常用的统计分布及临界值

0.357
例3 设(X1，X2，…，Xn)为总体 N(0，0.52)的一个样本, 求
1 2
(
z
2n 1)2
这里, z 是标准正态分布的上 分位点。
如n=60,
=0.05,
则
2 0.05
(60)
1 2
(1.645
2 60 1)2 78.80
例2 已知 Y ~ 2 (10). 试确定c值, 使 P{Y c} 0.05 , 并把c用临
界值表示出来。
解 由 2 分布的 临界值定义知, 通过查表n=10, =0.05
f (x)dx
2 (n)
则称数
2
(n)为
2
分布的临界值，如图所示。
对于不同的、n,
临界值的值已制成表
格, 可以查用(见附表4）.
例如: 对于 0.1, n 25,
2 (n) 34.382。 对于 0.975, n 35,
2 (n) 20.569。
当n 45时, 近似地有
2 (n)
,
1 2
的 分布。
分布密度函数 f (x)的图像：
它随着自由度n的 不同而有所改变。
2 分布的性质 定理1 1)设X～ 2(n)，则 E X=n ，D X =2n；
2)设X ~ 2 (m)， Y~ 2 (n) ，且X，Y相互独立， 则 X + Y~ 2 (m +n) 。
证明 1)由2分布的定义知，Xi～N(0，1)，故
注：(1) 同标准正态分布临界值的性质，对t分布亦有 t1 (n) t (n)
(2) n 45时附表不够用，用正态分布近似 t (n) z
1－α
t (n)
t1 (n)
4．F分布的临界值
定义8 对于给定的正数 称满足条件
P{F F (m, n)}
f (x)dx
F (m,n)
t分布的概率密度函数为 f (x) n 1 (1 x 2 ) (n1) / 2 ,
n(n / 2) n
x
(3.6)
t分布的概率密度函数 f (x)的图像为：
f(x)
f (x)的图形关于x 0
对称,当n充分大时,图形接
近于标准正态变量概率密
度的图形.
x f(x)
mn mn
x
3.F分布
定义4 设X ~ (m),Y ~ (n), 且X ,Y独立，则称随机变量
的实数F (m, n)为F (m, n)分布的临界值. 如图所示：
F分布的临界值
有表可查(见附表5）.
如 =0.05, m=15, n=12,
查表得 F0.05(15，12)=2.6。
F分布的上分位点有如下性质：F1
(m,
n)
F
1 (n,
m)
例：F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
X
X
2 1
X
2 2
X
2 n
X
2 i
(3.1)
i 1
所服从的分布是自由度为n的 2分布，简记为 X ～ 2 (n。)
自由度n是指(3.1)式右端的独立变量个数。
2 分布的概率密度为
f
(x)
n 22
1
n
n
x2
1
e
x 2
,
2
x 0,
(3.2)
0,
其它.
由第二章知，
2
n 分布的密度函数正是参数为2
得c
2 0.05
(10)
18.307
。
3．t分布的临界值
定义7 设T～t(n)，概率密度为f(x). 对给定的(0＜＜1).若存在
实数t (n) 满足
P{T
t (n)}
t (n)
f
(x)
则称点 t (n) 为t分布的 临界值，如图所示。
已知n，，通过查t分布附表3表可求得。 如n=10， =0.05，查表得 t0.05(10)=1.8125。
F X /m Y /n
（3.7）
服从自由度为 m, n的F分布, 记为F ~ F (m, n).其中m称为第一自由
度，n称为第二自由度
F (m, n)分布的概率密度函数为：
m m 1
f
x)
[(m n) / 2](m / n) 2 (m / 2)(n / 2)[1 (mx
x2
mn
/ n)] 2
n
EX
2 i
DX
i
(EX i )2
1;
EX
E
X
2 i
n
i 1
又EX
4 i
x4
1
x2
e2
dx
令 x2 t 2
4
2
2
t
0
5 2
e 1 t
dt
4
2
( 5 ) 2
3
n
n
DX
D
X
2 i
[EX
4 i
(EX
2 i
)2
]
n(3
12
)
2n
i 1
i 1
2) X+ Y~ 2 (m +n)证略。
其中2)也称为 2 分布的可加性，用数学归纳法不难推广 到任意有限个随机变量的情形。
第三节 常用的统计分布及临界值
一、几个重要分布 二 几个重要分布的临界值
一、几个重要分布
前面我们学习了一些分布如二项分布、均匀分 布、正态分布等。本节再介绍几个常用的分布， 它们在数理统计中起着非常重要的作用，这些分 布均与正态分布有密切的联系。
1. 2 分布
定义2 设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且 Xi～N(0，1)(i=1，2，…，n)，则称随机n变量
如α=0.975 由 (Z10.975 )=0.975，查表得Z1-0.975=1.96
∴Z0.975= -Z1-0.975= -1.96
2． 2 分布的临界值
定义6 设 2 ~ 2 (n),概率密度为 f (x).对给定的数(0＜＜1)，
若存在实数
2
(n)
满足
ຫໍສະໝຸດ Baidu{ 2 2 (n)}
,
0,
x0 其它
(3.8)
由定义可知，若F ~ F(m, n),则 1 ~ F(n, m) f ( X )的图形 :
F
二 几个重要分布的临界值
1 标准正态分布的临界值 定义5：设X～N(0, 1)，对给定的数α(0＜α＜1)存
在实数Zα满足
P{X Z } Z
1
t2
e 2 dt
2
则称点Zα为标准正态分布X的上α临界值(或分位点)。
由标准正态分布的性质及上述定义知 (Z ) 1
故若已知α，可通过反查正态分布表，求出上 分位点Zα .
如 α=0.005 则由 (Z )=0.995，查表得Z0.005=2.57
当 1 1 时, 由
2
(Z ) =1-α,表中无法查出, 此时查表
(Z1 )
再由 z z1 可求出上分位点Zα.
例1 设(X1，X2，…，Xn)为总体X～N(, 2)的样本，则
1
2
n
(X i
i 1
)2
~ 2 (n)
2.t分布
定义3 设X ~ N (0,1),Y ~ (n),且X ,Y 独立，则称随机变量
T X
(3.5)
Y /n
所服从的分布是自由度为n的t分布,也叫学生氏分布,记为T ~ t(n)。