义是什么？有如何的特色？(2)类比推理的含义是什么？有如何的特色？(3)合情推理的含义是什么？[新知初探 ]1．概括推理和类比推理[点睛 ](1) 概括推理与类比推理的共同点：都是从详细事实出发，推测猜想新的结论．(2)概括推理的前提和结论之间的联系不是必定的，结论不必定正确；而类比推理的结果拥有猜想性，不必定靠谱，所以不必定正确．2．合情推理[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从整体中抽取样本，而后用样本预计整体，这类预计属于概括推理． ()(2)类比推理获得的结论能够作为定理应用．()(3) 由个到一般的推理推理．()答案： (1) √ (2) × (3) √2．由“若 a＞ b， a＋ c＞ b＋ c”获得“若 a＞ b， ac＞ bc”采纳的是 ()A．推理B．演推理C．比推理D．数学明答案：C3．数列 5,9,17,33， x，⋯中的 x 等于 ________．答案： 65推理在数、式中的用[典例 ] (1) 察以下各式：a＋ b＝ 1， a2＋ b2＝ 3， a3＋ b3＝ 4， a4＋ b4＝ 7， a5＋ b5＝ 11，⋯， a10＋ b10＝ () A． 28B． 76C． 123D． 199(2)已知 f(x)＝x， f1(x)＝ f( x)， f n(x)＝ f n－1 (f n－1(x))(n＞ 1，且 n∈ N* )， f 3(x)的表1－x达式 ________，猜想 f n(x)(n∈ N* )的表达式 ________．[分析 ] (1) 利用法： a＋ b＝ 1，a2＋ b2＝ 3，a3＋ b3＝ 3＋ 1＝ 4，a4＋ b4＝ 4＋ 3＝ 7，a5＋b5＝ 7＋ 4＝ 11， a6＋ b6＝ 11＋ 7＝ 18， a7＋ b7＝ 18＋ 11＝ 29， a8＋ b8＝ 29＋ 18＝ 47， a9＋ b9＝ 47＋ 29＝ 76， a10＋ b10＝76＋ 47＝ 123，律从第三开始，其果前两果的和．(2) ∵ f(x)＝x，∴ f1( x)＝x.1－ x1－ x又∵ f n(x)＝ f n－1(f n－1(x))，x∴ f2 (x)＝ f1(f1(x)) ＝1－ x＝x，x1－ 2x1－1－ xxf3(x)＝ f2(f2(x)) ＝1－ 2x＝x，x－1－2×14x1－ 2xxf4(x)＝ f3(f3(x)) ＝1－ 4x＝x，x－1－4×18x1－ 4xxf 5(x)＝ f 4(f 4(x)) ＝1－ 8x＝ x，x1－ 16x1－8×1－ 8xx∴ 依据前几能够猜想f n ( x)＝n － 1 .1－2x[答案 ] (1)C(2)f 3(x)＝x f n (x)＝x1－ 4x n －1x1－ 21．已知等式或不等式行推理的方法(1) 要特注意所几个等式 (或不等式 )中数和次数等方面的化律； (2) 要特注意所几个等式 (或不等式 )中构形式的特色； (3) 提出等式 (或不等式 )的合特色；(4) 运用推理得出一般．2．数列中的推理在数列中，经常用到推理猜数列的通公式或前n 和．(1) 通已知条件求出数列的前几或前n 和；(2) 依据数列中的前几或前 n 和与序号之的关系求解；(3) 运用推理写出数列的通公式或前n 和公式．[活学活用 ]1．察以下等式：sinπ － 2 2π －2 43＋ sin3 ＝ ××；31 2sinπ － 2＋ sin2π－2＋ sin3π－2＋ sin4π－2＝4×2×3；5 55 53sinπ － 2 2π －2＋ sin 3π－ 2＋ ⋯＋ sin 6π－ 2 47 ＋ sin7 7 7 ＝ ×3×4；3 sinπ － 2 2π －2 ＋ sin 3π－ 2＋ ⋯＋ sin 8π－ 2 49＋ sin9 9 9＝ ××；3 4 5⋯⋯照此律，sinπ－2＋ sin2π － 2＋ sin 3π －2＋ ⋯ ＋ sin 2n π－2＝ ________.2n ＋ 12n ＋ 12n ＋ 1 2n ＋ 1分析：通察已出等式的特色，可知等式右的4是个固定数， 4后边第一个数是33等式左最后一个数括号内角度分子中π的系数的一半，4后边第二个数是第一个数的下3一个自然数，所以，所求果443×n ×(n ＋1)，即 3n(n ＋ 1)．4答案： 3n( n ＋ 1)2．已知数列 {a n }的前 n 和 S n ，a 1＝ 3，足 S n ＝ 6－ 2a n ＋ 1(n ∈ N * )．(1) 求 a 2，a 3， a 4 的．(2) 猜想 a n 的表达式．解： (1)因 a 1＝ 3，且 S n ＝ 6－2a n ＋1 (n ∈ N * )，3所以 S 1＝ 6－ 2a 2＝ a 1＝ 3，解得 a 2＝ 2，又 S 2＝ 6－ 2a 3 ＝a 1＋ a 2＝ 3＋ 3，解得 a 3＝ 3，2 43 3又 S 3＝ 6－ 2a 4 ＝a 1＋ a 2＋ a 3＝ 3＋ 2＋ 4，3解得 a 4＝ 8.(2) 由 (1)知 a 133 33 3，＝ 3＝ 0， a 2＝＝ 1， a 3＝＝ 22 2 2 4 23 33 *a 4＝＝3＝ n － 1(n ∈ N ).82 ， ⋯ ，猜想 a n2推理在几何中的用[典例 ] 有两栽花色的正六形地面，按下的律拼成若干个案，第六个案中有菱形的正六形的个数是( )A ． 26B ．31C ． 32D ． 36[分析 ] 有菱形的正六形个数以下表：案1 2 3 ⋯个数61116⋯由表能够看出有菱形的正六形的个数挨次成一个以差数列，所以第六个案中有菱形的正六形的个数是[] B6 首，以 5 公差的等6＋ 5×(6－ 1)＝ 31.故 B.利用推理解决几何的两个策略(1) 通公式法：数清所形中研究象的个数，列成数列，察所得数列的前几，商讨其变化规律，概括猜想通项公式．(2)递推公式法：研究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数当作数列，列出递推公式，再求通项公式．[活学活用 ]1．用火柴棒摆“金鱼”，以下图：依据上边的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A． 6n－ 2B． 8n－2C． 6n＋ 2D． 8n＋ 2分析：选 C概括“金鱼”图形的构成规律知，后边“金鱼”都比它前方的“金鱼”多了去掉尾巴后 6 根火柴构成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是 6 的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n＝ 6n＋ 2.2． (陕西高考)察看剖析下表中的数据：多面体面数 (F)三棱柱5极点数6(V )棱数9(E )五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中 F ， V， E 所知足的等式是________．分析：三棱柱中 5＋ 6－ 9＝ 2；五棱锥中 6＋ 6－ 10＝ 2；立方体中 6＋ 8－ 12＝ 2，由此概括可得 F＋V－E＝2.答案： F＋V－E＝2类比推理的应用[典例 ] 以下图，在△ ABC 中，射影定理可表示为 a=b·cos C+c·cos B，此中 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四周体性质的猜想．[解 ] 以下图，在四周体 P- ABC 中， S1，S2， S3， S 分别表示△ PAB，△ PBC，△ PCA ，△ ABC 的面积，α，β ，γ 挨次表示平面 PAB，平面PBC ，平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．我猜想射影定理比推理到三空，其表形式S=S1· cos α +S2· cos β+S3· cos γ .1．比推理的步(1)找出两象之能够切实表述的相像性(或一致性 )．(2)用一象的性去推另一象的性，进而得出一个猜想．(3)个猜想．2．平面形与空形比方下平面形空形点面球三角形四周体角二面角面周表面面体⋯⋯[活学活用 ]11．在△ ABC 中， D BC 的中点，AD ＝2( AB +AC)，将命比到四周体中去，获得一个命：______________________________________.分析：平面中段的中点比到空四周体中面的重心，点与中点的比点和重心的．答案：在四周体 A-BCD 中， G 是△ BCD 的重心，AG―→＝13( AB + AC + AD )2．在 Rt △ ABC 中，若∠ C＝ 90°， cos2A＋ cos2B＝ 1，在空中，出四周体性的猜想．解：如，在Rt △ABC 中，22b 2 a 2＝a2＋ b2＋c2＝ 1.cosA＋ cos B＝c c于是把结论类比到四周体P-A′B′C′中，我们猜想，三棱锥 P-A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，222PB′C′， PC′A′两两相互垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cosα＋ cos β＋ cos γ＝1.层级一学业水平达标1．察看图形规律，在其右下角的空格内画上适合的图形为()A. C.B．△D．○分析：选A察看可发现规律：① 每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，② 每行、每列有两暗影一空白，即得结果．2．下边几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，概括出全部三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的全部椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是 540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n－ 2) ·180°(n∈N *，且n≥3)．A．①②B．①③④C．①②④D．②④分析：选 C① 是类比推理；②④ 是概括推理，∴①②④ 都是合情推理．3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶ 2，则它们的面积比为1∶ 4，近似地，在空间内，若两个正四周体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积比为() A． 1∶2B．1∶ 4C． 1∶8D． 1∶ 16分析：选 C由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比建立方关系，故若两个正四周体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积之比为 1∶ 8.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可推出以下空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一平面的两个平面相互平行，则其中正确的结论是()A．①②B．②③C．③④D．①④分析：选B依据立体几何中线面之间的地点关系及有关定理知，②③ 是正确的结论．5．察看以下各等式：2 ＋ 6＝2，5＋3＝2，7＋1＝2，10＋－ 2－2－4 2－4 6－ 45－4 3－ 47－ 4 1－410－ 4＝ 2，依据以上各式建立的律，获得一般性的等式()A.n＋8－n＝ 2 n－4 (8－ n)－ 4B.n＋1＋(n＋1)＋5＝2 (n＋1)－ 4(n＋ 1)－ 4C.n＋n＋4＝ 2 n－4 (n＋ 4)－ 4n＋ 1n＋ 5＋＝ 2D.(n＋1)－ 4(n＋ 5)－ 4分析： A察：每个等式的右均2，左是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子同样，减数都是4，所以只有 A 正确．6．察以下等式1＝ 12＋3＋4＝93＋4＋ 5＋ 6＋ 7＝ 254＋ 5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49照此律，第n 个等式 ________．分析：察所等式，等式左第一个加数与行数同样，加数的个数2n－ 1，故第 n 行等式左的数挨次是n， n＋ 1， n＋ 2，⋯， (3n－2) ；每一个等式右的数等式左加数个数的平方，进而第n 个等式 n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)2.答案： n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)27．我知道：周必定的全部矩形中，正方形的面最大；周必定的全部矩形与中，的面最大，将些比到空，能够获得的是 _______________________ ．分析：平面形与立体形的比：周→ 表面，正方形→ 正方体，面→ 体，矩形→ 方体，→ 球．答案：表面必定的全部方体中，正方体的体最大；表面必定的全部方体和球中，球的体最大8．如 (甲 )是第七届国数学教育大会(称 ICME － 7)的会徽案，会徽的主体案是由如 (乙 )的一串直角三角形演化而成的，此中OA1＝A1A2＝ A2 A3＝⋯＝ A7 A8＝ 1，如果把 (乙 )中的直角三角形依此律作下去，OA1，OA2，⋯， OA n，⋯的度构成数列 {a n}，此数列 {a n}的通公式a n＝ __________.分析：依据 OA 1＝ A 1A 2＝ A 2A 3＝ ⋯ ＝ A 7 A 8＝ 1 和 (乙 )中的各直角三角形，由勾股定理，可得 a 1＝ OA 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ OA 2 ＝ OA 21＋ A 1A 22 ＝12＋ 12 ＝2 ， a 3＝ OA3 ＝ OA 22＋A 2A 23 ＝22a n ＝ n.( 2)＋ 1 ＝ 3， ⋯ ，故可推出答案：n9．在平面内察：凸四形有2 条角，凸五形有5 条角，凸六形有9 条角， ⋯ ，由此猜想凸n 形有几条角？解：因凸四形有2 条角，凸五形有 5条角，比凸四形多3 条；凸六形有9 条角，比凸五形多4 条， ⋯ ，于是猜想凸 n 形的角条数比凸(n － 1)形多 (n － 2)条角，由此凸 n 形的角条数2＋ 3＋ 4＋ 5＋ ⋯＋ (n － 2)，由等差数1*列乞降公式可得 2n(n － 3)(n ≥4， n ∈ N )．所以凸 n 形的角条数 1 *2n(n － 3)(n ≥4， n ∈ N )．10．已知 f(x)＝1，分求f(0)＋ f(1) ，f( － 1)＋ f(2) ， f(－ 2)＋ f(3) ，而后猜想3x＋ 3一般性，并明你的．1解： f( x)＝ x，3 ＋ 3所以 f(0)＋ f(1) ＝ 01＋ 1 1 ＝ 3，3 ＋33＋3 3 f(－ 1)＋ f(2)＝－ 11＋ 2 1 ＝ 3 ，3 ＋3 3 ＋ 3 3 f(－ 2)＋ f(3)＝－ 21＋ 3 1 ＝ 3 . 3 ＋3 3 ＋ 3 33猜想一般性；f(－ x)＋ f(x ＋ 1)＝ 3 .明以下： f (－ x)＋ f(x ＋ 1)＝113－x＋3＋3x ＋1＋ 3x1x 133·3＝1＋ 3·3x ＋ 3x ＋ 1＋ 3＝3＋ 3x ＋1＋3x ＋1＋ 3x＋ 1x＋ 1＝3. ＝ 3·3x ＋ 1＝3·3 x3＋ 33(1＋ 3·3 )3二能力达1．由代数式的乘法法比获得向量的数目的运算法：① “mn ＝ nm ” 比获得 “a ·b ＝ b ·a ”；② “(m ＋ n)t ＝ mt ＋ nt ” 比获得 “(a ＋ b) ·c ＝ a ·c ＋ b ·c ”；③ “(m ·n)t ＝ m(n ·t) ” 比获得 “(a ·b) ·c ＝ a ·(b ·c) ”；④ “t ≠0， mt ＝ xt ? m ＝ x ” 比获得 “p ≠0，a ·p ＝ x ·p ? a ＝ x ”；⑤ “|m ·n|＝ |m| ·|n| ” 比获得 “|a ·b|＝ |a| ·|b| ”；ac aa ·c a⑥“ ＝ ” 比获得 “ ＝ ”．bc b b ·c b此中比正确的个数是 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：B由向量的有关运算法知①② 正确， ③④⑤⑥ 都不正确，故 B.2．比三角形中的性：(1) 两之和大于第三； (2) 中位等于底的一半；(3) 三内角均分交于一点．可得四周体的性：(1) 随意三个面的面之和大于第四个面的面；(2) 四周体的交于同一点的三条棱的中点的平面面等于点所的面面的(3) 四周体的六个二面角的均分面交于一点．此中比推理方法正确的有()A ． (1)B ． (1)(2)C ． (1)(2)(3)D ．都不分析：C以上比推理方法都正确，需注意的是比推理获得的能否正确与1； 4比推理方法能否正确其实不等价，方法正确也不必定正确．1 31 15 1 1 173．察以下式子：22，1＋ 2 2 ， 1＋ 2 22， ⋯，依据以上式子可1＋2 ＜2 ＋3 ＜ 32 ＋3 ＋4 ＜ 4以猜想：1＋ 1 1122＋32＋⋯ ＋ 2 0172＜ ()4 0314 032A. 2 017B.2 0174 0334 034 C. 2 017D.2 017分析：C察能够，第 n(n ≥2)个不等式左端有n ＋ 1 ，分子 1，分母挨次2, 2,22n ＋ 1，分子成等差数列，首 3，公差2，所以1 23 ， ⋯， (n ＋ 1)；右端分母1112n ＋ 11 1第 n 个不等式1＋ 22＋ 32＋ ⋯＋ (n ＋ 1)2＜ n ＋ 1 ，所以当 n ＝ 2 016 不等式： 1＋ 22＋ 32＋⋯ ＋14 0332 0172＜2 017.2Sa ，b ，c ，△ ABC 的面 S ，内切半径 r ， r ＝；a ＋ b ＋ c类比这个结论可知：四周体P-ABC 的四个面的面积分别为S1， S2， S3， S4，内切球的半径为 r，四周体 P-ABC 的体积为 V，则 r＝ ()A.VB.2VS1＋S ＋S ＋S＋S ＋S ＋S234S12343V4VC.S1＋S2＋ S3＋ S4D.S1＋ S2＋ S3＋ S4分析：选 C将△ ABC 的三条边长 a，b，c 类比到四周体 P-ABC 的四个面面积S1，S2，S3， S4，将三角形面积公式中系数1，类比到三棱锥体积公式中系数1，进而可知选 C.证明23以下：以四周体各面为底，内切球心O 为极点的各三棱锥体积的和为11 V，∴ V＝S1r＋ S2r33113V＋3S3r＋3S4r，∴ r＝S1＋S2＋S3＋S4.5．察看以下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥ 2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S 与n 的关系式为____________．分析：每条边上有 2 个圆圈时共有 S＝ 4 个；每条边上有 3 个圆圈时，共有S＝8 个；每条边上有 4 个圆圈时，共有 S＝ 12 个．可见每条边上增添一个点，则S 增添 4，∴ S 与 n 的关系为 S＝ 4(n－ 1)(n≥2)．答案： S＝ 4(n－ 1)(n≥2)6．能够运用下边的原理解决一些有关图形的面积问题：假如与一固定直线平行的直线被甲、乙两个关闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中领会这个原理．此刻图③中的两个曲线的方程分别是x2y2a2＋b2＝1(a＞ b＞ 0)与 x2＋ y2＝ a2，运用上边的原理，图③中椭圆的面积为______________．y 轴所得线段之比为b分析：因为椭圆与圆截a，b2b即 k＝，∴ 椭圆面积S＝πa·＝πab.a a答案：πab7．察看以下两个等式：223① sin10°＋ cos 40°＋ sin 10 cos ° 40 ＝° ①；4223② sin 6°＋ cos 36°＋ sin 6 cos ° 36 ＝° ② .4由上边两个等式的构造特色，你可否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由 ①② 知若两角差为 30°，则它们的有关形式的函数运算式的值均为3 4.猜想：若 β－ α＝30°，则 β＝ 30°＋ α， sin 2α＋ cos 2(α＋ 30°)＋ sin αcos(α＋ 30°)＝34.下边进行证明：左侧＝ sin 2α＋ cos(α＋ 30°)[cos(α＋ 30°)＋ sin α]23 1 3 1＝ sin α＋2 cos α－2sin α 2 cos α＋ 2sin α ＝ sin 2 α＋ 34cos 2α－ 14sin 2α＝ 34＝右侧．所以，猜想是正确的．故 sin 2α＋ cos 2(α＋ 30°)＋ sin αcos(α＋ 30°)＝ 3. 41118．已知在Rt △ ABC中， AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC于点 D ，有 AD 2＝AB 2＋ AC 2建立．那么在四周体 A-BCD 中，类比上述结论，你能获得如何的猜想，并说明猜想能否正确及原因．解：猜想：类比 AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC ，能够猜想四周体 A-BCD 中， AB ，AC ，AD两两垂直，AE ⊥ 平面BCD .则1AE1 2＝ AB1 2＋ AC1 2＋ AD2.下边证明上述猜想建立以下图，连结BE ，并延伸交 CD 于点 F ，连结 AF .∵ AB ⊥ AC ， AB ⊥ AD ，AC ∩ AD =A ，∴ AB ⊥平面 ACD.而 AF ? 平面 ACD ，∴ AB ⊥ AF.在 Rt △ ABF 中， AE ⊥ BF ，11∴ AE 2＝ AB 2＋ AD 2.1在 Rt△ ACD 中， AF ⊥ CD，111∴AF2＝AC2＋AD2.∴12121212AE ＝AB＋AC＋AD，故猜想正确．。

人教新课标版数学高二人教A选修2-2学案 2.1合情推理与演绎推理

2.1合情推理与演绎推理预习【学习目标】1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 【自主学习】（阅读教材P70—P72，独立完成下列问题）问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： .问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 .新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.【合作探究】例1 观察下列等式：1+3=4=22， 1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24， 1+3+5+7+9=25=25， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2 已知数列{}n a 的首项11=a ，且有11+=+n nn a a a ，（1）试归纳出这个数列的通项公式。

（2）记33332311111nn a a a a S +⋅⋅⋅+++=，化简n S .【目标检测】1. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于 ( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )2. 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+ 3.在数列{n a }中，11a =，1111()2n n n a a a --=+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.4. 观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．【作业布置】任课教师自定2.11合情推理（2）【学习目标】1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 【自主学习】（阅读教材P73—P77，独立完成下列问题）鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知1：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由到的推理.思考：已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥； 121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .新知2：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.【合作探究】例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.【目标检测】1. 找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点00(,)x y为圆心，r为半径的圆的方程为22200()()x x y y r-+-=2. 如图，若射线OM，ON上分别存在点12,M M与点12,N N，则三角形面积之比11221122OM NOM NS OM ONS OM ON∆∆=•.若不在同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点12,P P，点12,Q Q和点12,R R，则类似的结论是什么？3. 设)()(,sin)('1xfxfxxf==，'21()(),,f x f x='1()()n nf x f x+=，n∈N，则2007()f x=（）.A.sin xB.－sin xC. cos xD.－cos x【作业布置】任课教师自定【学习目标】1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.【自主学习】（阅读教材P76—P81，独立完成下列问题）1. 复习：归纳推理是由到的推理.类比推理是由到的推理.学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？2. 新知：演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到的推理.3.新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提—— ；小前提—— ；结论—— .试试：请把教材78页的演绎推理（2）至（5）写成“三段论”的形式.【合作探究】例1 在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结论：例2 证明函数2()2f x x x =-+在(),1-∞-上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.【目标检测】1. 因为指数函数x y a =是增函数，1()2x y =是指数函数，则1()2x y =是增函数.这个结论是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 3. 用三段论证明：通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列.4. 在ABC ∆中，AC BC >，CD 是AB 边上的高，求证ACD BCD ∠>∠. 证明：在ABC ∆中，,CD AB AC BC ⊥>，所以AD BD >，于是ACD BCD ∠>∠. 指出上面证明过程中的错误. 【作业布置】任课教师自定。

2018-2019学年人教A版选修2-2 §2.1 合情推理与演绎推理学案

§2.1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．梳理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案类比推理．梳理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．梳理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)2．由个别到一般的推理为归纳推理．(√)3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)类型一归纳推理命题角度1数、式中的归纳推理例1(1)观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为_____________________________________________________．(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(2)x1－4xx1－2n－1x解析(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)． (2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x 1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x 1－8×x 1－8x＝x 1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x. 引申探究在本例(2)中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x ) (n ∈N *)的表达式．解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x 1－x .又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1－2x 1－x 1－2x ＝x1－3x ，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 1－3x 1－x 1－3x ＝x1－4x .因此，可以猜想f n (x )＝x 1－nx.反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． ①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4的值； (2)猜想a n 的表达式．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数列中的应用解 (1)因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)，所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.(2)由(1)知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．命题角度2 图形中的归纳推理例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36 考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 B解析有菱形纹的正六边形的个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B. 反思与感悟归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 C解析归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝8＋(n －1)×6＝6n ＋2. 类型二类比推理命题角度1 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案T 8T 4 T 12T 8解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66， T 16＝b 161q1＋2＋…＋15＝b 161q120， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38， T 16T 12＝b 41q 54，即⎝⎛⎭⎫T 8T 42＝T 12T 8·T 4，⎝⎛⎭⎫T 12T 82＝T 8T 4·T 16T 12，故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．反思与感悟已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d ，q 分别是公差和公比)：跟踪训练3 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N *)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列．考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案nc 1c 2c 3…c n解析数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n (n ∈N *)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc 1c 2c 3…c n 时，数列{d n }也是等比数列．命题角度2 几何中的类比推理例4 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S 分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b 和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．反思与感悟(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下跟踪训练4在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22C.lr 2D ．不可类比考点类比推理的应用题点平面曲线的类比答案 C解析扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr2.2．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 A解析由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据36÷5＝7余1，可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即白色． 3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123D ．199考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 C解析利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝3＋1＝4，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 1∶8解析设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.5．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 40解析图1中的点数为4＝1×4，图2中的点数为8＝2×4，图3中的点数为12＝3×4，…，所以图10中的点数为10×4＝40.1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案 C解析显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确．2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B ．△ C.D ．○考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 A解析观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行．则其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 B解析根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) 考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0172小于( )A.4 0312 017B.4 0322 017C.4 0332 017D.4 0342 017考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 C 解析观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，所以当n ＝2 016时不等式为1＋122＋132＋…＋12 0172<4 0332 017. 7．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 C解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ， ∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 8．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 B解析由已知中的图形我们可以得到：当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，当n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，当n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，当n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，…，则第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个，故选B.二、填空题9．观察下列等式：12＝1；12－22＝－3；12－22＋32＝6；12－22＋32－42＝－10；…；照此规律，第n 个等式为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2解析 12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 10．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大解析平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．11．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3；四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则猜想其四维测度W ＝________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 2πr 4解析 ∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l .三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .∴四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝8πr 3，∴W ＝2πr 4.12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 n解析根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n .13．圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)在点P (x 0，y 0)处切线的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2，由此类比，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为______________．考点类比推理的应用题点平面曲线之间的类比答案 x 0x a 2＋y 0y b 2＝1解析类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1. 三、探究与拓展14．正整数按下表的规律排列，则上起第2 017行，左起第2 018列的数应为( )A ．2 016×2 017B ．2 017×2 018C ．2 018×2 019D ．2 019×2 020考点归纳推理的应用题点归纳推理在数阵(表)中的应用答案 B解析由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 018列的第一个数为2 0172＋1，由连线规律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的数应为2 0172＋2 017＝2 017×2 018.15．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 猜想正确．理由如下：如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.1 AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．∴。

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第8课时合情推理、演绎推理、综合法、分析法合情推理：一、归纳推理例1．已知数列{}na的第1项11a=，且1(1,2,)1nnnaa na+==+，试归纳出这个数列的通项公式。

例2、设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.3、已知：223sin30cos60sin30cos604++=，223sin20cos50sin20cos504++=。

223sin15cos45sin15cos454++=观察上述三等式的规律，请你猜想出一般性的结论：__________________________。

二类比推理：也是等差数列21的任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=．类比．．“平面向量基本定理”，写出空间向量基本定理．3．半径为R 的圆的面积()2S R R π= ，周长()2C R R π=若将R 看作()0,+∞上的变量，则()2'2R Rππ=可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

类比，对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+∞上的变量，则_______________，可用语言叙述为： ______。

2.1.2 演绎推理◆应用示例例1．如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD BC ⊥,BE AC ⊥，D 、E 是垂足。

求证AB 的中点M 到D 、E 的距离相等（证明时请注明大前提、小前提和结论）。

例2. 证明函数2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数。

例3、已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1).(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值.【合情推理与演绎推理巩固练习】1.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于 ( )A.28 B.76 C.123 D.199 2.定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：1*1=1，（2）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于 ( ) A.n B.n ＋1 C.n －1 D.n 23.下列推理是归纳推理的是 ( )A.A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B.由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B .∴a <b ，其中，画线部分是演绎推理的 ( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论5.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD.d n ＝nc 1·c 2·…·c n综合法 ◆应用示例例1．在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且A,B,C 成等差数列，三边,,a b c 成等比数列，求证ABC ∆为等边三角形。

例2<例3：对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足： ①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； ②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数.(1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是否是理想函数.◆反馈练习1．求证：对于任意角44,cos sin cos 2θθθθ-=2>3、定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”.已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数，证明：数列{2a n＋1}是“平方递推数列”. 4.已知a b =+=+ ，则 a 与 b 的大小关系是（）.A. ab > B. a b = C. a b < D. 无法判断5. 设 x,y 为正数, 则14()()x y x y++的最小值为（）.A. 8B.9C.12D.以上都不对2.2.分析法、反证法（二）◆应用示例例1．已知,()2k k Z παβπ≠+∈，且sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ⋅=求证：22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++。

跟踪训练1．已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证：222()16a b ab -=。

【例3】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列.跟踪训练3 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 三边的倒数成等差数列，求证：∠B <90°.【综合法、分析法、反证法】巩固练习1.若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A.lg(1＋a 2)>0B.a 2＋b 2≥2(a －b －1) C.a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋12.在△ABC 中，sin A sin C <cos A cos C ，则△ABC 一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定3.已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A.a >bB.a <bC.a ＝bD.a ，b 大小不定4.已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是 ( )A.2B.2 2C.4D.55.用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为 ( )A.a ，b 都能被3整除B.a ，b 都不能被3整除C.b 不能被3整除D.a 不能被3整除 6.6＋7与22＋5的大小关系为__________________.7.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________.第9课时数学归纳法[教学重点] 数学归纳法原理、步骤及应用[教学难点] 理解数学归纳法的原理，能准确使用证明格式。

一知识总结1数学归纳法证明步骤:①验证当n 取第一个值0n 时命题成立,这是推理的基础;②假设当n=k ),(0*n k N k ≥∈时命题成立.在此假设下,证明当1+=k n 时命题也成立是推理的依据. ○3由①②得出结论. .特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立,注意0n 不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k 到k+1时命题的变化 2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察,归纳,猜想,推理论证. 二.基本题型 ①证明等式例1.用数学归纳法证明：当n ∈N*时，2222(1)(21)1236n n n n练习1.证明2135(21)n n2. 证明不等式例3.求证：22nn .（ n ∈N* ）练习设a n …(n ∈N *)，求证：a n <12(n ＋1)2.提示：a 1k +<12(k ＋1)212(k +1)212(k +1)2+(k +32)＝12(k +2)2小结：放缩法，对比目标发现放缩途径.3.与数列有关的证明题例2 已知数列n a 满足：11a ，且11429()nn nna a a a n N .⑴求234,,a a a ；⑵由⑴猜想n a 的通项公式n a ；⑶用数学归纳法证明⑵的结果变式：1已知数列1111,,,,2558811(31)(32)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明. （试值→猜想、归纳→证明）4．整除问题证明 (3n+1)7n -1（ n ∈N*）能被9整除。

三课后练习1．若f （n ）=1+1213121++⋅⋅⋅++n （n ∈N*），则当n =1时，f （n ）为（A ）1 （B ）31 （C ）1+3121+ （D ）非以上答案2．用数学归纳法证明1+a +a 2+…+an+1=aa n --+112（a ≠1，n ∈N *），在验证n =1成立时，左边计算所得的项是（A ）1 （B ）1+a （C ）1+a +a 2（D ）1+a +a 2+a 33.用数学归纳法证明1－21＋31－)(2121112112141N n n n n n n ∈+++++=--++ ,则从k 到k ＋1时,左边应添加的项为(A)121+k (B) 421221+-+k k (C) －221+k (D) 121+k －221+k4．某个命题与自然数n 有关，如果当n =k （k ∈N *）时，该命题成立，那么可推得当n =k +1时命题也成立．现在已知当n =5时，该命题不成立，那么可推得（A ）当n =6时该命题不成立；（B ）当n =6时该命题成立（C ）当n =4时该命题不成立（D ）当n =4时该命题成立5.),,3,2,1(21312111 =+++++++=k kk k k S k 则S k+1 =(A) S k + )1(21+k (B) S k + 11221+-+k k (C) S k +221121+-+k k (D) S k + 221121+++k k 6．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n⨯1⨯2⨯3⨯…(2n─1)(n∈N),从“k 到k+1”左端应增乘的代数式为 .7当n 为正奇数时，求证nn xy 被x y 整除，当第二步假设21n k 命题为真时，进而需证n = 时，命题亦真.8用数学归纳法证明1111(,1)2321nn n N n 且，第一步即证不等式成立.第二步证明从“k 到1k ”，左端增加的项数为 .9.是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论. （解题要点：试值n =1,2,3， → 猜想a 、b 、c → 数学归纳法证明）10 求证：212131211n n >-++++（*∈N n ）古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。