14.1 三角形的有关概念(2)
华师大版八年级数学上《14.1直角三角形的三边关系》教学设计
为了巩固本节课所学的直角三角形三边关系和勾股定理，确保学生对知识点的深入理解和灵活运用，特布置以下作业：
1.必做题：
-课本第十四章第一节课后练习题1、2、3，要求学生独立完成，注意解题过程的规范性和准确性。
-设计一道实际生活中的问题，要求运用勾股定理解决，鼓励学生将所学知识应用于生活实践。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流的方式，引导学生发现直角三角形三边的关系，培养学生的观察力和团队合作能力。
-设计探究活动，让学生在实际操作中发现直角三角形三边的关系，提高学生的自主探究能力。
-引导学生通过小组合作交流，共享探究成果，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
2.运用数形结合的方法，培养学生的几何直观和逻辑思维能力。
华师大版八年级数学上《14.1直角三角形的三边关系》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形三边的关系，即勾股定理及其推导过程，能够运用其解决相关问题。
-通过实际操作，引导学生发现直角三角形三边之间的数量关系，加深对勾股定理的理解。
-通过数形结合的方法，使学生能够运用勾股定理解决实际生活中的问题。
1.学生对勾股定理的认知水平：大部分学生可能已经听说过勾股定理，但对其证明过程和内涵理解可能不够深入。教学中，应引导学生通过实际操作、自主探究，逐步理解并掌握勾股定理。
2.学生的几何直观和空间想象力：在本章节的学习中，学生需要运用几何直观和空间想象力来理解直角三角形三边关系。教师应关注学生的个体差异，通过丰富的教学手段，帮助学生提高几何直观和空间想象力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学，树立正确的数学观念，激发学生的学习兴趣。
-通过发现直角三角形三边关系的趣味性和实用性，激发学生对数学的兴趣和热爱。
华东师大版数学八年级上册14.1《直角三角形的判定》知识点解读
《直角三角形的判定》知识点解读 知识点1直角三角形的判别条件（重点）如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.【例1】三角形三边之长分别为①3,4,5；②9,40,41；③7,24,25；④13,84,85.其中能构成直角三角形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个分析：若已知三角形三边长，要判断这个三角形是否为直角三角形，可利用直角三角形的判别条件，即是否有两个较小数的平方和等于大数的平方.①222345+=②22294041+=③22272425+=④222138485+=所以以上4组都能构成直角三角形，故选D.解：D【例2】在△ABC 中，22-,a m n =2,b mn =22+,c m n =其中m ，n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形.分析：本题已给出三角形的三边长，只需运用直角三角形的判别条件进行判断就可以，但关键是确定最大边.解：因为m ，n 是正整数，且m>n ，222(-)20,m n m n mn =+->所以22+2,m n mn >所以c>b.又222222222(+)()20,m n m n m n m n n --=+-+=>所以c>a.所以c 为最长边.因为2222224224222222()(2)24(),a b m n mn m m n n m n m n c +=-+=-++=+=所以△ABC 是直角三角形.知识点2 勾股数（了解）能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。
（1）3，4，7；（2）5，12，13；（3）111345，，（4）3，-4，5. 分析：判断的时候，要紧扣两个条件：（1）是否符合222a b c +=，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；（2）它们是不是正整数。
2023八年级数学上册第14章全等三角形14.1全等三角形教案(新版)沪科版
发放预习材料，引导学生提前了解全等三角形的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习全等三角形内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确全等三角形教学目标和全等三角形重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保全等三角形教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习全等三角形的积极性。
2. 掌握全等三角形的性质：学习全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
3. 学会使用全等三角形解决几何问题：通过实际例题，引导学生运用全等三角形的性质解决几何问题，提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。
4. 培养学生的合作学习和探究能力：在教学过程中，教师组织学生进行小组合作学习，引导学生主动探究全等三角形的性质和判定方法，培养学生的合作学习和探究能力。
5. 教学工具：准备投影仪、计算机、白板等教学工具，以便教师能够清晰地展示教学内容，并与学生进行互动。
6. 学习任务单：设计一份学习任务单，列出本节课的学习目标、任务和要求。学生可以通过完成学习任务单，巩固所学内容并进行自我评估。
7. 课堂练习题：准备一份课堂练习题，包括一些与全等三角形相关的实际问题。这些练习题应能够帮助学生巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
3. 数学建模：培养学生运用全等三角形的性质解决实际问题的能力，提高学生的数学建模素养。
4. 数学交流：在小组合作学习和探究过程中，培养学生运用数学语言表达全等三角形的性质和判定方法，提高学生的数学交流能力。
5. 数学思维：通过解决几何问题，培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
b. SAS（Side-Angle-Side）：如果两个三角形有两组对应边和它们夹的对应角分别相等，那么这两个三角形全等；
沪科版数学八年级上册14.1全等三角形课件(共19张PPT)
全等形定义：能够完全重合的两个图形，叫做全等形.
全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状相同，大小相等.
1.与下左图所示图形全等的是 ．
①、④
2.下列说法：①用一张底片冲洗出来的2张1寸相片是全等的； ②所有正三角形是全等形； ③面积相等的图形一定是全等形．其中正确的是 ．
两个三角形全等是通过什么方法验证的？
平移
解：对应边是：__________________________________
对应角是：__________________________________
AC与DF，AB与DE，BC与EF
∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F
A
C
B
如图△AOC≌△BOD
1.对应边是：________________________
2.∠AOC的对应角是________
∠A的对应角是________
OC与OD，AC与BD
∠BOD
∠B
O
D
小结：有对顶角的，对顶角也是对应角.
想一想： 有什么办法判断两个三角形全等？用数学式子表示两个三角形全等,并指出对应角、对应边.
旋转
A
B
C
D
A
A
B
B
D
C
如图△ABD≌△ABC
大角对大角，小角对小角
公共角一定是对应角
对顶角一定是对应角
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.了解全等形，明确全等三角形的概念.2.掌握全等三角形的性质，识别全等三角形的对应边和对应角.
华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系优秀教学案例
4.反思与评价：引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高他们的自我认知能力。组织学生进行评价，让他们学会欣赏他人，培养他们的公平竞争意识。通过评价，让学生了解自己的不足，激发他们的学习动力，促进他们的全面发展。
1.引导学生观察直角三角形模型，发现三边之间的关系。
2.通过讲解勾股定理的推导过程，使学生理解并掌握直角三角形三边的关系。
3.运用举例、讲解等方法，让学生明确直角三角形三边关系的应用。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论，如：“你能用勾股定理解决实际问题吗？”
2.组织学生分享讨论成果，培养他们的合作意识和团队精神。
3.在讨论过程中，关注学生的个体差异，给予他们个性化的指导。
（四）总结归纳
1.引导学生总结直角三角形三边关系的知识点，加深他们对知识的理解。
2.总结本节课的学习方法，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.强调直角三角形三边关系在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，让学生巩固直角三角形三边关系的知识。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过房屋测量、篮球架高度等实际生活中的例子，引导学生关注直角三角形三边关系在现实生活中的应用，使学生认识到数学与生活的紧密联系，提高他们的学习兴趣。
2.问题导向：设计一系列具有启发性的问题，引导学生独立思考，发现直角三角形三边之间的关系。在解决问题的过程中，培养学生运用已学的知识解决实际问题的能力，提升他们的知识运用水平。
14.1.1 直角三角形三边的关系(2)湘教版
4米
3米
应用知识回归生活 王子救公主的故事 y=0
营救方案
小船能漂多远？
应用知识回归生活 y=0
4. 如图,为了求出湖两岸的AB两点之间的距离， 一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为Rt△， 通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A 点穿过湖到点B有多远？
解：Rt△ABC中，AC=160， BC=128， 根据勾股定理得:
c c
c
a
b
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
C D c
c a
a
A b E
S 梯形 b
B
ABCD
1 （ a b（ a b ) ) 2
1 2 2 （ a b 2 ab ) 2
北
东
C
练一练：
做一个长，宽，高分别为50厘米，40 厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米 的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。
30cm 50cm
40cm
小 结：
1图形经过割补拼接后，只要没有空隙，没有 重叠，面积不会改变。
2构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题， 运用勾股定理建立方程求解。
AB
2 2
x
AC
2
2
2
BC
2
2
2
x 160
128
x 96
x 160 128 答：从A点穿过湖到点B有96米。
应用知识回归生活 y=0
5. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图 （如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到 障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走 1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多 少千米?
三角形的有关概念教学设计
教学设计14.1 三角形的有关概念青浦区实验中学 钱海燕一、教学目标：1、知道三角形的有关概念及三角形的分类，掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用。
2、理解三角形的中线、角平分线、高的概念，并通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点情况。
3、通过操作、观察、归纳和说理等过程初步体会分类思想，感受数学的美，逐步养成良好的数学思维习惯。
二、教学重点与难点：1、三角形的三边关系；2、三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点问题的探究。
三、教学过程：（一）学习三角形的概念1、出示世博会的有关图片，引出三角形的有关概念2、归纳：（1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。
记作：△ABC（2）线段AB 、BC 、CA 是三角形的边（有时也用a 、b 、c 来表示）；（3）点A 、B 、C 是三角形的顶点；（4）∠A 、∠B 、∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
（二）探究三角形的三边关系 1、操作并填表从四根小棒（12厘米、8厘米、6厘米、4厘米、）中任选三根拼接三角形（1）先选择三根小棒（2）再将选择的每根小棒的长度填入表格中 （3）最后拼接，观察能否围成三角形（学生合作学习、小组交流）2、思考:三根小棒的长度必须具备怎样的条件才能围成三角形？ （学生交流）3、归纳：三角形任意两边的和大于第三边 a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a4、判断：下列线段（长度单位：厘米）能围成三角形吗？ （1）2、7、8 （5）3、3、3 （2）3、8、5 （6）2、6、3 （3）3、5、4 （7）7、7、2 （4）4、9、6 （8） 5、9、5 ● 在判断的基础上，根据三角形的特征，将三角形分类按边：⎩⎨⎧→等边三角形等腰三角形不等边三角形按角：⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形● 变式：（1）三角形的三边为4、9、x ，求x 的取值范围？ （2）等腰三角形的三边为4、9、x ，求x 的值？（三）探究三角形的中线、角平分线、高所在的直线的交点的情况。
人教版2020八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定教案 (新版)
C.直角三角形D．钝角三角形
4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是( )
A.直角三角形B．锐角三角形
C.钝角三角形D．不能确定
图14－1－
5.如图14－1－：四边形ABCD中已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝900，求这个四边形的面积．(连接AC)
AC＝b＝A′C′，
AB＝c＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴.同学们还能找出哪些勾股数呢？
2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？
4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
教学重点
通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
教学难点
解勾股定理的逆定理是通过数的关系来反映形的特点．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件、四个全等的直角三角形图片
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.上节课的勾股定理内容是什么？画出图形，写出表达式.
②[讲授效果反思]
注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想、验证及证明的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律.
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号 当堂训练1，2，5
错题题号 例1
初中数学14.1直角三角形三边的关系(2)市级优质课教案
14.1直角三角形三边的关系（2）教学目标1理解并熟练掌握勾股定理的内容。
2能够运用勾股定理构建直角三角形来解决实际问题。
3进一步体会方程思想、转化思想、数形结合思想在数学学习中的应用。
重点、难点利用勾股定理，构建直角三角形，解决实际问题。
教学方法三疑三探教学用具多媒体课件教学过程一、设疑自探创设情境，导入新课。
上一节我们学习了勾股定理，你能说说勾股定理的内容吗?，公式又能如何变形？（出示幻灯片1）在Rt△ABC中, ∠C = 900，则：c2=a2 + b2比一比，看谁做得快（出示幻灯片2）通过学习知道运用勾股定理在直角三角形已知两边能求出第三边。
这一节我们来学习如何运用勾股定理解决实际问题板书课题：14.1勾股定理（2）请同学们自学课本P111-112页，例2、例3，提B出你还不明白的问题。
（3分钟）二、解疑合探例2、如图，在Rt △ABC 的斜边AB 比直角边AC 长2cm ，另一直角边BC 长为6cm,求AB 的长。
（1）学生演板展示、展评、展教。
（要求“学困生”展示，“中等生”评价，“优等生”补充。
）1、展示要板书工整、规范、快速；2、非展示同学结合展示仔细观察讨论或认真倾听，随时准备评价，并做好变式编题 准备。
点评要求：1、声音洪亮，言简意赅，思路清晰，点评出优、缺点及总结方法规律。
2、非点评同学认真听讲，有疑问及时提出来,并设计变式训练。
3、注意教态端庄大方，身体与黑板成30°角。
4、对展示同学打分，每题满分10分。
由此说明代数方程思想在几何中也经常运用。
（2）例3 如图，为了求出湖两岸的A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形.通过测量，得到AC 长160米，BC 长128米.问从点A 穿过湖到点B 有多远？ 1、题目中是通过什么方法来设计方案求AB 的长的？你能用什么知识解答？不看课本你能写出正确的解答过程吗?比一比，看谁做得最好。
三角形的有关概念教学设计说明
《三角形的有关概念》教学设计说明教材上海教育出版社七年级第二学期第十四章《三角形的有关概念与性质》中14.1《三角形的有关概念》教师上海市青浦区实验中学钱海燕一、本课数学内容的本质、地位、作用分析《三角形的有关概念》是上教版数学课本七年级第二学期的学习内容。
纵观整个初中平面几何的教学内容，三角形是平面内最简单的直线型封闭图形，是进一步探究学习其它图形性质的基础。
通过本节课的进一步学习，可以对已有的知识起到巩固的作用，同时也为接下来学习全等三角形、等腰三角形、直角三角形等知识和从实验几何逐步向论证几何过渡起着奠基作用。
二、教学目标分析三角形的有关概念较多，如三角形及其边、顶点、角等基本元素的概念，以及三角形的中线、高、角平分线等重要线段，同时也要求学生知道三角形的两种不同分类（按角、按边）、三角形的三边之间的关系和“三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线交于一点”的结论等，教材安排了两课时。
由于七年级学生已经初步具备了操作、观察、归纳的能力，为了体现知识点的完整性和课程内容的饱满性，本节课在设计上将两课时的知识点进行了有机的编排与整合，依托“学习任务单”，围绕学生已有知识经验，并通过问题的尝试、解决，获取新知识，逐步增强推理意识，感受数学的美。
基于以上的想法，根据课程标准、教材内容要求和学生的实际，制定了如下的教学目标：1、知道三角形的有关概念及三角形的分类，掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用。
2、理解三角形的中线、角平分线、高的概念，并通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点情况。
3、通过操作、观察、归纳和说理等过程初步体会分类思想，感受数学的美，逐步养成良好的数学思维习惯。
三、本节课的教学难点分析本节课的教学难点是三角形的三边关系的探索。
学生在小学阶段对三角形已有直观认识，但对于“具备怎样条件下的三条线段才能围成三角形”这一知识却没有任何经验。
2024秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3直角三角形的判定教案(新版)华东师大版
针对以上学情，教师在教学过程中需要关注学生的个体差异，对于不同层次的学生制定不同的教学策略。对于知识掌握较好的学生，可以适当增加难度，引导他们进行深入思考和探索；对于知识掌握不足的学生，要耐心引导，帮助他们弥补知识漏洞。同时，教师需要激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力，引导他们养成良好的学习习惯。此外，教师还需注重培养学生的团队合作意识，让他们在小组讨论和合作中共同进步。
（2）在线教学平台：利用在线教学平台，发布学习任务和练习题，方便学生随时随地进行学习和练习，提高教学效果和效率。
（3）互动式教学：通过小组讨论、问答等方式，鼓励学生积极参与课堂互动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
（4）数学软件辅助教学：利用数学软件进行几何图形的绘制和计算，帮助学生更直观地理解直角三角形的性质和勾股定理的应用。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
目标：引起学生对直角三角形的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道直角三角形是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于直角三角形的图片或视频片段，让学生初步感受直角三角形的美妙和特点。
简短介绍直角三角形的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2.直角三角形基础知识讲解（10分钟）
学情分析
本节课的授课对象为八年级的学生，他们已经掌握了初中数学中的一些基本知识，如代数、几何等。在知识方面，学生对于平面几何的基本概念和性质已经有所了解，对于三角形的相关知识也有所掌握。在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学运算能力，能够进行简单的数学建模。
第十四章_三角形(知识整理与典型例题)
第十四章三角形一、知识系统14.1 三角形的有关概念1、三角形任意两边的和大于第三遍2、在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点的垂足之间的线段叫做三角形的高，联结一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的一个内角的角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线3、三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形，有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形4、三边互不相等的三角形叫做不等边三角形，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形叫做等边三角形14.2 三角形内角和1、三角形的内角和等于180度2、三角形的一个外交等于与它不相邻的两个内角和3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角4、三角形的外角和等于360度14.3 全等三角形的概念与性质1、能够完全重合的两个图形叫做全等形。
两个三角形是全等形，就说是全等三角形，两个全等三角形，经过运动后一定重合，互相重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等14.4 全等三角形的判定 判定1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（简记为：S.A.S.） 判定2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为：A.S.A.）判定3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对应边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为：A.A.S.） 判定4：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为：S.S.S.） 14.5 等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个低角相等（简称“等边对等角”）2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）3、等腰三角形是轴对称图形，他的对称轴是顶角平分线（底边上的高、底边上的中线） 14.6 等腰三角形的判定1、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 14.7 等边三角形1、等边三角形的性质:等边三角形的每个内角等于60°2、三个内角都相等的三角形是等边三角形 二、题型举例（一）三角形三边的关系例1 若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是 ；当周长为奇数时,第三边长为 ．分析：三角形的一边小于其他两边的和.大于其他两边的差。
14.1.2直角三角形的判定
即：直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c，
则 a2 b2 c2
反之,一个三角形满足什么条件才能是 直角三角形呢?
想一想
直角三角形的判定
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足 a2 +b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形吗？
BC2 BD2 52 122 169 CD2 132 169
CB2 BD2 CD2
∴△BCD是直角三角形 CD所对的角是直角， 即∠DBC=90°
所以，这个零件符合要求
4.已知：如图，四边形ABCD中∠B＝900，AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
C
4
B
5
3
12
D
A
13
5B.已C练=知习2:5在cm△，AABDC是中B, CA边B上=1的5c高m。，求AC: A=2D0的cm长，。
解： ∵ AB=15cm，AC=20cm,BC=25cm
∴ AB2+AC2=225+400=625
D
25
C 20
B
BC2=625
∴ AB2+AC2=BC2
15
∴ ∠ BAC=900(勾股定理的逆定理）
14.1 勾股定理
(2)直角三角形的判定
你知道吗? 史料：古埃及人画直角.
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等 距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳 子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4 个结处. 你知道这是什么道理吗?
沪教版(上海)数学七年级第二学期-14.1 (1)三角形的有关概念 教案
执教日期：1 / 13B.由不在同一条直线上的三条线段所组成的图形叫做三角形.C.由不在同一条直线上的三条线段联结所组成的图形叫做三角形.D.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形.三角形的图形语言：三角形的边：线段AB、BC、AC或a、b、c三角形的顶点：点A、B、C三角形的内角（角）：∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角三角形的符号语言：△ABC 读作“三角形ABC”二、操作1：1.操作并填表可以从长分别为4厘米（红）、6厘米（绿）、10厘米（蓝）、12厘米（黄）的四根细棒中，任选三根，能否围成三角形？1.读题2.观察操作结果3.及时引导（4）巩固概念1.动手操作2.展示答案3.合作学习通过操作、观察、探究“怎样的三根细棒能围成三角形”.体会从特殊到一般再到特殊的思想.10’长度为3cm的木棒呢？思考题：已知△ABC 的两边 a=5cm, b=7cm,那么第三边 c 的长度在什么范围内？为什么？三、概念形成2：画出三角形的高、角平分线、中线.（1）三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它所对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.符号语言：∵线段AD是△ABC边BC上的高，D为垂足∴ AD⊥BC（2）三角形的角平分线: 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC的角平分线.∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC;∠BAC =2∠BAD =2∠BAD(2)三角形的中线：在三角形中，联结一个顶点及其对边的中点的线段叫做三角形的中线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的中线.∴ BD=CD=12BC; BC=2BD=2CD四、操作2：用同样的方法分别画出△ABC的另外两条高、角平分线和中线.练习 1.图中有几个不同的三角形？用符号表示这些三角形.2. 用下列长度的三根铁条首尾能顺次联结做成三角形框架的是（）A、23cm，10cm，8cmB、15cm，23cm，8cnC、18cm，10cm，23cmD、18cm，10cm，8cm1．指导2．纠错.板演.口答.巩固三角形的相关概念.做到不重复、不遗漏.对“三角形任意两边的和大于第三边”的巩固练习.理解三角形的中线、内角平分线、高的概念，学会简单10′AEDBC10 / 13两边只差＜第三边＜两边之和4.三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它所对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的高,垂足为D.∴ AD⊥BC三角形的角平分线: 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC的角平分线.∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC;∠BAC =2∠BAD =2∠BAD三角形的中线：在三角形中，联结一个顶点及其对边的中点的线段11 / 13叫三角形的中线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的中线.∴ BD=CD=12BC; BC=2BD=2CD课后反思：本节课是概念课，概念知识点比较多，学生难以理解。
14.1.2 直角三角形的判定、反证法(课件)2024-2025-华东师大版数学八年级上册
课堂新授
知识点 2 勾股数
知2－讲
1. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个 数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的 平方.
课堂新授
2. 判别一组数是不是勾股数的一般步骤
知2－讲
(1)“看”：看是不是三个正整数；
(2)“找”：找最大数；
课堂新授
解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角 .
知3－练
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角 .
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角 .
不妨设∠B＝∠C＝90°.
∴∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝ ∠A ＋ 90° ＋ 90° ＝ ∠A ＋ 180°>
180°. 这与“三角形的内角和是 180°”相矛盾 .
遇比例用参数法.
(3)设a＝3x，则b＝4x，c＝5x. 易得(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即
a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.
课堂新授
知1－练
方法点拨：判定直角三角形的方法： 1. 如果已知条件与角度有关，可求出其中一个角是直角， 或者证明其中一个角等于已知的直角，得到直角三角形. 2 . 如果已知条件与边有关，可通过计算推导出三角形三边 长的数量关系[即a2＋b2＝c2(c为最长边)]，得到直角三角形.
归纳总结
直角三角形的判定、反证法
反证法
论新授
例 2 下面四组数中是勾股数的一组是( D )
A. 6，7，8
B. 5，8，13
知2－练
C. 1.5，2，2.5
D. 21，28，35
解题秘方：紧扣“勾股数定义中的两个条件”进行判断.
14.1-14.2 三角形的有关概念 三角形的内角和七年级数学第二学期(沪教版)(原卷版)
14.1-14.2三角形的有关概念三角形的内角和知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；①三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；①三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“①”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“①ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的①没有意义；①ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；①已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；①求一个三角形中各角之间的关系． 三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ①钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：1．AD是①ABC的高．1．AD是①ABC的中线．典型例题例题1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A ．3 cm ，4 cm ，8 cm B ．8 cm ，7 cm ，15 cm C ．13 cm ，12 cm ，20 cmD ．5 cm ，5 cm ，11 cm例题2．已知一个三角形三个内角度数之比为4:2:1，则这个三角形为（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形例题3．具备下列条件的ABC ∆中，不是直角三角形的是（ ） A ．A B C ∠+∠=∠ B ．A B C ∠-∠=∠ C ．::1:2:3A B C ∠∠∠=D ．3A B C ∠=∠=∠例题4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形（ ） A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．属于哪一类不能确定．例题5．下列说法错误的是( )A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点例题6．一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中①α的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．65°D ．55°例题7．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中1∠的度数为（ ）A．15︒B．65︒C．75︒D．60︒例题8．如图，直线EF//直线GH，Rt①ABC中，①C＝90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分①DBE，若①CAD＝26°，则①BAD的度数为（）A．26°B．32°C．34°D．45°例题9．如图，①A+①B+①C+①D+①E+①F=（）A．180°B．360°C．540°D．以上答案都不是一、单选题1．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，5cmC．5cm，6cm，12cm D．4cm，6cm，8cm2．工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用（）．A．两点之间线段最短B．三角形的稳定性C．垂线段最短D．两直线平行，内错角相等3．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（）A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线4．三角形的角平分线、中线和高都是( )A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对5．下列说法中错误的是（）A．在①ABC中，若①A：①B：①C＝2：2：4，则①ABC为直角三角形B．在①ABC中，若①A＝①B﹣①C，则①ABC为直角三角形C．在①ABC中，若①A＝12①B＝13①C，则①ABC为直角三角形D．在①ABC中，①A＝①B＝2①C，则①ABC为直角三角形6．如果三角形的三个内角的度数比是1：2：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．如图，若①A＝60°，①B＝48°，①C＝32°，则①BDC＝（）A．102°B．160°C．150°D．140°8．如图，AB①CD，BD①CF，垂足为B，①BDC=50°，则①ABF的度数为（）A．50°B．40°C．45°D．25°9．如图，直线a①b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D．若①1=20°，①2=65°，则①3度数等于（）A．30°B．45°C．60°D．85°10．如图，在①ABC中，①A=50°，OB平分①ABC，OC平分①ACB，则①BOC的度数为（）A ．65°B ．70°C ．115°D ．125°11．小明把一副含45︒，30角的直角三角板按如图所示的方式摆放，其中90C F ∠=∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒，则αβ∠+∠等于（ ）A ．180︒B ．210︒C ．270︒D ．360︒12．如图，在ABC 中，BD 是ABC ∠的平分线，CD 是外角ACM ∠的平分线，BD 与CD 相交于点D ，若70A ∠=︒，则BDC ∠是（ ）A ．15︒B ．30C ．35︒D ．70︒二、填空题13．若一个三角形三边的长分别为5，11，2k ，则k 的取值范围是___．14．小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_____，_____，_____（单位：cm ）．15．如图，D 、E 分别是ABC 的AC ，AB 边上的点，BD ，CE 相交于点O ，若1,2,3OCD OBE OBC S S S ===△△△，那么S 四边形ADOE ＝_____．16．若a b c ，，是①ABC 的三边长，则化简a b c b c a +-+--的结果是________．17．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 上的中点，点E 是AD 上的中点，连结BE ，若BDE S ∆=3，则ABC ∆的面积为____．18．如图，BD 是ABC 的中线，5cm AB =，3cm BC =，那么ABD △的周长比CBD 的周长多______cm ．19．如图，在ABC 中，68ACB ∠=︒，12∠=∠．若P 为ABC 的角平分线BP ，CP 的交点，则BPC ∠=________；若P 为ABC 内一点，则BPC ∠=________．20．如图，在①ABC中，BD平分①ABC，连接CD，若①A＝①D＝40°，①ACD＝30°，则①DCE的度数为_____．21．如图，在①ABC中，AD①BC，AE平分①BAC，若①1＝30°，①2＝20°，则①B＝_____．⊥，交BD于点G，22．如图，ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH BC交BC于点H；下列结论：∠=∠；①DBH F∠=∠+∠；①2BEF BAF C∠=∠；①BGH C∠=∠-∠；①F BAC C其中正确的结论有__________．三、解答题23．已知，ABC的三边长为4，9，x．（1）求ABC的周长的取值范围；（2）当ABC的周长为偶数时，求x．24．如图，在①ABC中，①BAC是钝角，完成下列画图．（不必尺规作图）（1）①BAC的平分线AD；（2）AC边上的中线BE；（3）AC边上的高BF．25．如图，在①ABC中，AD①BC，AE平分①BAC，①B＝72°，①C＝30°，①求①BAE的度数；①求①DAE的度数．26．如图，在①ABC 中，BD 是①ABC 的角平分线． DE //BC ，交AB 于点E ，①A =60°，88BDC ∠=︒，求①BDE 各内角的度数27．如图，点B 在AC 上，AF 与BD ､CE 分别交于H ､G ，已知150∠=︒，2130∠=︒，ABD A ∠=∠．（1）证明：C A ∠=∠；（2）求C ∠的度数．28．如图，在ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，50BAC ∠=︒，60C ∠=°，求DAC ∠和EOF ∠的度数．29．如图，在ABC 中，CD AB ⊥于点D ，//DE BC 交AC 于点E ，EF CD ⊥于点G ，交 BC 于点F ．（1）求证：ADE EFC ∠=∠；（2）若72ACB ∠=︒，60A ∠=︒，求 DCB ∠的度数．30．①ABC 中，AD 是①BAC 的角平分线，AE 是①ABC 的高．（1）如图1，若①B ＝40°，①C ＝60°，请说明①DAE 的度数；（2）如图2（①B ＜①C ），试说明①DAE 、①B 、①C 的数量关系；（3）如图3，延长AC 到点F ，①CAE 和①BCF 的角平分线交于点G ，请直接写出①G 的度数 ．。
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14.1 三角形的有关概念（2）[三角形的分类]
第一组14-3
1、如果三角形的一个外角是锐角，那么这个三角形是（）
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、锐角三角形或钝角三角形
2、已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于6，则它的周长等于（）
A、12或15
B、12
C、15
D、12或15
3、下列说法错误的是（）
A、三角形的三条角平分线交于一点
B、三角形的三条中线交于一点
C、三角形的三条高交于一点
D、钝角三角形的高不是交于一点
4、等腰三角形的周长为24cm，腰长为x cm，则x的取值范围是（）
A、x>12
B、x<6
C、6<x<12
D、0<x<12
5、有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
6、等边三角形（填“是”或“不是”）等腰三角形。
7、在三角形中，最大角α的取值范围是。
8、已知三角形的两边长分别是2和9，第三边为x，且满足(x−6)(x−8)=0，则这个三角形的周长是。
9、如图14-3-1，等边三角形的三条角平分线的交点、三条中线的交点、三条高线的交点总共有个点，请画出图形。
10、已知三角形的周长为15，三角形的三边分别为a、b、c，且a−b=c−1，a−3c=1，则a = ，b = ，c = 。
11、已知△ABC 是等腰三角形。
（1）如果AB=6cm ，BC=12cm ，那么AC 的长度是多少？ （2）如果AB=6cm ，BC=9cm ，那么AC 的长度是多少？
12、已知线段AB 。
（1）如图14-3-2，以AB 为腰，画等腰直角三角形ABC ，这样的三角形可以画几个？ （2）如图14-3-3，以AB 为底边，画等腰直角三角形ABC ，这样的三角形可以画几个？
13、已知等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分成12和15两部分，求此三角形的腰长。
14、在等腰三角形ABC 中，已知其周长为20cm ，腰长为8cm ，求三角形另外两边的长度。
15、用一根长为100的铁丝折成一个三角形，使它的三边之比是7：8：10，求三边的长。
能折成比为1：2：3的三段吗？请说明理由。
16、一个等腰三角形的三边长分别为6cm 、(2x −2)cm 、(5x −8)cm ，求等腰三角形的三边长。
17、在三角形ABC 中，三条边都是整数，且AB=4，BC=9。
（1）写出AC 所有的可能；
（2）若△ABC 是不等边三角形，则AC 的长度有几种可能？
18、如图14-3-4，在四边形ABCD 中，已知O 是AC 和BD 的交点，AC+BD 的和与四边形的周长哪个大？请说明原因。
19、已知△ABC 的周长为28cm ，AB =(2x −1)cm ，BC =(x +6.5)cm ，AC =(2x −5)cm ，求三角形三边的长。
20、如图14-3-5，P 是△ABC 内任意一点，求证：AB +AC >PB +PC 。
B A
C
图 14 - 3 - 2
图 14 - 3 - 3
B
A
C
图 14 - 3 - 4
C
B
P
A
图 14 - 3 - 5
第二组 14-4
1、如果三角形的一个外角是直角，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、锐角三角形或钝角三角形
2、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于5，则它的周长等于（ ） A 、11或13 B 、11 C 、13 D 、无法确定
3、下列说法错误的是（ ）
A 、三角形的三条角平分线所在直线交于一点
B 、三角形的三条中线所在直线交于一点
C 、三角形的三条高所在直线交于一点
D 、以上都不对
4、等腰三角形的周长为24cm 底边为x cm ，则x 的取值范围是（ ）
A 、x >12
B 、x <6
C 、6<x <12
D 、0<x <12
5、有一个 角是直角的三角形是直角三角形。
6、等腰三角形 （填“是”或“不是”或“不一定是”）等边三角形。
7、在三角形中，最小角 α 的取值范围是 。
8、已知三角形的两边长分别是6和9，第三边长为x ，且满足(x −6)(x −8)=0，则这个三角形的周长是 。
9、等腰非等边三角形的角平分线、中线、高总共有 条不同的线段，请在一个三角形中画出来；等腰直角三角形呢？（如图14-4-1、14-4-2）
10、已知三角形的周长为15，三角形的三边分别为a 、b 、c ，且c −b =b −a ，a +b −c =1，则a = ，b = ，c = 。
11、已知△ABC 是等腰三角形。
（1）如果AB=5cm ，BC=10cm ，那么AC 的长度是多少？ （2）如果AB=5cm ，BC=8cm ，那么AC 的长度是多少？
B
C
A
图 14 - 4 - 2
12、已知线段AB ，以AB 为边画等腰直角三角形ABC ，这样的三角形可以画几个？ 13、已知等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分成12和9两部分，求此三角形的腰长。
14、在等腰三角形ABC 中，已知它的周长为20cm ，一边长为8cm ，求另外两边的长度。
15、用一根长为100cm 的铁丝折成一个三角形，使它的三边之比是3：3：4，求三边的长。
能折成比为2：5：8的三段吗？请说明理由。
16、一个等腰三角形的三边长分别为8cm 、(2x −2)cm 、(5x −8)cm ，求等腰三角形的边长。
17、在三角形ABC 中，三条边都是整数，且AB=4，BC=2。
（1）写出AC 所有的可能；
（2）若△ABC 是不等边三角形，则AC 的长度有几种可能？
18、如图14-4-3，在四边形ABCD 中，已知O 是AC 和BD 的交点，AC+BD 的和与四边形的周长的一半哪个大？请说明原因。
19、已知△ABC 的周长为25.5cm 、AB =2x −1，BC =x +6.5，AC =2x −5，求三边的长。
20、如图14-4-4，P 、Q 是△ABC 内两点，求证：AB +AC >PB +PQ +QC 。
图 14 - 4 - 3
Q
P
C
B
A
图 14 - 4 - 4。