新人教版九年级数学上册讲义

九年级上册数学讲义
姓名：
电话：
第二十一章 一元二次方程
1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如
ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中ax bx c 2，，分别叫做
一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。

如：24102
x x -+=满足一般形式ax bx c a 2
00++=≠（），2412
x x ，，-分别是二次项、一
次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

●夯实基础
例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

（1）
272y y =-
（2）
()()512152y y y +-=-
（3）()m x n mx x 2
2
10++-=（是未知数）
例2 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．
例3 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．
●能力提升
例4若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数
●培优训练
例5 m 为何值时，关于x 的方程2
((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．
第一讲 一元二次方程的定义
例6关于x 的方程（m+3）x m2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为
例7（2000•兰州）关于x 的方程（m 2-m-2）x 2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（ ）
A ．m≠-1
B ．m≠2
C ．m≠-1或m≠2
D ．m≠-1且m≠2
●课后练习
1、m 为何值时，关于x 的方程2
((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．
2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．
3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．
4、若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．
5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________
（1）直接开平方法
形如x m m 2
0=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直
接开平方法。

（2）配方法
通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥2
0（）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

（3）公式法
求根公式：方程ax bx c a 2
00++=≠（）的求根公式
x b b ac a
b a
c =-±--≥224240（）
步骤：
1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 2
00++=≠（），确定a 、b 、c 。

2）计算式子b ac 2
4-的值。

3）当b ac 2
40-≥时，把a 、b 和b ac 2
4-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法
把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

●夯实基础
例1、（2012•鄂尔多斯）若a 是方程2x 2-x-3=0的一个解，则6a 2-3a 的值为（ ） A ．3 B ．-3 C ．9 D ．-9
例2（2011•哈尔滨）若x=2是关于x 的一元二次方程x 2-mx+8=0的一个解．则m 的值是（ ）
A ．6
B ．5
C ．2
D ．-6
例3用直接开平方法解下列方程
（1）()x +-=2302
（2）231182
()x += (3)2269(52)x x x -+=-
例4先配方，再开平方解下列方程
（1）x x 2440--= （2）2372
x x =- (3) 211063
x x +-= (4) 231y +=
第二讲 一元二次方程的解与解法
例5 用公式法解下列方程
（1）x x 2320-+= （2）2122x x -=-
（3）()x x +=-132 (4)1
(61)432(2)2
x x x x ++-=+
例6 用因式分解法解下列方程
（1）23302x x --= （2）24545002
x x --= （3）t t 2
2220-+=
●能力提升
例7（2011•乌鲁木齐）关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或1
例8关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+ax +a 2-1=0的一个根是0，则a 值为（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．±1
例9已知a 、β是方程x 2-2x-4=0的两个实数根，则a 3+8β+6的值为（ ）
A ．-1
B ．2
C ．22
D ．30
例10解方程：22(32)60mx m x m -++=
●培优训练
例11解方程：2
x 2x 240++-=
例12（新思维）设x 1、x 2是方程240x x +-=的两个实数根，求代数式3212510x x -+的值．
例13已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31
1
=-+x x 的解相同． （1）求k 的值；
（2）求方程022=-+kx x 的另一个解．
课后练习
一、填空：
1. 一元二次方程的一般形式是______________________。

2. 一元二次方程3562
x x =+的一般形式是_________________________________，a=___________，b=___________，c=___________。

3. 关于x 的方程()m x mx ++-=12302
是一元二次方程，则m 的取值范围是___________。

4. 关于x 的方程()()m x m x m 2
2420-+-+=是一元二次方程时，m 的取值范围是___________，是一元一次方程时，m 的取值范围是___________。

二、下列方程中，是一元二次方程的为（ ）
A ．x 2+3x=0
B ．2x+y=3 C
D ．x （x 2+2）=0
三、解方程：
1.
x x 2560-+= 2. x x 2222-= 3. x x 237
4
0--= 4. ()x x -+-=15302
四、解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=．
一元二次方程根的判别式的定义
运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac
x a a -+=，显然只有当2
40b ac -≥时，才能直接开平方得：
2b x a += 也就是说，一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里2
4b ac -叫做一元二次方程根的判别式．
4、判别式与根的关系
在实数范围内，一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由2
4b ac ∆=-确定．
设一元二次方程为
20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则 ①0∆>⇔方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．
②0∆=⇔方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根
122b
x x a ==-． ③0∆<⇔方程
2
0(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；
若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．
说明：
⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．
⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式2
4b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两
个
不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当2
40b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．
①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；
②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．
5、一元二次方程的根的判别式的应用
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；
⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题
（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．
第三讲 一元二次方程根的判别式
●夯实基础
例1不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。

（1）82525y y ()-=-
例2如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ． 1k < B ． 0k ≠ C ．10k k <≠且 D ． 1k >
例3已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的正实数根
B ．有两个异号的实数根
C ．有两个不相等的负实数根
D ．不一定有实数根
例4若关于x 的方程kx x 2
690-+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

例5已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边的长，且方程22()()()0x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．
●能力提高
例6关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ．
例7已知关于x 的方程()()m x m x m ---++=221102
在下列情况下，分别求m 的非负整数值。

（1）方程只有一个实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有两个不相等的实数根
例8 （新思维）如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，∠B =90°，那么，关于x 的方程
0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是（ ）．
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
●课后练习
1、一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根
Ｄ．没有实数根
2、若关于z 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>-1 C ．m>l D ．m<-1
3、关于x 的方程2
0x px q ++=的两根同为负数，则（ ） A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <0 4、不解方程，判断下列各方程根的情况
（1）. x 210+= （2）. 44102
x x -+=
5、k 为何值时，方程()()k x k x k ---++=1272202
的两个根相等？
6、已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -
7、在等腰ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，b 和c 是关于x 的方程
21
202
x mx m ++-=的两个实数根，求ABC ∆的周长．
第四讲一元二次方程的应用
●夯实基础
例1解方程
例2一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用了6天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。

例3某商场运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？
例4甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合作，6天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天，问两队单独工作各需多少天完成？
例5某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
(1)该公司2006年盈利多少万元?
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元?
设方程ax 2
＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)的两根为x 11, x 2则x 11＋x 2＝a b
-，x 11x 2＝a c ，这个方
程的根与系数a,b,c 的关系叫做根与系数的关系定理，也叫韦达定理。

1. 若两个数x 11，x 2满足x 11＋x 2＝a b
-，x 11x 2＝a c ，则x 11，x 2是方程ax 2
＋bx ＋c ＝
0 (a ≠0)的两个根，这个定理称为韦达定理的逆定理。

2. x 11，x 2是方程ax 2
＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)的两个实数根，则必有∆＝b 2
－4ac 0≥,反之
亦成立。

●夯实基础
例1 若方程042=+-c x x 的一个根为2，则方程的另一根为_______，c =______．
例2：已知x 11，x 2是方程x 2
－3x ＋1＝0的两个根，求x 2
1x 2＋ x 11x 2
2的值。

例3若x 2
－3x －1＝0的两根是x 1，x 2，则11
x ＋21x ＝_______
例4 已知方程0532=-+x x 的两根为x 1、x 2，则=+2
221x x _________
例5 （2011•厦门）已知关于x 的方程2x 2x 2n 0--=有两个不相等的实数根． （1）求n 的取值范围；
（2）若n ＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n 的值．
例6（2011•南充）关于的一元二次方程2
x 2x k 10+++=的实数解是1x 和2x ．
（1）求k 的取值范围；
（2）如果1212x x x x 1+--＜且k 为整数，求k 的值． 第五讲 一元二次方程根与系数的关系
课后练习
1、已知x 1、x 2是方程032
=--x x 的两根，那么2
22
1x x +的值是（ ）．
A ．1
B ．5
C ．7
D ．
7
49
2、已知关于x 的一元二次方程024
1)2(2
2
=-+
+-m x m x ． （1）当m 为何值时，这个方程有两个相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根x 1、x 2 满足182
22
1=+x x ，求m 的值．
3. 已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1的两个实数根． 求：（x 1+x 2）2÷（
2
11
1x x +）的值．
4、（2010•中山）已知一元二次方程2x 2x m 0-+=． （1）若方程有两个实数根，求m 的范围；
（2）若方程的两个实数根为12x x 、，且12x 3x 3+=，求m 的值．
5.（2010•孝感）关于x 的一元二次方程2
x x p 10-+-=有两实数根12x x ，， （1）求p 的取值范围；
（2）若1122 [2x 1x ][2x 1x ]9+-+-=（）（）
，求p 的值．
6.已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．
第二十二章 二次函数
知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫
做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0
考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式
例1、 函数y=（m ＋2）x
2
2-m
＋2x －1是二次函数，则m= ．
例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x ＋
x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21
x
＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．
训练题:
1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．
2、若函数y=(m 2
+2m －7)x 2
+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

3、已知函数y=(m －1)x 2m +1
+5x －3是二次函数，求m 的值。

4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．
5．下列不是二次函数的是（ ）
A ．y=3x 2＋4
B ．y=－
31
x 2 C ．y=52-x
D ．y=（x ＋1）（x －2） 6．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）
A ．m 、n 为常数，且m ≠0
B ．m 、n 为常数，且m ≠n
第六讲 二次函数的定义
知识点归纳：
1、求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a
b
x 2-
=. （2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
2、二次函数的图象及性质：
（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．
（2）二次函数c bx ax y ++=2
的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。

3、图象的平移：左加右减，上加下减 例1、
例2、已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．
（1）求a 、m 的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积． 例3、求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：
（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与
y=2
1
x 2的开口大小相等，开口方向相反； 1
第七讲 二次函数的图像和性质
例4、二次函数y=a(x －h)2
的图象如图：已知a=12
，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。

例5、试写出抛物线y=3x 2
经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移2
3
个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

例6、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2
－3x+5，试求b 、c 的值。

训练题:
1．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 2．当m= 时，y=（m －1）x
m
m +2－3m 是关于x 的二次函数．
3．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x
m
m +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的
增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．
5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为
．
7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）
A ．y=2
1
x 2
B ．y=－2
1
x 2
C ．y=－2x 2
D ．y=－x 2
8．抛物线，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）
A ．y=4
1
x 2
B ．y=4x 2
C ．y=－2x 2
D ．无法确定
9．对于抛物线y=31x 2
和y=－3
1x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）
A ．两条抛物线关于x 轴对称
B ．两条抛物线关于原点对称
C ．两条抛物线关于y 轴对称
D ．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．2
1
D ．4
1
12.已知二次函数y=41x 2－2
5
x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，y 随x 的增大而减
小．
13．抛物线y=2x 2
向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为
．
14．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

15．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
16．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 17.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

18.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

19.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .
20.将抛物线y ＝ax 2
向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.
21、右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．
22、函数y=ax 2 (a ≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b ） （1)求a 和b 的值
（2）求抛物线y=ax 2 的解析式，并求出顶点坐标和对称轴； （3）x 取何值时，二次函数y=ax 2 中的y 随x 的增大而增大？ （4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积。

知识点：a 看开口方向
c 看与y 轴的交点位置
b 结合a 看对称轴的位置(左同右异)。

例1、已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：2
0040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
例2、已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①
0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确
结论的序号是（ ）
A ．①②
B ． ①③④
C ．①②③⑤
D ．①②③④⑤ 训练题
1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0
2.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2a C ．a-b+c> 0 D ．c< 0
3.抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图3，有以下结论：
①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2
-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．①②③
D ．①③⑤
4.当b<0是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（ ）
5.已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )
第八讲 二次函数的图象特征与a 、b 、c 的关系
1 1
1- O x
y 1x y O 1x
y O 1x y O 1x y O
6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图5所示，那么abc ，b 2
－4ac ， 2a ＋b ，a ＋b ＋c 四个代数式中，值为正数的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
7.二次函数y=ax 2
＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）
8、在同一坐标系中，函数y=ax 2
＋bx 与y=x
b
的图象大致是图中的（ ）
9.已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x 的值只能取0； 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11.已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y ＝ax ＋bc 不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12、二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是 （ ）
A ．0<a
B ．0<b
C ．0<c
D ．042
<-ac b
13、二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示，则下列关系式中错误．．
的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞0 y
x
O
1 －1
知识点：二次函数与x轴、y轴的交点的求法：分别令y=0,x=0；二次函数与一次及反比例函数等的相交：联立两个函数表达式，解方程.
例1、已知抛物线y＝x2-2x-8，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积
例2、已知抛物线y=1
2
x2+x-
5
2
．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
例3、如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．
例4．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．
第九讲二次函数的交点问题
练习题
1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为
．
3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2
＋bx ＋c 经过 象限．
4．抛物线y=x 2
－2x ＋3的顶点坐标是
．
5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m=
．
6．抛物线y=2x 2
＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=
．
7．已知抛物线y=ax 2
＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ． 8．二次函数y=kx 2
＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围
．
9．抛物线y=x 2－2a x ＋a 2
的顶点在直线y=2上，则a 的值是
．
10．抛物线y=3x 2
＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ） A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无
11．如图1所示，函数y=ax 2
－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a +++++的值是（ ）
A ．－3
B ．3
C ．21
D ．－21
12．已知二次函数y=ax 2
＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）
A ．0＜－
a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b
2=1
13．已知二次函数y=x 2
＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．
14．已知二次函数y=x 2
－2kx ＋k 2
＋k －2． （1）当实数k 为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
第10讲函数解析式的求法
例1、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

例2、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

例3、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。

5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。

训练题
1．若抛物线y=ax 2
+bx+c 的顶点坐标为（1，3），且与y=2x 2
的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。

2．抛物线y=2x 2
+bx+c 与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b ＝ ，c ＝ . 3．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y 轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。

4．根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1）当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7）
（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=3
2
（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）
（4）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3
（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）
5．当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= －3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式
6．已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

7．知二次函数图象顶点坐标（－3，12 ）且图象过点（2，11
2
），求二次函数解析式及图象与y 轴的交点
坐标。

8．已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)， (－1,0)与y 轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

9．若二次函数y=ax 2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线x= 1
2
对称，那么图象还必定经过哪一点？
11．抛物线y= (k 2－2)x 2+m －4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － 1
2
x +2上，求函数解析
式。

例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
例2、.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)
(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润＝售价－进价)．
(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．
(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？
训练题：
1、y=3x2-x＋2,当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y有最小值。

2、周长为60cm的矩形，设其一边为xcm，则当x=_____时，矩形面积最大，为_______.
3、若抛物线的对称轴是x=3，函数有最小值为8，且过（0,26），则其解析式为____________.
一、填空题：
1.二次函数y=x ²-2x+1的对称轴方程是x=_______. 2、对于二次函数 ，当x= ______ 时，y 有最小值，其值是 ______ 。

3、把抛物线 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的解析式为
____________。

4、抛物线 的开口向 ______ ，对称轴是x= ______ ，当x______ 时，y 随 x
的增大而减小。

5、抛物线 的对称轴是直线 ，则a= ______ 。

6、抛物线 的顶点是（
），则a= ______，c= ______ 。

7、已知二次函数 的最小值为1，那么m 的值为______ .
8、已知二次函数
，当x>5时，y 随x 增大而增大；当x<5时，y 随x 增大而减小，
则 a= ______ 。

9、二次函数y=－x ²－2x+2的最大值是____________ 。

10、一个关于x 的二次函数，当x=2时取得最小值－7,则这个二次函数图象的开口一定向____________ ，顶点坐标为____________ 。

11、如果二次函数y=ax ²+bx+c 的图象顶点为（－2,4）且过点（－3,0），那么a 的值为____________。

12.如果把第一条抛物线向上平移
a 49个单位（a >0），再向左平移2
5个单位，就得到第二条抛物线2
ax y =，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 . 13、若抛物线
与x 轴有一个交点坐标是（－1,0），则k= ____________ ，与x 轴另一个
交点坐标是____________ 。

14、抛物线 与x 轴的两个交点为A ，B ，与y 轴交点为C ，则SΔABC＝______。

15、二交函数
的图象如右图所示，则a _____ 0, b____ 0 ,c____ 0, a+b+c ______ 0
16．已知抛物线y=ax ²+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点
的坐标是_________· 17、抛物线
与坐标轴有且只有两个公共点，则m 的值为____________ 。

18.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=2
5交点的横坐标为2，则k=____________ ，交点坐标为 ____________ .
19．抛物线
7)1(82
-+--=m x m x y 的顶点在x 轴上，则m 的值等于 ____________ . 二、选择题： 1、二次函数
的顶点在x 轴上，则c 的值为（ ）。

A ．4
B ．8
C ．-4
D ．16 2、无论k 取何值时，二次函数
的图象的顶点所在直线是（ ）。

A ．y=x
B ．y=-x
C ．y=ax
D ．y=kx 3、若（2，5），（4，5）是抛物线 上的两点，那么它的对称轴方程是（ ）。

A ． B ．
C ．
D ．
4、与抛物线
关于x 轴对称的抛物线的函数表达式是________________
5、抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴相交于点A 、B （如图）与y 轴相交于点C ，如果OB=OC= OA,那么b 的值为（ ）。

A. －2 B. －1 C. － D.
6.关于抛物线532
12
-+-=x x y （a ≠0），下面几点结论中，错误的是（ ）
A.当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，
B. 当a <0时，对称轴右边y 随x 的增大而增大，
C.抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.
D.只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.
7.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）
A.x=1
B.x=-2
C.x=3
D.x=-3 8抛物线532
1
2-+-=x x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为_______________.
9、抛物线
与x 轴的交点的个数是（ ）。

A. 0个
B.1个
C.2个
D.1个或2
1．与抛物线532
12-+-=x x y 的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ）
A
．2
52
34
12-+-=x x y B ．872
12+--=x x y C ．1062
12++=x x y D ．532-+-=x x y 2．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）
A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。

3．抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1
4．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ）
A ．2)1(-=x y
B ． 2)1(2--=x y
C ．1)1(2++=x y
D ．2)1(2-+=x y
5．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）
A.(0，0)
B.(1，－2)
C.(0，－1)
D.(－2，1)
6．函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3<k
B ．03≠<k k 且
C ．3≤k
D ．03≠≤k k 且
7．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
8．已知抛物线342++=x x y ，请回答以下问题：
⑴ 它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；
⑵ 图象与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。

二次函数 基础练习二。